Expansão Escalar - O Universo em Inflação
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Expansão Escalar O Universo em Inflação
Vários autores como Hermann Bondi, Thomas Gold, Fred Hoyle, Geoffrey Burbidge e Jayant Narlikar defenderam uma teoria alternativa a do Big Bang, a da criação contínua de matéria no universo atual, ou teoria cosmológica do estado estacionário e, também, do estado quase estacionário, (steady state cosmology – SS em 1948, e quasi-steady state cosmology – QSS em 1993), porém suas ideias não foram bem aceitas. Entre os argumentos desfavoráveis está o conceito de que esse tipo de teoria é difícil de ser testada observacional e experimentalmente. O presente trabalho demonstra que é possível testar o crescimento de corpos, produzido pela criação de matéria, com base em uma metodologia simples. A conclusão final enfatiza a concepção do universo atual em inflação, com criação contínua de matéria. Também estabelece metodologia criteriosa e simples para mensurar a taxa de “crescimento” com base na gravimetria, portanto sem necessidade de recorrer ao efeito Doppler.
07 de outubro de 2013 i
SUMÁRIO Resumo. ................................................................................................................................. 1 Introdução. ............................................................................................................................ 1 Desenvolvimento................................................................................................................... 6 Estudo das variações da gravidade na superfície da terra. .................................................. 30 Calculando o valor da constante de expansão. .................................................................... 41 A expansão gerando uma anomalia gravimétrica na correção ar-livre - Ca. ....................... 54 Confirmação da expansão pela anomalia ar-livre. .............................................................. 55 Conservação da energia total no universo com gravitação e expansão. .............................. 59 Discretização da expansão ou limiares de transição das taxas. ........................................... 61 Considerações sobre curvatura do espaço-tempo e a Lei de Hubble-Humason. ................. 65 Experimentos para comprovar o crescimento contínuo da matéria no universo atual. ....... 67 Conclusões .......................................................................................................................... 69
SUMÁRIO DE FIGURAS Figura 1 - Representação de dois círculos em expansão, as “flechas” internas mostram o sentido da expansão. .................................................................................................................................. 4 Figura 2 - Representação da Terra como corpo esférico ideal. ..................................................... 6 Figura 3 - Esquema de observador, na superfície da Terra, sustentando um corpo P e uma régua para avaliar o movimento de queda............................................................................................... 8 Figura 4 - Detalhes da eq. (13) e significados físicos de cada termo. ......................................... 19 Figura 5- Forças que atuam sobre um esquiador puxado por uma lancha acelerada. ................. 21 Figura 6 - Forças de expansão e gravitação atuando sobre um pêndulo simples. ....................... 23
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Expansão Escalar – O Universo em Inflação.
SUMÁRO DE TABELAS Tabela 1 - Movimento de queda ao solo de um corpo colocado inicialmente a 10 m de altura, conforme modelo gravitacional clássico. .................................................................................... 13 Tabela 2 - Movimento de queda ao solo de um corpo colocado inicialmente a 10 m de altura, conforme modelo expansivo da Terra dado pela eq. (13) e sua repetição. ................................. 14 Tabela 3 - Valores das massas e das constantes z relacionadas ao momento de inércia para o manto e núcleo usadas por Bullen K.E. (1953) nas hipóteses (i) e (ii). ................................................. 49 Tabela 4 - Valores de zm e zn ajustados em função das alterações das densidades nos modelos (i) e (ii) de Bullen, K.E. (1953). ....................................................................................................... 50 Tabela 5 - Reduções ar-livre e de Bouguer com base na teoria da expansão dos dados gravimétricos do perfil 1, obtidos por Götze, H.J. et al (1988). .................................................. 56 Tabela 6 - Comparação da anomalia ar-livre entre o sistema tradicional (A) e expansivo (B)... 58
ii Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar – O Universo em Inflação. Resumo. A criação contínua de matéria no universo atual, proposta pela teoria cosmológica do estado estacionário (BONDI; GOLD; HOYLE, 1948), não foi muito bem aceita. Entre os argumentos desfavoráveis está o conceito de que esse tipo de teoria é difícil de ser testada observacional e experimentalmente. O presente trabalho demonstra que é possível testar o crescimento de corpos, produzido pela criação de matéria, com base em uma metodologia simples de ser usada. A conclusão final enfatiza a concepção do universo atual em inflação, com criação contínua de matéria. Também estabelece metodologia criteriosa e simples para mensurar a taxa de “crescimento” com base na gravimetria, portanto sem necessidade de recorrer ao efeito Doppler.
Introdução. Desde que Hubble (1929) comprovou o afastamento das galáxias, a Ciência passou a aceitar a expansão do Universo favorecendo a teoria do Big Bang. Atualmente várias teorias propõem diferentes entendimentos de como foi essa expansão. A Teoria Inflacionária de Guth (1981) propõe que no início da criação do universo houve uma fase inflacionária que produziu um crescimento exponencial da matéria por um curto período de tempo. Ela seria a responsável pela criação da maior parte da matéria do nosso universo. De modo diverso, Bondi, Gold e Hoyle (1948) propuseram a teoria do universo infinitamente grande e velho, com criação contínua de matéria, em eterna expansão, mantendo a densidade constante à medida que cresce. Eles argumentaram que, se os defensores do Big Bang podiam aceitar que toda a matéria do universo foi criada em um só instante, por que rejeitariam a possibilidade de criação contínua? A não aceitação dessa teoria deve-se a vários fatores e um deles é que a inflação eterna contraria nosso senso lógico. Outro, é que os pesquisadores afirmam ser impossível testá-la, pois todos os instrumentos de medição estariam crescendo de forma proporcional. Isso gera um paradoxo que é tentar medir o crescimento de um corpo com uma régua que cresce na mesma proporção. Sendo assim, como em todas as investigações cientificas, torna-se fundamental descobrir a ferramenta observacional adequada que permita mensurar o crescimento contínuo de corpos, mesmo quando os instrumentos de medição estejam submetidos ao igual crescimento.
1 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar – O Universo em Inflação. Quando dois balões, colocados próximos um do outro, são inflados eles começam a crescer e, obviamente, tocam-se. A ideia principal é que o crescimento de corpos produz a aproximação das superfícies, resultando no encontro entre eles. Esse argumento é simples e de fácil visualização, porém não é tão fácil entender como um observador, exposto ao mesmo crescimento, poderá ver essa aproximação. O objetivo desse trabalho é interpretar, de forma lógica e precisa, a visão que esse observador tem da aproximação entre corpos. As conclusões formalizadas por esse trabalho foram aplicadas aos trabalhos de Bullen (1953), Gotze et al. (1988), Hammer (1950) e Woollard e Rose (1963) mostrando que os dados gravimétricos encontrados por eles, os quais discordavam dos valores esperados, puderam ser explicados pela expansão, demonstrando que: i) mesmo quando o instrumento de medição usado cresça de forma proporcional aos corpos, é possível mensurar seus crescimentos, embora isso pareça paradoxal; ii) existe uma metodologia observacional simples e adequada à observação; iii) algumas anomalias gravimétricas, obtidas em trabalhos científicos, podem ser explicadas com precisão; iv) a teoria da criação contínua de matéria é plausível e semelhante a uma pequena fase inflacionária; vi) algumas teorias inflacionárias não são difíceis de serem testadas observacional e experimentalmente. O crescimento contínuo de corpos pode ser mensurado por instrumentos de medição que crescem na mesma proporção deles. Para facilitar o entendimento da questão foram feitos dois filmes com duração inferior a um minuto. A partir desses filmes foi possível tecer considerações sobre o crescimento, ou expansão, e inferir sobre corpos maiores, como a Terra, relacionando expansão com gravitação. O primeiro filme, em , mostra a imagem de dois círculos luminosos, produzidas por duas lanternas. Quando as lanternas são afastadas da tela, as imagens crescem. A filmadora está em uma posição fixa em relação à tela. Ao afastar as lanternas da tela os círculos luminosos crescem e suas bordas se tocam. É importante relatar que as lanternas estão separadas entre si por uma distância fixa, significando que os centros dos círculos estão imóveis sobre a tela. Em outras palavras, os círculos luminosos projetados não se deslocaram sobre a tela, somente cresceram. O segundo filme, em , vê-se que os círculos se aproximam e se tocam, mas não se percebe o crescimento de ambos. A filmadora acompanhou o deslocamento das lanternas, por isso não ficou visível o crescimento real dos círculos, somente a aproximação entre eles. 2 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar – O Universo em Inflação. A única diferença entre os dois filmes é que, no primeiro, a filmadora ficou fixa em relação à tela e somente as lanternas foram afastadas. No segundo, as lanternas e a filmadora foram afastadas da tela simultaneamente. Com isso criou-se a ilusão de que os círculos não cresceram, sendo possível observar apenas um movimento de aproximação entre eles. Existem quatro aspectos fundamentais nessas imagens que devem ser bem entendidos sendo:
a.
Expansão dos corpos: Ao deslocar as lanternas, afastando-as da tela de projeção, provoca-se a ampliação das imagens o que permite simular o crescimento de dois corpos circulares.
b. Aproximação entre as superfícies dos corpos: As imagens se tocam em consequência da ampliação à qual são submetidas. Isso significa que, decorrido certo tempo, os dois corpos irão se tocar. c. Expansão do observador: A filmadora representa o observador. Afastá-la da tela significa expor o observador à mesma condição imposta às lanternas, ou seja, simula-se o crescimento do observador. d. Visualização da aproximação pelo observador: Como o observador vê o crescimento dos corpos? A visão do observador corresponde à imagem captada no segundo filme, o qual não registrou a ampliação dos círculos. Isso significa que o observador não percebe o crescimento dos corpos, apenas vê a aproximação entre eles. Obteve-se esse resultado ao afastar, da tela, a filmadora e lanternas simultaneamente. Dessa forma o observador foi colocado na mesma condição que produziu o crescimento dos corpos. Esse experimento reproduz a ampliação de duas imagens projetadas sobre um ponto fixo da tela, permitindo, por analogia, simular o crescimento (expansão) de corpos. É possível interpretá-lo com conceitos matemáticos para cada um dos quatro aspectos acima mencionados, sendo adotadas duas premissas imprescindíveis: Primeira: Admite-se o crescimento como uma função exponencial do tempo. Existem fortes razões para se adotar uma função exponencial, as quais serão discutidas durante o desenvolver desse trabalho. Segunda: As imagens estão com seus centros imóveis sobre a tela e nenhuma “força” externa atua sobre elas.
3 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar – O Universo em Inflação. Colocadas essas condições iniciais, as representações matemáticas dos quatro aspectos mencionados acima serão: a. A expansão dos corpos: Tomando o raio como parâmetro de avaliação, o crescimento exponencial será representado pela eq. (1). t = tempo rt = raio final
rn = raio inicial
rt rn t
(1)
= expansão Essa equação mostra que o raio final, após um tempo t, é igual ao raio inicial multiplicado pela constante de expansão elevada ao tempo. Em outras palavras, diz-se que o crescimento de um círculo é representado pelo crescimento exponencial de seu raio. Essa equação assemelha-se ao cálculo de juros composto, porém no lugar do capital inicial usa-se o raio inicial. b. Aproximação entre as superfícies dos corpos (h): A aproximação h é a diferença entre
a distância D e a soma dos raios, esses multiplicados pela constante de expansão, conforme está na Figura 1 e eq. (2):
h D (r1 t r2 t )
(2)
Figura 1 - Representação de dois círculos em expansão, as “flechas” internas mostram o sentido da expansão.
4 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar – O Universo em Inflação. Essa equação calcula a distância entre as superfícies dos círculos, considerando D a distância entre seus centros. Ela ainda não reproduz a visão do observador, representa somente o que ocorreu no primeiro filme. c. Expansão do observador: O observador está sujeito à mesma expansão dos corpos, porém não percebe seu crescimento devido à proporcionalidade mantida entre seu próprio tamanho e o dos corpos. d. Visualização da aproximação pelo observador: Como o observador cresce na mesma razão de proporção dos corpos deve-se descontar a expansão sofrida. Isso implica em dividir a eq. (2) pela expansão. Dessa forma a aproximação entre as superfícies será dada pela eq. (3).
h0
D (r1 t r2 t )
(3)
t
Essa equação calcula h0 que é o ponto de vista do observador sujeito à expansão. Ela representa o ocorrido no segundo filme (a aproximação entre os círculos). A eq. (3) pode ser simplificada resultando na eq. (4). É interessante notar que dessa forma ela mostra os raios como constantes e a distância D, entre seus centros, é que sofre um “encolhimento” ao ser dividida pela expansão. h0
D
t
(4)
(r1 r2 )
Conclui-se que o observador vê os círculos com tamanhos constantes, porém num aparente movimento de aproximação, que pode ser representado pelo encolhimento do espaço entre as figuras. Resumindo: A visão que o observador tem, quando submetido ao mesmo crescimento dos corpos, fica distorcida da realidade, pois a expansão revela a ele somente um aspecto: a diminuição do espaço entre os corpos.
5 Adaptado de Baumgratz 2003
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Desenvolvimento. O modelo de expansão foi definido com base no crescimento de imagens projetas. Pode-se melhorar essa teoria empregando-a ao próprio planeta Terra admitindo seu crescimento (sua expansão) exponencial. Assim, admite-se a existência da criação contínua de matéria, que manteria a densidade constante à medida que o universo se expande de forma similar ao que foi proposto pela teoria cosmológica do estado estacionário de Bondi, Gold e Hoyle (1948).
Expansão da Terra.
A Figura 2 representa a Terra como um corpo esférico ideal, centrada sobre os eixos de coordenadas (x, y) e, em destaque, um ponto M da superfície. Os parâmetros envolvidos estão ao lado da figura.
rt = raio final. r0 = raio inicial.
= constante de expansão. t = tempo.
Figura 2 - Representação da Terra como corpo esférico ideal.
As setas na figura mostram a direção do aumento da superfície da Terra. Adota-se a função exponencial do tempo como modelo que rege a expansão por motivos que serão explicados no desenvolver desse trabalho. Admitir uma função exponencial significa dizer que o raio dobra de tamanho a cada variação constante de tempo. Exemplificando: se o raio inicial for de um metro, após determinada variação de tempo seu raio será de dois metros, para duas variações 6 Adaptado de Baumgratz 2003
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iguais de tempo o raio será de quatro metros, para três variações será de oito metros, e assim por diante. O crescimento exponencial do raio da Terra/círculo passará, de agora em diante, a ser tratado como expansão, será representada pela eq. (5).
rt r0 t
(5)
Espaço percorrido por um ponto da superfície da Terra.
