FILTROS PASSA-BAIXAS POR APROXIMAÇÃO BUTTERWORTH E CHEBYSHEV UTILIZANDO TOPOLOGIA SALLEN-KEY Douglas de Florio Ubeda Almeida Aluno do curso de Engenharia Elétrica: Universidade Tecnológica Federal do Paraná Pato Branco - PR e-mail:
[email protected] Resumo - Este trabalho aborda o funcionamento de filtros analógicos passa-baixas, projetados por meio de amplificadores operacionais utilizando modelos matemáticos de funções de Aproximação Butterworth e Chebyshev e comprovando suas eficácias por meio de simulações e análise prática. Tal projeto demonstra a resposta de um filtro implementado pela topologia Sallen-Key, ou seja, o seu comportamento em relação ao ganho do amplificador quando submetido a altas frequências, permanecendo inalterável nas baixas. Palavras-Chave – Filtro passa-baixas, Sallen-Key, Aproximações Butterworth e Chebyshev. I. INTRODUÇÃO Na eletrônica analógica, os processamentos de sinais analógicos são feitos usando filtros que podem ser classificados de passivos ou ativos. Os filtros passivos são constituídos de resistores, capacitores e indutores e, geralmente, usados para frequências acima de 1MHz. Já os ativos são construídos com capacitores, resistores e ampops, úteis em frequências abaixo de 1 MHz [3]. A utilização de filtros, sejam eles passivos ou ativos, é de grande importância para a eletrônica quando se fala em frequências, pois quase todos os sistemas eletrônicos ou de comunicação utilizam a implementação do mesmo para filtrar, de modo exato, determinada frequência especifica de acordo com o projeto desejado [2]. Em suas diversas topologias adotadas (Sallen-Key, RC, MFB), existem cinco tipos de filtros e cada um com sua determinada característica: passa-baixas, passa-altas, passafaixa, rejeita-faixa e passa-todas [1]. Sendo assim, um quadripolo capaz de atenuar certas frequências de sinais de entrada e permitir a passagem das demais, tendo como resposta o ganho de tensão de acordo com a frequência. Ainda, a dinâmica da resposta depende da ordem do filtro projetado [2]. Hoje em dia, os filtros são implementados como elementos constitutivos básicos em equipamentos tais como MODEM (MOdularos-DEMmodulador) que conectam computadores nas redes de comunicação de dados e em equipamentos de diversas áreas da engenharia que necessitam separar, bloquear, melhorar e modificar sinais, ou ainda, para o atendimento aos limites de injeção de harmônicos em conversores. Além disso, vale ressaltar o uso de filtros ativos passa-baixas dentro da área de instrumentação, em que a eletromedicina e bioeletrônica utilizam de equipamentos que necessitam operar em frequências baixas [2]. É evidente que, para o planejamento de um filtro, é necessário atender as especificações do projeto, ou seja, a
faixa de frequência na qual irá operar para tal fim. Para isso, alguns parâmetros têm que ser definidos tais como banda de passagem, banda de corte, frequência de corte, ordem do filtro e atenuação máxima e mínima das respectivas bandas [1][2]. II. DESENVOLVIMENTO TEÓRICO Embora exista uma variedade de filtros, o foco para este projeto é em filtros passa-baixas nos quais, como já dito, permite a passagem de todas as frequências desde 0 Hz até a frequência de corte denominadas banda de passagem e impedindo as demais frequências consideradas altas na banda de corte, logo após essa frequência de corte fc. Para uma análise mais detalhada, denomina-se ainda a banda de transição, na qual dispõe-se de uma faixa de frequências f1 e f2 em que o ganho decaí de forma mais realista. Esses parâmetros estão ilustrados na Figura 1, que demostra a resposta real e ideal do filtro em questão em função da frequência, onde G corresponde ao ganho [1].
