Fundamentos e Aplicações da Teoria Fractal de Medida

Universidade Estadual de Ponta Grossa - PR Setor de Ciências Agrárias e de Tecnologia Departamento de Engenharia de Materiais

Fundamentos e Aplicações da Teoria Fractal de Medida Prof. Lucas Máximo Alves

Ponta Grossa Janeiro de 2001

Índice Apresentação

Prefácio

Capítulo - I: Introdução (Objetivos do texto)

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1.1 - Padrões de crescimento na natureza: Da ordem ao caos. 1.2 - Onde é possível encontrar fractais? 1.3. A origem fenomenológica dos fractais na natureza 1.4. Referências Bibliográficas

Capítulo - II: Fundamentos Matemáticos da Teoria Fractal de Medida (um texto fundamental sobre escalas e geometria euclidiana) 2.1 – Introdução a geometria euclidiana 2.2 - Os elementos geométricos de Euclides 2.3 - O que é contar? (introdução a teoria fundamental dos números) 2.4 - O que é medir uma grandeza? (introdução a medida euclidiana) 2.5 - A operação de medida (medir é comparar + recobrir + contar o numero de unidades ou balas de recobrimento) 2.5.1 - Medida de comprimento 2.5.1.1 - Régua e escala de medida 2.5.1.2 - Operações sobre uma régua ou escala de medida: translação (adição e subtração sobre uma régua fixa e não fixa) ii

2.5.1.3 - Múltiplos e submúltiplos de uma régua ou escala de medida (construção de unidades padrões por homotetia) 2.5.1.4 - Resolução de uma régua ou escala e precisão de uma medida 2.5.1.5 - Transformação de escala (ampliação e redução de uma escala) 2.5.1.6 - O paradoxo de Zenon e a diferença entre seqüências e séries divergentes e convergentes 2.5.2 - Medida de área 2.5.3 - Medida de volume 2.5.4 - Medida de massa 2.6 - Construção de uma unidade padrão de medida ou recobrimento 2.7 - Representação algébrica genérica de uma medida 2.8 - O número de unidades do padrão de recobrimento sobre um objeto 2.9 – Dimensão de uma unidade padrão de medida “d” e dimensão de um objeto “do”. 2.10 - A dimensão de imersão de um objeto 2.11 – Bibliografia

Capítulo - III: A Geometria Euclidiana dos Objetos (um texto fundamental sobre a dimensão e forma dos objetos regulares) 3.1 - A construção e a medida de formas e objetos geométricos 3.2 – Operações de transformação com objetos e escalas de medida 3.2.1 – Ampliação, redução e similaridade de um objeto 3.2.2 – Homotetia, escalas de ampliação e redução e objetos similares (construção de unidades padrões e objetos similares por homotetia e recobrimento) 3.2.3 – Fator de transformação de escala (ampliação e redução de uma régua ou escala de medida) 3.2.4 – Medida similar e proporcional 3.3 – Funções homogêneas de grau “do” e o teorema de Euler 3.4 – Transformações homogêneas de escalonamento inteiro (perímetro, área e volume euclidianos) 3.5 – Auto-recobrimento e auto-similaridade (inteira e não-inteira) 3.6 – Medida auto-similar iii

3.7 - Condição de invariância de uma medida por transformação de escala de um padrão auto-similar 3.8 - Criação de uma unidade padrão de medida generalizada usando o conceito de balas de recobrimento 3.9 - Medidas obtidas por uma função teste formada de balas de recobrimento de geometria qualquer 3.10 - Convergência das medidas obtidas por funções de teste 3.11 – Variação do valor de uma medida em função do tamanho das unidades padrões de recobrimento. 3.12 – Numero de balas de recobrimento e métodos de contagem 3.12.1 – Método de contagem Box-Counting 3.12.2 – Método de contagem Sand-Box 3.12.3 – A equivalência entre o método Box-counting e Sand-Box 3.13 - Referências bibliográficas

Capítulo - IV: Introdução a Geometria Fractal dos Objetos (um texto fundamental sobre a dimensão e a forma dos objetos iregulares) 4.1 - Construção de unidades padrões e objetos auto-similares por homotetia e recobrimento 4.2 – A dimensão topológica de um objeto, a dimensão de falta e de excesso de um objeto 4.3 - Dimensão de Hausdorff-Besicovitch 4.3.1 – A diferença entre dimensão euclidiana e dimensão fractal 4.3.2 – Expoentes críticos e dimensões inteiras e não-inteiras 4.4 – A relação fundamental de escalonamento e o diagrama de Richardson 4.5 - Padrões e objetos auto-similares e auto-afins 4.6 - Definição de um objeto fractal 4.7 – Fractais como objetos físicos e matemáticos 4.8 - Propriedades de um objeto fractal 4.8.1 – Iniciador e elemento geométrico fundamental da estrutura (autosimilar e auto-afim)

