Folleto de práctica

Práctica de Vectores

En este libro de prácticas se utilizan los conceptos del curso Física General I en muy diversos contextos; su propósito es contribuir al desarrollo de las habilidades y destrezas del estudiante para interpretar y utilizar el conocimiento.

Preguntas, Ejercicios y Problemas de Física General I Incluye las respuestas

Ernesto Montero Zeledón Dionisio Gutiérrez Fallas Escuela de Física, TEC

2014

0

Antes de resolver esta práctica se recomienda estudiar sus notas de clase y las secciones correspondientes en el libro de texto. Es importante desarrollar una estrategia para abordar los problemas. Generalmente, se recomiendan los siguientes pasos: a. Lea completamente el enunciado del problema. b. Identifique los principios o conceptos relacionados con el problema: el por qué se aplican, cuáles son las ecuaciones que sintetizan estos conceptos. c. Resuelva el problema organizadamente: dibuje un esquema de la situación planteada, establezca las condiciones iniciales, identifique las incógnitas, plantee las ecuaciones y evalúe los valores para encontrar las soluciones. En los casos que considere necesario, escriba observaciones para aclarar o justificar su razonamiento. Finalmente, verifique que la solución encontrada tiene sentido físico para el problema planteado.

“El genio se compone del dos por ciento de talento y del noventa y ocho por ciento de perseverante aplicación.” Ludwig van Beethoven

TABLA DE CONTENIDO Vectores............................................................................................................................ 1 Conceptos, componentes y operaciones básicas ................................................................. 1 I Parte: Asocie............................................................................................................... 1 II Parte: Preguntas conceptuales .............................................................................. 1 III Parte: Ejercicios ....................................................................................................... 2 IV Parte: Problemas ..................................................................................................... 3 V Parte: Desafío ........................................................................................................... 3 Cinemática I:.................................................................................................................... 4 Movimiento en una dimensión y gráficas ........................................................................... 4 I Parte: Asocie............................................................................................................... 4 II Parte: Preguntas conceptuales .............................................................................. 4 III Parte: Preguntas de selección única .................................................................... 5 IV Parte: Ejercicios ....................................................................................................... 6 V Parte: Problemas ...................................................................................................... 6 Cinemática II: .................................................................................................................. 9 Movimiento de caída libre, de proyectiles y relativo.......................................................... 9 I Parte: Asocie............................................................................................................... 9 II Parte: Preguntas conceptuales .............................................................................. 9 III Parte: Preguntas de selección única .................................................................. 10 IV Parte: Problemas ................................................................................................... 11 Leyes de Newton: ........................................................................................................ 13 Aplicaciones al movimiento de traslación y al movimiento circular................................ 13 I Parte: Preguntas conceptuales.............................................................................. 13 II Parte: Preguntas de selección única ................................................................... 13 III Parte: Ejercicios de selección única ................................................................... 14 IV Parte: Problemas ................................................................................................... 15 Figura 3 ..................................................................................................................... 16 Trabajo y energía: ........................................................................................................ 18 Trabajo, energía cinética y energía potencial ................................................................... 18 I Parte: Preguntas conceptuales.............................................................................. 18 II Parte: Preguntas de selección única ................................................................... 18 III Parte: Problemas ................................................................................................... 19 Figura 2 ..................................................................................................................... 20 Cantidad de movimiento, colisiones y centro de masa .................................... 21 I Parte: Preguntas conceptuales.............................................................................. 21 II Parte: Preguntas de selección única ................................................................... 21 III Parte: Problemas ................................................................................................... 22 Dinámica rotacional, momento angular y estática ............................................. 23 I Parte: Preguntas conceptuales.............................................................................. 23 II Parte: Preguntas de selección única ................................................................... 24 III Parte: Ejercicios de selección única ................................................................... 25 IV Parte: Problemas ................................................................................................... 25

RESPUESTAS

Vectores.......................................................................................................................... 29 Conceptos, componentes y operaciones básicas ............................................................... 29 I Parte: Asocie............................................................................................................. 29 II Parte: Preguntas conceptuales ............................................................................ 29 III Parte: Ejercicios ..................................................................................................... 30 IV Parte: Problemas ................................................................................................... 31 V Parte: Desafío ......................................................................................................... 31 Cinemática I ................................................................................................................... 32 Movimiento en una dimensión y gráficas ......................................................................... 32 I Parte: Asocie............................................................................................................. 32 II Parte: Preguntas conceptuales ............................................................................ 32 III Parte: Preguntas de selección única .................................................................. 33 IV Parte: Ejercicios ..................................................................................................... 33 V Parte: Problemas .................................................................................................... 34 Cinemática II .................................................................................................................. 37 Movimiento de caída libre, de proyectiles y relativo........................................................ 37 I Parte: Asocie............................................................................................................. 37 II Parte: Preguntas conceptuales ............................................................................ 37 III Parte: Preguntas de selección única .................................................................. 39 IV Parte: Problemas ................................................................................................... 39 Leyes de Newton: ........................................................................................................ 40 Aplicaciones al movimiento de traslación y al movimiento circular................................ 40 I Parte: Preguntas conceptuales.............................................................................. 40 II Parte: Preguntas de selección única ................................................................... 41 III Parte: Ejercicios de selección única ................................................................... 41 IV Parte: Problemas ................................................................................................... 42 Trabajo y energía: ........................................................................................................ 43 Trabajo, energía cinética y energía potencial ................................................................... 43 I Parte: Preguntas conceptuales.............................................................................. 43 II Parte: Preguntas de selección única ................................................................... 44 III Parte: Problemas ................................................................................................... 44 Momento lineal, colisiones y centro de masa ...................................................... 46 I Parte: Preguntas conceptuales.............................................................................. 46 II Parte: Preguntas de selección única ................................................................... 47 III Parte: Problemas ................................................................................................... 47 Dinámica rotacional, colisiones y centro de masa ............................................. 48 I Parte: Preguntas conceptuales.............................................................................. 48 II Parte: Preguntas de selección única ................................................................... 49 III Parte: Ejercicios de selección única ................................................................... 50 III Parte: Problemas ................................................................................................... 50

Vectores

1

Vectores Conceptos, componentes y operaciones básicas

I Parte: Asocie 1. El producto escalar de dos vectores paralelos. 2. La suma de vectores paralelos.

( ) Es un vector paralelo a los dos vectores originales. ( ) Es un vector que está en el plano que definen los vectores originales. ( ) Es un vector perpendicular a los dos vectores originales. ( ) Es igual a cero.

3. El producto vectorial de dos vectores perpendiculares. 4. El producto escalar de dos vectores perpendiculares. 5. El producto vectorial de dos vectores paralelos. 6. La suma de dos vectores cualesquiera.

( ) Es igual al producto de las magnitudes de los vectores originales. ( ) Es igual al vector nulo.

II Parte: Preguntas conceptuales 1.- ¿Cuál es la principal diferencia entre el producto vectorial (cruz) y el producto escalar (punto)? Explique 2.- La magnitud del vector suma y del vector resta de los mismos dos vectores no nulos,









generalmente es diferente: A  B  A  B . ¿Qué condición deben cumplir los dos vectores para que las magnitudes de la suma y resta de éstos sea la misma? (Sugerencia: analice los vectores paralelos y los vectores perpendiculares). 3.- Indique cuáles de las siguientes operaciones con vectores son posibles o imposibles de realizar y explique por qué:              (a) ( A  B)  C (c) ( A  B)  C (e) ( A  B)  C (g) ( A  B)  ( A  B)





 





(d) ( A  B)  C

(b) ( A  B)  C

 



(f) ( A  B)  C









(h) ( A  B)  ( A  B)



4.- Si un vector A tiene componentes Ax, Ay y Az todas positivas, ¿en qué casos la suma directa de sus componentes (Ax+ Ay + Az) es menor que la magnitud del vector (

 Ax2  Ay2  Az2 A )?, ¿en qué casos es igual?, ¿en qué casos es mayor?

Vectores

2

III Parte: Ejercicios 1.- Encuentre la magnitud y dirección de los siguientes vectores:



(a) A  4 iˆ  5 ˆj





(b) B  2 iˆ  3 ˆj



(c) C  5 iˆ  7 ˆj

(d) D  3 iˆ  6 ˆj

2.- Realice las siguientes sumas de vectores usando métodos gráficos. Indique la



magnitud y la dirección del vector resultante. Utilice los vectores: A  5 m, 35º  ,

   B  45 m, 197º  , C  18 m, 305º  y D  25 m, 208º  .

(a) A  B

(b) B  C

(c) C  D

(d) A  B  C  D

3.- Exprese los vectores del ejercicio anterior en coordenadas rectangulares utilizando los vectores unitarios iˆ y ˆj. Luego, utilizando la representación de los vectores en coordenadas rectangulares, realice las mismas sumas indicadas en dicho ejercicio de manera analítica (por componentes) y compare los resultados obtenidos. 4.- Utilizando los vectores del problema 1, realice las siguientes operaciones:





(a) A  B



 1  (b) C  D 5





(c) 2 A  3C





(d) 3B  4D  2 A

5.- A partir de los siguientes vectores determine:

 A  2iˆ  2 ˆj  3kˆ

 C  4iˆ  5 ˆj

 B  3 ˆj  2kˆ



 D  iˆ  ˆj  2kˆ















(a) El producto escalar entre los pares de vectores: A y B , A y C , A y D , B y C ,

    B y D y C y D.





















(b) El ángulo entre los pares de vectores: A y B , A y C , A y D , B y C , B y D y

  C y D.

       





 

            

(c) Los productos: A  B , C  D , A  B  C , A  B  C  D y A  B  A  B . (d) Determine dos vectores unitarios que sean perpendiculares al plano que definen   cada uno de los siguientes pares de vectores: A y B ,

      A y C , B y C y C y D.

⃗ 𝐵

6.- Basándose en la siguiente figura, indique cuál o cuáles de las siguientes opciones representa adecuadamente alguna de las relaciones vectoriales mostradas:

      (c) A  E  C       (e) B  D  A  C  F  A (a) A  B  C

        (d) D  A  F  A      (f) B  D  A  F  E (b) B  D  F  C

Vectores

3

IV Parte: Problemas 1.- Un ornitólogo observa un pájaro muy peculiar en la copa de un árbol de 25 m de altura. Si el árbol está a 43 m de distancia en la dirección noroeste, ¿Cuál es la distancia entre el ornitólogo y el pájaro? 2.- Un cierto día una paloma vuela hasta un bosque ubicado a 40 km al suroeste del pueblo en el que vivía. Al día siguiente la paloma vuela a otro pueblo ubicado a 80 km al sur del bosque. Determine lo siguiente: ¿Cuál fue el desplazamiento total de la paloma para volar de un pueblo a otro?, ¿cuál fue la distancia recorrida por la paloma?



3.- Si la suma de tres vectores velocidad es igual a D  (2iˆ  4 ˆj  6kˆ) m / s , siendo

  A  (2iˆ  2 ˆj  3kˆ) m / s y B  (10iˆ  2 ˆj  5kˆ) m / s dos de los vectores velocidad

sumados, determine las componentes del vector velocidad faltante.

V Parte: Desafío 1.- Un arquitecto, que prepara una decoración para una exposición en un museo, desea unir cuatro puntos de un salón formando un contorno cerrado con una cuerda roja de 22 m. Si los puntos que desea unir con la cuerda están dados por los vectores posición     A  (2 ˆj  3kˆ) m , B  (5iˆ  4kˆ) m , C  (6iˆ  5 ˆj  6kˆ) m y D  (4iˆ  3 ˆj  2kˆ) m , ¿le alcanzará la cuerda para unir los puntos? Justifique su respuesta.



2.- El trabajo W realizado por una fuerza constante F sobre un cuerpo que experimenta    un desplazamiento d , está dada por W  F  d . Si se sabe que se debe realizar un trabajo de 800 J con una fuerza de magnitud 500 N para realizar un desplazamiento  d  (4iˆ  7 ˆj ) m , ¿cuáles son las componentes de la fuerza en el plano xy?

Movimiento en una dimensión y gráficas

4

Cinemática I: Movimiento en una dimensión y gráficas Para resolver todos los ejercicios de esta práctica debe considerar únicamente el movimiento en una dimensión.

I Parte: Asocie 1. En el movimiento con aceleración constante 2. El área bajo la curva en la gráfica de aceleración contra tiempo 3. La pendiente en un punto de la gráfica de posición contra tiempo 4. En el movimiento con velocidad constante 5. El área bajo la curva en la gráfica de velocidad contra tiempo 6. La pendiente en un punto de la gráfica velocidad contra tiempo 7. Cuando la velocidad instantánea de un cuerpo aumenta con el tiempo es porque

( ) Es igual al cambio en la velocidad. ( ) Es igual a la velocidad instantánea en ese punto. ( ) Es igual a la aceleración instantánea en ese punto. ( ) La velocidad varía linealmente con el tiempo. ( ) La aceleración es cero. ( ) La aceleración tiene la misma dirección que la velocidad. ( ) Es igual al desplazamiento.