Fig. 1. Resposta em frequência real na curva em pontilhado e ideal no retângulo em azul
Para os cinco tipos de filtros e suas respectivas respostas em frequência, existem padrões de aproximações que traduz a forma mais ideal possível de representa-los de maneira a atender as expectativas do projetista [1]. Essas formas são denominadas funções matemáticas que determinam as equações de transferência de um filtro. E são elas: aproximação de Butterworth, aproximação de Chebyshev, aproximação Elíptica ou de Cauer e aproximação de Bessel, entre outras [3]. A. Aproximação de Butterworth Cognominada de aproximação maximamente plana, a aproximação de Butterworth é considerada o modelo matemático que admite atenuação quase zero na banda de passagem onde se localiza o ripple. Ainda, seu desvio máximo do valor de ganho KPB (adorando ideal unitário)
ocorre apenas na borda da banda de passagem, caindo gradativamente para um valor de atenuação Ap aceitável. Isso se deve ao fato de que as derivadas de primeira ordem 2n – 1 do modulo da função de transferência, da expressão (1), em relação a frequência são zeros em ω=0, fazendo com que a resposta seja plana e dando, assim, origem ao seu cognome. Entretanto, sua desvantagem em relação a outro tipo de aproximações é o seu decaimento ser relativamente lento [1], [4]. Pode ser notado que, a resposta para este tipo de aproximação, em relação ao grau de nivelamento do filtro projetado, depende exclusivamente de sua ordem n, ou seja, à medida que n aumenta mais ideal se apresenta a resposta de frequência do mesmo [4]. Além do mais, sua taxa de decaimento, medida em dB (decibéis) por década, é igual a 20n dB/década [1]. O projeto em si desse tipo de aproximação é expressado por meio de modelos matemáticos capazes de encontrar a ordem n do filtro de acordo com os parâmetros requisitados do projeto e, por consequência, os polos para a equação de transferência que represente o seu comportamento frente as frequências. O procedimento adotado é realizado da seguinte forma [2]: 1) Método de projeto utilizado para Butterworth. Da função de transferência dada pela expressão (1), para filtros passa-baixas, obtêm-se o desenvolvimento da função-resposta característica expressada por (5). K H ( j ) 1
PB
0
2 n
( 1)
Onde: n - Ordem do filtro a ser determinada. ω0 - Frequência normalizada. KPB - Ganho quando ω=0. ω - Frequências angulares da banda de transição. Fazendo KPB=1 e variando o valor de n, temos as curvas correspondentes para cada resposta dependendo da ordem do sistema, representado pela Figura 2.
Uma vez que a função de transferência é expressada, é possível encontrar os polos que representam a aproximação em questão utilizando o denominador da expressão (1) e admitindo que ela não possui zeros. Este procedimento é dado pela expressão (2) e (3), em que substitui ω=s/j [5]. 1
s j 0
n
n
( 2)
0
02 n
s ( 1)
0
( 3)
Encontrando, assim, a expressão (4) que representa as raízes Pk do polinômio da expressão (3), em que k=1,2,3...n é o número de polos [5]:
2 0 e e j
P
k
j ( 2 k 1)
2 n
( 4)
Com os polos encontrados e substituindo na expressão (5), obtêm-se uma nova função de transferência que representa a aproximação de Butterworth [5]: H ( s)
P 1 P 2 P 3 ...P n s P 1 s P 2 s P 3 ...s P n
( 5)
Entretanto, as expressões encontradas são genéricas para ordem n. Assim, para encontrar a ordem são realizadas algumas manipulações algébricas [5]. Com os valores de atenuações especificados em dB, facilmente se encontram os ganhos aplicando a função logarítmica de conversão para decibéis dadas pelas expressões (6) e (7).
1 20 log G 2 20 log G
A A
1
2
( 6)
( 7)
Onde: A1 - Atenuação superior para faixa de transição. A2 - Atenuação inferior para faixa de transição G1 - Ganho superior para faixa de transição. G2 - Ganho inferior para faixa de transição. Substituindo na expressão (1) em que ω 1 tem-se G1 e em ω2, tem-se G2, obtêm-se as expressões (8) e (9): 1
1 1 0 1
Fig. 2 - Curvas para resposta de ordem n para aproximação de Butterworth
2 n
2 1 0
G
1
( 8)
G
2
( 9)
Isolando ω 0 da expressão (8), tem-se a expressão (10):
0
2 n
12 n 1
G12
2 f 12 n 1 1 G 1
1
( 10)
função de transferência da aproximação sugerida por Chebyshev.
