Física Geral e Experimental II

3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

Prof. Marcos Cerqueira Coordenação de Física – IFBA

Definição de Potencial Elétrico Uma partícula de carga q, colocada no campo elétrico gerado por um corpo de carga Q, sofre ação de uma força, que tende a realizar trabalho sobre a partícula; por isso a partícula adquire energia.

Esse trabalho é determinado pela força e o deslocamento da partícula, sendo que a força e o deslocamento dependem da posição da partícula no campo elétrico. Logo, a energia adquirida pela partícula depende da posição, portanto é uma energia potencial elétrica (Epe)

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Definição de Potencial Elétrico Para cada ponto P de um campo elétrico, a força que atua na partícula é diretamente proporcional à carga q (F=qE). Logo o trabalho realizado sobre a partícula e, por consequência, a energia potencial elétrIca (Epe) também são proporcionais a essa carga. Se (Epe) e q são proporcionais, então a razão entre elas é constante, logo define-se a razão (Epe/q) como sendo potencial elétrico (V):

Epe V q

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Definição de Potencial Elétrico A unidade do potencial elétrico, no SI, é:

energia J potencial    J /C c arg a C Essa unidade recebeu o nome de volt (V)

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Trabalho e Diferença de Potencial Uma partícula que se movimente num campo elétrico, passando por dois pontos A e B, tal que VA>VB. O trabalho realizado pela força elétrica para levar a partícula do ponto A até o ponto B é:

 AB  Epe Substituindo temos:

 AB  EpeA  EpeB

Como (Epe = q.V), então:

 AB  qVA  qVB 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

 AB  q(VA  VB ) Prof. Marcos Cerqueira

Trabalho e Diferença de Potencial A d.d.p – diferença de potencial (U) – entre dois pontos A e B é dada por:

U AB  VA  VB Ou seja, o trabalho realizado pela força elétrica é:

 AB  qU AB

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Energia Potencial Gerado por Partícula Para deduzirmos a expressão da energia potencial elétrica, podemos fazer uma analogia com a energia potencial gravitacional:

Ep A  mghA  Ep A  PhA A energia potencial gravitacional é o produto entre a força gravitacional (P) e a posição (hA). Como a força elétrica é semelhante à força gravitacional, analogamente, a energia potencial elétrica é o produto entre da força elétrica (Fe) e a posição (dA):

logo:

kQq Ep A  Fe d A  Ep A  2 .d A dA kQq Ep A  dA

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Trabalho Gerado por Partícula O trabalho da força elétrica para levar uma carga de um ponto A até um ponto B pode ser determinado pelo oposto da variação da energia potencial elétrica:

 AB  Epe   AB  Ep A  EpB Substituindo pelas expressões da energia potencial elétrica de uma carga q puntiforme, submetida a um campo elétrico gerado por outra carga puntiforme Q, o trabalho realizado pela força elétrica para levar a carga q de uma distância dA até uma distância dB é:

 AB

kQq kQq   dA dB

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Potencial Gerado por Partícula Utilizando a expressão do cálculo do trabalho da força elétrica de uma partícula, podemos colocar q em evidência:

 AB Como

 kQ kQ  kQq kQq      AB  q  dA dB  d A dB 

 AB  qVA  VB 

Comparando as duas equações, conclui-se que:

kQ VA  dA 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

e

kQ VB  dB Prof. Marcos Cerqueira

Potencial Gerado por Partícula Portanto, a expressão para calcular o potencial elétrico gerado por uma carga Q a uma distância d é:

kQ V d

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Potencial Gerado por Partícula Observa-se que:

I – Para d

∞, V

0

II – Para d 0, V ∞, quando a carga Q é positiva e V a carga Q for negativa

- ∞, quando

Temos ainda dois casos a ser considerados: 1 - cargas elétricas positivas, abandonadas em um campo elétrico e sujeitas apenas à força elétrica, deslocam-se espontaneamente para pontos de menor potencial elétrico. 2 - cargas elétricas negativas, abandonadas em um campo elétrico e sujeitas apenas à força elétrica, deslocam-se espontaneamente para pontos de maior potencial elétrico. 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Potencial Gerado por Partícula Como o potencial elétrico é uma grandeza escalar, se o campo elétrico for gerado por várias partículas pontuais Q1, Q2, Q3,…Qn, o potencial elétrico total em cada ponto é obtido pela soma algébrica dos potencial elétricos nesse ponto, devido a cada uma das cargas:

