Fenómenos críticos en sistemas átomo-campo (Critical phenomena in atom-field systems)

 

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO POSGRADO EN CIENCIAS FÍSICAS INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES

FENÓMENOS CRÍTICOS EN SISTEMAS ÁTOMO-CAMPO

QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: DOCTOR EN CIENCIAS (FÍSICA)

PRESENTA: MIGUEL ANGEL BASTARRACHEA MAGNANI

TUTOR PRINCIPAL: JORGE GUSTAVO HIRSCH GANIEVICH INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES, UNAM MIEMBRO DEL COMITÉ TUTORAL: ROCÍO JÁUREGUI RENAUD INSTITUTO DE FÍSICA, UNAM MIEMBRO DEL COMITÉ TUTORAL: OCTAVIO HÉCTOR CASTAÑOS GARZA INSTITUTO DE CIENCIAS NUCLEARES, UNAM MÉXICO, D. F. ENERO 2016  

 

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Agradecimientos Son muchos a quienes les debo agradecer el haber logrado este trabajo. Es el final de un largo proyecto lleno de aciertos y tropiezos, de tristeza y de felicidad. Una gran cantidad de personas importantes me han acompa˜ nado en las peripecias de este camino. Pero entre estas personas, en particular les dedico este texto a los siguientes. En primer lugar, a Nadia R. Eres parte de mi vida y no podr´ıa haber logrado todo esto sin ti. He pasado contigo muchos a˜ nos de aventuras y desventuras. Pero se que si hay alguien en quien puedo confiar mi vida, esa eres t´ u. En segundo lugar a mi familia. A mis padres Hayde´e y Jos´e Luis pues a pesar de las grandes dificultades a lo largo de todos estos a˜ nos, se que est´an ah´ı y siempre lo estar´an para mi. A mi abuela Hayde´e que, aunque ya no me recuerda, yo siempre recordar´e su ayuda en los momentos dif´ıciles. A mi hermano Luis que me ha ense˜ nado a seguir vivo y a mi hermano Diego por su fortaleza para seguir adelante. A Raquel por sus ganas de luchar y nunca dejar de echarle ganas. Y a Isabel, Andrea, Antonia y Bulmaro por todo el amor y el cari˜ no. En tercer lugar, a mi mentor y amigo Jorge H. quien no s´olo me ha ense˜ nado tanto en la f´ısica, sino tambi´en en la vida. Gracias por tan buenas charlas, que, en diferentes ocasiones me ayudaron a seguir adelante. Y tambi´en, muchas gracias por confiar en mi. Tambi´en dedico este trabajo a todos mis amigos, con los que he pasado muchas aventuras en este y en otros mundos. Muchas gracias por haber compartido la vida y tantas historias conmigo: Giovani, Alina, Pepe, Paco, Rafa, Carlos, Samuel y Minerva. Y a aquellos que son mis amigos sin importar las circunstancias y en los que se que puedo confiar. Gracias por todo el apoyo: Cuauhtli, Gilberto, Hayde´e, Gustavo, Aitor y Tal´ıa. Por u ´ltimo, al C´ırculo de Copilco por todas esas veladas de intensa actividad intelectual. Gracias Eduardo, Iv´an, Gerardo e Irene. Asimismo, le agradezco a Blas R. L., porque sin ´el este trabajo no hubiera sido posible. Gracias por tantas recomendaciones y charlas durante los u ´ltimos a˜ nos. Igualmente, le dedico este trabajo a Sergio L., por haberme ayudado a recuperar el gusto por la f´ısica y por nuestra colaboraci´on, que espero siga muchos a˜ nos m´as. Finalmente, te dedico esta tesis Carolina F. Cambiaste mi vida para siempre y aunque llegaste al final, siempre ser´as importante para mi.

Abstract This PhD thesis gathers my work about the Dicke model over the last years. The purpose of this text is double. First, to be a complete review of the Dicke Hamiltonian, a simple model originally employed to describe the atom-field interaction, which in the last years has gained renewed interest both practical and theoretical for applications over different fields such like the quantum computation and quantum information theory. As a toy model, the Dicke model allows the study of several topics like quantum chaos and quantum phase transitions. Therefore, as a review, we present the complete thermodynamic treatment and the semiclassical approximation employing coherent states to exhibit one of the most important features of the Hamiltoniano, the superradiant phase transition. In second place, we have developed and applied efficient numerical solutions to the Hamiltonian. Given the algebraic features of the model, until now, there is no way to solve it analytically, so it is necessary to do it numerically in an efficient manner such that it can be possible to access to the huge richness its spectrum possess. By employing a previous proposal, we have studied the convergence of this numerical solutions and we showed their advantages. Then, we applied these solutions in order to study the Hamiltonian spectrum, where we found regions of quantum chaos and regularity, as well as, the excited-state quantum phase transitions (ESQPT). First, we employed Peres lattices to study qualitatively this fetures of the spectrum. Then, we go deeper into the properties of the model from a quantitatively point of view, using a quantum-classical corrrespondence. We analized the properties of the energy surfaces along the Poincar´e sections of the correspondent classical model. Also, we studied the level statistics by taking advantage of the semi-classical density of states. With all of this, we identified in both levels, classical and quantum, the chaos and regularity in the spectrum, as well as, the meaning of the ESQPT.

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Resumen Esta tesis de doctorado recopila mi trabajo sobre el modelo de Dicke en los u ´ltimos a˜ nos. La intenci´on de este texto es doble. Primero, hacer una revisi´on completa del Hamiltoniano de Dicke, un modelo sencillo originalmente usado para describir la interacci´on ´atomo-campo, que en los u ´ltimos a˜ nos ha resultado de inter´es tanto te´orico como pr´actico para aplicaciones en diferentes ´areas como la teor´ıa de la informaci´on y el c´omputo cu´anticos. Como modelo de juguete, el modelo de Dicke posibilita el estudio de varios temas como el caos cu´antico, las transiciones de fase cu´anticas. As´ı, a modo de revisi´on, presentamos el tratamiento termodin´amico completo y el semi-cl´asico con estados coherentes para exhibir uno de sus aspectos m´as importantes: la transici´on de fase superradiante. En segundo lugar, se desarrollaron y aplicaron soluciones num´ericas eficientes al Hamiltoniano. Dadas las caracter´ısticas del modelo, hasta ahora no hay una forma de resolverlo anal´ıticamente, por lo que es necesario hacerlo num´ericamente de forma que se pueda acceder a la enorme riqueza de su espectro. Retomando una propuesta previa, estudiamos la convergencia de estas soluciones num´ericas eficientes y mostramos sus ventajas. Luego, aplicando estas soluciones nos fue posible estudiar el espectro del Hamiltoniano, donde encontramos regiones de caos cu´antico y de regularidad, as´ı como las transiciones de fase cu´anticas de estados excitados (ESQPT). Primero, usando las redes de Peres, estudiamos cualitativamente estas caracter´ısticas del espectro. Luego, profundizamos en las propiedades del modelo en forma cuantitativa usando una correspondencia cu´antico-cl´asica. Analizamos las propiedades de las superficies de energ´ıa junto con las secciones de Poincar´e del modelo cl´asico correspondiente. Tambi´en, estudiamos la estad´ıstica de niveles aprovechando la densidad de estados semi-cl´asica. Con todo esto, pudimos identificar en ambos niveles, cl´asico y cu´antico, el caos y la regularidad en el espectro, as´ı como darle significado a las ESQPT.

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Publicaciones Publicaciones de partida de la tesis. Algunos de los resultados que se muestran fueron publicados previamente al desarrollo del trabajo de tesis doctoral y pertenecen a mi trabajo de maestr´ıa. 1. M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Numerical Solutions of the Dicke Hamiltonian. Rev. Mex. Fis. S 57 (3), 0069 (2011). Publicaciones en las que estos resultados fueron reportados. Las siguientes publicaciones son resultado directo del trabajo de la tesis doctoral. 1. M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Convergence in numerical Solutions of the Dicke Hamiltonian. AIP Conf. Proc. 1488, 418 (2012). 2. M. A. Bastarrachea-Magnani, O. Casta˜ nos, E. Nahmad-Achar, Ram´on L´opezPe˜ na, y J. G. Hirsch, Fidelity, susceptibility and critical exponents in the Dicke model, Proceedings of Nuclear Physics Symposium (Cocoyoc). J. Phys.: Conf. Ser. 492, 012012 (2014). 3. M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Efficient basis for the Dicke Model I: theory and convergence in energy. Phys. Scrip. T160, 014005 (2014). 4. J. G. Hirsch and M. A. Bastarrachea-Magnani, Efficient basis for the Dicke Model II: wave function convergence and excited states. Phys. Scrip. T160, 014018 (2014). 5. M. A. Bastarrachea-Magnani and J. G. Hirsch, Peres Lattices and Chaos in the Dicke Model. J. Phys.: Conf. Ser. 512, 012004 (2014). 6. M. A. Bastarrachea-Magnani, S. Lerma-Hern´andez, and J. G. Hirsch, Comparative quantum and semiclassical analysis of atom-field systems. I. Density of states and excited-state quantum phase transitions. Phys. Rev. A 89, 032101 (2014). 7. M. A. Bastarrachea-Magnani, S. Lerma-Hern´andez, and J. G. Hirsch, Comparative quantum and semiclassical analysis of atom-field systems. II. Chaos and regularity. Phys. Rev. A 89, 032102 (2014). 8. M. A. Bastarrachea-Magnani, B. L´opez-del-Carpio, S. Lerma-Hern´andez, and J. G. Hirsch, Chaos in the Dicke model: Quantum and Semiclassical analysis. Phys. Scripta. , (2015).

Publicaciones resultantes de esta tesis. El siguiente trabajo se ha desarrollado a partir de esta tesis, sin embargo, por cuestiones de espacio se ha decidido no incluirlo. 1. M. A. Bastarrachea-Magnani, B. L´opez-del-Carpio, J. Ch´avez-Carlos, S. LermaHern´andez, and J. G. Hirsch, Delocalization and quantum chaos in atom-field systems. arXiv:1509.05918 (2015).

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´Indice general Agradecimientos

I

Abstract

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Resumen

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Publicaciones

VII

´Indice general

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Prefacio

XIII

1. C´ omputo e Informaci´ on Cu´ anticos 1.1. El c´omputo y la teor´ıa de la informaci´on . . . . . 1.1.1. C´omputo e informaci´on cl´asicos . . . . . . 1.2. Los recursos cu´anticos . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Enredamiento . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Coherencia y decoherencia . . . . . . . . . 1.3. Codificaci´on de qubits. . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.3.1. Atomos naturales . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.3.2. Atomos artificiales . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Fotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Poniendo las piezas juntas. . . . . . . . . . 1.4. Algunos modelos para describir sistemas de qubits 1.4.1. Hamiltonianos para a´tomos artificiales . . 1.4.2. Hamiltoniano de Lipkin-Meshkov-Glick . . 1.5. Conclusiones del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . .

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2. El modelo de Dicke ´ 2.1. Atomos en cavidades . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Cuantizaci´on del campo electromagn´etico 2.1.2. Hamiltoniano at´omico . . . . . . . . . . 2.2. Hamiltoniano de Dicke y la RWA . . . . . . . . 2.2.1. El modelo de Dicke . . . . . . . . . . . .

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2.2.2. Los Hamiltonianos de Rabi y Jaynes-Cummings . 2.2.3. El Hamiltoniano de Tavis-Cummings . . . . . . . 2.3. El modelo de Dicke en el contexto actual . . . . . . . . . 2.3.1. Superradiancia y teorema no-go . . . . . . . . . . 2.3.2. Comentario sobre las realizaciones experimentales 2.3.3. Inter´es te´orico en el Hamiltoniano de Dicke . . . . 2.3.4. Algunas extensiones y modificaciones del modelo 2.4. Conclusiones del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. La transici´ on de fase t´ ermica 3.1. Un poco de historia . . . . . . . . . 3.2. Un breve repaso de Termodin´amica 3.3. La funci´on de partici´on can´onica . . 3.4. Promedios termodin´amicos . . . . . 3.4.1. N´ umero de fotones . . . . . 3.4.2. Operadores de pseudoesp´ın . 3.5. Tavis-Cummings. δ = 0. . . . . . . 3.5.1. Fase normal de TC . . . . . 3.5.2. Fase superradiante de TC. . 3.6. Dicke. δ = 1. . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Fase normal de Dicke. . . . 3.6.2. Fase superradiante de Dicke 3.7. Caso intermedio δ 6= 0 . . . . . . . 3.8. Diagrama de fases . . . . . . . . . . 3.9. Conclusiones del cap´ıtulo . . . . . .

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4. La QPT superradiante y la aproximaci´ on semi-cl´ asica 4.1. Transici´on de fase t´ermicas y cu´anticas . . . . . . . . . . 4.2. Hamiltoniano algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. La representaci´on sim´etrica . . . . . . . . . . . . 4.2.2. La paridad del Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . 4.3. Hamiltoniano semi-cl´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Superficie de energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. El estado base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Estado base de Dicke . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Conclusiones del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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33 33 34 35 38 38 39 41 42 46 50 52 56 60 61 62

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67 67 70 70 70 73 73 75 77 81

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5. Soluciones al Hamiltoniano de Dicke 5.1. Soluciones en el l´ımite termodin´amico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Fase normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Fase superradiante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. L´ımites y posibilidades de las soluciones con la aproximaci´on de HolsteinPrimakoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

83 83 84 87 90

5.2. L´ımites integrables del modelo. . . . . . . . . . 5.2.1. Soluciones en el l´ımite γ → 0. . . . . . . 5.2.2. Soluciones en el l´ımite ω0 → 0. . . . . . . 5.3. Soluciones num´ericas . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Breve comentario sobre las soluciones anal´ıticas 5.5. Conclusi´on del Cap´ıtulo 5 . . . . . . . . . . . . 6. Convergencia de las soluciones num´ ericas 6.1. Convergencia del estado base . . . . . . . . 6.1.1. Criterio de convergencia en la energ´ıa 6.1.2. Truncamiento para el estado base . . 6.1.3. Truncamiento contra precisi´on . . . . 6.2. Convergencia en los estados excitados . . . . 6.3. Convergencia en la funci´on de onda . . . . . 6.3.1. Criterio de convergencia en la funci´on 6.4. Aplicaci´on: Susceptibilidad de la Fidelidad . 6.5. Conclusiones del cap´ıtulo 6 . . . . . . . . . .

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7. El Espectro, el caos y la ESQPT 7.1. Caos y regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Integrabilidad y caos cl´asico . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Caos cu´antico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.3. Estad´ıstica de niveles . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. BCE con la paridad bien definida . . . . . . . . . . . . . 7.3. Redes de Peres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1. Redes de Peres en el modelo de Tavis-Cummings 7.3.2. Redes de Peres en el modelo de Dicke . . . . . . . 7.4. ESQPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. ESPQT en los modelos de Dicke y TC . . . . . . 7.5. Conclusiones del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8. Correspondencia cu´ antico-cl´ asica 8.1. Estructura de las superficies cl´asicas . . . . . . . 8.2. Aproximaci´on semi-cl´asica a la DoS . . . . . . . 8.2.1. Caso Tavis-Cummings (δ = 0) . . . . . . 8.2.2. Caso Dicke (δ = 1) . . . . . . . . . . . . 8.2.3. Comparaci´on con la DoS . . . . . . . . . 8.3. Estad´ıstica de niveles . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Caos y correspondencia cu´antico-cl´asica . . . . . 8.4.1. Correspondencia en la fase normal . . . . 8.4.2. Correspondencia en la fase superradiante 8.5. Conclusiones del cap´ıtulo . . . . . . . . . . . . .

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Conclusiones de la Tesis

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Ap´ endices

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A. El qubit. 177 A.1. El sistema de dos niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 A.2. La esfera de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 B. Estados coherentes. ´ B.1. Algebra de Heisenberg-Weyl . . . . . . . . . . . . . B.1.1. Reglas de conmutaci´on y el espacio de Fock B.1.2. Estados coherentes de Glauber . . . . . . . . B.1.3. Propiedades de los estados coherentes . . . . ´ B.2. Algebra de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2.1. Operadores de pseudoesp´ın colectivos . . . . B.2.2. Espacio de estados de Dicke . . . . . . . . . B.2.3. Estados coherentes de Bloch . . . . . . . . . B.3. Propiedades de los estados coherentes de Bloch . .

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181 181 182 183 184 186 186 187 188 191

C. Deducci´ on de los traslapes de la BCE.

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Bibliograf´ıa

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Prefacio En este trabajo exploraremos las propiedades del modelo de Dicke, un paradigma de la o´ptica cu´antica que pese a tener m´as de sesenta a˜ nos sigue en boga gracias a su peculiar combinaci´on de simplicidad y riqueza te´orica. Originalmente fue propuesto por R. H. Dicke en el a˜ no de 1954. En aquella ´epoca gran parte del inter´es por desarrollar un modelo sencillo para la interacci´on radiaci´on-materia se deb´ıa a la necesidad de construir fuentes de emisi´on estimulada y coherente como el m´aser o el l´aser. Durante los a˜ nos 60 y 70, el estudio de la transici´on de fase t´ermica superradiante se convirti´o en una fuente de pol´emica hasta que se crey´o encontrar una respuesta sencilla: que no era posible experimentalmente. A´ un cuando algunos disent´ıan, el tema se enfri´o y no fue hasta finales de la d´ecada de los 90 y principios de este siglo que el tema de la transici´on de fase cu´antica en el modelo de Dicke regres´o de la muerte. La raz´on: el desarrollo tecnol´ogico. En las u ´ltimas d´ecadas el control sobre los sistemas cu´anticos ha avanzado notablemente, a tal grado que se les empez´o a considerar como candidatos para el c´omputo y el procesamiento de la informaci´on. Muchas ideas buenas en la f´ısica y en la ciencia en general, lo son no s´olo porque resuelven el problema para el cual fueron creadas, sino porque tambi´en tienen aplicaci´on en otras a´reas, es decir, tienen ´exito como modelo de diferentes sistemas. As´ı, el modelo de Dicke pas´o de ser una descripci´on sencilla de la interacci´on entre radiaci´on y materia, a una forma de modelar la interacci´on entre sistemas de dos niveles y osciladores, sea como un modelo de juguete de la interacci´on esp´ın-boson o como un modelo general de qubits interactuando con un resonador. El impulso definitivo al modelo lo trajo consigo la realizaci´on experimental de la transici´on de fase superradiante con un condensado de Bose-Einstein en redes ´opticas en el a˜ no 2010, El objetivo de este trabajo doctoral es, por una parte, realizar una revisi´on cr´ıtica del Hamiltoniano de Dicke, de su transici´on de fase t´ermica y promedios termodin´amicos -cuyas expresiones expl´ıcitas dif´ıcilmente se encuentran en la literatura- as´ı como de la transici´on de fase cu´antica superradiante. Por otro lado, exhibir la riqueza de su espectro accesible s´olo mediante soluciones num´ericas. Nuestra contribuci´on a la literatura es doble. Primero, a trav´es del desarrollo y estudio de soluciones num´ericas eficientes que permiten explorar el espectro del Hamiltoniano en regiones de inter´es f´ısico con gran facilidad. Segundo, aprovechando estas soluciones num´ericas y las propiedades algebraicas del Hamiltoniano, contribu´ımos al mostrar las propiedades de su espectro, en conexi´on con temas de gran importancia en la actualidad como el caos cu´antico, el enredamiento, la decoherencia y la termalizaci´on. Si bien, en este trabajo no nos centraremos en el enredamiento, la decoherencia y la termalizaci´on, xiii

sino m´as bien en el caos cu´antico y su correspondencia cl´asica en este Hamiltoniano, nuestro estudio senta las bases para la exploraci´on ulterior de estos temas. El Hamiltoniano de Dicke nos abre las puertas a gran variedad de sistemas y a una pl´etora de preguntas fundamentales sobre los sistemas cu´anticos y su conexi´on con la termodin´amica y la mec´anica cl´asica. Ya dicho esto, el trabajo se organiza como sigue. En el cap´ıtulo 1 a modo de motivaci´on daremos una breve introducci´on sobre el contenido de la teor´ıa de la informaci´on cu´antica y el c´omputo cu´antico. En el cap´ıtulo 2 presentaremos los pormenores del Hamiltoniano de Dicke, su deducci´on y el estado de la cuesti´on en t´erminos de sus realizaciones experimentales. En el cap´ıtulo 3 utilizaremos la termodin´amica del modelo y en el cap´ıtulo 4 usaremos las t´ecnicas del an´alisis semicl´asico para deducir la transici´on de fase cu´antica superradiante. En el cap´ıtulo 5 exploraremos los l´ımites integrables del Hamiltoniano y sus soluciones num´ericas eficientes. En el cap´ıtulo 6 discutiremos la convergencia de estas soluciones num´ericas, necesarias para poder explorar el espectro del Hamiltoniano y exhibir su riqueza. En el cap´ıtulo 7 examinaremos la idea de caos cu´antico y presentaremos el otro fen´omeno cr´ıtico del modelo: las transiciones de fase de estados excitados. La principal raz´on por la cual este trabajo tiene el t´ıtulo de fen´omenos cr´ıticos es porque incorporamos el estudio de estas transiciones. En el cap´ıtulo 8, analizaremos una correspondencia entre los resultados cu´anticos obtenidos mediante las soluciones num´ericas eficientes y los resultados cl´asicos obtenidos a trav´es de la aproximaci´on semi-cl´asica con estados coherentes para la transici´on de fase cu´antica de estos excitados y el caos en el espectro del Hamiltoniano. Finalmente, en el cap´ıtulo 9 presentaremos las conclusiones. Tambi´en incluimos tres ap´endices con informaci´on suplementaria y necesaria para entender algunos pasos dentro del trabajo, el Ap´endice A tiene una breve descripci´on del formalismo de los qubits; el Ap´endice B trata sobre los estados coherentes de Glauber y de Bloch y un poco sobre el ´algebra que les corresponde. Finalmente, el Ap´endice C trae los detalles sobre la deducci´on de los elementos de matriz de la base coherente eficiente.

xiv

Cap´ıtulo 1 C´ omputo e Informaci´ on Cu´ anticos El modelo de Dicke es un paradigma de la o´ptica cu´antica que tiene conexi´on con una gran variedad de sistemas y fen´omenos. Entre las disciplinas en las que el modelo resulta de gran inter´es tenemos el c´omputo cu´antico y la teor´ıa de la informaci´on cu´antica, que en nuestra ´epoca son de gran importancia tanto por la promesa de nuevos desarrollos tecnol´ogicos como para la discusi´on en f´ısica fundamental. A modo de introducci´on de la tesis, este primer cap´ıtulo est´a dedicado a una breve exposici´on de estos temas. Esto nos mostrar´a la importancia del modelo de Dicke para la investigaci´on actual y, por otro lado, nos servir´a de pre´ambulo para el lenguaje y notaci´on que seguiremos a lo largo del trabajo.

1.1. 1.1.1.

El c´ omputo y la teor´ıa de la informaci´ on C´ omputo e informaci´ on cl´ asicos

La computaci´on es una disciplina que tuvo su auge y crecimiento durante el siglo XX, desde el planteamiento de Alan Turing y otros en los a˜ nos 30 hasta la realizaci´on pr´actica a nivel electr´onico de estas ideas en lo que conocemos actualmente como computadoras. El c´omputo consiste en la implementaci´on de algoritmos para la realizaci´on de c´alculos y una computadora es un dispositivo f´ısico que nos ayuda a procesar informaci´on ejecutando algoritmos, es decir, un procedimiento bien definido con una descripci´on finita para realizar el procesamiento de la informaci´on [1]. Una de las cosas m´as importantes para realizar c´alculos es la cantidad de recursos que una computadora usa para resolver el problema, sea tiempo o espacio. A esto se le llama la complejidad de la computaci´on. La complejidad de los problemas computacionales se mide a trav´es del orden m´as alto en las expresiones para cuantificar los recursos computacionales. B´asicamente existen dos tipos de clases de complejidad computacional, los problemas P y NP. Los problemas P son, en t´erminos generales, aquellos que se pueden resolver sin problemas en computadoras cl´asicas. Se llaman as´ı porque la medida de sus recursos est´a en el orden polinomial. Mientras que los NP son los que no son de orden polinomial y en 1

consecuencia dif´ıciles de computar. El gran problema de la computaci´on actual es determinar si los problemas P y los NP en realidad corresponden a la misma clase de complejidad [2]. Por otra parte, las teor´ıas de la computaci´on conf´ıan en lo que se conoce como la tesis de Church-Turing. La tesis de Church-Turing dice que si un problema se resuelve en una computadora que reuna las condiciones de ser una m´aquina universal de Turing [3], entonces cualitativamente se podr´a resolver en todas las computadoras posibles. La m´aquina de Turing es un constructo abstracto, pero define la noci´on de computabilidad: si se puede resolver en ella, es computable. Originalmente, la tesis de Church-Turing no se refer´ıa a la complejidad, es por eso que se habla de la tesis de fuerte de Church-Turing que habla de m´aquinas de Turing probabil´ısticas [1]. No nos interesa profundizar en los problemas de la teor´ıa de la computaci´on, s´olo enfatizar que el problema de la complejidad se reduce al de verificar la computabilidad en las m´aquinas de Turing que cumplan la tesis fuerte y que considere las leyes de la f´ısica, puesto que los dispositivos de c´omputo siempre se encuentran realizados en sistemas f´ısicos a pesar de que se basan en modelos computacionales idealizados. Esto nos lleva a la teor´ıa de la informaci´on. La teor´ıa de la informaci´on tambi´en se desarroll´o a mitad del siglo XX con el objetivo inicial de responder preguntas pr´acticas ccomo definir la cantidad de informaci´on que conten´ıa un mensaje que se deseaba transmitir por canales de comunicaci´on -como el tel´egrafo y el tel´efono [4]. As´ı, el objetivo de la teor´ıa de la informaci´on es cuantificarla. La unidad m´ınima de informaci´on es entonces el bit, cuyos valores posibles son 0 y 1. Sin embargo, para describir, almacenar y procesar la informaci´on siempre se necesita de un sistema f´ısico, es decir, la informaci´on es f´ısica [5]. T´ıpicamente el valor digital de un 1 bit se representa f´ısicamente en sistema cl´asicos a trav´es de voltajes o magnetizaciones. La teor´ıa de la informaci´on trata sobre c´omo procesar la informaci´on y esto es de vital importancia para el c´omputo cu´antico. Es por eso que ambas disciplinas est´an fuertemente relacionadas entre s´ı. El siguiente paso natural es pensar en los sistemas cu´anticos, puesto que la mec´anica cu´antica es la descripci´on m´as fundamental de los sistemas f´ısicos y en u ´ltima instancia las computadoras se podr´ıan implementar y la informaci´on se podr´ıa codificar en ellos. Conforme los a˜ nos fueron pasando, las computadoras fueron desarrollando mayor capacidad y poder de c´omputo. Esto lo describe la Ley de Moore, una observaci´on emp´ırica que sugiere que cada dos a˜ nos se duplica el n´ umero de transistores en las computadoras [6]. Debido al crecimiento en el n´ umero de componentes, se dio lugar a un proceso de miniaturizaci´on. Por lo que, sucesivamente, las computadoras son cada vez m´as peque˜ nas llegando a niveles donde los efectos cu´anticos empiezan a jugar un papel no s´olo importante sino crucial. Inevitablemente, se volvi´o indispensable el estudio del c´omputo y del procesamiento de informaci´on en los sistemas cu´anticos. As´ı es como surgen la teor´ıa de la informaci´on cu´antica y el c´omputo cu´antico. El c´omputo cu´antico aparece entonces como respuesta a la necesidad de un nuevo paradigma en el desarrollo de las computadoras. Su objeto de estudio es el procesamiento de informaci´on e implementaci´on de algoritmos en sistemas cu´anticos. Por su parte, la informaci´on cu´antica es el an´alogo de la teor´ıa de la informaci´on y su objetivo ser´a la teor´ıa de la cuantificaci´on de informaci´on en los sistemas cu´anticos. Sin embargo, el prop´osito no es s´olo desarrollar 2

modelos computacionales y de procesamiento de informaci´on basados en los principios de la mec´anica cu´antica, sino tambi´en el dise˜ no y la construcci´on de computadoras basadas en estos principios, o computadoras cu´anticas. La esperanza es que las computadoras cu´anticas sean capaces de superar el poder de c´omputo de las computadoras cl´asicas al aprovechar los recursos cu´anticos. Los casos m´as importantes son el del algoritmo de factorizaci´on de Shor [7] y la transformada discreta de Fourier [8], algoritmos cu´anticos que resuelven problemas de manera polinomial y por tanto, eficiente. Por otro lado, en principio las computadoras cu´anticas podr´ıan superar barreras que las computadoras cl´asicas ven como infranqueables. Conforme los dispositivos de c´omputo se miniaturizan, no s´olo se empiezan a manifestar los efectos cu´anticos, sino que tambi´en los fen´omenos t´ermicos se convierten en una barrera para ciertos dispositivos. En particular, parece que la barrera existe con el c´omputo cl´asico pero el c´omputo cu´antico la puede superar. Por u ´ltimo, R. Feynmann propuso en 1982 la idea de los simuladores cu´anticos, sistemas cu´anticos de muchos cuerpos que se emplear´ıan para simular otros sistemas y resolverlos [9]. Estos, podr´ıan ser usados para estudiar problemas que una supercomputadora no podr´ıa. En la actualidad, aunque la promesa consist´ıa en que las computadoras cu´anticas fueran cualitativamente m´as poderosas que las cl´asicas, esto no ha sido probado en general. As´ı que probablemente las computadoras cl´asicas sigan estando en boga sin ser reemplazadas por completo por las cu´anticas. La investigaci´on est´a activa y ´esta es una raz´on m´as para dedicarse al estudio del c´omputo y de la informaci´on cu´anticos.

1.2.

Los recursos cu´ anticos

Como vimos, las computadoras cl´asicas utilizan informaci´on en t´erminos digitales. En el caso del mundo cu´antico se necesita substituir el bit por un an´alogo que funcione de manera similar. La opci´on natural para modelar un bit es a trav´es de una base de dos estados ortogonales en el espacio de Hilbert. A este bit cu´antico se le llama qubit (por su nombre en ingl´es de quantum bit). El qubit es un objeto matem´atico que se realiza en los sistemas f´ısicos. T´ıpicamente se representa de forma matem´atica a trav´es de un sistema de esp´ın 1/2 puesto que ´estos han sido ampliamente estudiados en la literatura desde los albores de la mec´anica cu´antica. Para ver los detalles de la representaci´on matem´atica del qubit, v´ease el Ap´endice 1. Al tratar al qubit como un objeto abstracto es posible desarrollar una teor´ıa general independiente del sistema f´ısico en particular en el que se realiza. La distinci´on principal con el caso cl´asico es que el qubit se puede preparar en una superposici´on arbitraria. Mientras el bit s´olo puede manifestarse en dos estados posibles, 0 y 1 el qubit puede estar en cualquier combinaci´on lineal de estos dos, |ψi = α0 |0i + α1 |1i.