Substituindo a expressão (10) em (9) tem-se a expressão (11) para valores de n: 1 1 2 n 2 2 G2 (11)
1
1 G1
2
1
B. Aproximação de Chebyshev Em respostas de filtros de baixa ordem, o modelo de Butterworth não é apropriado para frequências próximas a frequência de corte. Assim sendo, o modelo de Chebyshev é bem empregado pois possui comportamento satisfatório para essas frequências [2]. Pode ser notado que, esse tipo de aproximação é utilizado quando não se tem preocupação com a resposta de frequência na banda passagem, pois a ocorrência de ondulações (ripple) nessa banda é inevitável. Porém, para projetos que necessitam de um decaimento mais rápido na banda de transição, este tipo de modelo matemático é bem utilizado [1]. Apesar de apresentar maior atenuação na banda de transição, a resposta de frequência na banda de passagem não é satisfatória devido a quantidade de oscilações de ripples que ela apresenta. Por consequência disso, a determinação da quantidade de ondulações é determinada pela ordem do filtro, ou seja, o número de ondulações é igual a ordem do filtro dividido por 2 e, ainda, pelo efeito da constante ε, da função-resposta, na amplitude dos ripples [1], [2]. 1) Método de projeto utilizado para Chebyshev. Da função de transferência dada pela expressão (12), para filtros passa-baixas, obtêm-se o desenvolvimento da função-resposta característica expressada por (5) [2]. K PB H ( j ) (12) 2 2 1 C n
0
Onde: n - Ordem do filtro a ser determinada. ω0 - “Largura de banda". KPB - Ganho quando ω=0. Cn2(ω/ω0) - Polinômio de Chebyshev. ε - constante de ripple. Para visualizar melhor a característica da funçãoresposta de Chebyshev, o gráfico da Figura 3 descreve o comportamento das ondulações e das correspondentes bandas de frequência para valores de KPB unitário onde a frequência é é nula (ω=0), levando em consideração o efeito da constante ε na amplitude dos ripples, de acordo com a
Fig. 3 - Curvas para resposta de ordem n para Aproximação de Chebyshev
Para o método de aproximação de Chebyshev, é necessário encontrar a ordem do filtro com os requisitos especificados do projeto, tal como as frequências angulares da banda de transição e suas respectivas atenuações, para poder designar o Polinômio de Chebyshev da Tabela 1, pois o mesmo depende da ordem do sistema [2]. TABELA I Polinômio de Chebyshev 𝒙 =Cn(ω/ω0) Ordem n
Polinômio Chebyshev 1
0 1
𝑥
2
2𝑥 2 − 1
3
4𝑥 3 − 3𝑥
4
8𝑥 4 − 8𝑥 2 + 1
A procedimento para encontrar a ordem é da seguinte forma [2]: Para encontrar ε, substitui A1 na expressão (13) e, da mesma forma para encontrar G2, substitui A2 na expressão (7). 2 (13) A 20 log 1 1
Com o valor de G2 definido, substitua-o na expressão (14), adotando que a primeira frequência angular ω 1 da banda de transição seja igual a frequência ω0 e que a segunda frequência ω2 seja igual a ω. Por fim, com os valores substituídos, encontra-se a ordem do filtro desejado [2]. G2
1 2 2 1 2 cosh n acosh 0
(14)
Com o valor da ordem definido, faz-se uma recorrência na Tabela 1 para escolher o devido polinômio e substituí-lo na expressão (12). Adquirindo, assim, a função resposta de ordem n.
O método para encontrar os polos de Chebyshev é substituindo os parâmetros encontrados na expressão (15) [2]: ( 2 k 1) 1 1 P 0 sin sinh n asinh k 2 n (15) ( 2 k 1) 1 1 i 0 cos cosh n acosh 2 n Por fim, com os polos determinados substituindo na expressão (5), obtêm-se uma nova função de transferência que representa a aproximação de Chebyshev. C. Topologias de Filtro Utilizada Para implementação das aproximações de Butterworth e de Chebyshev, é necessário escolher uma das topologias para implementação dos respectivos filtros. Essas topologias podem ser, por exemplo, filtro RC, filtro SalenKey, filtro MFB, etc. Contudo, o mais usual das topologias é o Sallen- Key e RC, no qual necessitam serem calculados valores de capacitores e resistores que dependam do fator de qualidade e frequências de corte dos filtros a serem projetados. O fator de qualidade é adquirido de forma genérica para ordem 2 pela expressão (16) e (17), em que cada filtro possui seus correspondentes valores de fator de qualidade Q1 e Q2 de acordo com os polos encontrados pelas expressões 4 e 15. Consequentemente, é análogo para os valores dos componentes do circuito. O fator de qualidade é iqual a [5]: Q
P 1 P n P 1 P n
(16)
Q
P 2 P 3 P 2 P 3
(17)
1
2
Os valores de capacitores e resistores da topologia Sallen-key, representados pelas Figuras 8 e 13, são dados pelas expressões (19), (20) e (21) para ordem genérica dois, em que a expressão (19) está relacionada com as expressões (16) e (17) [2].