VP  V1  V2  V3  ...Vn

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Potencial Elétrico em Campo Uniforme

Na figura vemos que os pontos A e B estão situados na mesma linha de força, próximos a uma placa plana condutora carregada positivamente, onde o campo é uniforme. A distância que separa os pontos A e B é dada por dAB. Considerando que VA e VB são os potenciais elétricos dos pontos A e B, a diferença de potencial entre os pontos A e B é (UAB = VA – VB). 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Potencial Elétrico em Campo Uniforme O trabalho realizado pela força elétrica para levar a partícula de carga q do ponto A para o ponto B pode ser calculado por duas formas:

 AB  qVA  VB  e

 AB  Fe .d  q.E.d AB Igualando as duas equações, temos:

qVA  VB   q.E.d AB logo

U AB  Ed AB 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Superfícies Equipotenciais Como o próprio nome indica, superfícies equipotenciais são superfícies de um campo elétrico onde todos os pontos têm o mesmo potencial. A representação gráfica dessas superfícies se baseia, em princípio, na expressão do trabalho

 AB  qVA  VB 

Se A e B estão na mesma superfície equipotencial, então:

U AB  0   AB  0 Significa que o trabalho é nulo em uma superfície equipotencial.

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Superfícies Equipotenciais Embora o trabalho seja nulo, nem a força nem o deslocamento são nulos.

Da definição de trabalho:

  F.d . cos  Logo, a única maneira para que o trabalho ser nulo é que o ângulo do deslocamento e a força deve ser 90o para que cosα = 0. Então, o deslocamento de A até B deve ocorrer na perpendicular às linhas de força. Podemos então concluir que: As superfícies equipotenciais são perpendiculares às linhas de força em cada ponto do campo elétrico. 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Superfícies Equipotenciais As figuras abaixo ilustram algumas configurações de campos elétricos representados por linhas de força e superfícies equipotenciais:

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Superfícies Equipotenciais

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Superfícies Equipotenciais Resumindo o que foi visto até aqui, podemos afirmar que:

• quando o vetor campo elétrico é constante (entre duas placas planas paralelas e infinitas de cargas opostas, por exemplo), o potencial varia linearmente com a distância, pois:

U  Ed Como E é constante, U e diretamente proporcional a d.

• quando o módulo do vetor campo elétrico varia na razão inversa do quadrado da distância (1/d2) (no campo gerado por uma partícula carregada, por exemplo), o potencial varia na nrazão inversa da distância (1/d), pois: kQ kQ e V E

d2

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d

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Superfícies Equipotenciais • sempre que houver campo elétrico numa região do espaço, pode-se haver diferença de potencial entre dois pontos dessa região. E sempre que se estabelecer uma diferença de potencial entre dois pontos de uma região do espaço, haverá um campo elétrico nessa região.

  E  U ;U  E • o sentido do vetor campo elétrico é orientado para potenciais elétricos de valores decrescentes. Se “caminharmos” ao longo e no mesmo sentido de uma linha de força, passamos por pontos cujos os potenciais elétricos são cada vez menores, e, se, formos no sentido oposto , passamos por pontos cujos potenciais são cada vez maiores.

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Superfícies Equipotenciais

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Potencial Elétrico em Condutores Suponhamos um condutor eletrizado estaticamente, isto é, a carga elétrica em equilíbrio. Nesse caso, todos os pontos da superfície estão com o mesmo potencial. Porque, se houvesse dois pontos com diferença de potencial, haveria deslocamento de carga entre eles, e a carga não estaria em equilíbrio. A superfície de um condutor é então equipotencial. Por definição chamamos potencial do condutor a esse potencial comum dos pontos da superfície do condutor. Fisicamente o que se passa é o seguinte: quando carregamos um condutor de forma qualquer, a carga elétrica se distribui com densidade elétrica diferente de região para região, de acordo com a curvatura, de maneira tal que todos os pontos da superfície fiquem com o mesmo potencial.

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Potencial Elétrico em Condutores Potencial zero

Pelo fato de todos os corpos escoarem suas cargas para a terra quando ligados a ela, consideramos o potencial da terra como valendo zero. Linha de força

Como a superfície de um condutor é equipotencial, as linhas de força sempre encontram a superfície do condutor perpendicularmente.

