Filtragem Interativa de Imagens com Realce de Estruturas Lineares

Filtragem Interativa de Imagens com Realce de Estruturas Lineares Rodrigo Schramm1 , Cl´audio Rosito Jung1 Ciˆencias Exatas e Tecnol´ogicas Universidade do Vale do Rio dos Sinos S˜ao Leopoldo, RS, Brasil, 93022-000. 1

{schramm,crjung}@exatas.unisinos.br

Abstract. An important problem in image processing is edge detection. Such problem is particularly difficult for noisy imagens containing low contrast edges, because noise typically introduces false edges. In this paper, a new preprocessing technique for simultaneous image denoising and edge enhancement base on wavelets is proposed. Some experimental results indicate that the proposed method improves the performance of existing edge detection techniques. Resumo. Um problema de grande interesse na comunidade envolvida com processamento de imagens e´ a detecc¸a˜ o de bordas. Tal problema e´ particularmente dif´ıcil para imagens ruidosas e/ou com baixo contraste, pois o ru´ıdo gera falsas bordas. Neste artigo, uma nova t´ecnica de pr´e-processamento para reduc¸a˜ o de ru´ıdo e realce de bordas lineares com base na transformada wavelet e´ proposta. Resultados experimentais indicam que o m´etodo proposto melhora o desempenho de t´ecnicas existentes de detecc¸a˜ o de bordas.

1. Introduc¸a˜ o Um problema importante na atualidade se refere a` detecc¸a˜ o autom´atica de construc¸o˜ es em imagens a´ereas ou de sat´elite. Tal detecc¸a˜ o pode ser utilizada para a criac¸a˜ o de uma planta baixa da cidade, ou pode ser o ponto de partida para a reconstruc¸a˜ o tridimensional da cidade a partir de modelos de elevac¸a˜ o digital (DEMs). Muitas das t´ecnicas reportadas na literatura sobre detecc¸a˜ o autom´atica de construc¸o˜ es [Lin and Nevatia, 1998, Moons et al., 1999, Noronha and Nevatia, 2001, Jaynes et al., 2003] se baseiam na detecc¸a˜ o das bordas em imagens a´ereas e agrupamento em segmentos de retas. A seguir, tais segmentos s˜ao comparados visando a detecc¸a˜ o de retˆangulos ou paralelogramos (que correspondem a` s projec¸o˜ es das construc¸o˜ es). Outra aplicac¸a˜ o importante e´ a detecc¸a˜ o de part´ıculas circulares e retangulares em imagens de microscopia crio-eletrˆonica [Zhu et al., 2003]. Entretanto, a detecc¸a˜ o de bordas em imagens a´ereas apresenta uma s´erie de dificuldades. Al´em do ru´ıdo inerente nessas imagens, e´ comum a presenc¸a de objetos cujas bordas n˜ao est˜ao muito bem definidas, devido a diversos fatores (baixa resoluc¸a˜ o na aquisic¸a˜ o da imagem, superposic¸a˜ o de outros objetos, similaridade entre as cores do objeto de interesse e do contexto ao qual se encontra, variac¸o˜ es de cor do pr´oprio objeto em foco, reflexos e outras variac¸o˜ es intensas de luminosidade). T´ecnicas de pr´e-processamento podem melhorar consideravelmente o processo de detecc¸a˜ o de bordas. Entretanto, a filtragem com realce de bordas e´ uma tarefa complicada, pois processos antagˆonicos est˜ao envolvidos [Jain, 1989]: a remoc¸a˜ o do ru´ıdo geralmente

envolve filtros passa-baixas, que suavizam as bordas; j´a o realce e´ baseado em filtros passa-altas, que tendem a intensificar o ru´ıdo na imagem. A transformada wavelet e´ uma ferramenta matem´atica que permite a decomposic¸a˜ o de imagens em m´ultiplas resoluc¸o˜ es. Tal transformada oferece um grande potencial em processamento de imagens, pois envolve filtros passa-baixas (respons´aveis pela filtragem) e passa-altas (respons´aveis pelo realce). Neste artigo, a abordagem de Jung e Scharcanki [Jung and Scharcanski, 2001] baseada em wavelets e´ aprimorada e estendida para a realizac¸a˜ o simultˆanea da reduc¸a˜ o de ru´ıdo e realce de estruturas lineares. O restante deste trabalho est´a organizado da seguinte maneira. A pr´oxima Sec¸a˜ o reporta alguns trabalhos existentes sobre filtragem e/ou realce de bordas. Na Sec¸a˜ o 3, uma breve descric¸a˜ o da transformada wavelet e´ apresentada. Sec¸a˜ o 4 descreve a abordagem proposta, e a Sec¸a˜ o 5 mostra alguns resultados experimentais. Finalmente, as conclus˜oes s˜ao apresentadas na Sec¸a˜ o 6.