(1.1)

Donde |0i y |1i son estados que se escogen para definir la base computacional. Aqu´ı α0 y α1 son n´ umeros complejos que cumplen la condici´on |α0 |2 + |α1 |2 = 1, para que el estado 3

est´e normalizado, y que nos permite interpretar a α0 (α1 ) como la amplitud de probabilidad de que el estado se encuentre en |0i (|1i) tras una medici´on. Cl´asicamente la informaci´on (que el estado sea 0 o 1) siempre se encuentra como tal antes y despu´es de una medici´on. Sin embargo, en el caso de los qubits, la informaci´on contenida en ellos s´olo se puede acceder antes, al preparar el estado, y despu´es, al medirlo. El resultado es que siempre que se mide un qubit se obtiene un bit de informaci´on. Despu´es de que el estado fue preparado y antes de la medici´on, el qubit est´a definido por las amplitudes de probabilidad complejas y, en este, sentido, es como si el qubit tuviese infinita informaci´on cl´asica [2]. La informaci´on cl´asica del qubit est´a oculta y s´olo se resuelve despu´es de la medici´on. Esto va de la mano del Teorema de No-Clonaci´on [15]. Puesto que no hay forma de determinar dichas amplitudes de probabilidad, o de determinar el estado cu´antico, sin hacer un n´ umero infinito de mediciones. Gracias al principio de superposici´on y, en general, a que al manipular los qubits se puede apelar a los recursos del mundo cu´antico, es que el c´omputo cu´antico y el procesamiento de informaci´on cu´anticos se han vuelto tan atractivos en las u ´ltimas d´ecadas. Por ejemplo, una de las t´ecnicas es el paralelismo cu´antico [1], en el que se pretende realizar c´alculos ’como si’ fuesen en paralelo desde el punto de vista del c´omputo cl´asico.

1.2.1.

Enredamiento

Uno de los aspectos fundamentales que distinguen a los qubits de los bits es el enredamiento. Originalmente fue se˜ nalado por A. Einstein, Podolsky y Rosen a trav´es de la paradoja EPR [10] y discutido por Bohr [11]. Fue E. Schrodinger, sin embargo, quien introdujo el t´ermino en alem´an Verschrankung para describir el fen´omeno y fue ´el quien lo tradujo personalmente al ingl´es como entanglement [12, 13]. En su respuesta a EPR, Schrodinger argument´o que respecto al enredamiento “el mejor conocimiento del todo no incluye el mejor conocimiento de todas sus partes, incluso si ellas se encontraran enteramente separadas y entonces virtualmente capaces de ser posiblemente mejor conocidas”[12]. Es decir, en un estado enredado hay mayor conocimiento del sistema completo que de sus partes por separado [15]. El enredamiento es un fen´omeno cu´antico que ocurre en sistemas cu´anticos con m´as de un subsistema. Se reconoce cuando el estado del sistema ya no se puede separar como el producto de los estados de sus subsistemas, lo que en t´erminos pr´acticos se denomina separabilidad. De esta forma, podemos definir un estado enredado a partir de lo siguiente: No existe una base tal que un estado enredado puede ser factorizado como el producto de estados individuales de cada subsistema. Un estado enredado no puede ser escrito en ninguna base como un producto entre los estados de los modos individuales de los subsistemas y es por eso que se relaciona con la “pureza” del estado cu´antico de cada subsistema. En t´erminos de qubits cuando hablamos de sistemas que poseen m´as subsistemas, hablamos de sistemas multipartitas o de m´ ultiples qubits [21]. Por ejemplo, si tomamos un sistema bipartita, es decir, de dos subsistemas, podemos tomar como ejemplo de estado enredado a los estados de Bell conocidos por ser estados de m´aximo enredamiento. En t´erminos de la polarizaci´on de fotones, horizontal H y vertical V , para dos 4

subsistemas A y B un estado de Bell ser´ıa, 1 |Ψ(+) i = √ (|HiA |HiB + |V iA |V iB ) . 2

(1.2)

De hecho, podemos escribir todos los estados de Bell en una notaci´on condensada: 1 |Ψ(±) i = √ (|HHi ± |V V i) , 2 1 |Φ(±) i = √ (|HV i ± |V Hi) . 2

(1.3)

Pero como ejemplo particular, tomemos el estado |Ψ(+) i en esta notaci´on, 1 |Ψ(+) i = √ (|H Hi + |V V i) 2

(1.4)

Podemos ver que 1.4 es un estado enredado al preguntarnos si existe un conjunto de coeficientes tales que se pueda expresar como un estado separable: 1 √ (|H Hi + |V V i) = (cα |Hi + sα |V i) × (cβ |Hi + sβ |V i) 2

(1.5)

Desarrollando el producto tendremos: 1 √ (|H Hi + |V V i) = cα cβ |H Hi + cα sβ |H V i + sα cβ |V Hi + sα sβ |V V i 2

(1.6)

√ Para satisfacer esta condici´on se debe cumplir que, simult´aneamente, cα cβ = sα sβ = 1/ 2 y cα sβ = sα cβ = 0. Sin embargo, esto es imposible. Por tanto, el estado no es separable en esta base. Ahora, vamos a mostrar que no es separable en ninguna base. Si tomamos a los estados: |αi = cos α |Hi + sen α |V i |α⊥ i = sen α| Hi − cos α |V i |Hi = cos α |αi + sen α |α⊥ i

(1.7)

|V i = sen α |αi − cos α |α⊥ i Se puede mostrar que los estados |αi y |α⊥ i son una base arbitraria de polarizaci´on en t´erminos del ´angulo α para cada uno de los dos fotones [15]. Entonces, cambiando el estado 5

 1.4 a la base general |αi, |α⊥ i , tenemos: 1 |Ψi = √ (|H Hi + |V V i) = 2 

1 cos α |αi + sen α |α⊥ i cos α |αi + sen α |α⊥ i + =√ 2

 + sen α |αi − cos α |α⊥ i sen α |αi − cos α |α⊥ i = (1.8) 1  2 2 ⊥ √ (cos α + sen α)|α αi + (cos α sen α − senα cos α)|α α i+ = 2  +(sen α cos α − cos α sen α)|α⊥ αi + (cos2 α + sen2 α)|α⊥ α⊥ i =
1 |Ψi = √ |α αi + |α⊥ α⊥ i 2 Vemos que, sin importar la base el estado siempre est´a enredado. Para sistemas mixtos, la condici´on de separabilidad est´a en t´erminos de la matriz de densidad. Un estado separable ser´ıa el que se puede escribir como [16], X ρ= pi ρiA ⊗ ρiB . (1.9) i

Cuando no es posible escribirlo as´ı, hablamos de un estado enredado. Regresando al caso general el enredamiento se puede relacionar con la “pureza” del estado cu´antico de cada subsistema. As´ı, para cada subsistema podemos obtener la matriz de densidad reducida ρA = T rB (ρ) y con ´esta cuantificar el enredamiento. Cuando se considera una sistema sin el otro, su estado es mixto, a´ un cuando se encuentran ambos en un estado enredado puro. As´ı, se puede identificar, a primera aproximaci´on, el enredamiento, a trav´es de las matrices de densidad reducidas de cada subsistema. Si T r [(ρA )2 ] = 1 el estado |Ψi no es enredado y si T r [(ρA )2 ] < 1 lo es. Por supuesto, hay otras formas de caracterizar el enredamiento como la entrop´ıa de Von Neumann, por ejemplo. La bibliograf´ıa es amplia y existe una gran discusi´on acerca de c´omo cuantificarlo [17]. En la actualidad, el enredamiento es un ingrediente clave en muchas aplicaciones del c´omputo, algoritmos y el procesamiento de informaci´on cu´anticos. Los ejemplos m´as claros son la teleportaci´on cu´antica, la encriptaci´on cu´antica y el paralelismo cu´antico [2, 15, 1]. Sin embargo, el tema de las correlaciones cu´anticas est´a lejos de cerrarse, pues ´estas no se re´ ducen s´olo al enredamiento, existen otras como la discordia cu´antica [18, 19, 20]. Esta se encuentra en relaci´on con otro tema importantes que comentaremos en la siguiente secci´on, la decoherencia. Por lo que respecta al enredamiento, la discusi´on acerca de ´el es amplia y muy extendida, sin embargo, no va ser un tema que abordaremos en este trabajo, a´ un cuando hay muchos estudios donde lo calculan sobre el Hamiltoniano de Dicke, por lo que no profundizaremos m´as al respecto.

1.2.2.

Coherencia y decoherencia

Para el c´omputo cu´antico y el procesamiento de informaci´on cu´antica el tema de la decoherencia es de vital importancia. La coherencia es un concepto proveniente de la o´ptica cl´asica 6

[22]. Vista de forma general, describe la correlaci´on entre las cantidades f´ısicas de una onda. Se podr´ıa definir como la concordancia de la evoluci´on de algunos procesos oscilatorios en el tiempo [23]. En particular, la idea de coherencia es que dada la suma de ondas, los t´erminos de interferencia se mantengan. Cuando estos t´erminos desaparecen porque los diferencias de fase var´ıan desordenadamente, la onda deja de ser coherente y se pierden las correlaciones. As´ı, cuando hablamos de coherencia en la o´ptica cl´asica, existe un tiempo de coherencia y una longitud de coherencia dentro de los cuales, las fases entre las diferentes componentes de la onda var´ıan conjuntamente y cantidades como los campos electromagn´eticos y sus intensidades est´an altamente correlacionadas [24]. Dado que la mec´anica cu´antica es una teor´ıa ondulatoria, el concepto de coherencia se hereda inmediatamente al mundo microsc´opico. En el caso cu´antico, cuando hay coherencia, las correlaciones cu´anticas como el enredamiento se mantienen, as´ı como otras cantidades como la pureza del estado cu´antico. Es decir, dentro de los tiempos y longitudes de coherencias, los efectos cu´anticos son predominantes. Por ejemplo, para el caso de un conjunto de a´tomos la coherencia se puede interpretar como la oscilaci´on conjunta en fase entre todos ellos, por eso, a trav´es de la inversi´on de poblaci´on hablamos de que el l´aser es un estado coherente. Por otra parte tenemos la decoherencia. Fuera de los tiempos y longitudes de coherencia, el estado cu´antico deja ser puro y se pierden las correlaciones cu´anticas. T´ıpicamente se entiende que la decoherencia es producto de la interacci´on con un medio ambiente o ba˜ no t´ermico y el resultado final es que lleva al sistema cu´antico al mundo cl´asico [25]. Por ejemplo, con los ´atomos, la emisi´on individual deja de ser coherente con la de los dem´as y al producirse una variedad de fases distintas, la emisi´on se vuelve t´ermica. Siendo la decoherencia el exponente de la destrucci´on de las correlaciones cu´anticas, es uno de los problemas m´as grandes que se presentan para el procesamiento y el almacenamiento ´ de informaci´on cu´antica. Esta evita, por ejemplo, la preservaci´on de los estados cu´anticos, es decir, borra las memorias cu´anticas. En otras palabras, la decoherencia provoca p´erdida de informaci´on cu´antica. Por esto, aunque la informaci´on cu´antica puede ser m´as “valiosa” que la cl´asica, es tambi´en m´as fr´agil. Es por eso que la mayor parte del esfuerzo en estas a´reas se centra en encontrar y dise˜ nar sistemas que poseen tiempos y longitudes de coherencia largos [26]. De igual forma que en el caso del enredamiento, no es objetivo de este trabajo el tema de la decoherencia, lo mencionamos pues es relevante para la investigaci´on en estas ´areas. Sin embargo, en la b´ usqueda por encontrar tambi´en, en diferentes sistemas, a´reas del espacio de Hilbert que sean menos susceptibles a la interacci´on con el ambiente y en consecuencias a la decoherencia, es importante el conocimiento de las propiedades espectrales de los sistemas cu´anticos, cosa en la que, como veremos en cap´ıtulos posteriores, este trabajo contribuye.

1.3.

Codificaci´ on de qubits.

Ahora bien, como hemos dicho la informaci´on es f´ısica. Por esta raz´on toca hablar ahora de c´omo codificar a los qubits o mejor dicho, en d´onde. El reto consiste en encontrar y describir sistemas cu´anticos adecuados para la implementaci´on de las computadoras cu´anticas y para el procesamiento de la informaci´on cu´antica; as´ı como en el desarrollo de t´ecnicas 7

experimentales para controlarlos. En la actualidad se encuentra gran variedad de sistemas desde a´tomos naturales e iones hasta a´tomos artificiales, es decir, sistemas controlables de dos niveles. A continuaci´on se describir´an brevemente estos sistemas con la pretensi´on de presentar un panorama general del estado de la cuesti´on [27].

1.3.1.

´ Atomos naturales

Los ´atomos naturales son sistemas de m´ ultiples niveles energ´eticos que, como su nombre lo indica, se encuentran en la naturaleza. Este es el caso de los ´atomos neutros y los iones. En estos sistemas, en principio, se pueden implementar qubits de forma inmediata. Los a´tomos neutros son los candidatos m´as obvios para realizar qubits, debido a que poseen muchos niveles de energ´ıa, algunos muy estables. Te´oricamente, los qubits se pueden realizar, bajo ciertas aproximaciones, sobre dos de esos niveles ´atomicos estables. Otro punto a favor es que el control que se ha logrado de los ´atomos neutros es muy grande. Ejemplos son el atrapamiento y enfriamiento con trampas magneto-´opticas [28] o las redes ´opticas (optical lattices) [29]. Experimentalmente, para codificar el qubit se pueden utilizar dos niveles de energ´ıa con una transici´on entre ellos que pueda ser estimulada v´ıa l´aser; esta transici´on at´omica establece un estado base y un excitado, quienes definen el sistema de dos niveles en cuesti´on. Entre las ventajas de los a´tomos neutros est´an que los qubits se pueden inicializar con relativa facilidad mediante bombeo ´optico y enfriamiento l´aser, manipular con radiaci´on electromagn´etica y medirse a trav´es de flourescencia inducida v´ıa l´aser. Adem´as, debido a su d´ebil interacci´on con el ambiente y tambi´en entre ellos, tienen largos tiempos de coherencia (hasta del orden de segundos). Por otra parte, como desventaja, justo debido a que interact´ uan d´ebilmente entre s´ı es dif´ıcil enredar estados de m´ ultiples qubits. La otra opci´on a los a´tomos neutros son los iones. Como poseen carga el´ectrica, se pueden atrapar en campos electromagn´eticos. La fuerte interacci´on entre ellos facilita la implementaci´on de puertos de dos o m´as qubits (a diferencia de los ´atomos neutros) sin comprometer los largos tiempos de coherencia. En el caso de los iones, la informaci´on cu´antica puede ser codificada tanto en las transiciones at´omicas, analogamente al caso de los a´tomos neutros, as´ı como en los estados de movimiento colectivo. Los estados internos de energ´ıa, al igual que con los a´tomos neutros, exhiben tiempos de coherencia muy grandes; en cambio, los estados de movimiento no, pues son del orden de ms o menores. Con los iones la inicializaci´on tambi´en puede ser hecha con bombeo o´ptico y enfriamiento l´aser y se pueden medir con gran precisi´on con flourescencia inducida v´ıa l´aser. Actualmente se pueden enredar decenas de iones e implementar qubits en ellos [30].

1.3.2.

´ Atomos artificiales

Los ´atomos artificiales son sistemas f´ısicos dise˜ nados por el hombre que presentan un comportamiento similar al de los a´tomos naturales, por lo cual se puede codificar cu´anticamente informaci´on en ellos. Entre los que se han vuelto m´as populares por su progreso experimental 8

se encuentran los circuitos superconductores, as´ı como los espines en s´olidos donde podemos encontrar a los llamados puntos cu´anticos y las imperfecciones en diamante. Los circuitos superconductores son t´ıpicamente circuitos de escala microm´etrica que operan a temperaturas de mK. Aunque son macrosc´opicos pueden exhibir comportamientos cu´anticos aplicables al c´omputo cu´antico. Consisten en circuitos RLC que contienen elementos no lineales llamados uniones de Josephson. En general, un circuito LC es un oscilador arm´onico, por lo cual estos sistemas tienen un n´ umero infinito de niveles equiespaciados y no es posible tomar s´olo dos niveles para codificar el qubit. Por esta raz´on se introduce una no linealidad por medio de la uni´on, la cual permite cambiar el espaciamiento entre niveles y con esto utilizar los dos m´as bajos para implementar el qubit. Es m´as, hay varias formas de codificar qubits en estos circuitos: como qubit de carga (codificado en el n´ umero de electrones de superconducci´on en una peque˜ na isla), como un qubit de flujo (codificado en la direcci´on de la corriente en un ciclo); o como un qubit de fase (codificado en los estados oscilatorios del circuito). Para ver m´as sobre los diferentes tipos de qubits superconductores v´ease [31] y [32]. Los qubits de un circuito superconductor se pueden controlar por medio de microondas, voltajes, campos magn´eticos y corrientes, es decir, electr´onicamente, adem´as de que se les puede medir con gran precisi´on. Entre las ventajas que los qubits superconductores poseen se encuentran: que la resistencia, la fuente m´as seria de ruido y disipaci´on, se hace cero gracias a la superconductividad; podr´ıan permitir la realizaci´on del c´omputo cu´antico en chips pues se pueden dise˜ nar y acoplar en arreglos. La segunda es que los tiempos de coherencia de los qubits superconductores son largos, aunque no tanto como con los a´tomos naturales, pero pudiendo alcanzar decenas de µs. El otro conjunto de sistemas de ´atomos artificiales son los de espines en s´olidos. Dado que una part´ıcula con esp´ın s = 1/2 es b´asicamente un qubit (porque tiene dos estados posibles ±1/2), varios sistemas de estado s´olido donde es posible el control y medici´on de espines nucleares y electr´onicos resultan apropiados para su implementaci´on. Entre los m´as representativos se encuentran los puntos cu´anticos superconductores [33] y vacancias de nitr´ogeno NV en diamante [34]. Los puntos cu´anticos son nanoestructuras en las cuales los electrones son atrapados en tres dimensiones. Los centros NV son defectos en las capas de diamante donde se toman dos nitr´ogenos cercanos substituyendo un a´tomo de carb´on y una vacancia. Estos qubits de estado s´olido son atractivos porque, como los circuitos superconductores, pueden ser dise˜ nados en arreglos y con caracter´ısticas de acuerdo a la necesidad. Requieren temperaturas de algunos grados K y pueden ser manipulados el´ectrica y o´pticamente. Los tiempos de coherencia sin embargo son del orden de µs, menores que los de los circuitos pero a´ un as´ı bastante buenos. Tanto en ´atomos artificiales como en naturales el espaciamiento entre niveles de energ´ıa para los qubits es comparable y se encuentra en la regi´on de las microondas (iones y circuitos superconductores) o en la regi´on ´optica (´atomos neutros, iones y puntos cu´anticos). Por lo que, en t´erminos generales la tecnolog´ıa para la manipulaci´on de estos sistemas est´a disponible, o se est´a desarrollando -como en el caso del control fino con las microondas. En cualquier caso, hasta el momento son opciones viables para la implementaci´on de qubits. En 9

el caso particular de los ´atomos naturales tienen varios niveles con potencial de ser usados para codificar la informaci´on. Los niveles muy estables, protegidos contra decoherencia, se pueden usar para memorias cu´anticas y las transiciones r´apidas entre niveles para puertos de dos qubits. Por otra parte, los a´tomos artificiales son diferentes entre s´ı y tienen limitaciones geom´etricas, por lo que deben ser cuidadosamente dise˜ nados y fabricados. En este sentido, no se encuentran al alcance inmediato como los a´tomos naturales, pero pueden ser constru´ıdos a demanda.

1.3.3.

Fotones

Otro tipo de sistemas, diferentes a los ´atomos, en los que se han realizado qubits son los fotones. Los qubits se pueden codificar en la polarizaci´on, por ejemplo. La o´ptica cu´antica es la disciplina que se dedica al estudio de estos sistemas, de la naturaleza de la luz como part´ıcula y la interacci´on de ´esta con la materia. Los estados de fotones funcionan bien como qubits debido a que pueden llevar informaci´on cu´antica por largas distancias sin ser afectados severamente por ruido o decoherencia. Sin embargo, no son muy u ´tiles para memorias cu´anticas puesto que se ha vuelto dif´ıcil lograr la implementaci´on de puertos de dos o m´as qubits con ellos. El problema con los fotones al usarlos como qubits radica en que no es f´acil hacerlos interactuar ni se pueden tener confinados f´acilmente, por eso se piensa en que su utilidad radica en ser mensajeros de informaci´on entre los otros sistemas que la almacenan y procesan, es decir, como qubits viajeros. La bibliograf´ıa en torno a la implementaci´on de qubits en fotones es excesivamente amplia y s´olo los mencionamos aqu´ı para completar el panorama de los avances en el c´omputo y el procesamiento de informaci´on cu´anticos.

1.3.4.

Poniendo las piezas juntas.

En la actualidad se piensa que, para lograr la implementaci´on de una computadora cu´antica se pueden aprovechar todos los sistemas que hemos discutido. Mientras los a´tomos naturales pueden servir como memorias cu´anticas gracias a su protecci´on contra la decoherencia, los circuitos superconductores podr´ıan ser utilizados como unidades de procesamiento de informaci´on ya que se pueden dise˜ nar seg´ un la necesidad. Ambos pueden ser acoplados mediante fotones, como qubits viajeros, con lo cual se podr´ıa proveer de medios para lograr c´omputo cu´antico en grandes escalas, y comunicaci´on cu´antica de larga distancia. Es importante hacer notar que los ´atomos naturales han ganado terreno gracias al estudio de efectos cu´anticos en cavidades QED. Una cavidad QED (“Quantum Electrodynamics” por sus siglas en ingl´es) es una cavidad formada por paredes reflejantes en la que los modos de radiaci´on electromagn´etica son confinados e interact´ uan con a´tomos; de forma que no se puede ignorar la naturaleza cu´antica de los fotones para su descripci´on. El estudio de estos sistemas se denomina Electrodin´amica ´ Cu´antica de Cavidades [35]. Estas son de nuestro inter´es debido a que en ellas se puede lograr la interacci´on controlada entre fotones y ´atomos y los modelos te´oricos que estudiaremos versan sobre esto. Sin embargo, no profundizaremos en su estudio, m´as que bajo las aproximaciones que nos llevan al modelo de Dicke. 10

En el caso de los a´tomos artificiales se han vuelto populares los circuitos QED, tambi´en ´ para el c´omputo cu´antico [36]. Estos, de manera similar a las cavidades QED, confinan fotones en resonadores, para que interact´ uen con los ´atomos artificiales, es decir, con los qubits superconductores. En particular, uno de los primeros circuitos QED en desarrollarse fueron las cajas de pares de Cooper [37]. Una caja de pares de Copper es una peque˜ na isla superconductora donde se forma un qubit de carga a trav´es de los pares de Copper del superconductor. Ambos, las cavidades QED y los circuitos QED poseen caracter´ısticas parecidas entre s´ı que permiten describirlos con modelos similares. Debido a nuestro inter´es te´orico de describir estos sistemas, dejaremos atr´as las realizaciones experimentales de los diferentes sistemas f´ısicos con los cuales se pueden codificar qubits, y nos adentraremos en algunos de los modelos sencillos para describirlos.

1.4.

Algunos modelos para describir sistemas de qubits

En el siguiente cap´ıtulo describiremos a detalle el Hamiltoniano de Dicke nuestro objeto de estudio en este trabajo. Sin embargo, antes de eso, deseamos revisar brevemente algunos modelos cu´anticos que, por su simplicidad, se utilizan como aproximaci´on para describir varios de los sistemas experimentales antes mencionados.

1.4.1.

Hamiltonianos para ´ atomos artificiales

Como se describe en el Ap´endice A, la forma tradicional de describir a los qubits y a las operaciones sobre de ellos son las matrices de esp´ın de Pauli. Por otro lado, se ha demostrado que los circuitos superconductores se pueden comportar como part´ıculas cu´anticas [38]. En el caso de un qubit de flujo conformado con juntas Josephson en un circuito superconductor, el Hamiltoniano estar´a entonces dado por: h Hf q = − ( (f , fα ) σz + ∆ (fα ) σx ) 2

(1.10)

Donde se describe el qubit a trav´es de operadores de pseudoesp´ın y las matrices de esp´ın de Pauli. En este caso, ∆ es un acoplamiento de tunelaje entre los qubits de flujo, h es la eneg´ıa magn´etica, y fα y f son flujos. Este Hamiltoniano se puede usar, por ejemplo, para describir transiciones entre estados cu´anticos macrosc´opicos cl´asicos y cu´anticos [39]. Si tomamos ahora como ejemplo otro sistema de a´tomos artificiales que consiste en un cristal de iones confinado en una trampa at´omica interactuando con un campo magn´etico externo, en este caso los qubits estar´ıan codificados en los espines de estos iones. El Hamiltoniano que describe al sistema [40] est´a dado por: X z z HI = Jmn σm σn + Bσnx (1.11) m,n

Reconocemos a este Hamiltoniano como el de Ising con un campo magn´etico; un sistema bien conocido, siendo el modelo de dos dimensiones un paradigma de las transiciones de fase [41]. 11

Aqu´ı Jmn son coeficientes de acoplamiento entre los espines y B corresponde a un campo magn´etico externo. Hamiltonianos tipo Ising tambi´en son comunes para la descripci´on de sistemas de a´tomos artificiales y han sido estudiados desde hace mucho tiempo, en el contexto de sistemas magn´eticos, sobre todo por m´etodos num´ericos. Como u ´ltimo ejemplo de Hamiltonianos de sistemas de a´tomos artificiales, entre otros que hay en la literatura, tenemos el sistema compuesto por los espines electr´onicos, donde se codifican los qubits, en un ensamble de vacancias de nitr´ogeno en defectos de diamante o NV, interactuando con un resonador en microondas. El Hamiltoniano de este sistema est´a dado, bajo ciertas consideraciones [42], por: HN V = ~ωr a† a +

X
~X ωij σijz + ~ gij σij+ a + a† σij− 2 i,j i,j

(1.12)

Aqu´ı, a diferencia de los dos Hamiltonianos anteriores, aparece un t´ermino que describe un ´ modo de campo electromagn´etico dentro de una cavidad. Este, como veremos en el siguiente cap´ıtulo, se puede describir a trav´es de operadores bos´onicos de creaci´on y aniquilaci´on. Aqu´ı ωr es la frecuencia del modo de oscilaci´on, ωij es la frecuencia de transici´on entre cada qubit y por u ´ltimo hay un t´ermino de interacci´on entre el modo y el qubit correspondiente modulado por un par´ametro gij que contabiliza la fuerza del acoplamiento. La suma sobre j corre sobre dos ensambles de qubits, mientras que la suma sobre i corre sobre las diferentes frecuencias de transici´on y acoplamientos que pudiesen haber. Este Hamiltoniano es ya muy parecido a aquellos sobre los que versa este trabajo, los Hamiltonianos de Tavis-Cummings y de Dicke. En esta direcci´on, por ejemplo, acoplando los a´tomos artificiales a un modo de una cavidad resonante, el sistema se puede describir por [43]:  X ~
+ z † − † ωj σj + ~gj a σj + aσj (1.13) Hcircuit QED,T C = ~ωr a a + 2 j Como veremos el Hamiltoniano de Dicke es una forma general sencilla de Hamiltonianos de este tipo. Por lo pronto revisaremos brevemente el Hamiltoniano de Lipkin-Meshkov-Glick, un modelo sencillo de espines, cuya referencia como Hamiltoniano algebraico vale la pena tener presente.

1.4.2.

Hamiltoniano de Lipkin-Meshkov-Glick

Un Hamiltoniano importante por su similitud algebraica con el Hamiltoniano de Dicke es el modelo de Lipkin-Meshkov-Glick (LMG) [44]. Aunque el Hamiltoniano de LMG fue concebido inicialmente como un modelo de prueba para la f´ısica nuclear, y es bastante f´acil de resolver de manera exacta, tiene mucha informaci´on u ´til para sistemas conformados por operadores de pseudoesp´ın. Para modelar sistemas de espines interactuantes, ha sido sujeto de estudio por mucho tiempo, debido en parte a su simplicidad te´orica y su utilidad para la descripci´on de otros sistemas cu´anticos, el LMG es usado como una aproximaci´on a modelos tipo Ising y tambi´en es un ejemplo de c´omo tratar semi-cl´asicamente a transiciones de fase 12

de segundo orden en el l´ımite termodin´amico. El Hamiltoniano es: HLM G = Jz +


γ λ 2 J+ + J−2 + (J+ J− + J− J+ ) 2 2

(1.14)

Donde los operadores Jz , J+ y J− son sumas sobre matrices de esp´ın de Puli y en consecuencia se consideran operadores colectivos de pseudoesp´ın. Sus propiedades algebraicas se resumen en el Ap´endice B. En el modelo de LMG el t´ermino λ aniquila pares de part´ıculas en un nivel y crea pares en otro. Por otro lado el t´ermino γ baja una part´ıcula mientras sube otra y viceversa, siendo λ y γ la magnitud de estos acoplamientos. En cuanto a la soluci´on del Hamiltoniano, es f´acil de resolver pero no es trivial [45]. El Hamiltoniano adem´as, tiene una simetr´ıa de paridad que permite escribir a las eigenfunciones como combinaciones lineales de estados pares e impares. Este Hamiltoniano ha sido ampliamente estudiado y es de gran utilidad porque sirve como modelo de prueba para una gran cantidad de herramientas.

1.5.

Conclusiones del cap´ıtulo

A lo largo de este cap´ıtulo hemos discutido a modo de introducci´on y motivaci´on los aspectos generales del c´omputo y de la informaci´on cu´anticos, al igual que el desarrollo en la implementaci´on de qubits. El objetivo com´ un es la construcci´on de una computadora cu´antica, sin embargo, el desarrollo de estas disciplinas tambi´en podr´ıa ayudar a entender algunas de las reglas simples pero contraintuitivas de la mec´anica cu´antica y as´ı responder preguntas fundamentales. El Hamiltoniano de Dicke es un modelo viejo y sencillo pero con una gran riqueza te´orica que colinda con muchos de estos temas. Este trabajo no versa precisamente sobre estos, sino sobre el modelo de Dicke, sus soluciones, fen´omenos cr´ıticos y propiedades espectrales. Si bien, esta fue una introducci´on a uno de los panoramas dentro del cual el modelo de Dicke puede ser inscrito. A partir del siguiente cap´ıtulo empezaremos a tratar con el Hamiltoniano de Dicke.

