Fajl

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

Sinusna teorema glasi: Stranice trougla proporcionalne su sinusima njima naspramnih uglova.

a b c = = = 2R sin α sin β sin γ

Odnos dužine stranica i sinusa naspramnog ugla trougla je konstanta i jednak je dužini prečnika (2R) kružnice opisane oko trougla.

Sinusna teorema se primenjuje: 1) Kada su data dva ugla i jedna stranica 2) Kada se date dve stranice i ugao naspram jedne od tih stranica Kosinusna teorema glasi: Neka su a,b,c dužine stranica i α , β , γ veličine odgovarajućih unutrašnjih uglova trougla ABC. Tada je: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ Kosinusna teorema se primenjuje: 1) Kad su date dve stranice i ugao izmedju njih 2) Kad su date sve tri stranice trougla

1

Još neke važne ''stvari'' koje se izvode iz sinusne i kosinusne teoreme su: → Površina trougla je:

1 P = bc sin α 2 1 P = ac sin β 2 1 P = ab sin γ 2

→ Površina trougla je P = s=

a ⋅b ⋅c , R je poluprečnik opisane kružnice i P = r ⋅ s gde je 4R

a+b+c poluobim a r je poluprečnik upisane kružnice 2

→ Težišne linije se izračunavaju:

2b 2 + 2c 2 − a 2 ta = 2 2c 2 + 2a 2 − b 2 tb = 2 2a 2 + 2b 2 − c 2 tc = 2

→ Proizvod dijagonala tetivnog četvorougla (oko koga može da se opiše kružnica) jednak je zbiru proizvoda naspramnih strana. m ⋅ n = ac + bd Ptolomejeva teorema

→ Ako su d1 i d 2 dijagonalne konveksnog četvorougla i α ugao koji one grade. Površina tog četvorougla je:

2

P=

1 d1 ⋅ d 2 sin α 2

Zadaci: 1) U trouglu ABC dato je α = 450 , β = 600 i poluprečnik opisanog kruga R = 2 6 . Odrediti ostale osnovne elemente bez upotrebe tablica.

α = 45o β = 60 o R=2 6 ____________

Najpre ćemo naći ugao γ

α + β + je = 180 o γ = 180 o − (45 o + 60 o ) γ = 75 o

a b c = = = 2R sin α sin β sin γ

Iskoristićemo sinusnu teoremu. a = 2R ⇒ sin α

a = 2 R sin α a = 2 ⋅ 2 6 sin 45 o a=4 6⋅

2 = 2 12 = 4 3 2

a=4 3

3

b = 2R ⇒ sin β

b = 2 R sin β b = 2 ⋅ 2 6 sin 60 o b=4 6⋅

3 = 2 18 = 6 3 2

b=6 3

c = 2R ⇒ sin γ

c = 2 R sin je c = 2 ⋅ R 6 sin 75o c = 4 6 ⋅ sin( 45o + 30o ) c = 4 6 ⋅ (sin 45o cos 30 o + cos 45o sin 30 o )  2 3 2 1 c = 4 6 ⋅  ⋅ + ⋅  → sre dim o 2 2 2 2 

(

c = 2 3+ 3

)

2) Odrediti stranicu b trougla ABC ako su njegove stranice a = 2 3cm, c = 6cm i ugao β = 1050 a = 2 3cm c = 6cm

β = 105o

Ovde ćemo upotrebiti kosinusnu teoremu!!!

____________

b=? b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos β Ajmo prvo da nadjemo cos 105o cos105o = cos(60o + 45o ) = cos 60 o cos 45 o − sin 60 o sin 45 o =

1 2 3 2 ⋅ − ⋅ = 2 2 2 2

2 (1 − 3 ) 4

4

b 2 = (2 3 ) 2 + ( 6 ) 2 − 2 ⋅ 2 3 ⋅ 6 ⋅

2 (1 − 3 ) 4

b 2 = 12 + 6 − 6(1 − 3 ) b 2 = 12 + 6 − 6 + 6 3 b 2 = 12 + 6 3 → mali trik

12 + 6 3 = (3 + 3 ) 2 → proverimo

b 2 = (3 + 3 ) 2

= 32 + 2 ⋅ 3 3 + 3

b = 3+ 3

2

= 9+6 3 +3 = 12 + 6 3

3) U trouglu ABC dato je AB=24cm, AC=9cm i ugao α = 600 . Odrediti bez upotreba tablica, stranicu BC i poluprečnik opisane kružnice.