A eq. (5) também pode ser interpretada como o deslocamento de um ponto M da superfície da Terra em expansão. Literalmente, para esse movimento de expansão, a variável “raio final” (rt) representa o espaço que qualquer ponto da superfície da Terra percorre durante o tempo t, considerando como início do movimento um raio infinitesimal do planeta. Como esse ponto está em movimento ele deve possuir uma velocidade e uma aceleração, as quais podem ser calculadas, respectivamente, através da primeira e segunda derivadas da eq. (5), conforme conceitos da cinemática. Sendo assim, por questão de coerência com a simbologia, opta-se por substituir o símbolo rt por SM em alusão ao espaço “S” da cinemática. Resumindo: O espaço que um ponto da superfície da Terra percorre, desde o seu centro, em função do tempo e expansão pode ser descrito pela eq. (6).
SM r0 t
(6)
Definida a equação do movimento de M, parte-se para o estudo da queda de corpos. Usa-se como orientação a Figura 3. Nela está o esquema de um observador na superfície do planeta, sustentando um corpo P e uma régua para avaliar o movimento de queda. A aproximação entre P e a superfície depende de duas equações horárias dos espaços, uma definindo a expansão da Terra, que é a eq. (6), e outra definindo o movimento de P. O sistema de referência é inercial, representado pelos eixos (x, y), estando o centro do planeta nas coordenadas (0,0). Aqui não foi considerada a atração gravitacional, somente a expansão que atua sobre o corpo P. Não foi levada em consideração, nos cálculos, a expansão do corpo P, pois se admitiu sua dimensão
7 Adaptado de Baumgratz 2003
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pequena em relação ao tamanho da Terra, sendo assim, a expansão de P pode ser desprezada para uma pequena variação de tempo, isso ocorre quando ele está próximo da superfície. Na teoria gravitacional, quando se estuda a queda de corpos, é usual a obtenção da aceleração com base no período de um pêndulo, porém os exemplos usados aqui estão focados no estudo da queda propriamente dita. Esse tipo de abordagem é justificado pela necessidade de se construir uma compreensão clara do significado físico da expansão. Na Figura 3 é fácil perceber que esse corpo P estará sujeito à força imposta pela expansão do conjunto planeta e régua (com direção, sentido e intensidade), isso fará com que ele adquira uma velocidade instantânea quando for solto.
Figura 3 - Esquema de observador, na superfície da Terra, sustentando um corpo P e uma régua para avaliar o movimento de queda.
Espaço percorrido pelo corpo P submetido à expansão da Terra e da régua.
Pela Figura 3 deduz-se que enquanto o corpo for mantido à distância H da superfície da Terra, ele estará sujeito à expansão dela e da régua (lembre-se de que a régua também se expande), portanto o espaço que P percorrerá será dado pela eq. (7).
S p r0 H t
(7) 8
Adaptado de Baumgratz 2003
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Espaço percorrido pelo corpo P após ser solto.
Após ser solto, o movimento de P dependerá da posição inicial e da velocidade adquirida. Supõe-se que o observador solta-o no instante t=b . A partir desse instante o corpo não estará mais sujeito ao movimento imposto pela expansão do planeta e da régua, contudo deverá conservar sua velocidade instantânea, em respeito à lei de conservação do movimento. O módulo dessa velocidade vem da primeira derivada da eq. (7). É importante ressaltar que se admitiu o centro da Terra fixo no ponto de coordenadas (0, 0), portanto a direção do movimento é radial, e o sentido é do centro para fora, tanto para o corpo P como para o ponto M. Note também que o movimento definido por todas as equações relaciona-se ao referencial inercial adotado. A posição, a velocidade, e a equação horária dos espaços de P após o instante b, serão:
Posição do corpo P no instante b.
Fazendo t= b na eq. (7) encontra-se a posição do corpo P conforme eq. (8). S0 r0 H b
(8)
Pode-se admitir S0 como sendo o espaço já percorrido por P, desde um raio infinitesimal da Terra até o instante b. Essa equação compara-se ao espaço inicial comumente usado na função horária dos espaços, por isso o uso do símbolo S0.
Velocidade instantânea de P no instante b como primeira derivada da eq. (7).
A equação da velocidade instantânea será a primeira derivada da eq. (7). Obtém-se a velocidade instantânea fazendo t=b nessa derivada o que resulta na eq.(9).
9 Adaptado de Baumgratz 2003
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vP
dS p dt
r0 H b ln
(9)
Equação horária dos espaços de P.
Com base na cinemática pode-se deduzir que, após o instante b, o movimento de P será dado pela relação vp.Δt, isso é, a velocidade instantânea multiplicada pela variação de tempo. A esse movimento adquirido, deve-se somar a posição inicial de P (eq.(8)) sendo essa a função horária dos espaços conforme está na eq. (10).
S P S 0 v p t
(10)
Substituindo as eqs. (8) e (9) em (10) chega-se a eq.(11).
S p r0 H b (1 ln t )
(11)
Aproximação h entre a superfície da Terra e o corpo.
Verifica-se que, após ser solto, o corpo passa a se afastar da Terra com velocidade constante, enquanto a superfície dela, em expansão, aproxima-se dele de forma exponencial. Ambos os movimentos têm mesma direção e sentido, portanto a diferença entre as equações de seus espaços dará a aproximação esperada, basta subtrair a eq. (11) da eq. (6) e chega-se a eq. (12). Abaixo está a eq. (12) com explicações detalhadas de cada termo que a compõe.
10 Adaptado de Baumgratz 2003
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h r0 H b r0 H b ln t r0 . b t
Expansão da Terra
Deslocamento da superfície da Terra em direção ao corpo P.
v p t
Espaço percorrido por P em função da velocidade instantânea adquirida da expansão.
S0
Posição inicial do corpo P em relação ao centro da Terra
Distância entre o corpo P e a superfície da Terra
h
(12)
Essa situação é muito semelhante ao deslocamento de dois veículos com mesma direção e sentido, porém o primeiro, que está à frente, possui velocidade constante enquanto o segundo, que está atrás, está acelerado. Em determinado momento eles se encontrarão. Compara-se o corpo P ao veículo que está à frente, ele tem um movimento uniforme dado pela eq. (11). A superfície da Terra compara-se ao segundo veículo, possui aceleração e seu movimento é dado pela eq. (6). Recapitulando: Assim que o corpo for solto ele conservará sua velocidade instantânea, afastando-se radialmente do centro do planeta. A superfície do planeta irá aproximar-se do corpo devido à expansão. A aproximação será dada pela distância h em função da variação de tempo Δt e da expansão. É importante entender que essa aproximação é a real, é aquela que um observador sujeito à expansão não vê (como ocorreu no primeiro filme). Assim pergunta-se: E como fica quando o próprio observador está sujeito à expansão? Nesse caso deve-se dividir a eq. (12) por ξb+Δt, pois esse é o valor da expansão que observador e seus instrumentos de medição estão sujeitos. Está representada na eq.(13).
11 Adaptado de Baumgratz 2003
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Como o observador vê a queda com expansão.
A eq. (13) descreve a visão que o observador tem da aproximação entre o corpo e a superfície, para ele poderia representar somente um movimento de queda. Nesse exemplo não existiu atração gravitacional. Não se pretende eliminar a gravitação, mas realçar a semelhança entre o modelo gravitacional e um modelo que considera somente a expansão. Ressalta-se a similaridade com o segundo filme, onde não se percebe o crescimento dos círculos, porém é visível a aproximação entre eles.
h0
r
0
H b r0 H b ln t r0 . b t
b t
(13)
Estudo comparativo entre gravitação e expansão em uma queda.
Trabalhou-se, até aqui, com a imagem da expansão tendo como proposição que o movimento de queda é consequência direta do crescimento de corpos e independe da atração gravitacional clássica. Em cima dessa proposição foi desenvolvido o modelo conceitual e, também, o modelo matemático do sistema expansivo, pergunta-se então: Qual seria o valor da constante de expansão? Como seria a avaliação de queda feita por um observador, conforme mostra a Figura 3, seria ela compatível com a aceleração gravitacional g? O experimento seria passível de repetição, isso é, se o observador repetisse um experimento de queda conseguiria sempre os mesmos resultados? Qual seria a validade dessa reflexão sobre a expansão? Seria possível medir diretamente o crescimento de corpos usando um padrão que crescesse na mesma proporção? A busca pelas respostas começa pelo teste da eq. (13), e para isso é necessário conhecer o valor da expansão. 12 Adaptado de Baumgratz 2003
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Sabe-se que, de acordo com a teoria clássica da gravitação, uma queda depende da aceleração gravitacional g. No caso do modelo expansivo, definiu-se que a única aceleração envolvida é consequência da expansão da Terra. Essa “aceleração de expansão” vem da segunda derivada da eq. (6), portanto igualá-la ao valor de g permitirá estimar ξ. Fazendo g= aceleração de expansão =segunda derivada da eq. (6):
g
dS 2 M 2 r0 t ln 2 dt
A eq. (14) deve ser dividida por
(14)
t , pois essa condição foi imposta na definição da eq. (3) e
surgiu da necessidade da adequação do cálculo à percepção que tem o observador. Admite-se a Terra com raio de 6.372.000 m e g=9,8 m/s2. Fazendo as devidas substituições na eq. (14) chegase à: 6372000 t ln
2
9,8
(15)
t
Resolvendo a eq. (15) acha-se ξ=1,00124092 (expansão ao segundo). Agora é possível comparar a queda de um corpo produzida pelo modelo expansivo com o gravitacional clássico. Supõe-se que o observador colocou o corpo P a 10 m de altura. Com base na equação clássica da gravitação calcula-se a Tabela 1 na qual estão os dados da queda do corpo. Tabela 1 - Movimento de queda ao solo de um corpo colocado inicialmente a 10 m de altura, conforme modelo gravitacional clássico.
0
Distância do Solo em metros h 10
0,3
9,5595
0,6
8,2381
0,9
6,0357
1,2
2,9523
1,42...
0
Tempo em segundos Δt
Equação Clássica g=9,8 m/s2
h 10
1 g t2 2
O tempo de queda calculado = 1,4286... s.
13 Adaptado de Baumgratz 2003
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Na Tabela 2 estão os dados da “queda” do corpo de 10 m de altura usando, porém, os cálculos da expansão. Também é necessário verificar se o experimento é passível de repetição e para isso admitiu-se que ele foi realizado uma segunda vez, a primeira quanto t = 0, a segunda quanto t=120 s, tendo o observador executado os mesmos procedimentos nos dois testes. Os resultados da repetição estão, também, na mesma Tabela 2. Tabela 2 - Movimento de queda ao solo de um corpo colocado inicialmente a 10 m de altura, conforme modelo expansivo da Terra dado pela eq. (13) e sua repetição.
1
2
3
4
5
Tempo Δt
Expansão ξt
Deslocamento do corpo P
0
1
6372010
0,3
1,000372
0,6
6 Distância Aproximação do solo Expansão da Terra entre corpo P e vista pelo a Terra observador h0 6372000 10 10
6.374.380,6796
6.374.371,1169
9,5627
9,5591
1,000744
6.376.751,3592
6.376.743,1161
8,2430
8,2369
0,9
1,001117
6.379.122,0387
6.379.115,9980
6,0407
6,0339
1,2
1,001489
6.381.492,7183
6.381.489,7629
2,9554
2,9510
1,42...
1,001774
6.383.305,6136
6.383.305,6136
0,0000
0,0000
.
.
.
.
.
.
REPETIÇÃO
.
.
.
.
.
120
1,160462
7.394.476,3506
7.394.464,7460
11,6046
10
120,3
1,160894
7.397.227,4345
7.397.216,3374
11,0971
9,5591
120,6
1,161326
7.399.978,5184
7.399.968,9527
9,5657
8,2369
120,9
1,161758
7.402.729,6023
7.402.722,5923
7,0100
6,0339
121,2
1,162190
7.405.480,6862
7.405.477,2566
3,4296
2,9510
121,42...
1,162521
7.407.584,4825
7.407.584,4825
0,0000
0,0000
Tempo de queda calculado = 1,4294
A coluna 1 apresenta a variação de tempo Δt com intervalos de 0,3 s. A coluna 2 mostra a o valor acumulado da expansão. A coluna 3 representa o afastamento do corpo P da superfície com base na eq. (11). A coluna 4 é o crescimento do raio da Terra dado pela eq. (6). 14 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
A coluna 5 é a diferença entre as colunas 3 e 4, representa a distância “real” entre o corpo e a Terra conforme eq. (12). A coluna 6 mostra a distância que o corpo está do solo através da visão do observador. Foi obtida, literalmente, pela divisão dos dados da coluna 5 pela coluna 2. Essa distância é o ho obtido pela eq.(13). É importante ressaltar que, na Tabela 2, o observador só vê os dados de tempo (coluna 1) e a aproximação relativa ho (coluna 6). Os valores nas colunas 2, 3, 4, e 5 só serão percebidos por alguém que não esteja submetido à expansão, isso é; alguém fora do sistema expansivo. Ao comparar as Tabelas 1 e 2 pode-se ver que as distâncias entre o corpo e o solo, durante a queda, apresentam valores semelhantes, significando que o modelo expansivo guarda certa similaridade ao gravitacional clássico. Isso se explica porque a eq. (6) ( SM r0 t ), que representa a expansão da Terra, pode ser transformada em um polinômio de Taylor, ficando. Polinômio de Taylor Eq. (6)
1 1 1 2 3 n r0 t r0 r0 ln t r0 ln t 2 r0 ln t 3 ... r0 ln t n 2! 3! n! 1ª chave
2ª chave
3ª chave Eq. (16)
É bom recordar que existem dois movimentos relacionados à queda mostrada na Tabela 2: a expansão da Terra e o deslocamento do corpo P. A eq. (16) representa somente a expansão da Terra e quando desenvolvida na forma de um polinômio adquire o significado de que a expansão pode ser estudada como uma função horária dos espaços, na qual estão explicitamente destacadas a posição inicial, a velocidade, a aceleração e taxas de variação da aceleração. Já no caso do corpo P, seu movimento depende exclusivamente da velocidade instantânea, condição definida na eq.(9). Estudando detalhadamente esse polinômio tem-se que: 15 Adaptado de Baumgratz 2003
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O primeiro termo do polinômio é o raio inicial ro que, para o observador, será sempre o mesmo. No polinômio ele representa a posição inicial do movimento. A 1ª Chave discrimina a parte do movimento de expansão que pode ser representada somente em função da velocidade de crescimento superficial. Essa chave é a função horária dos espaços do tipo S = v.t. Verifica-se que o termo (ro . ln ξ) é a primeira derivada da eq. (6), portanto é a velocidade instantânea da superfície, ao ser multiplicada pelo tempo passará a representar a posição da superfície em função de sua velocidade instantânea. Aqui cabe um parêntesis para comparar a velocidade da expansão da Terra com a velocidade do corpo P. A primeira decorre do movimento de expansão, a segunda decorre da primeira lei de Newton. Como a altura H, do corpo P, é muito pequena em relação ao raio pode-se admitir que a soma de ambos seja praticamente igual ao próprio raio (ro + H ≈ ro), portanto a velocidade adquirida pelo corpo, e fornecida pela eq. (9), será quase igual à velocidade de crescimento da Terra.