II Parte: Preguntas conceptuales 1.- En cinemática se utilizan tres tipos básicos de gráficas: aceleración contra tiempo, velocidad contra tiempo y posición contra tiempo. ¿Tienen sentido físico la pendiente y el área bajo la curva de las curvas que aparecen en todas ellas? Explique. 2.- ¿Es posible utilizar las ecuaciones de la cinemática del movimiento uniformemente acelerado cuando la aceleración es cero? Explique. Si se pudieran utilizar, ¿cómo quedarían las ecuaciones? Escríbalas. 3.- Según las ecuaciones de la cinemática, la aceleración con que se mueve un cuerpo afecta la velocidad de éste. A partir de esta afirmación, ¿es posible asegurar que cuando la aceleración tiene signo negativo la velocidad también lo debe tener? Justifique. 4.- ¿Qué indica el signo en: un desplazamiento, un cambio en la velocidad, una aceleración? Comente. 5.- Un cuerpo pasa por el origen de coordenadas con una velocidad positiva y con una aceleración negativa. Si la aceleración se mantiene constante, eventualmente el cuerpo: ¿Se detendrá?, ¿volverá a pasar por el origen? Comente.

Movimiento en una dimensión y gráficas

5

6.- ¿Existe alguna relación entre el signo de la velocidad instantánea y la dirección de movimiento?, ¿qué pasa con la velocidad media? Comente.

III Parte: Preguntas de selección única 1.- Si el desplazamiento que realiza un cuerpo es negativo para un determinado intervalo de tiempo, se puede afirmar que: (a) Su aceleración media es negativa. (b) Su velocidad instantánea es constante. (c) Su velocidad media es negativa. (d) Su aceleración instantánea es constante. 2.- Para un cuerpo que se mueve con aceleración constante desconocida, se sabe cuál es el valor de su velocidad inicial y de su desplazamiento total. A partir de esta información es posible determinar: (a) Únicamente la aceleración del cuerpo. (b) Únicamente el tiempo que ha estado en movimiento. (c) Únicamente la velocidad final del cuerpo. (d) No se puede determinar ni la aceleración, ni el tiempo que ha estado en movimiento ni la velocidad final. 3.- Para un cuerpo que parte del reposo y que se mueve con aceleración constante, se conoce el valor de su velocidad final y de su aceleración. A partir de esta información es posible determinar: (a) Únicamente el tiempo que ha estado moviéndose. (b) Únicamente la velocidad media del cuerpo. (c) Únicamente el desplazamiento del cuerpo. (d) Se pueden determinar el tiempo que el cuerpo ha estado en movimiento, su velocidad media y su desplazamiento. 4.- Indique cuál de los siguientes enunciados es falso: (a) En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado la aceleración media es igual a la aceleración instantánea. (b) En el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado la velocidad debe tener la misma dirección que la aceleración. (c) En el movimiento rectilíneo un cambio en la velocidad positivo indica que, al finalizar el movimiento, el cuerpo tiene una velocidad mayor que al inicio. (d) El término de velocidad en las ecuaciones de la cinemática se refiere a la velocidad instantánea.

Movimiento en una dimensión y gráficas

6

IV Parte: Ejercicios 1.- Para llegar a la cima de una gran roca, un escalador asciende una colina escarpada en tres etapas. En la primera etapa recorre 45 m y tarda 1,25 h. En la segunda etapa sube 35 m y tarda 40 min. En la tercera etapa recorre 30 m y tarda 1,5 h. Determine: (a) La velocidad media de ascenso de cada etapa. (b) La velocidad media de todo el ascenso. 2.- En una autopista recta un carro deportivo, que parte del reposo, acelera durante 3 min hasta que alcanza una rapidez de 80 km/h. Luego de 20 min de viajar con esa rapidez acelera durante 1 min hasta alcanzar los 110 km/h, rapidez que mantiene a lo largo de los 20 km que le faltan para llegar a su destino. Con esta información determine: (a) La aceleración media al ir del reposo a 80 km/h. (b) La aceleración media al pasar de 80 a 110 km/h. (c) La aceleración media desde que parte del reposo hasta el momento que alcanza los 110 km/h. (d) El tiempo total del viaje. (e) La distancia total recorrida y la velocidad media de todo el viaje. 3.- Un avión que viaja a 2 km de altitud sobre la línea del Ecuador da una vuelta a la Tierra en 24 h. El radio terrestre es RT= 6380 km. Tomando como referencia la superficie de la Tierra, determine: (a) ¿Cuál es la velocidad media del avión? (b) ¿Cuál es la rapidez media del avión? (c) ¿Cuál es el desplazamiento? (d) ¿Cuál es la distancia recorrida?

V Parte: Problemas 1.- Se lanzan dos ruedas desde lo alto de una gran cuesta. Ambas parten del reposo y se aceleran a razón de 0,5 m/s2, sin embargo, una se lanza 1,5 s antes que la otra. (a) Después de 10 s de soltar la segunda rueda, ¿cuál es la distancia entre ellas? (b) ¿Cuánto tiempo después de soltar la segunda rueda la separación entre ellas es 100 m? 2.- Un niño suelta una bola desde lo alto de una colina, la bola parte del reposo pero se acelera de modo constante a razón de 0,2 m/s2. El niño decide correr tras ella 2 s después de soltarla. (a) Si el niño corre, acelerando a razón de 0,5 m/s2, ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar la bola? (b) ¿Cuál debería ser la aceleración del niño para que alcance la bola 20 s después de que comienza a correr?

Movimiento en una dimensión y gráficas

7

3.- En una carrera de 1 km, dos carros parten del mismo punto, en el mismo instante y desde el reposo. El carro 1 mantiene una aceleración de 1,5 m/s2 hasta que alcanza una rapidez máxima de 160 km/h, mientras que el carro 2 mantiene una aceleración de 1,3 m/s2 hasta que alcanza una rapidez máxima de 180 km/h. Determine: (a) ¿Cuál de los dos carros gana la carrera? (b) ¿Cuál debería ser la longitud de la carrera para que los carros llegaran a la meta al mismo tiempo? 4.- Un carro verde circula por una autopista recta a 60,0 km/h. En un momento dado, un carro deportivo lo rebasa a una rapidez constante de 110,0 km/h. En ese instante el carro verde decide acelerar de forma constante hasta que su rapidez alcanza los 120,0 km/h, lo que consigue luego de 10,0 km de recorrido. Una vez alcanzada dicha rapidez, el carro verde deja de acelerar y espera hasta alcanzar el carro deportivo. Desde que el carro verde comienza a acelerar tarda 20,0 min en alcanzar el carro deportivo. Determine: (a) ¿Cuál es la aceleración del carro verde para ir de 60 km/h a 120 km/h? (b) ¿Cuál es la aceleración media del carro verde desde que acelera hasta que alcanza al carro deportivo? (c) ¿Cuánto se desplaza el carro verde desde el momento que llega a 120 km/h hasta que vuelve a alcanzar el carro deportivo? 5.- En una carrera de carros rápidos se da ventaja de 30 m a uno de los vehículos. Los dos carros arrancan a la vez con aceleraciones constantes. Cuando el carro que empezó atrás ha recorrido 133 m, alcanza al otro. Si la aceleración del carro más lento es 2,6 m/s2, determine: (a) El tiempo que tarda el carro más rápido en alcanzar al más lento. (b) La aceleración del carro más rápido. 6.- Un camión de carga circula por una carretera con una rapidez constante de 80 km/h. Un carro deportivo parte del reposo con aceleración constante en la misma dirección y en el mismo instante que el camión pasa a su lado. Si el carro deportivo tarda cuatro minutos en alcanzar al camión, encuentre lo siguiente: (a) ¿Cuál es la aceleración del carro deportivo? (b) ¿Cuánta distancia recorre el carro deportivo hasta el momento en que alcanza el camión? 7.- La siguiente gráfica de velocidad en función del tiempo (Figura 1) describe el movimiento de un cuerpo sobre el eje x. A partir de la información que aparece en ella, haga lo siguiente: (a) Construya la gráfica de posición contra tiempo y aceleración contra tiempo. (b) Determine el desplazamiento total y la distancia total recorrida. (c) Calcule la velocidad media para los intervalos de 2 s a 6 s y de 6 s a 12 s. (d) Encuentre la velocidad en t = 8 s y en t = 16 s.

Movimiento en una dimensión y gráficas

8

Vx (m/s)

6 4 2 0 -2 -4 -6

2

4

6

8

10

12

14

16

18

t (s)

Figura 1

8.- Durante el recorrido de un móvil, se obtiene la gráfica de velocidad en función del tiempo (Figura 2). Con base en la información suministrada por la gráfica, y suponiendo que parte del origen, realice lo siguiente: (a) Construya un gráfico de aceleración versus tiempo. (b) Construya un gráfico de posición versus tiempo. (c) ¿Qué distancia recorre el móvil los primeros 20 s? (d) ¿Cuál fue el desplazamiento total del móvil? (e) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el móvil? (f) ¿Cuál es la velocidad media del móvil para todo el intervalo?

Vx (m/s)

10 45 t (s)

15

20

40

-15 Figura 2

Movimiento de caída libre, de proyectiles y relativo

9

Cinemática II: Movimiento de caída libre, de proyectiles y relativo En los siguientes problemas debe considerar que en el movimiento en caída libre y de proyectiles la coordenada en la vertical se representa con el eje y positivo hacia “arriba” y la coordenada horizontal se representa con el eje x positivo “acostado” hacia la derecha sobre la superficie terrestre.

I Parte: Asocie 1. Si un cuerpo realiza un movimiento de proyectil y el tiempo que tarda en regresar a la altura inicial es t, el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima (respecto de t) 2. Si se desprecia la resistencia del aire el tiempo que tarda en caer un cuerpo desde una cierta altura 3. Si dos cuerpos son lanzados con velocidades distintas, lograrán el mismo alcance horizontal simultáneamente sólo cuando la componente horizontal de la velocidad 4. Si un cuerpo se mueve al Norte con una rapidez v, y otro cuerpo se mueve al Sur con igual rapidez, su rapidez relativa 5. Si un cuerpo se lanza desde lo alto de un edificio con un ángulo por debajo de la horizontal, su componente vertical de la velocidad

( ) Es el doble de la de cada cuerpo.

( ) Es la misma para ambos cuerpos.

( ) Es el mismo para todos los cuerpos, independientemente de su masa.

( ) Es la mitad.

( ) Es negativa.

II Parte: Preguntas conceptuales 1.- ¿La aceleración con la que cae un cuerpo no depende de la componente vertical de la velocidad inicial con que se lanza?, ¿depende el tiempo de caída de esta componente? 2.- Si dos objetos se sueltan desde el reposo desde dos ventanas de un edificio, una de las cuales está al doble de altura de la otra, ¿será el tiempo de caída del primer objeto el doble que el del segundo?, ¿cuál es la relación entre los tiempos? Justifique. 3.- ¿Qué condición deben cumplir las velocidades iniciales de dos cuerpos lanzados al aire para que alcancen la misma altura máxima?, ¿deben ser necesariamente iguales?, ¿alcanzarán la altura máxima al mismo tiempo? Comente.

Movimiento de caída libre, de proyectiles y relativo

10

4.- Si dos cuerpos lanzados al aire tienen el mismo alcance horizontal, ¿significa eso que su componente horizontal de la velocidad inicial es la misma?, ¿qué sucede con sus componentes verticales de la velocidad inicial? Comente. 5.- ¿Es posible entender el movimiento de proyectiles como la superposición de dos movimientos independientes: un movimiento horizontal con velocidad constante y otro movimiento vertical de caída libre? Explique. 6.- Dentro de un autobús que se mueve con una rapidez constante V por una carretera recta, una niña corre con rapidez constante desde el inicio hasta el final y viceversa. Un observador que ve la niña desde la orilla de la carretera, determina que a veces ella está quieta y otras se mueve con gran rapidez. ¿Cuál es la velocidad de la niña con respecto al autobús? Justifique.

III Parte: Preguntas de selección única 1.- Una piedra se lanza hacia arriba desde la azotea de un edificio. La piedra no cae en la azotea, sino que pasa cerca del borde y termina cayendo en la acera cinco pisos por debajo del punto de lanzamiento original. ¿Cuál de las siguientes opciones es correcta? (a) La piedra golpea en la acera con la misma rapidez con la que fue lanzada en la azotea. (b) En su camino de regreso, la piedra pasa por el borde de la azotea con la misma velocidad con la que fue lanzada. (c) El tiempo que la piedra tarda ascendiendo es el mismo que tarda descendiendo hasta la acera. (d) La rapidez con que la piedra golpea la acera es mayor que la rapidez con que fue lanzada. 2.- Cuando se desprecia la resistencia del aire, los objetos lanzados cerca de la superficie terrestre describen un movimiento parabólico. Con respecto a este tipo de movimiento señale cuál de las siguientes opciones siempre es correcta: (a) En el punto que alcanza la altura máxima, la velocidad es cero. (b) El desplazamiento horizontal es igual a dos veces el desplazamiento en la vertical. (c) La magnitud de la velocidad del proyectil es constante en todo momento. (d) La componente horizontal de la velocidad es constante en todo momento. 3.- Se sabe que cuando un objeto cae a partir del reposo desde la ventana de un edificio y se desprecia la resistencia del aire, se pueden utilizar las ecuaciones de la cinemática para caída libre. En este caso se puede afirmar que: (a) La aceleración del objeto depende de la velocidad con que fue lanzado. (b) La velocidad final del objeto depende de la altura de la ventana desde donde fue lanzado. (c) La dirección de la gravedad es opuesta a la dirección de movimiento. (d) La rapidez máxima se alcanza justo a la mitad del recorrido.