C

b=9cm

A

a

B

c=24cm

b = 9cm c = 24cm

α = 60 o __________

a = ?, R = ?

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α a 2 = 9 2 + 24 2 − 2 ⋅ 9 ⋅ 24 ⋅ cos 60 o a 2 = 81 + 576 − 2 ⋅ 9 ⋅ 24 ⋅

1 2

a 2 = 441 a = 441 a = 21cm

5

a 21 = 2R ⇒ = 2R sin α sin 60 o 21 = 2R 3 2 42 2R = 3 21 R= racionališemo 3

R=

21 3

⋅

3 3

21 3 3 R = 7 3cm R=

4) U trouglu ABC razlika stranica a i b jednaka je 3cm ugao γ = 60 0 i poluprečnik opisane kružnice R =

7 3 cm . Odrediti stranice trougla ABC. 3

a − b = 3cm

γ = 60 o R=

7 3 3

__________ ___

a , b, c = ?

c = 2 R ⇒ c = 2 R sin γ sin γ 7 3 c = 2⋅ ⋅ sin 60 o 3 7 3 3 c = 2⋅ ⋅ 3 2 c = 7cm

6

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ 7 2 = (b + 3) 2 + b 2 − 2b(b + 3) cos 60 o 49 = (b + 3) 2 + b 2 − 2b(b + 3) ⋅

1 2

49 = b 2 + 6b + 9 + b 2 − b 2 − 3b b 2 + 3b − 40 = 0 → kvadratna jednačina ‘’po b’’ − 3 ± 13 b1, 2 = 2 b1 = 5 b2 = −8 → ovo nije rešenje jer ne može dužina stranice da bude negativan broj. Dakle b = 5 a = b+3 a = 5+3 a =8

5) U krugu su date tetive AB=8cm i AC=5cm. One grade medjusobni ugao α = 600 . Izračunati poluprečnik opisane kružnice. a = b 2 + c 2 − 2bc cos α a 2 = 5 2 + 8 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ cos 60o a 2 = 25 + 64 − 2 ⋅ 40 ⋅

b = 5cm c = 8cm

α = 60 o

__________ __

1 2

R=?

a 2 = 89 − 40 a 2 = 49 a = 7cm a 7 = 2R ⇒ = 2R sin α sin 60 o 7 2R = 3 2 7 R= 3

R=

7

R=

7 3 3

3

⋅

3 3

7

6) Ako su stranice trougla a − 2, a, a + 2 i jedan ugao iznosi 120 0 , odrediti stranice.

a=a b=a−2

a+2

a-2

c=a+2

120 o

a Pazi: 120 o je ugao naspram najveće stranice (a+2)

c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ (a + 2) 2 = a 2 + (a − 2) 2 − 2a (a − 2) cos120 o  1 ( a + 2) 2 = a 2 + ( a − 2) 2 − 2 a ( a − 2) ⋅  −   2 2 2 2 ( a + 2) = a + ( a − 2) + a ( a − 2) a 2 + 4a + 4 = a 2 + a 2 − 4a + 4 + a 2 − 2 a 0 = 2a 2 − 10a 2a (a − 5) = 0 a = 0 → nemoguće a=5 b = a−2 = 5−2 = 3 b=3

c=a+2 c=7

7) Ozračinati visinu fabričkog dimnjaka koji se nalazi na horizontalnom nepristupačnom tlu, ako se vrh dimnjaka iz tačke A vidi pod uglom α , a iz tačke B pod uglom β . Tačke A i B pripadaju takodje horizontalnoj ravni a njihovo rastojanje AB= a . Osa dimnjaka i tačke A i B leže u istoj ravni.

Ovde je najvažnije skicirati problem!!!

8

V α −β

x

.

