Halliday Ed 9 - Vol 2 (Versão em cores)

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VOLUME

2

a

-

HALLIDAY & RESNICK

EDIÇÃO

,

Gravitação, Ondas e Termodinâmica

Jearl Walker Cleveland State University

LTC

TAYMESON .C

Tradução e Revisão Técnica Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D. Professor Titular do Instituto Militar de Engenharia - l.t\,lE

Volume 2

12 EQUILÍBRIO EELASTICIDADE

1

12-1 Oque ÉFísica? 1 12-2 Equilíbrio 1 12-3 .As Condições de Equilíbrio 2 12-4 OCentro de Gravidade 4 · 12-5 Alguns Exemplos de Equilíbrio Estático 5 12-6 Estruturas Indeterminadas 1o 12-7 Elasticidade 11 REVISÃO ERESUMO 14 PERGUNTAS 15 PROBLEMAS 16

13 GRAVITAÇÃO

28

13-1 Oque ÉFísica? 28 13-2 ALei da Gravitacão de Newton 28 ' 13-3 Gravitação eoPrincípio da Superposição 31 13-4 AGravitaçãoPerto da Superfície da Terra 32 13-5 AGravitaçãono Interior da Terra 35 13-6 Energia Potencial Gravitacional 37 13-7 Planetas eSatélites: As Leis de Kepler 41 13-8 Satélites: Órbitas eEnergias 43 13-9 Einstein eaGravitação 45 REVISÃO ERESUMO 47 PERGUNTAS 49 PROBLEMAS 50

14 FLUI DOS

59

14-1 OqueÉFísica 59 14-2 OqueÉum Fluido? 59 14-3 Massa Específica ePressão 59 14-4 Fluidos em Repouso 62 14-5 Medindo aPressão 65 14-6 OPrincípio de Pascal 66 14-7 OPrincípio de Arquimedes 68 14-8 Fluidos Ideaisem Movimento 71 14-9 AEquação de Continuidade 72 14-1 OAEquação de Bernoulli 74 REVISÃO ERESUMO 78 PERGUNTAS 78 PROBLEMAS 80

15 OSCILAÇÕES

88

15-1 Oque ÉFísica? 88 15-2 Movimento Harmônico Simples 88

15-3 15-4 15-5 15-6 15-7

ALei do Movimento Harmônico Simples 92 AEnergia do Movimento Harmônico Simples 94 Um Oscilador Harmônico Angular Simples 96 Pêndulos 98 Movimento Harmônico Simples eMovimento Circular Uniforme 101 15-8 Movimento Harmônico Simples Amortecido 102 15-9 Oscilações Forçadas eRessonância 104

REVISÃO ERESUMO 105 PERGUNTAS 106 PROBLEMAS 108

16 ONDAS-1

111

16-1 16-2 16-3 16-4 16-5 16-6 16-7

OqueÉFísica? 117 Tipos de Ondas 117 Ondas Transversais eLongitudinais 117 Comprimento de Onda eFrequência 118 AVelocidade de uma Onda Progressiva 121 Velocidade da Ondaem uma Corda Esticada 124 EnergiaePotência deuma Onda Progressivaem uma Corda 125 16-8 AEquação de Onda 127 16-9 OPrincípio da Superposição de Ondas 129 16-1 OInterferência de Ondas 129 16-11 Fasores 132 16-12 Ondas Estacionárias 135 16-13 Ondas Estacionárias eRessonância 137 REVISÃO ERESUMO 140 PERGUNTAS 141 PROBLEMAS 142

17 ONDAs:...11

151

' 17-1 Oque E Física? 151 17-2 Ondas Sonoras 151 17-3 AVelocidade do Som 152 17-4 Ondas Sonoras Progressivas 154 17-5 Interferência 157 17-6 Intensidade eNível Sonoro 158 17-7 Fontes de Sons Musicais 162 17-8 Batimentos 165 17-9 OEfeito Doppler 167 17-1 OVelocidades Supersônicas, Ondasde Choque 172

REVISÃO ERESUMO 173 PERGUNTAS 174 PROBLEMAS 175

~

- --

-----

--

SUMÁRI O

18 TEMPERATURA, CALOR EA

PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

20 ENTROPIA EASEGUNDA LEI DA 184

18-1 OqueÉFísica? 184 18-2 Temperatura 184 18-3 ALei Zero da Termodinâmica 185 18-4 Medindo aTemperatura 185 18-5 As Escalas Celsius eFahrenheit 187 18-6 Dilatação Térmica 189 18-7 TemperaturaeCalor 191 18-8 AAbsorção de Calor por Sólidos eLíquidos 193 18-9 Calor eTrabalho 197 18-1 OAPrimeira Lei da Termodinâmica 199 18-11 Alguns Casos Especiais da Primeira Lei da Termodinâmica 200 18-12 Mecanismos de Transferência de Calor 203 . REVISÃO ERESUMO 206 PERGUNTAS 208 PROBLEMAS 209

19 ATEORIA CINÉTICA DOS GASES

vii

211

19-1 Oque ÉFísica? 217 19-2 ONúmero de Avogadro 217 19-3 Gases Ideais 218 19-4 Pressão, Temperatura eVelocidade Média Quadrática 222 19-5 Energia Cinética de Translação 224 19-6 Livre CaminhoMédio 225 19-7 ADistribuição de Velocidades dasMoléculas 226 19-8 Os Calores Específicos Molares de um Gás Ideal 230 19-9 Graus deLiberdade eCalores Específicos Molares 234 19-1 OEfeitos Quânticos 236 19-1 OAExpansão Adiabática de um Gás Ideal 237 REVISÃO ERESUMO 240 PERGUNTAS 241 PROBLEMAS 242

TERMODINÂMICA

248

20-1 Oque ÉFísica? 248 20-2 Processos Irreversíveis eEntropia 248 20-3 Variação de Entropia 249 20-4 ASegunda Lei da Termodinâmica 253 20-5 Entropia no Mundo Real: Máquinas Térmicas 255 20-6 Entropia no Mundo Real: Refrigeradores 260 20-7 AEficiência de Máquinas Térmicas Reais 262 20-8 Uma Visão Estatística da Entropia 263 REVISÃO ERESUMO 267 PERGUNTAS 268 PROBLEMAS 269 A

APENDICES A OSistema Internacional de Unidades (SI) 275 B Algumas Constantes Fundamentais da Física 277 e· Alguns Dados Astronômicos 278 D Fatores de Conversão 279 E Fórmulas Matemáticas 283 F Propriedades dosElementos 286 G Tabela Periódica dos Elementos 289

RESPOSTAS dos Testes edasPerguntas eProblemas Ímpares 290 ,

INDICE 293

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1

IUDLIOrrccA

CAPITULO

,

-

O QUE É FÍSICA?

As obras civis devem ser estáveis, apesar das forças a que são submetidas. U1n edifício, por exemplo, deve permanecer estável, mesmo na presença da força da gravidade e da força do vento; uma ponte deve permanecer estável, mesmo na presença da força da gravidade e dos repetidos solavancos que recebe de carros e caminhões. Um dos objetivos da física é conhecer o que faz com que um objeto permaneça estável na presença de forças. Neste capítulo, examinamos os dois aspectos principais da estabilidade: o equilíbrio das forças e torques que agem sobre objetos rígidos e a elasticidade dos objetos não rígidos, uma propriedade que determina o modo como objetos desse tipo se deformam. Quando usada corretamente, essa física é assunto de artigos em revistas de física e de engenharia; quando usada incorretamente, é assunto de manchetes de jornal e pendências judiciais.

12-2 Equilíbrio Considere os seguintes objetos: (1) um livro em repouso sobre urna mesa, (2) um disco de metal que desliza com velocidade constante em urna superfície sem atrito, (3) as pás de um ventilador de teto girando e (4) a roda de urna bicicleta que se move em uma estrada retilínea com velocidade constante. Para cada um desses objetos, 1. O momento linear Í' de centro de massa é constante. 2. O momento angular L em relação ao centro de massa, ou em relação a qualquer outro ponto, também é constante.

Dizemos que esses objetos estão em equilíbrio. Os dois requisitos para o equilíbrio são, portanto,

-

-

P = constante e L = constante.

(12-1)

Neste capítulo, vamos tratar de situações em que- as constantes na Eq. 12-1 são nulas, ou seja, vamos tratar principalmente de objetos que não se movem, nem em translação nem em rotação, no sistema de referência em que estão sendo observados. Dizemos que esses objetos estão em equilíbrio estático. Dos quatro objetos mencionados no início desta seção, apenas u1n, o livro em repouso sobre a mesa, está em equilíbrio estático. A pedra da Fig. 12-1 é outro exemplo de um objeto que, pelo menos no momento em que foi fotografado, está em equilíbrio estático. Ele compartilha esta propriedade com um número incontável de outras estruturas, como catedrais, casas, mesas de jantar e postos de gasolina, que permanecem em repouso por um tempo indefinido. Como foi discutido na Seção 8-6, se um corpo retorna ao mesmo estado de equilíbrio estático após ter sido deslocado pela ação de uma força, dizemos que o corpo está em equilíbrio estático estável. Um exemplo é uma bola de gude colocada no fundo de uma vasilha côncava. Se, por outro lado, uma pequena força é suficiente

Figura 12-1 Uma pedra em equilíbrio. Embora a sustentação pareça precária, a pedra está em equilíbrio estático. (Syn1on

Lobsa11g/Photis/Jupiter J,nages Co1p.) 1

2

CAPÍTULO 12

figura 12-2 (a) Um dominó equilibrado em uma aresta, com o centro de massa verticalmente acima dessa aresta. ~ linha de ação da força gravitacional ~ a que o dominó está submetido passa pela aresta de apoio. (b) Se o dominó sofre uma rotação, ainda que pequena, a partir da orientação de equihôrio, Fg produz um torque que aumenta a rotação. (e) Um dominó apoiado no lado estreito está e1n uma situação um pouco mais estável do que a do dominó mostrado em (a). (d) Um cubo é ainda mais estável.

O dominó só vai tombar se o centro de massa estiver à direita da aresta de apoio.

CM •

/ ,'K - - - - ~ -11- ~ - . . . . i

t

(a)

Aresta de apoio (b)

(d)

-

(e)

para deslocar o corpo de for1na permanente, dizemos que o corpo está em equilibrio estático instável. Suponha, por exemplo, que equilibramos uma peça de dominó com o centro de massa na vertical e1n relação a uma aresta de apoio, como na Fig. 12-2a. O torque em relação à aresta de apoio devido à força gravitacional F8 que age sobre o dorrúnó é zero porque a linha de ação de ~ passa pela aresta. Assim, o do1!1Ínó está em equilíbrio. Evidentemente, mesmo uma pequena força é suficiente para romper o equilíbrio. Quando a linha de ação de Fg é deslocada para um dos lados da aresta de apoio (como na Fig. 12-2b), o torque produzido por F'g faz o dominó girar até atingir uma posição de equilíbrio diferente da anterior. Assim, o dominó da Fig. 12-2a está em uma situação de equilíbrio estático instável. O caso do dominó da Fig. 12-2c é diferente. Para que o dominó tombe, a força tem que fazê-lo girar além da posição de equilíbrio da Fig. 12-2a , na qual o centro de massa está acima de uma aresta de apoio. Uma força.muito pequena não é capaz de derrubar este dominó, mas u1n piparote com o dedo certamente o fará. (Se arrumarmos vários dominós em fila, um piparote no primeiro poderá provocar a queda de toda a fila.) O cubo de brinquedo da Fig. 12-2d é ainda mais estável, já que o centro de massa tem que ser deslocado ainda mais para passar além de uma aresta de apoio. Um simples piparote não faz o cubo to1nbar. (É por isso que nunca se vê alguém derrubar uma fileira de cubos.) O operário da Fig. 12-3 tem algo em comum tanto com o dominó como con1 o cubo: paralelamente à viga, sua postura favorece o equihbrio e este é estável; perpendicularmente à viga, sua postura é menos favorável ao equilíbrio e este é instável (e à mercê de uma rajada de vento). A análise do equilíbrio estático é 1nuito importante para os engenheiros. Um engenheiro projetista precisa identificar todas as forças e torques externos a que uma estrutura pode ser sub1netida e, através de um projeto bem feito e de uma escolha adequada de materiais, assegurar que a estrutura permaneça estável sob o efeito dessas cargas. Uma análise desse tipo é necessária, por exemplo, para garantir que uma ponte não vai desabar em u1n dia de ventania e que o trem de pouso de um avião vai resistir a u1na aterrissage1n forçada.

