Gabarito do teste 1 - Testes de convergência 1

Gabarito do teste I 1a)Primeiro temos que observar que e−n ´e sempre positivo. Al´em disso, se tormarmos sua derivada teremos: (e−n )0 = −e−n que ´e uma derivada negativa para todo n. Isso quer dizer que a sequˆencia ´e decrescente. Assim, foram satisfeitas todas as condi¸c˜oes para podermos aplicar o teste da integral, que usaremos agora: Z∞

∞ e−n dn = −e−n 1

1

1 1 = e e Como a integral convergiu para um valor finito, temos que a s´erie ´e convergente. 1b)Colocaremos a s´erie em outra forma: 0+

∞ X 1 1 √ √ √ = n( n + 1) n + n n=2 n=2 ∞ X

Nessa forma, podemos ver que a s´erie ´e sempre positiva para n > 0. Al´em disso, −1 − 2√1 n 1 √ )0 = √ ( n+ n (n + n)2 Que ´e uma derivada negativa e a sequˆencia ´e, portanto, decrescente. Ent˜ao, podemos aplicar o teste da integral para determinar a convergˆencia dessa s´erie. Z∞

1 √ √ dn n( n + 1)

2

Aplicando a substitui¸c˜ ao: u=

√

n+1

1 du = √ 2 n Z

∞ √ du 1 = ln( n + 1) = ∞ 2u 2 2

Logo, como a integral resultou em um valor n˜ao finito, podemos dizer que a s´erie ´e divergente. 1c) Primeiro temos que considerar as seguintes compara¸c˜oes: −1 ≤ cos(n) ≤ 1 0 ≤ 1 + cos(n) ≤ 2

1

1 + cos(n) 2 ≤ 2 n2 n Iremos usar apenas a compara¸c˜ao: 0≤

1 + cos(n) 2 ≤ 2 2 n n Al´em disso, n22 = 2 · n12 e como n12 ´e uma s´erie convergente, temos que n22 tamb´em ´e. ∞ P 1+cos(n) Portanto, pelo teste da compara¸c˜ao, tamb´em podemos dizer que a s´erie n2 n=1 converge. 1d) A forma da s´erie sugere que n´os devemos usar o teste da ra´ız para determinar a convergˆencia dessa s´erie. lim

n→∞

p ln(n) (ln n)n n | = lim | n→∞ nn n

Com esse limite, devemos aplicar a regra de L’Hˆopital: 1 ln(n) = lim n n→∞ n→∞ 1 n

lim

1 =0 n n+ n √ 3n > n + n √ 2n > n 4nn > n 4n2 − n > 0 n(4n − 1) > 0 1 4

Portanto, para n > temos que n+3√n > n1 . Assim, para todo o intervalo considerado na nossa s´erie, essa inequa¸c˜ao se aplica. Agora, com essas informa¸c˜ oes, iremos aplicar o teste da compara¸c˜ao. Como n1 se trata da s´erie harmˆ onica, que n´os j´a sabemos que ´e divergente e n+3√n > n1 , pelo teste da compara¸c˜ ao podemos dizer que a s´erie em quest˜ao tamb´em diverge. 1f)Iremos analisar a inequa¸c˜ao: ln(n) 1 √ >√ n n 2

ln(n) > 1 n>e Assim, iremos colocar a s´erie na forma: ∞ ∞ X ln(n) ln(2) X ln(n) √ = √ + √ n n 2 n=1 n=3 √ Como ln(2) se trata de um termo com valor finito, a convergˆencia da s´erie ser´a 2 definida pela por¸c˜ ao que envolve o somat´orio. ∞ P ln(n) √ temos satisfeita a inequa¸c˜ao exposta Como 3 > e, temos que no termo n n=3

acima. Assim iremos aplicar o teste da compara¸c˜ao. ln(n) 1 √ >√ n n Como a segunda s´erie de trata de uma p-s´erie com p < 1, j´a sabemos que ela ´e divergente. ∞ P ln(n) √ ´e diverPortanto, pelo teste da compara¸c˜ao podemos dizer que s´erie n gente e, consequentemente,

∞ P n=1

n=3

ln(n) √ n

tamb´em ´e.

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