r0 H ln r0 ln velocidade do corpo
velocidade da superfície Terra
Conclui-se, portanto, que a diferença entre as duas velocidades influi pouco nos resultados. A 2ª chave discrimina a parte do movimento de expansão que pode ser representada somente em função da aceleração relacionada ao crescimento superficial da Terra. Verifica-se que o termo (ro . (ln ξ)2) é a segunda derivada da eq. (6), portanto é a aceleração instantânea da superfície. Ao ser multiplicada pelo quadrado do tempo e dividida por dois (ro . (ln ξ)2.t2/2) passa a representar a posição da superfície em função sua aceleração instantânea sendo, dessa forma, equivalente à função horária dos espaços do tipo S=1/2.a.t2. Aqui cabe, também, um parêntesis para comparar a aceleração da expansão da Terra com o movimento do corpo P. Sabe-se que ele, após ser solto, não possuirá mais aceleração, portanto a aceleração da superfície Terra é o fator que mais contribuirá para a aproximação entre ambos. Percebe-se, então, que a aceleração de expansão (ro . ln ξ = aceleração de expansão) será vista
16 Adaptado de Baumgratz 2003
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pelo observador como uma aceleração de queda, assemelhando-se muito ao conceito de atração gravitacional Newtoniano. A 3ª chave discrimina a parte do movimento de expansão que pode ser representada em função da variação da aceleração do crescimento superficial da Terra. Essa chave é formada pela somatória de um número infinito de termos do polinômio de Taylor, entretanto essa soma converge para um valor muito pequeno quando ξ e t são pequenos. Se a altura H adotada for pequena em relação ao raio, então o tempo de queda também será pequeno. Do estudo dos termos do polinômio acima se verifica que o fator preponderante na queda é a aceleração de expansão da Terra. Por esse motivo os movimentos de queda produzidos pela gravitação clássica e o modelo de expansão, aqui proposto, são tão semelhantes em seus resultados quantitativos, ambos dependem de uma aceleração de aproximação. No modelo expansivo, a queda é, em essência, uma aproximação entre o corpo e a superfície planetária.
Simetria da queda no modelo expansivo.
Admite-se que após 120 s o observador coloca o corpo P à mesma altura de 10 m e deixa-o cair novamente. Na mesma Tabela 2 estão os dados da repetição que começam na linha relativa ao tempo de 120 s. Pode-se ver, na coluna 6, que as distâncias do solo, vistas pelo observador, para as mesmas variações de tempo, são iguais entre o primeiro teste e sua repetição. A questão é que, no modelo expansivo, o crescimento dos corpos é contínuo e após 120 s a régua padrão, que no início tinha 10 m, terá 11,6046 m (ver coluna 5 na linha 120 s). Para o observador, todavia, ela ainda terá 10 m. Em outras palavras, após 120 s o observador levantará o corpo a 11,6046 m (pois a expansão não parou) acreditando que o levantou somente a 10 m. O observador sempre verá a régua com 10 m. Somente quem não esteja sujeito à expansão verá o crescimento da régua. A coluna 5 é dada pela eq. (12) e significa uma medida “real” do objeto, ao ser dividida pela expansão retornará sempre os mesmos resultados que são mostrados na coluna 6. Essa é a adaptação feita à visão do observador, foi discutida na transformação da eq. (12) na eq. (13) e também na página 5 no item 2 d - Visualização da aproximação pelo do observador. O observador obterá sempre o mesmo resultado em uma repetição realizada a qualquer tempo depois do primeiro experimento. 17 Adaptado de Baumgratz 2003
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Existe uma maneira mais técnica de explicar a questão, basta verificar que o termo b pode ser eliminado da eq. (13), pois ξ t = ξ b + Δt = ξ b . ξ Δt , então
h0
r0 H r0 H ln t b r0 . t b b t
r0 H r0 H ln t t
r0
portanto ho não depende do tempo no sentido “absoluto”, mas somente da variação dele. Uma das razões para adotar a função exponencial do tempo, como representação da expansão, é essa característica de simetria que permite obter, sempre, os mesmos resultados. O que realmente aconteceu está nas colunas 1, 2, 3, 4 e 5, elas apresentam valores diferentes entre o primeiro teste e sua repetição. O observador só percebe as colunas 1 e 6. Outra interpretação que poderia ser dada seria interpretar o denominador como uma constante de encolhimento pois se ξ >1 então 1/ξ < 1 e o observador poderia interpretar a queda como uma deformação do espaço que produziria a aproximação entre o corpo e o solo. Após as simplificações a eq. (13) ficaria finalmente;
1
t
r0 H 1 ln t r0
(17)
Para o modelo de expansão proposto verifica-se que, do ponto de vista absoluto, os resultados de uma queda serão todos diferentes, contudo, para o observador dentro do sistema, esse fenômeno guarda uma simetria sui generis de proporcionalidade que permite obter a mesma aparência a qualquer tempo. Essa característica nos remete ao princípio cosmológico perfeito da teoria do estado estacionário (BONDI; GOLD; HOYLE, 1948). Conclui-se que, respeitado o princípio da inércia, o modelo de expansão escalar pôde ser testado e mensurado. Se o crescimento contínuo existe, nos moldes aqui propostos, nós, como observadores, temos uma percepção incompleta da realidade. Abaixo está uma revisão, em detalhes, das simplificações realizadas na eq. (13) e os significados físicos de cada termo.
18 Adaptado de Baumgratz 2003
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Velocidade do corpo P após ser solto. Posição inicial do corpo P.
Tempo
Raio inicial – sempre constante para o observador.
r0 H r0 H ln t r t
0
A expansão no denominador adapta a percepção do observador ao sistema expansivo. ho Distância do solo vista pelo observador. 19 Figura 4 - Detalhes da eq. (13) e significados físicos de cada termo.
Adaptado de Baumgratz 2003
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Implicações da expansão sobre o raio, massa, volume e densidade.
A seguir serão feitas algumas considerações, úteis para desenvolvimentos subsequentes, sobre as implicações da expansão nas medidas lineares, volumes, massa e densidades. O raio de um círculo é uma medida linear, uma grandeza física fundamental (L) de comprimento. A constante de expansão ξ expressa uma variação das medidas lineares
L
f
L0 t , o comprimento final é igual ao comprimento inicial multiplicado pela expansão.
Com a mesma constante pode-se representar o aumento de volume, pois esse é função do cubo
das medidas lineares de um corpo, V L3 .
V f L0 t
3
V f L0 3 3
t
3 Mas L0 V0 , portanto V f V0 3 . O volume final é igual ao volume inicial multiplicado
t
pelo cubo da expansão. A constante de expansão usada para expressar uma variação linear nas medidas de um corpo, quando elevada ao cubo, expressa sua expansão volumétrica. Densidade é a relação entre massa e volume sendo uma característica constante para cada corpo, porém em um sistema expansivo o volume varia, então a massa deve variar na mesma proporção para que a densidade seja percebida como constante pelo observador. Sendo d = densidade; V = volume (variável); m = massa. Se existe V , deve existir m tal que d seja constante, m d V
m0
3t
d
V0
3t
mf Vf
Portanto a massa final é igual à massa inicial multiplicada pelo cubo da constante de expansão elevada ao tempo. m f m0 .( ) 3t
A constante de expansão ξ usada para expressar uma variação linear (L) nas medidas de um corpo quando elevada ao cubo ξ3 pode expressar também a sua variação de volume (V) ou de massa (m) conforme a situação desejada.
20 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Um observador pertencente ao sistema expansivo não pode perceber, de maneira direta, o aumento de massa pelo mesmo motivo que não vê o crescimento dos corpos.
Gravitação e expansão atuando sobre um pêndulo , o modelo de interação.
Se a gravitação não existisse o experimento de Cavendish não seria passível de ser realizado, portanto deve-se estudar como a gravitação e a expansão interagem. Os estudos sobre atração gravitacional não são realizados sobre experimentos de queda livre, mas baseados no período de oscilação de um pêndulo, portanto o estudo das forças de expansão que atuam em um pêndulo permitirá inferir sobre a resultante das forças de gravitação e expansão. Porém, antes do pêndulo é conveniente analisar um exemplo clássico de movimento acelerado. Supondo que uma lancha, com movimento acelerado, puxa um esquiador. Quando ele estiver deslocado de um ângulo Ө em relação à direção do movimento - ver Figura 5 - a aceleração da lancha criará uma força que tenderá a levá-lo à posição de equilíbrio.
A aceleração da lancha produz uma força radial, é a responsável pela aceleração centrípeta que obriga o esquiador a mover-se num arco de círculo em relação à lancha. A sua componente, sobre a perpendicular à direção do movimento da lancha, é a força restauradora, que age sobre o esquiador, tendendo a fazê-lo voltar à posição de equilíbrio.
Figura 5- Forças que atuam sobre um esquiador puxado por uma lancha acelerada.
21 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Sendo: m = massa do esquiador a = aceleração da lancha
= comprimento da corda do esquiador A força restauradora será:
F m a sen Se o ângulo Ө é pequeno, sen ≈ A elongação medida ao longo do arco que descreve o esquiador é x e como o ângulo é pequeno, o movimento é aproximadamente retilíneo, sendo assim, x
sen , F m a
ma x
Portanto, quando a elongação é pequena ( é pequeno) a força restauradora é proporcional e de sentido oposto à elongação que pode ser considerada retilínea. Esta é a característica dos movimentos harmônicos simples. A constante (m a ) / equivale a constante K em F K x , então pode-se usar a equação do período para movimentos harmônicos simples e dizer que o esquiador oscila (enquanto a lancha estiver aumentando a velocidade) em torno do ponto de equilíbrio com o período constante de T 2
m m a /
T 2
a
Este exemplo do esquiador é semelhante ao caso da expansão atuando sobre um pêndulo simples para pequenas elongações. Essa semelhança permite estudar mecanicamente a interação entre expansão e gravitação.
Expansão atuando sobre um pêndulo simples.
A Figura 5 mostra um pêndulo de comprimento e de massa m, fazendo um ângulo com a vertical. As forças aplicadas em m são a força da gravidade dirigida para baixo e a força de expansão dirigida para cima no fio É possível estudar mecanicamente cada uma dessas forças e como interagem. 22 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Admite-se que o pingente do pêndulo está rente ao solo durante as oscilações, e que é pequeno, então H b será pequeno em relação ao raio do planeta e a expansão deste último pode ser representada por um polinômio de Taylor de 2o grau.
Figura 6 - Forças de expansão e gravitação atuando sobre um pêndulo simples.
A aceleração instantânea de expansão do planeta produz uma força radial sobre a massa do pêndulo, chamando esta de F , e a aceleração de a , pode-se escrever F m a . Como a rb ln
2
então F m rb ln
2
Ao se decompor esta força encontra-se a força restauradora que será: F m rb ln sen 2
23 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Ela é negativa por ter o sentido oposto ao movimento. Como se admitiu que é pequeno, então
sen e a elongação medida ao longo do arco será x . Sendo o movimento aproximadamente retilíneo, a força restauradora ficará: m rb ln x 2
F
(18)
Portanto, quando a elongação é pequena, a força restauradora, produzida pela expansão, é praticamente tangente ao arco de círculo descrito pelo pêndulo, é proporcional e de sentido oposto à elongação, que pode ser considerada retilínea, esta é a característica dos movimentos harmônicos simples.
Gravitação atuando sobre um pêndulo simples.
Já é do conhecimento geral que entre os sistemas que efetuam movimento harmônico simples, o gravitacional é um deles, sendo amplamente discutido nos textos de oscilações dos livros clássicos de Física. Neste trabalho, a única modificação a ser introduzida é em relação ao símbolo g, normalmente empregado nos estudos de gravitação, que será substituído pelo símbolo a g e sua definição é: a g = aceleração de um corpo, produzida pela atração gravitacional da massa do planeta atuando
sobre ele, tem as dimensões L / T 2 , é um vetor, não é universal e nem é constante, pode-se admitir a mesma definição do g clássico para ela. A força restauradora produzida pela gravitação, simbolizada por Fg , será,
Fg
m a g
x
(19)
Sabe-se que, para uma elongação pequena, a força restauradora produzida pela gravitação é proporcional e de sentido oposto à elongação, que pode ser considerada retilínea, sendo sempre tangente ao arco de círculo descrito pelo pêndulo. Esta é a característica dos movimentos harmônicos simples.
24 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Discussão sobre a resultante entre forças de gravitação e expansão.