17-3 As Condições de Equilíbrio O 1novi1nc11to de translação de un1 corpo é- descrito pela segunda lei de Newton para translaçôl!s, Eq. 9 27 : __. ,.~ = ,, ,, Figura 12-3 Um operário de pé cn1 uma viga está em equilíbrio estático, mas sua posição é mais estável na direção paralela à viga que na direção perpendicular. (Robert Brennerl PhotoEdit)

n·,

,Ir .

(12-2)

Se O corpo está l' lll l'qu1 ltbr10 p,tra translações. t)u scJa. se Pé constante. dP I dt === O e

tC111ú!>

(12-3)

1

1

3

1111111 fllíllO 1 11 A 1 10#\

O 1110\Íllll.'tllll dl' 111l:1i. 1l1 1 d, para rolél\'lll:..,, 1iq 11 , q

11111,

11q 11 11 d,

11

t 1111

111 111

,I I ,l t

Se O corpo l!Sla cn1l'qt1il1h11t1

1 pt1111l11111

d• l l1 V f 111t

' 1

p11111 111111,01•'! , 011

1

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11 11,

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1, q11llrh11t1 ili 1111,1111 1

(l

11 1

i)

Assin1. os requisitos pura que u 11 11.·111p111'Hl rJ111.•111 1•q 11 ll(l 11 l11 ,1n1111k 11111t1ll1111 11:

1. A son1a vetorial dus forçus ex to11111Hque 11g1)tII N11h1 ,. 11 1•111 p11 tl1•v1• 1u11 1111111, 2. A sonu1vetorial dos lorqucs cxlc11111Hque ug1•111 ,u,h1 1J 111•1111111, 1111•1lltl11111 11111•l11~n11 a qualquer ponto, deve so,· nulu.

Esses requisitos, obvia111ente, vulc111 ptu·u u cquil (hl'lo ,,,,·tt1tl,•o, 1i11t rr,l1111101 v11lt 11 1 também para o caso de equilíbrio n1tlis gc1·ul 110 qu11I /i 1• I~11n111·0111111111l ~t1 1 11111h di• ferentes de zero. As Eqs. 12-3 e 12-5, cotno qualquer equnc,;no vutul'l11l, 11no cq11lv11lót1l~11. i;11tl11 1111111, a três equações independentes, u111u put·u cuuu eixo do 11i11tcu111 (lt, 1•001·d11n11d11H: Equilíbrio

l3qullíhl'io

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1r.v••, -

O

7j~N.I

Fl'C~,)' .... F,'Cs,z = O

7'11)N,)'

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o

( 1?.•h)

()

Vamos simplificar o problema considcrun' ~

está submetida está aplicada ao centro d~ massa e é igualª mg. Analogamente, a força gravitacional F'g,bloco a qu~ ~ bloco está submetido está aplicada ao centro de massa e e igualª Mg. Para simplificar a Fig. 12-7b, o bloco foi represe~tado por um ponto da viga e f'g,bloco foi des~ada com a ongem na viga. (Esse deslocamento do vetor Fg,bloco ao ~ongo de sua linha de ação não altera o torque produzido por Fg,bJoco em relação a qualquer eixo perpendicular à figura.) Como as forças não possuem componentes x, a Eq. 12-7 (Fres,x = O) não fornece nenhuma informação. No caso • das componentes y, a Eq. 12-8 (Fres.y = O) pode ser escnta na forma (12-21) Fe + Fd - Mg - mg = O. Como a Eq. 12-21 contém duas incógnitas, as forças F. e Fd, precisamos usar também a Eq. 12-9, a equação de equiliôrio dos to~,iues. Podemos aplicá-la a qualquer eixo de rotação perpendicular ao plano da Fig. 12-7. Vamos escolher um eixo de rotação passando pela extremidade esquerda da viga. Usaremos também nossa regra geral para atribuir sinais aos torques: se um torque tende a fazer um corpo inicialmente em repouso girar no sentido horário, o torque é negativo; se o torque tende a fazer o corpo girar no senti anti-horário, o torque é positivo. Finalmente, vamos escrever os torques na forma r.1.F, onde o braço de alavanca r.1. é Opara F., U4 para Mg, U2 para mg e L para t. Podemos agora escrever a equação do equilíbrio ( 7'res., = O) como

-

Explicitando F, na Eq. 12-21 e substituindo os valores conhecidos, obtemos Fe = (M + m )g - Fd

As forças verticais se equilibram, mas isso não basta.

F,

l L

4

.,

-

.

1 2 t

1

1

1 1

= (2,7 kg + 1,8 kg)(9,8 m/s2)

•Fd

•

1

"'--viga -+

...

F.!!',Viga . = mg

...

Fg,bloc:o =

-

Mg

(b)

Devemos também equilibrar os torqu es, com uma escolha criteriosa dos eixos de rotação.

Figura 12-7 (a) Uma viga de massa ,n sustenta um bloco de massa M. (b) Diagrama de corpo livre, mostrando as força5

que agem sobre o sistema viga

+ bloco.

-

15,44 N

28,66 N = 29 N. (Resposta) Observe a estratégia usacla na solução: quando escrevemos uma equação para o equilíbrio das componentes das forças, esbarramos en1 duas incógnitas. Se tivéssemos escrito urna equação para o equilíbrio de torques em tomo de um eixo qualquer, teríamos esbarrado nas mesmas duas incógnitas. Entretanto, corno escolhemos um eixo que passava pelo ponto de aplicação de uma das forças desconhecidas, ~. a dificuldade foi contornada. Nossa escolha eliminou F. da equação do torque, per1nitindo que obtivéssemos o módulo da outra força, Fd. Em seguida, voltamos à equação do equillôrio de forças para calcular o módulo da outra força. =

X

Bloco _/

(Resposta)

9

1o

C1\PITLI LO 12

12-6 Estruturas Indeterminadas , 1o. temos apena, trc· s •~h111«lo llllltl IIIOHII fllllllllU

U111a n1esa tcn1 lr~s pernas C(llll 1,00 111 dl· c11111pri111l'lllll e tuna quarta perna con1 u111 co111prit11l'llln adil·in11:il ,/ 0,50 111111, que faz co111 qui: a 1nesa f1qul' 1igt·1r,1n1t·11ll' hn111 ba. U111 cilindro de aço de n1assa AI 2'>0 kg e colol'ndn sobre a mesa (que te111 un1a n1assa n1uito llll.'t1or qut· A/),

comp1i 111indo as quatro pernas sc,n i:nverga-las e l'a;,l'lldo com que a mesa fique nivelada. As pcr1u1s súo cilindros de 1nadeira co1n un1a área da seção reta 1\ = t ,O cn,i; o ,nódulo de Young é E= 1.3 X 10'º N/1n 2• Quais são os 1nódulos das forças que o chão exerce sobre as pernas da n1esa?

Tomamos a mesa e o cili11dro de aço con10 nosso sisten1a. A situação é a da Fig. 12-8, exceto pelo fato de que agora temos um cilindro de aço sobre a 1nesa. Se o tan1po da n1esa perma11ece nivelado, as pernas deve111 estar co111prin1idas da seguinte forma: cada un1a das pernas 1nais curtas sofreu o mesmo encurtamento (va1nos cha111á-lo de !lL.1), e, portanto, está submetida à mesn1a força F3• A perna 1nais co1nprida sofreu um encurta1nento n1aior, !lL4, e, portanto, está submetida a u1na força F4 maior que F.1. En1 outras palavras, para que a mesa esteja nivelada, deve1nos ter ÂL 4 = t!,.L 3

+ e/.

(12-26)

De acordo com a Eq. 12-23, pode111os relacionar u1na variação do comprimento à força responsável por essa variação através da equação til = FUAE, onde L é o comprimento original. Podemos usar esta relação para substituir AL4 e ~ na Eq. 12-26. Observe que pode1nos to1nar o comprimento original L como aproxi1nada1nente o mesmo para as quatro pernas. Cálculos Fazendo essas substituições e essa aproxh11ação,

podemos escrever: ~ -~--·---

/ I

( 12 27)

1 ,,•

1\ J

Nan podt·1nos l'l'Slvt·r ,1, 1•,q. 12- 27 por(IUL' ela pssui duas inl'ognitns, ,,., t' , .,,, l'nru nhlt·r u1na sl'gunda cquaça lic11n1 hloquL'Hda, e derrapam na pista. o coelicienle de ntrito c:inetico cnlre os pneus e a p1,ta é 0.40. A distiinciu entre os eixos dianteiro e traseiro é/.., 4.2 1n e o centro de massa do carro cst.í n tunn distftncia ri 1,8 111 atr,1s do eixo dianteiro e a un1a altura h - 0,75 111 acirnn da pista. O carro pesa 11 kN Detern1inc o n1ódnlo (n) da acclcnu;iio do cnrro durante a frenagem. (b) da força nonnnl a que unta dns rodas traseiras é submetida, (e) da força norn1al a que tuna dus rodas dianteiras é sub1netida, (d) da força de frcnagein n que t11nn das rodas traseiras é subn1etida, e (e} da força de frcnagcn1 n que t11nu das rodas dianteiras é submetida. (Sugestão: cmborn o curro não esteja c,n equilíbrio para translações. está ein equilíbrio para rotações.)