2. Trabalhos Relacionados H´a diversos trabalhos na literatura para reduc¸a˜ o de ru´ıdo em imagens digitais. As abordagens mais cl´assicas envolvendo filtragem passa-baixas (filtros da m´edia, Gaussiano) [Jain, 1989] s˜ao extremamente deficientes, pois as bordas s˜ao inevitavelmente borradas devido a` destruic¸a˜ o dos componentes de alta freq¨ueˆ ncia. Algumas abordagens baseadas em equac¸o˜ es diferenciais parciais e minimizac¸a˜ o de funcionais [Perona and Malik, 1990, Alvarez et al., 1992, Osher and Rudin, 1990, Proesmans et al., 1993] apresentam resultados satisfat´orios na remoc¸a˜ o do ru´ıdo. Entretanto, o custo computacional envolvido na soluc¸a˜ o num´erica das equac¸o˜ es e a determinac¸a˜ o de crit´erios de parada (n´umero de iterac¸o˜ es) s˜ao algumas desvantagem dessa classe de m´etodos. Al´em disso, o realce de estruturas n˜ao est´a presente nessas t´ecnicas. H´a tamb´em diversas t´ecnicas de reduc¸a˜ o de ru´ıdo baseadas em wavelets [Malfait and Roose, 1997, Simoncelli and Adelson, 1996, Chang et al., 2000, Figueiredo and Nowak, 2001, Jung and Scharcanski, 2001]. Tais t´ecnicas conseguem efetivamente reduzir a quantidade de ru´ıdo, mas n˜ao fornecem a possibilidade de realce. Por outro lado, as t´ecnicas de realce de bordas existentes na literatura s˜ao sens´ıveis a` presenc¸a de ru´ıdo na imagem. A conhecida t´ecnica de equalizac¸a˜ o do histograma [Gonzalez and Woods, 1992] funciona bem em imagens “limpas”, mas apresenta problemas em imagens ruidosas. H´a tamb´em t´ecnicas baseadas em wavelets para o realce de imagens. Os algoritmos descritos em [Lu et al., 1994, Lee et al., 2000] produzem bons resultados no realce de imagens m´edicas. Entretanto, falham no realce de imagens ruidosas, pois a filtragem n˜ao est´a incorporada em tais m´etodos. Jung e Scharcanski [Jung and Scharcanski, 2003] propuseram uma abordagem combinada de filtragem e realce de bordas baseada em wavelets. Tal t´ecnica e´ completamente adaptativa, mas n˜ao foi desenvolvida especificamente para o realce de estruturas lineares.

3. A Transformada Wavelet A transformada wavelet e´ uma ferramenta que possibilita a decomposic¸a˜ o de imagens em m´ultiplas resoluc¸o˜ es, atrav´es da aplicac¸a˜ o sucessiva de filtros passa-baixas e passa-altas. A cada n´ıvel da transformada, s˜ao obtidas imagens de detalhe (imagens passa-altas) e

uma imagem suavizada (associada ao filtro passa-baixas). A aplicac¸a˜ o da transformada wavelet inversa permite a reconstruc¸a˜ o da imagem original a partir das imagens de detalhe e da imagem suavizada. Neste trabalho, foi utilizada a abordagem de Mallat e Zhong [Mallat and Zhong, 1992] para o c´alculo da transformada wavelet. Em cada escala di´adica 2j , s˜ao obtidas duas imagens de detalhe (W2xj f [n, m] e W2yj f [n, m]) e uma imagem suavizada S2j f [n, m]. As imagens W2xj f [n, m] e W2yj f [n, m] correspondem aos detalhes nas direc¸o˜ es horizontal e vertical, respectivamente. Logo, o gradiente da imagem na escala 2 j pode ser aproximado usando tais coeficientes de detalhe. Assim, as magnitudes do gradiente (que correspondem a um mapa de bordas) podem ser calculadas via: M2j f [n, m] =

q

(W2xj f [n, m])2 + (W2yj f [n, m])2 .