A Figura 6 mostra que o pêndulo está sujeito a duas forças restauradoras e a resultante será a soma vetorial de ambas. Como o ângulo entre elas é , a resultante será Fg F cos . Recordando que foi considerado pequeno, então cos 1, isto significa que F tende a ser tangente ao arco de círculo, assim concorda em direção e sentido com Fg . A resultante buscada será a soma escalar de ambas. Fg F cos Fg F
(20)
Substituindo (18) e (19) em (20), Fg F
m a g a x
Como m ag a / é uma constante para o observador, podemos equipará-la à constante K em F K x do MHS, infere-se que a força resultante também se enquadra no movimento harmônico simples. O período de um pêndulo nesta situação será
T 2
m 2 m a g a
2 ag a g
Conclusão: o g da Terra, obtido a partir do período de um pêndulo simples, é na realidade a soma da aceleração instantânea de expansão com a gravitacional. É comum dizer que a queda de um corpo reflete a atração gravitacional do local, geralmente representada pelo símbolo g ou . Como a palavra "atração" possui uma conotação de forças que agem à distância, o melhor é substituí-la por "aproximação" ficando o termo "atração" restrito ao conceito de força gravitacional no sentido Newtoniano. A expansão obriga-nos a redefinir as acelerações envolvidas na queda livre: a = aceleração de expansão = é a aceleração, originada pela expansão. É obtida por meio da
segunda derivada da equação de expansão: a r H ln
2
25 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
a g = aceleração de atração gravitacional = representa a força de “atração” da massa do
planeta sobre o corpo. É definida, na Física, a partir da lei de gravitação de Newton e, neste trabalho, será representada por a g . Sua equação, já bem conhecida, é: ag
GM r2
G = constante universal de gravitação; M = massa do planeta; r = raio do planeta, supondo-o esférico. g = aceleração de aproximação ou de queda, pode ser considerada a resultante entre a e a g no caso do movimento pendular, mas na queda livre deve ser tratada de outro modo, são portanto duas situações diferentes, mas sua equação geral será g a ag
Existe uma diferença física entre a resultante g obtida pelo pêndulo e no movimento de queda. Nos pêndulos, a aceleração a é transmitida através do fio de sustentação à massa do pingente puxando-o; este reage a ela com sentido oposto, isto é, da superfície para o centro da Terra, portanto concorda em sentido com a g (atração gravitacional) exercida sobre a mesma massa. Ambas as acelerações estão sobre o mesmo corpo, então existe uma resultante que é: g a ag se é pequeno, como foi suposto no início, então g a ag
Na queda livre temos uma situação semelhante àquela encontrada na cinemática do movimento relativo de dois veículos em posições diferentes e já discutida na página 11 (aproximação h entre a superfície da Terra e o corpo). A aceleração relativa entre eles será a diferença de suas acelerações, nota-se que não há uma aceleração resultante de duas forças atuando sobre o mesmo corpo. A superfície do planeta em expansão é que se aproxima do corpo. Durante a queda, o corpo não possui nenhum componente de aceleração de expansão. Como ag é oposta à a do planeta, deve-se considerá-la negativa, e a aceleração relativa entre os pontos será a diferença entre suas acelerações: g a ag
=>
g a ag
26 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
É importante perceber que, em movimentos de queda muito longos, não se pode desprezar a velocidade adquirida da expansão pelo corpo, portanto um polinômio de Taylor de 2o grau não seria adequado para representá-la, seria necessário usar um polinômio de grau maior de acordo com a precisão desejada. Conclui-se que, dentro de certas condições, o valor de g, seja ele obtido por um pêndulo ou por uma queda livre, é a soma aritmética do valor absoluto da aceleração de expansão e gravitacional. As condições limitantes estabelecem que: os deslocamentos de queda devem ser pequenos em relação ao raio do planeta; a oscilação do pêndulo deve ter elongação pequena; o corpo em queda deve ter dimensões insignificantes em relação ao planeta permitindo desprezar sua a expansão e considerá-lo como um ponto material. Uma análise detalhada do período do pêndulo indica que ele independe da expansão que afeta seu comprimento . Estudando por partes a fórmula do período tem-se que:
Comprimento
Esse só é constante para um observador em expansão. De acordo com a expansão, por ser uma
grandeza linear, deve variar em função de t e será representado por t .
Aceleração de expansão a
Já foi visto que é constante somente para o observador, mas ela varia em função de t e será representada por a t .
Aceleração de atração gravitacional a g
Essa se origina da teoria gravitacional de Newton, ag G
m r2
A constante gravitacional (G)
A constante universal de gravitação G tem por unidade m 3 / kg s 2 ou seja, suas dimensões em termos de grandezas físicas fundamentais são comprimento (L), massa (M) e tempo (t), então com base na definição da expansão será:
L 1 L . M t M t t 3 3t
3
2
2
27 Adaptado de Baumgratz 2003
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Percebe-se que a constante G não tem sua expansão algebricamente visível, isso não quer dizer que ela não está sujeita à expansão, mas é uma das grandezas físicas derivadas que apresentam esta particularidade.
Massa do planeta (m)
Sabe-se que a massa varia em função de 3t então
m 3t
Distância (r)
Sabe-se que
r
t 2
As condições definidas para G, m e r ao serem substituídas nas na fórmula de Newton resulta em uma aceleração de atração gravitacional como sendo; ag G
m t r2
Assim é possível deduzir que a g , embora mostre-se constante para o observador, varia devido à expansão e sua representação será:
a
g
t
Se as condições de expansão definidas para , a e a g forem incluídas na fórmula do período do pêndulo tem-se que
t T 2 a ag t
=>
T 2
a a g
Conclui-se que o período do pêndulo independe das variações produzidas pela expansão para as condições pré-estabelecidas. A constante G foi obtida pela primeira vez por Lorde Cavendish em 1798, pelo método de deflexão máxima. A hipótese da expansão pôde ser tratada como um ramo da mecânica, assim como a teoria da gravitação também costuma sê-lo devido à proporcionalidade entre força gravitacional e massa. A equivalência entre massa inercial e gravitacional é que permite ao 28 Adaptado de Baumgratz 2003
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período do pêndulo ser independente da massa do pingente. No sistema gravitacional e expansivo, existem duas acelerações atuando sobre um corpo. Considerando que ele possui uma massa m seu peso será P m a ag , então, mesmo existindo a expansão, é possível calcular a massa inercial de um corpo a partir de seu peso, pois m P a ag . A proporcionalidade que existe no modelo Newtoniano, entre força gravitacional e massa, permanece quando o g medido na superfície da Terra for o resultado de uma força de expansão e gravitacional atuando sobre a massa de inércia do corpo. Nota-se que a força Peso possui uma característica singular, ela é o resultado de duas forças atuando juntas: P F Fg ou P m a m ag , porém F não existe quando o corpo está em queda livre. Essa questão foi introduzida na pag. 26, mas para complementar vê-se que: A força Fg m ag é a proposta de Newton para a teoria da gravitação, essa é uma força que age à distância sobre um corpo em queda livre e portanto produz a aceleração em questão. A força F m a surge da aceleração de expansão da superfície da Terra e não é uma aceleração de um corpo em queda, só passará a existir como força quando ele estiver conectado fisicamente ao planeta. Em outras palavras pode-se dizer que um corpo, em queda livre, estará sujeito somente à força de atração gravitacional e seu peso deverá ser P m ag , contudo no momento que tocar o solo ou de alguma forma estiver ligado à Terra, pode ser através do cordão de um pêndulo ou da mola de uma balança, a expansão da Terra passará a atuar sobre ele e seu peso será P m a ag . O g aqui adotado tem os mesmos valores numéricos do antigo g de Newton, e pode ser obtido a partir do período de um pêndulo, só o seu conceito foi alterado por incluir a expansão. Ainda se pode calcular a massa inercial de corpos na superfície da Terra a partir dele, mas não se pode calcular a massa da Terra somente com o valor de g, antes deve-se descontar a expansão para que a massa da Terra não fique superestimada, cumpre lembrar que passamos a ocupar a condição de observadores, estamos submetidos à expansão e suas invisibilidades. Considerando que g a ag
a r ln
2
Teoria da expansão
29 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
ag
Gm r2
Teoria gravitacional
Então a massa da Terra (m) será:
g r ln r 2
m
2
G
.
A constante de expansão será:
g
Gm 2 r ln 2 r
(21)
g r 2 Gm 1 / 2 r3
e
Na eq. 21 a constante de gravitação G é conhecida, o valor da aceleração de aproximação g é obtido por medição direta no local com o uso de gravímetros, o raio pode ser conhecido para qualquer latitude com base no modelo de elipsoide de revolução, as incógnitas são a constante de expansão e a massa da Terra m. Situações que permitam montar um sistema de equações resolveriam a questão e elas ocorrem nos seguintes casos: 1o) O valor de g varia em função da latitude. A Terra é ligeiramente elipsoidal, seu raio, em diferentes latitudes, é conhecido, assim como sua velocidade angular. 2o) O valor de g varia em função das densidades do subsolo. 3o) O valor de g varia em função da altitude.
Estudo das variações da gravidade na superfície da terra.
Principais parâmetros a serem observados.
Adota-se o modelo do Geodetic Reference System 1967 (GRS67), publicado pela International Association of Geodesy – 1971 (IAG, 1971). O motivo é que o presente trabalho usa, como
30 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
referência para o estudo da expansão, trabalhos de gravimetria que adotaram o GRS 67 na determinação de anomalias gravimétricas na superfície terrestre. Considera-se o centro do planeta como o centro do sistema de referência inercial, é o ponto central de expansão do planeta. Os parâmetros importantes para esse trabalho são: A Terra é um elipsoide de revolução com raio vetor expresso por:
r
a
cos b 2 sin a cos 2 b sin 2 2
2
2
(22)
r = raio para latitude ;
a = 6 378 160 m semieixo maior do elipsoide; b = 6 356 774,516 m semieixo menor do elipsoide;
= latitude no ponto considerado;
γe = 9,78031845 ms-2 gravidade teórica no equador; γp = 9,83217719 ms-2 gravidade teórica nos polos;
Fórmula da gravidade teórica (GRS 67).
67 e (1 0,005278895 sin2 ( ) 0,000023462 sin4 ( )) O movimento de expansão está sobre o raio vetor, com sentido do centro para a superfície, ou seja, ele passa a ter o mesmo significado que tinha o raio do círculo em expansão nos exemplos anteriores. Considera-se que o centro de massa está no centro geométrico modelo elipsoidal.
A gravidade na região polar.
Estudo da aceleração gravitacional ag no polo da Terra.
Nesse caso específico (considera-se nulo o movimento de rotação) tem-se a atração gravitacional dirigida para o centro do planeta, com direção radial e sentido da superfície para 31 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
o centro conforme o conceito Newtoniano de força de atração gravitacional. Não está sendo considerada, ainda, a deformidade do modelo e admite-se a Terra esférica com raio b.
ag
GM b2
G = constante universal de gravitação M = massa da Terra Direção: Radial. Sentido: Da superfície para o centro.
Estudo da aceleração de expansão a no polo da Terra.
A aceleração de expansão origina-se do movimento da superfície do planeta com direção radial e sentido do centro para a superfície. Para um corpo no polo pode-se desprezar a rotação, embora ela implique em um momento. Esta expansão, ao atuar em um corpo sobre a superfície da Terra, devido à lei de ação e reação, manifesta-se como uma força de igual intensidade e sentido contrário, isso é; direção radial e sentido da superfície para o centro. a b ln
2
Direção - radial Sentido - da superfície para o centro
Estudo da aceleração resultante g p no polo da Terra.
Se as acelerações a g e a têm mesma direção e sentido e seus módulos são conhecidos, a resultante será a soma algébrica de ambas. g p a g a
Como é nulo o ângulo entre elas por substituição encontra-se
gp
G.M
b
2
b ln
2
(23)
32 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
O valor da aceleração resultante pode ser obtido diretamente através de um gravímetro na latitude de 90º, essa é a mesma eq. (21), porém aqui se refere especificamente ao g polar da Terra.
A gravidade no equador.
As eqs. (21) e (22) têm duas incógnitas, a expansão e a massa real da Terra e só se aplicam na região polar. É necessário um sistema de equações para resolvê-las, porém as soluções em qualquer outra latitude devem considerar o movimento angular da Terra.
Estudo do movimento de um ponto no equador da Terra em expansão.
Para o equador, como existe uma velocidade angular, pode-se trabalhar com um sistema de coordenadas polares. A equação de expansão do raio é rt r t , sendo r o raio da Terra a 0º de latitude. A velocidade angular é w e o ângulo polar , então o tempo de rotação será;
w t t / w Substituindo t na equação de expansão e tendo o raio equatorial representado por a (GRS 67) a eq. de expansão do raio será
rt a w
(24)
Essa é a equação, em coordenadas polares, para o movimento de um ponto no equador da Terra em expansão. O raio vetor é rt e o seu ângulo polar. Como a, e w são constantes, essa equação descreve uma espiral logarítmica. É uma curva que fascinou muitos matemáticos e naturalistas. O movimento em forma de espiral logarítmica confere ao corpo uma direção de movimento que não é radial. Passa a existir entre as duas acelerações ( a g e a ) um ângulo , a resultante de aceleração será a soma vetorial delas.
g e a g a Então, 33 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
2
ge
ag
2
a
2
2 a g a cos
(25)
Estudo da aceleração de atração gravitacional (a g ) no equador.
A atração gravitacional a g tem direção radial e sentido para o centro do planeta. Sua intensidade é calculada pela equação a g G M / r , r é o raio vetor e a aceleração está 2
sobre ele. ag
GM
a 2
(26)
Direção - sobre o raio vetor; Sentido - para o centro
Estudo da aceleração de expansão a no equador.
Em coordenadas cartesianas, as equações paramétricas de um ponto na superfície em expansão de um círculo que possui velocidade angular constante e raio a são:
x a t cosw t y a t senw t Da cinemática sabe-se que o vetor velocidade instantânea é tangente à curva e seu módulo é
2
dy dx v dt dt
2
A derivada da equação da velocidade é a aceleração instantânea que se procura, então: dv a dt
Sendo x e x a primeira e segunda derivada de x em relação a t, idem para y, a equação da velocidade passa a ser representada por 34 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
v
x2 y2
A aceleração como derivada da velocidade será a
dv x x y y dt x2 y2
Calculando a primeira e a segunda derivada das equações paramétricas:
x a t ln cosw t t senw t w
x a t ln cosw t 2 ln senw t w cosw t w2 2
y a t ln senw t t cosw t w
2 y a t ln senw t 2 ln cosw t w senw t w2
Fazendo t 0 , pois para nós (observadores) é este o instante que interessa, encontra-se
x a ln
2 x a ln w2
y a w y 2 a ln w
Substituindo essas derivadas paramétricas na equação da derivada da velocidade, encontra-se a aceleração de expansão da superfície do planeta. Ela manifesta-se sobre um corpo colocado na superfície da Terra com igual intensidade e sentido oposto, nesse caso, vetor aceleração será representado por:
a a ln
ln 2 w2
(27)
Direção – sobre o vetor expansão no ponto dado. Sentido - contrário ao movimento de expansão.
35 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Estudo do ângulo μ entre a g e a no equador.
Como a g está sobre o raio vetor, torna-se fácil conhecer o ângulo entre elas. Com base no cálculo diferencial, sabe-se que, quando se trabalha com coordenadas polares, a derivada do raio vetor em relação ao ângulo polar é igual ao produto da longitude do primeiro pela cotangente do ângulo formado pelo raio vetor e a tangente à curva no ponto dado sendo, nesse caso, o ângulo procurado (ver Piskunov, N. Calculo Diferencial e Integral, "Teorema da Derivada do Raio Vetor em Relação ao Ângulo Polar"), pois a aceleração gravitacional está sobre o raio vetor. Em coordenadas polares, a equação desse movimento é rt a
/w
a = é o raio no equador (GRS67), visto pelo observador como constante; Por ser rt a representação do raio vetor e função de um ângulo , adota-se para ele a simbologia
r , então a equação acima será mais bem representada por: r a
/w
Derivando r em relação à encontra-se que: r a
/w
ln
1 w
O teorema da derivada do raio vetor em relação ao ângulo polar estabelece a seguinte condição para o ângulo :
r r cot
r tg r
Substituindo as equações que definem r e r na equação acima chega-se à:
a
/w
a
/w
1 ln w
tg
36 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Portanto
w . ln
arctg
(28)
Pode-se ver que o ângulo , formado entre o raio vetor e a aceleração de expansão, é constante no respectivo ponto, pois independe de t e tanto w como são constantes.