13

14

Cap´ıtulo 2 El modelo de Dicke La primera parte de este cap´ıtulo est´a abocada a la derivaci´on del Hamiltoniano de Dicke en los t´erminos algebraicos que lo hacen de gran inter´es desde el punto de vista te´orico as´ı como en discutir brevemenre sus realizaciones experimentales. Por otro lado, en la segunda parte se discutir´a sobre el contexto del modelo en la actualidad, la relevancia de su estudio, y con algunas modificaciones o consideraciones t´ıpicas que se le hacen para estudiar todo tipo de sistemas.

2.1.

´ Atomos en cavidades

A continuaci´on haremos la deducci´on del Hamiltoniano de Dicke. Originalmente, ´este fue planteado por Dicke en 1954 [46] como una descripci´on sencilla del problema de N a´tomos en una cavidad interactuando con un modo de radiaci´on electromagn´etica. Supongamos N a´tomos dentro de una cavidad interactuando con radiaci´on electromagn´etica y las siguientes hip´otesis. Gas diluido. Los a´tomos conforman un gas diluido de densidad constante ρ de tal suerte que est´an lo suficientemente separados entre s´ı como para no interactuar entre ellos. Aproximaci´ on de onda larga. Pensando en que la longitud de onda del campo electromagn´etico en la cavidad es grande, permite escribir los potenciales electromagn´eticos, principalmente el potencial vectorial, como independientes de la posici´on. Es decir, todos los a´tomos interact´ uan con el mismo campo pues no ven su estructura. El Hamiltoniano del sistema completo que da cuenta de la interacci´on, est´a compuesto por dos partes. La primera ser´a la energ´ıa asociada al campo electromagn´etico dentro de la cavidad ´ Hf y la segunda a la energ´ıa ´atomo-campo H1 . Esta a su vez se deber´a separar en una parte asociada s´olo a los a´tomos H0 y otra a la interacci´on Hint . As´ı, nuestro Hamiltoniano final ser´a: HD = Hf + H1 = Hf + H0 + Hint (2.1) 15

En las siguientes secciones revisaremos cada uno de los t´erminos para construir el Hamiltoniano completo.

2.1.1.

Cuantizaci´ on del campo electromagn´ etico

La energ´ıa del campo electromagn´etico cl´asico est´a dada por,   Z 1 1 2 3 2 ~ r, t)| ~ r, t)| + |B(~ Hf = d r 0 |E(~ 2 V µ0

(2.2)

Donde 0 y µ0 son la permitividad y permeabilidad del vac´ıo respectivamente y V es el volumen efectivo considerado, en nuestro caso el volumen de la cavidad. Sea una cavidad electromagn´etica a lo largo de la longitud z de longitud L. Suponemos que la cavidad tiene longitud L en las tres direcciones pero, sin p´erdida de generalidad, tomamos en cuenta solamente en las oscilaciones del campo en direcci´on z. La cavidad se constituye de dos paredes perfectamente conductoras en z = 0 y z = L. Adem´as de cumplir las ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo, el campo de un s´olo modo debe ser una onda estacionaria que se propaga en direcci´on z y cuya amplitud es cero en las paredes. Suponiendo, que el campo est´a polarizado en direcci´on x, el campo el´ectrico est´a dado por, s 2 ~ t) = 2ω ex q(t) sen(kz), (2.3) E(z, V0 y, resolviendo las ecuaciones de Maxwell en el vac´ıo, el campo magn´etico es, s 1 2ω 2 ~ t) = B(z, ey q(t) ˙ cos(kz). ωc V0

(2.4)

Donde ex y ey son vectores unitarios en direcci´on x y y, ω es la frecuencia del modo electro√ magn´etico, k = ω/c es el n´ umero de onda y c = 1/ 0 µ0 la velocidad de la luz en el vac´ıo. El volumen efectivo de la cavidad se puede considerar como V = L3 . q(t) es un factor de dependencia temporal del campo. Finalmente, debido a que la cavidad tiene longitud finita, s´olo hay ciertos modos posibles, aquellos que cumplan, dada las condiciones de frontera, con ~ yB ~ en 2.2 tendremos que, . Si sustitu´ımos las expresiones para E ωm = cmπ L   2 Z 1 2ω 3 Hf = d r 0 q 2 (t)sen2 (kz)|ex |2 2 V V0  2    2 1 µ0 0 2ω 2 2 2 (2.5) + q˙ (t)cos (kz)|ey | = µ0 k V0  Z h i 1 2ω 2 µ0 0 Hf = d3 r q 2 (t)sen2 (kz) + 2 q˙2 (t)cos2 (kz) . 2 V k V Adem´as, sabemos que, Z LZ LZ

L 2

sen (kz)dx dy dz = L 0

0

0

2

Z 0

16

L

sen2 (kz)dz =

L3 V = . 2 2

(2.6)

Por lo que tendremos entonces, 1 Hf = 2



2ω 2 V



V 2

  1 q(t) + 2 q(t) ˙ . ω

(2.7)

Para obtener finalmente,
1 2 ω q(t) + q(t) ˙ . (2.8) 2 Ahora, s´olo nos resta pensar esta expresi´on como la de la energ´ıa de una part´ıcula de masa unitaria, donde su momento es p(t) = q(t) ˙ y reemplazar toda la expresi´on por sus operadores cu´anticos correspondientes. Con esto, el Hamiltoniano del campo se convierte en: Hf =


ˆ f = 1 ω 2 qˆ(t) + pˆ(t) . H 2

(2.9)

Nos conviene utilizar operadores de creaci´on y aniquilaci´on del ´algebra de Heisenberg-Weyl (ver Ap´endice 2), r r 1 1 a ˆ= (ω qˆ + iˆ p) , a ˆ† = (ω qˆ − iˆ p) , 2~ω 2~ω r r (2.10)

~ ~ω † † qˆ = a ˆ+a ˆ , pˆ = −i a ˆ−a ˆ . 2ω 2 Con lo cual los campos electromagn´eticos nos quedan como, r   ~ω ~ˆ E(z, t) = ex a ˆ(t) + a ˆ† (t) sen(kz), V0 r   −i ~ω ~ˆ ey a B(z, t) = ˆ(t) − a ˆ† (t) cos(kz). ωc V0

(2.11)

Y el Hamiltoniano del campo es,   1 † ˆ Hf (t) = ~ω a ˆ (t)ˆ a(t) + . 2

2.1.2.

(2.12)

Hamiltoniano at´ omico

Para escribir el Hamiltoniano at´omico suponemos que cada ´ atomo tiene s´ olo un electr´ on que participar´ a de la interacci´ on. As´ı, para cada ´atomo tenemos un carga interactuando con los campos electromagn´eticos externos. A trav´es del acoplamiento m´ınimo con un ~ ri , t), el Hamiltoniano dependiente del tiempo es, potencial vectorial A(~  N  2 X 1  e~ H1 (t) = p~i − A(~ri , t) + VCoulomb (~ri ) . 2m c i=1 17

(2.13)

Donde m es la masa de los ´atomos, p~i y ~ri son el momento y posici´on del i-´esimo ´atomo, ~ ri , t) son los potenciales escalar y vectorial del campo electromagn´etico y VCoulomb (~ri ) y A(~ respectivamente. Desarrollando el t´ermino al cuadrado obtenemos,  N   e 2 X 1 ~ ri , t)|2 + |~pi |2 + |A(~ H1 (t) = 2m c i=1 i o e ~ ri , t) + A(~ ~ ri , t) · p~i + VCoul (~ri ) . − p~i · A(~ c Por otra parte, como las relaciones de conmutaci´on can´onicas nos dicen que,  k ` ri , pα = i~δi,α δk,`  `  ∂A(~ri ) pα , A(~ri ) = −i~ δi,α ∂ri`

(2.14)

(2.15)

Donde i, α son ´ındices que denotan a las part´ıculas y k, ` a las componentes cartesianas. Entonces, X X  
~ ri ) = p~i · A(~ pki Ak (~ri ) = Ak (~ri )pki + pki , Ak (~ri ) = k

=

X

k


 Ak (~ri )pki + pki , Ak (~ri ) =

k

=

X k

A

k

(~ri )pki

∂Ak (~ri ) − i~ ∂rik

 =

(2.16)

~ ri ) · p~i − i~∇ · A(~ ~ ri ) = = A(~ ~ ri ) · p~i = A(~ ~ = 0). Nuestro Hamiltoniano Donde, en el u ´ltimo paso usamos la norma de Coulomb (∇ · A es as´ı,  N   e 2 X 1 2 ~ ri , t)|2 + |~pi | + |A(~ H1 (t) = 2m c i=1   2e ~ − A(~ri , t) · p~i + VCoul (~ri ) . c

(2.17)

Ahora, usamos la aproximaci´on de longitud de onda larga con las cargas consideradas en el centro de la cavidad L/2 por simplicidad y sin p´erdida de generalidad.
En ese caso, L L L kL ~ ~ ~ ~ A(~ri , t) = A(xi , yi , zi , t) ∼ A( 2 , 2 , 2 , t) = A(t). Recordando que sen 2 = 1, el campo el´ectrico en 2.11 resulta,   r   ~ω ~ˆ L E ,t = ex a ˆ(t) + a ˆ† (t) . (2.18) 2 V0 18

Es decir, la aproximaci´on implica que tendremos un campo uniforme en el espacio que s´olo posee dependencia temporal. Esto nos deja el Hamiltoniano como,    N   e 2 X 2e 1 2 2 ~ ~ · p~i + VCoul (~ri ) . |~pi | + H1 (t) = |A(t)| − A(t) 2m c c i=1

(2.19)

A continuaci´on usaremos una transformaci´on unitaria dependiente del tiempo sobre el Hamiltoniano. Para ver c´omo funcionan las transformaciones unitarias dependientes del tiempo, vemos que usando la ecuaci´on de Schr¨odinger,   d|φ(t)i = H(t)|φ(t)i. (2.20) i~ dt Buscamos una soluci´on de la forma, |φ(t)i = U (t)|ψ(t)i. Con U (t) una transformaci´on unitaria. Al sustituir en la ecuaci´on anterior tendremos,     d|ψ(t)i dU (t) i~U (t) + i~| ψ(t)i = H(t)U (t)|ψ(t)i. (2.21) dt dt Usando U † (t) del lado izquierdo, tendremos la ecuaci´on de Schr¨odinger para |ψ(t)i,       d|ψ(t)i dU (t) † † i~ = −i~U (t) + U (t)H(t)U (t) |ψ(t)i = H 0 (t)|ψ(t)i. (2.22) dt dt Vemos que la acci´on de la transformaci´on unitaria sobre el Hamiltoniano es finalmente,   dU (t) 0 † + U † (t)H(t)U (t). (2.23) H (t) = −i~U (t) dt Y recordamos que seguimos en la representaci´on de Heisenberg con los operadores dependientes del tiempo. Ahora, proponemos para nuestro Hamiltoniano H1 (t) la transformaci´on # " N i X ~ U (t) = exp e ~rα · A(t) (2.24) ~c α=1 Esta es una transformaci´on de Pauli-Fierz-Kramers que es un tipo de transformaci´on de Power-Zineau [47, 48]. Para aplicar la transformaci´on al Hamiltoniano, calculamos la derivada de U (t), N ~ dU (t) i X dA(t) U † (t) = U † (t)U (t) e ~rα · (2.25) dt ~c α=1 dt Pero recordamos que por las ecuaciones de Maxwell, para un campo el´ectrico en la norma de Coulomb, se cumple que [49]: ~ 1 dA(t) ~ E(t) =− (2.26) c dt 19

As´ı, N

iX dU (t) ~ =− e ~rα · E(t) U (t) dt ~ α=1 †

(2.27)

Lo que sigue es aplicar la transformaci´on sobre H1 . Como la transformaci´on s´olo depende de ~ri s´olo nos interesa ver qu´e sucede con los t´erminos con p~i . Para calcular la acci´on de la transformaci´on unitaria sobre pi , usamos el lema de Baker-Hausdorf [50], " # ##  2 " " X N N X ie 1 ie ~ ~ U † pki U = pki + pk , ~rα · A(t) + pki , pki , ~rα · A(t) + ... (2.28) ~c i α=1 2 ~c α=1 Debemos calcular primero el conmutador. " # N N X 3 X X   ~ pki , ~rα · A(t) = A` (t) pki , rα` = α=1

=

α=1 `=1 N X 3 X

A` (t)(−i~δi,α δk,` ) =

(2.29)

α=1 `=1 k

= −i~A (t) Claramente, los siguientes conmutadores ser´an iguales a cero. Por tanto, el momento πik resultante de la transformaci´on unitaria es, e πik = U † (t)pki U (t) = pki + Ak (t) c (2.30) e k † k k pi = U (t)pi U (t) = πi − Ak (t) c As´ı, la transformaci´on sobre H1 es, ( N 3  X 1 X  k e k 2  e 2 k 2 † πi − A (t) + U (t)H1 (t)U (t) = A (t) + 2m k=1 c c i=1   2e k e k k − A (t)(πi − A (t)) + VCoul (~ri ) = c c (  N 3  e 2 X
2 2e
2  e  2 k
2 1 X πik − πik Ak (t) + Ak (t) + A (t) + = 2m c c c i=1 k=1    e 2
2 2e k k k − A (t)πi + 2 A (t) + VCoul (~ri ) = c c ( ) N 3 X 1 X k
2 = π + VCoul (~ri ) = 2m k=1 i i=1  N  X 1 2 = |~πi | + VCoul (~ri ) . 2m i=1 (2.31) 20

Nuestro Hamiltoniano queda entonces finalmente como, H1 =

N  2 X ~π i

i=1

2m

~ · e~ri + VCoul (~ri ) − E(t)

 .

(2.32)

Con H1 = H0 + Hint y H0 =

N X

H0i

=

i=1

Hint =

N  2 X ~π i

i=1 N X

i Hint

2m

 + VCoul (~ri ),

~ · = −E(t)

i=1

N X

e~ri .

(2.33)

(2.34)

i=1

Tenemos un sistema de N a´tomos, donde supondremos que cada ´atomo tiene s´olo un electr´on que participar´a de la interacci´on y que tiene n niveles, descrito por un Hamiltoniano libre H0 y donde el t´ermino de interacci´on describe las interacciones dipolares de cada ´atomo por separado con el campo. Sea |ψni i el eigenestado con energ´ıa Eni del i-´esimo a´tomo, entonces H0 |ψn i = En |ψn i.

(2.35)

Con esto podemos expresar H0i y H1i en esta base, con lo que tendr´ıamos:   ... 0 0 H0i =  0 E1i 0  , 0 0 E0i   ... .... .... i i i  H01 . Hint =  .... H11 i i ... H10 H00

(2.36)

Donde, i Hnm

=

i hψni |Hint |ψm i

~ · = −E(t)

i hψni |e~ri |ψm i

~ · = −E(t)

Z

i d3 ri ψni∗ (~ri )e~ri ψm (~ri ).

(2.37)

Ahora, notamos que el Hamiltoniano H0i es invariante ante reflexiones (~ri = −~ri ). Sus eigenfunciones en la representaci´on espacial ψn (~ri ) poseen entonces paridad definida. Por esta i i raz´on, los elementos de matriz Hnn en la diagonal de Hint son cero, quedando la informaci´on de la interacci´on en los t´erminos de las triangulares. De hecho, los t´erminos no diagonales describen amplitudes de las transiciones dipolares entre diferentes niveles. Considerando los i i i niveles con energ´ıa Eni y Em , la frecuencia de transici´on ser´ıa ωnm = (Em − Eni )/~. La aproximaci´on m´as fuerte es la que nos falta hacer. Para poder estimular alguna de las transiciones entre niveles, debemos considerar que la frecuencia del campo ω es cercana a ωnm . Debido a que los niveles de energ´ıa at´omicos no son equidistantes, podemos pensar que 21

el campo externo s´olo excita la transici´on entre dos niveles n y m y ning´ un otra. Esto nos i i permite enfocarnos en un bloque 2x2 de las matrices H0 y Hint , que corresponden s´olo a la transici´on que queremos excitar. Esta es la aproximaci´ on de dos niveles [51]. Asignando al nivel inferior o base la etiqueta n = 0 (estado |0i) y al superior o excitado m = 1 (estado i |1i), tendremos que H0i y Hint se pueden aproximar -sobre esa transici´on- como:   i E1 0 i , H0 = 0 E0i   (2.38) i 0 H01 i . Hint = i H10 0 Como los a´tomos son todos iguales y no interact´ uan entre s´ı, podemos pensar que estamos exi = ω0 ∀i. Entonces retiramos el super´ındice citando la misma transici´on para todos y que ωmn i. Lo mismo sucede para el acoplamiento, donde definimos un par´ametro de interacci´on (real) ~g que es el valor esperado del momento dipolar, √ ~~g = −hψ0i |e~ri |ψ1i i = −hψ1i |e~ri |ψ0i i = −h0|e~ri |1i ∀i (2.39) As´ı obtenemos un sistema de N a´tomos de dos niveles. De manera conveniente tomamos el cero de energ´ıa justo entre E1 y E2 y definimos ω0 = 21 (E1 − E0 ). Dado que las operaciones sobre sistemas de dos niveles se pueden describir mediante las matrices de esp´ın de Pauli i como, (ver Ap´endice 2), vemos que podemos escribir H0i y Hint  ω0    ~ω0 1 0 ~ω0 i 0 i 2 H0 = σ ˆ , = = ω0 0 −2 0 −1 2 2 z   (2.40) √ √ 0 1 i i ~ ~ Hint = E(t) · ~~g = E(t) · ~~g σx . 1 0 As´ı, tras la aproximaci´on de dos niveles, tendremos que H1 (t) es:  N  X √ ~ω0 i ~ i σ ˆ + E(t) · ~~g σ ˆx . H1 = 2 z i=1

(2.41)

Y sustituyendo el campo el´ectrico en t´erminos de los operadores de creaci´on y aniquilaci´on 2.18, # " r N X √  ~ω   ~ω0 i  (2.42) σ ˆz + ex · ~~g a ˆ(t) + a ˆ† (t) σ ˆxi . H1 = 2 V 0 i=1 Escribimos el volumen efectivo en t´erminos de la densidad del gas de a´tomos V = ρN y definimos un nuevo valor para el acoplamiento, r ω γ= (ex · ~g ) . (2.43) ρ0 Con lo cual, nos queda finalmente el Hamiltoniano at´omico:  N  X  i ~ω0 i ~γ  † H1 (t) = H0 + Hint (t) = σ ˆz + √ a ˆ(t) + a ˆ (t) σ ˆx . 2 N i=1 22

(2.44)

2.2. 2.2.1.

Hamiltoniano de Dicke y la RWA El modelo de Dicke

Escribimos nuestro operador a´tomo-campo Haf (t) = Hf (t) + H1 (t) como,  X   N   i ~ω0 i ~γ  1 † † + σ ˆz + √ a ˆ(t) + a ˆ (t) σ ˆx . HD = ~ω a ˆ (t)ˆ a(t) + 2 2 N i=1

(2.45)

Finalmente, ignorando el t´ermino ~ω en Hf por ser un desplazamiento en la energ´ıa y cam2 bi´andonos a la representaci´on de Schr¨odinger para eliminar la dependencia temporal de los operadores de creaci´on y aniquilaci´on, tendremos el conocido Hamiltoniano de Dicke, †

HD = ~ωˆ aa ˆ+

N  X ~ω0 i=1

2

σ ˆzi


i ~γ † ˆx . a ˆ+a ˆ σ +√ N

(2.46)

Nos conviene, sin embargo, utilizar operadores colectivos para la parte at´omica (ver Ap´endice 2), que definimos como, N 1X i ˆ Jµ = σ ˆ . (2.47) 2 i=1 µ De esta forma tenemos el Hamiltoniano de Dicke como se le reconoce en la literatura actual:
2~γ a ˆ+a ˆ† Jˆx . (2.48) HD = ~ωˆ a† a ˆ + ~ω0 Jˆz + √ N Por razones de simplicidad, lo escribiremos a lo largo del texto con ~ = 1 y sin la notaci´on de operadores ni en los operadores de creaci´on y aniquilaci´on ni en los de pseudoesp´ın colectivo. El Hamiltoniano que usaremos es entonces,
2γ a + a† J x . HD = ωa† a + ω0 Jz + √ N

(2.49)

Este es el modelo cuyas propiedades estudiaremos a lo largo de la tesis. Revisaremos sus fen´omenos cr´ıticos (la transici´on de fase t´ermica, la transici´on de fase cu´antica y la transici´on de fase cu´antica de estados excitados), as´ı como las propiedades de su espectro. En lo que resta de este cap´ıtulo nos interesa mencionar algunos l´ımites conocidos del Hamiltoniano, algunas extensiones del mismo, el inter´es en su estudio y su relevancia actual.

2.2.2.

Los Hamiltonianos de Rabi y Jaynes-Cummings

Cuando consideramos s´olo un ´atomo (N = 1) tenemos como l´ımite del Hamiltoniano de Dicke, al Hamiltoniano de Rabi,
ω0 HR = ω a† a + σ z + γ σ x a + a† . (2.50) 2 23

El modelo de Rabi es el modelo m´as simple para el estudio de un qubit interactuando con radiaci´on. Fue introducido por Rabi en 1936 [52, 53] y probablemente es el modelo cu´antico matem´aticamente m´as sencillo despu´es del oscilador arm´onico. A diferencia del modelo de Dicke donde tenemos operadores de pseudoesp´ın colectivos, aqu´ı nos quedamos u ´nicamente con las matrices de esp´ın de Pauli. El significado de los t´erminos en el Hamiltoniano es mucho m´as sencillo, mientras los operadores de creaci´on a† y aniquilaci´on a crean y destruyen fotones en el campo respectivamente, los operadores σ+ y σ− excitan o desexcitan el u ´nico sistema de dos niveles. As´ı, los t´erminos aσ+ y a† σ− son tales que, en el sistema acoplado, un fot´on es destru´ıdo para excitar al a´tomo y un fot´on es creado cuando se desexcita, respectivamente. Estos t´erminos conservan el n´ umero de excitaciones y son llamados resonantes. Los otros dos t´erminos, a† σ+ y aσ− son llamados antirresonantes y no conservan el n´ umero de excitaciones. La diferencia con el modelo de Dicke es que en vez de las matrices de esp´ın de Pauli, tendremos excitaciones colectivas del sistema at´omico descritas por los operadores J. Sin embargo, a pesar de la aparente la simplicidad que el modelo de Rabi trae consigo, tambi´en hereda una variedad de cosas interesantes y complicaciones del modelo de Dicke. En particular est´a el problema sobre su integrabilidad, puesto que aparentemente carece de una cantidad conservada adem´as de la energ´ıa. En la actualidad la discusi´on sobre la integrabilidad del modelo de Rabi se reanud´o con el trabajo de D. Braak en 2011 y contin´ ua hasta la fecha [54, 55, 56, 57, 58]. Por otra parte, no es el modelo de Rabi el m´as conocido en aplicaciones de o´ptica cu´antica, sino su aproximaci´on el Hamiltoniano de Jaynes-Cummings (JC) [59]. Para evitar las dificultades que llevaba consigo el Hamiltoniano de Rabi, Jaynes y Cummings propusieron en los a˜ nos 60 emplear la aproximaci´on de onda rotante [60, 22] (Rotating Wave Approximation o RWA, por sus siglas en ingl´es) sobre el Hamiltoniano de Rabi, con la cual ignoraban los t´erminos del Hamiltoniano σ+ a† y σ− a. En sistemas o´pticos t´ıpicos, el valor de la frecuencia efectiva de estos t´erminos los hace oscilar r´apidamente en el tiempo, de tal suerte que al promediarlos temporalmente se acercan a cero y pueden ser despreciados. Tras la RWA obtenemos el Hamiltoniano de Jaynes-Cummings (JC): HJC = ωa† a +


γ ω0 σz + σ + a + σ − a† . 2 2

(2.51)

Su principal ventaja radica en que se puede resolver diagonalizando en subespacios finitos de su cantidad conservada, el n´ umero de excitaciones: C = a† a +

1 (σz + 1) . 2

(2.52)

La RWA est´a justificada en ciertos reg´ımenes, en particular en condiciones de resonancia (ω0 ≈ ω) y para acoplamientos d´ebiles. Esto fue suficiente a lo largo de muchos a˜ nos pero con el avance de las t´ecnicas experimentales, se empez´o a investigar regiones de acoplamiento m´as fuerte donde la RWA dejaba de tener sentido. En la actualidad se considera a diferentes sistemas de a´tomos artificiales como candidatos para ser modelados con Hamiltonianos tipo Rabi y JC, por ejemplo, sistemas de vacancias 24

de nitr´ogeno en defectos de diamante o NV que interact´ uan con resonadores en microondas [42]. Seg´ un el acoplamiento, se consideran varios reg´ımenes. En el acoplamiento d´ebil (WC Weak Coupling) el valor del acoplamiento es menor que la tasa de decaimiento de la cavidad y que todas las tasas de decoherencia; mientras que en el acoplamiento fuerte (SC Strong Coupling) es del orden de dichas tasas o mayor. En el acoplamiento d´ebil y hasta el fuerte se puede tomar la RWA. Por otro lado, se denomina r´egimen de acoplamiento ultrafuerte (USC Ultra-Strong Coupling) cuando la fuerza del acoplamiento es comparable a fracciones de la frecuencia del modo g/ω & 0.1. En este r´egimen la RWA se rompe y el modelo de JC tiene que dar paso al modelo de Rabi. Por u ´ltimo, se tiene el r´egimen fuerte profundo (DSC “Deep-Strong Coupling”) donde g/ω & 1. Mientras el r´egimen SC ha sido ampliamente explorado experimentalmente y el USC se ha explorado en sistemas de a´tomos artificiales, el DSC est´a siendo estudiado te´oricamente y en v´ıas de ser realizado experimentalmente, por ejemplo, [61]. Soluciones al Hamiltoniano de Rabi sin la RWA han sido estudiadas ampliamente, v´ease algunos casos representativos [62]. Son varios los sistemas f´ısicos donde se puede hacer la aproximaci´on de dos niveles y modelar con este tipo de Hamiltonianos, siendo los modelos de Rabi y JC modelos est´andar de libro de texto. La bibliograf´ıa es vasta y un buen comienzo para revisar m´as sobre sus propiedades din´amicas es [63]. Adem´as, ahora hay un inter´es activo en entender las propiedades del modelo de Rabi para dos qubits dada la facilidad de su realizaci´on en a´tomos artificiales [64, 65]. Nuestro inter´es est´a en estudiar directamente el modelo de Dicke. A continuaci´on mencionaremos un poco m´as sobre el equivalente en N 6= 1 del modelo de JC, es decir, la versi´on integrable del modelo de Dicke: el modelo de Tavis-Cummings.

2.2.3.

El Hamiltoniano de Tavis-Cummings

De la misma manera que la RWA se utiliza sobre el Hamiltoniano de Rabi, ´esta se puede utilizar sobre el Hamiltoniano de Dicke [66]. Se obtiene entonces el Hamiltoniano de TavisCummings (TC) [67]:
γ aJ+ + a† J− HT C = ωa† a + ω0 Jz + √ N

(2.53)

Al igual que el modelo de JC, este Hamiltoniano puede ser diagonalizable en subespacios finitos de los eigenvalores del n´ umero de excitaciones, la cantidad conservada: Λ = a† a + Jz −

 √ 1 1 − 4J 2 + 1 . 2

(2.54)

El Hamiltoniano de Tavis-Cummings es de gran importancia para nuestro trabajo, puesto que corresponde a la contraparte integrable del modelo de Dicke. Como veremos en los u ´ltimos cap´ıtulos, el Hamiltoniano de Dicke no es integrable y presenta caos cu´antico, ambas propiedades ausentes en el Hamiltoniano de TC. Por tanto, es un buen punto de referencia para entender muchos de nuestros resultados. Es por eso, que podemos escribir ambos, el 25

Hamiltoniano de Dicke y el Hamiltoniano de Tavis-Cummings en una sola expresi´on,
 γ  HD,δ = ωa† a + ω0 Jz + √ aJ+ + a† J− + δ a† J+ + aJ− . (2.55) N Que tambi´en se puede escribir como:

γ  HD,δ = ωa† a + ω0 Jz + √ (1 + δ) a + a† Jx + i (1 − δ) a − a† Jy . N

(2.56)

As´ı, cuando δ = 0 tendremos el Hamiltoniano de Tavis-Cummings y cuando δ = 1 tendremos el de Dicke. En la siguiente secci´on comentaremos sobre la relevancia del modelo de Dicke en la investigaci´on actual y el estado de la cuesti´on.

2.3.

El modelo de Dicke en el contexto actual

Hemos visto que el Hamiltoniano de Dicke fue originalmente pensado con el fin de describir un sistema de N a´tomos de dos niveles interactuando con un modo de radiaci´on electromagn´etica dentro de una cavidad. Debido a su simplicidad algebraica, sin embargo, en los u ´ltimos a˜ nos se ha considerado como una buena descripci´on inicial para ganar intuici´on sobre la descripci´on y el comportamiento de sistemas cu´anticos manipulados en el laboratorio. Dado que podemos pensar al sistema de N sistemas de dos niveles como N bosones, fermiones o part´ıculas distinguibles, el modelo bien puede ser desde una descripci´on b´asica de la interacci´on esp´ın-bos´on, hasta, en el lenguaje del c´omputo cu´antico, el punto de partida para el an´alisis de N qubits provenientes de puntos cu´anticos, condensados de Bose-Einstein, circuitos superconductores (QED) o polaritones [68, 69, 36, 43], interactuando con un resonador. As´ı, a pesar de que el modelo se podr´ıa considerar viejo, el inter´es en estudiarlo se ha renovado en los u ´ltimos a˜ nos con el fin de cubrir tanto necesidades te´oricas como experimentales. Aunque a lo largo de este trabajo comentaremos en detalle algunos de estos temas, haremos ´enfasis en ellos aqu´ı para mostrar la vigencia y relevancia del modelo.

2.3.1.

