GRUPOS DE COHOMOLOGIA EM SEQUÊNCIAS E O PRIMEIRO TEOREMA DO ISOMORFISMO Ricardo Aloysio Caldas Borsato
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Neste texto demonstrarei como grupos de cohomologia, no sentido dum grupo quociente de certo kernel e imagem duma sequência de homomorfismos, podem ser obtidos pelo primeiro teorema do isomorfismo aplicado a sequências específicas, que chamarei de 1. Considere os grupos G e H como multiplicativos, junto a h=Hom(G,H) e h˘=Hom(H,G); então h e h˘ formam uma sequência se, e somente, h implica Ker(˘)=Im(), sendo ˘ o homomorfismo inverso de Nessas sequências, não trabalharemos com homomorfismos injetivos ou surjetivos; pois considerando ˘ injetivo, seu kernel será trivial, e portanto eH = Im(). O caso da surjetividade será explicado mais à frente. 2. Considere que h e h˘ formam uma sequência p de acordo com as considerações anteriores, e seja F1H F2H FnH uma filtração de subgrupos de H de comprimento n (cardinal finito), e h|FjH = Hom(FjH, G) para 1j n. Seja h|FjH, definimos (h|FjH)'=Hom(Ker(),G). I.e. h˘
H
G
Embedding
FH j
Embedding
Ker()
Id h|FjH
G Id
(h|F H)' j
G
3. Considere (h|FjH)'da forma Ker()G, para (h|FjH). Como é homomorfismo, vale o primeiro teorema do isomorfismo. Aplicando-o,
obtemos [Ker() / Ker()] (Ker()), contudo, a sequência é , e se Hom(G, Ker()), temos [Ker() / Ker()] = [Ker() / Im()], que é grupo de cohomologia.
Em post scriptum, representando esses grupos por j(FjH, H), vemos que satisfazem a sequência de Embeddings FjH
Ker()
j(FjH, H).
Retornando ao caso da surjetividade e o considerando para h, temos (G)=H, logo ˘(H)=G, e, se todo membro de Hom(G, Ker()) for surjetivo, o mesmo ocorre para (h|FjH)'I.e., se Hom(G, Ker()) implica (G) = Ker(), para todo (h|FjH), então ˘(Ker()) = G. Portanto, todo grupo de cohomologia será isomorfo a G, e não a subgrupos distintos. I.e.
j(FjH, H) G = (Ker()), para todo j no intervalo [1,n], sendo n cardinal finito.