A aceleração resultante g e no equador.
A resultante desse movimento pode ser conhecida substituindo as eqs. (26), (27) e (28) na eq. (25). 2
ge
2
G M 2 a ln a
ln 2 w 2
2G M
a 2
2
w ln
ln 2 w 2 cosarctg
a ln
(29)
A gravidade para qualquer latitude.
Torna-se necessário conhecer uma equação geral que dê o valor de g em qualquer latitude.
Movimento de um ponto em qualquer latitude da Terra em expansão.
Foi visto que um ponto no equador descreve uma espiral logarítmica, uma curva plana. Em latitude maior, que não seja 90o, esse ponto descreverá uma helicoide logarítmica, uma curva espacial. Existe um ângulo ν entre o vetor aceleração de expansão que forma a helicoide e o vetor aceleração gravitacional, paralelo ao raio vetor. O ângulo ν é função da latitude da velocidade angular e da expansão. As acelerações ag e aξ podem ser conhecidas em módulo, direção e sentido para cada latitude. A resultante gφ depende do ângulo ν, ela será:
g
2
a g a
2
2 a g a cos
(30)
g = aceleração resultante para qualquer latitude. 37 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Estudo da aceleração gravitacional ( a g ) para qualquer latitude.
A aceleração a g está dirigida para o centro, ou melhor, está sobre o raio vetor1, direção radial e sentido para o centro. Seu módulo é ag
GM
r
2
(31)
r = raio da Terra para a latitude dada.
Direção – radial, paralela ao raio vetor. Sentido - para o centro.
Estudo da aceleração de expansão a para qualquer latitude.
Um ponto na superfície da Terra, em uma latitude fixa, estará a uma distância r do centro, as coordenadas espaciais, deste ponto, dependem do raio vetor formado pela rotação e expansão da Terra. As equações paramétricas deste ponto serão:
x r t cosw t cos t y r senw t cos t z r sen Os eixos x e y formam o plano que passa pelo equador. O eixo z passa pelos polos Norte-Sul da Terra. O centro da Terra tem coordenadas (0, 0, 0) r = raio da Terra para a latitude
w = velocidade angular da Terra t = tempo
= latitude
1
A rigor, devido ao achatamento da Terra, ela não coincide com o raio vetor (exceto para 0 o e 90o), não tem sentido para o centro geométrico do modelo, mas no momento, admite-se este erro tão pequeno que pode ser desprezado. Adiante serão feitas algumas considerações sobre essas implicações no modelo.
38 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
O cálculo diferencial diz que a velocidade de um ponto em um instante dado é igual à 1a derivada do raio vetor deste ponto em relação ao tempo e pela regra de derivação de vetores, o módulo da velocidade será: 2
2
dr dx dy dz dt dt dt dt
2
A aceleração tangencial à trajetória é a 1a derivada da velocidade sendo ela a aceleração de expansão que se busca: dv a dt
Sendo x e x a 1a e 2a derivada de x em relação a t e idem para y e z, a equação da aceleração como derivada da velocidade será: dv x x y y z z a dt x2 y2 z2
Calculando a primeira e a segunda derivada das equações paramétricas:
x r cos t ln cosw t t senw t w
x r cos t ln cosw t t ln senw t w t ln senw t w 2
t cosw t w 2
y r cos t ln senw t t cosw t w
y r cos t ln senw t 2 t ln cosw t w t senw t w 2 2
z r sen t ln z r sen t ln
2
Fazendo t 0 (zero), pois para nós (observadores) é este o instante que interessa, as derivadas acima ficarão: x r cos ln 39 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
x r cos ln w 2 2
y r cos w y r cos 2 ln w
z r sen ln
z r sen ln
2
Substituindo estas derivadas na equação dv/ dt obtém-se a aceleração do movimento de expansão que define a helicoide.
a r ln
ln 2 w2 cos 2
(32)
O vetor a forma com o raio vetor um ângulo ν, por representar a expansão do círculo, tem sentido de dentro para fora, mas manifesta-se sobre o pingente do pêndulo com sentido contrário (lei de ação e reação). Direção – sobre o vetor expansão no ponto dado. Sentido - contrário ao movimento de expansão.
Estudo do ângulo ν entre a g e a em função da latitude.
Para latitudes diferentes de 0o e 90o, um ponto na superfície da Terra, em expansão, descreverá uma helicoide orientada sobre os eixos cartesianos x, y e z. A projeção dessa curva sobre o plano do equador formará uma espiral logarítmica onde o ângulo μ, já estudado, será a projeção do ângulo ν formado entre as duas acelerações. /w Em relação à helicoide tem-se que r representa o raio vetor dessa, se multiplicado pelo
cosseno da latitude, encontra-se sua projeção sobre o plano do equador, sendo assim, a equação r r
/w
cos é a equação em coordenadas polares de uma espiral logarítmica formada
pela projeção do raio vetor da helicoide sobre o plano do equador, para uma latitude determinada. O ângulo formado entre o raio vetor desta projeção e sua tangente é obtido através 40 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
do teorema da derivada do raio vetor em relação ao ângulo polar. Achando dr / d obtém-se
w , esse é o mesmo ângulo μ calculado no caso o ângulo em questão sendo igual a arc tg ln do equador; a espiral formada pela projeção da helicoide estudada independe da latitude, como diria Jacques Bernoulli "Eadem numero mutata resurgo". O estudo da helicoide permite obter o ângulo formado entre seu raio vetor e sua tangente em determinado ponto como função da latitude sendo:
arctgcos
w ln
(33)
A aceleração resultante g para qualquer latitude.
A resultante é dada pela eq. (30) sendo a g , a e ν as eqs. (31), (32) e (33) respectivamente, por substituição encontra-se a equação geral para qualquer latitude. g
GM r2
2
r ln
2G M r ln r2
ln 2 w cos 2
ln
2
w cos
2
2
w 2 cos arctg cos ln 1
(34)
Calculando o valor da constante de expansão.
A constante de expansão em um modelo homogêneo.
Isolando M na equação polar, eq. (23), e substituindo-a na do equador, eq. (29), restará como única incógnita a constante de expansão. Usando os valores das gravidades polar e equatorial, que são conhecidos, encontra-se 1,00043158 e M 5,23 10 24 kg . Mas existe um problema; essas duas equações admitem a mesma massa, é como se M fosse constante em todas as latitudes, isso não é desejável quando se trabalha com gravímetros pois a distribuição da 41 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
densidade no interior da Terra irá interferir na leitura obtida. O que se quer dizer é que essas equações interpretam leituras gravimétricas, e os gravímetros são influenciados pelo gradiente de densidades do modelo. Essa situação só seria válida para uma Terra perfeitamente esférica e de densidade homogênea. É necessário conhecer como a varia a densidade do modelo para incluí-la no valor de M. Estudos sobre a constituição interna do nosso planeta envolvem o conhecimento das pressões a grandes profundidades, por essa razão procede-se a uma breve análise da relação entre expansão e pressão.
Pressão e expansão.
Com base na estática dos fluidos sabe-se que em um recipiente com líquido que fosse colocado no interior de um foguete com aceleração a na vertical, terá a pressão no interior do fluido expressa por p p0 h g a , sendo a densidade, h a profundidade, g a atração gravitacional clássica, a é a aceleração na vertical e p0 é a pressão na superfície. Já foi visto que a expansão é uma aceleração do centro para fora, funcionando da mesma forma que a aceleração na vertical mencionada acima, então a pressão no interior do planeta pode ser expressa por p p0 h a g a , como ag a g , percebe-se que a expansão tornase responsável por parte da pressão. Devido às características da expansão, a pressão passará a ser percebida pelo observador (em expansão) como uma constante, desprezando a pressão na superfície então p h g h ag a
A expansão afetando a distribuição de densidades no interior de um modelo.
A teoria gravitacional clássica usando o valor de g permite calcular a massa da Terra, porém a teoria da expansão indica que ela deve estar superestimada quando calculada dessa maneira. É necessário descontar a aceleração de expansão do valor de g para se obter o valor correto de M. A massa superestimada será chamada de massa virtual M v , quando corrigida será possível obter a massa real M r . A relação entre as duas será M r M v M , portanto M é a diferença
42 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
entre elas. Igualmente para a densidade é possível escrever r v sendo a diferença entre as duas densidades, a real e a virtual. É interessante perceber como a expansão é dissimulada pela equação gravitacional clássica quando se estudam as densidades internas em um modelo esférico. No caso da Terra o g da superfície relaciona-se com a densidade através da clássica fórmula de Newton (g=M×G/R2). Como a massa M relaciona-se ao volume de uma esfera e sua densidade segundo a equação M
4 3 R 3
Então sendo um valor médio, tem-se que g
4 3 G R 2 3 R
Supondo que fosse possível cavar um poço até o centro da Terra para medir g a diferentes profundidades. A cada profundidade n ter-se-ia um raio interno R n igual ao raio do modelo diminuído da profundidade. A densidade n , sendo uma média, iria variar para cada posição n. As camadas esféricas externas, tendo componente nula, poderiam ser desprezadas, então a fórmula de Newton ficaria g
4 G Rn n 3
A teoria de expansão prenuncia que a densidade n está superestimada, isto é, trata-se de uma densidade virtual, portanto;
n v r Substituindo essa condição na equação anterior ter-se-á que g
4 4 G Rn r G Rn 3 3
43 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Como g a g a e a aceleração de expansão é dada pela expressão “R*(lnξ)2” (ver item 3.16) infere-se que o termo
4 G Rn é equivalente a ela, portanto 3 g
4 2 G Rn r Rn ln 3
ln 2 4 G 3
r é a densidade real para cada posição n, e pela teoria da expansão representa o excesso
responsável pela densidade virtual. Se o excesso de densidade estiver distribuído uniformemente pelas regiões internas do modelo passará a ser constante, e será possível isolar .
Como não é possível cavar tal poço, os pesquisadores recorrem a outras metodologias para analisar as densidades internas da Terra sendo a sismologia uma ferramenta importante, mas trata-se de um processo indireto de estudo que permite conhecer somente o gradiente de densidade. Bullen K. E. (1953), usando a sismologia, propôs um modelo de distribuição de densidades em função do momento de inércia e, logicamente, mas também infelizmente, seus resultados deveriam ser ajustados à massa da Terra obtida com base na teoria gravitacional. Considerando a teoria da expansão infere-se que seus dados foram "ajustados" a uma massa virtual, assim se conclui que o seu modelo mostra densidades virtuais, em outras palavras pode-se dizer que as densidades do seu trabalho estão superestimadas. Bullen dividiu a Terra em regiões de acordo com a profundidade e as nomeia por A, B, C, D, E, F e G. A região A é a crosta com 33 km de profundidade, as regiões B, C e D formam o manto que atinge 2898 km de profundidade e as regiões E, F e G constituem o núcleo, ele considerou a Terra esférica com 6371 km de raio. Se esse pesquisador obtivesse as densidades através de um método direto, a discrepância de massa entre seu modelo e a teoria gravitacional seria evidente, mas ele recorre à velocidade das ondas sísmicas e suas variações a grandes profundidades permitem conhecer somente o gradiente de densidade. Para se calcular a massa total é necessário pressupor uma densidade inicial no topo do manto, ele admitiu o valor de 3,32 44 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
g/cm3 no topo baseado em considerações sobre os minerais majoritários dessa região. Ressaltase que quando se supõe para o topo do manto uma densidade com excesso ele passará a ser incorporado às demais regiões como constante, assim o excesso de massa gerado pela teoria gravitacional não é distribuído de qualquer maneira pelo modelo de Bullen, mas de forma proporcional ao volume de cada região quando se leva em consideração a expansão. O momento de inércia da Terra é condição que deve ser respeitada pelo modelo de distribuição de densidades aqui proposto, mas para estudá-lo devem-se admitir três condições básicas: 1a) A expansão não afeta, de maneira significativa, os dados sismológicos usados por Bullen na determinação do gradiente de densidade do interior da Terra. 2a) O momento de inércia de um corpo em expansão pode ser tratado por um observador que também se expande de modo relativamente simples, isto é, como se ambos tivessem suas dimensões fixas, mas a massa usada no cálculo deve ser a real. 3a) A teoria gravitacional gera uma densidade superestimada para a Terra, o excesso de densidade é incorporado, como constante, a cada região do modelo de Bullen. Partindo dessas premissas é possível aplicar os conceitos da expansão sobre o trabalho de Bullen e determinar a massa real da Terra.
O gradiente de densidades de Bullen, o momento de inércia e a massa real da Terra pela ótica da expansão.
O momento de inércia de um corpo qualquer é dado pela fórmula I z M r R 2 sendo R o raio, z é uma constante e depende da distribuição de densidades no interior do corpo, M r é sua massa real. Convém enfatizar que se deve trabalhar com a massa real, não faz sentido usar valores virtuais (fictícios) de massa ou densidade no cálculo de I. Sendo V o volume do corpo e r sua densidade real, o seu I ficará
I z V r R2
45 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Porém a relação entre densidade real e virtual, discutida no item 5.3, diz que para a Terra o momento de inércia I deve ser expresso em função da massa real, sendo a densidade expressa por
r v Assim por substituição por ficará
I z R 2 V v z R 2 V v V A expressão “ V v ” representa a massa virtual “MV” do corpo, conforme item 5.3, então I z R 2 M v V ,
pois
M r M v V M v M . É dessa maneira que se deve trabalhar com o momento de inércia da Terra, crosta, manto e núcleo, individualmente, sendo a incógnita que se busca em função do conceito de expansão. Essa forma de alteração das densidades para cada região r v altera o valor de z na crosta, manto e núcleo. Caso seja relativamente pequeno, a variação de z será muito pequena e permitirá ajustar as densidades ao modelo de Bullen para que sejam compatíveis com a distribuição de densidades reais propostas pela expansão. Bullen propôs dois modelos que considera como casos extremos de distribuição de densidades e os chama de hipótese (i) e (ii), os conceitos da expansão serão aplicados sobre cada caso individualmente.
O momento de inércia da Terra I t . I t zt Rt2 M rt
(35)
M rt M vt Vt
(36)
M rt é a massa real que se busca. M vt é a massa virtual obtida da teoria gravitacional ou somando as massas da crosta, manto e núcleo que, segundo Bullen, para a hipótese (i) é de 46 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
5,9768. 1027 g e para (ii) é de 5,977. 1027 g. Por uma razão de coerência nos cálculos, opta-se por trabalhar com esses dois valores individualmente. Vt é o volume para o raio do modelo esférico de Terra de Bullen com Rt 6371 km. A constante z t origina-se do estudo sobre o movimento de precessão dos equinócios valendo 0,3308, conforme Tabela 3.