Superradiancia y teorema no-go

El rasgo m´as representativo del Hamiltoniano de Dicke es su transici´on de fase t´ermica de segundo orden que da origen a una transici´on de fase cu´antica (quantum phase transition ´ o QPT) en el l´ımite termodin´amico a temperatura cero. Esta fue se˜ nalada por primera vez por K. Hepp y E. H. Lieb [70] y luego revisada por varios autores [71, 72, 73, 74]. El estudio termodin´amico completo lo estudiaremos hasta el cap´ıtulo 3. Esta transici´on ha sido considerada como un ejemplo paradigm´atico del comportamiento cu´antico colectivo [66]. Cuando la interacci´on a´tomo-campo alcanza cierto valor cr´ıtico, el sistema pasa de un estado normal, con cero fotones y ´atomos excitados en promedio, a un estado superradiante, en el que el n´ umero de fotones y a´tomos excitados se vuelve comparable al n´ umero de ´atomos total del sistema. La emisi´on promedio de fotones es distinta de cero y se dice que hay superradiancia, pues es una emisi´on coherente, colectiva y macrosc´opica [82]. 26

Tras la predicci´on de la transici´on de fase se iniciaron tanto su b´ usqueda experimental como una discusi´on extensa sobre la posibilidad de observarla. Varios autores se˜ nalaron la imposibilidad de la observaci´on experimental debido a la existencia de teoremas ’no-go’. Se indic´o que la transici´on se deb´ıa a que en el Hamiltoniano un t´ermino diamagn´etico no aparec´ıa, aunque la aseveraci´on fue hecha para el modelo TC [75]. Si regresamos a la deducci´on del Hamiltoniano cu´antico, recordamos que la energ´ıa cin´etica estaba expresada en t´erminos del acoplamiento m´ınimo,  N  2 X 1  ~ ri , t) + VCoulomb (~ri ) p~i − eA(~ HCav (t) = ~ωa a + 2m i=1 †

(2.57)

Cuando desarrollamos el t´ermino para el acoplamiento m´ınimo:  N  i  X 1 h 2 2 ~2 ~ ri ) + A(~ ~ ri ) · p~ + VCoulomb (~ri ) , HCav = ~ωa a + (~pi ) + e A (~ri ) + e p~ · A(~ 2m i=1 (2.58) podemos continuar la deducci´on de tal forma que obtenemos el siguiente Hamiltoniano de Dicke,

2 γ HD,A2 = ωa† a + ω0 Jz + √ a + a† (J+ + J− ) + κ a + a† (2.59) N †

La discusi´on gira en torno al t´ermino diamagn´etico κ(a + a† )2 . Los argumentos principales para decir que la transici´on no es posible se basan en la regla de suma de Thomas-ReicheKuhn (TRK). Se sabe que las reglas de suma se pueden generalizar y usar para estimar transiciones entre estados para cualquier operador. En el caso del modelo de Dicke, la regla de suma establece una relaci´on entre los par´ametros del Hamiltoniano: ~ 2 ω0 < |he|d|gi|

e2 2m

(2.60)

~ Donde |he|d|gi| es el elemento de transici´on dipolar entre los estados base y excitado del a´tomo individual de dos niveles. Sin embargo, para que exista la transici´on la desigualdad debe ocurrir al rev´es: 2 ~ 2 ω0 > e |he|d|gi| (2.61) 2m Por lo cual no existir´ıa la transici´on. Usando una violaci´on de la desigualdad, en [75] se afirma que la transici´on de fase en el modelo es un artificio matem´atico debido a haber despreciado el t´ermino diamagn´etico. El uso de la regla de suma TRK se conoce como teorema no-go para transiciones de fase cu´anticas. As´ı, se publicaron otros argumentos donde se extend´ıa el teorema no-go para mostrar que la transici´on de fase no pod´ıa aparecer y que para mantener la invariancia de norma (de gauge en ingl´es) era necesario que estuviesen los t´erminos contrarrotantes (sin RWA) junto con el diamagn´etico [86], [87] y [85]. Aunque ya se hab´ıa mostrado entonces que la transici´on no pod´ıa existir en un sistema de ´atomos de dos niveles con transiciones 27

dipolares el´ectricas, era necesario establecer entonces un criterio para decidir si hab´ıa o no transici´on de fase. Finalmente, se mostr´o que en un sistema as´ı y con el reg´ımen SC, en el l´ımite termodin´amico e inclusive con el t´ermino diamagn´etico no pod´ıa haber una transici´on de fase superradiante [88]. Es decir, se consider´o, bajo el modelo de Dicke, que la transici´on de fase superradiante no es posible en a´tomos reales y cavidades QED. Tiempo despu´es, en el formalismo de invariancia de norma se mostr´o que s´ı era posible la transici´on de fase superradiante eliminando incluso t´erminos cuadr´aticos en el Hamiltoniano y qued´andose con t´erminos lineales dipolares el´ectricos [49]. La diferencia es que en esta ocasi´on se inclu´ıa dependencia temporal en la invariancia de norma. Principalmente, el argumento consist´ıa en que los trabajos anteriores no hab´ıan tratado correctamente la interacci´on dipolar el´ectrica en el formalismo de invarianza de norma. Lo que sucede es que los Hamiltonianos HD en 2.1 y HCav se pueden relacionar entre s´ı a trav´es de una transformaci´on de norma como lo hicimos al principio del cap´ıtulo. La aproximaci´on de dos niveles rompe, sin embargo, la invariancia de norma, de tal forma que los Hamiltonianos HD y HD,A2 no se pueden conectar por una transformaci´on de norma [66]. La problematica continua con la aparici´on de los circuitos QED debido a que al modelarlos con un Hamiltoniano tipo Dicke tambi´en se esperar´ıa ver en ellos la transici´on de fase superradiante, pero algunos no esperan que sea posible; as´ı Hamiltonianos como en (2.59) est´an siendo estudiados, extendi´endose esta discusi´on a sistemas de circuitos QED acoplados [83], [84]. En la actualidad ambas posiciones persisten, tanto las que mantienen la imposibilidad de que la transici´on de fase superradiante del modelo de Dicke pueda ser observada experimentalmente, como los que afirman la posici´on contraria. Uno de los principales problemas a considerar es que los sistemas experimentales t´ıpicamente son sistemas abiertos ya sea por disipaci´on o por la variaci´on temporal de algunos par´ametros y el modelo de Dicke como tal, as´ı como la transici´on de fase, se predicen para modelos cerrados. En resumen, el debate sobre la validez de la descripci´on del Hamiltoniano a estos sistemas y de la posibilidad de la QPT superradiante est´a lejos de terminar y continua hasta nuestros d´ıas [85, 86, 87, 88, 89, 90]. Finalmente, el impulso m´as fuerte en el inter´es actual del modelo, fue gracias al desarrollo de t´ecnicas novedosas para la manipulaci´on de sistemas cu´anticos en el laboratorio, con las que se logr´o la proeza experimental de realizar la QPT empleando un condensado de Bose-Einstein (Bose-Einstein Condensate o BEC) en una red o´ptica [91].

2.3.2.

Comentario sobre las realizaciones experimentales

Recordando el cap´ıtulo anterior donde revisamos los distintos sistemas en los que los qubits se pod´ıan codificar, daremos una vista r´apida a algunos avances en la realizaci´on del modelo de Dicke. En el sistema original de a´tomos en cavidades, la principal barrera te´orica es el teorema no-go. Sin embargo, existen otros inconvenientes para la realizaci´on f´ısica. Por ejemplo, la aproximaci´on es v´alida para cuando el sistema es un gas diluido, si la distancia entre los ´atomos empieza a disminuir, sienten la interacci´on dipolar entre ellos y, si es grande, la emisi´on cooperativa disminuye, afectando la superradiancia. Tambi´en se debe considerar que el tama˜ no caracter´ıstico de la cavidad debe ser menor que la longitud de onda de la radiaci´on para que los a´tomos interact´ uen con la misma fase, es decir, el sistema debe estar 28

en la aproximaci´on de onda larga para que los a´tomos no vean la estructura del campo electromagn´etico. De hecho, otro de los problemas y quiz´a el m´as importante durante a˜ nos, fue la imposibilidad de obtener acoplamientos fuertes capaces de llegar al acoplamiento cr´ıtico, pues dif´ıcilmente se pod´ıa cambiar el acoplamiento a´tomo-campo. Conforme la tecnolog´ıa fue mejorando, se populariz´o el uso de cavidades o´pticas donde se pod´ıa lograr un r´egimen de acoplamiento fuerte, haciendo que el modelo ya tuviera validez, aunque presentaba el problema de flujos de part´ıculas. Incluso hubo una propuesta importante con transiciones Raman [76]. El problema de la intensidad del acoplamiento, sin embargo, puede ser superado en sistemas de a´tomos artificiales donde la interacci´on es controlable [77]. Otro de los primeros sistemas considerado como posible candidato para realizar el modelo de Dicke fue uno compuesto de ´atomos de Rydberg y una cavidad en microondas [78]. Un ´atomo de Rydberg es un a´tomo excitado con uno o m´as electrones que tiene n´ umeros cu´anticos principales muy grandes, teniendo fuertes respuestas a los campos el´ectricos y magn´eticos. Debido a que los ´atomos de Rydberg son relativamente grandes (∼ 1µm) y tienen largos tiempos de vida (decenas de µs), se consideraban una buena opci´on para realizar Dicke. Sin embargo, estos sistemas tienen el inconveniente de ser abiertos y que los a´tomos entren y salgan de la cavidad, por lo cual el tratamiento del modelo de Dicke no es adecuado porque el n´ umero de part´ıculas es variable. Un avance m´as reciente fue el desarrollo de trampas de iones. Dado que estas trampas mantienen a los iones dentro, existe la posibilidad de realizar el modelo de Dicke al mantener el n´ umero de iones constante; para dos iones en una cavidad, v´ease [79]. Tambi´en, como se mencion´o en la secci´on de a´tomos artificiales, se han modelado circuitos QED con el modelo de TC, por ejemplo ver [43]. Entre las ventajas ya se˜ naladas de los a´tomos artificiales, los circuitos QED tienen un acoplamiento fuerte lo cual resulta de utilidad para el modelo de Dicke. En resumen, vemos que han habido complicaciones experimentales a lo largo de los a˜ nos para validar el modelo. Aunque no es la primera vez que se observa la transici´on de fase superradiante [80], la realizaci´on con BEC en redes o´ pticas por Baumann y Esslinger en el 2010 fue de gran importancia por ser una cavidad ´optica y parecerse al problema tradicional de ´atomos en cavidades (en la teor´ıa, en la pr´actica el experimento es muy sofisticado). El sistema experimental consiste en un BEC que es atrapado en una cavidad o´ptica ultrafina y es conducido y bombeado por un l´aser que puede ser manipulado para cambiar el acoplamiento efectivo y as´ı ver la transici´on y ambas fases a partir de la organizaci´on de los a´tomos del condensado. Sin embargo, el sistema experimental en este caso es abierto, teniendo disipaci´on, por lo cual el modelo de Dicke no ajusta a la perfecci´on. A´ un as´ı, se mostr´o que el sistema dado por el condensado [91] (n´otese que no son ´atomos reales en una cavidad, sino que es una transici´on de autoorganizaci´on) realiza el modelo de Dicke [81]. De tal suerte que, a la luz de la realizaci´on experimental de la transici´on de fase superradiante en un sistema tipo Dicke, ha aumentado el inter´es en el estudio del modelo y de sus propiedades. 29

2.3.3.

Inter´ es te´ orico en el Hamiltoniano de Dicke

Desde el punto de vista te´orico, el Hamiltoniano de Dicke ofrece una gran variedad de aspectos de inter´es no s´olo por s´ı mismos sino tambi´en como ejemplos b´asicos para entender otros sistemas m´as complicados. El inter´es te´orico en el modelo regres´o en el a˜ no 2003 cuando T. Brandes y C. Emary lo conectaron con temas de inter´es actual como el caos cu´antico y el enredamiento [92, 93, 103] y la existencia de soluciones exactas en el l´ımite termodin´amico. Y no es solo que el modelo sea paradigma para la o´ptica cu´antica, pues los Hamiltonianos de JC y TC cumplen bien esa funci´on en innumerables casos y aplicaciones. El inter´es te´orico en el modelo de Dicke radica en la gran cantidad de fen´omenos que se pueden estudiar tom´andolo como un modelo de juguete, como aproximaci´on a sistemas m´as complicados o en s´ı mismo. El primer aspecto importante y con el cual muchos de los dem´as est´an relacionados es la no integrabilidad. Este aspecto lo discutiremos con m´as detalle en los u ´ltimos cap´ıtulos. En este momento, lo importante es resaltar que los fen´omenos cr´ıticos, el caos cu´antico, la ruptura espont´anea de la simetr´ıa y el enredamiento que se pueden estudiar en el modelo est´an fuertemente relacionados con que sea no integrable. Por otra parte, la no integrabilidad que le da la enorme riqueza te´orica al modelo, tambi´en complica la posibilidad de solucionarlo. Como veremos en el cap´ıtulo 5, C. Emary y T. Brandes [92, 93] desarrollaron un an´alisis pionero que hasta la fecha se mantiene como una referencia fundamental para el estudio del modelo. En ese trabajo se encontraron por primera vez soluciones exactas en el l´ımite termodin´amico que daban la mejor descripci´on de campo medio para el estado base. Estas soluciones anal´ıticas provenientes de un desarrollo de Holstein-Primakoff, permiten obtener exponentes cr´ıticos en el estado base para la energ´ıa, la fracci´on de a´tomos excitados, el n´ umero de fotones, sus fluctuaciones y la concurrencia [92, 94, 95, 96]. Sin embargo, para un n´ umero finito de ´atomos N es necesario tener cuidado en el desarrollo de Holstein-Primakoff debido al comportamiento singular alrededor de la QPT [97, 98, 99], tema al que regresaremos brevemente m´as adelante. Esto lleva al uso de soluciones num´ericas exactas y al estudio de las mismas. Y es aqu´ı donde nuestro trabajo resulta de suma importancia. Este trabajo gira en torno al desarrollo de este tipo de soluciones y las ventajas que aportan, as´ı como de sus problemas. Aunque recientemente se ha encontrado la existencia de soluciones anal´ıticas al modelo que permiten obtener su espectro [54, 55, 56, 57, 58], su uso y sus propiedades est´an abiertas a´ un a la investigaci´on, por lo cual, las soluciones num´ericas exactas se mantienen en la actualidad como la mejor opci´on para el estudio del Hamiltoniano, su espectro y sus observables, sobre todo en regiones de acoplamiento ultra-fuerte. Es gracias a estas soluciones que pudimos explorar dos aspectos importantes del espectro del modelo, presentes tambi´en en otros sistemas. El primero es otro fen´omeno cr´ıtico que se conoce como transiciones de fase cu´anticas de estados excitados (Excited-State Quantum ´ Phase Transitions o ESQPT). Estas tienen lugar a lo largo del espectro para valores fijos de los par´ametros del Hamiltoniano [100] y se manifiestan como singularidades en la densidad de niveles, los par´ametros de orden y las propiedades de las funciones de onda [101, 102]. El estudio de las ESQPT es importante pues se ha indicado que pueden tener efectos importantes 30

en la decoherencia en sistemas cu´anticos sintonizables as´ı como en la evoluci´on temporal de quantum quenches. El otro aspecto es la aparici´on de caos cu´antico en el espectro del modelo de Dicke, relacionada con la ESQPT, relaci´on que no est´a a´ un clara. Veremos en los u ´ltimos cap´ıtulos como gracias a las soluciones num´ericas, podemos establecer una correspondencia clara entre el caos cl´asico y el caos cu´antico reflejado en el espectro del Hamiltoniano.

2.3.4.

Algunas extensiones y modificaciones del modelo

Con el fin de lograr una descripci´on m´as fiel de los experimentos as´ı como validar la transici´on de fase superradiante, se han estudiado diversas modificaciones al modelo. Aparte de los Hamiltonianos con t´erminos diamagn´eticos y cuadr´aticos como el de (2.59), mencionaremos, a continuaci´on, algunas otras variantes de modelos tipo Dicke, con la intenci´on de mostrar el amplio panorama en el que el modelo b´asico se puede desenvolver. 1. Hamiltoniano de Dicke con acoplamiento entre qubits. En el caso de que se quieran considerar interacciones entre los a´tomos de tipo dipolar el´ectrico, se le puede a˜ nadir al Hamiltoniano t´erminos tipo Ising: HDI

N

Ω X i j 2γ † a + a Jx + σx σx + σyi σyj = ωa a + ω0 Jz + √ 2N i6=j N †

(2.62)

Donde Ω es la fuerza de interacci´on entre dos ´atomos de dos niveles, siendo ´este t´ermino el que involucra el resultado de la interacci´on entre los a´tomos. Este Hamiltoniano tambi´en presenta una transici´on de fase superradiante, adem´as de tener varias transiciones de primer orden [104]. Hamiltonianos de este tipo podr´ıan ser u ´tiles tambi´en para el estudio de a´tomos artificiales. 2. Hamiltoniano de Dicke con t´erminos no lineales en el campo. Por ejemplo, para considerar autointeracciones y su relaci´on con el efecto Stark a˜ nadiendo un t´ermino propor
2 † cional a a a [108] o para estudiar luz no lineal incluyendo el t´ermino diamagn´etico (a† + a)2 [106]. Tambi´en se pueden considerar modelos muy generales para acoplamientos no lineales como el modelo de Kochetov [107, 108],   HD = ωa† a + ω0 Jz + γ (a† )k al f (a† a)J+ + f (a† a)(a† )l ak J+ . (2.63) 3. Hamiltonianos de Dicke fuera de equilibrio (forzados). Con el fin de extender el modelo a sistemas fuera de equilibrio y tener grados de libertad no sujetos a la regla de suma que, en consecuencia, permitan la transici´on, se puede pensar en una generalizaci´on del modelo de Dicke dependiente del tiempo, donde, tanto la frecuencia del modo de radiaci´on, como la frecuencia de la transici´on at´omica y el par´ametro de interacci´on dependan del tiempo [109] [110]:
2γ(t) a + a† Jx HD (t) = ω(t)a† a + ω0 (t)Jz + √ N 31

(2.64)

Estos Hamiltonianos de Dicke se consideran “forzados” (driven en ingl´es). Como ejemplo, se han estudiado tomando a γ como una modulaci´on monocrom´atica con una contribuci´on est´atica: γ(t) = γ + ∆g cos (Ωt) (2.65) Este Hamiltoniano de Dicke presenta transiciones de fase alternas que no est´an sujetas a la regla de suma debido a que se deben a efectos fuera de equilibrio [111]; es por eso que tambi´en se ha estudiado ya la din´amica de Hamiltonianos tipo Dicke en estas condiciones [112] 4. Hamiltonianos de Dicke fuera de equilibrio (disipaci´on). Otro ejemplo que es de inter´es es el incluir t´erminos disipativos en el formalismo. Esta ser´ıa una mejor aproximaci´on a un experimento ya que los sistemas f´ısicos reales normalmente se encuentran abiertos. En este caso se introduce un operador de ruido ξ(t) y el tratamiento involucra el estudio de sistemas con disipaci´on. V´ease [113, 114, 115]. Por supuesto, tratar con sistemas abiertos e incluir adem´as la presencia de disipaci´on es un problema bastante amplio, complicado pero tambi´en de inter´es activo en la actualidad. Entre otras, ´estas son varias de las modificaciones del modelo de Dicke que han sido estudiadas, con el fin de entender mejor diferentes fen´omenos y tener una mejor perspectiva de la realizaci´on experimental del modelo as´ı como de sus consecuencias. Y por supuesto, no son las u ´nicas que se encuentran en la literatura, pero suficientes para dar un panorama general de la actividad te´orica y experimental que el modelo de Dicke ha generado.

2.4.

Conclusiones del cap´ıtulo

En este cap´ıtulo presentamos el objeto de nuestro estudio, el Hamiltoniano de Dicke. Primero, lo dedujimos de su planteamiento original en a´tomos en cavidades. Luego, vimos algunos l´ımites conocidos del modelo: los Hamiltonianos de Rabi, Jaynes-Cummings y Tavis-Cummings. Despu´es discutimos la relevancia del modelo y el porqu´e de su inter´es tanto en el terreno te´orico como experimental. Con este cap´ıtulo y junto con el cap´ıtulo 1 terminamos la introducci´on al trabajo. A partir de ahora, revisaremos los diferentes fen´omenos cr´ıticos que presenta el modelo, empezando en el siguiente cap´ıtulo con la transici´on de fase t´ermica superradiante.

32

Cap´ıtulo 3 La transici´ on de fase t´ ermica En este cap´ıtulo se presenta con detalle el an´alisis termodin´amico del Hamiltoniano de Dicke y, en consecuencia, la raz´on por la cual fue conocido originalmente: la transici´on de fase t´ermica superradiante. El conocimiento de la termodin´amica de los sistemas cu´anticos nos dar´a elementos para estudiar m´as adelante sus propiedades cu´anticas, a´ un cuando la conexi´on entre el espectro de un sistema cu´antico y su termodin´amica no est´e completamente clara y sea un tema de investigaci´on actual.

3.1.

Un poco de historia

Originalmente, el planteamiento termodin´amico completo fue presentado por Hepp y Lieb en 1973 [116, 117] para el Hamiltoniano de Tavis-Cumming, empleando desigualdades de traza. El m´etodo, bastante complicado, fue simplificado considerablemente utilizando el m´etodo integral de Laplace y extendido al caso multimodo por Wang y Hioe [71]. Luego los t´erminos contrarrotantes fueron incluidos por Charmichael, Gardiner y Walls [73], y Comer-Duncan [74]. Posteriormente, varios autores profundizaron en la termodin´amica del modelo. Las diferentes aproximaciones incluyen, mostrar que la termodin´amica de otros sistemas como los de espines interactuantes es la misma [118]; la soluci´on a trav´es de linearizar el Hamiltoniano [119], luego extendida por [120]; usar el m´etodo variacional sobre la energ´ıa libre [121]; utilizar aproximaciones de campo medio [122]; incluir en la termodin´amica el t´ermino A2 [123, 124]; emplear m´etodos perturbativos en la funci´on de partici´on [125]; y considerar las diferentes multiplicidades en la termodin´amica del sistema de N sistemas de dos niveles (bosones, fermiones y part´ıculas indistinguibles) [126]. Finalmente, R. Gilmore dedica un cap´ıtulo completo en su libro sobre teor´ıa de cat´astrofes para el estudio de la termodin´amica del modelo usando esta t´ecnica [143]. Tambi´en existe un trabajo sobre el tratamiento microcan´onico [128], aunque incompleto. El m´etodo que presentamos en este cap´ıtulo reproduce el seguido por [71], [73] y [74]. 33

3.2.

Un breve repaso de Termodin´ amica

En principio, la termodin´amica de un sistema f´ısico s´olo depende de que ´este sea capaz de llegar a equilibrio. Los mecanismos con los que dicho sistema puede llegar a tal equilibrio y con los cuales se puede definir una temperatura son harina de otro costal; sin embargo, un tema muy importante en la actualidad. La pregunta ¿cu´al es el mecanismo por el cual los sistemas cu´anticos de muchos cuerpos cerrados llegan a equilibrio? [129] es una de las interrogantes que, con suerte, ser´an respondidas paulatinamente en los pr´oximos a˜ nos. Por lo pronto, no necesitamos describir el mecanismo de equilibrio. Lo que supondremos es que su termodin´amica se puede describir por un ’ensamble’ can´onico, es decir, el sistema forma parte de un conjunto de sistemas id´enticos a ´el, que constituyen el ba˜ no t´ermico con el que interact´ ua, de tal suerte que puede llegar a equilibrio. Con esto podemos definir una temperatura absoluta T y como resultado del equilibrio t´ermico, la matriz de densidad se puede aproximar a una distribuci´on de Gibbs [41]: ρˆ =

ˆ exp(−β H) . Z(T, N )

(3.1)

Donde β = (kB T )−1 y kB es la constante de Boltzmann. Como es bien sabido [41], dado que T r (ˆ ρ) = 1, de aqu´ı se puede obtener una funci´on de partici´on can´onica, h i ˆ Z(T, N ) = T r exp(−β H) . (3.2) Las propiedades termodin´amicas del sistema est´an completamente contenidas en esta representaci´on termodin´amica. Para extraer esta informaci´on se debe calcular, primero la funci´on de partici´on, luego la energ´ıa libre de Helmholtz F (T, N ), y finalmente la energ´ıa libre de Helmholtz por part´ıcula f (T ), 1 1 1 F (N , T )V = l´ım − ln [Z(T, N )] . N →∞ N →∞ N Nβ

f (T ) = l´ım

(3.3)

Las funciones termodin´amicas que nos interesan son la entrop´ıa S(T, N ) = −T r(ρ lnρ), la energ´ıa interna U (T, N ) y el promedio termodin´amico de observables como el n´ umero de † fotones a a o la diferencia de poblaci´on Jz . Tomando la ecuaci´on termodin´amica de Euler y su forma diferencial [130, 131], F (T, N ) = U (T, N ) − T S(T, N ) y dF = dU − T dS, la entrop´ıa por part´ıcula S(T ) se puede obtener f´acilmente como,     ∂f S(T, N ) 1 ∂F S(T ) = − = l´ım = l´ım − = N →∞ N →∞ ∂T N N ∂T N ,V   1 1 ∂Z(T, N ) kB ln [Z(T, N )] + , = l´ım N →∞ N βZ ∂T 34

(3.4)

(3.5)

Mientras que la energ´ıa interna por part´ıcula U(T ) est´a dada por, 1 1 U (T, N ) = l´ım [F (T, N ) + T S(T, N )] . N →∞ N N →∞ N

U(T ) = l´ım

(3.6)

En cuanto al promedio termodin´amico en equilibrio de cualquier otro operador de inter´es A, se puede calcular mediante su traza con la matriz de densidad, h i 1 1 A(T ) = l´ım hA(T, N )i = l´ım T r Aˆ exp(−βH) (3.7) N →∞ N N →∞ N Z En lo que resta de la cap´ıtulo, calcularemos la funci´on de partici´on can´onica para el Hamiltoniano de Dicke y analizaremos el diagrama de fases resultante seg´ un los par´ametros del Hamiltoniano.

3.3.

La funci´ on de partici´ on can´ onica

Antes que nada, tenemos que calcular la funci´on de partici´on can´onica. Zδ (T, N ) = T r [exp(−βHD,δ )] .

(3.8)

Siendo, como ya sabemos, el Hamiltoniano de Dicke, HD,δ = ωa† a + ω0 Jz +  γ  (1 + δ)(a + a† )Jx − i(1 − δ)(a† − a)Jy . +√ N

(3.9)

√ Con i = −1. Hay que hacer notar que si expresamos al Hamiltoniano como una suma de Hamiltonianos desacoplados para cada esp´ın, podremos realizar nuestro c´alculo de la funci´on de partici´on con mayor claridad. P k Recordando que, Jµ = 12 N k=1 σµ con µ = x, y, z, el Hamiltoniano se puede escribir como: N  X

a a† ω0 ω √ √ + σzk + 2 N N k=1 (3.10)  
γ + √ (1 + δ)(a + a† )σxk − i(1 − δ)(a† − a)σyk . 2 N P Podemos observar que tenemos N hamiltonianos Hδ,k con HD,δ = k Hδ,k , tales que, HD,δ =

a a† ω √ √ + 0 σzk + Hδ,k = ω 2 N N  γ  + √ (1 + δ)(a + a† )σxk − i(1 − δ)(a† − a)σyk 2 N

(3.11)

Esto significa que es un sistema cu´antico de muchos cuerpos local [129]. Tambi´en nos permite simplificar el c´alculo porque podremos separar la funci´on de partici´on en N funciones de 35

partici´on individuales para cada a´tomo. Ahora, para calcular la traza, elegimos sin p´erdida de generalidad a los estados coherentes de Glauber para la parte bos´onica y estados de esp´ın individual para la at´omica: |Ψi = |αi ⊗ |s1 i ⊗ |s2 i ⊗ · · · ⊗ |sN i.

(3.12)

En el Ap´endice A el lector puede revisar las propiedades de los estados coherentes de Glauber. Calculamos entonces la funci´on de partici´on como: Z 2 X X X dα ··· hα|hs1 |hs2 | · · · hsN |e−βHD,δ |αi|sN i · · · |s2 i|s1 i. (3.13) Zδ (T, N ) = π s =± s =± s =± 1

N

2

Ahora, siguiendo a [71, 73], suponemos que podemos escribir operadores nuevos b y b† tales † que b = √aN y b† = √aN y que se cumplen las siguientes dos hip´otesis: √ √ 1. Que los l´ımites a/ N y a† / N existen. 2. Que se puede cambiar el orden de los dos siguientes l´ımites, l´ım l´ım

R X (−βHD )r

N →∞ R→∞

r!

r=0

.

(3.14)

Donde el segundo l´ımite es resultado de desarrollar en serie de Tayor la exponencial. Entonces, en el l´ımite termodin´amico, la relaci´on de conmutaci´on entre los nuevos operadores es tal que:   a a† 1 † l´ım [b, b ] = l´ım √ , √ = l´ım = 0. (3.15) N →∞ N →∞ N →∞ N N N Podemos acomodar entonces los operadores de creaci´on y aniquilaci´on en e−βHD,δ en orden normal, de forma que sea f´acil la evaluaci´on cuando usemos los estados coherentes de Glauber, a|αi = α|αi y hα|a† = hα|α∗ . Obtenemos entonces que: (N  ) X |α|2 ω0
γ + σzk + √ (1 + δ)Re(α)σxk − (1 − δ)Im(α)σyk hα|e−βHD |αi = exp . ω N 2 2 N k=1 (3.16) Vemos que podemos reacomodar la suma de la funci´on de partici´on en el producto de sumas 2 + hδ,k (α), puesto que para cada esp´ın el argumento de de exponenciales para Hδ,k (α) = ω|α| N la exponencial est´a desacoplado. Escribimos entonces la funci´on de partici´on como: Z Zδ (T, N ) =

N d2 α −βω|α|2 Y X e hsk |e−βhδ,k (α) |sk i. π k=1 s =±

(3.17)

k

Donde, hδ,k (α) =

 ω0 k γ  σz + √ (1 + δ)Re(α)σxk − (1 − δ)Im(α)σyk . 2 2 N 36

(3.18)

Para poder calcular la traza, podemos encontrar los eigenvectores de hδ,k y expresar la traza en esa base. En la base de σzk , tenemos que hδ,k es: ! ω0 √γ [(1 + δ)Re(α) + (1 − δ)iIm(α)] 2 N hδ,k (α) = . √γ [(1 + δ)Re(α) − i(1 − δ)iIm(α)] − ω20 N (3.19) La ecuaci´on de eigenvalores es: −(

 ω0 γ2  ω0 − u)( + u) − (1 + δ)2 Re2 (α) + (1 − δ)2 Im2 (α) = 0. 2 2 N

Los eigenvalores u± (α), resultan ser: r ω02 γ 2 uδ,± (α) = ± + [(1 + δ)2 Re2 (α) + (1 − δ)2 Im2 (α)], 4 N

(3.20)

(3.21)

y los eigenvectores: s |uδ,± i =

uδ,± − a 2 uδ,±

√γ N

ω0 +uδ,± (α) 2

!