C2
x
P1 Pn
(19)
1 R1 R2 ( 2 Q)
( 20)
2
2
C1 ( 2 Q) C2 Onde: ωx - Frequência angular ressonante.
x
(21)
(22)
R
x
Para filtros de ordem n, faz-se uma associação dos estágios de segunda ordem em cascata em que se deseja ordens pares. No entanto, para ordens ímpares, usa-se filtros passivos utilizando componentes calculados pela expressão (22) [1]. III. DESENVOLVIMENTO DO PROJETO Para o desenvolvimento do projeto de filtros, foi especificado os requisitos mínimos, representados na Tabela 2, para montagem e obtenção dos resultados esperados utilizando as aproximações de Butterworth e de Chebyshev. Para tanto, os valores de capacitores e resistores deverão ser obtidos tomando como partida esses parâmetros especificados e, posteriormente, serem implementados na topologia Sallen-Key. TABELA II Requisitos para o projeto de filtros A1 (dB) 0,5
A2 (dB) 14
f1(kHz) 22,5
ω1(rad/s) 1,414×105
f2 (kHz) 45
ω2(rad/s) 2,827×105
A. Filtro Passa-baixas por Aproximação de Butterworth Utilizando Topologia Sallen-Key Primeiramente, utilizando as expressões 6 e 7 para obter G1 e G2, substituindo esses valores juntamente com ω1 e ω2 na expressão (10) e isolando n da expressão (11), obtêm-se n=3,8136. Adotando arredondamento para cima, a ordem será n=4 para o filtro de Butterworth. Com o valor de n encontrado, a frequência angular de corte ω0 é dada por: 2 n 0
c1
1
C
Em que, pela expressão (18), encontra-se a frequência de corte [2]: f 0 (18) Q 0 f f c2
Para ordem um, o resistor e o capacitor é dado da seguinte forma para a Topologia RC:
( 1 )
2 n
1 1 2 G1
(23)
De onde se obtém ω0 = 1,839×105 rad/s. Em seguida, substituindo este valor da frequência angular de corte na expressão (4), obtém-se os quatros valores dos polos apresentados pela expressão (20) para k variando até 4:
(24)
f1
f2 A1
0
A2
HdB( f )
50
100 100
3
4
110
5
110
6
110
110
f escala
Fig. 4. - Gráfico de bode em logaritmo do filtro passabaixas por aproximação de Butterworth
A partir dos valores encontrados e substituídos na expressão (12), obtém-se o gráfico de bode da Figura 4 em escalas logaritmo. Para escala decimal, obteve-se o gráfico da Figura 5. f1
1
H( f )
B. Filtro Passa-baixas por Aproximação de Chebyshev Utilizando Topologia Sallen-Key e RC Para projeto de filtro utilizando o modelo matemático de Chebyshev, faz-se necessário encontrar, em primeiro caso, a ordem do filtro a ser analisado para posteriormente designar o polinômio de Chebyshev. Com isso, utilizando a expressão (13), obtêm-se o valor de ε=0,349 e, da expressão (7), o valor de G2= 0,2. Substituindo esses valores na expressão (14), adotando que ω0= ω1= 1.414×105 rad/s, obtêm-se n=2,532. Adotando arredondamento para cima, a ordem será n=3 para o filtro de Chebyshev. Com o valor de n encontrado, o polinômio de Chebyshev da Tabela 1 será: 𝐓(𝐱) = 𝟒𝐱 𝟑 − 𝟑𝐱
(𝟐𝟓)
Substituindo Cn(ω/ω0), tem-se a expressão (26): 𝑪𝒏 (𝝎⁄𝝎𝟎 ), = 𝟒(𝝎⁄𝝎𝟎 )𝟑 − 𝟑 𝝎⁄𝝎𝟎
f2 G1
(𝟐𝟔)
A partir do polinômio da expressão (26), substituindo na expressão (12), tem-se a equação que representa o gráfico da Figura 6, em escala logaritmo.
