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Introducción La trigonometría es una ciencia antigua, ya conocida por las culturas orientales y mediterráneas pre-cristianas. No obstante, la sistematización de sus principios y teoremas se produjo sólo a partir del siglo XVI, para incorporarse como una herramienta esencial en los desarrollos del análisis matemático moderno.

El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos. Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (17071783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas. Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Sin embargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc.

Definimos a la trigonometría como la parte de la Matemática que trata de la resolución de triángulos por medio del cálculo. También podemos decir que es la rama de la Matemática que tiene por objeto estudiar la relaciones numéricas que existen entre los elementos rectilíneos y angulares de un triangulo o de cualquier otra figura geométrica en general y su aplicación a la solución numérica de los problemas que pudieran presentarse. La trigonometría se divide en TRIGONOMETRIA PLANA O RECTILINEA Y EN TRIGONOMETRIA ESFERICA Trigonometría plana: Se ocupa fundamentalmente de la resolución de triángulos planos. Para ello, se definen las razones trigonométricas de los ángulos y se estudian las relaciones entre ellas. La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. B β

Resolución de triángulos. Triangulo: polígono de tres lados

c

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por segmentos rectos (o curvos) consecutivos no alineados, llamados lados. α

a Γ

C Se da el nombre de elementos de un triángulo a los lados y A b ángulos que lo constituyen. Por lo tanto en todo triangulo hay seis elementos, tres lados y tres ángulos. Sabemos que dados tres de ellos entre los que figure por lo menos un lado, se pueden determinar los otros tres elementos desconocidos en función de los que se conocen.

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La geometría nos enseña a construir con los tres datos triángulos que contienen las incógnitas; la trigonometría nos enseñara a calcular los valores de esas incógnitas. Lados de un triangulo: segmentos rectilíneos que se miden con la unidad del sistema métrico decimal.

Ángulos: figura plana, porción del plano comprendida entre dos semirrectas con un origen común denominado vértice. Para medirlos Se emplean preferentemente tres sistemas de medición de ángulos que desarrollaremos a continuación. Generación de ángulos: En trigonometría los ángulos se consideran como engendrados por una semirrecta móvil al girar alrededor de su origen que se supone fijo. Así en el ejemplo la semirrecta OA gira alrededor del punto fijo O, manteniéndose en el mismo plano y generando el ángulo AOB al pasar de la posición inicial OA a la posición final OB. Al lado que se considera como posición inicial se lo llama también lado origen y al de la posición final lado libre Un ángulo así generado es positivo si el sentido del giro indicado por una flecha curvilínea es contrario al de las agujas del reloj (AOB) y negativo si el sentido del giro es el mismo de las agujas del reloj (AOB´). La semirrecta móvil puede pasar del lado inicial al lado final ya sea directamente o después de haber efectuado un giro completo; o también después de haber efectuado cierto numero de giros completos. Por lo tanto si designamos por α al ángulo descripto al pasar directamente de la posición OA a la OB tendremos que los ángulos generados son α 1 giro completo + α 2 giros completos + α n giros completos + α

|

los cuales tendrán sus lados coincidentes pero los cuales no serán iguales; por el contrario , en el orden escrito son cada vez mayores. A estos angulos se los denomina congruentes de un giro. Como los giros pueden tener sentido positivo o negativo los valores de la medida de un ángulo están comprendidos entre - ∞ y + ∞. Medida de los ángulos ¿Que es medir un ángulo?: es compararlo con otro ángulo que se toma como unidad de medida. ¿Que es medir un arco de circunferencia?: es compararlo con otro arco de la misma circunferencia que se toma como unidad. Se demuestra en geometría que: La medida de un ángulo central es la medida del arco que abarca, siempre que la unidad de arco sea la que corresponde a la unidad del ángulo.

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En Trigonometría se emplean preferentemente tres clase de unidades de ángulos que dan lugar a tres sistemas de medición: el sistema Sexagesimal, el sistema Centesimal y el sistema Circular. Sistema Sexagesimal. La unidad de arco en este sistema es el grado sexagesimal (º) o simplemente grado que es el arco equivalente a la 360 ava parte de la circunferencia. A su vez el minuto (´) es 1/60 de un grado sexagesimal αº = 1/360

El segundo (¨) es 1/60 de un minuto sexagesimal.