-

••29 Uma porta tem uma altura de 2,1 m, ao longo de um eixo y

que se estende verticalmente para cima, e uma largura de 0,91 m, ao longo de um eixo x que se estende horizontalmente a partir do lado da porta que está preso com dobradiças. Uma das dobradiças está a 0,30 m da borda superior da porta e outra a 0,30 m da borda inferior; cada uma sustenta metade do peso da porta, cuja massa é 27 kg. Em termos dos vetores unitários, qual é a força exercida sobre a porta (a) pela dobradiça superior e (b) pela dobradiça inferior? ••30 Na Fig. 12-44, um cartaz

quadrado homogêneo de 50,0 kg, de lado L = 2,00 m, está pendurado em uma barra horizontal de comprimento dh = 3,00 m e masDobradiça sa desprezível. Um cabo está preso Barra em uma extremidade da barra e em ·~==:=,t um ponto de uma parede a uma disH. Silva tância dv = 4,00 m acima do ponto [~1"'~T.. onde a outra extremidade da barra está presa na parede por uma dobradiça. (a) Qual é a tensão do cabo? Qual é (b) o módulo e (c) o sentido (para a esquerda ou para a direita) Figura 12- 44 Problema 30. da componente horizontal da força que a dobradiça exerce sobre a haste e (d) o módulo e (e) o sentido (para cima ou para baixo) da componente vertical dessa força?

i

_l

••31 Na Fig. 12-45, urna barra não homogênea está suspensa em

i-.--

d __.,

,,___ _ _ _ _ L - - - -..i

Figura 12-46 Problen1a 32. ••33 A Fig. 12-47a n1osu·a un1a viga vertical ho1nogênea de con1· prin1ento L que está presa a tuna dobradiça na extremidade inferior. Uma força horizontal F,, é aplicada à viga a uma distânciayda extren1idade inferior. A viga per1nanece na vertical porque há uni

cabo preso na extre1nidade superior, fazendo um ângulo e co1n a horizontal. A Fig. 12-47b 1nostra a tensão Tdo cabo em função do ponto de aplicação da força, dada como tuna fração y/L do co1npri· mento ~a barra. A escala do eixo vertical é definida por T, = 600 N. A Fig. 12-47c n1ostra o 111ódulo F,, da co1nponente horizontal da força que a dobradiça exerce sobre a viga, tambén1 em função de y/L. Calcule (a) o ângulo() e (b) o n1ódulo de fr,,. ••34 Na Fig. 12-43, un1a barra fina AB de peso desprezível e co1n· primento L está presa a un1a parede vertical por urna dobradiça no ponto A e é sustentada no ponto 8 por un1 fio fino BC que faz uni ângulo 9 coin a horizontal. Un1 bloco de peso p pode ser deslocado para qualquer posição ao longo da barra; sua posição é definida pe!u

distância x da parede ao seu centro de 1nassa. Dcterrninc, cm fun~a~ dex, (a) a tensão do fio e as co,nponcntes (b) horizontal e (e) veruca da força que a dobradiça exerce sobre a barra no ponto A. . . de areia . e pcs·a 890 N· Dese1n·a . cu' b'1ca est".< e11c1a • •35 U111a caixa . .. , t 1 ·r1tc por u111 1nos fazer a caixa "rolar•' en1purranclo-a ho11í':Oll a inc . b) Qual

repouso, na horizontal, por duas cordas de massa desprezível. Uma corda faz um ângulo (} = 36,9° com a vertical; a outra faz um ângulo = 53, 1° co1n a vertical. Se o comprimento Lda barra é 6, 1O das bordas superiores. (a} Qual é a ,ncnor força necessária? (. , e0 . ntrc a ca1x11 ' , , oJar, m, calcule a distância x entre a extremidade esquerda da barra e o é o 1nenor coeficiente cJe atrito est:Hic:o ncccss áno e . . . • l • 1 • fazer a cu1x,1 r piso? (e} Se existe u1n 1nocJo 1na1s e f'1c1cn e te centro de 1nassa.

,

PARTE 1 . ,

EOUILIBRIO E ELASTICIDADE

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1

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240

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Figura 12-49 Problema 37.

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i

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O

0,2 0,4 0,6 0,8 y/L

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1

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1

(e)

Figura 12-47 Problema 33.

detennine a menor força possível que deve ser aplicada diretamente à caixa para que isso aconteça. (Sugestão: qual é o ponto de aplicação da força normal quando a caixa está prestes a tombar?) ••36 ~ A Fig. 12-48 mostra uma alpinista de 70 kg sustentada apenas por uma das mãos em uma saliência horizontal de uma encosta vertical, uma pegada conhecida como pinça. (A moça exerce uma força para baixo com os dedos para se segurar.) Os pés da alpinista tocam a pedra a uma distância H = 2,0 m verticalmente abaixo dos dedos, mas não oferecem nenhum apoio; o centro de massa da alpinista está a uma distância a = 0,20 m da encosta. Suponha que a força que a saliência exerce sobre a mão está distribuída igualmente por quatro dedos. Determine o valor (a) da componente horizontal Fh e (b) da componente vertical F,. da força exercida pela saliência sobre uni dos dedos.

CM

•

1

• •38 Na Fig. 12-50, vigas homogêneas A e B estão presas a uma parede por dobradiças e frouxamente rebitadas uma na outra (uma não exerce torque sobre a outra). A viga A tem um comprimento LA = 2,40 m e uma massa de 54,0 kg; a viga B tem uma massa de 68,0 kg. As dobradiças estão separadas por uma distância d = 1,80 m. Em termos dos vetores unitários, qual é a força (a) sobre a viga A exercida por sua dobradiça, (b) sobre a viga A exercida pelo rebite, (c) sobre a viga B exercida por sua dobradiça e (d) sobre a viga B exercida pelo rebite?

Rebite

-

d

..

Figura 12-50 Problema 38.

•••39 Os lados AC e CE da escada da Fig. 12-51 têm 2,44 m de

comprimento e estão unidos por uma dobradiça no ponto C. A barra horizontal BD tem 0,762 m de comprimento e está na metade da altura da escada. Um homem pesando 854 N sobe 1,80 m ao longo da escada. Supondo que não há atrito com o chão e desprezando a massa da escada, detennine (a) a tensão da barra e o módulo da força que o chão exerce sobre a escada (b) no ponto A e (c) no ponto E. (Sugestão: isole partes da escada ao aplicar as condições de equihôrio.)

H

D

-ja Figura 12- 48 Problema 36.

••37 Na Fig. 12-49, uma prancha ho1nogênea, com u1n comprimento L de 6,10 me um peso de 445 N, repousa apoiada no chão e em um rolamento sem atrito no alto de un1a parede de altura h = 3,05 n1. A prancha permanece em equilíbrio ~ara qualqu~r valor de O> 70º. mas escon·ega se O< 70º, Deter1n1ne o coeficiente de

atrito estático entre a prancha e o chão.

A

E

Figura 12-51 Problema 39. •••40 A Fig. 12-52a mostra uma viga horizontal homogênea, de massa ,nbe comprimento L, que é sustentada à esquerda por uma dobradiça presa a uma parede e à direita por um cabo que faz u1n ângulo

'

22

. ...-, . .

--

•

..

••

"'

1

..

-

CAPITULO 12

Ocom a horizontal. Um pacote de massa m está posicionado sobre a viga a u,na distância x da extremidade esqu;rda. A massa total é mb + 111,. = 61,22 kg. A Fig. 12-52b mostra a tensão T do cabo em função

da posição do pacote, dada como uma fração xiL do comprimento da viga. A escala do eixo das tensões é definida por T0 = 500 N e Tb = 700 N. Calcule (a) o ângulo(}, (b) a massa mbe (c) a massa mP.

~-L--j

-

.-

0,2

(a)

-

colocado sobre eles. Que fração da ma,,a antes que o • . do tijolo é sustentada (a) pelo cilindro A e (b) pelo.~J!1ndro /3: A· distâncias horizontais entre o centro de massa do t1Jolo e 01, eixo\ dos cilindros são d,.. e da. (c) Qual é o valor da razão d,..ldn?

:1~:. 1

-

0,4

0,6 x/L

0,8

1

Figura 12-52 Problema 40. •••41 Um caixote, na forma de um cubo com 1,2 m de lado con-

tém uma peça de máquina; o centro de massa do caixote e d~ conteúdo está localizado 0,30 m acima do centro geométrico do caixot7. O caixote repousa em uma rampa que faz um ângulo (} com a hon.zo~tal. Quando (} aumenta a partir de zero, um valor de ângulo é at1ng1~0 para o q~al o c~xote tomba ou desliza pela rampa. Se o coeficiente de atrito estático J.Ls entre a rampa e o caixote é 0,60, (a) a rampa tomba ou desliza? (b) Para que ângulo(} isso acontece? S~ J.Ls = 0,70, (c) o caixote tomba ou desliza? (d) Para que ângulo (} isso acontece? (Sugestão: qual é o ponto de aplicação da força normal quando o caixote está prestes a tombar?) •• •42 No Exemplo da Fig. 12-5, suponha que o coeficiente de atrito estático J.Ls entre a escada e o piso é 0,53. A que distância (como porcentagem do comprimento total da escada) o bombeiro deve subir para que a escada esteja na iminência de escorregar? Seção 12-7 Elasticidade •43 Uma barra horizontal de alumínio com 4,8 cm de diâmetro se projeta 5,3 cm para fora de uma parede. Um objeto de 1200 kg está suspenso na extremidade da barra. O módulo de cisalhamento do alumínio é 3,0 X 1010 N/m2 • Desprezando a massa da barra, determine (a) a tensão de cisalhamento que age sobre a barra e (b) a deflexão vertical da extremidade da barra. •44 A Fig. 12-53 mostra a curva tensão-deformação de um material. A escala do eixo das tensões é definida por s = 300, em unidades de 10 6 N/m2 • Determine (a) o módulo de Young e (b) o valor aproximado do limite elástico do material. /

-

e

~ Figura 12-53 Problema 44.

/

ºo

e

,......

-----------

~

o b

'â

~ ak_ :::_::::_::-: :J_j__j Figura 12-55 Problema 46.

o

1,0 1,4 Deformação

2,0

;•47 Um túnel de comprimento m, altura rn, argura de 5•8 m e tet? plano deve ser construído a uma distância L = 150

H = 7,2

d - 60 m da s~perfície. (Veja a Fig. 12-56.) O teto do túnel deve

ser ~ustentado inteiramente por colunas quadradas de aço com uma seçao reta de 960 cm2. A massa de 1,0 cm3 de solo é 2 8 g (a) Qual é o peso t~tal que as colunas do túnel devem sustentar? (b)Quantas colunas sao necessárias para manter a tensao - compressiva em cada co1una na metade do limite de ruptura?

--

0,002 0,004 Deformação

sobre os cilindros A e B. As áreas das faces superiores dos cilindros obedecem à relação AA = 2A8 ; os módulos de Young dos cilindros obedecem à relação EA = 2E8 • Os cilindros tinham a mesma altura

B

......

'

•45 Na Fig. 12-54, um tijolo de chumbo repousa horizontalmente

1

8

-· - - --

1

~

•

,, /

1 o,j

••46 -:::a-W A Fig. 12-55 mostra o gráfico tensão-deformação aproximado de um fio de teia de aranha, até o ponto em que se rompe com uma deformação de 2,00. A escala do eixo das tensões é definida por a = 0,12 GN/m2, b = 0,30 GN/m2e e = 0,80 GN/m2• Suponha que o fio tem um comprimento inicial de 0,80 cm, uma área da seção reta inicial de 8,0 X 10- 12 m2 e um volume constante durante o alongamento. Suponha também que quando um inseto se choca com o fio, toda a energia cinética do inseto é usada para alongar o fio. (a) Qual é a energia cinética que coloca o fio na iminência de se romper? Qual é a energia cinética (b) de uma drosófila com uma massa de 6,00 mg voando a 1,70 m/s e (c) uma abelha com uma massa de 0,388 g voando a 0,420 m/s? O fio seria rompido (d) pela drosófila e (e) pela abelha?

/

o 'lJ! e

do

A

Figura 12-54 Problema 45.

(b)

s

. · lo fosse tIJO

T Figura 12-56 Problema 47.