(1)

Embora a orientac¸a˜ o θ2j f [n, m] do gradiente possa ser calculada diretamente atrav´es da func¸a˜ o arco-tangente, como realizado em [Jung and Scharcanski, 2001], uma estimativa mais robusta e´ obtida adaptando o algoritmo de estimac¸a˜ o por m´ınimos quadrados [Hong et al., 1998]: V2xj [n, m]

n+l/2

m+l/2

X

X

=

2W2xj f [n, m]W2yj f [n, m],

(2)

i=n−l/2 j=m−l/2

V2yj [n, m] =

n+l/2

m+l/2

X

X

i=n−l/2 j=m−l/2





W2xj f [n, m]2 − W2yj f [n, m]2 ,

V yj [n, m] 1 , θ2j f [n, m] = arctan 2x 2 V2j [n, m] !

(3) (4)

onde (l + 1) × (l + 1) e´ o tamanho da janela onde a m´edia e´ calculada (neste trabalho, foi utilizado l = 2).

4. A Abordagem Proposta A id´eia central da t´ecnica proposta e´ identificar quais coeficientes de detalhe W 2xj f [n, m] e W2yj f [n, m] s˜ao relacionados a bordas verdadeiras e quais est˜ao associados ao ru´ıdo. Para tal, um fator de shrinkage gj [n, m] e´ determinado para cada pixel [n, m], de modo que gj [n, m] seja aproximadamente 1 nas bordas e pr´oximo de 0 nas regi˜oes homogˆeneas/ruidosas da imagem. Os coeficientes atualizados N W 2xj f [n, m] e N W2yj f [n, m] s˜ao calculados atrav´es de: N W2ij [n, m] = W2ij [n, m]gj [n, m], para i ∈ {x, y},

(5)

e ent˜ao a transformada wavelet inversa e´ aplicada aos coeficientes atualizados. Para determinac¸a˜ o dos fatores de shrinkage, e´ realizada uma an´alise das magnitudes dos gradientes, seguida da consistˆencia em escalas adjacentes e de um crit´erio geom´etrico, conforme explicado a seguir. 4.1. An´alise das Magnitudes As magnitudes M2j f dos coeficientes associados ao ru´ıdo s˜ao, tipicamente, menores do que as magnitudes dos coeficientes associadas a` s bordas. Seguindo a id´eia de Jung e

Scharcanski [Jung and Scharcanski, 2001], uma func¸a˜ o de shrinkage g j (x) linear por partes e´ definida via:   se x < T1j   0, gj (x) =

    

x−T1j , T2j −T1j

1,

se T1j ≤ x ≤ T2j ,

se x >

(6)