O momento de inércia da crosta I c . I c zc Rt2 M rc
(37)
M rc M vc Vc
(38)
Bullen tratou a massa da crosta de forma diferente a do manto e do núcleo. Para este trabalho, devido às implicações da expansão, seria perigoso adotar uma massa virtual para a crosta ( M vc ) que não fosse compatível com o modelo e também duvidoso estimar uma massa real ( M rc ) para ela. No sentido de amarrar esse trabalho ao de Bullen, admitiu-se uma densidade de 3,32 g/cm3 no fundo da crosta, a 33 km de profundidade, exatamente como Bullen admitiu para o topo do manto. Na superfície admitiu-se 2,2 g/cm3, pois estima-se essa como a densidade média de sedimentos superficiais. Supondo uma variação linear da densidade através da crosta e conhecendo seu volume fica fácil calcular a massa que será M vc = 4,592 1025 g, sendo essa uma massa virtual por estar vinculada a densidade adotada por Bullen. Não é redundante relembrar que Bullen adotou para a massa da Terra o valor obtido pela teoria gravitacional clássica, portanto todo o trabalho dele ficou vinculado a massas que, segundo a teoria da expansão, são virtuais, portanto admitiu-se que todas as massas usadas por Bullen são massas virtuais. A constante zc vem do estudo sobre precessão dos equinócios valendo 0,6631. O raio da crosta é o próprio raio da Terra, Vc é o volume da concha esférica com raio Rt e 33 km de espessura.
47 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
O momento de inércia do manto I m . I m zm Rm2 M rm
(39)
M rm M vm Vm
(40)
A massa do manto M vm e a constante z m , com base nas hipóteses (i) e (ii), encontram-se na Tabela 3, o raio Rm vale 6338 km e Vm é o volume da concha esférica de raio Rm e 2865 km de espessura.
O momento de inércia do núcleo I n . I n zn Rn2 M rn
(41)
M rn M vn Vn
(42)
A Tabela 3 mostra os valores das massas do núcleo M vn e as constantes z n para ambas as hipóteses de Bullen tendo raio Rn com 3473 km e V n o volume do núcleo para esse raio.
A massa real da Terra M rt .
O excesso de densidade é o mesmo para cada momento de inercia; I t , I c , I m e I n , pois admitiu-se que o excesso da massa virtual foi distribuído uniformemente para cada uma dessas regiões. É possível determinar , assim como a massa real da Terra, partindo da igualdade entre o momento de inércia da Terra e a somatória dos momentos de inércia dessas regiões, de maneira semelhante a feita por Bullen em
It Ic I m In 0
(43)
Trabalhando sobre (i) e (ii) com as equações que definem os momentos de inércia das regiões, eqs. (35), (37), (39) e (41), e os relacionam, eq. (43), pode-se isolar e obter assim como
M rt . Antes, porém, de calcular M rt , é necessário ajustar z para modelos que envolvam distribuições de densidades reais para cada hipótese. As densidades no interior da Terra, as 48 Adaptado de Baumgratz 2003
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massas e as constantes z do manto e núcleo, propostas por Bullen, mostradas na Tabela 3, estão representadas pelo símbolo de massas virtuais. Para a hipótese (ii) admitiu-se a densidade de 20,1 g/cm3 a 5121 km de profundidade, no seu trabalho original Bullen não fixou esse valor nessa profundidade, mas ele disse que poderia existir um salto da ordem de 10 g/cm3 entre 4982 km e 5121 km de profundidade. Admitiu-se também que, nessa faixa de profundidade, a densidade cresce linearmente. Tabela 3 - Valores das massas e das constantes z relacionadas ao momento de inércia para o manto e núcleo usadas por Bullen K.E. (1953) nas hipóteses (i) e (ii).
*
Hipótese (i)*
Hipótese (ii)*
M vm
4,04538 1027 g
4,08565 1027 g
zm
0,43537
0,43494
M vn
1,88550 1027 g
1,84543 1027 g
zn
0,38909
0,37298
M vt = 5,9768 1027 g
**
M vt = 5,977 1027 g
Conhecendo as massas virtuais, os valores de z, os raios e as equações que os relacionam, dados pelas eq. (35) até eq. (43), pode-se conhecer o primeiro valor de . Para corrigir z m e zn , é preciso subtrair obtido das densidades de cada profundidade em (i) e (ii) criando novos modelos de distribuição de densidades, o que permite recalcular os valores de z m e z n nesses novos modelos. Usando esses novos valores recalcula-se as equações do momento de inércia, mas as massas virtuais devem ser sempre as mesmas do modelo inicial (i) ou (ii), dadas na Tabela 3. Encontra-se um segundo que novamente é subtraído das densidades nos modelos originais (i) e (ii). Essa forma de recalcular permite criar outros dois modelos de distribuição de densidades encontrando novos valores para z m e z n . Agindo assim repetidamente, vê-se que , z m e z n convergem para valores fixos, é com base nesses últimos que se calcula M rt . Os
resultados desse processo de cálculo estão na Tabela 4. Nela estão colocados na primeira linha os valores propostos por Bullen com os quais se obtêm o primeiro valor de = 0,25 para a hipótese (i); colocado na segunda linha e primeira coluna. Com esse calcula-se novos z para 49 Adaptado de Baumgratz 2003
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manto e núcleo que estão na segunda linha e segunda e terceira colunas respectivamente. Com esses valores de z torna-se a calcular obtendo o valor de 0,17 para (i); colocado na terceira linha, primeira coluna, com ele é possível obter novos z do manto e núcleo, que estão na mesma linha e segunda e terceira colunas. Prosseguindo o cálculo chega-se a quinta linha onde se verifica que os valores convergem para 0,19; colocado na quinta linha, sendo possível calcular, finalmente, os valores de z para o manto e núcleo colocados nas colunas segunda e terceira da última linha. Para a hipótese (ii) procede-se da mesma forma, os resultados estão na quarta, quinta e sexta colunas da Tabela 4. Tabela 4 - Valores de zm e zn ajustados em função das alterações das densidades nos modelos (i) e (ii) de Bullen, K.E. (1953).
Hipótese (i)
Hipótese (ii)
(g/cm3)
zm
zn
(g/cm3)
zm
zn
-
0,43537*
0,38909*
-
0,43494*
0,37298*
0,25
0,43421
0,38883
0,29
0,43357
0,37221
0,17
0,43459
0,38892
0,19
0,43406
0,37248
0,20
0,43445
0,3889
0,23
0,43387
0,37238
0,19
0,4345
0,3889
0,21
0,43396
0,37243
* valores obtidos do modelo original proposto por Bullen.
Para a crosta não se ajusta zc , pois uma diminuição de 0,25 g/cm3 na densidade do modelo adotado resulta numa alteração insignificante de zc . Para a Terra inteira, também não se corrige z t , pois nesse caso ele foi estimado a partir do movimento de precessão dos equinócios. Finalmente, com os valores corrigidos de z para o manto e núcleo, obtém-se , a eq. (36) permite obter a massa real da Terra. Os resultados são: Hipótese (i) = 0,19185 g/cm3
M rt = 5,76899 1027 g
Hipótese (ii) = 0,21761 g/cm3
M rt = 5,74128 1027 g 50
Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Pode-se também calcular as massas reais da crosta, manto e núcleo usando as eqs. (38), (40) e (42), essas, quando somadas, resultam na massa real da Terra como era de se esperar. A diferença entre as massas reais totais das hipóteses (i) e (ii) é muito pequena, inferior a 0,5%, por essa razão optou-se por uma média entre elas como sendo a massa real da Terra a qual passa a ser de 5,755135 1027 g.
A constante de expansão em um modelo com densidade heterogênea.
Se a massa acima calculada for um valor real para a Terra, devido à excentricidade, não seria correto “colocá-la” a 0o de latitude, nem a 90o por motivos óbvios. O que se quer dizer com o termo “colocá-la” é que essa massa está sendo inferida da leitura em um gravímetro o qual deve estar em uma latitude específica entre 0º e 90º. A 45o também não seria o ideal devido à deformidade do modelo elipsoidal. Foi feita a opção por 44,595o para manter a certa coerência com as duas hipóteses de Bullen, pois nessa latitude a razão entre a massa polar da Terra, calculada com a eq. (34), e a massa da hipótese (ii) de Bullen é igual à razão entre a massa da hipótese (i) de Bullen e a calculada para o equador com a eq. (34). Os valores da gravidade para cada latitude foram obtidos com base na fórmula da gravidade teórica 67 do GRS67. Da igualdade 67 g 0 , e com os parâmetros de latitude e massa acima definidos, chega-se ao valor da constante de expansão ξ =1,00022920685 (expansões ao segundo). A latitude de 44,595º pôde ser obtida pelo método das tentativas e ajustes à razão entre as massas da hipótese (i) e (ii). Outra questão a ser levada em consideração é: como inserir na eq. (34), definida no item 4, a variação de massa, ou melhor dizendo, a distribuição de densidades do modelo? Se fosse possível colocar a Terra em uma balança, a massa obtida independeria tanto da distribuição de densidades no seu interior como também do seu formato, mas quando se usa um gravímetro essa distribuição passa a influir na leitura apresentando desvios do valor real de massa, mesmo quando corrigidos da rotação e expansão, o motivo é que a densidade da Terra não é homogênea. É necessário equacionar a variação de densidades extraídas da leitura de um 51 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
gravímetro, obtendo valores coerentes com a massa real, e incluir essa transformação na eq. (34). Considerando que, quando se usa dados de gravimetria, a massa teórica da Terra, para cada latitude , passa a ser função do seu volume V e da densidade teórica então se pode escrever M V
(44)
Substituindo eq.(44) na eq.(34) que é a equação de gφ, e subtraindo-a de γ67 que é a fórmula da gravidade teórica do GRS 67 (ver item 4.1), o resultado deverá ser zero, pois seus valores deverão ser equivalentes.
67 g 0 Essa eq. apresentará diferentes valores de densidade em função da variação da latitude, ou seja: existe um conjunto de dados que podem ser calculados, nos quais a densidade mostra-se função da latitude e são exibidos na forma matricial abaixo.
52 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
As densidades calculadas para cada latitude são:
(0) = 5.315,814514800 (15) = 5.315,42656631 (30) = 5.314,37402610 (45) = 5.312,95357501 (60) = 5.311,55306495 (75) = 5.310,54040716 (90) = 5.310,17240070 A solução desse sistema de equações é:
e 1 1,09148992 10 3 sen 2 3,030012105 sen 1,9312107 sen 4
6
(45)
Nesta matriz, e refere-se à densidade teórica no equador sendo igual a 5.315,8145148 kg/m3. A eq. (45) permite conhecer a densidade teórica da Terra para qualquer latitude do modelo adotado. Ela equivale ao valor da densidade obtida da leitura em um gravímetro, posicionado na superfície do modelo de elipsoide de referência, sem interferência de suas derivas, da expansão e da aceleração centrípeta na latitude considerada. Cumpre ressaltar que a calota elipsoidal da Terra representa em torno de 0,3% de toda a sua massa. Isso permite supor que a variação de massa (recordando que, neste trabalho, refere-se à massa percebida por um gravímetro em uma posição determinada) do polo para o equador não deveria ser superior a +0,3%. Usando a equação gravitacional de Newton e descontando a aceleração centrípeta encontra-se uma variação de massa do polo para o equador de +0,48% o que significa uma alta irregularidade na distribuição interna de densidades. De forma mais razoável, trabalhando com as eqs. (44) e (45) a variação de massa do polo para o equador é de somente +0,1%. Isso confere à teoria da expansão e a eq. de uma consistência lógica, baseada em aspectos físicos. Dessa forma ao substituir as eqs. (44) e (45) na eq. (34) obtém-se a equação da aproximação gravitacional para qualquer latitude. Os valores de “aceleração de queda” obtidos por ela são os mesmos que se consegue através da fórmula da gravidade teórica adotada pelo GRS67. 53 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Percebe-se que a expansão relaciona-se diretamente com as anomalias gravimétricas, então deve ser possível confirmá-la com base em outros trabalhos de gravimetria aplicada que discutam anomalias. Alguns desses trabalhos são os de Götze, H.J. et al 1988 e também de Hammer, S. 1950 que serão analisados.
A expansão gerando uma anomalia gravimétrica na correção ar-livre - Ca. A formula g está quase completa, ainda falta a altitude geométrica. É evidente que a expansão afeta a correção ar-livre - Ca, pois além de diminuir a massa da Terra ela também modifica a fórmula clássica da atração gravitacional. Sabe-se que, para uma estação gravimétrica colocada em uma altitude H, a Ca vai depender do gradiente vertical da aceleração da gravidade expresso por dg / dH . Como a teoria da expansão propôs que g a g a , então a Ca passará a ser
da g da H C a dH dH Nessa expressão o termo igualdade
da dH
da dH
refere-se ao gradiente vertical da expansão, portanto é válida a
ln . Admitindo o novo valor da massa da Terra, estabelecido no item 5 na 2
pág. 51, e para H dado em metros, a nova correção ar-livre em miligal será
Ca 0,2975 H 0,0053 H Vê-se que existe uma correção no sentido gravitacional propriamente dito e uma correção relacionada à expansão, o resultado será
C a 0,2922 H A anomalia ar livre – AAL, que já faz parte dos estudos geodésicos convencionais, passará a incorporar o novo valor de Ca e será, portanto, expressa por: AAL g 0,2922 H
Na eq. da AAL a gravidade observada é representada por g, e a gravidade teórica por . A anomalia ar-livre é particularmente interessante quando se quer determinar a densidade das rochas subjacentes a determinado perfil. Esse método baseia-se na regressão dos dados de AAL 54 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
em função da altitude desde que a anomalia de Bouguer mantenha-se estável. O coeficiente angular da reta encontrada dará a densidade das rochas do perfil estudado. Quando se trabalha com a expansão é possível calcular Ca e AAL de modo mais direto: somase a altitude geométrica H ao raio vetor, r , da eq. (34) que é eq. de gφ (é bom recordar que já foram introduzidas nela as eqs. (44) e (45)). Sendo gφ função da latitude e altura seria melhor representá-la por g , H . Em uma latitude fixa e altura x o cálculo de Ca será a diferença entre g , H para H=0 e H=x.
Ca g ,0 g ,x
Portanto, a anomalia ar-livre também pode ser expressa por AAL g g ,H
A equação g , H não é uma simples fórmula teórica, pois ela permite obter a aceleração da gravidade na superfície do elipsoide com uma precisão de 99,9% devido a fatores puramente mecânicos (gravitação, expansão e rotação), somente 0,1% deve-se a alterações da densidade percebidas como consequência do achatamento do elipsoide e distribuição nas densidades internas.