Por lo tanto en este sistema la circunferencia mide 360º C = 1° --- C = 360 º 1º/60 = 1´ 360 1´/60 = 1 Ej: Para indicar que un ángulo mide 26 grados, 47 minutos y 16 segundos con 75 centésimos de segundo escribimos: 26º 47´16,75 ¨ Sistema Centesimal La unidad de arco en este sistema es el grado centesimal (G) que es el arco equivalente a la 400 ava parte de la circunferencia. El ángulo central que le corresponde se llama Angulo A su vez el minuto (M) es 1/100 del grado centesimal αG =1/400

El segundo (S) es 1/100 del minuto centesimal Por lo tanto en este sistema la circunferencia mide 400 C = 1G 400 --- C = 400G 1 G /100 = 1M

G

1M/100 = 1S Ej: En este sistema para indicar que un ángulo mide 26 grados, 47 minutos y 16 segundos con 75 centésimos escribimos: 26 G 47 M 16,75 S Sistema Circular La unidad de arco en este sistema es el radian, que es el arco cuya longitud es igual a la del radio. El angulo central que le corresponde se llama angulo de un radian. El arco se mide en radios de circunferencia. Sabemos que la long de la circunferencia es: C = 2 π r Pues si adoptamos la longitud r como unidad de medida, diremos que toda la circunferencia mide: C = 2 π radianes

Y el ángulo de 1Radian será

C = 1Radian 2π FAUD-Matemática I

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Existe una formula de equivalencia entre los tres sistemas que nos permite convertir la medida de un angulo dada en un sistema de medición determinado a cualquiera de los otros dos.

α° αg α rad = = 360° 400 g 2 π rad Reducción de ángulos de un sistema a otro Basta reemplazar en la igualdad la medida del angulo dato y despejar la incognita Por ejemplo cuantos grados, sexagesimales mide un angulo de un Radian. Dato ------------  ang α = 1 rad Incógnita -------- ang α º

α° 360°

=

α rad 2π rad

α°

Reemplazando por el valor dato

360°

Y despejando la incognita α º resolvemos

α° =

=

1rad 2π rad

1rad 360° 2π rad

α º= 57,29577778º (forma incompleja) α º= 57º 17´44,8¨ (forma compleja)

Tabla de equivalencias Circunferencia 3/4 Circunferencia 1/2Circunferencia 1/4 Circunferencia

Sist. Sexagesimal 360 º 270 º 180 º 90 º

Sist. Centesimal 400 G 300 G 200 G 100 G

Sist. circular 2π rad 3/2 π rad π rad π/2 rad

Para recordar La circunferencia trigonométrica es la figura geométrica que presenta 3 características fundamentales

1. El Centro de la circunferencia coincide con el origen del Sistema de Coordenadas Cartesianas (2D) 2. Es una circunferencia de radio 1 (uno) 3. Los ángulos están orientados respecto al sistema coordenado. El lado inicial coincide con la porción positiva del eje x y el vértice con el origen del sistema coordenado. El ángulo α se genera entonces por la rotación respecto del vértice que se considera fijo de la semirrecta móvil al pasar de la posición inicial OX a la posición final OM ( Sentido de Giro antihorario, ángulo positivo)

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Función: Se dice que una cantidad variable es función de otra cantidad también variable cuando el valor de la primera depende del de la segunda, de manera tal que a cada valor de esta corresponde uno o varios valores determinados de aquella. La cantidad variable de la cual depende la función se llama variable independiente o argumento. Q

En las funciones trigonométricas la variable independiente es el angulo. Sea el áng. variable α y OM una posición determinada de la semirrecta móvil que lo describe. Sobre el lado libre del ángulo tomemos arbitrariamente el punto M y desde el tracemos el segmento MX´ perpendicular a la recta que contiene al lado origen Ox. Tendremos así determinados tres segmentos dirigidos que determinan el triangulo rectángulo X´OM Q

que representaremos por ρ y llamaremos radio-vector que representaremos por x y llamaremos abscisa que representaremos por y y llamaremos ordenada