Movimiento de caída libre, de proyectiles y relativo

11

IV Parte: Problemas 1.- Un carro viaja en línea recta por una calle de 2,00 m de ancho con una rapidez constante de 20,0 m/s. Al acercarse a un cruce (Figura 1), el conductor del carro se percata de que un camión se acerca por una carretera recta de 3,00 m de ancho con una rapidez constante de 15,0 m/s y que no piensa detenerse. La parte delantera del carro se encuentra a 44,0 m del cruce y la parte delantera del camión a 30,0 m del cruce. El carro tiene 4,00 m de largo y 2,00 m de ancho mientras que el camión tiene 16,0 m de largo y 3,00 m de ancho. Utilizando esta información resuelva lo siguiente: (a) Si ninguno de los vehículos decide detenerse, ¿habrá una colisión?, ¿cuánto tiempo tardaría en producirse? (b) Determine el valor mínimo de la aceleración de frenado que debe tener el carro para no colisionar el camión. (c) Determine el valor mínimo de la aceleración que debe tener el carro para pasar por delante del camión.

 30,0 m



Figura 1

44,0 m

2.- Un doble de películas hace un salto desde un globo aerostático que se encuentra a 50,0 m de altura sobre el suelo y que lleva una velocidad ascendente constante de 1,00 m/s. Un colchón de aire de 6,00 m amortigua uniformemente su caída (su velocidad pasa del valor con que llega al colchón a velocidad cero cuando alcanza el nivel del suelo). Calcule: (a) El tiempo que tarda el doble en llegar desde el globo hasta la parte superior del colchón. (b) La magnitud y dirección de la aceleración del doble durante el amortiguamiento producido por el colchón. (c) El tiempo total que tarda el doble desde que salta hasta llegar al nivel del suelo. 3.- Un hombre colocado en el borde de un acantilado de 35,0 m de altura, lanza una piedra al mar a un ángulo sobre la horizontal de 30,0º. Si la piedra tarda en caer 4,00 s al mar, calcule: (a) La rapidez con que inicialmente fue lanzada la piedra. (b) La distancia horizontal que ha recorrido la piedra hasta que cae al mar. (c) La altura máxima sobre el nivel del mar que alcanza la piedra. 4.- Un barco navega hacia el Noreste con una rapidez de 40,0 km/h relativa al agua del golfo de Nicoya. Si el agua estaba en calma pero de repente la desembocadura de un gran río produce una corriente con una dirección 30,0º al Oeste del Sur de 15,0 km/h de rapidez, determine: (a) La dirección y rapidez con que se moverá el barco con respecto a la Tierra cuando aparece la corriente.

Movimiento de caída libre, de proyectiles y relativo

12

(b) El rumbo que debe tomar el barco para mantener su dirección y rapidez inicial de movimiento.

Leyes de Newton

13

Leyes de Newton: Aplicaciones al movimiento de traslación y al movimiento circular

I Parte: Preguntas conceptuales 1.- Si dos bloques de distinta masa se deslizan con la misma aceleración por un plano áspero inclinado, ¿eso quiere decir que el coeficiente de rozamiento entre ambos bloques y la superficie es el mismo? Demuestre su respuesta. 2.- La tercera ley establece que para toda fuerza de acción existe una fuerza de reacción, ¿debemos concluir de esta ley que toda fuerza tiene una “contrafuerza” asociada? De ser así, ¿cuál es la “contrafuerza” del peso de los objetos sobre la superficie terrestre?, ¿cuál es la “contrafuerza” de la fuerza normal? 3.- ¿Qué tipo de fuerzas deben colocarse en los diagramas de cuerpo libre?, ¿es necesario agregar las fuerzas que produce el cuerpo sobre los alrededores? Explique. 4.- ¿Es correcto decir que la fuerza de fricción que actúa sobre un cuerpo siempre se opone al movimiento de éste? Piense bien su respuesta. 5.- ¿Es siempre la fuerza normal perpendicular a la superficie sobre la que se apoya el cuerpo?, ¿es siempre la fuerza normal igual al peso del cuerpo?, ¿qué sucede si el cuerpo se apoya en una pared? Comente. 6.- Dentro de un autobús viajan varios pasajeros de pie. Si el chofer frena bruscamente ¿a qué se debe el movimiento brusco de los pasajeros que viajan de pie? Explique.

II Parte: Preguntas de selección única 1.- La segunda ley de Newton establece que: (a) La masa del cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre éste. (b) La velocidad de un cuerpo es constante sólo cuando no actúa ninguna fuerza externa sobre él. (c) La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él. (d) Todas las anteriores son correctas. (e) Ninguna de las anteriores es correcta. 2.- Cuando un cuerpo realiza un movimiento circular uniforme se puede afirmar que: (a) Presenta una aceleración distinta de cero pero una fuerza neta igual a cero. (b) Presenta una aceleración y una fuerza neta iguales a cero. (c) Realiza un movimiento acelerado en dirección perpendicular al desplazamiento. (d) El cuerpo experimenta una fuerza neta que aumenta uniformemente con el tiempo. (e) Ninguna de las anteriores.

Leyes de Newton

14

3.- En una autopista llana, el ángulo de peralte de una curva depende de: (a) La masa del vehículo y el radio de la curva. (b) La rapidez con que circulan los vehículos y de la masa de éstos. (c) El coeficiente de rozamiento estático de las llantas con la carretera y la masa del vehículo. (d) El radio de la curva y de la rapidez con que circulan los vehículos. (e) Ninguna de las anteriores es correcta. 4.- Sobre un baúl se colocan varias cajas pesadas llenas de libros. Por este motivo un hombre ya no puede continuar arrastrando el baúl. En consecuencia, se puede afirmar que: (a) Lo que impide arrastrar al baúl es una gran fuerza neta dirigida hacia abajo. (b) El coeficiente de rozamiento estático entre el baúl y el piso aumenta. (c) La fuerza de rozamiento estática máxima es mayor que la fuerza horizontal que puede ejercer el hombre. (d) El baúl permanecerá en reposo pues el hombre no es lo suficientemente fuerte como para superar la fuerza neta. (e) La fuerza horizontal que ejerce el hombre sobre el baúl es menor que el peso combinado del baúl y las cajas de libros.

III Parte: Ejercicios de selección única 1.- Un primer niño tira de su carrito de masa m con una fuerza F, ello provoca que el carrito adquiera una aceleración a. Si un segundo niño puede tirar del carrito con una fuerza máxima tres veces mayor a la que aplica el primer niño, la máxima aceleración que puede alcanzar el carrito es: (a) F/3m (b) 3F/m (c) a (d) 3F/am (e) a/3 2.- Por una superficie plana inclinada, se desliza un bloque de metal de 2,00 kg a causa de su peso con una aceleración de 5,00 m/s2. Si no hay fricción entre la superficie y el bloque, el ángulo de inclinación de la pendiente es: (a) 2,92º (b) 30,7º (c) 27,3º (d) 59,3º (e) 27,0º

Leyes de Newton

15

3.- Un bloque en reposo sobre una superficie con ángulo de inclinación ajustable, comienza a deslizarse cuando el ángulo de inclinación alcanza 43º. Por lo tanto, se deduce que el coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la superficie inclinada es: (a) 0,43 (b) 1,43 (c) 0,75 (d) 0,93 (e) 0,68 4.- El peso de un cohete espacial en un planeta recién colonizado es 15700 N. El peso de ese mismo cohete en la Tierra es 18000 N. Por lo tanto, la gravedad en el planeta colonizado es: (a) 9,8 m/s2 (b) 8,72 m/s2 (c) 8,55 m/s2 (d) 11,23 m/s2 (e) 1,15 m/s2 5.- Marte es un planeta más pequeño que la Tierra, por lo que la gravedad ahí es más pequeña (gMarte=3,70 m/s2). En la Tierra el cable de una grúa puede soportar una carga máxima de 2,00 kN, la carga máxima que soporta dicho cable en Marte es: (a) 2,00 kN (b) 540 N (c) 7,40 kN (d) 5,30 kN (e) 755 N

IV Parte: Problemas 1.- Un bloque A de masa m, se halla en contacto con un bloque B de masa 3m sobre una superficie horizontal con coeficiente de rozamiento cinético de 0,25 para los dos bloques. Sobre el bloque A actúa una fuerza horizontal de 28 N que presiona dicho bloque contra el B. En sentido contrario actúa una fuerza de 39 N que presiona al bloque B contra el A (Figura 1). Si la aceleración de los dos bloques es 0,2 m/s2, determine lo siguiente: (a) La masa de cada bloque. (b) La dirección en la que se mueven los bloques.

F1

A

B

F2 Figura 1

2.- Cuando dos fuerzas opuestas actúan sobre dos bloques como se muestra en la Figura 1, el sistema se acelera hacia la derecha. Si se añade un lubricante la aceleración del sistema es 1,35 m/s2 y si no se agrega lubricante (se mueve con fricción) la aceleración es de 0,450 m/ s2. Sabiendo que la masa del bloque A es 5,00 kg, la masa bloque B es 8,00 kg y la fuerza F1 es de 430 N, determine lo siguiente:

Leyes de Newton

16

(a) La magnitud de la fuerza F2 cuando no hay fricción. (b) El coeficiente de rozamiento cinético cuando el sistema presenta fricción. 3.- Una fuerza horizontal F actúa sobre la caja A moviéndola hacia arriba, como se muestra en la Figura 2. Considerando que el plano tiene una inclinación de 30º con la horizontal, la masa de la caja A es 3,00 kg, la masa de la caja B es 6,00 kg y el coeficiente de rozamiento cinético entre las cajas y la superficie inclinada es 0,250. Encuentre: (a) La magnitud de la aceleración del sistema de dos cajas cuando la fuerza F = 150 N. (b) La magnitud de F para que las cajas se muevan con rapidez constante hacia arriba del plano.

B F

A Figura 2

4.- Sobre un plano inclinado 53º con respecto a la horizontal yace un bloque A de 2,50 kg que es jalado por una cuerda (que pasa por una polea) que está sujeta a un contrapeso B de masa m que cuelga, como lo muestra la Figura 3. Considerando un coeficiente de rozamiento estático y cinético entre el bloque A y la superficie inclinada de 0,32 y de 0,25, respectivamente, determine: (a) La masa máxima del bloque B tal que el bloque A permanezca en reposo. (b) La aceleración de los bloques una vez iniciado el movimiento, si la masa del bloque B es el doble que la masa del bloque A.

B

A

Figura 3

5.- Una curva circular plana de una autopista tiene un peralte de 25º, el cual es recomendado (la fuerza de rozamiento estática lateral es cero) cuando los vehículos se desplazan con una rapidez de 30,0 m/s. Encuentre lo siguiente: (a) El radio de la curva plana de la autopista. (b) La velocidad máxima a la que pueden circular los vehículos por esa curva si el coeficiente de rozamiento estático es 0,32 y el radio de la curva es 200 m. 6.- En un avión de exhibiciones, un piloto de 75,0 kg de masa, realiza un “lazo” circular vertical completo de 200 m de radio. En la parte superior del lazo la rapidez del avión

Leyes de Newton

17

es de 70,0 m/s, mientras que en la parte inferior su rapidez es de 140,0 m/s. Determine lo siguiente: (a) La fuerza que el asiento ejerce sobre el piloto en la parte superior del lazo. (b) La fuerza que el asiento ejerce sobre el piloto en la parte inferior del lazo. (c) La rapidez que debería tener el avión en la parte superior del lazo de modo que la fuerza que ejerce el asiento sobre el piloto sea cero.

Trabajo y energía

18

Trabajo y energía: Trabajo, energía cinética y energía potencial

I Parte: Preguntas conceptuales 1.- Durante el estudio de las leyes de Newton las fuerzas se clasificaron como fuerzas de contacto y fuerzas de distancia (fuerzas de campo). Ahora, para el estudio la energía mecánica total de un sistema las fuerzas se clasifican como fuerzas conservativas y fuerzas no conservativas. ¿A qué se debe esta nueva clasificación? 2.- El trabajo que realiza una fuerza constante se define como el producto escalar entre el vector fuerza y el vector desplazamiento: ¿Qué influencia tiene el ángulo entre estos dos vectores en el signo del trabajo que realiza la fuerza?, ¿para qué ángulos el trabajo que realiza una fuerza es cero? 3.- ¿Toda fuerza que se ejerce sobre un cuerpo que se desplaza tiene asociada un trabajo? 4.- ¿Cuál es la fuerza que realiza el trabajo neto? ¿Se puede decir que el trabajo neto sobre un cuerpo también es igual a la suma de todos los trabajos que realizan las fuerzas individuales sobre ese cuerpo? 5.- El trabajo que realiza un resorte sobre una masa unida a uno de sus extremos puede ser positivo o negativo, dependiendo de la dirección de la fuerza y del desplazamiento de la masa. Brinde un ejemplo de cada caso. Coméntelo. 6.- La energía cinética de un cuerpo depende de la rapidez con que éste se mueve. ¿Depende también de la dirección de movimiento? Si la respuesta es no, entonces ¿Considera usted que un cuerpo que se mueve hacia el norte puede tener la misma energía de un cuerpo que se mueve hacia el Este? 7.- Cuando sobre un cuerpo sólo actúan fuerzas conservativas, ¿es correcto afirmar que el trabajo neto es igual al cambio negativo de la energía potencial del cuerpo? 8.- ¿En qué caso se puede afirmar que el cambio negativo de la energía potencial de un cuerpo que se mueve no es igual al cambio de la energía cinética?