[(1+δ)Re(α)−(1−δ)i Im(α)]

.

(3.22)

1

Entonces, evaluando la traza para los espines en esta base, obtenemos: Z Zδ (T, N ) =

N d2 α −βω|α|2 Y e π k=1

X

e−βuk .

(3.23)

uk =uδ,± (α)

Que se puede escribir como, Z Zδ (T, N ) =


N d2 α −βω|α|2 −βuδ,+ (α) e e + e−βuδ,− (α) . π

Por conveniencia, definimos una nueva funci´on χδ (α) tal que: s 4γ 2 χδ (α) = 1 + 2 [(1 + δ)2 Re2 (α) + (1 − δ)2 Im2 (α)]. ω0 N

(3.24)

(3.25)

Con lo cual tendremos que, uδ,+ (α) = −uδ,− (α) =

ω0 χδ (α) 2

Igual por conveniencia, definimos una nueva funci´on,    −βω|α|2 βω0 φδ (α) = + ln 2 cosh χδ (α) . N 2 37

(3.26)

(3.27)

La funci´on de partici´on es finalmente, d2 α N φδ (α) e . π

Z Zδ (T, N ) =

(3.28)

Ahora, para resolverla, primero escribimos α = x + iy y la integral en t´erminos de x y y. Las funciones φδ (α) y χδ (α) son, s 4γ 2 (3.29) χδ (x, y) = 1 + 2 [(1 + δ)2 x2 + (1 − δ)2 y 2 ], ω0 N    −βω 2 βω0 2 φδ (x, y) = (x + y ) + ln 2 cosh χδ (x, y) . N 2

(3.30)

Y tenemos que la funci´on de partici´on es: Z

∞

Z

∞

Zδ (T, N ) = −∞

−∞

dx dy N φδ (x,y) e . π

(3.31)

Como veremos a continuaci´on, podemos resolver esto para dos casos: (i) Dicke (δ = 1), (ii) Tavis-Cummings (δ = 0). Tambi´en es posible resolverlo para el caso intermedio (δ 6= 0), del cual comentaremos un poco m´as al respecto al final del cap´ıtulo. En las siguientes secciones resolveremos para cada uno de los dos casos y se mostrar´a el resultado termodin´amico de los mismos.

3.4.

Promedios termodin´ amicos

Antes de continuar, nos ocuparemos de plantear las expresiones para el valor esperado del n´ umero de fotones y de los operadores de pseudo-esp´ın colectivos en t´erminos del n´ umero complejo α y de las variables reales x, y. " # * k + k 1 a† a a† a = Tr e−β HD,δ y N Zδ N (3.32)  δ   Jµ 1 Jµ −β HD,δ = Tr e . N δ Zδ N Con µ = x, y, z.

3.4.1.

N´ umero de fotones

Empezamos con las potencias del operador de n´ umero. Si utilizamos el mismo formalismo para encontrar la funci´on de partici´on y usamos las hip´otesis antes dichas para escribir todo 38

en forma antinormal, puesto que este operador s´olo afecta al oscilador, tendremos la siguiente expresi´on, * k + Z 2  2 k a† a 1 d α |α| = eN φδ (α) . (3.33) N Zδ π N δ

O usando x, y y desarrollando el binomio de Newton nos quedamos con una expresi´on que integraremos para cada valor de δ. * k + Z ∞ Z ∞ k  † dx dy (x2 )k−l (y 2 )l N φδ (x,y) aa 1 X k . (3.34) = e l N Zδ l=0 π Nk −∞ −∞ δ

Finalmente, nos interesa el l´ımite termodin´amico de las observables, por lo que buscaremos calcular para cada δ: * k + † a a nk δ = l´ım . (3.35) N →∞ N δ

3.4.2.

Operadores de pseudoesp´ın

Ahora nos ocupamos de encontrar una expresi´on general para Jµ . En este caso el operador no afecta al oscilador pero s´ı a los espines, por lo que tenemos que irnos unos pasos hacia atr´as para calcularlo. Vemos que la parte del campo queda igual que en nuestro c´alculo de la funci´on de partici´on, por lo que la expresi´on desde la que partimos es,   Z 2 X P 1 d α −βω|α|2 X X Jµ hs1 |hs2 | · · · hsN |Jµ e−β k hk (α) |sN i · · · |s2 i|s1 i. e ··· = N δ N Zδ π s =± s =± s =± 1

N

2

(3.36) P ` y vemos que es posible tambi´ e n reordenar los ´ ındices σ Usando de nuevo que Jµ = 21 N µ ` de nueva cuenta de tal suerte que,   N Z N Jµ 1 X d2 α −βω|α|2 Y X e hsk |σµ` e−βhk (α) |sk i (3.37) = N N Zδ `=1 2π k s =± k

Como el operador de Pauli s´olo afecta a uno de los espines, podemos separarlo del resto,   N X N Z Y Jµ 1 X d2 α −βω|α|2 X = e hs` |σµ` e−β h` (α) |s` i hsk |e−βhk (α) |sk i. (3.38) N N Zδ `=1 2π s =± k6=` s =± `

k

Para los dem´as espines los elementos de matriz se resuelven como anteriormente lo hemos hecho. Ahora tenemos que prestar atenci´on a la matriz σµ` e−β h` (α) . Para evaluarla debemos ver la forma de las matrices σµ` en la nueva base uδ,± , es decir, la acci´on de esos operadores sobre los elementos de la nueva base. Nos interesa evaluar la siguiente expresi´on: X hu` |σµ` e−β h` (α) |u` i. (3.39) u` =uδ,±

39

Escribiendo las matrices de esp´ın de Pauli usando la delta de Kronecker como:   δµ,z δµ,x − iδµ,y σµ = , δµ,x + iδµ,y −δµ,z

(3.40)

Y usando los eigenvectores |u± i en 3.22 expresados en la base de esp´ın 1/2 y multiplicando las matrices, tendremos que el resultado de evaluar estos eigenvectores bajo la acci´on de las matrices de esp´ın de Pauli es:   γ 1 ω0 δµ,z + √ [(1 + δ)Re(α)δµ,x − (1 − δ)Im(α)δµ,y ] huδ,± |σµ |uδ,± i = (3.41) 2 uδ,± N Ahora, evaluamos nuestros elementos de matriz, d´andonos cuenta de que para toda ` tenemos el mismo elemento: N X   hu`,δ,+ |σµ e−βhδ,` (α) |u`,δ,+ i + hu`,δ,− |σµ e−βhδ,` (α) |u`,δ,− i = `=1
  (3.42) 2N senh βω2 0 χδ (α) γ ω0 δµ,z + √ [(1 + δ)Re(α)δµ,x − (1 − δ)Im(α)δµ,y .] =− ω0 χδ (α) N Por tanto, la expresi´on para calcular Jµ es, usando 3.38:
   N Z 2 βω Jµ 1 d α −βω|α|2 tanh 2 0 χδ (α) βω0 e χδ (α)) × =− 2 cosh( N δ Zδ 2π ω0 χδ (α) 2 (3.43)   γ × ω0 δµ,z + √ [(1 + δ)Re(α)δµ,x − (1 − δ)Im(α)δµ,y ] . N Y en las variables x, y tenemos:
 N   Z ∞Z ∞ βω dx dy −βω(x2 +y2 ) tanh 2 0 χδ (x, y) Jµ 1 βω0 e χδ (x, y)) × =− 2 cosh( N δ Zδ −∞ −∞ 2π ω0 χδ (x, y) 2   γ × ω0 δµ,z + √ [(1 + δ) x δµ,x − (1 − δ) y δµ,y ] . N (3.44) Que finalmente nos queda como:
  Z βω 1 dα2 tanh 2 0 χδ (α) N φδ (α) Jµ =− e × N δ Zδ 2π ω0 χδ (α)   γ × ω0 δµ,z + √ [(1 + δ) x δµ,x − (1 − δ) y δµ,y ] . N O en las variables x, y,
  Z ∞Z ∞ βω Jµ 1 dx dy tanh 2 0 χδ (x, y) N φδ (x,y) =− e × N δ Zδ −∞ −∞ 2π ω0 χδ (x, y)   γ × ω0 δµ,z + √ [(1 + δ) x δµ,x − (1 − δ) y δµ,y ] . N 40

(3.45)

(3.46)

De igual forma que con el operador de n´ umero de fotones, calcularemos tambi´en el l´ımite termodin´amico de nuestro promedio de los operadores de pseudoesp´ın:   Jµ σ µ,δ = l´ım . (3.47) N →∞ N δ

3.5.

Tavis-Cummings. δ = 0.

Para resolver el caso de TC, nos damos cuenta de que, gracias a que δ = 0, la dependencia funcional en x y y es a trav´es de r2 = x2 + y 2 , esto se debe a la simetr´ıa conservada en el Hamiltoniano. Entonces, nos pasamos a coordenadas polares (r, θ), s 4γ 2 r2 , (3.48) χ0 (r) = 1 + 2 ω0 N    −βω 2 βω0 φ0 (r) = r + ln 2 cosh χ0 (r) , (3.49) N 2 Z Z 1 ∞ 2π Z0 (T, N ) = r dr dθ e N φ0 (r) . (3.50) π 0 0 Tenemos que resolver entonces la siguiente integral: Z ∞ 2r dr e N φ0 (r) . (3.51) Z0 (T, N ) = 0

Sin embargo, vemos que nos conviene hacer un cambio de variable v = r2 /N (2rdr = dvN ) para quitar la dependencia en N . Nuestras funciones y la integral quedan definidas como, s 4γ 2 (3.52) χ0 (v) = 1 + 2 v, ω0    βω0 χ0 (v) , (3.53) φ0 (v) = −βωv + ln 2 cosh 2 La expresi´on exacta para la funci´on de partici´on es, Z ∞ Z0 (T, N ) = N dv e N φ0 (v) .

(3.54)

0

Resolveremos esta integral a trav´es del m´etodo integral de Laplace o de los descensos bruscos (steepest descents) [132]. Para una funci´on del tipo es f (x) , si se tiene un valor m´aximo x0 en el intervalo donde est´a definida, la integral se puede aproximar como: s Z 2π dx g(x)esf (x) ∼ g(x0 ) es f (x0 ) (3.55) 00 sf (x0 ) 41

Multiplicando por un factor 1/2 si x0 es un l´ımite del intervalo de integraci´on. Aplicando el m´etodo, tendremos la siguiente soluci´on: s 2π e N φ0 (vs ) . (3.56) Z0 (T, N ) = N 00 N |φ0 (vs )| Nos falta identificar el valor de vs . Calculamos la primera y la segunda derivada de φ0 (v) √ para encontrarlo. Definiendo η = βω2 0 y γc,0 = ω0 ω, las derivadas son: φ00 (v) φ000 (v) = −

  γ 2 tanh (η χ0 (v)) = −βω 1 − 2 , γc,0 χ0 (v)

 4ω 2 γ 4 η  η χ0 (v) sech2 (η χ0 (v)) − tanh (η χ0 (v)) . 2 4 3 ω0 γc,0 χ0 (v)

(3.57)

(3.58)

Para encontrar los extremos, hacemos la primera derivada de φ0 (v) igual a cero. Tenemos una soluci´on vs , que cumple la siguiente ecuaci´on trascendental, tanh (η χ0 (vs )) =

2 γc,0 χ0 (vs ). γ2

(3.59)

Sin embargo, vemos que la tanh(x) s´olo est´a definida en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1, por lo que tenemos dos casos posibles dependiendo de los par´ametros en el Hamiltoniano. Cuando γ < γc,0 la tangente hiperb´olica no tiene ninguna regi´on donde est´e definida. Entonces, la funci´on φ0 (v) es mon´otona decreciente con un m´aximo en vs = 0. Esta regi´on la denominamos fase normal. En cambio, cuando γ > γc,0 tenemos una regi´on donde est´a definida la tangente hiperb´olica y otra en la que no. Esto depende del valor de β. As´ı que existe un valor de βc a partir del cual la tangente hiperb´olica est´a definida. Este valor est´a dado por: tanh (ηc ) =

2 γc,0 γ2

(3.60)

Es decir, cuando χ0 (vs ) = 1, coincidiendo con vs y asegurando la continuidad con la otra fase. As´ı, con β < βc,0 (T > Tc ) no hay soluci´on y tenemos la fase normal de nuevo con vs = 0. Pero para β > βc,0 (T < Tc ) la soluci´on est´a dada por la ecuaci´on 3.59 y denominaremos esta regi´on como fase superradiante. A continuaci´on, trataremos ambas fases por separado.

3.5.1.

Fase normal de TC

Recordando, esta fase ocurre con γ < γc,δ o con γ > γc,δ y T > Tc . Nuestro valor es vs = 0 y nos da como resultado lo siguiente: χ0 (vs = 0) = 1, 42

(3.61)

φ0 (vs = 0) = ln [2 cosh (η)] .  4ω 2 γ 4  φ000 (vs = 0) = −η 2 4 η sech2 (η) − tanh (η) . ω0 γc,0

(3.62) (3.63)

Considerando el factor de 1/2 por ser punto extremo, sustituyendo en la ecuaci´on 3.56 la funci´on de partici´on resulta, v u 1u πN Z0 (T, N ) = t 2ω2 γ 4  (3.64)  eN ln[2 cosh(η)] . 2 2 η η sech (η) − tanh (η) 2 4 ω0 γc,0

Si definimos una nueva funci´on,
w0 (η) = η η sech2 (η) − tanh(η) La funci´on de partici´on de TC en la fase normal es, s 4 1 πN ω02 γc,0 − 12 w (η) eN ln[2 cosh(η)] . Z0 (T, N ) = 2 2 ω2 γ 4 0

(3.65)

(3.66)

Ahora veremos el valor de las funciones termodin´amicas principales. La energ´ıa libre es:   s  1  1 π ω2 γ 4 − 12 0 c,0 (η) + lnN + N ln [2 cosh (η)] − β F0 (T, N ) = ln w (3.67)  2  2 2 ω2 γ 4 0 Tomando el l´ımite termodin´amico, la energ´ıa libre por part´ıcula est´a dada finalmente por: −β f0 (T ) = φ0 (vs = 0) = ln [2 cosh (η)] .

(3.68)

Para calcular la entrop´ıa necesitamos la derivada de la funci´on de partici´on. Al hacerlo nos quedamos con, 1 ∂Z0 1 ∂w0 (T ) N ∂φ0 (0) =− + . (3.69) βZ0 ∂T 2β w0 (T ) ∂T β ∂T Y tenemos que,   1 ∂w0 (T ) 1 η 2 tanh(η) sech2 (η) = −kB + (3.70) 2β w0 ∂T 2 η sech2 (η) − tanh(η) La entrop´ıa es:   s   2 γ4 1 1 π ω0 c,0 − 2  S0 (T, N ) = kB ln  w (η) +  2 2 ω2 γ 4 0 η 2 tanh(η) sech2 (η) 1 1 + + + lnN + w0 (η) 2 2 +N { ln [2 cosh (η)] − η tanh(η)}} . 43

(3.71)

En el l´ımite termodin´amico, la entrop´ıa por part´ıcula es entonces: S0 (T ) = kB { ln [2 cosh (η)] − η tanh(η)} .

(3.72)

  ω0 η sech2 (η) kB T U0 (T, N ) = tanh(η) −N + . 2 2 2 η sech (η) − tanh(η)

(3.73)

Y la energ´ıa interna es:

Y en el l´ımite termodin´amico la energ´ıa interna por part´ıcula es: U0 (T ) = −

ω0 tanh(η) 2

(3.74)

Ahora veremos el resultado para el n´ umero de fotones y los operadores at´omicos para TC en la fase normal. Primero calculamos el valor esperado del operador (a† a)k usando 3.34. Sin embargo, es m´as conveniente utilizar coordenadas polares pues no tenemos que expresar la integral en t´eminos del binomio. * k + Z ∞ Z 2π 1 a† a rdr dθ (r2 )k N φ(r) = e . (3.75) N Z0 0 π Nk 0 Calculamos inmediatamente la integral en θ y cambiamos de variable v = r2 /N , * k + Z N ∞ a† a dv (v)k eN φ0 (v) . = N Z0 0 Utilizamos el m´etodo integral de Laplace en el m´aximo vs . Tendremos: s * k + a† a 1 2πN N φ0 (0) = e (vs )k = (vs )k . N Z0 |φ00 (0)|

(3.76)

(3.77)

Pero, como estamos en el caso de la fase normal, el m´aximo est´a en vs = 0. As´ı que finalmente, tras tomar el l´ımite termodin´amico, nos queda: nk 0 = 0 .

(3.78)

Ahora, veamos qu´e sucede con los operadores Jµ . Una vez m´as cambiamos a las variables r y θ,   Z ∞ Z 2π Jµ 1 rdr dθ −βωr2 tanh (η χ0 (r)) =− e (2 cosh(η χ0 (r)))N × N Z 2π ω0 χ0 (r) 0  0 0  (3.79) γ × ω0 δµ,z + √ [(1 + δ) r cos(θ) δµ,x − (1 − δ) r sen(θ) δµ,y ] N 44

Hacemos la integral de θ y cambiamos a la variable v = r2 /N . Notamos que, Z 2π Z 2π dθ cos(θ) = 0 y dθ sen(θ) = 0. 0

(3.80)

0

Nos queda entonces:   Z Jµ N ∞ e−N βω v dv =− tanh (η χ0 (v)) (2 cosh(η χ0 (v)).)N δµ,z . N Z0 0 2χ0 (v) Y nuestra integral queda como:   Z Jµ N ∞ tanh (η χ0 (v)) N φ0 (v) =− dv e δµ,z . N Z0 0 2χ0 (v) De nueva cuenta, usamos el m´etodo integral de Laplace:   Jµ tanh (η χ0 (vs )) δµ,z , =− N 2χ0 (vs )

(3.81)

(3.82)

(3.83)

y evaluamos en vs = 0: 1 σµ 0 = − tanh (η) δµ,z . 2

(3.84)

Ya con esto hemos calculado todas las observables que nos interesaban. Como resumen, escribimos todas las funciones termodin´amicas calculadas para el caso de la fase normal de Tavis-Cummings (δ = 0). −β f0 (T ) = ln [2 cosh (η)] ,   βω0 S0 (T ) = kB ln [2 cosh (η)] − tanh (η) , 2 ω0 U0 (T ) = − tanh (η) , 2 nk 0 (T ) = 0, 1 σµ 0 (T ) = − tanh (η) δµ,z . 2

(3.85)

Como podemos ver, simplemente esto corresponde a la termodin´amica de un conjunto de N espines desacoplados del campo. Es por eso que se cumple para la energ´ıa interna que, U0 (T ) = ω0 σz 0 .

(3.86)

Como nos interesa tener una representaci´on termodin´amica completa, despejamos tambi´en la temperatura en t´erminos de la energ´ıa interna y luego la sustituimos en la entrop´ıa.   2 U0 η = arctanh − . (3.87) ω0 45

Adem´as, 1

cosh(x) = q

.

(3.88)

2

1 − tanh (x)

Por lo que, "  2 #    ) 2 U0 2 U0 2 U0 1 + − arctanh − ln(2) − ln 1 − − 2 ω0 ω0 ω0

( S0 (U0 ) = kB

(3.89)

Si redefinimos una energ´ıa adimensional unph como, u0,nph = −

2U0 ω0

(3.90)

La entrop´ıa queda finalmente como:  
1 2 S0 (u0,nph ) = kB ln(2) − ln 1 − u0,nph + u0,nph arctanh (u0,nph ) 2

(3.91)

Ya calculadas las funciones termodin´amicas en la fase normal, veremos que sucede en la fase superradiante.

3.5.2.

Fase superradiante de TC.

Esta fase ocurre cuando γ > γc,0 y T < Tc . Sin embargo, ahora el valor de vs 6= 0 y se obtiene a partir de la siguiente ecuaci´on trascendental: 2 γc,0 tanh (η χ0 (vs )) = 2 χ0 (vs ). γ

(3.92)

Recordando que: vs =

ω02 2 (χ − 1). 4γ 2 0

(3.93)

Reescribimos φ0 (vs ) como, φ0 (vs ) = −

2 η γc,0 (χ2 (vs ) − 1) + ln [2 cosh (η χ0 (vs ))] 2 γ2 0

(3.94)

Siguiendo el mismo procedimiento que en la secci´on anterior, la segunda derivada es evaluada en vs : φ000 (vs ) = −

 4ω 2 γ 4 η  η χ0 (vs ) sech2 (η χ0 (vs )) − tanh (η χ0 (vs )) . 2 4 3 ω0 γc,0 χ0 (vs ) 46

(3.95)

En este caso, la funci´on w0 es,   w0 (ηχ0 ) = ηχ0 (vs ) ηχ0 (vs ) sech2 (ηχ0 (vs )) − tanh(ηχ0 (vs )) . Pero, usando que sech2 (x) = 1 − tanh2 (x) y la ecuaci´on 3.92 tendremos que:   2   2 2 γc,0 γc,0 γ 2 2 w0 (ηχ0 ) = η χ0 (vs ) 2 η − 2 χ0 (vs ) − 1 . 2 γ γc,0 γ

(3.96)

(3.97)

Con lo cual, φ000 (vs ) = −

4ω 2 γ 4 w0 (ηχ0 ) . 4 ω02 γc,0 χ40 (vs )

(3.98)

La funci´on de partici´on, siguiendo 3.64 es entonces: s Z0 (T, N ) =

4 πN ω02 γc,0 − 12 N φ0 (vs ) 2 . χ (v )w s 0 (ηχ0 ) e 2 ω2 γ 4 0

(3.99)

Con esto, la energ´ıa libre es: s  π ω2 γ 4

 

1 + lnN  2  2   2 η γc,0 2 +N − (χ − 1) + ln [2 cosh (η χ0 )] 2 γ2 0

−β F0 (T, N ) = ln

0 ω2

c,0 γ4

− 21

χ20 w0 (ηχ0 )

(3.100)

Y la energ´ıa libre por part´ıcula en el l´ımite termodin´amico se convierte en: −β f0 (T ) = −

2 η γc,0 (χ2 − 1) + ln [2 cosh (η χ0 )] . 2 γ2 0

(3.101)

De igual forma que en el caso de la fase normal, requerimos calcular la derivada de la funci´on de partici´on. 1 ∂w0 (ηχ0 ) 2 ∂χ0 (vs ) N ∂φ0 (vs ) 1 ∂Z0 =− + + βZ0 ∂T 2β w0 (T ) ∂T βχ0 (vs ) ∂T β ∂T

(3.102)

Y tenemos que,  2  1 ∂χ0 (T ) ηχ20 γc,0 = kB 1 + β χ0 ∂T w0 γ 2     2 γc,0 1 ∂w0 (ηχ0 ) ηχ20 1 1 ∂χ0 − = kB 1 + 2 − 1− = 2β w0 ∂T γ 2w0 w0 kB βχ0 ∂T     2 2  2 γc,0 kB γc,0 ηχ20 2η γ 2 = − 2 χ0 − 1 2 2 γ2 w0 w0 γc,0 γ 47

(3.103)

(3.104)

2
1 ∂φ0 (χ0 ) kB η 2 γc,0 =− χ20 + 1 2 β ∂T 2 γ

(3.105)

La entrop´ıa es entonces: S0 (T, N ) = kB ln

  k 1 B 0 c,0 2 − 2 lnN χ0 w0 (ηχ0 ) + 2 4  2ω γ 2

s  π ω2 γ 4 



 1 ∂w0 (ηχ0 ) 2 ∂χ0 (vs ) (3.106) + kB − + 2β w0 (T ) ∂T βχ0 (vs ) ∂T   2 2 η γc,0 2 η γc,0 2 kB N − (χ − 1) − (χ + 1) + ln [2 cosh (η χ0 )] + 2 γ2 0 2 γ2 0   v    u 2πN u n h 2 i o S0 (T, N ) = −kB ln t 2 2 2 γc,0 γ γ   1 2   2βω η − 2 χ2 (v ) 2 2 χ0 (vs ) − 1 ω0 γc,0 γ γc,0 0 s   (3.107) 1 ∂χ0 1 ∂w0,S (T ) kB + − + βχ0 ∂T 2β w0,S (T ) ∂T 2   2 2 η γc,0 2 η γc,0 2 (χ − 1) − (χ + 1) + ln [2 cosh (η χ0 )] . + kB N − 2 γ2 0 2 γ2 0 Haciendo un poco de ´algebra y tomando el l´ımite termodin´amico, la entrop´ıa por part´ıcula se convierte en:   γ2 2 (3.108) S0 (T ) = kB ln [2 cosh (η χ0 )] − η 2 tanh (η χ0 ) . γc,0 La energ´ıa interna nos queda como:   1 ∂χ0 1 ∂w0,S (T ) kB U0 (T, N ) = − + βχ0 ∂T 2β w0,S (T ) ∂T 2   2 ω0 γc,0 −N (χ2 + 1) . 4 γ2 0 Y la energ´ıa por part´ıcula es en el l´ımite termodin´amico:  2  γc,0 ω0 γ 2 2 U0 (T, N ) = − tanh (η χ0 ) + 2 . 2 4 γc,0 γ

(3.109)

(3.110)

De nuevo, calculamos el resultado para el promedio termodin´amico del n´ umero de fotones y los operadores de pseudoesp´ın. Para el n´ umero de fotones utilizamos el resultado en 3.111 con vs usando adem´as la ecuaci´on trascendental. * k + a† a = (vs )k . (3.111) N 0

48

Con lo que obtenemos:

(n)



k 0

=

ω02 2 4γc,0

k 

2 γc,0 γ2 2 tanh (η χ0 ) − 2 2 γc,0 γ

k .

(3.112)

Ahora, para los operadores de pseudoesp´ın el procedimiento es casi id´entico que en el caso de la fase normal. Las integrales en θ son id´enticas y finalmente, como en la ecuaci´on 3.83 nos quedar´a una expresi´on del tipo:   Jµ tanh (η χ0 (vs )) = δµ,z , (3.113) N 0 2χ0 (vs ) Al usar la ecuaci´on trascendental nos queda finalmente: σµ 0

2 γc,0 δµ,z =− 2 . γ 2

(3.114)

De nueva cuenta, como resumen, escribimos todas las funciones termodin´amicas calculadas para el caso de la fase superradiante de Tavis-Cummings (δ = 0). 2 η γc,0 (χ2 − 1) + ln [2 cosh (η χ0 )] , 2 γ2 0   γ2 2 S0 (T ) = kB ln [2 cosh (η χ0 )] − η 2 tanh (η χ0 ) , γc,0  2 2  γc,0 ω0 γ 2 U0 (T ) = − tanh (η χ0 ) + 2 , 2 4 γc,0 γ  2 k  2 2 k γc,0 ω0 γ k 2 (n) 0 = tanh (η χ0 ) − 2 , 2 2 4γc,0 γc,0 γ

−β f0 (T ) = −

σµ 0 = −

(3.115)

2 γc,0 δµ,z . 2 γ 2

De igual forma, como con el caso de la fase normal, nos interesa tener la entrop´ıa en t´erminos de la energ´ıa interna. Primero tenemos que, s 2  2  γc,0 4 U0 γc,0 tanh(ηχ0 ) = − 2 + 2 (3.116) γ ω0 γ y que, γ2 χ0 = 2 γc,0

s

2 γc,0 − 2 γ

49



2  4 U0 γc,0 + 2 . ω0 γ

(3.117)

Entonces, usando nuestra ecuaci´on trascendental, r   2 2 γc,0 γc,0 4 U0 arctanh − γ 2 ω0 + γ 2 r η= .   2 2 γc,0 γc,0 γ2 4 U0 − γ 2 ω0 + γ 2 γ2

(3.118)

c,0

La temperatura en t´erminos de la energ´ıa es, r   2 2 γc,0 γc,0 4 U0 arctanh − γ 2 ω0 + γ 2 2 r β= .   2 2 ω0 γc,0 γc,0 γ2 4 U0 − γ 2 ω0 + γ 2 γ2

(3.119)

c,0

La entrop´ıa es finalmente,   2   2  γc,0 4 U0 γc,0 1 S0 (U0 ) = kB ln(2) − ln 1 − − 2 + 2 + 2 γ ω0 γ  r   2 2  γ γc,0   2  − γ 2 4ωU00 + γc,0 2  2  2 arctanh γc,0 4 U0 γc,0 γ r − + . + 2   2 2  γc,0 γ2 ω0 γ2 γc,0 γc,0  γ2 4 U0  − γ 2 ω0 + γ 2  γ2

(3.120)

c,0

Si redefinimos una energ´ıa adimensional usph,0 como, s 2  2  γc,0 4 U0 γc,0 usph,0 = − 2 + 2 γ ω0 γ La entrop´ıa nos queda finalmente como:  
1 2 S0 (usph,0 ) = kB ln(2) − ln 1 − usph,0 − usph,0 arctanh (usph,0 ) . 2

(3.121)

(3.122)

Y vemos que corresponde a la misma relaci´on funcional que encontramos en la fase normal. En las siguientes secciones desarrollaremos el caso δ = 1 o el antirresonante, correspondiente al modelo de Dicke.

3.6.

Dicke. δ = 1.