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4.8.2 - Invariância por transformação de escala, auto-similaridade e autoafinidade 4.8.3 – Dimensão fracionária ou fractal (não-inteira) 4.9 - A relação entre a invarância por transformação de escala (auto-similaridade e auto-afinidade) e a dimensão fractal 4.10 – Escalonamento fractal em níveis discretos de auto-similaridade ou autoafinidade 4.11 – Construção de um fractal por regra de preenchimento do espaço por uma semente fractal 4.11.1- Iteração e retroalimentação utilizando um iniciador e uma semente 4.11.2 - Renormalização (homotetia + recobrimento) 4.11.3 – Fractais e pré-fractais 4.11.4 - Limites Hierárquicos de Escalonamento 4.11.5 – Medida fractal usando um tamanho de régua mínimo 4.12 – Construção de objetos auto-similares e auto-afins 4.12.1 – Por crescimento 4.12.2 – Por fragmentação 4.12.3 – Seqüências e séries fractais (convergentes ou atratores, Divergentes ou não-atratores)

Capítulo - V: Classes e Tipos de fractais 5.6 – Fractais Auto-similares e Auto-Afins 5.1 - Fractais determinísticos ou matemáticos 5.1.1 - Fractais uniformes e não uniformes 5.1.2 - Representação de uma estrutura dendrítica a partir de um fractal não-uniforme 5.2 - Fractais Estatísticos ou Aleatórios 5.3 - Fractais Reais ou Físicos 5.4 - Fractais Laplacianos ou Ramificados 5.5 - Fractais Gordos 5.6 – Transformada de Legendre para fractais não-unformes 5.7 – Multifractais auto-similares e auto-afins v

Capítulo - VI: Superfícies e perfis fractais 6.1 - Definição de Superfícies 6.2 - Superfícies fractais auto-similares e auto-afins Propriedades das Superfícies Fractais Rugosidade Fractalidade Auto-similaridade Auto-afinidade Tortuosidade Lagunaridade Textura Métodos de Análise de Superfícies Morfológica Direta Método Perfilométrico ou de Relevo Análise pelo método de ilhas Cortadas Morfológica Indireta Transformada de Fourier ou Power Spectrum Density

Capítulo - VII: Métodos para determinação das dimensões de um objeto - Introdução - Escalonamento estático - Métodos para determinar a dimensão topológica de um objeto na geometria euclidiana - Método de Aristóteles e Euclides Métodos para determinação das dimensões de um objeto na geometria fractal - Método para determinar a dimensão Hausdorff-Besicovitch de um objeto - Método de Richardson - Determinação da dimensão auto-similar de um objeto - Escalonamento estático - Método Box-Counting - Método Sand-Box - Método das Ilhas cortadas vi

- Métodos de medida da dimensão fractal - Equivalência entre eles - Técnicas para o cálculo da dimensão fractal de uma estrutura - Escalonamento dinâmico - Método Box-Counting - Método Sand-Box - Método das Ilhas cortadas - Métodos de medida da dimensão fractal - Equivalência entre eles - Técnicas para o cálculo da dimensão fractal de uma estrutura

Capítulo - VIII: A Física dos fractais Grandezas fractais

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A equação da continuidade para um fractal

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Fractais Laplacianos

Capítulo - IX: Processos de crescimento fractal 4.1 Deposição Balística 4.1. Agregação Balística 4.2. Caminho Aleatório 4.3. Agregação Limitada por Difusão (DLA) 4.4. Percolação 4.5. Epidêmico 4.6. Modelo de Eden 4.7. Modelo de Labirinto 4.8. Automato Celular 4.9. Modelo de Encrustamento de clusters.

Capítulo – X: O fenômeno da Instabilidade como gerador de um fractal 5.1. Fluxo de calor e o cri’terio da estabilidade da interface sólido/lquido na solidificação

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5.2. Fluxo de calor e estabilidade da interface na solidificação vii

de uma substância pura

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5.3. Crescimento na presença de um gradiente de temperautra positivo no líquido (líquido superaquecido)

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5.4. Estabilidade da interface S/L em um líquido superaquecido

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5.5. Crescimento na presença de um gradiente de temperautra negativo no líquido (líquido superesfriado)

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5.6. Instabilidade da interface S/L em um líquido super-resfriado

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5.7. Crescimento dendrítico térmico

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5.8. Estabilidade da interface na solidificação de uma liga

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5.9. Super-resfriamento constitucional

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5.10. Variações estruturais resultantes da redistribuição de soluto nas ligas

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5.11. Estruturas dendríticas

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5.12. Estruturas de lingote

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5.13. Referências bibliográficas

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Capítulo - XI. Conclusões

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