0.5
f1
G2
f2
A1
0 0 100
3
110
4
110
5
110
f
Fig. 5. - Gráfico da função de transferência em escala decimal do filtro passa-baixas por aproximação de Butterworth
Para o dimensionamento dos componentes correspondentes a topologia Sallen-Key, é preciso utilizar as expressões 16, 17 e 19, substituindo os polos encontrados nas mesmas para obter os valores dos fatores de qualidade e frequência de ressonância e, assim, usá-los para encontrar os capacitores e resistores do filtro passa-baixas. Os fatores de qualidades são Q1=1,307 e Q2=0,541, e o valor da frequência de ressonância é ωx= 1,839×105 rad/s. Logo, com esses valores, encontra-se os valores dos capacitores C1=14,21×10-9 F e C2=2,081 ×10-9 F do primeiro estágio de ordem 2 pelas expressões 20 e 21, escolhendo resistores comerciais de 1kΩ. Por fim, os capacitores e resistores do segundo estágio de ordem 2 são calculados de forma análoga ao primeiro estágio, apenas renumerando-os para uma melhor organização da análise dos resultados. Tais valores calculados são C3=5,886×10-9 F e C4=5,024×10-9 F, para a mesma frequência de ressonância ωx. Os valores estão apresentados na Tabela 3. TABELA III Valores Calculados para o Projeto de Filtro Passabaixas Resultados para ordem n=3,8136 e ωx= 1,839×105 rad/s Primeiro estágio de ordem 2 Segundo estágio de ordem 2 Capacitor 1 Capacitor 3 14,21×10-9 F 5,886×10-9 F -9 Capacitor 2 Capacitor 4 2,081 ×10 F 5,024×10-9 F Resistor 1 1 kΩ Resistor 3 1 kΩ Resistor 2 1 kΩ Resistor 4 1 kΩ
A2
20
6
110
HdB( f )
40 60 80
100 100
3
110
4
5
110
110
6
110
f
Fig. 6. - Gráfico de bode em escala logarítmica do filtro passabaixas por aproximação de Chebyshev
Para escala decimal, obteve-se o gráfico da Figura 7. f1
1
f2 G1
H( f )
0.5
G2
0 100
3
110
4
110
5
110
6
110
f
Fig. 7. - Gráfico da função de transferência em escala decimal do Filtro Passa-baixas por Aproximação de Chebyshev
Por meio do valor de n=3 e adotando que ω0= ω1= 1.414×105 rad/s, substitui-se esses valores na expressão (15) para obter os polos representados pela expressão (27).
calculada, pode-se obter o gráfico de bode representado na Figura 9 para a simulação do circuito da Figura 8.
(27)
De forma semelhante ao procedimento para filtro com aproximação de Butterworth, porém, adotando agora ordem n=3 e modificando a estrutura da topologia do segundo estágio para RL e permanecendo a topologia Sallen-Key para o primeiro estágio. Para o primeiro estágio, obteve-se os valores calculados da frequência de ressonância ωx= 1,496 ×105 rad/s, do fator de qualidade, obtendo Q1=1,69 e, também, os capacitores e resistores do primeiro estágio com valores iguais a C1= 22,583 ×10-9 F e C2= 1,978 ×10-9 F, escolhendo os mesmos valores de resistores comerciais de 1kΩ. Contudo, para o resistor e capacitor da topologia RC, fora necessário calcular uma nova frequência de ressonância utilizando o modulo do valor do polo real da expressão (26) igual a ωx=8,856×104 rad/s, na expressão (22) e obter o valor de C3=11,291 ×10-9 F adotando, ainda, o resistor utilizado até agora. Os valores calculados estão listados na Tabela 4. TABELA IV Valores Calculados para o Projeto de Filtro Passabaixas Resultados para ordem n=2,532e ωx= 1,496 ×105 rad/s e 8,856×104 rad/s Primeiro estágio de ordem 2 Segundo estágio de ordem 1 Capacitor 1 Capacitor 3 22,583×10-9 F 11,291×10-9 F -9 Capacitor 2 Capacitor 4 1,978 ×10 F Resistor 1 1 kΩ Resistor 3 1 kΩ Resistor 2
1 kΩ
Resistor 4
Fig. 8. Circuito filtro passa-baixas utilizando aproximação de Butterworth por topologia Sallen-Key
Fig. 9. Gráfico de bode em escala logarítmica do filtro passabaixas por aproximação de Butterworth
2) Prática Butterworth. Para a prática, fora implementado o circuito da Figura 8 com os valores aproximados de resistores e capacitores, obtendo, assim, as imagens do osciloscópio, nas frequências antes da borda da banda de transição superior, na frequência de corte, e na frequência da borda da banda de transição inferior, respectivamente, 15 kHz, 29,24 kHz e 45kHz, representadas pelas Figuras 10, 11 e 12.