. A

0

β

a

. B

Obeležimo traženu visinu sa OV=X Prvo nadjemo nepoznate uglove ∠OVA i ∠AVB AVB = ∠OVB − ∠OVA ∠OVA = 90 o − α  ⇒  = (90 o − β ) − (90 o − α ) ∠OVB = 90 o − β  = 90 o − β − 90 o + α ∠AVB = α − β Primenimo sinusnu teoremu na trougao ABV

a sin(α − β )

=

AV a sin β ⇒ AV = sin β sin(α − β )

sad primenjujemo definiciju sinusa na pravougli trougao VOA.

sin α =

X ⇒ X = AV (sin α ) AV a sin β sin α X= sin(α − β ) a sin α sin β X= sin(α − β )

9

8) U trouglu ABC dato je a − b = 1, hc =

3 , R=4. Bez upotreba tablica izračunati α . 2

a −b =1 3 2 R=4

hc =

________

α =? Najpre ćemo upotrebiti obrasce za površinu trougla: c ⋅ hc abc P= , P= 2 4R Dakle: c ⋅ hc abc = 2 4R 2ab = 4 Rhc

ab = 2 Rhc ab = 2 ⋅ 4 ⋅ hc ab = 2 ⋅ 4 ⋅

3 2

ab = 12

Sada napravimo sistem:

a −b =1 ab = 12 ___________

a = b +1 b(b + 1) = 12 b 2 + b − 12 = 0 −1 ± 7 b1, 2 = 2 b1 = 3 b2 = −4 Nemoguće Dakle b = 3 ⇒ a = 3 + 1 = 4 ⇒ a = 4

10

Dalje iskoristimo sinusnu teoremu:

a a = 2 R ⇒ sin α = 2R sin α 4 sin α = 8 1 sin α = 2 Znamo da je α = 30 o jer je sin 30 o =

1 2

Dakle α = 30 o

9) Odrediti stranice trougla površine P = 3 3 , ako je ugao α = 600 i zbir stranica koje zahvataju dati ugao b+c=7

P=3 3

α = 60o b+c =7 ___________

a, b, c = ?

Ovdećemo iskoristiti obrazac za površinu trougla: 1 P = bc sin α 2 1 3 3 = bc sin 60o 2 1 3 3 3 = bc ⋅ 2 3 bc = 12

Dalje ćemo oformiti sistem jednačina: b+c =7 bc = 12

Izrazimo c=7-b i zamenimo u

bc=12

11

c = 7−b b ⋅ (7 − b) = 12 7b − b 2 = 12 b 2 − 7b + 12 = 0 7 ±1 b1, 2 = 2 b1 = 4 ⇒ c = 3 b2 = 3 ⇒ c = 4 Znači imamo dve mogućnosti:

b1 = 4, c = 3

b2 = 3; c = 4

ili

Upotrebimo sad kosinusnu teoremu:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos α a 2 = 4 2 + 32 − 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ cos 60o 1 a 2 = 16 + 9 − 2 ⋅12 ⋅ 2 2 a = 25 − 12 a 2 = 13 a = 13 10) U tetivnom četvorouglu ABCD dijagonala BD je normalna na stranicu BC, ugao ABC= 120 0 , ugao BAD= 120 0 , DA=1. Izračunati dijagonalu BD i stranicu CD Odavde je vrlo važno nacrtati skicu i postaviti problem, rešenje zatim dolazi samo po sebi:

D β

1 A

0

120

. B

C

12

Pošto je ∠ABC = 120 o i BD ⊥ BC ⇒ ∠ABD = 30 o a kako je ∠BAD = 120 o ⇒ ∠ADB = 30 o naravno trougao ABD je jednakokraki ⇒ AB = 1 a onda nije teško naći DB DB 2 = 12 + 12 − 2 ⋅1 ⋅1 ⋅ cos120 o → Kosinusna teorema  1 DB 2 = 1 + 1 − 2 ⋅  −   2 2 DB = 3 DB = 3 pošto se radi o tetivnom četvorouglu, zbir naspramnih uglova je isti!!! 120 o + α = 120 o + β + 30 0

α = 30 o + β

i važi još α + β = 90 o pa je :

α = 60 o , β = 30 o Primenimo definiciju: sin 60 o =

3 CD

3 3 = CD 2 CD = 2

13