II Parte: Preguntas de selección única 1.- El trabajo realizado sobre un cuerpo por una fuerza externa es igual a cero cuando (a) la fuerza es opuesta al desplazamiento. (b) la fuerza ejercida sobre el cuerpo es constante. (c) la fuerza no es constante. (d) la fuerza es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo y energía

19

2.- Indique cuál de los siguientes enunciados es correcto: (a) En el movimiento circular uniforme el trabajo hecho por la fuerza centrípeta es cero. (b) El trabajo que realiza la fuerza normal que actúa sobre un cuerpo siempre es cero. (c) El trabajo que realiza la gravedad sobre un objeto que sube una cuesta es positivo. (d) El trabajo que realiza toda fuerza fricción es negativo cuando el coeficiente de rozamiento cinético es menor que el estático. 3.- El teorema del trabajo y la energía es correcto (a) sólo cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son constantes. (b) sólo cuando las fuerzas que actúan sobre un cuerpo son conservativas. (c) sólo cuando el cambio en la energía cinética del cuerpo es cero. (d) siempre. 4.- Cuando actúa una fuerza de fricción en el desplazamiento de un cuerpo, se puede afirmar con certeza que: (a) la energía mecánica total del sistema se conserva. (b) el cambio en la energía potencial es igual al cambio en la energía cinética. (c) el cambio en la energía mecánica total del sistema es igual al trabajo neto. (d) el trabajo realizado por la fricción es igual al cambio en la energía mecánica total del sistema.

III Parte: Problemas 1.- Una fuerza de 85,0 N, que forma un ángulo de 37,0° sobre la horizontal, tira de un baúl de 80,0 kg una distancia de 12,0 m sobre una superficie horizontal con fricción. Si la rapidez inicial del bloque es 3,00 m/s y el trabajo neto sobre el bloque es 543 J, determine: (a) El trabajo hecho por la gravedad y por la fuerza normal. (b) El trabajo hecho por la fuerza de rozamiento. (c) El coeficiente de rozamiento entre la superficie y el bloque. (d) La rapidez final del bloque. 2.-- Un bloque de 5,00 kg es impulsado, sobre un plano horizontal sin fricción, por un resorte de constante 23,0 kN/m que se había comprimido previamente 8,30 cm. Luego que el bloque recorre 3,00 m sobre dicho plano, asciende por un plano inclinado 25,0° por encima de la horizontal. Si el coeficiente de rozamiento entre el plano inclinado y el bloque es de 0,100, determine lo siguiente: (a) La rapidez con que el bloque llega a la base del plano inclinado. (b) La distancia máxima que asciende el bloque sobre el plano inclinado. (c) ¿Cuánto se comprime el resorte una vez que el bloque ha descendido por el plano inclinado, después de haber alcanzado su altura máxima?

Trabajo y energía

20

3.- Una fuerza F de 180 N, que forma un ángulo de 30,0º sobre la horizontal, tira de un bloque de masa 34,0 kg (Figura 1). Si esta fuerza arrastra al bloque hacia arriba del plano a lo largo de 28,0 m sobre una superficie inclinada 20,0º con respecto a la horizontal y el bloque se mueve con velocidad constante, determine: (a) El trabajo realizado por la fuerza de gravedad. (b) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. (c) El trabajo realizado por la fuerza neta sobre el bloque.

F

Figura 1 4.- Un niño se lanza por un tobogán plano sin fricción desde una altura de 6,00 m. Si el niño tiene una masa de 40,0 kg y su rapidez inicial es de 1,00 m/s. Determine: (a) El trabajo hecho por la gravedad sobre el niño. (b) La rapidez del niño cuando alcanza la base del tobogán. (c) El trabajo neto realizado sobre el niño. 5.- Sobre un plano, inclinado 53,0º por encima de la horizontal, un bloque A de 5,00 kg asciende jalado por una cuerda (que pasa por una polea) unida a un contrapeso B de masa m que cuelga (Figura 2). Considerando que el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque A y la superficie inclinada es 0,320, determine: (a) El trabajo hecho por las fuerzas no conservativas (fricción) cuando el bloque B ha descendido 1,20 m. (b) La rapidez con que el bloque B golpea el suelo.

B 1,20 m

A Figura 2

Cantidad de movimiento, colisiones y centros de masa

21

Cantidad de movimiento, colisiones y centro de masa I Parte: Preguntas conceptuales 1.- El vector cantidad de movimiento de una partícula se define como el producto de la masa por su velocidad. Sin embargo, el vector cantidad de movimiento también se define para sistemas de partículas. ¿Puede existir un sistema formado por muchas masas en movimiento en donde el vector cantidad de movimiento del sistema sea igual a cero? En este caso, ¿cómo debe ser el movimiento relativo de las masas de un sistema formado por dos cuerpos en movimiento?

2.- La cantidad de movimiento es un vector muy importante en la resolución de problemas de mecánica. Una de las áreas en que más se aplica es en el análisis de colisiones, ¿podría explicar por qué razón la conservación de la cantidad de movimiento se aplica a las colisiones?, ¿cuáles son las aproximaciones involucradas en la aplicación de este principio de conservación?

3.- Explique brevemente cuáles son los tres tipos de colisiones que se estudian en este curso y en qué se caracteriza cada una de ellas.

4.- Si la fuerza neta que actúa sobre un sistema de partículas es cero, el sistema es equivalente a un sistema aislado, en tal caso ¿qué se puede decir de la cantidad de movimiento del sistema?, ¿qué se puede afirmar respecto de la velocidad del centro de masa?

5.- Si para un sistema de partículas aislado la velocidad del centro de masa es cero, ¿esto tiene alguna consecuencia particular respecto de la posición del centro de masa?

II Parte: Preguntas de selección única 1.- Una bola de billar colisiona elásticamente con otra, inicialmente en reposo, de forma frontal. Después del choque la bola que estaba quieta, se mueve en la misma dirección y con la misma rapidez con la que la golpeó la primera. Si las dos bolas tienen igual masa, se puede afirmar que después de la colisión la primera bola: (a) Se mueve en dirección contraria a la que venía. (b) Continúa en la misma dirección con que golpeó la segunda bola. (c) Permanece en reposo en el punto de la colisión. (d) Se mueve con ángulo recto respecto de la dirección inicial.

2.- Se puede afirmar que después de que dos cuerpos colisionan de forma perfectamente inelástica: (a) Se conserva la energía pero no la cantidad de movimiento. (b) Los cuerpos quedan unidos pero la cantidad de movimiento no se conserva. (c) No se conserva la energía ni la cantidad de movimiento. (d) No se conserva la energía y los cuerpos quedan unidos.

Cantidad de movimiento, colisiones y centros de masa

22

3.- Una forma empírica de determinar el centro de masa de un cuerpo homogéneo es suspenderlo de dos puntos distintos y encontrar el punto de intersección de las rectas verticales imaginarias que pasan por cada punto, trazadas cuando el cuerpo estaba suspendido. Por lo tanto, para un cuerpo que tiene un cierto eje de simetría es posible asegurar que: (a) El centro de masa del cuerpo no debe pasar por el eje de simetría. (b) El centro de masa del cuerpo debe estar en un punto del eje de simetría. (c) El centro de masa a veces pasa por el eje de simetría. (d) El centro de masa es una línea que coincide con el eje de simetría.

III Parte: Problemas 1.- Un disco de “Hockey” colisiona contra otro disco de igual masa, inicialmente en reposo, sobre una superficie sin fricción. El primer disco tiene una velocidad antes de la colisión v1i=(2i+3j)m/s. Si después de la colisión el segundo disco sale con una velocidad v2f= 2 m/s j, determine: (a) La dirección y rapidez del primer disco después de la colisión. (b) El tipo de colisión entre los discos. (c) El ángulo que forman los dos discos luego de la colisión. (d) El cambio fraccionario de la energía perdida durante la colisión.

2.- Un carro de 1200 kg se salta un semáforo en un cruce de vías y choca contra un camión de 3500 kg de forma totalmente inelástica. La dirección con que viajan los vehículos antes de la colisión es mutuamente perpendicular y después de la colisión es de 20,0º respecto de la dirección original del camión. Si la rapidez inicial del camión antes de la colisión es 32,0 m/s, determine: (a) La rapidez del carro antes de la colisión. (b) La rapidez de los vehículos después de la colisión. (c) Si la colisión es inelástica.

3.- Una panga de 7,00 m de longitud y de 150,0 kg de masa se halla en reposo junto al muelle de un lago. Dentro de la panga hay dos personas sentadas en los extremos de ésta, una de ellas de 55,0 kg y la otra de 70,0 kg. Si las fuerzas de fricción entre la panga y el agua son despreciables: (a) ¿A qué distancia está el centro de masa del sistema (la panga más las personas) respecto del centro de la panga? (b) Si las dos personas caminan hasta el centro de la panga, ¿Cuánto se desplaza el centro de masa del sistema? (c) Si las dos personas caminan hasta el centro de la panga, ¿Cuánto se desplaza la panga y hacia qué lado lo hace: el de la persona más ligera o el de la persona más pesada?

Dinámica rotacional, momento angular y estática

23

Dinámica rotacional, momento angular y estática I Parte: Preguntas conceptuales 1.- La energía cinética total de un cuerpo se puede dividir en dos, energía cinética 1 2

1 2

traslacional ( mv2 ) y energía cinética rotacional ( I 2 ). El cálculo de la energía cinética traslacional depende de la rapidez con que se desplace el centro de masa del cuerpo mientras que la energía cinética rotacional depende de la rapidez angular con que gire éste respeto de un eje que pase por el centro de masa. ¿Son independientes estas energías?, ¿se puede presentar una sin que lo haga la otra?

2.- En algunas ocasiones se establece la siguiente analogía: “el momento de inercia es al movimiento rotacional como la masa al movimiento traslacional”. ¿Es correcta esta afirmación?

3.- ¿Por qué en un sistema de dos bloques unidos por una cuerda que pasa por una polea con masa, es incorrecto afirmar que la tensión en la cuerda es la misma a ambos lados de la polea?

4.- El “Principio de la Palanca” fue desarrollado por el gran científico griego Arquímedes (s. III a.C.). Este principio encierra la noción de “torque” o “momento de torsión” y gracias a éste se desarrollaron muchos mecanismos ingeniosos para levantar grandes pesos con pequeños esfuerzos. Actualmente, el torque de una fuerza se define como el producto vectorial del vector posición de la fuerza, respecto del eje    rotación con la fuerza (   r  F ). Otra definición que también se utiliza establece que el torque de una fuerza es igual a la magnitud de la fuerza multiplicada por el “brazo de palanca” y que la dirección del torque sigue la regla de la mano derecha. ¿Puede demostrar que ambas definiciones son equivalentes?

5.- Para una cierta fuerza constante (F) ejercida sobre un cuerpo rígido a una cierta distancia fija del eje de rotación (d), responda lo siguiente: ¿En qué caso el torque producido por la fuerza es cero?, ¿en qué caso el torque producido por la misma fuerza es máximo?

6.- ¿Por qué cuando el torque neto sobre un cuerpo es cero, el momento angular del sistema es constante?, ¿para qué el momento angular del sistema sea constante también tiene que ser cero la fuerza neta?

7.- ¿Por qué cuando un patinador sobre hielo da vueltas con los bazos extendidos gira más lento que cuando lo hace con los brazos recogidos?

8.- ¿Cuáles son las dos condiciones básicas de la estática?, ¿Por qué no es suficiente con que la fuerza neta sea cero? Explique.

Dinámica rotacional, momento angular y estática

24

II Parte: Preguntas de selección única 1.- Dos cuerpos de igual masa descienden por la misma pendiente partiendo del reposo, uno lo hace deslizándose sin rozamiento y el otro lo hace rodando. En tal caso, el tiempo que tardan los cuerpos en llegar a la base de la pendiente es: (a) Menor para el cuerpo que se desliza. (b) Mayor para el cuerpo que se desliza. (c) Igual para ambos cuerpos. (d) Imposible saberlo con los datos que se brindan.

2.- Se hacen rodar tres objetos (una moneda, un anillo y una canica) de igual masa y radio por un plano inclinado. Si los tres cuerpos parten del reposo, se puede asegurar que el orden de llegada a la base del plano será: (a) Moneda, anillo, canica. (b) Canica, anillo, moneda. (c) Anillo, moneda, canica. (d) Canica, moneda, anillo.

3.- Cuando se analizan los sistemas de dos masas unidas por una cuerda, que a su vez pasa por una polea con masa, se debe considerar que las tensiones de la cuerda a ambos lados de la polea son distintas. Ello se debe a que: (a) La fricción de la cuerda con la polea no es despreciable. (b) La masa de la cuerda no es despreciable. (c) La masa de la polea no es despreciable. (d) La tensión de la cuerda es despreciable.

4.- Cuando se realiza la suma de torques sobre un cuerpo rígido en reposo, esta se puede hacer respecto de cualquier eje de rotación. Esta libertad para escoger el eje se debe a que: (a) El objeto siempre girará respecto del centro de masa del cuerpo. (b) Todos los ejes que se puedan escoger son ejes que pasan por el centro de masa. (c) El torque neto sobre el cuerpo es cero. (d) El movimiento del cuerpo depende del sistema inercial de referencia.

5.- Un satélite espacial está compuesto por tres módulos de masas iguales (acoplados en serie sobre el eje de rotación), que giran con rapidez angular constante ωo en sentido horario. Si en un cierto instante los tres módulos se desacoplan y dos de ellos girarán en sentido horario con una rapidez 2ωo. Se puede asegurar que el tercero girará con: (a) Una rapidez angular mayor que los otros y con sentido de giro opuesto. (b) Una rapidez angular menor que los otros y en el mismo sentido de giro. (c) Una rapidez angular menor que los otros y con sentido de giro opuesto. (d) La misma rapidez angular que los otros pero sentido de giro opuesto.