T2j

onde T1j e T2j s˜ao limiares. Os fatores de shrinkage s˜ao ent˜ao definidos como g j [n, m] = gj (M2j [n, m]). Equac¸a˜ o (6) indica que magnitudes abaixo de T1j ser˜ao associadas ao ru´ıdo (e os coeficientes de shrinkage estar˜ao pr´oximos de zero), enquanto magnitudes acima de T2j ser˜ao associadas a` s bordas (e ter˜ao seus coeficientes de shrinkage pr´oximos de um). Os coeficientes de shrinkage que estiverem no intervalo [T1j , T2j ] fazem parte de uma “banda de transic¸a˜ o”, pois seus coeficientes podem tanto estar associados ao ru´ıdo, quanto a estruturas importantes da imagem. Os limiares T1j e T2j s˜ao obtidos de maneira semi-autom´atica, conforme explicado a seguir. Se a imagem original e´ contaminada por ru´ıdo Gaussiano aditivo, os respectivos coeficientes W2xj f e W2yj f podem ser considerados Gaussianos [Donoho, 1993], com q desvio padr˜ao σj . Como conseq¨ueˆ ncia, as magnitudes M2j f = (W2xj f )2 + (W2yj f )2 seguir˜ao uma distribuic¸a˜ o Rayleigh [Larson and Shubert, 1979], cuja func¸a˜ o densidade de probabilidade e´ dada por r 2 2 (7) pj (r) = 2 e−r /2σj . σj Em imagens reais, alguns coeficientes de M2j f representam bordas, enquanto os demais est˜ao associados ao ru´ıdo. Tipicamente, o n´umero de magnitudes associadas ao ru´ıdo e´ bem maior do que o n´umero de bordas na imagem, e ent˜ao o histograma de M 2j f estar´a pr´oximo de uma distribuic¸a˜ o Rayleigh. Quanto maior a contaminac¸a˜ o por ru´ıdo, maior ser´a o valor de σj . Por outro lado, sabe-se que a moda da distribuic¸a˜ o Rayleigh dada na Equac¸a˜ o (7) ocorre em r = σj . Logo, a an´alise da moda do histograma de M2j f pode ser utilizada para estimar a quantidade de ru´ıdo na imagem (imagens mais ruidosas ter˜ao uma moda maior). O desvio padr˜ao T j dos coeficientes M2j f tamb´em e´ importante para a determinac¸a˜ o do intervalo [T1j , T2j ], pois fornece informac¸a˜ o sobre o “espalhamento” da ` medida que a escala 2j aumenta (ou seja, a resoluc¸a˜ o didistribuic¸a˜ o em torno da moda. A minui), o ru´ıdo e´ atenuado pelo filtro passa-baixas da transformada wavelet. Na verdade, o desvio padr˜ao dos coeficientes W2xj f e W2yj f associados ao ru´ıdo e´ aproximadamente reduzido pela metade quando a escala da transformada passa de 2 j para 2j+1 , como foi observado por Donoho [Donoho, 1993] (como conseq¨ueˆ ncia o desvio padr˜ao dos coeficientes de M2j f associados ao ru´ıdo tamb´em e´ aproximadamente reduzido pela metade). Dessa forma, a melhor estimativa para o desvio padr˜ao do ru´ıdo e´ obtido na resoluc¸a˜ o mais fina 21 (o desvio padr˜ao dos coeficientes M21 f nessa resoluc¸a˜ o e´ denotado por T 1 ). 1 Para as escalas 22 , 23 · · · 2j , os valores respectivos de T j s˜ao dados por T j = 2Tj−1 , j´a que o desvio padr˜ao e´ reduzido pela metade quando a escala 2 j aumenta. Finalmente, o intervalo [T1j , T2j ] e´ calculado a partir das modas mj e dos desvios padr˜oes T j . O valor mj e´ a magnitude mais freq¨uente da imagem na escala 2j , e normalmente e´ gerada por coeficientes ruidosos. J´a o desvio padr˜ao T j representa a variabilidade das magnitudes. Se T j e´ pequeno, a variac¸a˜ o das magnitudes associadas ao ru´ıdo tamb´em ser´a pequena, indicando que as magnitudes associadas ao ru´ıdo e a` s bordas est˜ao bem separadas. Por outro lado, quando T j e´ grande, h´a uma maior confus˜ao entre coeficientes associados a` s bordas e ao ru´ıdo, requerendo uma maior banda de transic¸a˜ o. Dessa forma,

os extremos da banda de transic¸a˜ o T1j e T2j s˜ao dados por T1j = mj + α1 T j , T2j = mj + α2 T j ,

(8)

onde α1 e α2 s˜ao parˆametros dependentes da imagem, tais que α1 ≤ α2 , e s˜ao fornecidos pelo usu´ario. A selec¸a˜ o dos parˆametros α1 e α2 permite ao usu´ario um maior controle sobre a banda de transic¸a˜ o. Se valores grandes forem escolhidos para α 1 e α2 , a remoc¸a˜ o do ru´ıdo ser´a aumentada, mas algumas bordas com contraste mais baixo poder˜ao ser perdidas. Se valores menores forem utilizados, a filtragem e´ reduzida, mas a preservac¸a˜ o das bordas e´ priorizada. Apesar dos parˆametros α 1 e α2 serem dependentes da imagem a ser filtrada, testes realizados em diversas imagens indicaram que os valores α1 = 0.2 e α2 = 1.2 produzem bons resultados para a maioria das imagens testadas. Por exemplo, a Figura 1 mostra um quadrado sint´etico contaminado com ru´ıdo Gaussiano aditivo (PSNR1 = 20.19 dB). Os fatores de shrinkage gj [n, m] para essa imagem nas escalas 21 , 22 e 23 s˜ao mostrados na Figura 2. Pode-se perceber que na escala 2 1 h´a confus˜ao entre bordas e ru´ıdo, mas nas escalas 22 e 23 a discriminac¸a˜ o e´ bem melhor.