Confirmação da expansão pela anomalia ar-livre. Götze, H.J. et al (1988) realizaram uma prática de campo, publicada em sua apostila “Aplicaciones de Gravimetria em Geologia” (pág. 51 – 65) para o curso de pós-graduação da Universidade Nacional de Salta. Eles investigaram um perfil de 320 m chamado por eles de perfil 1, atravessando o Rio San Lorenzo, com rumo mais ou menos Norte-Sul. Uma das metas propostas era observar se existiam anomalias na densidade dos sedimentos e, se possível, determinar a densidade desses através do método de regressão linear dos dados de anomalia ar-livre. Os resultados obtidos por eles não foram compatíveis, pois a regressão mostrou uma densidade superficial de 2,64 g/cm3, contrariando a expectativa de 2,2 g/cm3 para esses sedimentos superficiais quando obtidas em laboratório. Para a interpretação desses resultados, “não muito satisfatórios”, os autores admitiram duas possibilidades: 1a) A precisão das medições não foi suficiente por ser o método usado muito sensível. 55 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
2a) O gradiente vertical (calculado com a correção ar-livre de 0,3085 mgal/m) está alterado por massas topográficas e/ou por massas anômalas regionais no subsolo e não detectadas na anomalia de Bouguer por ser o perfil muito curto. É exatamente sobre esta 2a interpretação, dada pelos autores, que pode-se cogitar sobre a interferência da expansão. Foi visto que a correção ar-livre foi modificada pela teoria da expansão, então é possível, com base no levantamento feito por Götze, calcular a nova anomalia ar-livre (com expansão), os resultados permitirão uma reinterpretação de seu trabalho. Os dados gravimétricos observados pelos referidos autores, seguidos das reduções com base na expansão, são mostrados na Tabela 5 a seguir. Tabela 5 - Reduções ar-livre e de Bouguer com base na teoria da expansão dos dados gravimétricos do perfil 1, obtidos por Götze, H.J. et al (1988).
Est.
d
H
G
(1)
(2)
(3)
(4)
1
0,0
0,0
2
19,1
3
Ca
AAL
Cb
AB
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
–1,408
0,31
0,012
–0,411
–0,11
0,130
0,02
36,8
–1,771
0,35
0,023
–0,517
–0,19
0,163
0,03
4
53,9
–2,196
0,43
0,033
–0,642
–0,25
0,202
–0,04
5
70,8
–3,402
0,66
0,044
–0,993
–0,38
0,314
–0,07
6
89,1
–6,967
1,40
0,055
–2,036
–0,69
0,642
–0,05
7
108,7
–8,103
1,65
0,067
–2,368
–0,79
0,747
–0,03
8
127,8
–7,876
1,65
0,079
–2,301
–0,73
0,726
0,00
9
147,9
–7,735
1,63
0,091
–2,260
–0,72
0,713
–0,01
10
168,0
–7,341
1,52
0,104
–2,145
–0,73
0,677
–0,05
11
188,2
–7,114
1,47
0,116
–2,079
–0,73
0,656
–0,06
12
205,9
–6,338
1,32
0,127
–1,852
–0,66
0,584
–0,08
13
224,9
–5,140
1,14
0,139
–1,502
–0,50
0,474
–0,03
14
243,6
–5,083
1,12
0,150
–1,485
–0,51
0,469
–0,04
15
262,2
–4,768
1,09
0,162
–1,393
–0,47
0,440
–0,02
16
281,1
–4,551
1,05
0,173
–1,330
–0,45
0,420
–0,03
17
300,1
–4,390
1,02
0,185
–1,283
–0,45
0,405
–0,05
18
320,4
–2,406
0,58
0,198
–0,703
–0,32
0,222
–0,09
56 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
As colunas dessa tabela são: (1) Número da estação usado por Götze. (2) Distância da estação nº 1 obtida por Götze. (3) Altura em relação à estação nº 1 obtida por Götze. (4) Valor do gradiente de gravidade observado por Götze. Admite-se a estação nº 1 zerada. (5) Valor
do
gradiente
teórico
calculado
por
Götze
através
da
fórmula
0,00081 sen2 d , sendo , a latitude do ponto de referência, e d, a distância
Norte-Sul da estação da referência dada na coluna (2). (6) Correção ar-livre calculada com expansão, isso é C a 0,2922 H . (7) Anomalia ar-livre, calculada com expansão e Ca da coluna (6). (8) Correção de Bouguer para uma densidade de 2,2 g/cm3. (9) Anomalia de Bouguer, calculada com base nos valores das colunas (7) e (8). A regressão linear dos dados da AAL, em função da altura H, apresentou um coeficiente de correlação de 0,99 e solução: AAL 0,0287268 0,094272 H
portanto a densidade dos sedimentos usando o método da anomalia ar-livre será: 0,04191 0,094272
2,25 g/cm3
Esse resultado é significativamente próximo da densidade esperada por Götze para os sedimentos superficiais e pode-se reinterpretar o seu trabalho afirmando que: 1o) A precisão das medições realizadas pelos autores, acima mencionados, foi suficiente. 2o) Não existem massas anômalas alterando a correção ar-livre. 3o) A teoria da expansão é confirmada através da nova correção ar-livre.
Os geodesistas encontram certa dificuldade em ajustar dados de gravidade às densidades obtidas em trabalhos geológicos regionais, a teoria da expansão permite reformular esses estudos. A 57 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Tabela 6 compara a anomalia ar-livre entre o sistema tradicional (A) e as modificações aqui propostas (B) em diferentes localidades. Tabela 6 - Comparação da anomalia ar-livre entre o sistema tradicional (A) e expansivo (B).
Nome
Latitude
Altitude (m)
g observado
(A)
(B)
mgal
mgal
mgal
México (*) 19o07,2’ N
3974,6
977571,1
+211,6
+142,2
16º30’40,4”S
3518,9
977467,1
+104
+41,5
00o12’58”S
2815,05
977277,7
+114,5
+64
15o19’43”S
2332
977822,4
+149
+108
Cheyene
41o10,2’N
1878,5
979700,6
+6,8
24
Brasil (**) Alto da Serra Mantiqueira
22o21,9’S
1669,33
978339,7
+75
+45
Passo
de
Cortes Bolívia (*) La Paz Equador (*) Quito Etiópia (*) Asmara Wyoming (*)
As latitudes, altitudes e o g observado foram obtidos nos trabalhos de: (*) George P. Woollard and John C. Rose, (1963). (**) Lélio I. Gama, (1972)
O que se percebe, e já esperado, são AAL bem menores como se vê em (B), portanto a margem deixada para uma compensação de Bouguer diminui consideravelmente. Quando não se considera a expansão essas anomalias passam a ser superestimadas se calculadas pelo procedimento convencional, com a expansão as AAL passam a apresentar valores menores e a densidade esperada para as rochas subjacentes tende a diminuir. Desenvolver uma equação sobre a expansão que respeite os princípios da mecânica e compatível com a fórmula internacional da gravidade teórica pode ser chamado de uma boa adaptação ou simplesmente uma casualidade. 58 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
O fato de ela ajustar-se a trabalhos de sismologia com gradientes de densidade e também ao momento de inércia da Terra pode ser chamado de uma dupla coincidência. Parece ser coincidência demais ela explicar também a densidade de sedimentos superficiais em um perfil gravimétrico, por isso deve-se considerar seriamente a possibilidade da expansão estar interferindo nos procedimentos gravimétricos e incluí-la em estudos geológicos.
Conservação da energia total no universo com gravitação e expansão. A criação contínua de matéria viola o princípio da conservação da energia, além do mais devese considerar que se a Terra, a Lua e todos os astros estão se expandindo, então por que eles não se chocam? A busca de resposta a esses paradigmas começa com estudo das energias envolvidas na gravitação e expansão. Já se sabe que ambas estão envolvidas com acelerações. A gravitação é responsável por uma força radial com sentido de fora para o centro, já a expansão é um movimento radial do centro para fora, são fenômenos com características opostas, mas ambos produzem aproximação entre corpos, a primeira porque “puxa” um contra o outro, a segunda “leva” as suas superfícies a se aproximarem. Enquanto a atração gravitacional organiza um movimento de “concentração” de corpos, a expansão promove uma “dispersão” das massas, essas forças não se anulam mutuamente, mas organizam-se de tal forma que seus efeitos, apesar de adversos, mostram-se complementares. É justificável inferir que gravitação e expansão estão relacionadas nos seus âmagos e, de modo preciso, nas suas energias, formando um sistema no qual o trabalho produzido por uma tende a ser contrabalançado pelo trabalho da outra, em uma situação limite a energia total deverá ser nula prevalecendo o princípio da conservação da energia. A energia empregada para trazer um corpo, localizado a uma distância infinita do centro da Terra, até a superfície pode ser quantificada para o sistema gravitacional e para o expansivo individualmente na forma de trabalho, a posição no infinito justifica-se como um caso limite.
Admite-se que o trabalho realizado pela gravitação Wg e o trabalho realizado pela expansão
W possuem uma energia total E, isso significa que W
g
W E . Para que o princípio da
conservação da energia permaneça válido é preciso que E seja igual a zero em uma situação extrema. 59 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Para a gravitação adota-se como referência a superfície da Terra e como limite um ponto no infinito. A energia potencial gravitacional da Terra é dada pela equação Wg
GM m r
essa é, também, o trabalho realizado para se trazer um ponto material, de massa m, do infinito até a distância r de seu centro. Essa equação vem da integral da força de atração. F
GM m r2
Sendo r o raio, distinguem-se duas situações extremas e opostas:
Para um ponto colocado no infinito a força será nula.
Para um ponto colocado a uma distância nula do centro (supondo a massa da Terra concentrada no seu centro) a força será infinita.
É possível, também, fazer considerações sobre a energia potencial de expansão da Terra. Um ponto material de massa m colocado na sua superfície possui uma energia potencial de expansão em relação a uma distância h de sua superfície. Essa energia pode ser definida como
h
r
F.dr . Sabe-se que “(r+h).( ln ξ)2”= aceleração de expansão, dada pela segunda derivada da
eq. (6) , então o trabalho será
W (r h)
r h
r
F .dr
r h
r
m.r.(ln ) 2 .dr
Portanto Wξ (r→h)
1 1 2 2 m (r h) ln m r ln 2 2
Essa equação indica que quanto mais longe do centro maior será a energia mostrando duas situações extremas e distintas.
Para colocar um ponto de massa m colocado no infinito a força empregada deverá ser infinita.
Para um ponto colocado a uma distância nula do centro a força será nula. 60
Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
Essas duas situações são o oposto das situações que envolvem a gravitação. Deve existir uma distância limite “h” da superfície além da qual não se realiza mais trabalho de expansão para o observador. Em outras palavras poder-se-ia dizer que a energia de expansão estaria compensando a energia gravitacional de tal forma que o trabalho de uma delas compensaria o trabalho da outra. A energia total relacionada ao sistema expansão/gravitação encontraria, à distância h da superfície, uma situação limite onde seria nula.
Wg r0 W r0 h E E 0 Essa equação informa que, para manter o princípio da conservação de energia válido, E deve ser igual a 0, então por substituição é possível calcular o valor limite de h sendo
GM m 1 2 2 m r0 h ln r0 ln 0 r0 2
Considerando M 5,75 10 24 kg, 1,0002294 e r0 6372 km encontra-se h = 41.883 km. Essa seria altura máxima passível para ser realizado trabalho pelo o observador dentro do sistema expansivo. O que se percebe é uma alteração brusca no movimento do corpo. Até a altura de 41.883 km a expansão faria com que a superfície terrestre, em expansão, atingisse o corpo, além dessa posição a distância (entre ele e a superfície do planeta) cresceria de forma proporcional à expansão da Terra, mas isso obriga o corpo passar por uma transição abrupta no seu movimento. Mesmo além dessa região o corpo ainda “cairia”, pois continuaria sujeito à atração gravitacional.
Discretização da expansão ou limiares de transição das taxas. É possível que essa transição seja mais suave, porém não contínua, mas com as alterações do movimento ocorrendo de forma discreta. Foi visto no item 3.10 que a transformação da equação de expansão pelo polinômio de Taylor apresenta uma sequência de taxas de taxas, isso é: sua primeira derivada é a velocidade instantânea, a segunda é a aceleração instantânea, a terceira é taxa de variação da aceleração e assim por diante. Portanto é possível postular que em vez de uma única e grande transição, a 41.883 km, ocorram n pequenas transições sendo incorporadas,
61 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
ou transferidas ao movimento taxa por taxa, isso é; incorpora-se uma taxa de cada vez, discretizando a transição. Isso implica em admitir certa quantização da expansão. Matematicamente o conceito acima pode ser explicitado da seguinte forma: Um corpo colocado à altura h da superfície, após ser solto, terá como função horária do seu movimento a eq. (11), essa deve ser dividida por ξ t pois assim chega-se à percepção que tem o observador, pertencente ao sistema, sendo ela
S1 r0 h r0 h ln t Essa equação já foi discutida no início desse trabalho no item 3.7 indicando que a primeira lei de Newton foi respeitada, pois a velocidade instantânea do corpo,
r0 h ln obtida da primeira derivada da eq. (7), foi incorporada ao movimento do corpo. Para se obter valores discretos de transição é preciso admitir que essa equação só é válida para 0< h ≤ H1 sendo H1 um valor determinado que identificará o primeiro limiar de transição. Em outras palavras pode-se dizer que dentro de uma zona com extensão Δh1 a equação dos espaços S1 é válida. Além dela o corpo entrará em uma região onde ocorre a incorporação da segunda taxa; a aceleração. A aceleração é obtida da segunda derivada da eq. (7) sendo
r0 ln
2
Portanto a função horária dos espaços deverá ser 1 S 2 S1 a t 2 2
e por substituição ficará S 2 r0 h r0 h ln t
1 2 r0 h ln t 2 2!
Essa equação não respeita a primeira lei de Newton, pois ela diz que a aceleração instantânea, imposta ao corpo pela expansão da Terra, é incorporada ao próprio movimento do corpo quando ele é solto. Para considerar valores discretos de transição é preciso admitir que essa 62 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
equação só é válida para H1 < h ≤ H2 sendo H2 um valor determinado que identificará o segundo limiar de transição. Aqui também, como no caso anterior, existe uma zona com extensão Δh2 dentro da qual a equação dos espaços S2 será válida. Além dela ocorrerá a incorporação da terceira taxa; a que determina a variação da aceleração. É importante ressaltar que o que se está fazendo é reconstruir o polinômio de Taylor termo a termo. A taxa da variação da aceleração é obtida da terceira derivada da eq. (7) sendo
r0 h ln 3 Portanto a equação que descreve o movimento do corpo será S 3 r0 h r0 h ln t
1 1 2 3 r0 h ln t 2 r0 h ln t 3 2! 3!