OM OQ QM

Con la abscisa, el radio vector y la ordenada se pueden formar seis razones:

y

x y ; ρ ρ x ;

y sus reciprocas

x ρ ρ ; ; y x y

Estas razones son funciones dependiente del ángulo α, porque al variar su medida varían x e y (el radio vector se mantiene constante y con valor positivo) y por lo tanto las razones en las que estas variables intervienen. En cambio son independientes de la longitud de los segmentos que determinan los lados del triangulo rectángulo. Efectivamente si determinamos otra posición arbitraria del punto M sobre la recta que contiene el lado libre del ángulo podremos formar otros triángulos rectángulos como vemos en la figura Estos triángulos tienen el ángulo α común y los otros dos

M´

Q

Q´

ángulos respectivamente congruentes. En consecuencia los lados correspondientes son proporcionales, en consecuencia, si establecemos la razon de los pares de lados correspondiente veremos que es constante Ej:

y

ρ

=

QM Q´ M´ = = cons tan te OM OM´

Lo mismo podemos asegurar para las 5 razones restantes.

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Podemos decir entonces que las razones que se pueden formar con la abscisa, la ordenada y el radio-vector, son funciones que dependen únicamente de la amplitud del ángulo α Definiremos las 6 funciones trigonométricas del ángulo α, en términos de la abscisa, la ordenada y el radio-vector, y en términos de los lados de un triangulo rectángulo como sigue:

B β

Radio-vector

ρ

y ordenada

γ

α

A

C

x abscisa

senoα = senα =

ordenada y cateto opuesto = = radio − vector ρ hipotenusa

cos enoα = cos α =

abscisa x cateto adyacente = = radio − vector ρ hipotenusa

tan genteα = tgα =

ordenada y cateto opuesto = = abscisa x cateto adyacente

cos ecanteα = cos ecα =

sec anteα = sec α =

radio − vector ρ hipotenusa = = ordenada y cateto opuesto

radio − vector ρ hipotenusa = = abscisa x cateto adyacente

cot angenteα = cot gα =

abscisa x cateto adyacente = = ordenada y cateto opuesto

Las funciones trigonométricas son pues números abstractos

Grafico de las Funciones trigonométricas La forma más sencilla para construir el grafico de las funciones trigonometricas es representar los pares de puntos que se obtienen tras realizar una tabla de valores en la que se relacionan los valores de los angulos (preferentemente expresados en radianes) y el valor de la funcion trigonométrica correspondiente. Tomaremos como ejemplo el grafico de la funcion seno cuya expresión analítica es: y=senx ángulo en radianes (x)

0

π/6

π/4

1/2π

π

4/3π

3/2π

5/3π

2π

4π

seno (y)

0

1/2

√2/2

1

0

-√3/2

-1

-√3/2

0

0

Confeccionada la tabla donde se relacionan algunos ángulos con sus senos, se representan los pares de puntos obtenidos en un Sistema de Coordenada Cartesianas. Sobre el eje de las abscisas (x) se marcan los valores de los angulos y sobre el eje de ordenadas (y) los valores de la funcion seno correspondiente. Se muestra a continuación el grafico de la funcion seno, coseno y tangente de un angulo.