Para el caso de Dicke, seguimos el trabajo de [74] y [73]. El procedimiento ser´a muy similar al de Tavis-Cummings, con algunas diferencias. Retomamos las expresiones que ten´ıamos pero con δ = 1 y de nuevo, η = βω2 0 . Entonces nuestras funciones nos quedan como: s 16γ 2 χ1 (x) = 1 + 2 x2 , (3.123) ω0 N 50


βω 2 (3.124) x + y 2 + ln {2 cosh [η χ1 (x)]} N Vemos que la dependencia en y es relativamente sencilla, por lo que podemos integrarla f´acilmente, no as´ı la de x. Tenemos entonces que la funci´on de partici´on es: Z ∞Z ∞ dx dy N φ1 (x) −βω y2 Z1 (T, N ) = e e , (3.125) π −∞ −∞ φ1 (x, y) = −

con, x2 φ1 (x) = −βω + ln {2 cosh [η χ1 (x)]} N

(3.126)

Integrando en y:

Z ∞ 2 Z1 (T, N ) = √ dx eN φ1 (x) . (3.127) πβω 0 √ Hacemos el cambio de variable u = x/ N (hay que notar que este cambio es diferente al de TC por un orden de magnitud). Nuestra integral es entonces: s Z ∞ N du eN φ1 (u) . (3.128) Z1 (T, N ) = 2 πβω 0 Con:

s χ1 (u) =

1+

16γ 2 2 u, ω02

φ1 (u) = −βω u2 + ln {2 cosh [η χ1 (u)]} . √

Definimos γc,1 =

ωω0 2

y aplicamos el m´etodo integral de Laplace, s 1 Z1 (T, N ) = 2 βω 00 eN φ1 (us ) . |φ1 (us )| 2

La primera y la segunda derivada de φ(u) son: " #  2 γ tanh (η χ1 (u)) φ0 (u) = −2βωu 1 − , γc,1 χ(u) (

2 γ tanh (η χ1 (u)) φ (u) = −2βω 1 − γc,1 χ(u)    ) 4 u2 ω 2 γ 1 2 − 2 η sech (η χ1 (u)) − tanh(η χ1 (u)) 2 χ1 (u) γc,1 γc,1 χ(u) 00

(3.129) (3.130)

(3.131)

(3.132)



(3.133)

Sin embargo, vemos inmediatamente que φ0 (us ) = 0 tiene dos soluciones. La primera es us = 0 que corresponder´a a la fase normal, justo como en el caso de TC, pues 0 ≤ u < ∞, es 51

decir, φ(u) es mon´otona decreciente con m´aximo en us = 0 para u > 0. Para el segundo caso, tenemos dos soluciones. Justo como en el caso de Tavis-Cummings, tenemos una ecuaci´on trascendental que nos da el valor del m´aximo:  tanh (η χ1 (u)) =

γc,1 γ

2 χ1 (u).

(3.134)

Para que la tanh(x) est´a bien definida, tenemos dos fases. Cuando γ < γc,1 la tanh(x) no est´a definida y volvemos al caso us = 0, es decir, la fase normal. Cuando γ > γc,1 tenemos una temperatura cr´ıtica: 2  γc,1 tanh (η) = , (3.135) γ tal que para β < βc (T > Tc ) no hay soluci´on y tenemos la fase normal una vez m´as, pero para β > βc (T < Tc ) hay soluci´on y tenemos la fase superradiante. De nuevo, estudiaremos ambas fases por separado a continuaci´on.

3.6.1.

Fase normal de Dicke.

Como en TC esta fase ocurre con γ < γc,1 o con γ > γc,1 y T > Tc . Nuestro valor es us = 0. Nuestras funciones toman los siguientes valores: χ1 (us = 0) = 1,

(3.136)

φ1 (us = 0) = ln {2 cosh [η ]} . # " 2  γ tanh (η ) φ001 (us = 0) = −2βω 1 − γc,1

(3.137)

Usando el M´etodo de Laplace, la funci´on de partici´on resulta, v 1 u 1 u eN ln[2 cosh(η )] . Z1 (T, N ) =  2 t βω γ 1 − γc,1 tanh (η )

(3.138)

(3.139)

Ahora, calculamos las funciones termodin´amicas. La energ´ıa libre de Helmholtz es,   v    1 u  1 u − β F1 (T ) = ln + N ln [2 cosh (η )] . (3.140)  2 t    βω 1 − γ  tanh (η ) γc,D Que en el l´ımite termodin´amico da finalmente, −β f1 (T ) = φ1 (us = 0) = ln [2 cosh (η )] . 52

(3.141)

Al igual que en TC, para calcular la entrop´ıa necesitamos calcular  2 γ w1 (T ) = 1 − tanh (η) . γc,1

∂Z . ∂T

Sea (3.142)

Entonces,   1 1 ∂w1 (T ) N ∂φ(T ) 1 ∂Z1 = kB 1 − + . βZ1 ∂T 2kB β w1 (T ) ∂T kB β ∂T

(3.143)

Por lo que, 1 ∂Z1 = kB βZ1 ∂T

(

"

1 1−η 2 w1 (T )



γ γc,1

2

#) sech2 (η) + N tanh (η)

(3.144)

Por tanto, la entrop´ıa es: " S1 (T, N ) = kB

ln

1/2 w1 (T )

βω

#

η +1− 2 w1 (T )



γ γc,1

2

sech2 (η) +

(3.145)

+N {ln [2 cosh (η)] − η tanh (η)}) . En el l´ımite termodin´amico la entrop´ıa nos queda: S1 (T ) = kB {ln [2 cosh (η)] − η tanh (η)} . Por su parte, la energ´ıa interna es: ( )  2 η γ 1 1− U1 (T, N ) = sech2 (η) − N η tanh (η) . β 2 w1 (T ) γc,1

(3.146)

(3.147)

Y en el l´ımite termodin´amico queda como: U1 (T ) = −

ω0 tanh (η) . 2

(3.148)

Ahora, queremos calcular los promedios termodin´amicos de las observables. Para hacerlo tenemos que volver un poco en las integrales. Empezamos con el n´ umero de fotones. Partimos de la ecuaci´on 3.34. De nueva cuenta, la dependencia en y es tal que se puede integrar f´acilmente. * k + Z ∞ k  Z ∞ 1 X k dx 2 k−l N φ1 (x) a† a −βωy 2 2 l = k dy e (y ) (x ) e . (3.149) N N Z1 l=0 l −∞ π −∞ 1

Con un cambio de variable t = βωy 2 ( 2√1βωt dt = dy) la integral en y es:
Z ∞ Γ l + 12 −βωy 2 2 l √ dy e (y ) = (βω)l βω −∞ 53

(3.150)

Tras resolver la integral para y tenemos, *
Z ∞ k + k   dx 2 k−l N φ1 (x) a† a 1 X k Γ l + 12 √ = k (x ) e . l N N Z1 l=0 l (βω) βω −∞ π

(3.151)

1

Luego, cambiamos de variable u = √xN : *
√ Z k + k   Γ l + 12 a† a 1 X k 2 N ∞ √ = du (u2 )k−l eN φ1 (u) . N Z1 l=0 l N l (βω)l βω π 0

(3.152)

1

Usando el m´etodo integral de Laplace en la integral de u: # *
" s k + k   a† a 1 X k Γ l + 12 1 √ l eN φ1 (us ) (u2s )k−l . = 2 βω 00 N Z1 l=0 l πN (βω)l (u )| |φ s 1 2

(3.153)

1

Que nos da finalmente, *

a† a N

k + 1


k   X k Γ l + 21 √ l (u2s )k−l . = l l πN (βω) l=0

(3.154)

Como estamos en la fase normal us = 0, s´olo cuando k = l tenemos algo distinto de cero. As´ı que, *
k + Γ k + 12 a† a . (3.155) =√ k N πN (βω)k 1

Y en el l´ımite termodin´amico tenemos finalmente: (n)k 1 = 0 .

(3.156)

Ahora trabajamos con los operadores de pseudoesp´ın. Partimos de la ecuaci´on 3.46, sustituyendo el caso para δ = 1:   Z ∞Z ∞ 1 Jµ dx dy tanh (η χ1 (x)) N φ1 (x) −βωy2 =− e e × N 1 Z1 −∞ −∞ 2π ω0 χ1 (x)   (3.157) 2γx × ω0 δµ,z + √ δµ,x . N De nueva cuenta, la integral en y es s´ umamente sencilla. Tras hacerla, tendremos entonces:     r Z ∞ dx tanh (η χ1 (x)) N φ1 (x) Jµ 1 π 2γx =− e ω0 δµ,z + √ δµ,x . (3.158) N 1 Z1 βω −∞ 2π ω0 χ1 (x) N Hacemos el cambio de variable a u: s   Z Jµ 2 πN ∞ du tanh (η χ1 (u)) N φ1 (u) =− e {ω0 δµ,z + 2γuδµ,x } . N 1 Z1 βω 0 2π ω0 χ1 (u) 54

(3.159)

Y luego integramos con el m´etodo de Laplace: # " s   tanh (η χ1 (us )) Jµ 1 1 eN φ1 (us ) =− 2 βω 00 {ω0 δµ,z + 2γus δµ,x } . N 1 Z1 2ω0 χ1 (us ) |φ1 (us )| 2 Qued´andonos finalmente:   Jµ tanh (η χ1 (us )) =− {ω0 δµ,z + 2γus δµ,x } . N 1 2ω0 χ1 (us ) En el caso en el que us = 0 tendremos:   Jµ tanh (η) =− δµ,z . N 1 2

(3.160)

(3.161)

(3.162)

Y en el l´ımite termodin´amico: σµ 1 = −

tanh (η) δµ,z . 2

(3.163)

De nuevo, pero ahora para el caso de Dicke (δ = 1), escribimos todas las funciones termodin´amicas calculadas para la fase normal: −β f1 (T ) = ln [2 cosh (η )] , S1 (T ) = kB {ln [2 cosh (η)] − η tanh (η)} , ω0 U1 (T ) = − tanh (η) , 2 k (n) 1 = 0, 1 σµ 1 = − tanh (η) δµ,z . 2

(3.164)

Notamos que, de la misma forma que sucedi´o con Tavis-Cummings: U1 (T ) = ω0 σµ 1

(3.165)

Ahora ponemos la entrop´ıa en t´erminos de la energ´ıa interna.   2 U1 η = arctanh − . ω0

(3.166)

Adem´as, 1

cosh(x) = q

. 2

1 − tanh (x)

55

(3.167)

Por lo que, ( S1 (U1 ) = kB

"  2 #    ) 2 U1 2 U1 2 U1 1 + − arctanh − ln(2) − ln 1 − − 2 ω0 ω0 ω0

(3.168)

Si redefinimos una energ´ıa adimensional u1,nph como, 2U1 ω0

(3.169)


1 2 ln(2) − ln 1 − u1,nph + u1,nph arctanh (u1,nph ) 2

(3.170)

u1,nph = − La entrop´ıa queda finalmente como:  S1 (u1,nph ) = kB

Las expresiones son, por supuesto, las mismas que en el caso del Hamiltoniano de TC, pues corresponde a la fase normal, al sistema desacoplado termodin´amicamente. En la siguiente secci´on trataremos con el caso de la fase superradiante.

3.6.2.

Fase superradiante de Dicke

Esta fase ocurre cuando γ > γc,1 y T < Tc . Sin embargo, ahora el valor de us 6= 0 y se obtiene a partir de la siguiente ecuaci´on trascendental: tanh (η χ1 (us )) =

2 γc,1 χ1 (us ). γ2

(3.171)

Recordando que: u2s =

ω02 (χ2 − 1). 16γ 2 1

(3.172)

Reescribiremos nuestras expresiones en t´erminos de χ1 (us ). Primero, tendremos que, φ1 (us ) = −

2
η γc,1 2 χ (u ) − 1 + ln [2 cosh (ηχ1 (us ))] . s 1 2 γ2

(3.173)

Y, para la segunda derivada, usando que sech2 (x) = 1 − tanh2 (x) y la ecuaci´on 3.171. Entonces tendremos:   2   2 γc,1 (1 − χ21 (us )) γ 00 2 φ1 (us ) = −2βω η − 2 χ1 (us ) − 1 . (3.174) 2 χ21 (us ) γc,1 γ Ahora, definimos la funci´on w1 como, (1 − χ21 (us )) w1 (χ1 ) = χ21 (us )

    2 2 γc,1 γ 2 η − 2 χ1 (us ) − 1 . 2 γc,1 γ 56

(3.175)

La funci´on de partici´on, siguiendo 3.131 es entonces: Z1 (T, N ) =

2 w1 (χ1 )−1/2 eN φ(χ1 ) βω

(3.176)

Ahora, podemos calcular la energ´ıa libre, que es:   2 1 −β F1 (T, N ) = ln − ln [w1 (χ1 (us ))] + βω 2   2
η γc,1 2 +N − χ1 (us ) − 1 + ln [2 cosh (ηχ1 (us ))] . 2 γ2

(3.177)

Y la energ´ıa libre por part´ıcula en el l´ımite termodin´amico se convierte en: −β f1 (T ) = −

2 η γc,1 (χ2 − 1) + ln [2 cosh (η χ1 )] . 2 γ2 1

(3.178)

Toca ahora calcular la derivada de la funci´on de partici´on.   1 ∂Z1 ∂w1 (χ1 ) N ∂φ1 (χ1 ) 1 = kB 1 − + βZ1 ∂T 2kB β w1 (χ1 ) ∂T kB β ∂T

(3.179)

Y tenemos que, 1 ∂χ1 (T ) γ 2 (1 − χ21 ) = −kB η 2 β χ1 ∂T γc,1 w1 (χ1 )χ21

−

1 ∂w1 (ηχ1 ) = kB 2β w1 ∂T η 

η 



γ2 2 γc,1

γ2 2 γc,1

−

2 γc,1 χ2 γ2 1

2 γc,1 χ2 γ2 1



 × −1 

 ηχ1 ×  1−χ2 +  χ21

−

(3.180)

1

(3.181)

(ηχ1 )2 1 4   2  +  2 γ 2 γ η γγ2 − γc,1 −1 2 χ12 γc,1 c,1

2
1 ∂φ1 (χ1 ) kB η γc,1 =− χ21 + 1 2 β ∂T 2 γ

(3.182)

La entrop´ıa es entonces: 

 2 −1/2 N φ(ηχ1 ) S1 (T, N ) = kB ln ω (ηχ1 )e + βω 1   1 ∂ω1 (ηχ1 ) N ∂φ1 (ηχ1 ) + kB + + βω1 (ηχ1 ) ∂T β ∂T 57

(3.183)

   1 ∂ω1 (ηχ1 ) 2 −1/2 ω (ηχ1 ) + kB + + S1 (T, N ) = kB ln βω 1 βω1 (ηχ1 ) ∂T   2 η γc,1 2 + kB N − (χ − 1) + ln [2 cosh(ηχ1 )] + 2 γ2 1   2 η γc,1 2 γ2 2 + kB N (χ − 1) − η 2 tanh (ηχ1 ) 2 γ2 1 γc,1 

(3.184)

Haciendo un poco de ´algebra y tomando el l´ımite termodin´amico, la entrop´ıa por part´ıcula se convierte en:   γ2 2 S1 (T ) = kB ln [2 cosh (η χ1 )] − η 2 tanh (ηχ1 ) . (3.185) γc,1 La energ´ıa interna nos queda como:   1 ∂χ1 1 ∂w1 (T ) kB − + U1 (T, N ) = βχ1 ∂T 2β w1 (T ) ∂T 2   2 ω0 γc,1 2 −N (χ + 1) . 4 γ2 1

(3.186)

Y la energ´ıa por part´ıcula es en el l´ımite termodin´amico: ω0 U1 (T, N ) = − 4



2 γc,1 γ2 2 tanh (η χ1 ) + 2 2 γc,1 γ

 .

(3.187)

De nuevo, calculamos el resultado para el promedio termodin´amico del n´ umero de fotones y los operadores de pseudoesp´ın. Para el n´ umero de fotones utilizamos el resultado en 3.111 con vs resultante de la ecuaci´on trascendental. * k + a† a = (vs )k . (3.188) N 0

Con lo que obtenemos: 

k

(n)

1

=

ω02 2 16γc,1

k 

2 γc,1 γ2 2 tanh (η χ ) − 1 2 γc,1 γ2

k .

(3.189)

Por su parte, el valor esperado de los valores de pseudoesp´ın de la ecuaci´on 3.161 es,   Jµ tanh (η χ1 (us )) =− {ω0 δµ,z + 2γus δµ,x } , (3.190) N 1 2ω0 χ1 (us ) 58

donde, sustituimos el valor de us , teniendo que, 

Jµ N

 1

2 γc,1 =− 2 γ

    ω0 γ 4 2 δµ,z + tanh (η χ1 ) − 1 δµ,x . 4 4γ γc,1

(3.191)

Que nos queda finalmente como: 

Jµ N

 1

2 γc,1 =− 2 γ



  2  γc,1 γ γ2 2 δµ,z + tanh (η χ1 ) − 2 δµ,x . 2 ω γc,1 γ

(3.192)

En resumen, los promedios termodin´amicos del Hamiltoniano de Dicke en la fase superradiante son: βω0 −β f1 (T ) = − 4

"

γ γc,1

2

tanh2 (η χ1 ) −



γc,1 γ

2 # + ln [2 cosh (η χ1 )] ,

S1 (T ) = kB {ln [2 cosh (η χ1 )] − η tanh (ηχ1 )} , " 2  2 # ω0 γ γ c,1 U1 (T ) = − tanh2 (η χ1 ) + , 4 γc,1 γ ( " 2  2 #)k 2 ω0 γ γc,1 (n)k 1 = tanh2 (η χ1 ) − , 2 16γc,1 γc,1 γ ( " ) 2  2 # 2 γc,1 γ γ γc,1 σµ 1 = − 2 δµ,z + tanh2 (η χ1 ) − δµ,x . 2γ ω γc,1 γ

(3.193)

Ahora, el valor esperado del operador Jx es el que se parece m´as a la energ´ıa. Esto es como un sistema magn´etico en el que la magnetizaci´on qued´o alineada en la direcci´on x. Nos toca expresar la entrop´ıa en t´erminos de la energ´ıa. Vemos que, s 2  2  γc,1 4 U1 γc,1 + 2 (3.194) tanh(ηχ1 ) = − 2 γ ω0 γ y tambi´en que, γ2 χ1 = 2 γc,1

s

2 γc,1 − 2 γ



2  4 U1 γc,1 + 2 . ω0 γ

Usamos la ecuaci´on trascendental y obtenemos, r   2 2 γc,1 γc,1 4 U1 arctanh − γ 2 ω0 + γ 2 r η= .   2 2 γc,1 γc,1 γ2 4 U1 − γ 2 ω0 + γ 2 γ2 c,1

59

(3.195)

(3.196)

As´ı, la temperatura como funci´on de la energ´ıa interna es, r 2 β= ω0

arctanh r γ2 2 γc,1

γ2 − γc,1 2



4 U1 ω0

+

2 γc,1 γ2

 .

γ2 − γc,1 2



4 U1 ω0

+

2 γc,1 γ2

(3.197)



La entrop´ıa es finalmente,    2  2  γc,1 4 U1 γc,1 1 S1 (U1 ) = kB ln(2) − ln 1 − − 2 + 2 + 2 γ ω0 γ  r   2 2  γ γc,1   2  − γ 2 4ωU01 + γc,1 2  2  2 arctanh γc,1 4 U1 γc,1 γ r − + 2 + .   2 2  γc,1 γ2 ω0 γ2 γc,1 γc,1  γ2 4 U1  − γ 2 ω0 + γ 2  γ2

(3.198)

c,1

Si redefinimos una energ´ıa adimensional usph,1 como, s usph,1 =

2 γc,1 − 2 γ



2 4 U1 γc,1 + 2 ω0 γ

 (3.199)

La entrop´ıa nos queda finalmente como:  
1 2 S1 (usph,1 ) = kB ln(2) − ln 1 − usph,1 − usph,1 arctanh (usph,1 ) . 2

(3.200)

Con esto, hemos terminado el c´alculo completo de las propiedades termodin´amicas del modelo de Dicke, que no se encuentran en la literatura (salvo en [128]) y son de gran importancia para vincularlas con las propiedades espectrales del Hamiltoniano. En lo que sigue, veremos brevemente el diagrama de fases resultante.

3.7.

Caso intermedio δ 6= 0

Este caso es de sumo inter´es porque presenta aspectos interesantes, al aparecer una nueva fase termodin´amica. Adem´as, es llamativo para el estudio de la transici´on entre integrabilidad y no integrabilidad en sistemas sintonizables [133]. Sin embargo, excede los objetivos de este trabajo y presenta algunas dificultades t´ecnicas, por lo que se propone como una l´ınea de trabajo futuro. En lo que sigue, nos concentraremos en estudiar los l´ımites de las expresiones encontradas y en dibujar el diagrama de fases. 60

3.8.

Diagrama de fases

En esta secci´on observaremos el comportamiento termodin´amico de ambos sistemas y dibujaremos su diagrama de fases. Nos damos cuenta que, el diagrama de fases para Dicke y TC son casi id´enticos, donde lo u ´nico que varia es el valor del acoplamiento cr´ıtico donde √ √ ocurre la transici´on, siendo respectivamente γc,1 = ωω0 /2 y γc,0 = ωω0 . De esta forma, el an´alisis a continuaci´on se aplica casi por completo a ambos modelos. En la figura 3.1 vemos el comportamiento de la temperatura cr´ıtica como funci´on del acoplamiento.

Figura 3.1: Temperatura cr´ıtica Tc como funci´on del acoplamiento γ para el Hamiltoniano de Dicke. Con ω = ω0 = 1. En la figura 3.2 vemos el comportamiento del promedio del n´ umero de fotones y del operador Jz en el diagrama de temperatura y acoplamiento. Podemos observar que, como lo hemos comentado a lo largo del cap´ıtulo, es parecido a un sistema magn´etico: a bajos acoplamientos y altas temperaturas, el desorden cancela el comportamiento colectivo de la superradiancia; mientras que ´esta ocurre a acoplamientos altos y a temperaturas bajas. Por otra parte, nos interesa observar el comportamiento de la energ´ıa para toda temperatura. Notamos inmediatamente que la energ´ıa debe ser siempre negativa, y que a temperaturas altas para todo acoplamiento siempre corresponde a la fase normal. Debido a la dependencia en la tanh(η) en el l´ımite T → ∞ (β → 0), la energ´ıa vale, l´ım U0 (T ) = 0.

(3.201)

T →∞

Por otra parte, en el l´ımite T = 0 la energ´ıa es, ( ω0  γ−2 2 U0 (T = 0) = − ω40 γc,0 2 + 61

γ2 2 γc,0

 γ ≤ γc,0 γ ≥ γc,0 .

(3.202)

Esto u ´ltimo es muy importante, puesto que nos muestra que incluso cuando las contribuciones t´ermicas no son importantes, el sistema presenta una transici´on de fase en el valor del acoplamiento cr´ıtico γc,δ . Este fen´omeno es conocido como Transici´on de Fase Cu´antica y trataremos sobre ´el en el siguiente cap´ıtulo. Con esto, en la figura 3.3 se muestra el diagrama de fases de la energ´ıa en t´erminos de la temperatura y el acoplamiento. Tambi´en, podemos sustituir en la energ´ıa el valor para la temperatura cr´ıtica y as´ı encontrar la ’energ´ıa cr´ıtica’ como funci´on del acoplamiento. La temperatura cr´ıtica ocurre en el l´ımite χδ → 1, entonces, sustituyendo este valor en la energ´ıa de la fase superradiante nos da, U1 (Tc ) = −

2 ω0 γc,δ . 2 γ2

(3.203)

En la figura 3.4 vemos el diagrama de fases a trav´es de la energ´ıa como funci´on del acoplamiento. Finalmente, es interesante observar la representaci´on termodin´amica de la entrop´ıa. Vimos que la entrop´ıa para ambos sistemas se puede escribir como,  
1 2 (3.204) Sδ (uδ ) = kB ln(2) − ln 1 − uδ + uδ arctanh (uδ ) . 2 Donde,  δ − 2U  r ω0  uδ = γ2 4Uδ  − γc,δ + 2 ω0

Fase normal 2 γc,δ γ2



Fase superradiante

(3.205)

Cuando la energ´ıa interna alcanza su valor m´aximo Uδ = 0 entonces el sistema at´omico queda saturado, tomando la entrop´ıa el valor de Sδ (0) = ln(2).

3.9.

Conclusiones del cap´ıtulo

A lo largo de este cap´ıtulo hemos calculado la termodin´amica del sistema a´tomo-campo descrito por el modelo de Dicke y su aproximaci´on el modelo de Tavis-Cummings. Estos modelos son un caso paradigm´atico de la termodin´amica de los sistemas a´tomo-campo. El objetivo en hacer esta revisi´on es poseer una lista de los diferentes promedios termodin´amicos de manera expl´ıcita, dado que dif´ıcilmente se encuentran en la literatura. Por otro lado, vimos que tienen una transici´on de fase t´ermica similar a la de un sistema magn´etico donde a bajas temperaturas y acoplamientos fuertes el sistema at´omico se orienta ’en otra direcci´on’ dando como resultado la superradiancia, es decir, que el promedio termodin´amico del n´ umero de fotones sea distinto de cero. A´ un m´as importante es el hecho de que a temperatura cero, la transici´on de fase se mantiene. Temperatura cero significa en t´erminos f´ısicos, que la energ´ıa t´ermica disponible kB T es muy baja comparada con la unidad de energ´ıa propia del sistema (en este caso cu´antico). En consecuencia, la transici´on de fase a T = 0 no se debe a fluctuaciones t´ermicas y se denomina Transici´on de Fase Cu´antica. Hablaremos m´as de este tipo de transiciones en el cap´ıtulo siguiente. 62

Figura 3.2: (Arriba) promedio termodin´amico del n´ umero de fotones n1 y (abajo) de la diferencia de poblaciones σµ 1 para el modelo de Dicke en el espacio de temperatura T y acoplamiento γ. La l´ınea roja corresponde a la temperatura cr´ıtica y nos separa la fase normal de la superradiante. Con ω = ω0 = 1. 63

0.8 0.6

T 0.4 - 0.4

0.2 0.0 0.0

- 0.6 - 0.8

0.2

0.4

0.6

y

0.8

1.0

- 1.0

Figura 3.3: Energ´ıa interna U1 para el modelo de Dicke en el espacio de temperatura T y acoplamiento γ. La l´ınea negra corresponde a la temperatura cr´ıtica y nos separa la fase normal de la superradiante. Con ω = ω0 = 1.

64

Figura 3.4: Energ´ıa interna U1 para el modelo de Dicke como funci´on del acoplamiento γ. En la figura podemos observar los diferentes reg´ımenes de energ´ıa. La zona gris representa una regi´on de energ´ıa no definida. Por encima de 2U1 /ω0 = 0 el sistema at´omico est´a saturado y esa regi´on no es accesible termodin´amicamente, pues es el l´ımite de temperatura infinita.

65

66

Cap´ıtulo 4 La QPT superradiante y la aproximaci´ on semi-cl´ asica Este cap´ıtulo est´a dedicado a comentar brevemente la naturaleza de las transiciones de fase cu´anticas o QPT. En particular, nos interesa confirmar por otros medios no t´ermicos, la existencia de la singularidad en las propiedades del estado base que aparece al variar alg´ un par´ametro del Hamiltoniano, definici´on b´asica de la QPT. En el caso de la QPT superradiante, lo haremos a trav´es del an´alisis semi-cl´asico, es decir, obtendremos un Hamiltoniano cl´asico efectivo correspondiente al l´ımite cl´asico del Hamiltoniano de Dicke, por medio de una aproximaci´on de campo medio con estados coherentes. Luego, identificaremos la energ´ıa del estado base a trav´es de encontrar los puntos estables de la superficie cl´asica de energ´ıa. Adem´as, discutiremos un poco sobre la importancia de las QPT en la investigaci´on actual, sobre todo, de la QPT superradiante. En cap´ıtulos posteriores utilizaremos varios de los resultados de este cap´ıtulo.

4.1.