Dinámica rotacional, momento angular y estática

25

III Parte: Ejercicios de selección única 1.- Tres discos de sección circular se sueltan simultáneamente desde lo alto de un plano inclinado y descienden rodando la misma distancia. Si los discos poseen un momento 1 de inercia respecto de un eje que pasa por su centro de masa I c  MR 2 y si el disco 2 1 tiene masa M y radio 2R, el disco 2 masa M y radio R y el disco 3 masa 2M y radio R, los cuerpos llegarán a la base del plano en el siguiente orden: (a) Llega primero el disco 2, de segundo el disco 3 y finalmente el disco 1. (b) Todos los discos llegan a la vez. (c) Llega primero del disco 1, después el disco 2 y finalmente el disco 3. (a) El último es el disco 3, después el disco 1 y al final el disco 2.

2.- El teorema de los ejes paralelos establece que el momento de inercia de un cuerpo se puede calcular en otro eje, paralelo al primero, conociendo la distancia entre los ejes, la masa del cuerpo y el momento de inercia en el centro de masa. Si el momento de inercia de un cuerpo de 5,00 kg, en un eje que pasa a 2,00 m de su centro de masa es 45,0 kg m2, ¿cuál es el momento de inercia del mismo cuerpo para un eje paralelo al primero que pasa a 3,00 m del centro de masa? (a) 20,0 kg m2 (b) 45,0 kg m2 (c) 70,0 kg m2 (d) 65,0 kg m2

3.- Una barra uniforme de masa M y longitud 6L, que además tiene pegada una esfera rellena uniforme de masa M y radio L, gira con respecto a un eje perpendicular a la barra, que pasa a una distancia L de su centro de masa. Si la superficie de la esfera está pegada en el extremo de la barra que está más alejada del eje de rotación, el momento de inercia del sistema barra-esfera, está dado por: (a) 30 ML2. (b) (147 ML2)/5. (c) (102 ML2)/5. (d) 20 ML2.

IV Parte: Problemas 1.- Un sistema rígido compuesto por cuatro esferas unidas por varillas ligeras, está aislado en el espacio. La primera esfera de 2,00 kg está en el punto (x, y) = (2, 3) m, la segunda de 3,00 kg está en el punto (-2, 2) m, la tercera de 4,50 kg está en el punto (1, 1) m y finalmente la cuarta de 2,50 kg está en el punto (-1, 4) m. Si sobre la masa de 2,00 kg actúa una fuerza de 12,0 N en la dirección positiva de las x, y sobre la masa de 4,5 kg actúa una fuerza de 32,0 N en la dirección negativa de las y. Determine lo siguiente: (a) La posición inicial del centro de masa del sistema. (b) La aceleración inicial del centro de masa. (c) El momento de inercia para un eje que es perpendicular al plano xy y que pasa por el centro de masa. (d) La aceleración angular inicial del sistema respecto a dicho eje.

Dinámica rotacional, momento angular y estática

26

1 2 rodando sin deslizarse por un plano inclinado un ángulo φ sobre la horizontal, tirando a su vez de un bloque de masa Mb con ayuda de un yugo (de masa despreciable) engarzado a su eje. Si el cilindro rueda sin deslizarse sobre la superficie y el coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y la superficie es μ: (a) Deduzca la expresión para aceleración lineal del sistema. (b) Determine el valor de la aceleración lineal suponiendo que M=3Mb, que φ=20º y que μ=0,25.

2.- Un cilindro de masa M y radio R, con momento de inercia I c  MR 2 , desciende

3.- Un cilindro de masa Mc y radio Rc, reposa sobre una mesa con una cuerda enrollada como se muestra en la figura adjunta. Dicha cuerda pasa por una polea de masa Mp y radio Rp de la que pende un bloque de masa Mb. Si el sistema parte del reposo y el cilindro rueda sin deslizar sobre la superficie, determine: (Resuelva por sumatoria de torques y fuerzas) (a) La aceleración de la masa que pende. (b) Las dos tensiones de la cuerda. (c) El valor de la aceleración y las tensiones cuando Mc =5,00 kg, Mp =1,50 kg y Mb =3,00 kg.

4.- Un sistema compuesto por dos masas y una polea con masa parte del reposo como se muestra en la figura adjunta. Sabiendo que el radio de la polea es d= 0,20 m y su masa m =0,60 kg, que las masas están dadas por M1= 2m y M2= 5m, y que la altura inicial sobre el piso de la masa M2 es 3d. Determine: (a) La aceleración lineal de las masas. (b) La aceleración angular de la polea. (c) La velocidad con que la masa M1 golpea el piso.

M2

M1

5.- Un sistema de doble polea como el que se muestra en la figura adjunta, se utiliza para subir cuerpos pesados aplicando pequeñas fuerzas F1. Los radios de la polea compuesta son R1=20,0 cm y R2= 65,0 cm, y su momento de inercia respecto del eje es 6,00 kg m2. Determine: (a) La mayor masa M que se puede elevar con una fuerza de 600 N (peso de una persona). (b) El peso de la masa M del objeto, sabiendo que bajo la acción de una fuerza F1= 250 N se produce una aceleración de la masa en la dirección hacia arriba de 0,160 m/s2.

R2 R1 F1 M

Dinámica rotacional, momento angular y estática

27

6.- Una barra uniforme de 100,0 kg y de

x 1,5 m 8,00 m de longitud se coloca sobre dos soportes A y B, separados 3,50 m, como se muestra en la figura adjunta. A B Si sobre la barra se coloca una caja de 40,0 kg, determine: (a) ¿Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes sobre la barra cuando la caja se coloca encima del centro de masa de la barra? (b) ¿Cuál es la mínima distancia al borde (x) en la que se puede colocar la caja sin que la barra gire? (c) ¿Cuáles son las fuerzas que ejercen los soportes sobre la barra para el caso anterior?

7.- Una barra de 3,00 m y de 35,0 kg está unida a una pared por una bisagra, tal como lo muestra la figura adjunta. La barra se mantiene en posición horizontal gracias a una cuerda unida al techo que soporta una tensión máxima de 500 N. Si se cuelga una masa de 15,0 kg de la barra, determine: (a) ¿Cuál es la máxima distancia desde la pared (x) a la que la masa puede ser colgada? Para el caso anterior: (b) ¿Cuáles son las fuerzas de reacción horizontal y vertical de la bisagra sobre la barra? (c) ¿Cuál es la tensión en la cuerda?

67º x

Respuestas

Respuestas

28

Respuestas

29

Vectores Conceptos, componentes y operaciones básicas

I Parte: Asocie 1. El producto escalar de dos vectores paralelos 2. La suma de vectores paralelos 3. El producto vectorial de dos vectores perpendiculares 4. El producto escalar de dos vectores perpendiculares 5. El producto vectorial de dos vectores paralelos 6. La suma de dos vectores cualesquiera

( 2 ) Es un vector paralelo a los dos vectores originales ( 6 ) Es un vector que está en el plano que definen los vectores originales ( 3 ) Es un vector perpendicular a los dos vectores originales ( 4 ) Es igual a cero ( 1 ) Es igual al producto de las magnitudes de los vectores originales ( 5 ) Es igual al vector nulo

II Parte: Preguntas conceptuales 1.- La principal diferencia es que el producto vectorial da por resultado un tercer vector, mientras que el producto escalar da por resultado un escalar. 2.- Resolvamos el problema de forma intuitiva, pues de forma analítica es más largo. La experiencia demuestra que unas veces la resta de dos vectores tiene una magnitud mayor que su suma, mientras que en otras ocasiones la suma tiene una magnitud mayor. La resta de dos vectores tiene una magnitud mayor que la suma cuando el ángulo entre los vectores es mayor a 90º (este aspecto se puede entender con facilidad realizando un dibujo), mientras que la suma es mayor cuando el ángulo es menor a 90º. Sin embargo, cuando los vectores son perpendiculares (el ángulo es 90º) tanto la suma y la resta tienen igual magnitud, que mediante la representación gráfica de los vectores se puede observar pues la hipotenusa siempre tendrá los mismos catetos. 3.(a) Posible (b) Posible

(c) Posible (d) Imposible

(e) Posible (f) Imposible

(g) Posible (h) Posible

4.- Es imposible que la suma de los componentes de un vector sea menor que la magnitud del vector. Esto se puede observar gráficamente pues las componentes de un vector se pueden asociar con los lados de un paralelepípedo mientras que su magnitud se puede asociar con su diagonal principal, de lo cual resulta evidente que la magnitud nunca podrá ser mayor que la suma de las componentes, en otras palabras:

Ax2  Ay2  Az2  Ax  Ay  Az

Respuestas

30

Lo anterior equivale a decir que la suma de las componentes será mayor que la magnitud del vector. Se debe hacer la salvedad de que existen básicamente dos casos extremos en los que la suma de las componentes es igual a la magnitud. Uno de estos es cuando todas las componentes son cero, el otro caso es el vector en el que dos de sus componentes son cero.

III Parte: Ejercicios 1.- Las magnitudes y direcciones de los vectores son: (a) A  41  6,403 ;  A  51,34º

(c) C  74  8,602 ;  C  234,36º

(b) B  13  3,606 ;  B  123,69º

(d) D  45  6,708 ;  D  296,56º

2 y 3.- En coordenadas cartesianas (rectangulares) los vectores se expresan como:

 A  (4,096iˆ  2,868 ˆj ) m  C  (10,324iˆ  14,745 ˆj ) m









 B  (43,034iˆ  13,157 ˆj ) m  D  (22,074iˆ  11,737 ˆj ) m 







(a) A  B  (38,938iˆ  10,289 ˆj ) m

(c) C  D  (11,750iˆ  26,482 ˆj ) m

(b) B  C  (32,718iˆ  27,902 ˆj ) m

(d) A  B  C  D  (50,688iˆ  36,771 ˆj ) m





4.- Los resultados de las operaciones se muestran a continuación:

  D 28 ˆ 29 ˆ i j (b) C    5 5 5   (d) 3B  4D  2 A  10iˆ  43 ˆj

  (a) A  B  6iˆ  2 ˆj   (c) 2 A  3C  23iˆ  31 ˆj

5.- Las soluciones de cada parte se muestran a continuación:             (a) A  B  12 ; A  C  18 ; A  D  6 ; B  C  15 ; B  D  1 ; C  D  1 (b) A  17  4,123 ; B  13  3,605 ; C  41  6,403 ; D  6  2,449













Los vectores A y B forman un ángulo de 36,18º.   Los vectores A y C forman un ángulo de 47,01º. Los vectores A y D forman un ángulo de 53,55º.   Los vectores B y C forman un ángulo de 49,47º. Los vectores B y D forman un ángulo de 83,50º.   Los vectores C y D forman un ángulo de 93,66º.





(c) A  B  5 iˆ  4 ˆj  6 kˆ

  C  D  10 iˆ  8 ˆj  9 kˆ    A  B  C  40     A  B  C  D  84 iˆ  15 ˆj  80 kˆ     A  B  A  B  10 iˆ  8 ˆj  12 kˆ

  

  

 

Respuestas

31

(d) Sean eˆ1 y eˆ 2 dos vectores unitarios perpendiculares a la dirección que se indica:





Dirección A  B : eˆ1 





Dirección A  C : eˆ1 





Dirección B  C : eˆ1 





Dirección C  D : eˆ1  6.(a) Falsa (d) Falsa

5 iˆ  4 ˆj  6 kˆ y eˆ 77

1

2

1



 15 iˆ  12 ˆj  2 kˆ  y eˆ 373

77 2



  15 iˆ  12 ˆj  2 kˆ  373



1

2

1

10 iˆ  8 ˆj 12 kˆ y eˆ 308

 5 iˆ  4 ˆj  6 kˆ

1

  10 iˆ  8 ˆj  9 kˆ  y eˆ 245 1

2

(b) Correcta (e) Correcta

1



308 1

 10 iˆ  8 ˆj  12 kˆ

 10 iˆ  8 ˆj  9 kˆ  245

(c) Correcta (f) Correcta

IV Parte: Problemas 1.- La distancia entre el ornitólogo y el pájaro es 49,74 m. 2.- La paloma se desplaza 111,9 km en dirección 14,64º al Oeste del Sur. La distancia que recorre la paloma para ir de un pueblo a otro es 120 km.







3.- C   10 iˆ  4 ˆj  2 kˆ m / s

V Parte: Desafío 1.- Para resolver este problema, se debe calcular la distancia entre los puntos de la habitación A y B, B y C, C y D, D y A, luego se deben sumar las distancias y si ésta es mayor que los 22 m de la cuerda entonces la cuerda no alcanzará. Para determinar la distancia entre cada par de puntos se debe hacer la resta de los vectores y luego determinar su magnitud. Al hacer esto, sin hacer redondeos hasta el final, se determina que la distancia entre todos los puntos es 20,10 m, por lo que la cuerda sí alcanza. 2.- Para resolver este problema se debe partir del siguiente sistema de ecuaciones: Fx2  Fy2  500 2 y 4Fx  7 Fy  800 , donde Fx y Fy son las componentes x y y de la fuerza incógnita del problema. Este sistema de ecuaciones presenta dos soluciones igualmente válidas:

Fx1 = 474,72 N Fy1 = -156,98 N

Fx2 = -376,26 N Fy2 = 329,29 N

Respuestas

32

Cinemática I Movimiento en una dimensión y gráficas En todas las soluciones de esta práctica se ha considerado que los movimientos ocurren únicamente en una dimensión.