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y = sen x y = tg x

y= cos x Signos de las funciones trigonométricas

De acuerdo con el cuadrante en que se halle el lado terminal del ángulo y teniendo en cuenta que la distancia de un punto cualquiera al origen de coordenadas es siempre positiva, y aplicando la "ley de los signos", las funciones trigonométricas pueden ser positivas o negativas. En la tabla de la parte inferior se resumen los signos de las funciones trigonométricas en cada uno de los cuadrantes. Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV

Seno + + -

coseno + +

tangente + + -

cotangente + + -

secante + +

cosecante + + -

Tabla de las funciones trigonométricas de 0º, 30º,45º,60º y 90º sen cos tg

0º 0 √4/2 0

30º 1/2 √3/2 √3/3

45º √2/2 √2/2 1

60º √3/2 1/2 √3

90º √4/2 0 ∞

Líneas trigonométricas Las razones trigonométricas deducidas en un círculo goniométrico se corresponden con los valores de ciertos segmentos de recta que se denominan líneas trigonométricas. A continuación vamos a colegir las líneas trigonométricas en el primer cuadrante. La forma de obtener las líneas trigonométricas en los otros tres cuadrante es similar.

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Las relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo dan lugar a cinco relaciones algebraicas que reciben el nombre de Formulas Fundamentales. Las mismas permiten conociendo una de las funciones trigonometriítas calcular las demás.

Formulas Fundamentales

sen 2 α + cos 2 α = 1 tgα =

sen α cos α

tg α =

1 cot g α

sec α =

1 cos α

sen α =

1 cos ec α

cos α =

1 − sen 2α

cot g α =

cos α sen α

cot g α =

1 tg α

cos α =

1 sec α

cos ec α =

1 sen α

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sen α = 1 − cos 2 α

Relaciones entre las funciones de los ángulos complementarios Se dice que dos ángulos son complementarios cuando su suma algebraica es igual a un ángulo recto. Cuando dos ángulos son complementarios uno cualquiera de ellos se llama complemento del otro. Según que la unidad de medida de los ángulos sean el grado Sexagesimal, el grado Centesimal o el Radian, un ángulo recto medirá: 90º o 100G o π/2. Tomando como referencia la unidad de medida del Sistema Sexagesimal diremos que si α y β son dos ángulos complementarios debe verificarse la definición

α + β = 90° ∴ α = 90° − β

o bien β = 90° − α

B

β

En el triangulo rectángulo CBA los ángulos agudo α y β son complementarios, es decir α + β = 90º. Se tiene que:

sen α =

a = cos β c

cot g α =

cos α =

b = senβ c

sec α =

tg α =

a = cot g β b

c

a

γ

α

b = tg β a

A

b

C

c = cos ec β b

cos ec α =

c = sec β a

Así, cualquier función de un ángulo agudo, es igual a la correspondiente cofunción de un ángulo complementario. Resolución de Triángulos Rectángulos Resolver un triangulo es calcular los elementos desconocidos del B mismo en función de los que se conocen y que para ello, es β necesario y suficiente conocer tres elementos, entre los cuales c figure por lo menos un lado. a Cuando resolvemos triángulos rectángulos uno de los elementos, el áng. recto es conocido a priori, luego para tener los tres datos α γ bastara conocer otros dos elementos que podrán ser dos lados, o A C b bien un lado y un ángulo agudo. Las relaciones que vinculan los elementos conocidos con las incógnitas serán las funciones trigonométricas de ángulos agudos y el Teorema de Pitágoras.

• sen α =

a c

sen β =

b c

Relaciones entre los lados y ángulos

a = c senα b = c senβ

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cos α =

b c

b = c cos α

cos β =

a c

a = c cos β

tg α =

a b

a = b tg α

tg β =

b a

b = a tg β

•

b a a cot g β = b

cot g α =

b = a cot g α a = b cot gβ

Relaciones entre los lados

Los tres lados de un triángulo rectángulo están relacionados por el teorema de Pitágoras, el que permite escribir:

c2 = a2 + b2

•

Relación entre los ángulos agudos

En todo triangulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos. Luego:

α + β + γ = 180°

pero si el triángulo es rectángulo es :

γ = 90°

luego:

α + β = 90° Como estas relaciones ligan los elemento del triangulo tres a tres, resulta que conocidos dos de ellos, podemos determinar el tercero.

