Gabarito do teste 2 - Testes de convergência 2

Gabarito do teste II 1)Iremos usar o teste da raz˜ao: (n + 1)2 e−(n+1) lim n→∞ n2 e−n (n + 1)2 e−n e−1 n→∞ n2 e−n (n + 1)2 e−1 lim = e−1 < 1 n→∞ n2 Logo, a s´erie ´e absolutamente convergente e, consequentemente, convergente. 2)O termo em fatorial nos sugere que devemos usar o teste da raz˜ao: (n + 1)!e−(n+1) lim n→∞ n!e−n lim

(n + 1)n!e−(n+1) n→∞ n!en lim (n + 1)e−1 = ∞ lim

n→∞

Logo, a s´erie ´e divergente. 3)Iremos usar o teste da compara¸c˜ao no limite para determinar a convergˆencia dessa s´erie. Iremos usar a s´erie harmˆonica para tal. n n2 · n→∞ n3 + 1 1 lim

n3 =1 n→∞ n3 + 1 Como 1 ´e um valor finito maior que zero, temos que ambas as s´eries divergem ou convergem juntas. Al´em disso, como sabemos que a s´erie harmˆonica diverge a outra tamb´em deve divergir. lim

4)Podemos ver que a s´erie se trata de uma s´erie alternada, n´os podemos usar o teste de Leibniz. Primeiro iremos analisar para descobrir se o an ´e decrescente. (

n n3 + 1 − 3n3 0 ) = √ 3 2 Portanto, an ´e decrescente para todo o intevalo da s´erie. Al´em disso, lim

n→∞

n3

n =0 +1

Portanto, pelo teste de Leibniz podemos dizer que a s´erie ´e convergente. 5)Iremos usar o teste da compara¸c˜ao no limite usando a s´erie harmˆonica: lim

n→∞

n n 1 · = lim 2 n→∞ ln (n) 1 ln (n) 2

Usando a regra de L’Hˆ opital: lim

n→∞

n n = lim n→∞ 2 ln(n) ln (n) 2

Usando novamente a regra de L’Hˆopital: n n = lim =∞ n→∞ 2 ln(n) n→∞ 2 lim

Portanto, como o limite resultou em um valor infinito e a s´erie harmˆonica diverge, podemos dizer que a s´erie em quest˜ao tamb´em ´e divergente. 6)Iremos usar o teste da divergˆencia para mostrar que essa s´erie ´e divergente. lim

n→∞

n sin(n)

Sabemos que −1 ≤ sin(n) ≤ 1, portanto mesmo quando n → ∞, a fun¸c˜ao seno n˜ ao ficar´ a maior que 1. Logo, lim

n→∞

n =∞= 6 0 sin(n)

Com isso, podemos dizer que, pelo teste da divergˆencia, a s´erie ´e divergente. 7)Primeiro, devemos notar que podemos mudar a forma da s´erie na seguinte forma: ∞ ∞ X cos(nπ) X (−1)n √ √ = n n n n n=1 n=1

2

Logo, iremos aplicar o teste de Leibniz: √ 1 3 n 1 · 3 ( √ )0 = − 2 n n n Assim, podemos ver que se n > 0 a derivada ´e negativa e o an ´e decrescente. Agora iremos calcular o limite: lim

n→∞

1 √ =0 n n

Logo, a s´erie ´e convergente. 8)Iremos fazer uso do teste da compara¸c˜ao no limite para determinar a convergˆencia dessa s´erie. Para us´a-lo, vamos comparar com a p-s´erie com p=2. ln2 (n) ln2 (n) 2 · n = lim n→∞ n→∞ n3 n Usando a regra de L’Hˆ opital: lim

ln2 (n) 2 ln(n) = lim n→∞ n→∞ n n lim

Aplicando, novamente, a regra de L’Hˆopital: lim

n→∞

2 2 ln(n) = lim =0 n→∞ n n

Al´em disso, sabemos que a p-s´erie usada converge. Portanto, pelo teste da ∞ P ln2 (n) compara¸c˜ ao no limite, podemos dizer que a s´erie ´e convergente. n3 n=1

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