-
IV. RESULTADOS Uma vez que os valores dos componentes do circuito a serem analisados foram calculados, obteve-se uma análise prática e simulada para comprovar a eficiência dos filtros adotados pelas aproximações usadas. Para tal feito, fora utilizado o Software de simulação PSIM e comprovados os valores na prática. A. Análise Prática e Simulada utilizando Aproximação de Butterworth 1) Simulação Butterworth. Na primeira parte da simulação, com os valores de capacitores e resistores, encontrados por meio de cálculos apresentados na Tabela 3, foi possível montar o circuito da Figura 8. Da Figura 8, nota-se que os capacitores são dispostos no circuito de forma a respeitar o valor do fator de qualidade de cada associação de estágio PB de segunda ordem. Aplicando sinais de frequências iguais as especificadas para a banda de transição e, analisando a frequência radial
Fig. 10. - Resposta do filtro utilizando aproximação Butterworth para um sinal de entrada de 15kHz. Canal 1 (amarelo) tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (azul) tensão de saída (1V/div). Escala de tempo de 25µs.
Fig. 13. Circuito filtro passa-baixas utilizando aproximação de Chebyshev por topologias Sallen-Key e RC.
Fig. 11. - Resposta do filtro utilizando Aproximação Butterworth para um sinal de entrada de 29,247 kHz. Canal 1 (amarelo) tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (azul) tensão de saída (1V/div). Escala de tempo de 10µs.
Fig. 14. Gráfico de bode em escala logarítmica do Filtro Passabaixas por aproximação de Chebyshev
2) Prática Chebyshev Para a prática, fora implementado o circuito da Figura 13 com os valores aproximados de resistores e capacitores, obtendo, assim, as imagens do osciloscópio, nas frequências antes da borda da banda de transição superior, na frequência dentro da banda de transição, e na frequência da borda da banda de transição inferior, respectivamente, 20 kHz, 26,18 kHz e 45kHz, representados pelas Figuras 15, 16 e 17.
Fig. 12. - Resposta do filtro utilizando Aproximação Butterworth para um sinal de entrada de 45 kHz. Canal 1 (amarelo) tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (azul) tensão de saída (200mV/div). Escala de tempo de 10µs.
B. Análise Prática e Simulada utilizando Aproximação de Chebyshev 1) Simulação Chebyshev Na segunda parte da simulação, com os valores de capacitores e resistores, encontrados por meio de cálculos apresentados na Tabela 4, foi possível montar o circuito da Figura 13. Aplicando sinais de frequências iguais as especificadas para a banda de transição e, analisando a frequência radial calculada, pode-se obter o gráfico de bode representado na Figura 14 para a simulação do circuito da Figura 13.
Fig. 15. - Resposta do filtro utilizando Aproximação Chebyshev para um sinal de entrada de 20 kHz. Canal 1 (azul) tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (amarelo) tensão de saída (1V/div). Escala de tempo de 10µs.
TABELA VI Resultados Obtidos e Calculados Chebyshev Frequências Ganho simulação Ganho Prática Ganho Teórico
Fig. 16. - Resposta do filtro utilizando Aproximação Chebyshev para um sinal de entrada de 26 kHz. Canal 1 (azul) tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (amarelo) tensão de saída (1V/div). Escala de tempo de 10µs.
Fig. 17. - Resposta do filtro utilizando Aproximação Chebyshev para um sinal de entrada de 45 kHz. Canal 1 (azul) tensão de entrada (1V/div). Canal 2 (amarelo) tensão de saída (200mV/div). Escala de tempo de 10µs.