I Parte: Asocie 1. En el movimiento con aceleración constante 2. El área bajo la curva en la gráfica de aceleración contra tiempo 3. La pendiente en un punto de la gráfica de posición contra tiempo 4. En el movimiento con velocidad constante 5. El área bajo la curva en la gráfica de velocidad contra tiempo 6. La pendiente en un punto de la gráfica velocidad contra tiempo 7. Cuando la velocidad instantánea de un cuerpo aumenta con el tiempo es porque

( 2 ) Es igual al cambio en la velocidad. ( 3 ) Es igual a la velocidad instantánea en ese punto. ( 6 ) Es igual a la aceleración instantánea en ese punto. ( 1 ) La velocidad varía linealmente con el tiempo. ( 4 ) La aceleración es cero. ( 7 ) La aceleración tiene la misma dirección que la velocidad. ( 5 ) Es igual al desplazamiento.

II Parte: Preguntas conceptuales 1.- En las gráficas de posición contra tiempo (x vrs t) sólo la pendiente de la curva tiene sentido físico pero no así el área bajo la curva. La pendiente de una recta tangente a un punto en cada punto de la curva representa la velocidad instantánea en ese punto. En las gráficas de velocidad contra tiempo (v vrs t) tanto el área bajo la curva como la pendiente tienen sentido físico. El área bajo la curva representa el desplazamiento (Δx), mientras que la pendiente de una recta tangente a un punto de la curva en cada punto representa la aceleración instantánea. Para movimientos con aceleración constante la pendiente en las gráficas velocidad contra tiempo debe ser constante (líneas rectas). En las gráficas de aceleración contra el tiempo (a vrs t) el área bajo la curva representa el cambio en la velocidad (Δv), mientras que la pendiente de la recta tangente a un punto representaría cambios en la aceleración con el tiempo. En el movimiento con aceleración constante la pendiente debe ser cero. 2.- Si la aceleración del cuerpo es cero durante un cierto intervalo de tiempo, se puede afirmar que durante ese intervalo el movimiento tuvo una aceleración constante y que esta fue igual a cero. Por esta razón es posible utilizar las ecuaciones de la cinemática para el movimiento uniformemente acelerado aun cuando la aceleración es igual a cero. Las ecuaciones de la cinemática quedarías de la siguiente manera:

x  x0  v0 t

v  v0

3.- No es cierto que cuando la aceleración tiene signo positivo (o negativo) la velocidad debe tener el mismo signo. Como ejemplo baste decir que cuando una rueda sube girando por una colina bajo la acción de un impulso inicial, la aceleración de la rueda

Respuestas

33

tiene una dirección hacia abajo y la velocidad una dirección hacia arriba. Se puede añadir que la única cantidad física que indica la dirección en que se mueve un cuerpo es la velocidad, no la aceleración. 4.- En una dimensión, un desplazamiento negativo significa que el cuerpo se haya a menores valores de posición sobre el eje de posición (eje x) con respecto al punto inicial de ese intervalo, mientras que el signo positivo significa que el cuerpo se haya a mayores valores de posición con respecto al punto inicial. El signo de un cambio de velocidad indica si la velocidad está creciendo o decreciendo con respecto a la velocidad inicial de ese intervalo. En el caso de la aceleración, la aceleración positiva o negativa está relacionada con la dirección, positiva o negativa, sin embargo, el efecto sobre el movimiento depende de la dirección de movimiento del objeto: si el objeto se mueve en la misma dirección de la aceleración este aumentará su rapidez, en caso contrario, su rapidez disminuye. 5.- Si la velocidad es positiva y la aceleración negativa ello significa que la velocidad decrecerá hasta que alcance el valor de cero (cuerpo en reposo). A partir de este punto, la velocidad del cuerpo comenzará a tener valores negativos, moviéndose en dirección contraria a la que tenía inicialmente. Si la velocidad del cuerpo se invierte, éste pasará eventualmente por todos los puntos que ya había pasado, incluyendo el origen (siempre y cuando hubiese pasado previamente por él). 6.- El signo de la velocidad instantánea indica en todo momento la dirección de movimiento del cuerpo. EL signo de la velocidad media de un cuerpo no indica lo que sucede con el cuerpo pues esta velocidad solo se relaciona con su cambio de posición (desplazamiento), no con ningún detalle de su historial de movimiento como si lo hace la velocidad instantánea.

III Parte: Preguntas de selección única 1.- La opción correcta es la C. 2.- La opción correcta es la D. 3.- La opción correcta es la D. 4.- La opción falsa es la B.

IV Parte: Ejercicios 1.(a) Etapa 1: Etapa 2: Etapa 3:

Vmed1=0,0100 m/s Vmed2=0,0146 m/s Vmed3=0,00556 m/s

(b) La velocidad media de toda la ascensión es VmedTotal=0,00894 m/s 2.(a) La aceleración media al ir del reposo hasta 80 km/h es amed=0,123 m/s2. (b) La aceleración media para pasar de 80 km/h a 110 km/h es amed=0,139 m/s2.

Respuestas

34

(c) La aceleración media desde que parte del reposo hasta el momento que alcanza los 110 km/h es amed=0,0212 m/s2. (d) El tiempo total del viaje es 34,91 min. (e) La distancia total recorrida es 50,25 km y la velocidad media de todo el viaje es 24,00 m/s. 3.(a) (b) (c) (d)

La velocidad media es cero porque el desplazamiento es cero. La rapidez media del avión es 1670,8 km/h El desplazamiento es cero. La distancia recorrida es 40099 km.

V Parte: Problemas 1.(a) La distancia entre ellas es 8,06 m. (b) El tiempo que debe transcurrir para que la distancia entre ellas sea de 100 m es 132,65 s. 2.(a) El tiempo que tarda el niño es 3,44 s (desde que salió la bola). (b) La aceleración del niño debería ser 0,244 m/s2. 3.(a) El tiempo total en que el carro uno completa la carrera es 37,3 s mientras que el carro dos tarda 39,2 s. Por lo que se puede asegurar que el carro uno es quien gana. (b) Para que bajo esas condiciones los carros lleguen al mismo tiempo a la meta, la carrera debería tener una longitud de 1765 m. 4.(a) La aceleración del carro verde para ir de 60 km/h a 120 km/h es de 540 km/h2. (b) La aceleración media del carro verde desde que acelera hasta que alcanza al carro deportivo es 180 km/h2. (c) El desplazamiento del carro verde desde el momento que llega a 120 km/h hasta que vuelve a alcanzar al carro deportivo es 26,67 km. 5.(a) El tiempo que tarda el carro más rápido en alcanzar al más lento es 8,90 s. (b) La aceleración del carro más rápido es 3,36 m/s2. 6.(a) La aceleración del carro deportivo es 4800 km/h2. (b) La distancia que recorre el carro deportivo hasta que alcanza al camión es 2,67 km.

Respuestas

35

7.(a)

x (m)

48 40 32 24 16 8 0 2

4

6

8

10

12

14

16

18

t (s)

2

4

6

8

10

12

14

16

18

t (s)

a (m/s2)

2 1 0 -1 -2

(b) El desplazamiento total es 28 m, y la distancia total recorrida es 60 m. (c) La velocidad media de 2 s a 6 s es 6 m/s y de 6 s a 12 s es 1,67 m/s. (d) La velocidad en t = 8 s es 3 m/s y en t = 16 s es 1,33 m/s. 8.(a)

a (m/s2) 1,5 15

20

27,5

40

45

t (s) -2 -3

Respuestas

(b) x (m)

200 175

118,75

100

44,18 10,94

15

(c) (d) (e) (f)

27,5

30

40 45

t (s)

La distancia que recorre en los primeros 20 s es 175 m. El desplazamiento total del móvil es 10,94 m. La distancia total recorrida por el móvil es 339,1 m. La velocidad media para todo el intervalo es 0,24 m/s.

36

Respuestas

37

Cinemática II Movimiento de caída libre, de proyectiles y relativo

I Parte: Asocie 1. Si un cuerpo realiza un movimiento de proyectil y el tiempo que tarda en regresar a la altura inicial es t, el tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima (respecto de t) 2. Si se desprecia la resistencia del aire el tiempo que tarda en caer un cuerpo desde una cierta altura 3. Si dos cuerpos son lanzados con velocidades distintas, lograrán el mismo alcance horizontal sólo cuando la componente horizontal de la velocidad 4. Si un cuerpo se mueve al Norte con una rapidez v, y otro cuerpo se mueve al Sur con igual rapidez, su rapidez relativa 5. Si un cuerpo se lanza desde lo alto de un edificio con un ángulo por debajo de la horizontal, su componente vertical de la velocidad

( 4 ) Es el doble de la de cada cuerpo.

( 3 ) Es la misma para ambos cuerpos.

( 2 ) Es el mismo para todos los cuerpos, independientemente de su masa.

( 1 ) Es la mitad.

( 5 ) Es negativa.

II Parte: Preguntas conceptuales Para que las respuestas a estas preguntas sean más fáciles de comprender, es conveniente disponer del conjunto de ecuaciones que describen el movimiento de proyectiles cerca de la superficie terrestre. Las primeras cuatro ecuaciones describen el movimiento en la componente vertical:

y  yo  voyt 

1 2 gt 2

v y  voy  gt

(1) (2)

 v y  voy  t y  y o    2  2 v y2  voy  2 g  y  yo 

(3) (4)

Las siguientes dos ecuaciones describen el movimiento en la componente horizontal:

v x  vox

(5)

x  xo  voxt

(6)

1.- La aceleración con la que cae un cuerpo no depende de la componente vertical de la velocidad inicial con que se lanza. La aceleración con que cae un cuerpo cerca de la superficie terrestre es una constante, por lo tanto no tiene ninguna relación con su componente vertical de la velocidad inicial. Por otra parte, el tiempo que tarda en caer

Respuestas

38

un objeto sí depende de la componente vertical de la velocidad inicial, tal como se deduce de la ecuación 1. 2.- Si la altura de una de las ventanas es el doble que la de la otra el tiempo de caída no será el doble. Esto se deduce al analizar la ecuación 1, pues en ella se aprecia que el desplazamiento no varía linealmente con el tiempo, varía con el cuadrado del tiempo. Esto también quiere decir que el tiempo varía con la raíz cuadrada de la distancia. Por lo tanto, si para una cierta distancia de caída el tiempo que tarda en recorrerla es t, para el doble de la distancia el tiempo será 2 t (siempre y cuando la rapidez inicial en la vertical sea la misma para ambos objetos, en este caso voy  0 ). 3.- Al observar la ecuación 1 se aprecia que, aparte de la gravedad y la altura inicial, el único factor que afecta la posición en la vertical en cualquier instante es la componente vertical de la velocidad inicial, v oy , es decir, para que dos cuerpos alcancen la misma altura máxima por encima desde el nivel de lanzamiento, deben tener la misma componente vertical de la velocidad inicial. Por otra parte, de la ecuación 2 se deduce también que el único factor que afecta el tiempo que tarda un cuerpo en alcanzar su altura máxima es la componente vertical de la velocidad inicial. En conclusión, dos cuerpos que son lanzados al aire con la misma componente vertical de la velocidad inicial alcanzarán la misma altura máxima en el mismo tiempo (de hecho tendrán la misma altura en cualquier instante). Con respecto a las componentes horizontales de la velocidad inicial, estas pueden tener cualquier valor, no tienen que ser iguales para los dos cuerpos. 4.- El que tengan el mismo alcance horizontal no indica, necesariamente, que la componente horizontal de la velocidad inicial debe ser la misma para los dos cuerpos, tal como lo establece la ecuación 6. Pues los cuerpos pueden tener el mismo alcance pero no necesariamente deben llegar en forma simultánea. Por otra parte, dos cuerpos que tienen el mismo alcance horizontal pueden tener componentes verticales de la velocidad inicial distintas. 5.- Exactamente, así es conveniente comprender el movimiento de proyectiles: un movimiento con velocidad constante en la horizontal (ecuación 5) y otro movimiento en caída libre en la vertical (ecuaciones 1, 2, 3 y 4). La combinación simultánea de estos dos movimientos produce el efecto del movimiento parabólico o de proyectiles. 6.- Este problema se puede resolver planteando ecuaciones, pero es más interesante resolverlo sólo con la ayuda del razonamiento. Si la niña en un momento dado se ve quieta con respecto a un observador inmóvil a la orilla de la carretera, eso quiere decir que su velocidad relativa es cero. Esto quiere decir, que su velocidad hacia atrás dentro del autobús contrarresta el movimiento del autobús hacia delante, lo cual sólo ocurre cuando sus rapideces son iguales. Si la rapidez con que se mueve la niña dentro del autobús es constante, cuando la niña camina hacia adelante el observador la verá moverse con el doble de la rapidez con la que se mueve el autobús. Por lo tanto, la rapidez de la niña dentro del autobús debe ser V.

Respuestas

39

III Parte: Preguntas de selección única 1.- La opción correcta es la d. 2.- La opción correcta es la d. 3.- La opción correcta es la b.

IV Parte: Problemas 1.- (a) Sí habrá colisión. Tardaría 2,20 s. (b) Para que no haya colisión el carro debe frenar con una aceleración mínima de a = - 3,91 m/s2. (c) Para que no haya colisión el automóvil debe acelerar con un valor mínimo de a = 5,50 m/s2. 2.- (a) t = 3,100 s (b) a = 71,93 m/s2, con dirección hacia arriba (c) t = 3,508 s 3.- (a) vo = 21,7 m/s (b) x-xo = 75,2 m (c) ymax = 41,0 m 4.- (a) VB/T = 25,80 m/s, θ = 36,35º (b) Esta parte se puede interpretar de dos maneras: (1) una en la que la rapidez del barco permanece constante y solo cambia su rumbo de tal manera que su dirección con respecto a la tierra permanezca constante; la otra, (2) en la que el barco cambia su rumbo y su rapidez respecto del río para que su rumbo y rapidez iniciales con respecto a la tierra se mantengan constantes. (1) Para la primera de las interpretaciones el nuevo rumbo que debe tomar el barco debe ser 50,57º al Norte del Este, o lo que es lo mismo, 39,43º al Este del Norte. (2) Con respecto a la segunda interpretación, la rapidez del barco respecto del río debe ser VB/R = 54,63 km/h y su rumbo debe ser 49,08º al Norte del Este.