23

EQUILÍBRIO E ELASTICIDADE

••4s A Figura 12-57 mostra a curva tensão-deformação de um fio de alumínio que está sendo ensaiado em uma máquina que puxa as duas extremidades do fio em sentidos opostos. A escala do eixo das tensões é definida por s = 7 ,O, em unidades de 107 N/m2 • O fio tem um comprimento inicial de 0,800 m e a área da seção reta inicial é 2,00 x 10- 6 m2 • Qual é o trabalho realizado pela força que a máquina de ensaios exerce sobre o fio para produzir uma deformação de 1,00 X 10- 3? s

/

1/ / / i.,

1/ 1,0 Deformação (10-3)

Figura 12- 57 Problema 48.

••49 Na Fig. 12-58, um tronco homogêneo de 103 kg está pendurado por dois fios de aço, A e B, ambos com 1,20 mm de raio. Inicialmente, o fio A tinha 2,50 m de comprimento e era 2,00 mm mais curto do que o fio B. O tronco agora está na horizontal. Qual é o módulo da força exercida sobre o tronco (a) pelo fio A e (b) pelo fio B? (c) Qual é o valor da razão dA/d8 ?

,

'

Fio A

' ..- dA • , • dn-

FioB

1

1 1

1 -

CM

-

F

Calço B Calço A

i... J •- - - r,1 _ _ _...,

Eixo

Figura 12- 60 Problema 51. Problemas Adicionais 52 Depois de uma queda, um alpinista de 95 kg está pendur_ado na

~

o

....

extremidade de uma corda originalmente com 15 m de compnmento e 9,6 mm de diâmetro, que foi esticada de 2,8 cm. Determine (a) a tensão, (b) a deformação e (c) o módulo de Young da corda. 53 Na Fig. 12-61, uma placa retangular de ardósia repousa em uma superfície rochosa com uma inclinação 8 = 26º. A placa tem um comprimento L = 43 m, uma espessura T = 2,5 m, uma largura W = 12 me 1,0 cm3 da placa tem uma massa de 3,2 g. O coeficiente de atrito estático entre a placa e a rocha é 0,39. (a) Calcule a componente da força gravitacional que age sobre a placa paralelamente à superfície da rocha. (b) Calcule o módulo da força de atrito estático que a rocha exerce sobre a placa. Comparando (a) e (b), você pode ver que a placa corre o risco de escorregar. Isso é evitado apenas pela presença de protuberâncias na rocha. (c) Para estabilizar a placa, pinos devem ser instalados perpendicularmente à superfície da rocha (dois desses pinos são mostrados na figura). Se cada pino tem uma seção reta de 6,4 cm2 e se rompe ao ser submetido a uma tensão de cisalhamento de 3,6 X 108 N/m2, qual é o número mínimo de pinos necessário? Suponha que os pinos não alteram a força normal.

:: . .

Figura 12-58 Problema 49. •••50 ,'2'Ff A Fig. 12-59 mostra um inseto capturado no ponto

médio do fio de uma teia de aranha. O fio se rompe ao ser submetido a uma tensão de 8,20 X 108 N/m2 e a deformação correspondente é 2,00. Inicialmente, o fio estava na horizontal e tinha um comprimento de 2,00 cm e uma área da seção reta de 8,00 X 10- 12 m2• Quando o fio cedeu ao peso do inseto, o volume permaneceu constante. Se o peso do inseto coloca o fio na iminência de se romper, qual é a massa do inseto? (Uma teia de aranha é construída para se romper se um inseto potencialmente perigoso, como uma abelha, fica preso na teia.)

Figura 12-61 Problema 53. 54 Uma escada homogênea com 5,0 m de comprimento e 400 N

de peso está apoiada em uma parede vertical sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre o chão e o pé da escada é 0,46. Qual é a maior distância a que o pé da escada pode estar da base da parede sem que a escada escorregue? 55 Na Fig. 12-62, o bloco A, com uma massa de 10 kg, está em repouso, mas escorregaria se o bloco B, que tem uma massa de 5 kg'. fosse mais pesado. Se 8 = 30°, qual é o coeficiente de atrito e~-

o

tátlco entre o bloco A e a superfície na qual está apoiado?

-

/9-

Figura 12-59 Problema 50. A

•••51 A Fig. 12-60 é uma vista superior de uma barra rígida que

gira em torno de um eixo vertical até que dois calços de borracha exatamente iguais, A e B, situados a'" = 7,0 cm e r11 = 4,0 cm de distância do eixo sejam empurrados contra paredes ngidas. lnicialmente, os calços tocam as paredes sem sofrer compressão. Em seguida, uma força F de módulo 220 N é aplicada perpendicularmente à barra a uma distância R = 5,0 cm do eixo. Determine o módulo da força que comprime (a) o calço A e (b) o calço B.

"'

1

B

Figura 12-62 Problema 55.

-

24

CAPITIJ L(J 12

56 1\ Fig. l 2-ll.1t1 rnu:-.tra un1a 1an1pa h111noi•t't1t'll t't1l 1t· cloi.., l'dilí cio, que lc, a c1111.onta a po:-.-.ihihdadc de qu1.: º" ed1ffc111i-. 11sl 1k·111 ao ,ere,n ,ub1nctidos a ventos fortes. Na cxt1c111idadc esquc1cla, e,1a presa por urna dobradiça na parede de un1 do1, e Nortl' 1con1(1 ( i II l l ti li II l111111111 ) t' dl'po1, vohari a :,n polo Nortl'. rl.!pcll ndo

1111d, 111111111

til

ll'lo

p111a

11111 1, 111111 ,11·1•,111v,, p,11.1 1111lu..:.1r

\l'1t1p1c.

13-6 Energia Potencial Gravitacional Na Seção 8-4, discutin1os ~ t?nergia potencial gravi1ncin1111l de 11111 sis1en1a pur1í- Este par tem ,,, 1 cula-Te1Ta. Ton1a111os o cuidado de n1unlcr a pari Íl'\lla perto da superfície cti, Ter- energia , ~ ra para que a força gravitacional fosse aproxin1atlantl'llll' l'Ollslanlc e cscolhcn1os potencial. / \ un1a configuração de referência do sistc1na paru a qual u energia potencial graEste par, r, .1 ':.?J vitacional fosse nula. Na n1aioria dos cusos, nesta conl'iguraçao de referência, a também. / partícula estava na superfície da Terra. Para parlículus fora dn superfície da Terra, a energia potencial gravitacional aun1entavu qt1ando a di slfi11cin entre a partícula 1111 - - - - '1:1 - - e a Terra aun1entava. Este par, também. Vamos agora alargar nossa visão e considerar n cncrgia potencial gravitacional U de duas partículas, de n1assas 111 e M, separadas por unia distfincia r. Mais un1a Figura 13-8 Um sistema formado vez, vamos escolher un1a configuração de rel'crência con1 V igual a zero. Entretan- por três partículas. A energia potencial to, para simplificar as equações, a distância r na conliguração de referência agora é gravitacional do siste111a é a soma das tão grande que poden1os considerá-la i1{/i11ita. Conto antes, ajcnergia potencial gra- energias potenciais gravitacionais dos três pares de partículas. vitacional di1ninui qua11do a distância diininui1Con10 U = O para r = oo, a energia potencial é negativa para qualquer distância finita e se torna progressiva1nente mais negativa à 1nedida que as partículas se aproxin1an1. Com esses fatos e111 mente, ton1an1os, con10 justificarcn1os a seguir, a energia potencial gravitacional do sisten1a de duas partículas con10 GM111

U=---r

(energia potencial g111vitaeionul ).

( 13-21)

Note que U(r) tende a zero quando r tende a infinito e que, para qualquer valor finito der, o valor de U(r) é negativo. A eneroia potencial dada pela Eq. 13-21 é u1na propriedade do siste1na de duas 0 partículas e não de cada partícula isolada1nente. Não é possível dividir essa energia e afirmar que uma parte perte11ce a un1a das partículas e o restante pertence à outra. Entretanto se M ~ 111 , como acontece no caso do siste1na for1nado pela Terra (de massa M) ~ uma bola de tênis (de 1nassa 111 ), frequenten1ente falamos da "energia potencial da bola de tênis". Podemos falar assin1 porque, quando uma bola de tênis se move nas proximidades da superfície da Terra, as variações .de _energia pote.nci~l do sistema bola- Terra aparece111 quase inteira1ncn~e c~,n~ var1açoes d: energia cinética da bola de tênis, já que as variações da energia c1nét1ca da Terra sao P,7quen~s demais para seretn inedidas. Analogan1entc, na Seção 13-8. falaremos da en~rgta potencial de uin satélite artificial" en1 órbita da Terra porqu? a 1nassa do sat~l1te é 1nuito menor que a massa da Terra. Por outro lado, quando. f ala1nos da energia potencial de corpos de 111assas coinparúveis, dcvcn1os ter o cuidado de tratá-los como

1

um siste1na. Se nosso sistetna contétn 111ais de duas partículas, considcra111os cada par de partículas separadamente, calculainos a energia potencial gravitacional desse par usand.o n10 estivesscn1 presentes e so1nan1os algebr1a Eq . 13-21 co1no se as outras P.."i·ti'cltl·is •· • · camente os resultados. Aplicantlo a Eq. t 3-2 1 a cada un1 dos trcs pares ele part1culas A

,

,

CAPÍTULO 13

38

btcmo'> a energia potencial do sistema como da Fig. J3-8, por cxcmp1o, o )

F

Para deslocar uma bola de tênis para cima, é preciso realizar trabalho.

p

T R

l Figura 13-9 Uma bola de tênis é

lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra, passando pelo ponto P a uma distância R do ce~tro da Terra. A força gravitacional F que age sobre a bola e o vetor deslocamento diferencial dr estão representados ao longo de um eixo radial r.

U= - (

r;m1m 2

+

Gm1m3 -+- Gm 21n3 ).

,.

' 12

(13

~

f 13

-22)

Demonstração da Equação 13-21 Su onha ue uma boJa de tênis seja ]ançada v~ícaJmente para cima a partir da sue:Cície d~ Terra, como na pjg. J3-9. Estamos interessados em obte~ u~~ expres. ;ão para a energia potencia] gravitacíonaJ U da bola no ponto P da traJetona, ~ uma distância radial R do centro da Terra. Para isso, calculamos O trabalho l-V reahz.ado sobre a bola pela força gravitacional enquanto a bola se mov~ do _ponto!' at~ uma distância muito grande (infinita) da Terra. Como a força ~a:ttactonal ~ (r ) e uma força variável (o módulo depende der), devemos usar as téCD.lcas da Seçao 7-8 para calcular o trabalho. Em notação vetorial, podemos escrever

w == J,"' F(r). dr.

(13-23)

/(

A integral contém O produto escalar da força F(r) pelo :etor deslocamento düeren-

cial dr ao longo da trajetória da bola. Podemos expandrr esse produto como F(r) • dr == F(r) dr cos ,

(13-24)

onde cp é o ângulo entre F(r) e dr. Quando substituímos por 180º e F(r) pelo seu valor, dado pela Eq. 13-1, a Eq. 13-24 se toma F(r) • dr = -

GMm

r2

dr,

onde M é a massa da Terra e m é massa da bola. Substituindo na Eq. 13-23 e integrando, obtemos W = - GMm

"i ' R

1 2f dr =

GMm "'

r

R

= O _ GMm = _ GMm

R G

'

onde W é o trabalho necessário para deslocar a bola do ponto P (a uma distância R) até o infinito. A Eq. 8-1 (AU = - W) nos diz que também podemos escrever esse trabalho em termos de energias potenciais como

F

E

R

(13-25)

D

U..., - U = - W.