Transici´ on de fase t´ ermicas y cu´ anticas

Las transiciones de fase t´ermicas son cambios abruptos en las caracter´ısticas macrosc´opicas de un sistema, que suceden al cambiar sus variables termodin´amicas, por ejemplo, la temperatura T [41]. T´ıpicamente, las transiciones de fase t´ermicas se presentan en los experimentos asociadas a singularidades en las funciones termodin´amicas. Los puntos donde esto pasa se llaman puntos cr´ıticos y usualmente marcan la transici´on entre un comportamiento del sistema a otro, es decir de una fase a otra. B´asicamente hay dos formas posibles en las que las transiciones pueden ocurrir. En la primera forma, llamadas transiciones de fase discontinuas o de primer orden, dos o m´as estados o configuraciones diferentes del sistema que coexisten en ambos lados del punto cr´ıtico tambi´en lo hacen en ´este, con lo cual aparecen discontinuidades en las cantidades termodin´amicas conforme se pasa por el punto cr´ıtico, entre fases estables. En el otro caso, en una transici´on de fase continua o de segundo orden, las dos fases del sistema se hacen id´enticas al acercarse al punto cr´ıtico de forma que el sistema se encuentra en una fase u ´nica y cr´ıtica [134]. Las 67

transiciones de fase tienen un origen t´ermico y se consideran como tales s´olo cuando tomamos el l´ımite termodin´amico. Como vimos en el ca´ pitulo anterior, el l´ımite termodin´amico se toma cuando el tama˜ no del sistema se hace infinito (tradicionalmente a trav´es del n´ umero de part´ıculas N → ∞), de suerte que, aunque las variables extensivas del sistema tienden a infinito, las intensivas tienden a un valor constante. Cuando consideramos sistemas de tama˜ no finito, en cambio s´olo tenemos lo que se llama precursor de la transici´on de fase o crossover [135]. Cuando a T = 0 se sigue observando un cambio de fase en el sistema, la transici´on no debe su origen a un efecto t´ermico sino a uno cu´antico y entonces se habla de una transici´on de fase cu´antica o QPT (Quantum Phase Transition en ingl´es). En la f´ısica estad´ıstica se considera siempre la competencia entre dos unidades energ´eticas, la propia del sistema EQ , por ejemplo en el caso de osciladores ser´ıa la unidad ~ω; y la unidad de energ´ıa t´ermica kB T . Para altas temperaturas los efectos t´ermicos dominan pues el sistema cu´antico puede acceder casi a cualquier nivel energ´etico gracias a que la unidad de energ´ıa t´ermica supera su propia unidad de energ´ıa; todo cambia a temperaturas peque˜ nas la energ´ıa propia del sistema es mucho m´as grande que la t´ermica y en consecuencia el sistema no puede disponer de ´esta para excitar sus niveles de energ´ıa. Si bien, sabemos que por la tercera ley no podemos alcanzar el cero absoluto, el significado de T = 0 implica que la energ´ıa t´ermica es tan baja que el sistema cu´antico no tiene energ´ıa t´ermica disponible y se encuentra en su estado base y primeros excitados. Es por eso, que si a T = 0 sobrevive la transici´on de fase, ´esta se debe directamente a un cambio en las propiedades del estado base, es decir, son las fluctuaciones cu´anticas las responsables de la transici´on y no las fluctuaciones t´ermicas. Si la transici´on persiste en el l´ımite termodin´amico produce como resultado modificaciones en las interacciones entre los constituyentes del sistema y en consecuencia en las variables macrosc´opicas del mismo. Las QPT son un tema de gran inter´es en la actualidad, puesto que se presentan en gran variedad de sistemas, desde sistemas observables como estrellas de neutrones hasta a´tomos artificiales dise˜ nados a voluntad como con los puntos cu´anticos [136]. Podemos considerar un Hamiltoniano H(γ) que var´ıa como funci´on de un acoplamiento adimensional o un par´ametro de control γ [137]. Hay que observar la evoluci´on de la energ´ıa del estado base como funci´on de este par´ametro. Para el caso de un sistema finito la energ´ıa del estado base ser´a, de manera gen´erica una funci´on suave y anal´ıtica de γ. Sin embargo, pongamos como ejemplo, que el Hamiltoniano es tal que acopla una cantidad que conmuta con ´el ([H0 , H1 ] = 0): H(γ) = H0 + γH1 (4.1) Esto implica que aunque las eigenfunciones de H0 sean independientes de γ, los eigenvalores de H(γ) s´ı depender´an de γ. As´ı, puede suceder que haya cruce de niveles (una marca caracter´ıstica de las transiciones de fase cu´anticas) en el que, por ejemplo, el estado base y el primer excitado se crucen a un valor de γ = γc y la energ´ıa del estado base ya no sea anal´ıtica como funci´on de γ. Adem´as, cuando se toma el l´ımite termodin´amico, no solamente un cruce de niveles puede provocar que la energ´ıa del estado base deje de ser anal´ıtica, sino tambi´en una cercan´ıa entre los niveles (que su diferencia de energ´ıa sea muy peque˜ na), llamados cruces evitados. De manera gen´erica, se identifican estos puntos de no-analiticidad como 68

transiciones de fase cu´anticas y como consecuencia de cambiar la estructura del espectro de bajas energ´ıas al pasar por el punto cr´ıtico γc las cantidades f´ısicas tendr´an tambi´en diferentes comportamientos. Un m´etodo com´ unmente utilizado para clasificar las transiciones t´ermicas es la clasificaci´on de Ehrenfest. En ´esta, el orden de la transici´on de fase queda determinando por el orden de la derivada de la energ´ıa libre (u otra variable termodin´amica apropiada) que es discontinua en el punto cr´ıtico. Sin embargo, la clasificaci´on de Ehrenfest es poco precisa, por lo que se tiende a clasificar a las transiciones de fase t´ermicas, como se˜ nalamos l´ıneas anteriores, en transiciones de primer orden o discontinuas y de segundo orden o continuas [138]. En el caso de las QPT enfatizamos que, cuando hay un cruce de niveles la transici´on es discontinua en el l´ımite termodin´amico y se considera de primer orden y si no, normalmente es una transici´on de fase continua y en consecuencia de segundo orden. En general, para los sistemas cu´anticos las transiciones de fase de segundo orden son aquellas donde la escala caracter´ıstica de las fluctuaciones de la energ´ıa se va a cero al llegar al valor cr´ıtico del par´ametro de control γ. Por ejemplo, una escala caracter´ıstica puede ser la diferencia de energ´ıa ∆γ entre el estado base y el primer excitado; al acercarse al valor cr´ıtico de γ = γc , ∆γ tiende a cero. De manera que, una forma de conocer las caracter´ısticas de la transici´on es observar como la energ´ıa caracter´ıstica tiende a cero, por ejemplo: ∆γ ∼ |γ − γc |β

(4.2)

El valor de β es llamado exponente cr´ıtico. Las transiciones de fase son fen´omenos complicados y complejos que sin embargo se pueden simplificar a trav´es del concepto de universalidad. Varias propiedades de los sistemas cerca de una transici´on de fase resultan ser en gran medida independientes de las interacciones individuales de ´atomos y mol´eculas. De forma que muchos sistemas caen en un n´ umero relativamente peque˜ no de clases diferentes entre s´ı o clases de universalidad, caracterizadas por propiedades globales como las simetr´ıas subyacentes del Hamiltoniano, entre otras. Este fen´omeno encuentra una explicaci´on (m´as que nada una conjetura) bajo el formalismo de renormalizaci´on [134] y [139]. Los exponentes cr´ıticos son las potencias con las que cantidades termodin´amicas caracter´ısticas tienden a cero conforme se acercan al punto cr´ıtico. Comunmente resultan ser universales e independientes de las caracter´ısticas microsc´opicas del Hamiltoniano H(γ), siendo propios de la transici´on y la clase de universalidad correspondiente. Los exponentes cr´ıticos permiten estudiar las caracter´ısticas de las transiciones de fase y clasificarlas en clases de universalidad. Parte del problema consiste en encontrar cantidades caracter´ısticas que se vayan a cero al acercarse al punto cr´ıtico y sean adecuadas para el estudio de los exponentes. Estas cantidades se denominan par´ametros de orden. En el caso en el que la temperatura es mayor a cero T > 0 dos cosas pueden suceder, una, que la singularidad s´olo ocurra en T = 0 y no para temperaturas mayores, y otra, que para T > 0 haya una l´ınea en el espacio de par´ametros T y γ en la que se mantiene la singularidad para temperaturas mayores y que tiene su origen desde T = 0 con γ = γc . En el u ´ltimo caso, en las vecindades de la l´ınea si la energ´ıa cu´antica caracter´ıstica del sistema EQ y la t´ermica KT cumplen que: EQ 1 KT 69

(4.3)

Entonces se puede hacer un an´alisis cl´asico alrededor de la transici´on, como por ejemplo, analizar el espacio de par´ametros para estudiarla para T > 0 y como una buena aproximaci´on en T = 0 usando t´ecnicas cl´asicas. En lo que sigue haremos uso de las t´ecnicas de la aprroximaci´on de campo medio con estados coherentes o aproximaci´on semi-cl´asica con el fin de identificar la QPT del estado base del modelo de Dicke.

4.2.

Hamiltoniano algebraico

El modelo de Dicke es un Hamiltoniano algebraico debido a que sus t´erminos est´an expresados a trav´es de operadores que pertenecientes a ciertos grupos particulares. Estos grupos forman un ´algebra, es decir, un conjunto particular de reglas de conmutaci´on. Los operadores del campo (a, a† , a† a y la identidad I ) siguen el a´lgebra de Heinseberg-Weyl, mientras que los operadores de pseudo-esp´ın (Jz , J+ y J− ) siguen el a´lgebra de SU(2) (V´ease el Ap´endice B). Esto permite aprovechar las propiedades de estos grupos para estudiar el Hamiltoniano.

4.2.1.

La representaci´ on sim´ etrica

Una de las propiedades m´as importantes es que el Hamiltoniano conmuta con el operador J2 . Esto es inmediato debido a que este operador conmuta con todas las direcciones del operador de pseudoesp´ın [J2 , Jµ ] = 0. Como resultado, el Hamiltoniano no mezcla los diferentes eigenvalores del operador J2 , es decir, j(j + 1) (con ~ = 1). El valor m´aximo corresponde a j = N /2 y este valor corresponde al conjunto de 2j + 1 = N + 1 estados sim´etricos del Hamiltoniano, por lo que decimos que corresponde a la representaci´on sim´etrica [51]. El resto de representaciones con 0 < j < N2 tiene una degeneraci´on Y (j, N ) que en el caso en el que, se considere que los ´atomos son part´ıculas distinguibles [140] es     N N − N , (4.4) Y (j, N ) = N −j −j−1 2 2 Al considerar todas las representaciones y sus multiplicidades obtenemos el conjunto total de estados 2N que corresponden a N sistemas de dos niveles. T´ıpicamente, el Hamiltoniano se trabaja u ´nicamente en la representaci´on sim´etrica, es decir, restringido al subespacio de j = N /2 donde tambi´en se puede pensar al sistema como un conjunto de N bosones. Exceptuando en la termodin´amica donde utilizamos estados que involucraban a todos los espines y en consecuencia a todos los eigenvalores de J2 , a lo largo de este trabajo y siguiendo a la mayor´ıa de los autores que han trabajado al modelo de Dicke en los u ´ltimo a˜ nos, nos restringiremos a partir de ahora a la representaci´on sim´etrica.

4.2.2.

La paridad del Hamiltoniano

Por otra parte, como dijimos con anterioridad, el Hamiltoniano de TC tiene una cantidad conservada, el n´ umero total de excitaciones,  1 √ 2 4J + I − I = a† a + Jz + j I. (4.5) Λ = a† a + Jz + 2 70

El Hamiltoniano de Dicke no conmuta con este operador, sin embargo, conmuta con el operador paridad definido como, Π = exp (iπΛ) . (4.6) Veamos c´omo. Consideremos la transformaci´on unitaria: U = eiφ0 Λ ,

(4.7)

donde φ0 es un a´ngulo arbitrario. Vemos que: †

†

U aU † = eiφ0 a a ae−iφ0 a a .

(4.8)

Debido a que los operadores at´omicos conmutan con los operadores del campo. Recordamos que el lema de Baker-Hausdorf para cualesquiera dos operadores A y B [50]: e

iλA

Be

iλA

(iλ)2 [A [A, B]] + ... = B + iλ [A, B] + 2!

(4.9)

Y el teorema de Baker-Hausdorf-Campbell para dos operadores A y B donde [A, B] 6= 0 pero [A [A, B]] = [B [A, B]] = 0 1

1

eA+B = e− 2 [A,B] eA eB = e 2 [A,B] eB eA .

(4.10)

Esto nos da con n = a† a y [n, a] = −a: (iφ0 )3 (iφ0 )2 [n, [n, a]] + [n, [n, [n, a]]] + ... = 2! 3! (iφ0 )2 (iφ0 )3 = a − iφ0 a + a− a + ... = 2! 3!   (iφ0 )2 (iφ0 )3 − + ... a = 1 − iφ0 a + 2! 3! eiφ0 n ae−iφ0 n = e−iφ0 a. eiφ0 n ae−iφ0 n = a + iφ0 [n, a] +

(4.11)

∴ U aU † = e−iφ0 a. Si esto es as´ı, entonces: (U aU † )† = (e−iφ0 a)† = U a† U † = eiφ0 a† .

(4.12)

∴ U aU † = e−iφ0 a , U a† U † = eiφ0 a† .

(4.13)

Por tanto: Ahora vemos qu´e pasa para los operadores at´omicos. U J+ U † = eiφ0 Jz J+ e−iφ0 Jz . 71

(4.14)

Pues J+ conmuta con J 2 y con el operador de n´ umero. Aplicamos una vez m´as el lema de Baker-Hausdorf, recordando que [Jz , J+ ] = J+ con ~ = 1. (iφ0 )3 (iφ0 )2 [Jz , [Jz , J+ ]] + [Jz , [Jz , [Jz , J+ ]]] + ... = 2! 3! (iφ0 )2 (iφ0 )3 = J+ + iφ0 J+ + J+ + J+ + ... = 2! 3! (iφ0 )2 (iφ0 )3 + + ...)J+ = = (1 + iφ0 + 2! 3! eiφ0 J+ .

eiφ0 Jz J+ e−iφ0 Jz = J+ + iφ0 [Jz , J+ ] +

∴ U J+ U † = eiφ0 J+ . (4.15) Tenemos entonces: (U J+ U † )† = (eiφ0 J+ )† = U J− U † = e−iφ0 J− .

(4.16)

∴ U J+ U † = eiφ0 J+ , U J− U † = e−iφ0 J− .

(4.17)

Por tanto: Por otro lado, es inmediato que: U Jz U † = Jz . Si ahora transformamos el Hamiltoniano de Dicke:
γ a + a† (J+ + J− ) . HD = ωa† a + ω0 Jz + √ N La transformaci´on unitaria nos da:

γ U HD U † = ωa† a + ω0 Jz + √ ae−iφ0 + a† eiφ0 J+ eiφ0 + J− e−iφ0 = N

γ γ aJ+ + a† J− + √ a† J+ e2iφ0 + aJ− e−2iφ0 . = ωa† a + ω0 Jz + √ N N

(4.18)

(4.19)

(4.20)

Con el fin de que el Hamiltoniano sea invariante a esta transformaci´on unitaria, pedimos que 2φ0 = 2π. Por tanto: Si φ0 = π ⇒ U HD U † = HD . (4.21) As´ı, tenemos que el operador U = eiπΛ conmuta con el Hamiltoniano. Con esto se pueden construir los proyectores: PS =



1 1 1 + eiπΛ , PA = 1 − e−iπΛ 2 2

(4.22)

Estos proyectores cumplen el a´lgebra del grupo c´ıclico C2 . Ya que hemos revisado estas dos propiedades importantes del Hamiltoniano, propiedades resultantes de que el Hamiltoniano sea algebraico, ahora veremos c´omo obtener un l´ımite semi-cl´asico del Hamiltoniano usando estados coherentes. 72

4.3.

Hamiltoniano semi-cl´ asico

El modelo de Dicke se puede estudiar a trav´es de una aproximaci´on semicl´asica. Esta es una aproximaci´on de orden cero que se basa en una funci´on de onda variacional en la aproximaci´on de campo medio. Se supone que si se parte de un estado inicial condensado, por ejemplo, un estado coherente, en el tiempo la din´amica permanecer´a alrededor de ese estado [141]. Es decir, se puede estudiar la din´amica ignorando las fluctuaciones cu´anticas. T´ıpicamente, se calcula el valor esperado del Hamiltoniano con respecto a estados coherentes y se usa la superficie semi-cl´asica resultante sobre un espacio de par´ametros para encontrar los puntos estables e inestables y separatrices. Luego, se puede usar el formalismo de teor´ıa de cat´astrofes para determinar las propiedades de estabilidad del sistema. La teor´ıa de cat´astrofes estudia la propensi´on de los sistemas estables a presentar discontinuidades y divergencias. Sirve entonces para el estudio de las transiciones de fase ya que permite clasificar a los sistemas a trav´es de peque˜ nos cambios en los par´ametros de control. La separatriz del sistema da una pauta para clasificar las regiones en el espacio de par´ametros donde est´an las transiciones de fase, es decir, para caracterizar las distintas fases del sistema [142]. El modelo de Dicke y el de TC han sido paradigmas en esta direcci´on [143] y se han estudiado ampliamente en este contexto [146, 147, 148, 149, 150, 151, 66] al igual que el modelo de LMG que comparte parte de la estructura algebraica del modelo de Dicke [144, 145]. Esta aproximaci´on es posible en este tipo de sistemas porque, si consideramos s´olo la representaci´on sim´etrica el Hamiltoniano de Dicke se puede considerar como un sistema de dos grados de libertad, uno para los fotones y otro para el espacio at´omico. Al tomar el l´ımite cl´asico ~ → 0, ´este corresponde al l´ımite termodin´amico N → ∞, siempre y cuando el producto ~N permanezca constante. Entonces, este procedimiento es f´acil en este tipo de Hamiltonianos que presentan esta estructura algebraica, como en el Hamiltoniano de Lipkin-Meshkov-Glick. Adem´as, tambi´en se pueden obtener los mismos resultados a trav´es de una descripci´on de Hartree-Fock como se ha hecho con el modelo LMG [152]. Se˜ nalamos, sin embargo, que ´este no es el u ´nico l´ımite cl´asico del Hamiltoniano. Para estudiar otros se pueden comenzar con la siguiente referencia [153]. Lo importante para nuestro trabajo es, primero, obtener un Hamiltoniano cl´asico efectivo y, segundo, usar el m´etodo variacional para encontrar el estado coherente que mejor aproxima al estado base del sistema con el fin de observar la QPT. No dedicaremos tiempo al estudio con teor´ıa de cat´astrofes, pues excede los objetivos de nuestro trabajo.

4.3.1.

Superficie de energ´ıa

Entonces, podemos tomar estados coherentes de Glauber y de Bloch y calcular el valor esperado del Hamiltoniano en ese estado. Esto nos da un Hamiltoniano cl´asico efectivo. Tomemos el Hamiltoniano:

 γ  (1 + δ) a + a† Jx + i (1 − δ) a − a† Jy , (4.23) HD,δ = ωa† a + ω0 Jz + √ N con el fin de incluir en el an´alisis a ambos, los Hamiltonianos de Dicke y TC. Usaremos el producto tensorial entre los estados coherentes de Glauber para la parte fot´onica y de Bloch 73

o at´omicos para el sistema de pseudo-esp´ın, |α, zi ≡ |αi ⊗ |zi = 2

|α| j ∞ X X αn e− 2 √ = (1 + |z|2 )j n=0 m=−j n!

s

 2j z j+m |ni ⊗ |j, mi. j+m

(4.24)

Donde |ni son estados de Fock y |j, mi son estados de Dicke. Utilizando las propiedades de los estados coherentes (v´ease Ap´endice B), el valor esperado es, Hcl,δ (α, z) = hα, z|HD,δ |α, zi = √   γ 2j 1 − |z|2 2 + = ω|α| − ω0 j [(1 + δ)(α + α∗ ) (z + z ∗ ) + (1 − δ)(α − α∗ ) (z − z ∗ )] . 1 + |z|2 1 + |z|2 (4.25) Nos conviene, sin embargo, utilizar variables cl´asicas can´onicas. Primero, para la parte fot´onica utilizamos variables de oscilador arm´onico cl´asico con mω = 1, por lo que definimos, 1 1 1 i α = √ (q + ip) y α∗ = √ (q − ip) , q = √ (α + α∗ ) y p = − √ (α − α∗ ) , (4.26) 2 2 2 2 tales que sus par´entesis de Poisson sean {q, p} = 1. Mientras que para la parte at´omica, podemos pensar en componentes de momento angular cl´asico jx , jy y jz que satisfagan las reglas del par´entesis de Poisson {jµ , jν } = µ,ν,k jk y que tambi´en respeten la condici´on de normalizaci´on j 2 = jx2 + jy2 + jz2 donde N = 2j. Estas variables, siendo tres, se restrigen a dos por esta condici´on de normalizaci´on. En consecuencia, nos podemos quedar con dos variables, la componente en z, P = jz = −j cosθ donde θ es el a´ngulo polar y el a´ngulo azimutal del vector ~j = (jx , jy , jz ), Q = φ = tan(jy /jx ), de tal suerte que sean variables can´onicas que satisfagan {Q, P } = 1. T´ıpicamente, el par´ametro z del estado coherente at´omico se puede expresar en t´erminos de estos dos ´angulos θ y φ,   θ z = tan e−iφ , (4.27) 2 que, en t´erminos de las variables can´onicas antes se˜ naladas nos queda como: v u u 1 + jjz −iφ , (4.28) z=t jz e 1− j con 1 + |z|2 =

2 . 1 − jjz

(4.29)

Sustituyendo en Hcl tendremos, Hcl,δ

p
ω 2 = q + p 2 + ω 0 jz + γ j 2

s 1−

jz2 [(1 + δ)q cos (φ) − (1 − δ)p sen (φ)] . j2

(4.30)

Este es el Hamiltoniano cl´asico efectivo que corresponde al Hamiltoniano de Dicke, calculado tiempo atr´as en [154, 155]. 74

4.3.2.

El estado base

Lo que nos interesa ahora es hallar una aproximaci´on a la energ´ıa del estado base. El estado coherente elegido no era m´as que una funci´on de prueba variacional. Lo que queremos es encontrar los par´ametros del estado coherente que minimizan la superficie de energ´ıa en 4.30. Esto es equivalente a encontrar los puntos de estabilidad de las ecuaciones din´amicas que resultan del Hamiltoniano cl´asico. Entonces, calculamos las ecuaciones de movimiento a ´ trav´es de las ecuaciones de Hamilton. Estas son: s  2 p jz ∂Hcl = ωq+γ j 1− (1 + δ)cos(φ), −p˙ = ∂q j s  2 p ∂Hcl jz q˙ = = ωp−γ j 1− (1 − δ)sen(φ), ∂p j √ (4.31) ∂H γ j jz cl r φ˙ = [(1 + δ)q cos(φ) − (1 − δ)p sen(φ)] , = ω0 −  2 ∂jz j 1 − jjz s  2 p ∂H jz cl −j˙z = = −γ j 1 − [(1 + δ)q sen(φ) + (1 − δ)p cos(φ)] . ∂φ j Ahora, igualamos a cero las cuatro ecuaciones de Hamilton para encontrar los puntos estables de la superficie de energ´ıa cl´asica. Veamos los dos casos. Estado base de Tavis-Cummings Primero, el caso δ = 0 que corresponde a TC. En este caso, las ecuaciones son: p ∂Hcl = ωq+γ j −p˙ = ∂q

s



1− s 

jz j

2 cos(φ),

2 p jz ∂Hcl = ωp−γ j 1− sen(φ), q˙ = ∂p j √ ∂Hcl γ j jz ˙ r φ= = ω0 −  2 [q cos(φ) − p sin(φ)] , ∂jz j 1 − jjz s  2 p ∂Hcl jz ˙ − jz = = −γ j 1 − [q sin(φ) + p cos(φ)] . ∂φ j

(4.32)

Tras igualar a cero las ecuaciones de movimiento para encontrar los extremos de la superficie de energ´ıa, vemos que, de la u ´ltima ecuaci´on tenemos dos posibilidades. 75

1. Que jz,m = ±j. En este caso, todas las dem´as ecuaciones tienen soluciones sencillas. Porque la primera y la segunda son autom´aticamente cero y hacen a la tercera igualmente cero. Con lo cual nos queda, (qm , pm ) = 0.

(4.33)

Con φm quedando indenfinida. En este primer caso, s´olo nos quedaremos con el valor negativo de jz,m puesto que estamos buscando los valores m´ınimos. 2. Que jz,m 6= ±j entonces s´olo nos queda que, pm = −tan (θ) qm .

(4.34)

Que, junto con sustituir la primera y la segunda en la tercera nos queda que, √ s  4 γc,0 γ j 1− (−cos(φ), sen(φ)) . (qm , pm ) = ∓ ω γ

(4.35)

y tambi´en,  jz,m = −j

γc,0 γ

2 (4.36)

√ Donde γc,0 = ωω0 . Vemos que el segundo caso s´olo es posible mientras γ ≥ γc,0 , por lo que nos estamos encontrando con la separaci´on entre la fase normal, que corresponde al primer caso, y la fase superradiante, que corresponde al segundo. As´ı, el valor del estado coherente que nos da la energ´ıa del estado base est´a dado por, αm = 0 y zm = 0

(4.37)

en el primer caso y para la fase superradiante,

α γ √m = ± ω j

s 1−



γc,0 γ

4

e−iφ

v u u1 + u y zm = t 1−

2 γc,0 γ2 2 γc,0 γ2

e−iφ .

(4.38)

Ahora, si sustituimos estos valores en la superficie de energ´ıa semicl´asica, p
ω 2 Hcl,0 (q, p, jz , φ) = q + p 2 + ω0 jz + γ j 2 76

s 1−

jz2 [q cos (φ) − p sen (φ)] . j2

(4.39)

En el caso (1) tendremos que la energ´ıa es Hcl,0 (0, 0, −jω0 , φ) = −ω0 j. En el caso (2) tendremos que,  4 !
γc,0 ω γ2 j 1− cos2 (φ) + sen2 (φ) + Hcl,0 (qm , pm , jm , φ) = 2 2 ω γ s  2  4 √ s  4 p
γc,0 γc,0 γ j γc,0 − ω0 j −γ j 1− 1− cos2 (φ) + sen2 (φ) = γ γ ω γ (4.40) !  (     4 !) 4 2 2 2 γc,0 γc,0 γc,0 γ γ 1− 1− − − 2 = ω0 j 2 2γc,0 γ γ γc,0 γ  2  2 γc,0 ω0 j γ + . ∴ Hcl,0 (qm , pm , jm , φ) = − 2 2 γc,0 γ2 Por tanto, la energ´ıa del estado base est´a dada por: ( E0g.s.  γ < γc,0  −1 2 γc,0 . = γ2 1 γc,0 < γ − 2 γ2 + γ2 ω0 j c,0

(4.41)

Con lo cual recuperamos la QPT superradiante. Ahora veamos el caso del Hamiltoniano de Dicke, que es casi id´entico.

4.3.3.

Estado base de Dicke

Para el Hamiltoniano de Dicke tenemos δ = 1 y las ecuaciones de movimiento est´an dadas por: s  2 p jz ∂Hcl = ω q + 2γ j 1 − cos(φ), −p˙ = ∂q j ∂Hcl = ω p, q˙ = ∂p √ ∂Hcl 2γ j jz (4.42) ˙ r φ= q cos(φ), = ω0 −   2 ∂jz j 1 − jjz s  2 p ∂Hcl jz ˙ −jz = = −2γ j 1 − q sen(φ). ∂φ j Igual que en el caso anterior, igualamos las ecuaciones a cero. Inmediatamente observamos de la segunda ecuaci´on que siempre pm = 0. Luego, tenemos nuevamente dos casos: 1. Que jz,m = ±j. Una vez m´as, esto hace que todas las dem´as ecuaciones tengan soluciones triviales. Con esto nos queda la fase normal, (qm , pm ) = 0. 77

(4.43)

Y de nueva cuenta, en este primer caso, s´olo nos quedaremos con el valor negativo de jz,m . 2. Que jz,m 6= ±j entonces s´olo nos queda que, sen(φm ) = 0.

(4.44)

Que, junto con sustituir la primera y la segunda en la tercera obtenemos, √ s  4 γc,1 2γ j 1− (1, 0)) . (qm , pm ) = ∓ ω γ

(4.45)

y tambi´en,  jz,m = −j

γc,1 γ

2 (4.46)

√ Donde γc,1 = ωω0 /2. Igualmente, vemos que el segundo caso s´olo es posible con γ ≥ γc,1 . Para Dicke el valor del estado coherente que nos da la energ´ıa del estado base est´a dado por, αm = 0 y zm = 0 en la fase normal y en la fase superradiante por, v s u  4 u1 + α 2γ γc,1 u √m = ∓ 1− y zm = t ω γ j 1−

(4.47)

2 γc,1 γ2 2 γc,1 γ2

.

(4.48)

A diferencia del caso de TC, en el de Dicke el a´ngulo φ no qued´o indeterminado. La raz´on de esto proviene de que en TC existe una simetr´ıa adicional (la conservaci´on del n´ umero de excitaciones) que en Dicke no se mantiene. Ahora, si sustituimos estos valores en la superficie de energ´ıa semi-cl´asica, s p
j2 ω 2 q + p2 + ω0 jz + 2γ j 1 − z2 q cos (φ) . (4.49) Hcl,1 (q, p, jz , φ) = 2 j Al igual que en el caso de TC, en la fase normal tendremos que Hcl,1 (0, 0, −jω0 , φ) = −ω0 j. Y para la fase superradiante,  4 ! ω 4γ 2 j γc,1 Hcl,1 (qm , 0, jm , cos(φm ) = ±) = 1− (±1)2 + 2 ω2 γ s  2  4 √ s  4 p γc,1 γc,1 2γ j γc,1 − ω0 j − 2γ j 1 − 1− (±1)2 = γ γ ω γ (4.50) ( !      4 !) 4 2 2 2 γ γc,1 γc,1 γ γc,1 1− − − 2 1− = ω0 j 2 2γc,1 γ γ γc,1 γ  2  2 γc,1 ω0 j γ ∴ Hcl,1 (qm , 0, jm , cos(φm ) = ±) = − + . 2 2 γc,1 γ2 78

Por tanto, la energ´ıa del estado base est´a dada por: ( E1g.s.  −1  γ < γc,1 2 2 γ . = γc,1 < γ − 21 γγ2 + γc,1 ω0 j 2 c,1

(4.51)

Vemos que corresponde a la misma forma funcional que para TC, s´olo cambiando el valor del par´ametro cr´ıtico. En la figura 4.1 vemos el camportamiento de la energ´ıa interna como funci´on del acoplamiento.

Figura 4.1: Energ´ıa del estado base E1g.s. para el modelo de Dicke como funci´on del acoplamiento γ. Calculado en resonancia ω = ω0 = 1. Como las transiciones de fase t´ıpicamente se manifiestan como cambios en las observables del sistema, tambi´en podemos calcularlas. Para el modelo de Dicke el valor esperado del n´ umero de fotones es,


† 

 1 2 p + q2 . (4.52) a a = α, z|a† a|α, z = 2 Y, evaluando en los valores de las variables can´onicas que encontramos para el estado base tendremos, 

† 1 a a g.s.   0   γ ≤ γc,1 4 2 = . (4.53) γc,1 1 − γ ≥ γc,1  4γ j 2 ω γ Por otro lado, el valor esperado de la diferencia de poblaci´on es, hJz i = hα, z|Jz |α, zi = jz . Que, al calcular en el estado base nos resulta, ( −1 γ ≤ γc,1 hJz i1g.s.  2 = . γc,1 j − γ γ ≥ γc,1 79

(4.54)

(4.55)

En la figura 4.2 observamos estos dos comportamientos.

Figura 4.2: Valor esperado del n´ umero de fotones (izquierda) y de la diferencia de poblaciones (derecha) en el estado base para el modelo de Dicke como funci´on del acoplamiento γ. Calculado en resonancia ω = ω0 = 1. Lo que hemos hecho en este cap´ıtulo es mostrar una forma de obtener la transici´on de fase cu´antica que obtuvimos como l´ımite de temperatura cero de la transici´on de fase t´ermica. Aqu´ı, sin referencia a la temperatura es posible identificar el cambio estructural del estado base a trav´es de una aproximaci´on de campo medio. La singularidad del estado base es detectada como un cambio en la estructura de puntos de estabilidad del sistema cl´asico correspondiente al sistema cu´antico. El ejercicio que hemos hecho en este cap´ıtulo ser´a necesario para entender con mayor detalle la singularidad que nos encontraremos m´as adelante en el espectro conocida como transici´on de fase cu´antica de estados excitados y que tiene su origen en la QPT. 80

4.4.

Conclusiones del cap´ıtulo

Durante este cap´ıtulo nos enfocamos en revisar la aparici´on de la QPT m´as all´a de la descripci´on t´ermica. Aprovechando las propiedades algebraicas del Hamiltoniano y utilizando una descripci´on de campo medio a trav´es de estados coherentes, encontramos el Hamiltoniano cl´asico que corresponde al modelo de Dicke. Esta superficie cl´asica se puede estudiar para encontrar las fases de estabilidad del sistema, en particular, vimos que, al buscar los puntos fijos estables igualando a cero las ecuaciones de Hamilton, podemos encontrar la energ´ıa del estado base y calcular las observables m´as importantes. En particular, pudimos observar la presencia de la QPT. En cap´ıtulos posteriores veremos la utilidad de la aproximaci´on semi-cl´asica cuando estudiemos el espectro. No es inter´es de este trabajo revisar todos los estudios que se han hecho en torno a la QPT de Dicke, puesto que queremos ir m´as all´a y estudiar el espectro, cosa que veremos en los siguientes cap´ıtulos. La literatura es amplia y muchos de estos estudios tienen que ver con la presencia de caos cl´asico en el Hamiltoniano cl´asico correspondiente. As´ı, los estudios iniciales de caos partieron de esta direcci´on [156, 157, 158, 159]. Luego, desde el renovado inter´es gracias a las aproximaciones de Holstein-Primakoff [92, 93], se asoci´o el caos cu´antico a la fase superradiante. Se encontr´o conexi´on con el enredamiento y la decoherencia [160, 161, 162], y desde entonces han sido ampliamente estudiados. Otras cosas que se han hecho es calcular los exponentes cr´ıticos [94] y la concurrencia [96], as´ı como extender el estudio a acoplamientos inhomog´eneos [163]. Sin embargo, la mayor parte de estos estudios han tratado la relaci´on entre el caos, el enredamiento y la decoherencia con la QPT s´olo en t´erminos del estado base y de los primeros estados excitados y poco se dec´ıa sobre el resto del espectro. En parte esto se deb´ıa a la falta de t´ecnicas eficientes num´ericas que dieran acceso a los estados excitados y las soluciones num´ericas tradicionales pod´ıan ser muy complicadas, sobre todo para el acoplamiento fuerte y ultra-fuerte as´ı como para una gran cantidad de ´atomos. En el siguiente cap´ıtulo veremos las formas de resolver el modelo y presentaremos nuestra contribuci´on importante en esta direcci´on: las soluciones num´ericas eficientes dadas por lo que llamaremos como base coherente eficiente (BCE).