C. Resultados. No final da prática e da simulação, fora obtido os valores reais dos parâmetros analisando os gráficos das simulações e das práticas com os resultados ideais calculados contidos nas Tabelas 2. Esses valores obtidos nesta secção estão contidos na Tabela 5 e 6. TABELA V Resultados Obtidos e Calculados Butterworth Filtros passa-baixas Frequências
15 kHz
29.2 kHz
45 kHz
Ganho simulação
-0,0079 dB
-3,008 dB
-15,1247 dB
Ganho Pratica
-0,0069 dB
-2,76 dB
-14,59 dB
Ganho Teórico
0 dB
-3.01 dB
-15.084 dB
Filtros passa-baixas 20 kHz 26,18 kHz -0,11 dB -3.19 dB 0.13 dB -3,06 dB -0,011 dB -2.931 dB
45 kHz -19,47 dB -19,43 dB -19,216 dB
Analisando as Tabelas 5 e 6, e comparando-as com a Tabela 2, nota-se que os valores chegaram próximos do esperado havendo apenas algumas discrepâncias devido a aproximação dos capacitores e resistores na implementação da prática. Nota-se nesta comparação que, para valores de frequências próximos da banda de transição não há atenuação considerável, ou seja, em frequências abaixo da frequência de corte não foi percebida atenuação. Vale ressaltar que, para a Aproximação Chebyshev existe uma oscilação no ganho antes da faixa de frequências da banda de transição, e o que comprova isso seria o ganho positivo de 0,13 dB para a frequência de 20kHz, ou seja, abaixo da frequência da borda superior da banda de transição. Esse fato pode ser identificado na Figura 15, em que o valor da amplitude da saída é maior que o valor da amplitude da entrada. Porém, nota-se ainda que, para uma frequência de 26,18 kHz na Aproximação Chebyshev, a atenuação foi de -3,06 dB e para a Aproximação de Butterworth em uma frequência maior de 29,2 kHz, que aliás, é a frequência de corte do filtro de Butterworth, teve uma atenuação de -3,008 dB, ou seja, para o filtro de Chebyshev caiu mais rápido. Na análise do filtro modulado pelas equações de Butterworth, pode-se notar que, em uma frequência anterior a frequência da banda de transição, sua saída parece sempre estar inalterável, pois os valores dos ganhos na frequência de 15 kHz tende a zero, segundo os resultados obtidos. Essa afirmação se comprova analisando o gráfico da Figura 10, em que a saída permanece inalterável para esta frequência. V. CONCLUSÕES Com os resultados obtidos nas Tabelas 5 e 6, e a teoria sobre filtros, foi possível concluir o funcionamento dos filtros para as duas aproximações, em que ambos permitem a passagem de frequências baixas, porém impedem a passagem das frequências mais altas, apesar de sua dinâmica de resposta de frequência serem diferentes um do outro. Ademais, comparando as características essências das duas aproximações utilizadas, pode-se concluir que, o método de Butterworth é de essencial importância para aplicações em que a resposta necessita de um nivelamento máximo na banda de passagem, já na sua banda de transição não é favorável quando se necessita de uma resposta rápida de decaimento do sinal de entrada. Porém, quando a banda de passagem é um requisito irrelevante para o projetista, seria recomendável, segundo a análise dos resultados, a utilização do filtro de Chebyshev se a intenção é obter uma resposta rápida na saída do sistema. Ainda, o que comprovaria esta característica desse filtro seria ordem em que ele foi implementado, ou seja, em uma ordem menor
que o filtro de Butterworth e ainda consegue obter uma atenuação mais rápida. Logo mais, para uma possível melhora na resposta seria o aumento da ordem dos filtros para obter uma melhor resposta do sistema. Poderia, também, ser interessante juntar as duas características dos projetos de filtros para este trabalho e obter a melhor resposta possível em níveis de filtragem de frequência. Portanto, conclui-se que, tanto a modelagem Butterworth quanto a de Chebyshev são eficientes em suas respectivas características e qualidades. REFERÊNCIAS [1] MALVINO, Albert Paul; BATES, David J. Eletrônica. 7. Ed, vo. 2. São Paulo: McGraw-Hill, c2007-2008. 2v. [2]PERTENCE JÚNIOR, Antônio. Amplificadores operacionais e filtros ativos: teoria, projetos, aplicações e laboratório. 5. ed. São Paulo: Makron, 1996. xvi, 359 p. ISBN 85-346-0498-3. [3] GRANDA MIGUEL, Mercedes; MEDIAVILLA BOLADO, Elena. Instrumentación electrónica: transductores y acondicinadores de . Santander, Espanha: Universidad de Cantabria, 2010. vii, 495 p. ISBN 9788481925682. [4] SEDRA, Adel S.; SMITH, Kenneth Carless. Microeletrônica. São Paulo, SP: Makron Books, 1995. 2 v. ISBN 853460293. [5] RAZAVI, Behzad. Fundamentos de microeletrônica. Rio de Janeiro: LTC, c2010. xxv, 728 p. ISBN 9788521617327.