Respuestas

40

Leyes de Newton: Aplicaciones al movimiento de traslación y al movimiento circular

I Parte: Preguntas conceptuales 1.- Si dos bloques de distinta masa se deslizan sobre el mismo plano inclinado con la misma aceleración, parece razonable suponer que los coeficientes de rozamiento deben ser iguales, sin embargo, esta suposición debe ser confirmada o rechazada utilizando las leyes de Newton. Lo primero que debe hacerse es un diagrama de cuerpo libre de un bloque de masa m (cualquiera) que se desliza sobre un plano inclinado áspero. Las únicas fuerzas que actúan sobre el cuerpo son la normal, el peso y la fuerza de rozamiento (con coeficiente de rozamiento c). Al resolver el sistema de ecuaciones para la aceleración, se encuentra que la misma no depende de la masa del bloque y que los únicos factores que influyen en su valor son la inclinación del plano, la gravedad y el coeficiente de rozamiento. La expresión es la siguiente:

a  sen   c cos  g

Por lo tanto, si estos factores son los mismos para dos bloques de distinta masa las aceleraciones serán las mismas. Dicho de otra manera, si las aceleraciones son las mismas, los ángulos de inclinación son iguales y la gravedad también es la misma, entonces, necesariamente, los coeficientes de rozamiento son iguales. 2.- Una forma de ver esta ley es precisamente esta: todas las fuerzas vienen en pares. Por lo que efectivamente, se puede decir que para toda fuerza existe una “contrafuerza” de igual magnitud y de dirección contraria. Por otra parte, el peso es la fuerza con que un planeta atrae los cuerpos que se hallan en su superficie. La “contrafuerza” del peso es la fuerza con que el cuerpo atrae el planeta. Esta fuerza es de igual magnitud que la del peso, con dirección contraria al peso y actúa sobre el planeta (fuerza externa sobre el planeta). Finalmente, la normal sobre un objeto es la fuerza perpendicular, que ejerce una superficie sobre los objetos que se colocan en ella. Por esto, la “contrafuerza” de la fuerza normal es la fuerza que ejerce el cuerpo sobre la superficie en la que está colocada, la cual tiene dirección opuesta a la normal, tiene igual magnitud y además es una fuerza que actúa sobre la superficie (fuerza externa de la superficie). 3.- Ambas preguntas están relacionadas, pues en los diagramas de cuerpo libre (DCL) de un cuerpo sólo deben colocarse fuerzas externas que actúan sobre éste, es decir, las fuerzas que ejercen “otros cuerpos” sobre el cuerpo que se analiza. No se deben colocar las fuerzas que ejerce el cuerpo sobre los objetos de su entorno. Tampoco debe colocarse la fuerza neta, pues esa no es una fuerza externa sino la suma de todas las fuerzas externas. 4.- Por extraño que parezca, no es correcto decir que la fuerza de fricción siempre se opone al movimiento de los cuerpos. Y no se puede afirmar algo semejante simplemente porque no es cierto. Aunque en algunos casos, la fuerza de rozamiento es opuesta al movimiento de los cuerpos (como en muchos problemas del curso de Física General I), en muchos otros casos la fuerza de rozamiento está en la misma

Respuestas

41

dirección de movimiento del cuerpo. Incluso hay situaciones físicas en que algunas de las fuerzas de rozamiento están en dirección perpendicular al movimiento (caso del carro en la curva peraltada). Para demostrar que la fricción no siempre se opone al movimiento imagine la siguiente situación: sobre una tabla horizontal en reposo se coloca una segunda tabla y sobre la tabla de abajo se ejerce una fuerza moderada en dirección horizontal que las desplaza juntas hacia un lado. La que reposa encima de ella se moverá en la misma dirección que se mueve la de abajo debido a la fuerza de fricción. Esta fuerza de rozamiento tiene la misma dirección que el desplazamiento de la tabla superior sobre la que actúa. 5.- Como se dijo en la respuesta de la pregunta 2, la fuerza normal es la fuerza que ejerce la superficie sobre todo cuerpo que está apoyado en ella. Por supuesto, siempre se debe añadir que la dirección de la fuerza normal siempre es, por definición, perpendicular a la superficie sobre la que yace el cuerpo. Por otra parte, la normal no siempre es igual al peso del cuerpo que reposa en la superficie, un ejemplo de ello es un cuerpo que reposa sobre un plano inclinado. Cuando un cuerpo se apoya en una pared, es perfectamente válido llamar a la fuerza que ejerce la pared sobre el cuerpo fuerza normal. En el caso que el cuerpo repose simultáneamente sobre varias superficies habrá varias fuerzas normales, por lo que será necesario distinguirlas de alguna manera en el diagrama de cuerpo libre. 6.- El movimiento brusco de los pasajeros hacia el frente del autobús se debe a que los pasajeros tienen masa y cualquier cuerpo con masa que se mueve con una cierta velocidad trata siempre de mantener la misma velocidad, la única forma de cambiar la velocidad de un cuerpo es aplicando una fuerza externa. En el caso de los pasajeros, cuando el autobús se detiene bruscamente ellos tienden a seguir con la misma velocidad que tenía el autobús antes de detenerse y tienen que sujetarse con firmeza de los barrotes para no ser lanzados hacia la parte delantera del bus. Sin embargo, a pesar de que esta explicación es correcta, desde el punto de vista de la física es más sencillo decir que toda masa (pasajero) trata siempre de conservar su estado de movimiento (momento lineal), que es igual al producto de la masa por la velocidad (ver capítulo 8 del libro de texto) y que por ello los pasajeros continúan en su movimiento hacia adelante aún después de detenerse el autobús.

II Parte: Preguntas de selección única 1.- La opción correcta es la C. 2.- La opción correcta es la C. 3.- La opción correcta es la D. 4.- La opción correcta es la C.

III Parte: Ejercicios de selección única 1.- La opción correcta es la B. 2.- La opción correcta es la B.

Respuestas

42

3.- La opción correcta es la D. 4.- La opción correcta es la C. 5.- La opción correcta es la A.

IV Parte: Problemas 1.- (a) La masa del bloque A es 1,038 kg, mientras que la masa del bloque B es 3,113 kg. (b) Los bloques se mueven en el sentido de la fuerza mayor, es decir, hacia la izquierda. 2.- (a) La magnitud de la fuerza F2 cuando no hay fricción es 412,45 N. (b) El coeficiente de rozamiento cinético es 0,092. 3.- (a) La aceleración de las dos cajas es 5,33 m/s2. (b) La magnitud de la fuerza es F = 63,20 N. 4.- (a) La mayor masa que puede tener el bloque B, antes que el bloque A se comience a mover, es 1,515 kg. (b) La aceleración de los bloques es 3,433 m/s2. 5.- (a) El radio de la curva es 196,9 m. (b) La rapidez tangencial máxima a la que pueden circular los vehículos es 42,56 m/s (unos 153 km/h). 6.- (a) La fuerza que el asiento ejerce sobre el piloto en la parte superior del lazo es 1102 N. (b) La fuerza que el asiento ejerce sobre el piloto en la parte inferior del lazo es 8085 N. (c) La rapidez que debería tener el avión para que en la parte superior del lazo la fuerza que ejerce el asiento sobre el piloto sea cero es 44,27 m/s (unos 160 km/h).

Respuestas

43

Trabajo y energía: Trabajo, energía cinética y energía potencial

I Parte: Preguntas conceptuales 1.- Esta nueva clasificación de las fuerzas está asociada con la conservación de la energía mecánica total de un sistema. Cuando la energía de un sistema se conserva ello se debe a que sólo actúan fuerzas conservativas (fuerza de gravedad y fuerza del resorte). Pero cuando la energía de un sistema no se conserva ello se debe a que también hay presentes fuerzas no conservativas (fuerza de fricción, viscosidad, fuerza animal). 2.- El ángulo determina el signo del trabajo que realiza la fuerza. Cuando el ángulo entre el vector fuerza y el vector desplazamiento está entre 0 y 90º el coseno es positivo y el trabajo también. Cuando el ángulo entre tales vectores está entre 90 y 180º el coseno es negativo y el trabajo también. Cuando el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento es 90º (son perpendiculares) el coseno vale cero y por lo tanto el trabajo también. 3.- Sí, toda fuerza tiene un trabajo asociado. Sin embargo, a veces ese trabajo es cero. 4.- La fuerza asociada con el trabajo neto es la fuerza neta. De aquí se deduce que el trabajo neto también se puede expresar como la suma de todos los trabajos que realizan las fuerzas individuales. 5.- Cuando un resorte se halla en estado de equilibrio y a partir de ese estado una fuerza externa lo comprime o lo estira, el trabajo que realiza el resorte es negativo. Esto se debe a que, en ambos casos, el resorte realiza una fuerza contraria al desplazamiento producido, por lo tanto, el ángulo entre la fuerza del resorte y el desplazamiento es 180º y por la definición del trabajo (W=F d cosθ) el trabajo debe ser negativo. No obstante, si el estado inicial del resorte es estirado o comprimido y a partir de éste el resorte se lleva a la posición de equilibrio, el trabajo realizado por el resorte será positivo, pues en esta ocasión la fuerza tendrá la misma dirección del desplazamiento. 6.- La definición de la energía cinética indica que ésta depende de la masa (m>0) y de la rapidez al cuadrado ( V 2  0 ), que equivale al producto punto de la velocidad consigo

 

misma ( V  V  V 2 ). Sin embargo, cualquiera que sea la interpretación lo cierto es que la energía cinética no depende de la dirección de la velocidad, sólo de su magnitud y que además siempre es una cantidad mayor o igual a cero.

7.- Sí, es correcto afirmar que cuando sólo actúan fuerzas conservativas sobre un cuerpo el trabajo neto realizado sobre éste es igual al cambio negativo de la energía potencial del cuerpo (en general, la energía potencial del cuerpo es la suma de la energía potencial gravitacional más la energía potencial del resorte). Esto es así porque cuando sólo actúan fuerzas conservativas, el trabajo neto es la suma de los trabajos realizados por esas fuerzas conservativas, y como se demuestra en la teoría, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual al cambio negativo de su

Respuestas

44

energía potencial. Es conveniente agregar que cuando también actúen fuerzas no conservativas el trabajo neto ya no es igual al cambio negativo de energía potencial del cuerpo, pero sí sigue siendo igual al cambio de la energía cinética del mismo (el “teorema del trabajo y la energía” siempre es correcto). 8.- Como se dijo en la explicación anterior, cuando sobre un cuerpo también actúan fuerzas no conservativas entonces el trabajo neto ya no es igual al cambio negativo de la energía potencial del cuerpo pues además del trabajo realizado por las fuerzas conservativas, también se produce el trabajo de las fuerzas no conservativas (fuerzas de fricción). Si cuando intervienen fuerzas no conservativas el trabajo neto no es igual al cambio negativo de la energía potencial del cuerpo, entonces tampoco es cierto que el cambio en la energía cinética del cuerpo sea igual al cambio negativo de la energía potencial.

II Parte: Preguntas de selección única 1.2.3.4.-

La respuesta correcta es la D. La respuesta correcta es la A. La respuesta correcta es la D. La respuesta correcta es la D.

III Parte: Problemas 1.- a) b) c) d)

Wg=0; W N=0 Wfr= -271,6 J μ= 0,031 vf=4,751 m/s

2.- a) La velocidad en la base del plano inclinado es v = 5,629 m/s. b) La distancia que recorre el bloque sobre la superficie del plano inclinado es 3,478 m. c) La compresión del resorte, luego de subir y bajar el plano inclinado, es 0,07508 m. 3.- a) Wg= -3191 J b) Wfr= -1772 J c) WNeto= ΔK = 0 4.- a) El trabajo hecho por la gravedad sobre el niño es W g=2352 J. b) La rapidez del niño cuando alcanza la base del tobogán es v=10,89 m/s. c) Como sólo la gravedad realiza trabajo sobre el niño W Neto= W g=2352 J. 5.- a) El trabajo hecho por la fricción es -11,32 J b) La velocidad con que la masa B golpea el piso depende de la masa de B, la expresión general es la siguiente:

v

23,52 mB  116,56 mB  5

Respuestas

45

De esta expresión de deduce que si la masa B vale 10,0 kg su velocidad al golpear el piso será de 2,81 m/s.

Respuestas

46

Momento lineal, colisiones y centro de masa I Parte: Preguntas conceptuales 1.- Para una partícula en movimiento la cantidad de movimiento no puede ser cero. Sin embargo, para un sistema de partículas, todas ellas en movimiento, la cantidad de movimiento del sistema si puede ser cero. La explicación de esta situación es que la cantidad de movimiento es un vector y la suma vectorial de muchos vectores sí puede ser cero. Para un sistema de dos cuerpos de masa distinta el movimiento de estas debe ser en direcciones opuestas y sus velocidades deben ser tales que la de menor masa vaya más rápido y la de mayor masa más lento, tales que: M1V1=M2V2.