81

82

Cap´ıtulo 5 Soluciones al Hamiltoniano de Dicke Ya vimos en cap´ıtulos anteriores los principales aspectos por los que el Hamiltoniano de Dicke resulta de inter´es tanto en el terreno te´orico como en el experimental. Tambi´en discutimos los dos fen´omenos cr´ıticos m´as conocidos, la transici´on de fase t´ermica y la transicic´on de fase cu´antica (QPT). En este cap´ıtulo discutiremos las formas m´as conocidas para resolver el Hamiltoniano. Primero, revisaremos el tratamiento, ahora considerado can´onico, con transformaciones de Holstein-Primakoff en el l´ımite termodin´amico. Al ser este procedimiento incapaz de describir todas las regiones del espectro y ante la falta de soluciones anal´ıticas m´as desarrolladas, nos vemos obligados a emplear soluciones num´ericas. Para entenderlas, revisaremos los l´ımites integrables del modelo. Finalmente, empezaremos la discusi´on sobre las soluciones num´ericas que continuaremos en el siguiente cap´ıtulo. Adem´as, se comentar´a brevemente sobre los recientes avances en el estudio de soluciones anal´ıticas exactas.

5.1.

Soluciones en el l´ımite termodin´ amico.

El principal problema es que m´as all´a de los l´ımites integrables las soluciones anal´ıticas exactas del Hamiltoniano son mucho m´as complicadas y de hecho se crey´o por muchos a˜ nos que no exist´ıan, a esto regresaremos brevemente al final del cap´ıtulo. Sin embargo, hay soluciones anal´ıticas exactas en el l´ımite termodin´amico que fueron propuestas por C. Emary y T. Brandes en el 2003 [93]. Estas soluciones se han convertido en la referencia inmediata para el estudio del Hamiltoniano as´ı como en su tratamiento can´onico. En esta secci´on veremos c´omo derivarlas y comentaremos brevemente sobre sus problemas. Entre las varias representaciones de los operadores del ´algebra de SU(2), utilizamos la representaci´on en serie de un s´olo bos´on conocida como transformaci´on de Holstein-Primakoff [164]. Esta es, Jz = b† b − j, p J+ = b† 2j − b† b, p J− = 2j − b† b b. 83

(5.1)

Siempre y cuando se cumpla la siguiente relaci´on de conmutaci´on para los operadores bos´onicos b y b† ,  † (5.2) b, b = 1. Es decir, resultan seguir el a´lgebra de Heisenberg-Weyl. Una vez m´as, recordamos el Hamiltoniano de Dicke (~ = 1)
γ HD = ωa† a + ω0 Jz + √ a + a† (J+ + J− ) . (5.3) N Ahora, la transformaci´on deja al Hamiltoniano de Dicke representado en t´erminos de dos bosones como,  p
 †p γ † † † † † √ b a+a HD = ωa a + ω0 b b + 2j − b b + 2j − b b b − jω0 . (5.4) N Recordando que los operadores de pseudoesp´ın cumplen que N = 2j, tendremos que, s s ! † †b
b b b + 1− b − jω0 . (5.5) HD = ωa† a + ω0 b† b + γ a + a† b† 1 − 2j 2j Ya sabemos que hay dos fases, la normal y la superradiante. Usando el l´ımite termodin´amico podemos hacer que la aproximaci´on de Holstein-Primakoff nos convierta el Hamiltoniano en uno de dos asciladores acoplados. En ambas fases, una vez tomado el l´ımite termodin´amico tendremos un Hamiltoniano de dos bosones con t´erminos cuadr´aticos, es decir, acoplados. Para resolverlo, se propone una transformaci´on de Bogoliubov, una transformaci´on unitaria entre representaciones unitarias de alg´ un a´lgebra de relaciones de conmutaci´on o anticonmutaci´on [165], en la que se pasa de una representaci´on de bosones a otra, tambi´en de dos bosones, pero en la que el Hamiltoniano queda expresado como dos osciladores desacoplados. A continuaci´on veremos cada fase de manera independiente siguiendo el procedimiento en [93] donde se construye la transformaci´on de Bogoliubov a trav´es de transformaciones a cuadraturas y rotaciones.

5.1.1.

Fase normal

La aproximaci´on que tomaremos para eliminar las ra´ıces cuadradas en nuestras expresiones y simplificar el Hamiltoniano, es considerar que en el l´ımite termodin´amico N → ∞, si pensamos en una aproximaci´on de campo medio, es decir, sustituir el operador de n´ umero b† b por su valor esperado hb† bi, la cantidad hb† bi 1 cuando ω0 es constante y que en el l´ımite es ω0 → 0). Al mismo tiempo, las soluciones de Holstein-Primakoff tienen informaci´on extremadamente u ´til pues permiten calcular los exponentes cr´ıticos de la QPT, as´ı como otras cantidades como las fluctuaciones de algunas observables y la concurrencia [93, 166, 96] y se pueden reconciliar con las del caso finito a trav´es de renormalizaci´on [97, 99]. Estas soluciones se convirtieron en los u ´ltimos a˜ nos en la piedra de toque para discutir varios aspectos importantes del Hamiltoniano, pues permiten extraer los exponentes para la energ´ıa del estado base por part´ıcula, la fracci´on de ´atomos excitados y el n´ umero de fotones por a´tomo, sus fluctuaciones y la concurrencia [93, 94], as´ı como para analizar el caos cu´antico [93, 167] y el enredamiento [161]. Sin embargo, un estudio m´as detallado del espectro m´as all´a de la aproximaci´on cuadr´atica y en el modelo finito es necesario y no est´a cubierto por estas soluciones por lo que debemos pasar a las soluciones num´ericas exactas. En lo que resta del cap´ıtulo revisaremos los l´ımites integrables y estas soluciones num´ericas.

5.2.

L´ımites integrables del modelo.

En esta secci´on revisamos los l´ımites integrables del modelo que nos brindan bases en las que podemos diagonalizar el Hamiltoniano num´ericamente. Por supuesto, otro de los l´ımites integrables es el Hamiltoniano de Tavis-Cumming, el cual ser´a de importancia para este trabajo m´as adelante, pero que revisamos en el cap´ıtulo 2. Aunque discutiremos con m´as detalle la idea de integrabilidad en sistemas cu´anticos, a esta altura del texto la definici´on de integrabilidad es que un sistema integrable tiene tantas cantidades conservadas como grados de libertad. En ocasiones, sobre todo pensando en sistemas sencillos, esta definici´on coincide con la de exactamente soluble, es decir, que las soluciones se pueden expresar expl´ıcitamente en t´erminos de funciones previamente conocidas. 90

5.2.1.

Soluciones en el l´ımite γ → 0.

Una de las soluciones inmediatas del Hamiltoniano es el l´ımite de acoplamiento cero γ → 0. En este caso, el Hamiltoniano de Dicke se transforma en, (1)

HD = ωa† a + ω0 Jz .

(5.32)

Claramente, el Hamiltoniano tiene una soluci´on anal´ıtica inmediata: el producto tensorial entre estados de Fock para los fotones y estados de Dicke para los a´tomos. Es decir, los eigenestados exactos son, |Ψ(1) i = |ni ⊗ |j, mi = |n; j, mi.

(5.33)

a† a|n; j, mi = n|n; j.mi, Jz |n; j, mi = m|n; j, mi, J2 |n; j, mi = j(j + 1)|n; j, mi.

(5.34)

Con,

En este l´ımite el Hamiltoniano es claramente integrable, pues basta con considerar al operador de n´ umero o al operador Jz , pues ambos conmutan con el Hamiltoniano. En el sentido en que lo estamos manejando, el Hamiltoniano es integrable de nuevo porque, para cada subespacio correspondiente a cada eigenvalor de J2 , tiene suficientes cantidades conservadas como grados de libertad y su soluci´on exacta es |Ψ(1) i. Debido a que los estados de los fotones son los de la base de Fock, denominaremos a partir de este momento a la base |Ψ(1) i como la base de Fock. La base de Fock tiene gran importancia porque se ha usado ampliamente como una base para resolver num´ericamente el Hamiltoniano. Sin embargo, como veremos en breve y en el cap´ıtulo 6, no es la mejor opci´on para estudiar las regiones m´as interesantes del espectro. Para eso estar´a la base coherente eficiente.

5.2.2.

Soluciones en el l´ımite ω0 → 0.

Aunque no es obvio y a veces se confunde con el l´ımite γ → ∞, existe otro l´ımite integrable con soluci´on anal´ıtica exacta cuando ω0 → 0. Con el fin de hacer evidente este l´ımite, haremos una transformaci´on sobre el Hamiltoniano de Dicke. Primero, hacemos un desplazamiento sobre los operadores de creaci´on a† y aniquilaci´on a, A† = a† + G Jx y A = a + G Jx . 91

(5.35)

Donde G =

2γ √ . ω N

Sustituyendo en el Hamiltoniano de Dicke tendremos,



2γ A − G Jx + A† − G Jx Jx = HD = ω A† − G Jx (A − G Jx ) + ω0 Jz + √ N  †

 2γ  = ω A A − G A + A† Jx + G2 Jx2 + √ A + A† G Jx − 2G Jx2 + ω0 Jx = N 
 
 † 2 2 † = ω A A − G A + A Jx + G Jx + ωG A + A† G Jx − 2G Jx2 + ω0 Jz =

 = ω A† A + G2 Jx2 − 2G2 Jx2 − G A + A† + G A + A† + ω0 Jz =
∴ HD = ω A† A − G2 Jx2 + ω0 Jz .

(5.36)

Luego, podemos aplicar una rotaci´on de − π2 alrededor del eje y sobre los operadores de pseudoesp´ın colectivos,
(Jx , Jy , Jz ) → Jz0 , Jy0 , −Jx0 . (5.37) Con lo que finalmente el Hamiltoniano nos queda como,   † 2 02 HD = ω A A − G Jz − ω0 Jx0 .

(5.38)

Si tomamos el l´ımite ω0 → 0, tendremos el siguiente Hamiltoniano,   (2) † 2 02 HD = ω A A − G Jz .

(5.39)

Nuevamente hay una soluci´on anal´ıtica exacta: el producto tensorial entre estados de n´ umero † del operador A A y estados de Dicke para la parte at´omica. De forma que los eigenestados exactos son, |Ψ(2) i = |N ; j, m0 i. (5.40) Con, A† A|N ; j, m0 i = N |N ; j.m0 i, Jz0 |N ; j, m0 i = m0 |N ; j, m0 i, J2 |N ; j, m0 i = j(j + 1)|N ; j, m0 i.

(5.41)

Ahora tenemos que hacer un par de precisiones para aclarar la naturaleza de estos eigenestados. Para la parte at´omica hay que tener presente que estos estados son eigenestados en la base de Dicke del operador Jz0 = Jx , es decir, el estado de Dicke considerado es eigenestado de Jx , |N ; j, m0 i = |N ; j, mx i. Por otra parte, para la parte de los fotones calculemos la acci´on del operador de aniquilaci´on A sobre el estado con N = 0 y pong´amoslo en t´erminos del operador de aniquilaci´on original a, A|N (a + G Jz0 )|N a|N a|N

= 0; j, m0 i = 0, pero = 0; j, m0 i = 0 = 0; j, m0 i = −G Jz0 |N = 0; j, m0 i = 0; j, m0 i = −Gm0 |N = 0; j, m0 i 92

(5.42)

El estado del vac´ıo de los operadores A† y A es un eigenestado del operador a con valor α = −Gm0 , es decir, un estado coherente en la base de Fock. Entonces, podemos ver a los estados de esta base como excitaciones del operador de n´ umero A† A sobre un estado coherente. Es por eso que llamaremos a esta base base coherente. Y debido a que, como pronto veremos y detallaremos luego en el cap´ıtulo 6 resulta m´as eficiente que la base de Fock en la mayor´ıa de las regiones de par´ametros del Hamiltoniano, la llamamos base coherente eficiente (BCE). Comunmente, se tiende a pensar que esta base corresponde al l´ımite γ → 0 pero esto no sucede as´ı. Debido a que t´ıpicamente se considera al sistema en resonancia ω = ω0 , es decir, con ω0 fijo, al aumentar γ y entrar a la fase superradiante, las soluciones se parecen a la BCE, sin embargo, como hemos visto, esta base s´olo es soluci´on exacta cuando ω0 → 0. Tanto A† A como Jz0 conmutan con el Hamiltoniano, por lo que existen dos cantidades conservadas para los dos grados de libertad en la representaci´on sim´etrica. Entonces, en este l´ımite, el sistema es tambi´en integrable. As´ı, estos son los dos l´ımites integrables del Hamiltoniano en t´erminos de sus par´ametros. Esto fue reportado en [168] y nos ayudar´an para resolver num´ericamente el Hamiltoniano.

5.3.

Soluciones num´ ericas

Resolver la ecuaci´on estacionaria de Schr¨odinger consiste en encontrar sus estados propios o eigenestados as´ı como la energ´ıa correspondientes a cada uno de ellos o eigenenerg´ıas. Para hacerlo num´ericamente necesitamos escribirlo en t´erminos de alguna base conveniente que nos proporciona elementos de matriz del Hamiltoniano, es decir, una representaci´on matricial del mismo. Desde el punto de vista de las matrices, esto implica diagonalizar la matriz y obtener eigenvectores y eigenvalores, quienes corresponden a los estados propios y a las energ´ıas. Una vez elegida la base, s´olo nos resta calcular los elementos de matriz y diagonalizar. Entonces, el problema de resolver num´ericamente gira en torno a encontrar una base donde diagonalizar el Hamiltoniano. La opci´on inmediata para el Hamiltoniano de Dicke es sin duda, la base de Fock, que vimos en el cap´ıtulo anterior, y que est´a compuesta por el producto tensorial de estados de Fock para la parte bos´onica y de estados de Dicke para la de pseudoesp´ın, |ni ⊗ |j, mi = |n; j, mi, (5.43) que corresponde a la soluci´on exacta en el caso desacoplado. Podemos calcular los elementos de matriz f´acilmente, y de hecho son realmente sencillos. Estos son:  √ γ √ 0 0 nδn0 ,n−1 + n + 1δn0 ,n+1 × hn ; j, m |HD |n; j, mi = (ωn + ω0 m) δn0 ,n δm0 ,m + √ N p  p × j(j + 1) − m(m + 1)δm0 ,m+1 + j(j + 1) − m(m − 1)δm0 ,m−1 . (5.44) Sin embargo, no podemos continuar sin enfrentarnos primero a un problema de gran importancia presente sobre todo en este tipo de Hamiltonianos. Debido a que el espacio de bosones 93

no est´a acotado por arriba y la matriz tendr´ıa en consecuencia una dimensi´on infinita en la base de Fock, debemos, para cada eigenestado, elegir cierto valor del n´ umero de fotones nmax , † eigenvalor del operador a a como un truncamiento para la diagonalizaci´on num´erica. Esto nos permitir´a trabajar con matrices cuadradas de dimensi´on finita dim = ((2j + 1)(nmax + 1))2 . El precio a pagar por usar un truncamiento es que para algunos eigenestados la base no ser´a suficiente como para obtenerlos, es decir, tendremos que lidiar con problemas de convergencia de las soluciones num´ericas. Estos problemas los estudiaremos con m´as detalle en el siguiente cap´ıtulo. Por lo pronto, podemos ver en un an´alisis preliminar, el comportamiento del truncamiento necesario para la convergencia del estado base como funci´on del n´ umero de ´atomos N y del acoplamiento γ, con el fin de ilustrar los problemas que la base de Fock presenta para las soluciones num´ericas.

80

●

60 ● ●

nmax 40 ●

●

20

0

●

●

0.0

●

● ●

● ● ● ● ●

●

0.5

1.0 γ

1.5

2.0

Figura 5.1: Truncamiento o valor m´ınimo nmax que garantiza la convergencia del estado base contra el acoplamiento γ para la condici´on resonante ω0 = ω = 1. Para los valores del n´ umero de ´atomos: j = 1 (azul), j = 2 (rojo), j = 5 (verde), j = 10 (violeta) y j = 20 (negro). Los puntos faltantes para j = 10 y j = 20 lo son porque resultaba impracticable calcularlos con los recursos disponibles en ese momento. La l´ınea punteada indica la QPT. Como podemos ver de la figura 5.1, el truncamiento necesario para asegurar la convergencia del estado base es fuertemente dependiente del n´ umero de a´tomos considerados y del acoplamiento. Conforme aumentamos el n´ umero de ´atomos, el truncamiento es mayor y el tama˜ no de las matrices a diagonalizar crece, demandando m´as recursos computacionales. Es m´as, con94

forme aumentamos el acoplamiento, en las regiones de acoplamiento fuerte y ultra-fuerte, de gran inter´es en la investigaci´on actual, el truncamiento m´ınimo se vuelve m´as grande. Y s´olo para el estado base. Para los estados excitados el truncamiento ser´a a´ un mayor. El resultado final es que la base de Fock resulta impracticable para un estudio completo del Hamiltoniano. Es por eso que debemos buscar una base alternativa para diagonalizar num´ericamente. La soluci´on fue propuesta por Q. H. Cheng y Y. Y. Zhang en 2008 [95]. Su propuesta fue utilizar la base del l´ımite integrable ω0 → 0, o base coherente eficiente (BCE). Parte de nuestro trabajo fue explorar sus ventajas, que revisaremos en el cap´ıtulo siguiente. Provisionalmente, realizamos un ejercicio similar al de la base de Fock. Primero, encontramos los elementos de matriz del Hamiltoniano en la BCE. El costo de usar esta base es, como hab´ıamos comentado, que al ser estados coherentes en la base de Fock forman una base sobrecompleta. En consecuencia, ya no ser´a una expresi´on tan simple como en 5.44. Los elementos de matriz son,
hN 0 , j, m0x |HD |N, j, mx i = ω N − G2 m2x δN 0 ,N δm0x ,mx + p j(j + 1) − m(m + 1)δm0 ,m+1 hN 0 , m0x |N, mx + 1ib + − ω0 (5.45)  p + j(j + 1) − m(m − 1)δm0 ,m−1 hN 0 , m0x |N, mx − 1ib . umero Tenemos que calcular los traslapes (overlaps) hN 0 , m0x |N, mx ib . entre los estados de n´ del operador A = a + G Jx . As´ı, el traslape entre dos estados coherentes es,  0 (−1)n Dn0 ,n si β > α  n0 † n B (A ) |αi = (5.46) hn0 (β)|n(α)i = hβ| √ (−1)n Dn0 ,n si β < α .  n0 ! n! δα,β si β = α Con, min(n0 ,n)

Dn0 ,n = e

−g 2 /2

X k=0

√

  n0 ! n! −k n+n0 −2k (−1) g , (n0 − k)!(n − k)!k!

(5.47)

y con g = |α − β|. Para el caso de la BCE en Dicke tendremos que α = −Gm y β = −Gm0 , por lo que: si m > m0 ⇒ β > α, si m < m0 ⇒ β < α, si m = m0 ⇒ β = α.

(5.48)

As´ı, los overlaps que busc´abamos son,  0  (−1)N DN 0 ,N si m > m0 hN 0 ; j, m0 |N ; j, mi = (−1)N DN 0 ,N si m < m0 .  δN 0 ,N si m = m0 95

(5.49)

Con, 

D

N 0 ,N

=e

−(G|m−m0 |)2 2



min(N 0 ,N )

X k=0

√

  N 0! N ! −k 0 N +N 0 −2k (−1) (G|m − m |) . (5.50) (N 0 − k)!(N − k)!k!

Usando estos elementos de matriz, comparamos los resultados del truncamiento entre la BCE y la base de Fock. Es importante hacer notar que, si bien los eigenestados del operador ˆ = A† A ya no representan el n´ de n´ umero N umero de fotones como los de n ˆ = a† a, sino excitaciones ´atomo-campo; ambos son representativos del tama˜ no de la matriz a diagonalizar y es por eso que son comparables. En el caso de la BCE, la dimensi´on de las matrices a diagonalizar ser´a por analog´ıa dim = ((2j + 1)(Nmax + 1))2 . En la figura 5.2 mostramos los resultados para la BCE.

40 ●

30 ●

Nmax 20 ●

● ●

●

●

10

● ●

●

●

●

●

●

0 0.0

0.5

1.0 γ

1.5

2.0

Figura 5.2: Truncamiento Nmax contra el acoplamiento γ para la condici´on resonante ω0 = ω = 1. Para los valores del n´ umero de a´tomos: j = 1 (azul), j = 2 (rojo), j = 5 (verde), j = 10 (violeta) y j = 20 (negro). La l´ınea punteada indica la QPT. Podemos observar que, aunque para ambas bases los resultados en la base normal son parecidos, en la fase superradiante se observa una clara disminuici´on en el truncamiento para la BCE. Esta disminuci´on es notoria tambi´en al incrementar j, pues no crece tan r´apido como lo hace en la base de Fock. Con esto tenemos una base propuesta que nos permitir´ıa explorar con mayor facilidad regiones de par´ametros y del espectro que con la base de Fock ser´ıa imposible estudiar. Estos resultados fueron reportados en [169]. 96

5.4.

Breve comentario sobre las soluciones anal´ıticas

Recientemente, D. Braak propuso la integrabilidad del modelo de Rabi [54]. Se supon´ıa este Hamiltoniano como no integrable y sin soluciones anal´ıticas. Sin embargo, debido a que en el caso de un ´atomo, el a´lgebra se rige por las propiedades de las matrices de esp´ın de Pauli que est´an en dos dimensiones, D. Braak mostr´o que la paridad es suficiente como cantidad conservada y en consecuencia el Hamiltoniano es integrable y tiene soluciones anal´ıticas. Luego, para el caso de Dicke, mostr´o que a´ un cuando sigue sin ser integrable, es posible construir soluciones anal´ıticas siguiendo el mismo procedimiento que en Rabi [55]. Estas soluciones anal´ıticas exactas han sido usadas para calcular parte del espectro de estos Hamiltonianos. Sin embargo, las propiedades de estas soluciones no se han explorado por completo y su investigaci´on tanto desde el punto de vista matem´atico como f´ısico a´ un se encuentra en desarrollo [56, 57, 58]. Es por eso que las soluciones num´ericas siguen vigentes como la forma m´as viable para estudiar el espectro y las observables del sistema. No profundizaremos m´as en estas soluciones pues exceden los objetivos de este trabajo.

5.5.

Conclusi´ on del Cap´ıtulo 5

A lo largo de este cap´ıtulo hemos explorado las posibles formas para diagonalizar el Hamiltoniano de Dicke. Primero, en el l´ımite termodin´amico donde tiene una soluci´on exacta que permite entender el comportamiento del Hamiltoniano a bajas energ´ıas. La descripci´on falla cerca de la transici´on de fase cu´antica y para energ´ıas elevadas es insuficiente. Es por eso que se desarrollan soluciones num´ericas tomando como bases para la diagonalizaci´on num´erica los l´ımites integrables del modelo. En el siguiente cap´ıtulo compararemos con m´as detalle las ventajas de la base coherente eficiente y en lo que resta del trabajo veremos lo que puede hacerse aprovechando este recurso.

97

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Cap´ıtulo 6 Convergencia de las soluciones num´ ericas El objetivo de este cap´ıtulo es mostrar que las soluciones num´ericas exactas son m´as eficientes que el m´etodo tradicional empleado para diagonalizar el Hamiltoniano con la base de Fock, as´ı como estudiar su convergencia en diferentes regiones y sus alcances. Primero, veremos cu´al es el criterio de convergencia y a qu´e se refiere este t´ermino. Luego, estudiaremos el comportamiento del truncamiento para el estado base y despu´es para los estados excitados. Analizaremos tambi´en la convergencia en la funci´on de onda y con esto definiremos un criterio de convergencia m´as adecuado. Finalmente, como una aplicaci´on de las soluciones num´ericas calcularemos el escalamiento de la Fidelidad y de la Susceptibilidad de la Fidelidad para identificar la QPT.

6.1.

Convergencia del estado base

En el cap´ıtulo anterior comparamos de forma preliminar el truncamiento correspondiente a cada una de las bases, la de Fock y la BCE. Ahora, comentaremos con un poco m´as de detalle lo que sucede en diferentes regiones de par´ametros. Sin embargo, antes debemos explicar qu´e entendemos por convergencia.

6.1.1.

Criterio de convergencia en la energ´ıa

Como se explic´o, al elegir cierto valor del truncamiento, por ejemplo nmax en la base de Fock, la dimensi´on de la matriz a diagonalizar es ((2j + 1)(nmax + 1))2 . Esta matriz se diagonaliza y se obtienen eigenvalores y eigenvectores. Un eigenestado del Hamiltoniano expresado en la base elegida para diagonalizar, puede tener componentes sobre todos los estados. Esperamos que la distribuci´on de componentes del eigenestado sea tal que est´e centrada cerca de alg´ un estado de tal forma que al aumentar el truncamiento se vaya completando hasta que, para cierto truncamiento dado, se haya cubierto la mayor parte de dicha distribuci´on. As´ı, si tomamos alguna observable como la energ´ıa para un estado particular, podemos observar la 99

diferencia entre la energ´ıa calculada para alg´ un truncamiento nmax y la energ´ıa calculada con el siguiente valor nmax + 1. En principio, por lo que se ha dicho, se espera que esta diferencia tienda a cero conforme el truncamiento aumenta -y que sea exacto cuando nmax → ∞ porque no habr´ıa truncamiento. A esto le llamamos la convergencia num´erica. Si esta diferencia es grande, significa que el truncamiento elegido es insuficiente. Si esta diferencia es peque˜ na significa que se ha cubierto la mayor parte del eigenestado. As´ı, bajo cierta tolerencia  elegida a voluntad, se puede determinar la convergencia de las soluciones y qu´e tan bueno es el truncamiento. Consideremos el k-´esimo eigenestado del Hamiltoniano. Si resolvemos en la base de Fock, pediremos que la diferencia de energ´ıas para dos truncamientos sucesivos ∆EFk sea menor que la tolerancia num´erica deseada, es decir, ∆EFk = |E k (nmax ) − E k (nmax − 1)| < .

(6.1)

Donde E k (nmax ) es la energ´ıa calculada diagonalizando con el truncamiento nmax . Lo mismo se define para la BCE pero en t´erminos de su truncamiento correspondiente Nmax , ∆ECk = |E k (Nmax ) − E k (Nmax − 1)| < .

(6.2)

Basta decir que usamos este criterio para identificar los truncamientos m´ınimos necesarios en ambas bases en el cap´ıtulo 5.

6.1.2.

Truncamiento para el estado base

Una vez claro lo que entendemos como convergencia, extendemos la comparaci´on entre la base de Fock y la BCE en las regiones donde vimos puede ser interesante. Queremos comparar el truncamiento al aumentar el n´ umero de a´tomos, para acoplamientos fuertes y para el caso fuera de resonancia. En las figuras 6.1, 6.2, 6.3, 6.4 y 6.5 vemos los resultados para estos casos, respectivamente. Conforme el n´ umero de ´atomos crece, el truncamiento necesario para obtener la convergencia deber´ıa crece tambi´en, pues de manera natural se necesita una mayor cantidad de fotones para tener la din´amica completa. Esto es m´as relevante para acoplamientos fuertes pues al ser la fase superradiente, demanda la participaci´on de una mayor cantidad de excitaciones en el espacio de Fock. La base de Fock sigue este comportamiento de forma natural, pero para la BCE no sucede as´ı porque est´a escrita en t´erminos de excitaciones ´atomo-campo, es decir, N no representa fotones sino excitaciones elementales donde no se distingue la diferencia entre los ´atomos y los bosones del campo. Aunque no es obvia la raz´on de que la BCE sea tan eficiente, podemos ver en las figuras 6.1 y 6.2 que los resultados son contundentes: la BCE necesita un truncamiento mucho menor en todas las regiones. Confirma con esto lo encontrado en el cap´ıtulo 5. Por u ´ltimo, tenemos el caso en el que nos salimos de la condici´on de resonancia ω0 = ω. Presentamos los resultados para varios acoplamientos y n´ umeros de a´tomos en las figuras 100

Γ=0.001 nmax, Nmax 1.5 1.0 0.5 0.0

5

10

15

20

25

30

35

40

j

30

35

40

j

30

35

40

j

Γ=0.5 nmax, Nmax 20 15 10 5 0

5

10

15

20

25

Γ=1.0 nmax, Nmax 70 60 50 40 30 20 10 0

5

10

15

20

25

Figura 6.1: Truncamiento para la base de Fock, nmax (l´ınea roja) y para la BCE Nmax (l´ınea azul) como funciones de j con ω0 = ω = 1 para varios valores del acoplamiento: (arriba) fase normal con γ = 0.001; (en medio) alrededor de la QPT γ = 0.5; y (abajo) fase superradiante γ = 1.0. Tolerancia  = 1x10−6 .

101

j=5 nmax, Nmax 30 25 20 15 10 5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.8

1.0

Γ

j=10 nmax, Nmax 50 40 30 20 10 0

0.2

0.4

0.6

Γ

j=20 nmax, Nmax 80 60 40 20 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Γ

Figura 6.2: Truncamiento para la base de Fock, nmax (l´ınea roja) y para la BCE Nmax (l´ınea azul) como funciones de γ con ω0 = ω = 1 para varios valores del n´ umero de a´tomos: (arriba) j = 5; (en medio) j = 10; y (abajo) j = 20. Tolerancia  = 1x10−6 .

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j=5, 10, 20, SupPh Ω0