• Formula de la superficie Para un triángulo cualquiera la formula general es:

1 S = bh 2

Pero si el triangulo es rectángulo uno de los catetos se puede considera como base y el otro como altura. Luego podemos escribir:

1 S = ba 2

Funciones circulares inversa. La inversa de la función goniométrica y = sen α es la función α = ang. sen y y se lee “α e el ángulo cuyo seno vale y” si expresamos la función circular Ej: α = 30º la inversa de la función es

y = sen x x = arc sen y x será entonces la medida del ángulo y = sen 30º α = arc sen 0,5

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y = 0,5 α = 30 º

En forma análoga se definen las inversas de las otras funciones circulares x = arc sen y x = arc cos y x = arc tg y

x = arc cosec y x = arc sec y x = arc cotg y

Resolución de triángulos oblicuángulos Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo. Como en todo triángulo, los elementos son los tres ángulos α, β y γ y los tres lados respectivos, opuestos a los anteriores, a, b y c. No obstante, cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, que queda asumido como caso particular y cuya resolución ya ha sido tratada en esta guia.

Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado). A

Teorema del seno En el triangulo ABC, no necesariamente rectángulo, trazamos la perpendicular de uno de sus vértice (A) al lado opuesto. Los triángulos BDA y ADC son rectángulos. B

D

En el BDA se cumple:

sen β =

h c

⇒ h = c sen β

c sen β = b sen γ Generalizando

sen γ =

⇒

h b

⇒ h = b sen γ

c b = senγ senβ

c b a = = senγ senβ senα Teorema: En todo triangulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos

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C

Teorema del coseno: nuevamente hacemos referencia al triangulo de la figura que se adjunta. En el triángulo ABC, al trazar la perpendicular del vértice A al lado opuesto, se forman los triángulos rectángulos BDA y ADB. A

Entonces se cumple:

b 2 = h 2 + Pb

Pb = BC − Pc

2

(1)

BC = a B

b 2 = h 2 + ( a − Pc )2

C D

Reemplazando Pb

por su igual en (1)

Desarrollando el cuadrado del binomio

b 2 = h 2 + a 2′ − 2a Pc + Pc (2 )

h 2 = c 2 − Pc

2

En el triangulo BDA 2′

b 2 = c 2 − Pc + a 2 − 2a Pc + Pc

2

2

Pc = c cos β

Entonces reemplazando h2 en (2)

Simplificando y reemplazando

b 2 = a 2 + c 2 − 2a c cos β Teorema de coseno: en todo triangulo, el cuadrado de uno de sus lados es igual a suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el duplo del producto de esos lados por el coseno del ángulo comprendido.

a 2 = b 2 + c 2 − 2b c cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2a c cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ Calculo del Area

A

Sabemos que la superficie de un triángulo es: (1) En el triángulo ADC

base altura S= h sen γ = 2 ∴ h = b senγ b

D

B

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C

Reemplazando en la igualdad (1) h por su igual en (2)

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S=

a b sen γ 2

Teorema Fundamental: El area de un triángulo es igual al semi producto de las medidas de dos de sus lados por el sen del ángulo comprendido. Fórmula de Herón- Área del triángulo en función de los tres lados

S=

p ( p − a )( p − b )( p − c )

Siendo : a, b, c los lados del triangulo y p el semi perímetro

p=

a+b+c 2

Teorema: El área de un triangulo cualquiera, es igual a la raíz cuadrada del producto del semi perímetro, por cada uno de los números que se obtiene de restar a este cada una de las medidas de los lados del triangulo. Para investigar. La tabla siguiente contiene un listado de materiales para cubiertas de techos inclinados. Completar los datos consignando en la misma los ángulos mínimos en grados sexagesimales que deben formar dichos techos con la horizontal y expresando además la pendiente en porcentaje. Angulo mínimo Pendiente (%) Cubierta Teja francesa sin entablonado 30º 57,7% Teja francesa con entablonado 15º Teja colonial Teja de fibra de vidrio Cubierta de pizarra Chapa acero galvanizadas Chapas de fibrocemento Chapa de aluminio