Como a energia potencial no infinito U,,, é nula, Ué a energia potencial em P e Wé dado pela Eq. 13-25, esta equação se toma U = W = _ GMm A trajetória seguida de AaGé A

R

.

Substituindo R por r, obtemos a Eq. 13-21, que queríamos demonstrar.

irrelevante.

Independência da Trajetória

Figura 13-1 O Perto da superfície da

Terra, uma bola de tênis é deslocada do ponto A para o ponto G ao longo de urna trajetória formada por segmentos radiais e arcos de circunferência.

Na Fig. 13- 1O, deslocamos unia bola de tênis do ponto A para O ponto G ao longo de u1na tr,úctóría co,nposta por três segmentos radiais e trés arcos de circunferência (co1n o centro no centro da 'f erra). Esta1nos interessados no trabalho total iv realizado pela força gravitacis 1cali1.ad,J-, pela força Fac, longo dos três segmentos radiais-

nnAv11 "r ,,11 S11p11nl111 agora que rcduzin1os n1cntalmente o con1prin1ento dos arcos para zero. Nl'SSt' t·nso, t•st;u11os deslocando a bola de A para G ao longo de um único seg111ento nulinl. () vnlor de W é , pcrfotln de r111,1\,1t, 1 dos planetas são s11hr1• 11 p11rll1•11l11 ,\ s1•ja nuln'!

uma partícula ele rnasilC.-- - - + - - ' .,., _ _ 1500 dias

-

--i

Tempo

Figura 13- 48 Problema 58.

•• •59) rrés estrelas iguais de massa M formam um triângulo equilátero que gira e,n torno do centro do triângulo enquanto as estrelas se ,nc>vem ao longo de u1na mesma circunferência. O lado do triângulo l)OSsui um comprimento L. Qual é a velocidade das estrelas? Scçilo 13-8

Satélites: Órbitas e Energias

• •66 Uma forma de atacar um satélite em órbita da Terra é dispa-

rar uma saraivada de projéteis na mesma órbita do satélite, no sentido oposto. Suponha que um satélite em órbita circular, 500 km acima da superfície da Turra, colida com um projétil de massa 4,0 g. (a) Qual é a energia cinética do projétil no referencial do satélite imediatamente antes da colisão? (b) Qual é a razão entre a energia cinética calculada no item (a) e a energia cinética de uma bala de 4,0 g disparada por um rifle moderno das forças armadas, ao deixar o cano com uma velocidade de 950 m/s? •••67 Quais são (a) a velocidade e (b) o período de um satélite kg em uma órbita aproximadamente circular 640 km aci~:.K)

•60 Na Fig. 13-49, dois satélites, A e B, ambos de massa m = 6 125 kg, c1cupam a mesma órbita circular de raio r = 7 ,87 X 10 m

ma da superfície da Terra? Suponha que o satélite perde energia mecânica a uma taxa média de 1,4 X 105 J por revolução orbital. c1n ttal imediatamente após a colisão. (c) Logo depois da Terra é conservado (g) para o satélite e (h) para o sistema satélite cc,lisão, os dc8troços caem cm direção ao centro da Terra ou conti- --: Terra (supondo que o sisten1a é isolado)? nua,n cm órbita da 1'erra? • ~ ~ uas pequenas espaçonaves, ambas de massa m = 2000 kg,

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A{

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Figura 13-49 f' roble,ntL60. •61 (a) A que distância da superfície da Terra a e11crgia necessária

para fazer u1n ~atélite sttbir até essa altitude é igual à energia cinética nccc~~úrit1para que o ~atélitc se mantcnl1a cm órbi~a circular ~a n1ci,ma altitude? (h) E1n altitudes maiores, qual é mr,,or, a energia

estão na órbita circular em torno da Terra da Fig. 13-50, a uma altitude /1 de 400 km. Kirk, o comandante de uma das naves, chega a qualquer ponto fixo da órbita 90 s a11tes de Picard, o comandante da segunda nave. Determine (a) o período T0 e (b) a velocidade v0 das naves. No ponto P da Fig. 13-50, Picard dispara um retrofoguete instantâneo na direção tangencial à órbita, recli1zit1clo a velocidade da nave e1n 1,00o/o. Depois do disparo, a nave assu1ne a órbita elíptica representada na figura por uma linha tracejada. Determine (c) a energia cinética e (d) a energia potencial da nave imediatamente após o disparo. Na nova órbita elípti ca de Picard, quai s são (e) a energia total E, (f) o semieixo maior a e (g) o período orbital T? (11) Quanto tempo Picard chega ao ponto P antes de Kirk?

56

CAPITULO 13

Ç

,

., , _..,... _. . . ...

''

\

1

1 1

J> ,\I

,.

-,

-·o

Figura 13.50 Proble,na 68. 1.') j

Seção 13-9 Einst ein e a Gravitação

•69 Na Fig. 13-17b, a leitura da balança usada pelo físico de 60 kg é 220 N. Quanto tempo o melão leva para chegar ao chão se o físico o deixa cair (sem velocidade inicial em relação ao físico) de um ponto 2, l n, acima do piso? Problemas Adicionais 70 O raio Ri, de um buraco negro é o raio de uma superfície esférica

chamada de horizonte de eventos. Nenhu,na informação a respeito da região situada no interior do horizonte de eventos pode chegar ao mundo exterior. De acordo com a reoria da relatividade geral de Einstein, Ri, = 2GM/c2, onde M é a massa do buraco negro e e é a velocidade da luz. Suponha que você deseje estudar um buraco negro a uma dis• tância de SOR1,. Para evitar efeitos desagradáveis, você não quer que a diferença entre a aceleração graviracional dos seus pés e a da sua cabeça exceda 1O m/s 2 quando você está com os pés (ou a cabeça) na direção do buraco negro. (a) Qual é o limite tolerável da massa do buraco negro, em unidades da massa M 5 do Sol? (Você precisa conhecer o seu peso.) (b) O limite calculado no item (a) é um limite superior (você pode rolerar massas menores) ou um limite inferior (você pode tolerar massas maiores)? 71 Vários planetas (Júpiter, Saturno, Urano) possuem anéis, talvez formados por fragmentos que não chegaram a formar um satélite. Muitas galáxias também contêm estruturas em forma de anel. Considere um anel fi no homogêneo de massa M e raio externo R (Fig. 13-51). (a) Qual é a atração gravitacional que o anel exerce sobre uma partícula de massa 111 localizada no eixo central, a u,na distância x do centro? (b) Suponha que a partícula do item (a) seja liberada a partir do repouso. Com que velocidade a partícula passa pelo centro do anel?

X

---111

Figura 13-52 Problema 73.

7 4 _.._~ o visitante 1nisterioso que aparece na encantadora hi,. tória Pequeno Príncipe teria vindo de um planeta que "era pou. co maior do que uma casa!". Suponha que a massa específica do planeta seja aproximadamente igual à d~ Terra e que a rotação ,cja · desprezível. Detern,ine os valores aproximados (a) ~a aceleração de queda livre na superfície do planeta e (b) da velocidade de escape do planeta. 75 As massas e coordenadas de três esferas são as seguintes: 20 kg, x = 0,50 m, y = 1,0 1n ; 40 kg. x = - 1,O m, y = - 1.0 m; 60 kg, x = O m, y = - 0,50 n1. Qual é o módu lo da força gravitacional que as três esferas exercem sobre uma esfera de 20 kg localizada na origem?

õ'

76 Um dos primeiros satélites artificiais era apenas um balão es·

férico de folha de alumínio co1n 30 1n de diâmetro e t11na massa de 20 kg. Suponha que um meteoro co1n un1a 1nassa de 7,0 kg passe a 3,0 m da superfície do satélite. Qual é o 1nódulo da força gravitacional que o satélite exerce sobre o meteoro no ponto de maior aproximação? 11 Quatro esferas homogêneas, de massas

111A

kg, 111c = 200 kg e 1110 = 50 kg, têm coordenadas (0,50 c1n). (0, O), (-80 cm, O) e (40 cm, 0), respectivamente. E,n te nnos dos vetores unitários, qual é a força g ravitacional to tal que as outras esferas exercem sobre a esfera B? 78 (a) No Problema 77, reinova a esfera A e calcule a energia po·

tencial gravitacional do sistema formado pelas outras três partícu· las. (b) Se a esfera A é introduzida novamente no sisterna, a r ncrgia potencial do sistema de quatro partículas é maior ou rnenor que a c~lculada no item ~a)? (c) O trabalho para ren1over a partícula A do sistema, como no item (a), é positivo ou negativo? (d) O trabalho para rec~locar a partícula A no sistema, con10 no ite1n (b), é positivo ou negativo? 79

Figura 13-51 Problema 71.

72 Uma certa estrela de nêutrons te1n uma massa igual à do Sol e um raio de I Okm. (a) Qual é a aceleração da gravidade na superfície da estrela? (b) Com que velocidade um objeto estaria se movendo se caísse a partir do repouso por urna distância 1,0 m em direção à estrela? (Suponha que o movin1ento de rotação da estrela é desprezível.) 73 A Fig. 13-52 é um gráfico da energia cinética K de um asteroide

que cai em linha reta e,n direção ao centro da Ten·a, em função da distância r entre o asteroide e o centro da Ten·a. (a) Qual é a ma sa (aproximada) do asteroide (b) Qual é a velocidade do asteroide para r = 1,945 X 107 tn?

= 40 kg, 1118 = 35

U~ sistema de três estrelas é for1nndo por duas estrelas de 1nassa 111 girando na mes,na órbita circular de raio r e1n torno de unia es~ela central de massa M (Fig. 13-53). As duas estrelas ern órbita estao senlpre e,n extre1nidades opostas de um diâ1netro da órbita. Escreva uma express:-1 . , 1 • º para o per1odo de revolução das estrc as. /

/

--- -

I

.... '

r

/

Ili

I

\

1 1

1 1

1\I

\

I /

Ili

I

'

.... -Figura 13-53 Proble1na 79. .....