´ Figura 1: Imagem sintetica contaminada com ru´ıdo (PSNR = 20.19 dB). (a)

(b)

(c)

´ Figura 2: Fatores de shrinkage para a imagem sintetica ruidosa, nas escalas (a) 21 (b) 22 e (c) 23 .

4.2. Consistˆencia ao Longo das Escalas E´ poss´ıvel que alguns fatores de shrinkage associados ao ru´ıdo estejam erroneamente pr´oximos de 1 (principalmente nas resoluc¸o˜ es mais finas, onde a contaminac¸a˜ o por ru´ıdo e´ maior). Entretanto, a an´alise dos fatores de shrinkage em escalas adjacentes pode fornecer uma maior discriminac¸a˜ o entre ru´ıdo e bordas. Se um fator de shrinkage se mantiver pr´oximo de 1 ao longo de v´arias escalas consecutivas, e´ prov´avel que o respectivo pixel 1

A raz˜ao-sinal-ru´ıdo pico-a-pico e´ definida por PSNR = −20 log10 padr˜ao do ru´ıdo.



255 σru´ıdo



, onde σru´ıdo e´ o desvio

esteja associado efetivamente a uma borda. Por outro lado, se um fator de shrinkage diminui a` medida que a escala 2j aumenta, e´ bem poss´ıvel que o respectivo pixel esteja associado ao ru´ıdo. Para cada escala 2j , o fator de shrinkage gj [n, m] e´ combinado com os fatores gj+1 [n, m], gj+2 [n, m],..., gj+κ [n, m], onde κ e´ o n´umero de escalas adjacentes que ser˜ao levadas em considerac¸a˜ o. Ou seja, os fatores de shrinkage para cada escala 2 j , levam em considerac¸a˜ o os fatores de shrinkage das pr´oximas κ escalas (neste trabalho, foi usado κ = 2). Uma boa maneira de combinar os fatores de shrinkage e´ usar a m´edia harmˆonica: gjescala (x) =

1 gj (x)

κ+1 + gj+1 (x) + · · · + 1

1 gj+κ (x)

(9)

.

Figura 3 mostra os fatores de shrinkage gjescala [n, m] para a imagem sint´etica. Como 23 e´ a maior escala, tem-se que g3escala [n, m] = g3 [n, m]. Nas escalas 22 e 21 , percebe-se a melhor discriminac¸a˜ o entre bordas e ru´ıdo comparando-se os valores de gjescala [n, m] e gj [n, m]. (a)

(b)

(c)

´ ´ a consistencia ˆ Figura 3: Fatores de shrinkage para a imagem sintetica apos nas ˜ escalas, para as resoluc¸oes (a) 21 , (b) 22 e (c) 23 .

4.3. Continuidade Geom´etrica Ap´os ter aplicado os procedimentos da consistˆencia ao longo das escalas, os coeficientes restantes gjescala [n, m] s˜ao avaliados de acordo com sua continuidade geom´etrica. Em geral, as bordas em uma imagem n˜ao aparecem isoladas, pois formam contornos. Dessa forma, e´ esperado que os fatores de shrinkage que possuem vizinhos pr´oximos de 1 ao longo do contorno tenham maior probabilidade de pertencer efetivamente a uma borda. Em especial, estruturas lineares devem apresentar valores altos de g jescala [n, m] ao longo de v´arios pixels vizinhos. Na an´alise da continuidade geom´etrica, utilizou-se uma discretizac¸a˜ o das direc¸o˜ es θ2j f [n, m] dos gradientes2 em quatro principais regi˜oes: 0◦ , 45◦ , 90◦ e 135◦ . Os fatores de shrinkage gjescala [n, m] s˜ao somadas na direc¸a˜ o do contorno, de acordo com a seguinte regra de atualizac¸a˜ o: 2

deve-se salientar que a direc¸a˜ o do contorno e´ ortogonal a` direc¸a˜ o do gradiente

gjgeom1 [n, m]