2.- El principio de conservación de la cantidad de movimiento no se aplica a todas las situaciones que asemejen una colisión. Uno de los requisitos para utilizar este principio es que la colisión ocurra en un breve espacio de tiempo, de modo que las fuerzas generadas durante la colisión sean tan grandes comparadas con las fuerzas externas, que haga que éstas últimas sean prácticamente despreciables. En tal situación, la colisión entre las partículas se puede considerar como un sistema aislado, es decir, un sistema con una fuerza neta igual a cero, y cuando la fuerza neta es igual a cero, el momento del sistema debe permanecer constante. No obstante, cabe señalar que la aplicación del principio de conservación de la cantidad de movimiento es sólo una buena aproximación, que es tanto más correcta cuanto mayor son las fuerzas producidas durante la colisión y cuanto menor sea la duración de la colisión.

3.- Los tres tipos de colisión que se estudian en este curso son la colisión elástica, la colisión inelástica y la total o perfectamente inelástica. En todas ellas se conserva la cantidad de movimiento, pero en la colisión elástica se conserva además la energía del sistema. En las dos colisiones inelásticas la energía total inicial y final del sistema, son distintas. En la colisión inelástica, la energía final del sistema suele ser menor que la inicial, pero cabe la posibilidad que sea mayor si se introduce energía al sistema (como en las explosiones). En la colisión perfectamente inelástica la energía final es menor que la energía inicial del sistema, es decir, se pierde energía durante la colisión. Pero en la colisión perfectamente inelástica se da otra situación, los cuerpos que chocan permanecen unidos después de la colisión por lo que las velocidades finales de los cuerpos son iguales.

4.- Cuando un sistema está aislado, la fuerza neta sobre el mismo es cero y cuando la fuerza neta sobre un sistema es cero la cantidad de movimiento total del sistema se conserva, es decir, permanece constante. Si además se recuerda que la cantidad de movimiento total del sistema se define como el producto de la masa total por la velocidad del centro de masa, esta velocidad también será constante mientras la masa del sistema no cambie.

5.- La velocidad del centro de masa es la velocidad con que se mueve el centro de masa. Si para un sistema, la velocidad del centro de masa es cero esto quiere decir que la velocidad con que se mueve el centro de masa es cero, en otras palabras, el centro de masa de este sistema no se mueve, está en reposo.

Respuestas

47

II Parte: Preguntas de selección única 1.- La respuesta correcta es la C. La cantidad de movimiento en una colisión se conserva, por lo tanto, la cantidad de movimiento antes de la colisión (mvi) debe ser igual la cantidad de movimiento después de la colisión (mvf) y eso sólo ocurre si la primera bola se queda en reposo después de la colisión (vi=vf). 2.- La respuesta correcta es la D. A partir de la definición de colisión inelástica sabemos que no se conserva la energía mientras que el término “perfectamente” hace referencia a que después de la colisión las partículas quedan unidas. Aunque la opción D no lo indica, también se conserva la cantidad de movimiento. 3.- La respuesta correcta es la B. Si el cuerpo presenta un cierto eje de simetría eso quiere decir que la masa que está a un lado del eje es la misma a la hay del otro lado, por lo tanto es posible asegurar que el centro de masa estará ubicado en algún punto del eje de simetría.

III Parte: Problemas 

1.- (a) La velocidad del primer disco es v1 f  (2 iˆ  1 ˆj )m / s , mientras que su rapidez y dirección son 2,236 m/s y 26,6º, respectivamente. (b) La colisión no es elástica pues la energía del sistema antes de la colisión es mayor que la energía después de la colisión. (c) 63.4° (d) La fracción de la energía disipada en la colisión es 0,3077, o en términos porcentuales es el 30,77 %. 2.- (a) La rapidez del carro antes de la colisión es 33,97 m/s. (b) La rapidez de los vehículos después de la colisión es 25,36 m/s. (c) La colisión es inelástica. 3.- (a) El centro de masa está a 0,191 m del centro de la panga hacia desplazado hacia el lado de la persona de masa 70,0 Kg. (b) La posición del centro de masa no cambia pues no hay fricción entre la panga y el agua ni tampoco fuerzas externas sobre la panga, por ello la velocidad del centro de masa no cambia y como originalmente ésta era cero también será cero al final. Por lo tanto, el centro de masa está en reposo respecto al muelle. (c) Como el centro de masa no se desplaza con respecto a un muelle que está al lado de la panga, cuando las dos personas caminan al centro de la panga ésta deberá irse desplazando paulatinamente hacia el lado en el que estaba la persona más pesada de tal modo que el centro de masa finalmente permanezca donde estaba al inicio, esto es a 0,191 m de su posición inicial y del lado de la persona de 70 kg.

Respuestas

48

Dinámica rotacional, colisiones y centro de masa I Parte: Preguntas conceptuales 1.- La energías cinética traslacional y cinética rotacional de un cuerpo son independientes una de la otra. Ello se debe a que un cuerpo puede estar girando sin desplazarse y también puede desplazarse sin girar.

2.- Esta es una analogía valiosa pues las ecuaciones de la dinámica del movimiento traslacional se pueden transformar en las ecuaciones de la dinámica del movimiento rotacional realizando la analogía entre masa y momento de inercia, fuerza y torque, aceleración lineal y aceleración angular, entre otras. Por ello se puede considerar útil como analogía, sin embargo, hay que tener cuidado con la ampliación de esta analogía, pues la masa es una cantidad escalar independiente del movimiento del cuerpo, en tanto que el momento de inercia también es escalar, pero depende del punto respecto del que gira el cuerpo.

3.- En la primera parte del curso las tensiones a ambos lados de la polea se consideraban iguales porque la polea no tenía masa ni fricción en el eje. Pero cuando la polea tiene masa o fricción, la tensión debe ser distinta para que la polea gire. Por lo tanto, no es por un capricho que las tensiones ahora sean distintas, es una necesidad. Desde el punto de vista del torque, la tensión de cada extremo de la cuerda que pasa por la polea debe ser distinta para que haya un torque neto distinto de cero. Desde el punto de vista energético, es necesario que las tensiones sean distintas para que el trabajo que realizan ambos torques sobre la polea incluya la energía necesaria para hacer girar una polea con masa.

4.- Definitivamente ambas definiciones son equivalentes. Según la definición vectorial se sabe que la dirección del vector resultante cumple con la regla de la mano derecha. Por otra parte, la magnitud del torque expresada en su forma vectorial es igual a la   magnitud cada uno de los vectores r y F multiplicada por el seno del ángulo (senθ)  entre los dos vectores, es decir,   rFsen  rsen  F . Sin embargo, la cantidad rsenθ es precisamente el “brazo de palanca”, por lo que se comprueba que la magnitud del torque es precisamente el “brazo de palanca” multiplicado por la magnitud de la fuerza y que su dirección está dada por la regla de la mano derecha.

5.- El torque producido por una fuerza es cero cuando el brazo de palanca es cero, es decir, cuando la línea de acción de la fuerza pasa precisamente por el punto respecto del que se está calculando el torque; en términos del ángulo entre la fuerza y la posición de la fuerza respecto del eje, el torque es cero cuando el ángulo vale 0º o 180º. Por otra parte, el toque producido es máximo cuando la magnitud del vector posición (d) es igual brazo de palanca (dsenθ), es decir, cuando el seno del ángulo vale uno, en otras palabras cuando el ángulo entre la fuerza y el vector posición de la fuerza es 90º.

Respuestas

49

6.- Cuando el torque neto sobre un cuerpo rígido es cero ello quiere decir, necesariamente, que su aceleración angular también es cero (α=0). A su vez, cuando la aceleración angular es cero la rapidez angular (ω) debe ser constante. Por lo tanto, si la rapidez angular es constante (ω es constante), el momento angular del cuerpo rígido también es constante (L es constante), pues por definición L=Iω. Se debe añadir que el momento de inercia de un cuerpo rígido es constante. En cuanto a la fuerza neta, si ésta es cero, entonces el torque neto es cero, pero si el torque neto es cero, no necesariamente la fuerza neta lo sea. El torque neto es cero cuando el producto vectorial entre el vector posición y la fuerza neta es cero, que ocurre cuando la fuerza neta es cero y cuando el ángulo entre el vector posición y la fuerza neta es 0° o 180° (el seno de estos dos ángulos es cero), independientemente del valor de la fuerza neta. 7.- Cuando un patinador sobre hielo patina con la punta de sus patines, el rozamiento entre el patinador y la pista es mínimo (rozamiento despreciable), en tal caso, se puede considerar que el sistema está aislado con torque neto igual a cero. Cuando el torque neto es cero, el momento angular es constante y por lo tanto, cuando un patinador gira sobre su patín, el momento angular es constante ( L i  L f ). Cuando el patinador gira con los brazos extendidos su momento de inercia es mayor que cuando gira con los brazos recogidos, en consecuencia, la rapidez angular es menor cuando su momento de inercia es mayor mientras que cuando recoge los brazos su rapidez angular aumenta al reducir su momento de inercia (Iiωi=Ifωf). 8.- Las dos condiciones básicas del equilibrio estático son dos: la suma de los torques  que actúan sobre el cuerpo debe ser cero (  Neto  0 ) y la suma de fuerzas sobre el



cuerpo debe ser cero ( FNeta  0 ). Si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero puede ser que esté en reposo, pero esa condición no es suficiente pues si su torque neto es  cero, su centro de masa permanecerá en reposo ( FNeta  0 ) pero estará girando con una aceleración angular distinta de cero. La aceleración angular depende del valor   del toque neto y del momento de inercia del cuerpo (  Neto  I  ).

II Parte: Preguntas de selección única 1.- La respuesta correcta es la A. Esto se debe a que en el cuerpo que se desliza toda la energía potencial se transforma en energía cinética traslacional, mientras que en el cuerpo que rueda una parte de la energía potencial se transforma en energía cinética traslacional y otra parte se transforma en energía cinética rotacional.

2.- La respuesta correcta es la D. En realidad, es difícil responder esta pregunta sin utilizar las ecuaciones del movimiento rotacional, pero en todo caso es útil reflexionar en ello porque es cierto que los cuerpos mencionados llegan a la base del plano inclinado en distintos momentos. Analizando un rato, se encuentra que esta pregunta se puede resolver por energías al hallar la velocidad de cada cuerpo en la parte inferior del plano. Aquella con mayor velocidad llegará primero pues la aceleración de cada cuerpo es constante (al ser un plano inclinado). Con este procedimiento se encuentra que aquella que requiera mayor fracción de energía para hacerla girar le quedará menos energía para mover el centro de masa, por este procedimiento se encuentra que el orden de llegada es el de la opción D.

Respuestas

50

3.- La respuesta correcta es la C. La tensión a ambos lados de la polea no es la misma precisamente porque la polea tiene masa. Las fuerzas externas necesitan realizar un cierto trabajo sobre la polea para que esta gire y esto solo ocurre cuando las tensiones son distintas.

4.- La respuesta correcta es la C. Cuando el objeto se encuentra en reposo, la suma de torques siempre es cero con independencia del punto de referencia respecto al que se mide.

5.- La respuesta correcta es la A. Primero que todo se debe notar que en estas condiciones el momento angular se conserva. Ahora bien, puesto que dos de los módulos desacoplados giran en el mismo sentido más rápidamente que antes, el tercer módulo debe compensar este exceso de momento angular girando en sentido opuesto más rápidamente que los otros dos, puesto que sus masas son las mismas.

III Parte: Ejercicios de selección única 1.- La respuesta correcta es la B. Todos los discos llegan a la base del plano a la vez, independientemente de la masa y del radio de estos. Esto se comprueba encontrando la solución algebraica del problema, donde se ve claramente que la solución no depende de la masa ni del radio. Este resultado puede parecer sorprendente, su justificación se da en uno de los problemas resueltos del capítulo 10 del libro de texto.

2.- La respuesta correcta es la C. 3.- La respuesta correcta es la B.

III Parte: Problemas 1.- (a) xcm=0; ycm=2,21 m.  8 2 (b) acm  (1 iˆ  ˆj ) m / s . 3 (c) (d)

Icm=42,89 kg m2.   0,9671 rad / s 2 .

2.- (a) a 

2 g M  M b sen  M b cos   . 3M  2M b

(b) a = 2,019 m/s2.

3.- (a) a  (b) T1 

4M b g . 3M c  4M p  2M b

3M c  4M p  M b g . 3M c M b g y T2  3M c  4M p  8M b 3M c  4M p  8M b

(c) a = 3,92 m/s2 ; T1= 17,64 N ; T2=14,7 N.

Respuestas

4.- (a) a 

(b)  

M 2  M1  g

51

 3,92 m / s 2 .

M M1  M 2  p 2 a  19,6 m / s 2 . R

(c) v  2ah  2,169 m / s .

5.- (a) M 

F1R 2  199,0 kg . gR 1

 F1R22  Ia   g  792,2 N .  R1R2 g  a  

(b) Peso de M  Mg  

6.- (a) FA  392 N ; FB  980 N . (b) x  0,50 m . (c) FA  0 N ; FB  1372 N .

7.- (a) La distancia de la masa a la pared en la que la tensión es máxima es x  5,89 m . Pero como la barra tiene 3,00 m de longitud, esto quiere decir que, aun colocándola en el extremo, la tensión de la cuerda es inferior al valor máximo que soporta. Por lo tanto, la masa puede ser colgada en el extremo de la barra (xMax=3,00 m). (b) Rx  T cos 67  135,2 N ; Ry  Mc  Mb g  Tsen67  171,5 N . (c) La tensión en la cuerda es T = 346 N.