/ /

PAR r E. 'l

GRAVITAÇAO 80 .\ n1.1i\,r,.:llx-11.l.1ll.: de" n,1.1,.1,, J"''''' ,c crn urn túnel que ;,travc,.,a,,c lodil a ·r crr,1. pn!>~antlo pelo centro. qunl :.cria n vclociduclc ela carta no pa\\J r pelo cent ro'? 8 9 í\ órbita da Tcrrn e111 torno do Sol é quaJ (nucleo)

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------

FLUIDO

/\ht"''''' . t•,,,

61

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t

\•,,1,l, ,h, S,11

2 1

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~"'"" I"' ~,.\,, l·,111111,11,, t'tll l,tl1,,1,1t,u 1,1 l 11!'1\,I 1\l ,• lllll' ll

111 ' ·"

1, 1

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,11,, ,.,,, \li\\,\ 111,tl\ t il' lli111,·a

s.111,1

\ ()111 1()11 1() 1()H

l'ncu tlc autc1111úvclª 1.\t111t1,lcra ac1 11í, t·I cJo rnar t>rc,,aL) t1rtcrial , 1,tt1]1ca nt1r1nal t\1cll1L,r v,1ct10 en1 l~1l-1orattSrio

2 X 1(J l.f) ;,c 1 1

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1\\1\''' L' ,,1,il\,11\\L' t'1\\ t11,,:, :--ll})Crficic })li.\11,\ 1\

l)lttlt' I t' l) t\lt'ltlt,\l) li~, l'l)rç:, t\t)r111,1l t\ qt1c está stijeita a superfície de área A. (Qua11llll lli1t'1l\l'I:-- llllL' ,1111:, fl)l'~'t\ ~ t111ifor111c e111 t1111,1 st1perfície, isso significa que a força e~tn ,111il'l)1111c111c11tc tlistril)tlítl,1 J)Or toclos os pontos da st1perfície.) L)l1st'r\1ilt\\t)S cx11L'ri111c11lt\l111c11lc qt1e c111 t1111 dado ponto de t1n1 fluido em repouso, n ,,1\.'~SÜt) /> tlctitlillt\ })Cln Et1. 14-4 tc111 o n1es1110 ,,alar qualqt1er que seja a orientação Lll, ê111l,l)lo. A })ressão é t1111t1 grt111(lcza escalar~ suas propriedades não dependem da l'lric11l,\Çtt(l. E ,1cr.~/t•1y1 (,\t111) é. con10 o nome indica, a pressão média aproxi1nada da atll\l)Sl'cr,\ itt) 11í,,cl elo 111ar. O to 1·1· (nome dado em homenagem a Evangelista Torricclli , l\ttc i11,,c11tot1 o barô111etro de 111ercúrio e1n 1674) já foi chamado de 111ilí111etro ,/1• 111,·1\ ·tí1·ic> (111111Hg). A tlbreviação de libra por polegada quadrada é psi (do inglês />l)t111ll J)Cl' .,·qt1:1rc i11cl,). A Tabela 14-2 111ostra algumas pressões em pascals.

Pressão atmosférica e força

l l111,, s:11,, tlc cst,,r te111 4.2 n1 de compri1nento, 3,5 m de lt1rgt1rt\ t: 2,4 111 tlc ,1ltt11·n.

ti,) Qt1t\l L' l) 11eSL) Po ou p < Po· Nos pneus e no sistema circulatório, a pressão (absoluta) é maior do que a pressão atmosférica, de modo que a pressão manométrica é uma grandeza positiva, às vezes chamada de sobrepressão. Quando alguém usa um canudo para beber um refrigerante, a pressão (absoluta) nos pulmões é menor do que a pressão atmosférica. Nesse caso, a pressão manométrica nos pulmões é uma grandeza negativa.

14-6 O Princípio de Pascal Quando apertamos uma extremidade de um tubo de pasta de dente para fazer a pasta sair pela outra extremidade, estamos pondo em prática o princípio de Pascal. Este princípio também é usado na manobra de Heimlich, na qual uma pressão aplicada ao abdô_me,n ~ tr~smitid~ para a garganta, liberando um pedaço de comida ali alojado. O pr1nc1p10 foi enunciado com clareza pela primeira vez em 1652 por Blaise Pascal (em cuja homenagem foi batizada a unidade de pressão do SI): Uma variação da pressão aplicada a um fluido tncompressível contido e m recipiente é tran!>mitida integralmente a todas as partes do fluido à u do . . e s paremdes rec1p1entc.

1

FLUIDOS

oemonstração do Princípio de Pascal

67

ri Embolo •

Considere o caso no qual o fluido incompressível é um líquido contido ern u1n cilindro, como na Fig. 14-7. O cilindro é fechado por um ê1nbolo no qual repousa um recipiente com bolinhas de chumbo. A atmosfera, o recipiente e as bolinhas de chumbo exercem uma pressão Pex1 sobre o êmbolo e, portanto, sobre o líquido. A pressão p em qualquer ponto P do líquido é dada por (14-11) P = Pc xt + pgh. vamos adicionar algumas bolinhas de chumbo ao recipiente para aumentar Pexi de um valor ÂPcxi· Como os valores dos parâ1netros p, g eh da Eq. 14-11 permanecem os mesmos, a variação de pressão no ponto P é (14-12) Como esta variação de pressão não depende de h, então é a mesma para todos os pontos do interior do líquido, como afirma o princípio de Pascal.

O Princípio de Pascal e o Macaco Hidráulico

Líquido

11

__P _ __ - ----'-- P

Figura 14-7 Bolinhas de chumbo colocadas sobre o êmbolo criam uma pressão Pcxi no alto de um líquido confinado (incompressível). Se mais bolinhas de chumbo são colocadas sobre o êmbolo, fazendo aumentar Pcx" a pressão aumenta do mesmo valor em todos os pontos do líquido.

A Fig. 14-8 mostra a relação entre o princípio de Pascal e o macaco hidráulico. Suponha que uma força externa de 1nódulo F, seja aplicada de cima para baixo ao êmbolo da esquerda (ou de entrada), cuja área é Ar Um líquido inco1npressível produz uma força de baixo para cima, de ,nódulo F5 , no ê1nbolo da direita (ou de saída), cuja área é A 5 • Para manter o sistema em equilíbrio, deve existir uma força para baixo de módulo Fs no êmbolo de saída, exercida por uma carga externa (não 1nostrada na figura). A força ~ aplicada no lado esquerdo e a força ~ para baixo exercida pela carga no lado direito produzem u1na variação Â/J da pressão do líquido que é dada por

•

(14-13)

e, portanto,

A Eq. 14-13 mostra que a força de saída Fs exercida sobre a carga é maior que a for-

ça de entrada F, se As > A,, como na Fig. 14-8. Quando deslocamos o êmbolo de entrada para baixo de urna distância d,, o êmbolo de saída se desloca para cima de uma distância ds, de modo que o mesmo volume V de líquido incompressível é deslocado pelos dois êmbolos. Assim, V= A ,de= A,dp

que pode ser escrita como A,.

(14-14)

d , = d,. A . 1

lsto mostra que, se A, > A, (como na Fig. 14-8), o êmbolo de saída percorre uma distância menor que o ê1nbolo de entrada. De acordo co 1n as Eqs. 14- t 3 e t 4-14, o trabalho de saída é dado por ~V =

r-, cl, =

( f.,

~ . ) ( cl, ; 1\: )

=

T. d,,

(14-15)

0 que 1no~tra que o trabalho W ,cati,aJo ,u/J,e o ên1hulu dl.! L'Otr.1Ja pel,1 torça aplicada é iguul ao trabalho iv rcall1al·lo c.:rnbuln Je , .ud.1 ,tu l~, ,11\l.1r un1,1 c.:.11 g..i A vantagc1n do rnacaco hidráulic.:u ~ .1 , egu111ll.: Coin um n1acaco l11dr,1uhco, 11n1a lnr~;a .iplil ,1J.1 ,11._• h1ng11 d, unia J1s1.1111.;1.1 r1. 1dl 1:1 lran~tormada en1 uma fori,:,1 n1a1n1 :,plt~.,J,1 .,u kH1go pi:CÍ11l:.1do/, 11' e r • ,1proxi1nada1nc111e 1gu::il à da água, qual era a 1na,sa tio Ji n11,s,1uro?

•

K•

Figura 14-40 Problema 38.

o

2

3

Figura 14- 42 Problema 43.

• •44 Um bloco de 1nadeira tem uma massa de 3,67 kg e uma massa específica de 600 kg/m3• Ele deve ser carregado de chumbo ( l, 14 X ••39 Uma esfera oca de raio interno 8,0 c1n e raio externo 9,0 cm

flutua com metade do volume submerso em um líquido de massa específica 800 kg/1n3. (a) Qual é a massa da esfera? (b) Calcule a massa específica do material de que é feita a esfera. • •40 ~ Jacarés traiçoeiros. Os jacarés costumam esperar pela

presa flutuando com apenas o alto da cabeça exposto, para não serem vistos. Um meio de que dispõem para afundar 1nais ou menos é controlar o tamanho dos pulmões. Outro é engolir pedras (gastrólitos) que passam a residir no estômago. A Fig. 14-41 mostra um modelo muito simplificado de um jacaré, com uma massa de 130 kg, que flutua co1n a cabeça parcialmente exposta. O alto da cabeça tem uma área de 0,20 m2 • Se o jacaré engolir pedras com uma massa total equivalente a 1,0% da massa do corpo (um valor típico), de quanto afundará?

Figura 14-41 Problema 40. ••41 Que fração do volume de um iceberg (massa específica 917

kg/Jn3) é visível se o iceberg flutua (a) no mar (água salgada, massa específica 1024 kg/m 3) e (b) em um rio (água doce, massa específica 1000 kg/ml)? (Quando a água congela para formar gelo,. o sal é deixado de lado. Assim, a água que resulta do degelo de um iceberg pode ser usada para beber.) • ::! Um flutuador tem a forma de um cilindro reto, com 0,500 m de altura e 4 00 m2de área das bases; a massa específica é 0,400 vez a 1nassa esp~cífica da água doce. Inicialmente, o flu~uador é man~~o totalmente imerso em água doce, com a face superior na superfície da agua. Em seguida, é liberado e sobe gradualmente até começar a flutuar. Qual é o trabalho realizado pelo empuxo sobre o flutuador dt11\tnle a subida? • Quando os paleontólogos encontram um fóssíl de dinossaur.o · ar a massa. e o peso do. d1raLo,1vehnente co1npleto, pode1n determ1n no \ au1o v1 vo usando um 1nodelo em escala esculpido em plástico: ha ec1do nas cli1nensões dos ossos do fóssíl. A escala do ~odeio e . os compr11nentos • - 1/20 dos comprimentos e1l p:er sobre a bolha é desprezível. • Suponha que seu corpo tem u,na ma""ª e,pccíhc· 76 . á b . ,1onne •95 ve z ,a da• água· (a) Se voce'l esl, 01an.d o em urna ilp11Jr11 ~1 0 na, que f1.aça-0 do volurne do seu corpo está acima da ~U"'·rt· ''" 1c1

da água? , . . Areia movediça e o fluido produzido quando a água '>e rn1 - e er1m1nan · do o atrito que o\tura com a areia, separando os graos iinpede de se ,nover uns em relação aos Poços de are1a , outros. d inovediça pode1n se forrnar quando ~ agua a~ montanhas escor. re pai·a os vales e se infiltra em bols~es de are~a. (b) Se você está boiando etn um poço profundo de arei~ movediça com uma massa específica 1,6 vez a da água, que fraçao do seu corpo fica acima da superfície da areia movediça? (c) Em particular, você ainda é capaz de respirar? 77 Uma bola de vidro com 2,00 cm de raio repousa no fundo de um copo de leite. A massa específica do leite é 1,03 g/cm3 e o módulo da força normal que o fundo do copo exerce sobre a bola é 9,48 x 10- 2 N. Qual é a massa da bola? 78 'IAf'Ç Surpreendido por uma avalanche, um esquiador é totalmente soterrado pela neve, cuja massa específica é 96 kg/m•. Suponha que a massa específica média do esquiador, com seus trajes e equipainentos, é 1020 kg/m3• Que fração da força gravitacional que age sobre o esquiador é compensada pelo empuxo da neve? 79 Um objeto está pendurado em uma balança de mola. A balança

indica 30 N no ar, 20 N quando o objeto está imerso em água e 24 N quando o objeto está imerso em outro líquido de massa específica desconhecida. Qual é a massa específica desse outro líquido? 80 Em um experimento, um bloco retangular de altura h é coloca-