=

 N X     w[i]gjescala [n + i, m],     i=−N    N  X    w[i]gjescala [n + i, m + i],  

se a direc¸a˜ o do contorno e´ 0◦ , se a direc¸a˜ o do contorno e´ 45◦ , , (10)

i=−N

N  X    w[i]gjescala [n, m + i],     i=−N    N  X    w[i]gjescala [n + i, m − i],  

se a direc¸a˜ o do contorno e´ 90 , ◦

se a direc¸a˜ o do contorno e´ 135◦ ,

i=−N

onde 2N + 1 e´ o n´umero de pixels adjacentes, que devem estar alinhados no c´alculo da continuidade geom´etrica, e w[i] e´ um filtro Gaussiano que permite pixels vizinhos terem pesos diferentes, de acordo com sua distˆancia ao pixel [n, m] em considerac¸a˜ o. O valor de N deve ser escolhido de acordo com o comprimento m´edio das estruturas lineares que se deseja salientar (o valor padr˜ao para N e´ 2, correspondendo a uma vizinhanc¸a de 5 pixels). Ap´os a aplicac¸a˜ o dessa regra de atualizac¸a˜ o, fatores de shrinkage g jescala [n, m] cujos vizinhos s˜ao pr´oximos de 1 ser˜ao fortalecidos, enquanto que fatores cujos vizinhos s˜ao pequenos ser˜ao enfraquecidos. Entretanto, essa abordagem tem limitac¸o˜ es nas proximidades de quinas e junc¸o˜ es, onde duas ou mais direc¸o˜ es locais de contorno ocorrem. Alguns coeficientes do ru´ıdo, que eventualmente estejam aleatoriamente alinhados tamb´em podem ser erroneamente realc¸ados. Esse problema e´ atenuado atrav´es da comparac¸a˜ o entre as direc¸o˜ es do contorno em escalas consecutivas da transformada. Parte-se do princ´ıpio que os contornos tˆem aproximadamente a mesma orientac¸a˜ o em n´ıveis consecutivos, enquanto as respostas associadas ao ru´ıdo n˜ao obedecem a essa regra (gradientes associados a ru´ıdos tˆem orientac¸o˜ es aleat´orias em resoluc¸o˜ es diferentes). Dessa forma, torna-se necess´ario que uma segunda regra de atualizac¸a˜ o seja aplicada aos coeficientes gjgeom1 [n, m]. Em cada resoluc¸a˜ o 2j , o vetor gradiente possui intensidade M2j f [n, m] e orientac¸a˜ o θ2j f [n, m]. A segunda regra de atualizac¸a˜ o considera o produto interno do vetores gradientes em resoluc¸o˜ es adjacentes: gjgeom2 [n, m] = gjgeom1 [n, m]| cos(θ2j f [n, m] − θ2j+1 f [n, m])|.

(11)

Pode-se notar que o fator | cos(θ2j f [n, m] − θ2j+1 f [n, m])| realmente fornece uma medida de continuidade direcional. Esse fator vale 1 se a mesma direc¸a˜ o ocorre em n´ıveis adjacentes, e vale 0 se as orientac¸o˜ es diferem em 90◦ (i.e., s˜ao ortogonais). Figura 4 mostra os fatores gjgeom2 [n, m] para a imagem sint´etica. As Figuras 4(a)(c) correspondem a uma vizinhanc¸a de 3 pixels (N = 1), para as escalas 2 1 , 22 e 23 , respectivamente. J´a as Figuras 4(d)-(f) correspondem a uma vizinhanc¸a de 9 pixels (N = 4). Percebe-se que a utilizac¸a˜ o de uma vizinhanc¸a maior reduz a influˆencia de fatores de shrinkage isolados, e fortalecem estruturas alinhadas; por outro lado, isso acarreta um pequeno borramento nas quinas. 4.4. Aplicac¸a˜ o do realce Os fatores de shrinkage gjgeom2 [n, m] variam entre 0 e 1, encolhendo coeficientes relacionados com ru´ıdo para zero, ou mantendo coeficientes associados a` s bordas. Tais fatores podem ser estendidos para o realce de bordas.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

´ ´ a continuidade Figura 4: Fatores de shrinkage para a imagem sintetica apos ´ geometrica. (a)-(c) vizinhanc¸a de 3 pixels, escalas 21 , 22 e 23 . (d)-(f) vizinhanc¸a de 9 pixels, escalas 21 , 22 e 23 .