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Ejercicios de aplicación 1- Determinar los ángulos complementarios Respuestas a α = 5º 17’34” α´ = 84º 42’26” b β = 63º 04’15” β´ = 26º 55’45” c γ = 32,5º γ ´ = 57,5º 2. Hallar los ángulos suplementarios

a α = - 48º 51’37” b β = 152º 12’14” c γ = - 32,5º

Respuestas α´ = 131º 08’23” β ´= 27º 47’46” γ ´ = 147,5 º

3. Expresar la medida exacta del ángulo en grados, minutos y segundos

sexagesimales a α = 2 Rad b β = 5 Rad c γ = 23G 45M 67,8S

Respuestas α´ = 114º 35’ 29,6” β´= 286º 28’44” γ´ = 21º 6´39,97¨

4. Hallar la medida exacta del ángulo en Grados Sexagesimales.

a α = 2π/3 Rad b β =7π/2 Rad c γ = 9π/4 Rad

Respuestas α´ = 120º β´= 630º γ ´= 405º

5. Si un arco de circunferencia de longitud igual a 10 cm subtiende un ángulo central θ

= 4 Rad, hallar el radio de la circunferencia. Respuesta: radio = 2,50 cm

6. En un predio para Exposiciones al aire libre, se subdividen para alquilar parcelas en

dos espacios circulares de diferente tamaño. El primero de 45 m de diámetro en 6 partes. Cada 2 de ellas alquilada quincenalmente en $2000. Si el segundo círculo tiene un 30 % más de superficie que el primero, y se lo divide en 8 parcelas iguales.. Responder a. ¿Cuánto medirá el diámetro del segundo predio? b. ¿Cuánto medirá el perímetro de dos parcelas consecutivas del primer circulo subdividido? c. Cuanto medirá el perímetro de tres parcelas consecutivas del segundo circulo subdividido? Respuestas: a. Ø = 51,31 m b. Perímetro = 92,12 m c. Perímetro = 111,75 m

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7. La gran pirámide de Egipto mide 147 m de altura, con una base cuadrada de 230 m

por lado. Calcule cuantos grados minutos y segundos sexagesimales mide el ángulo α que se forma cuando un observador se sitúa en el punto medio de una las arista de la base y observa la cúspide de la pirámide.

α

Respuesta: α = 51º 57´ 48,49¨

8. El fabricante de un sistema de proyección recomienda instalar un proyector en un

techo como se muestra en la figura. La distancia del extremo del soporte de montaje al centro de la pantalla es de 85,5 pulgadas y el ángulo de depresión es de 30º. Nota: 1 pie (1´) = 12 pulgadas. 1 pulgada (1¨) = 2,54 cm Responder Si se desprecia el espesor de la pantalla ¿a que distancia de la pared debe montarse el soporte? b. Si el soporte mide 18 pulgadas de largo y la pantalla esta a 6 pies de altura, determine la distancia del techo al borde superior de la pantalla. a.

18¨ 30º

6´

85,5

Grafico sin escala Respuestas: a. b.

74,05 pulgadas = 188,09 cm 24,75 pulgadas = 62,87 cm

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9. Un puente levadizo mide 150 m de largo extendido sobre un río como se muestra en

el dibujo. Las dos secciones del puente pueden girar hacia arriba hasta un ángulo α= 35º. a. Si el nivel del agua esta a 15 m abajo del puente cerrado, hallar la distancia d entre el extremo de una sección del puente y el nivel del agua cuando el puente esta abierto por completo. b. ¿Cual es la separación s entre los extremos de las dos secciones cuando el puente esta abierto por completo? Respuestas: a. d = 58.00 m b. s = 27,13 m

s

α

d 15.00

Grafico sin escala

150.00

10. Un agrimensor puede medir con el teodolito el ángulo β= 85º que le permite desde

su posición observar en su totalidad el edificio que se muestra en el dibujo. La mira del teodolito esta a una altura de 1.60 del nivel de piso.(± 0,00) Los datos proporcionados son: α = 5º β= 85º y el grafico acotado. Responder a. ¿A que distancia se encuentra el teodolito? b. ¿Cuál será la altura total del edificio?

Respuestas: a. b.

34,29 m h = 157,50 m

β 1.60 α Grafico sin escala

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3.00