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Potencial Elétrico em Condutores Exemplo - Potencial de uma esfera

Seja uma esfera de raio R e carga Q. Para calcular o potencial de um ponto da superfície imaginamos a carga acumulada no centro e aplicamos a expressão do potencial criado por uma carga puntiforme:

Q Vs  k R Para calcular o potencial em um ponto externo ao condutor esférico à uma distância r em relação ao centro da esfera, usa-se:

Vext 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

Q k r Prof. Marcos Cerqueira

Potencial Elétrico em Condutores

Os gráficos ao lado mostram os comportamentos do potencial elétrico (V) e do campo elétrico (E) em pontos no interior e no esterior de uma esfera carregada.

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Conceito de Capacidade Para exprimir o conceito de capacidade, pode-se verificar que fatores determinam a quantidade de carga elétrica (Qesf) contida num condutor esférico.

Lembrando que o potencial elétrico do condutor esférico de raio r e carga elétrica Qesf é dado pela expressão:

Vesf  k .

Qesf R

Podemos então ecrever

Qesf Vesf 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

R  k Prof. Marcos Cerqueira

Conceito de Capacidade Como r (raio da esfera) e k (constante eletrostática) são constantes, a razão Qesf/Vesf também é constante. Essa constante estabelece a quantidade de carga contida no condutor para determinado potencial elétrico e é por isso chamada, por definição, capacidade elétrica (C) do condutor esférico. Então para qualquer condutor, define-se a capacidade elétrica C, pela razão:

Q C V 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Conceito de Capacidade A unidade de capacidade elétrica, no SI, é:

capacidade 

c arg a C   C /V volt V

Essa unidade recbe o nome de farad (F), em homenagem a Michael Faraday

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Capacidade de um Condutor Esférico Agora partindo da definição de capacidade,

Q C V

Em um condutor esférico,

Q Q R V  k.   r V k Logo, podemos calacular a capacidade de um condutor esférico pela razão entre seu raio (R) e constante eletrostática (k)

Cesf 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

R  k Prof. Marcos Cerqueira

Capacitores A partir da expressão da definição de capacidade, podemos mostra que a quantidade de carga armazenada num condutor é limitada pelo produto CV:

Q C   Q  CV V

Para ampliar essa essa quantidade de cargas seria necessário aumentar a capacidade do condutor, ou do seu potencial elétrico, ou ambos.

Como o aumento do potencial elétrico de um condutor é limitado na prática pela potência do gerador elétrico disponível, a ampliação da armezenagem de carga elétrica seguiu um novo caminho – a criação de capacitores, engenhosa associação de condutores e isolantes, cuja a associação pode aumentar a capacidade de um condutor isolado. 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Capacitor de Placas Paralelas Um capacitor comum é o capacitor de placas paralelas, que tem duas placas condutoras paralelas. Um capacitor de placas paralelas é esquematizado abaixo:

A diferença de potencial entre os terminais do gerador faz com que os elétrons de uma placa sejam deslocados para a outra. Dessa forma essas placas vão armazenando cargas elétricas iguais e de sianais opostos. Assim, a placa de onde saem os elétrons, ligados ao terminal positivo do gerador, adquire carga +Q, e a placa onde chegam os elétrons, ligado ao terminal negativo do gerador, adquire carga –Q. 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Capacitor de Placas Paralelas A medida que essas placas adquirem cargas elétricas, aparece entre elas uma diferença de potencial, que aumenta até igualar-se à diferença de potencial (U) entre os terminais do gerador.

Essa diferença de potencial (U) pode ser determinado pelo produto entre o campo elétrico (E) entre as placas paralelas e a distância entre elas (d) relação:

U  Ed

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Capacitor de Placas Paralelas É fácil perceber que, quanto maior for a diferença de potencial (U) fornecida ao gerador, maior será a quantidade de elétrons que passa de uma placa para outra, ou seja, maior o trabalho que o gerador realiza.