Essa equação também não respeita a primeira lei de Newton, pois o que ela diz é que a taxa de variação da aceleração, imposta ao corpo pela expansão da Terra, é incorporada ao movimento do corpo após ele ser solto. Para considerar valores discretos de transição é preciso admitir que essa equação só é válida para H2 < h ≤ H3 sendo H3 um valor determinado que identifica o terceiro limiar de transição. Assim como nos dois casos anteriores, existe uma zona de extensão Δh3 dentro da qual a equação dos espaços S3 é válida. Além dela ocorrerá a incorporação da quarta taxa. O quarto limiar de transferência relaciona-se a quarta derivada da eq. (7) sendo
r0 h ln 4 Portanto a equação horária dos espaços será S 4 r0 h r0 h ln t
1 2 r0 h ln t 2 2!
1 1 3 4 r0 h ln t 3 r0 h ln t 4 3! 4!
Notoriamente, como nos casos anteriores, para se obter valores discretos de transição é preciso admitir que essa equação só é válida para H3 < h ≤ H4 , sendo H4 um valor determinado que identificará o quarto limiar de transição e uma amplitude Δh4 de validade para S4. Além dele ocorrerá a incorporação da quinta taxa. Esse processo se repete para a sexta, depois sétima etc. 63 Adaptado de Baumgratz 2003
Expansão Escalar - O Universo em Inflação
até a enésima taxa, cada qual relacionada a uma amplitude Δhn de validade. Obtém-se, assim, uma quantidade infinita de termos, e a equação final será o próprio polinômio de Taylor.
S n r0 h r0 h ln t
1 1 2 n 1 r0 h ln t 2 ... r0 h ln t n 1 2! (n 1)!
Postular que Δh1 >> Δh2 >> Δh3 >> ...>> Δhn >> Δhn+1 permite admitir que a somatória da extensão de todas as zonas deve convergir para 41.883 km.
h n 1
n
41.883
Além dessa distância a energia cinética do corpo aumenta de tal forma que, ao ser incorporada ao movimento, afasta-o da Terra proporcionalmente à expansão. É como se a distância entre a Terra e o corpo aumentasse à mesma taxa de expansão dada por ξ. Essa condição deve ser válida para h > 41.883 km, e explicaria por que a expansão não produz o choque entre os planetas, favorecendo o princípio da conservação da energia ao contrabalançar a energia gravitacional com a da expansão. Percebe-se que além desse limite h os movimentos orbitais dos planetas, ou quaisquer outros corpos celestes, passariam a ser regidos somente pela atração gravitacional entre suas “massas reais” mencionadas no item 5.3. Qualquer objeto lançado da Terra em direção ao espaço teria que atravessar todas as zonas e, mais grave, os limiares de transição. Esses limiares impõem transições abruptas da energia cinética do corpo. A questão é: o que aconteceria se esse objeto estivesse exatamente sobre o limiar entre duas zonas? Nesse caso a parte do corpo mais próxima da Terra possuiria uma determinada energia cinética e a outra (mais distante da Terra e dentro da próxima zona) possuiria energia cinética maior. Pode-se supor duas situações: na primeira admite-se que ele transita de uma zona para a outra de forma instantânea (a ponderação sobre a essa possibilidade estaria vinculada a um corpo pequeno e com densidade uniforme); na segunda situação admitese que o limite entre as zonas de transição se localizasse sobre o próprio corpo, causando uma tensão muito grande numa área infinitesimal, rompendo-o e duas partes (a ponderação sobre a essa possibilidade estaria vinculada a um corpo de formato irregular e densidade não uniforme). A tensão causada não estaria distribuída ao longo do objeto, mas concentrada no plano (com profundidade infinitesimal) determinado pelo limiar que o divide. As forças, assim 64 Adaptado de Baumgratz 2003
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concentradas, nessa área do plano seriam extremante grandes, produzindo tensões enormes e “fatiando” o objeto em duas partes com facilidade. Deve existir uma função do momentum do objeto que permita calcular a probabilidade dele passar incólume em cada um dos limiares. Essa ponderação é importante por introduzir uma das maneiras de se testar a expansão. Um satélite poderia sustentar um objeto preso a um longo cabo que atravessasse o limite entre duas zonas, se a expansão existir, o rompimento do cabo ocorrerá facilmente, mesmo que o empuxo produzido pelo satélite sobre o objeto fosse pequeno e inferior à resistência do cabo. Se essa condição for verdadeira, um astronauta correrá grande risco ao se afastar da sua nave sustentado por um cabo. Por sorte existem maneiras mais simples e baratas de se testar a expansão.
Considerações sobre curvatura do espaço-tempo e a Lei de Hubble-Humason. Neste item são discutidas algumas questões e feitas algumas colocações que poderão ser aprimoradas em outras situações que considerem a expansão, ainda permanecem muitas dúvidas, e este trabalho não esgota o tema expansão, mas estabelece um ponto de partida para seu estudo. A solução de problemas de gravimetria com base em conceitos de expansão, como foi feito nos itens anteriores, induz a fazer considerações que vão além do escopo inicial. Uma dessas considerações é que: ao pressupor a existência de zonas e limiares de transferência de expansão admitiu-se implicitamente que a Terra “possui” um referencial inercial próprio ou intrínseco. Para melhor explicar, imagina-se um referencial inercial cujo centro está vinculado ao centro da Terra é torna-se absoluto para qualquer corpo colocado dentro das zonas de transferência, portanto os corpos colocados próximos da Terra responderiam aos deslocamentos impostos a esse referencial instantaneamente, de tal forma que uma aceleração imposta ao nosso Planeta, não seria percebida por esse corpo conforme determinam as Leis de Newton. De forma diversa, um corpo (colocado dentro das zonas mencionadas) em movimento relativo ao referencial intrínseco, responderia às Leis de Newton em relação ao referencial e ao Planeta. Essa condição deve permanecer válida para todo corpo celeste. Propõe-se que qualquer planeta, ou mesmo asteroide, deva ter ao seu redor uma região delimitada, atuando como sua zona de transferência da expansão, e vinculada ao seu referencial inercial intrínseco. O nome intrínseco justifica-se por significar que é único, particular, e tem características de absoluto 65 Adaptado de Baumgratz 2003
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somente em condições determinadas. O termo absoluto não seria apropriado nesse caso, pois todo corpo celeste deve possuir o seu próprio referencial inercial intrínseco. Por mais estranho que isso pareça, não é tão estranho quanto se admitir que o espaço é curvo. O referencial inercial intrínseco - RII apresenta propriedades, inferidas do conceito de expansão, que poderiam explicar fenômenos observáveis atualmente, como a curvatura do espaço-tempo da teoria da relatividade, e o desvio do espectro eletromagnético das estrelas pela Lei de Hubble-Humason. De acordo com os fundamentos de expansão, aqui estabelecidos, pode-se comprovar que qualquer corpo passando próximo de um planeta, ao cruzar as zonas de transferência em uma trajetória não radial, mas aproximadamente ortogonal, realizará um movimento curvo para um observador distante, a velocidade poderá diminuir e o comprimento de onda aumentará. A razão é que em seu deslocamento o corpo deve “vencer” a zona de transferência da expansão do planeta que, de certa forma, opõe-se ao seu deslocamento. As propriedades do RII e da expansão fazem com que a luz de uma estrela distante ao passar perto de um grande astro descreva uma curva, de forma semelhante à curvatura do espaçotempo da teoria da relatividade. A teoria da relatividade propôs que cada corpo de grande massa produz, nas suas proximidades, uma curvatura do espaço. O que se propõe para o sistema expansivo não é muito diferente. Está-se propondo que cada corpo de grande massa produza, nas suas proximidades, um referencial inercial absoluto, isso é: esse referencial tem uma extensão limitada ao redor do corpo, fazendo com que o observador, dentro desse sistema, tenha uma visão parcial do movimento dos objetos, pois só percebe a aproximação entre os corpos e não percebe seus crescimentos, o que causaria a impressão de um espaço curvo. As condições que favorecem um corpo a possuir um RII, em detrimento de outro corpo próximo, é também uma consideração além do escopo desse trabalho, mas essas condições, talvez, relacionem-se à massa e a distribuição de densidade ao redor do corpo. Uma partícula no espaço vazio poderia ter seu RII, “gerando forças aparentes” para o observador. Se a expansão ocorre com grandes corpos, ela, necessariamente, ocorre com os pequenos também, portanto seria lógico supor as forças nucleares Forte e a Fraca como aspectos da expansão e do RII.
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Ainda com base nas propriedades da expansão, pode-se afirmar que a luz de uma estrela distante chegaria a nós com comprimento de onda maior, pois estaria cruzando as zonas de transferência de expansão relativas a vários astros que encontraria durante seu percurso. No espaço interestelar, as nuvens de poeira poderiam ter inúmeros RII, um para cada “grão”, e a luz que a atravessasse apresentaria um desvio de acordo com a lei de Hubble. Pode ocorrer, também, que as diferenças de densidades no espaço fizessem com que estrelas de mesma distância da Terra apresentassem diferentes desvios para o vermelho, a explicação seria variação na densidade da poeira interestelar encontrada pela trajetória da luz, de cada estrela, até nós. Outra questão é que classicamente o espaço tem três dimensões, porém o deslocamento de um corpo em expansão pode apresentar até nove dimensões para o observador incauto, são três dimensões de expansão para cada dimensão de espaço. Verifica-se que a criação contínua de matéria no universo atual, gerando a expansão, apresenta propriedades que podem explicar tanto a curvatura do espaço-tempo, como os desvios para o vermelho apresentado pelas estrelas. Para saber concretamente se isso é verdade torna-se necessário conhecer as extensões corretas das zonas de transferências de expansão realizando testes como indicado no item abaixo.
Experimentos para comprovar o crescimento contínuo da matéria no universo atual. O método mais simples e barato de testar a expansão está contido na Figura 1 e eq. (4), ambos no item 2. Não são feitas considerações matemáticas sobre os testes, pois a figura mostra por si só como funciona, e calcular a aproximação não é difícil porque a taxa de expansão já foi calculada assim como os princípios que permitem ao observador testá-la já estão delineados. São colocadas abaixo quatro maneiras para comprovar a expansão e crescimento dos corpos.
Centros alinhados:
Dois objetos circulares, em forma de discos ou moedas, e com densidades homogêneas devem ser colocados um ao lado do outro e mantendo certa distância entre suas superfícies. Os centros 67 Adaptado de Baumgratz 2003
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desses discos devem ficar alinhados em relação à horizontal e distantes do solo para que possam realizar uma queda livre. Eles devem estar “em pé” ou seja, a ortogonal que atravessa ao centro de cada disco deve ficar na horizontal, e o plano definido pelos raios de cada um pertencem ao mesmo plano (ver Figura 1). Partindo dessa posição inicial, ao realizarem uma queda livre suas superfícies irão se aproximar. Se as suas superfícies estiverem separadas de 10 cm ocorrerá uma aproximação da ordem de alguns centésimos de ml após 3 segundos de queda. A expansão também pode ser inferida da inclinação da tangente interna aos dois objetos, aliás medir a inclinação da tangente deve permitir maior precisão do que simplesmente medir a aproximação entre eles. Os centros dos dois objetos percorrerão a mesma distância durante a queda, indicando que caem juntos, mas o ângulo formado pela tangente com a horizontal aumentará (tendendo a 90º) devido à expansão que produzirá a aproximação deles. A taxa de aumento da tangente pode ser facilmente prevista usando as equações de queda aqui propostas. Esse experimento pode ser repetido com diâmetros, densidades e massas diferentes, desde que os centros estejam alinhados no início da queda.
Bordas alinhadas:
Outra forma de se testar a expansão seria colocando os objetos discoides com suas bordas alinhadas, não os centros como no exemplo anterior, mas a parte inferior deles. Neste caso seus diâmetros devem ser diferentes. Submetidos a uma queda livre o objeto de diâmetro maior ultrapassará o de diâmetro do menor, “caindo mais rápido” e atingindo o solo primeiro, mesmo sendo ele o de menor massa. O motivo é, claramente, devido a que a expansão parte do centro do objeto, portanto a extremidade inferior do maior irá ultrapassar a do menor. Esse experimento pode ser repetido com diferentes diâmetros, densidades e massas, desde que suas bordas estejam alinhadas. Os centros dos dois objetos tenderão a ficar alinhados durante a queda, isso é, estarão na mesma horizontal após um muito longo tempo de queda e, consequentemente, suas bordas estarão desalinhadas no final, sempre favorecendo o objeto maior diâmetro, dando a impressão que o maior cai mais rápido (independente da sua massa). Essa situação contraria o experimento anterior (centros alinhados) onde se verificou a queda simultânea. Isso não é nenhum paradoxo mas simplesmente consequência da expansão, pois o que se registra é, literalmente, o crescimento dos objetos. 68 Adaptado de Baumgratz 2003
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Uso de gravímetros:
Outra forma seria trabalhar com gravímetro a diferentes altitudes mantendo a região abaixo dele vazia, assim seria possível obter o valor da correção ar-livre que justificasse a expansão.
Limiares de transferência da taxa de expansão:
Testar o limiar de transferência de taxa de expansão foi mencionado no item 10, onde foi proposto que um satélite sustentasse um objeto preso a um longo cabo através do limite entre duas zonas, essa situação envolve abruptas modificação da energia cinética do corpo e permitiria conhecer qual a posição exata de cada limiar ou nível de transição.
Conclusões A principal conclusão é que é perfeitamente possível realizar testes com finalidade de comprovação experimental e observacional da criação contínua de matéria no universo atual, mesmo estando o observador, e todo seu equipamento observacional/experimental, sujeito a igual taxa de crescimento. O presente trabalho também demonstrou que a criação contínua de matéria no universo atual pode ser a responsável pela sua expansão constante, assemelhando-se à proposta da teoria cosmológica do estado estacionário. Os resultados obtidos permitiram inferir que existe uma criação constante de matéria no universo, como função exponencial do tempo, produzindo o crescimento proporcional de todos os corpos, e manifestando-se como uma força de expansão que interfere na mecânica de queda da atração gravitacional. Verificou-se, também, que as forças de expansão e gravitação têm características complementares, produzindo acelerações de “queda” de tal forma que as energias envolvidas com o trabalho de expansão e gravitação se compensam, portanto não contrariando o princípio de conservação de energia. Conceitos básicos de cinemática permitiram calcular a taxa de expansão, como exponencial do tempo, de 0,0229206 % ao segundo (ξ = 1,000229206). A massa da Terra, corrigida para a expansão, é de aproximadamente 5,755135×1027 g.
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Madison Wisconsin.
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