Para salientar as bordas, multiplica-se um valor de realce Rj > 1 pelos fatores de shrinkage gjgeom2 [n, m] em cada escala 2j . Assim, os fatores de shrinkage atualizados para realizac¸a˜ o do realce s˜ao dados por: gjrealce [n, m] = Rj gjgeom2 [n, m].

(12)

Os valores Rj controlam a quantidade de realce aplicada na escala 2j , e devem ser escolhidos com base no tamanho das estruturas que se deseja realc¸ar. Para salientar pequenos detalhes, valores altos de Rj devem ser selecionados para j pequeno; por outro lado, valores altos de Rj para j grande s˜ao adequados no realce de objetos maiores. Para a obtenc¸a˜ o da imagem filtrada e realc¸ada, a Equac¸a˜ o (5) e´ aplicada, utilizando-se os fatores gjrealce [n, m] ao inv´es de gj [n, m]. Figura 5 mostra o resultado final do pr´e-processamento para a imagem sint´etica, usando diferentes fatores de realce. Na Figura 5(a), n˜ao foi aplicado realce (ou seja, R1 = R2 = R3 = 1). Na Figura 5(b), foram usados os valores R1 = 3, R2 = 2, R3 = 1, e na Figura 5(c), os valores foram R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3. Como era esperado, valores Rj maiores para j pequeno salientam mais os detalhes da imagem, enquanto que valores Rj maiores para j grande realc¸am mais significativamente as estruturas maiores. Em todas imagens da Figura 5, foi usado o valor N = 3 na continuidade geom´etrica.

5. Resultados Experimentais A t´ecnica proposta foi aplicada em imagens naturais e sint´eticas, e o resultado da detecc¸a˜ o de bordas pelos m´etodos de Canny [Canny, 1986] e Sobel [Pratt, 1991] foi avaliado. Foi utilizada a implementac¸a˜ o dessas duas t´ecnicas de detecc¸a˜ o de bordas dispon´ıvel no toolbox de processamento de imagens do software MATLAB, e os parˆametros utilizados foram os valores padr˜ao do software. Figura 6 mostra as bordas detectadas para a imagem sint´etica (Figura 1) e sua vers˜ao filtrada (Figura 5(a)). Figuras 6(a) e 6(b) ilustram, respectivamente, a detecc¸a˜ o das

(a)

(b)

(c)

´ ´ Figura 5: Resultado do pre-processamento para a imagem sintetica, usando (a) R1 = R2 = R3 = 1 (b) R1 = 3, R2 = 2, R3 = 1 (c) R1 = 1, R2 = 2, R3 = 3. (a)

(b)

(c)

(d)

˜ das bordas para a imagem sintetica. ´ Figura 6: Resultado da detecc¸ao (a) Canny, original. (b) Sobel, original. (c) Canny, processada. (d) Sobel, processada.