Assim a quantidade de cargas armazenada em cada placa é diretamente proporcional à diferença de potencial entre elas. Por isso, a capacidade do capacitor ou capacitância, é defina pela razão entre a quantidade de cargas armazenada em qualquer uma das placas (Q) e a diferença de potencial (U):

Q C U 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Capacitor de Placas Paralelas A partir dessa definição podemos chegar até outra,

Da lei de Gauss, temos:

E 

Q



Como φ = E.A, então

Q

Q E. A   E    .A Podemos substituir essa expressão em

Q U  E.d  U  .d  .A 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Capacitor de Placas Paralelas Da definição de capacidade de um capacitor:

Q Q C  C  Q.d U

 C  Q.

 .A

 .A Q.d

Logo chegamos a expressão para o cálculo da capacidade de um capacitoe de placas planas paralelas:

C

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 .A d Prof. Marcos Cerqueira

Capacitor de Placas Paralelas Nota-se existem duas possibilidades geométricas de alterar a capacidade de capacitores (capacitância): vê-se portanto que a capacitância cresce com a área das placas (A) e decresce com a distância (d) entre as placas.

Mas existe ainda uma outra maneira, que é muito usada por ser eficiente: colocar um material entre as placas para aumentar o valor de (ε), que é a permissividade do meio material. No vácuo a permissividade é , ε0 = 8,885.10-12 F/m, . Um material contendo cargas altamente polarizáveis quando colocado entre as placas de um capacitor na presença de um campo elétrico, influenciará acentuadamente as cargas que estão entre as placas. Com este material inserido na região entre as placas (como óleo mineral ou plástico) mantendo-se a mesma tensão aplicada U, o valor de ε aumenta, aumentando assim a capacitância. Esses materiais são chamados de dielétricos. 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Energia armazenada por um Capacitor Um capacitor é capaz de armazenar cargas elétricas e, consequentemente, energia potencial elétrica. Uma maneira de se determinar essa energia potencial é utilizar um método gráfico. Da definição de capacitância:

Q C   Q  C.U U

Conclui-se então que a função do gráfico é uma função linear, onde C é considerado uma constante.

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Energia armazenada por um Capacitor Considerando a área hachurada mostrada na ilustração anterior, podemos obter numericamente o valor total do trabalho elétrico realizado para carregar o capacitor, conseqüentemente teremos a energia elétrica armazenada no capacitor.

Como ,

b.h U .Q E    A   2 2 Q  C.U

Chega-se a expressão para o cálculo da energia elétrica armazenada em um capacitor:

UQ U .CU E E 2 2 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

CU 2 E 2 Prof. Marcos Cerqueira

Associação de Capacitores Quando falamos em circuitos elétricos, os capacitores são certamente dispositivos importantes nos mesmos. Além disso, é frequentemente útil construir circuitos com capacitores ligados entre si. E por isso importante saber qual a capacitância equivalente dessa associação. Existem essencialmente duas maneiras de conectar capacitores: em série ou em paralelo. ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE ASSOCIAÇÃO EM PARALELO

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Associação de Capacitores ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE Na associação em série a diferença de potencial entre os terminais do gerador é igual a soma das diferenças de potenciais em cada capacitor:

U eq  U1  U 2  ...  U n Já as cargas em todas as placas deve ser a mesma:

Qeq  Q1  Q2  ...Qn

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Associação de Capacitores Como

Q Q C  U  U C

Podemos substituir à equação

U eq  U1  U 2  ...  U n Qeq Q1 Q2 Qn    ...  Ceq C1 C2 Cn Como Qeq = Q1 = Q2 = Qn, chega-se à equação para o cálculo da capacitância equivalente (Ceq) de n capacitores em série:

1 1 1 1    ...  Ceq C1 C2 Cn 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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Associação de Capacitores ASSOCIAÇÃO EM PARALELO Os capacitores em paralelo têm em comum a mesma diferença de potencial:

U eq  U1  U 2  ...U n Já a carga total nas placas dos capacitores é igual a soma das cargas de cada capacitor:

Qeq  Q1  Q2  ...  Qn

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Associação de Capacitores Como

Q C   Q  CU U

Podemos substituir à equação

Qeq  Q1  Q2  ...  Qn

CeqU eq  C1U1  C2U 2  ...  CnU n Como Ueq = U1 = U2 = Un, chega-se à equação para o cálculo da capacitância equivalente (Ceq) de n capacitores em paralelo:

Ceq  C1  C2  ...Cn 3. POTENCIAL ELÉTRICO E CAPACITÂNCIA

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FIM!