do para flutuar em quatro líquidos separados. No primeiro líquido, que é a água, o bloco flutua totalmente submerso. Nos líquidos A, B e ~· ~ bloco flu~a com altura h/2, 2h13 e h/4 acima da superfície do liquido, respectivamente. Qual é a densidade (massa específica em relação à da água) do líquido (a) A, (b) B e (c) C? 8_1 _A Fig. 14-30 mostra um tubo em forma de U modificado: o lado drr:ito é mais curto que o esquerdo. A extremidade do lado direito esta · da bancada do laboratório. O raio do tubo , d= 10 ,O cm acima

e 1,50 cm. Despeja-se água (lentamente) no lado esquerdo até que comece ª transbordar do lado direito. Em seguida um líquido de mass~ específica 0,80 g/cm3 é despejado lentamente.no lado esquer· do a~e queª altura do líquido nesse lado seja 8 O cm (o líquido não s~ i~stu? ra comª água). Que quantidade de águ~ transborda do lado d1re1to. 82 Qual é a aceleração d - de ar quente se a razão entre , e um balao a 1nassa especifica do ar i dO b dentro do balão é ? ora alão e a massa específica do ar 1•39 · Despreze a massa do balão e da cesta. 83 :,$:; A Fig 14 56 transferir líquido~ d - mos~ra. um sifão, que é um tubo usado para estar i·n· . l e um rec1p1ente para outro. O tubo ABC deve 1c1a 1nente cheio 'd escoa pelo tub , · mas, se essa condição é satisfeita, o líqut .º · do l1qu1do - . no rec1p1ente . · no 1nesmo , o ate que a superf'icte es teJa 1 n1assa espe:;~:a ~ue ~~xtremidade A do tubo. O líquido tem u,~a 3 1 tâncias ,nostrad' e fi O kg/n, e viscosidade desprezível. As dts· as na gura sao - I1, = 25 cm cl = 12 cm e hi == 40 cm (a) e · ' oin que velocidade 0 l' ·d ' ' (? (b) Se a pressão atmosférica , iqu1 o sai do tubo no ponto, ·. 0 em B o ponto n,, • e l,O X 105 Pa, qual é a pressão do Uquid ' ,11s a1to do tubo? ( ) T . , a1tur.i máxiina h esse s·ra · c eor1ca1nente, ate que i t ao pode fazer a água subir?

PARTE 2

FLUIDOS

84

B

A

e Figura 14-56 Problema 83.

87

-r:1it.: Quando tossi1nos, o ar é expelido em alta velocidade

pela traqueia e brônquios superiores e remove o excesso de muco que está prejudicando a respiração. Essa alta velocidade é produzida da seguinte forma: depois que inspiramos uma grande quantidade de ar, a glote (abertura estreita da laringe) se fecha, os pulmões se contraem, aumentando a pressão do ar, a traqueia e os brônquios superiores se estreitam e a glote se abre bruscamente, deixando escapar o ar. Suponha que, durante a expulsão, a vazão seja 7 ,O X 10-3 m/s. Que múltiplo da velocidade do som (vs = 343 m/s) é a velocidade do ar na traqueia se o diâmetro da traqueia (a) permanece com o valor normal de 14 mm e (b) diminui para 5,2 mm? 85 Uma lata tem um volume de 1200 cm3 e uma massa de 130 g. Quantos gramas de bolinhas de chumbo podem ser colocados na lata sem que ela afunde na água?

CAPÍTULO N

-

O QUE É FÍSICA?

Nosso mundo está repleto de oscilações, nas quais os obj~tos se movem repetidamente de um lado para outro. Muitas são si~plesmente cunos~s ou desa. gradáveis mas outras podem ser economicamente importantes ou perigosas. Eis alguns ex~mplos: quando uin taco rebate uma bola de beisebol, o taco pode sofrer uma oscilação suficiente para machucar a mão do batedor ou ~esmo se partir em dois. Quando O vento fustiga uma linha de transmissão de energia elétrica, a linha às vezes oscila ("galopa", no jargão dos engenheiros elétricos) com tanta intensidade que pode se romper, interrompendo o fornecimento de energia elétrica a toda uma região. Nos aviões, a turbulência do ar que passa pelas asas faz com que oscilem, causando fadiga no metal que põde fazer com que as asas se quebrem. Quando um trem faz uma curva, as rodas oscilam horizontalmente quando são forçadas a mudar de direção, produzindo um som peculiar. Quando acontece um terremoto nas vizinhanças de uma cidade, os edifícios sofrem oscilações tão intensas que podem desmoronar. Quando urna flecha é lançada de um arco, as penas da extremidade conseguem passar pelo arco sem se chocar com ele porque a flecha oscila. Quando se deixa cair urna moeda em um prato metálico, a moeda oscila de uma forma tão característica que é possível conhecer o valor da moeda pelo som produzido. Quando um peão de rodeio monta um touro, o corpo do peão oscila para um lado e para outro enquanto o touro gira e corcoveia (pelo menos, é o que o peão tenta fazer). ~ O estud? e o control~ das oscilações são dois objetivos importantes da física e da engenh~ria. Neste ca~1t~lo, vamos discutir um tipo básico de oscilação conhecido como movimento harmonico simples.

15-2 Movimento Harmônico Simples A. Fig. · . 15-1 a mostra ,uma sequência de "instantaAneos " d e um sistema osci·1ato'· rio simples, uma part1cula que se move repet'd d 1 amente para um lado e para outro - , . 1 em r~ aça; -:;i~e~. e um eixo x. Nesta seção, vamos nos limitar a descrever o movd1m~dn o. ais a iante, discutiremos como esse tipo de movimento pode ser pro uz1 o. Uma propriedade importante do movi·me t . " · o nu'mero n o osc1lat' · e, a f requenc1a, de oscilações por segundo o , b d ono · sim o1o e frequên · 'f · no SI é o hertz (Hz), definido como eia e e a unidade de frequência

ª

1 hertz = 1 Hz = l

·1 1) sc1 açao por segundo = 1 s- 1. (15· U1na grandeza relacionada à frequência , 0 , completar u1na oscilação complet ( ' e. periodo T, que é o tempo necessário para a ou ciclo): O

1 T=-

.f .

( 15-2)

Todo movin1ento que se repete 1. . mento periódico ou n1ovirnento ha ~t~rvalos regulares é chamado de movi· nnon1co NO ados . em lHn 1nov1111ento que se repete de · 1nomento, estamos 1nteress u111 111odo pru·t·1cu1ar, o que está representado na

ª

.. __

PARTE 2 ..

OSCILAÇÕES

Uma partícula oscila para a esq~erda e para a direita, em um movimento harmônico simples.

o

-X,n

/=

o

1 1

t=

T/4

T/2

t=3T/4

+x,,,

1

~

1

1

1

1 1

t=

Nos pontos extremos, a velocidade é nula.

1

o

1

ç,

1

1 1 1

g

---f l. '

1 1 1 1 1

1

o

t=

1 1 1 1

Q

o

/=

o

1

1

t= T

1

T/2

o

-Xm

1 1 1 1

e

t= T

+x,.

(a)

.

r,

+x

1"'

Q-

-

--0

g

V

;

1

V

~ -(>j--

-

1 - Xm

1 1

t

(

1

"

1

1 1 1 1 1

-w-,\ //1

( r)

e valores extremos . aqui.

de uma partícula oscilando em um MHS co,n ângulo de fase igual a zero. O período T corresponde a uma oscilação co1npleta. (b) A velocidade v(t) da partícula. (e) A aceleração a(t) da partícula.

92

CAPÍTULO 15

ação a(t) está deslocada (para a esquerda) d 1 d Observe també1n que a curva a ace er ~ T/4 em relação à curva da velocidade v(t). Podemos combinar as Eqs. 15-3 e 15 -7 para obter a(t) = -w 2x(t),

( I S-8)

, . d · nto harmônico simples: que é a relação caracter1st1ca o mov1me · 1 e as duas No MHS, a aceleração e, proporciona ao negat'vo ' do deslocamento . grandezas estão relacionadas pelo quadrado da frequência angular.

1 1

Assim, como mostra a Fig. 15-4, quando o deslocamen~o está ~assando pelo maior valor positivo, a aceleração possui o maior valor negativo e vice-versa. Quando o deslocamento é nulo, a aceleração também é nula.

1 1

1

1

15-3 A Lei do Movimento Harmônico Simples

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

,I

Uma vez conhecida a forma como a aceleração de uma partícula varia com o tempo, podemos usar a segunda lei de Newton para determinar qual é a força que deve agir sobre a partícula para que ela adquira essa aceleração. Combinando a segunda lei de Newton com a Eq. 15-8, encontramos, para o movimento harmônico simples, a seguinte relação:

F = ma = -(mw2 )x.

(15-9) Este resultado, uma força restauradora proporcional ao deslocamento, já foi encontrado em outro contexto: é a expressão matemática da lei de Hooke

1 1

1

'

F = -kx

1

(15-10)

' para uma mola, e nesse caso a constante elástica é dada por

1

1

k = mw2• (15-11) Podemos, na verdade tomar a Eq 15 10 · como uma definição alternativa do movimento harmoruco simples. Em palavras:

'I1, 1

1

1

1

•

~

1 1

A

•

•

'

•

-

Movimento harmônico simples é O movim t uma força de módulo proporcional ao d en executado por uma partícula sujeita a 1 oposto. es ocamento da Partícula e orientada no sentido

°

1

. . . O sistema massa- mola da Fio. 15_5 simples (ou, simplesmente oscil: do . con)stitui um osc1lador harmônico linear 1inear . o termo "l' . a1 ' r . d" ' porc1on a x e não a outra potência q 1near" 1n 1ca que Fé pro· ua1quer de x A fr mento harmônico simples do bloco está rela . · equenc1a angular w do mov11n do bloco pela Eq. 15-11, segundo a qual cionada à constante elástica k e à massa

1

1

A

1

h

1

li li

\

,,, w ==

""'""'"'"""""""

·-

1.-.J x=O

X

+x,,,

U1n oscilador harmônico linear si1nplcs. Não há allito con1 a superfície. Con10 a partícula da Fig. 15- 1, o bloco se inove etn 1novi1nento hannônico si1nples quando é puxado ou en1purrado a partir da posição x = Oe depois liberado. O deslocamento é dado pela Eq. 15-3.

Figura 15-5

•

•

[I_

v-;;

(frequência angular).

(15-12)

Con1binando as Eqs. 15-5 e 15_1? lador linear da Fig. 15-5, -. poden1os escrever, para O período do osci1' == ?

{in

-7TvT

(período).

(1s-13)

De acordo con1 as Eqs. 15-1 2 e 15 _ 13 un1 pequeno período) está associada , uma grande frequência angular (e portanto, a un,a mola , . ' (111 pequeno). r1g1da (k elevado) e um bloco Jeve

PARTE 2

OSCILAÇÕES

93

Todo sistema osci latório, seja ele un1 trampoli1n ou uma corda de violino, possui uma certa ''elastic~dade" ~ uma certa "inércia" e, portanto, se parece co1n um oscilador linear. No oscilador linear da Fig. 15-5, esses elementos estão concentrados e1n partes diferentes ~o _sis~ema:_ ~ elasticidade está inteiramente na mola, cuja massa desprezamos, e a 1nerc1a esta 111teiramente no bloco, cuja elasticidade é ignorada. Em uma corda de violino, porém, os dois elementos estão presentes na corda, como veremos no Capítulo 16.