bordas da imagem sint´etica original pelos m´etodos de Canny e Sobel. Figuras 6(c) e 6(d) mostram os mesmos detectores aplicados a` imagem sint´etica processada pelo m´etodo proposto neste artigo. Percebe-se claramente a melhora na acur´acia da detecc¸a˜ o das bordas ap´os a aplicac¸a˜ o do pr´e-processamento em ambos detectores. Figura 7 mostra o resultado do pr´e-processamento (utilizando 2 n´ıveis na decomposic¸a˜ o por wavelets) e as respectivas bordas para uma imagem a´erea. Figura 7(a) ilustra a imagem original, Figura 7(b) mostra a imagem processada com pouca filtragem e eˆ nfase no realce (R1 = R2 = 2, α1 = 0 e α1 = 0.5), Figura 7(c) mostra a imagem processada sem realce e com maior reduc¸a˜ o de ru´ıdo (R 1 = R2 = 1, α1 = 0.2 e α1 = 1.2), e Figura 7(d) ilustra a aplicac¸a˜ o simultˆanea de filtragem e realce (R 1 = 1.5, R2 = 2, α1 = 0.2 e α1 = 1.2). Nas Figuras 7(e)-(h) s˜ao mostradas as respectivas bordas detectadas usando a t´ecnica de Canny, e nas Figuras 7(i)-(l) est˜ao as bordas obtidas ap´os a aplicac¸a˜ o de Sobel. Como era esperado, a eˆ nfase no realce aumenta a quantidade de bordas detectadas; a eˆ nfase na filtragem (sem realce) diminui a quantidade de falsas bordas; e aplicac¸a˜ o simultˆanea da filtragem e realce reduz o n´umero de falsas bordas, e auxilia a obtenc¸a˜ o de estruturas alinhadas. Outro exemplo e´ ilustrado na Figura 8. Uma imagem de microscopia crioeletrˆonica contendo part´ıculas retangulares e circulares e´ mostrada na Figura 8(a). Figuras 8(b)-(d) mostram vers˜oes processadas dessa imagem, com parˆametros dados por: (b) R1 = R2 = R3 = 2, α1 = 0.2 e α1 = 1.2; (c) R1 = R2 = R3 = 2.5, α1 = 0 e α1 = 0.5; (d) R1 = R2 = R3 = 1, α1 = 0.2 e α1 = 1.2. Nas Figuras 7(e)-(h) s˜ao mostradas as respectivas bordas detectadas usando a t´ecnica de Canny, e nas Figuras 7(i)(l) est˜ao as bordas obtidas ap´os a aplicac¸a˜ o de Sobel. Em todos os casos a detecc¸a˜ o das bordas nas imagens processadas foi melhor do que na imagem original. Em particular, a combinac¸a˜ o balanceada de filtragem e realce da Figura 8(b) consegue salientar as estru-

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

´ Figura 7: (a) Imagem aerea. (b)-(d) Imagens processadas. (e)-(h) Bordas detec´ ´ tadas pelo metodo de Canny. (i)-(l) Bordas detectadas pelo metodo de Sobel.

turas retangulares da imagem e atenuar satisfatoriamente o ru´ıdo. O tempo m´edio para processar uma imagem 256 x 256 com a t´ecnica proposta, usando 3 n´ıveis na decomposic¸a˜ o, com implementac¸a˜ o no MATLAB e´ de aproximadamente 2.5 segundos em uma m´aquina com processador Pentium 4 de 1.6 Ghz.

6. Conclus˜oes e Trabalhos Futuros Neste trabalho, foi apresentada uma nova t´ecnica para realizac¸a˜ o de filtragem com realce de estruturas lineares, com base na transformada wavelet. O m´etodo permite a interac¸a˜ o do usu´ario, de modo que a remoc¸a˜ o do ru´ıdo possa ser enfatizada (aumentando os valores de α1 e α2 , e tomando Rj = 1) ou o realce seja priorizado (diminuindo os valores de α1 e α2 , e tomando Rj > 1). Filtragem e realce de bordas podem sem realizadas simultaneamente, atrav´es de combinac¸o˜ es adequadas dos parˆametros da t´ecnica. Os resultados experimentais indicam que a nova t´ecnica efetivamente reduz a quantidade de ru´ıdo na imagem, realc¸ando estruturas lineares. A aplicac¸a˜ o de detectores de bordas largamente utilizados (Canny e Sobel) mostra que o m´etodo proposto melhora o desempenho desses detectores, especialmente em imagens com grande contaminac¸a˜ o por ru´ıdo. Trabalhos futuros devem abordar a remoc¸a˜ o do ru´ıdo e realce de bordas para imagens coloridas, e incluir estudos mais detalhados sobre a influˆencia dos parˆametros α 1 , α1 e Rj na detecc¸a˜ o das bordas.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(i)

(j)

(k)

(l)

ˆ Figura 8: (a) Imagem de microscopia crio-eletronica. (b)-(d) Imagens processa´ das. (e)-(h) Bordas detectadas pelo metodo de Canny. (i)-(l) Bordas ´ detectadas pelo metodo de Sobel.

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