TESTE 2 Qual das seguintes relações a seguir entre a força F que age obre uma partícula e a posição x da partícula resulta em um movimento har1nônico simples: (a) F = -5x, (b) F = -400x2, (c) F = l Ox ou (d) F = 3.x2?

---·~.,..,~J ...-~-="/1::·' ::.;-:-;,:,, ~_._,,..__,_ .•.•

Exemplo

.

·

. ..

~

.· .

MHS m assa-mola: amplitude, aceleração, constante de fase

Um bloco cuja massa 1n é 680 g está preso a uma mola cuja constante elástica k é 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfície se1n atrito por uma distância x = 11 cm a partir da posição de equihôrio em x = Oe liberado a partir do repouso no instante t = O.

mais se afastará mais que 11 cm de posição de equilíbrio. Assim, a amplitude das oscilações é 11 cm:

xn, = 11 cm.

(Resposta)

(c) Determine a velocidade máxima vm do bloco e o local onde se encontra o bloco quando tem essa velocidade.

(a) Determine a frequência angular, a frequência e o período do movimento.

O sistema massa- mola é um oscilador harmônico linear simples no qual o bloco executa um MHS. Cálculos A frequência angular é dada pela Eq. 15-12:

w=

[T \j -;;;

=

(Resposta) ~

. ,

De acordo com a Eq. 15-5, a frequenc1a e

f

w = 9,78 rad/s = 1,56 Hz = 1,6 Hz. (Resposta)

=

Cálculo Temos:

v,,1 = wxn,

=

(9,78 rad/s)(0,11 m)

= 1,1 m/s.

65 N/m = 9,78 rad/s 0,68 kg

= 9,8 rad/s.

A velocidade máxima vmé a amplitude da velocidade wxm na Eq. 15-6.

(Resposta)

A velocidade é máxima quando o bloco está passando pela origem; observe as Figs. 15-4a e 15-4b, onde se pode constatar que a velocidade é máxima em x = O. (d) Determine o módulo a111 da aceleração máxima do bloco.

2'TTrad

2'TT

De acordo com a Eq. 15-2, o período é T =

l_

f

=

1 = 0,64 s = 640 ms. (Resposta) l ,56 I--Iz

h) Determine a a1n1,litude das oscilações.

iusência de atrito, a energia tnecânica do siste1na mas11ola é conservada. r iocínio O bloco é liberado a 11 cinde distância ~a.po-

. con1 enei·gi·a, ci'nética nula e o,max1mo ., ue equt.11,brio, . . . , · A . · n o bloco tera enero-1a 1nerg1a potencial elast1ca. ss11 , e . nula sempre que est'1ve1- novan1e11te . .a. 11 crn .de nt:ttca . . 'líb .· que s1p€l diante, o que produz um MHS. Mais . aze-lo voltar para a direita e l l precisamente o . P es no qua o ângulo de deslocame t , ' movimento de um.Rê~

ª

•

um MHS. Podemos expressar esta neotr~ s:mpre pequeno pode ser anro d . r s iça@ de o ,,_ .e ·r,.+-, o mo;v1mento (o ângulo máximo d d U:w.a .1iomia: a amnJi e eslocame · t ) r: eomparando as Eqs. 15-26 e 15_8 no deve ser peque I ' notamos que a fr " ~ lo é w == V mgL/1. Substituindo est equencia ~ a expFessao de w E que o período do pêndulo poàe se . na q. 15~5 (-Q? r escnto como n u ,,,

1

•

..----

PAR f E 2

OSCILAÇÕES

T = 21r

I ntgL.

99

(15-27)

Toda a massa, de un1 pê?d~lo_ simples está concentrada na massa 111 do peso do pêndulo. que esta a uma distancia L do ponto fixo. Assim, pode1nos usar a Eq. 10-33 (/ == 11112 ) para escrever I = 1nL2 como o mo1nento de inércia do pêndulo. Substituindo este valor na Eq. 15-27 e simplifica11do, obtemos

T = 21r

.J!f-

(pêndulo sin1ples, pequena amplitude).

(15-28)

Neste capítulo, vamos supor que os ângulos de oscilação do pêndulo são sempre pequenos.

OPêndulo Físico Ao contrário do pêndulo simples, um pêndulo real, frequentemente chamado de pêndulo físico, pode ter uma distribuição complicada de massa. Um pêndulo físico também executa um MHS? Caso a resposta seja afumativa, qual é o período? A Fig. 15-10 mostra um pêndulo físico arbitrário deslocado de um ângulo eem relação à posição de equiltbrio. A força gravitacional F8 está aplicada ao centro de massa C, a uma distância h do ponto fixo O. Comparando as Figs. 15-10 e 15-9b, vemos que existe apenas uma diferença importante entre um pêndulo físico arbitrário e um pêndulo simples. No caso do pêndulo físico, o braço de alavanca da componente restauradora F8 sen e da força gravitacional é h e não o comprimento L do fio. Sob todos os outros aspectos, a análise do pêndulo físico é idêntica à análise do pêndulo simples até a Eq. 15-27. Assim, para pequenos valores de em, o movimento é, aproximadamente, um MHS. Substituindo L por h na Eq. 15-27, podemos escrever o período como

T = 27T

I

mglz

(pêndulo físico, pequena amplitude).

(15-29)

Como no pêndulo simples, I é o momento de inércia do pêndulo em relação ao ponto O. Embora I não seja mais igual a ,nL2 (pois depende da forma do pêndulo físico), ainda é proporcional a m. Um pêndulo físico não oscila se o ponto fixo é o centro de massa. Formalmente, isso corresponde a fazer h = O na Eq. 15-29. Nesse caso, temos T = oo, o que significa que o pêndulo jamais chega a completar uma oscilação. A todo pêndulo físico com um ponto fixo O que oscila com um período T corresponde um pêndulo simples de comprimento L0 com o mesmo período T. Podemos usar a Eq. 15-28 para calcular o valor de L 0 • O ponto do pêndulo físico que fica a uma distância Lo do ponto O é chamado de centro de oscilação do pêndulo físico para o ponto de suspensão dado.

\ \

\ \

Medição de g

\

Podemos usar um pêi1dulo físico para medir a aceleração de queda livre g em um ponto da superfície da Ten·a. (Milhares de medições deste tipo foram feitas como parte de estudos geofísicos.) Para analisar um caso simples, tome o pêndulo como uma ban·a ho1nogênea de comprimento L suspensa por uma das extremidades. Para essa configuração, h da Eq. 15-29, a distância entre o ponto fixo e o centro de massa, é U2. De acordo com a Tabela 10-2e, 0 mon1ento de inércia desse pêndulo em relação a um eixo perpendicular à barra passando pelo centro de massa é 111L2 • Aplicando o teorema dos eixos paralelos da Eq. 10-36 (l = fcM + Mh 2), descobri1nos que o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular passando por uma das extremidades da barra é

rr

Esta componente move o pêndulo de volta para o centro. Figura 15-1 O Um pêndulo físico. O torque restaurador é hF11 sen e. Quando () = O, o centro de massa C está

situado diretainente abaixo do ponto de suspensão O.

100

CAPÍTULO 15 1 _

- l 1 - crvi

Fazendo h == U2 e I ==

+ ,n1,~ -

2 111L 13

na Eq.

1-111 1.,2

+ 111

( 11 )2 :::

12

2 .,

1 [ 2 - /'11 ., • 3

5 29 e explicitando g, obtemos

1

-

g==

81T

2L

3T 2·

terminar o valor de g no local onde se de , d T podemos , . a1guns re fi1namentos Assim rnedh1do L e o per10 o , . ,., 5-ao necessar1os d·1d de prec1sao, · ' evacuada.) encontra o pêndulo. (Para me as como colocar o pêndulo em uma camara A

•

TESTE 4 têm a mesma forma e tamanho e estão 3 Três pêndulos físicos, de massas mo, 2mo e mo,de acordo com o período de oscilação do suspensos pelo mesmo ponto. Ordene as massas pêndulo, começando pelo maior.

Período e comprimento de um pêndulo físico

o

-- .

Na Fig. 15- 1 la, uma régua de um metro oscila em tomo de um ponto fixo em uma das extremidades, a uma distância h do centro de massa da régua.

1

h

(a) Qual é o período de oscilação T?

4J

-~ • e A régua não é um pêndulo simples porque a massa não está concentrada na extremidade oposta ao ponto fixo; a régua é, portanto, um pêndulo físico. de um pêndulo físico é dado pela Eq. 15-29, que exige o conhecimento do momento de inércia da régua em relação ao ponto fixo. Vamos tratar a régua como uma barra uniforrne de comprimento L e massa m. Nesse caso, de acordo com a Eq. 15-30, I = 1mL1 , adistância h da Eq. 15-29 é I /2. Substituindo esses valores na Eq. 15-29, obtemos

•p

T

= 27T = 27T

= 27T

-mL 3 mg(~L) ~

.Jfi-

= 21r

(2)(1,00 m)

(15-32)

(3)( 9•8 m/s 2) = 1•64 s.

(a)

(b)

Figura 15-11 (a) Uma regua , d e um metro suspensa por

u?1a das e_xtrernida~es para formar um pêndulo físico. (b) Um pendu~o simples CUJO comprimento Lo é escolhido para que o~ pe~1odos dos dois pêndulos sejam iguais. O ponto p do pendulo (a) é o centro de oscilação. que possui o mesmo , dO gua) da Fig. _1 peno que o pêndulo físico (a ré15 1 obtemos ª· Igualando as Eqs. 15-28 e 15-33,

(15-33) T (Resposta )

Observe que o resultado não depende da 1nassa 111 do pêndulo. (b) Qual é a distância L 0 entre o ponto fixo O da régua e 0 centro de oscilação? Cálculos Esta~os

-

~

-

Cálculos O período

1 mgh

-

inte:essados em detern1inar o cornpiimento L 0 do pendulo simples (desenhado na Fig. 15-11 b)

===

27T

Ff-o

--

2 7T

g Podemos ver po . _ • r1nspeçao,que Lo= iL

N

.

== (~)(10 3

2L 3g .

(15-34)

(15-35)

Ocm) == 66,7 cm. (Resposta) a F1g. 15-1 la, o ponto , fixo O. Assim pesta a essa distância do ponto O , ponto pé O para o ponto fix d centro de oscilação da barra , o ado. A · .. rente se a réoua e ·t· pos1çao do ponto p l..Cria d1fee, s ivesse su spensa por outro ponto.

OSCILAÇÕES

10l

_7 Movimento Harmônico Simples e Movimento 15 Circular Uniforme Em !610. u~~ndo o te!e~cópio que acabara de construir, Galileu descobriu os quatro maiores satel1tes de Jup1ter. Após algumas semanas de observação, constatou que os télites estavam se deslocando de um lado para outro do planeta no que hoje chamas~amos de movimento harmônico simples; o ponto médio do movimento estava na ;osição do planeta. ~ registro das observações de Galileu, escrito de próprio punho, cheaou aos nossos dias. A. P. French, do MIT, usou os dados colhidos por Galileu par; dete~inar a posição da lua ~alisto em relação a Júpiter. Nos resultados mostrados na Fig. 15-12, os pontos sao baseados nas observações de Galileu e a curva representa um ajuste aos dados. A curva sugere que o movimento do satélite pode ser descrito aproximadamente pela Eq. 15-3, a função do MHS. De acordo com o grâfico, o período do movimento é de 16,8 dias. Na realidade, Calisto se move com velocidade praticamente constante em uma órbita quase circular em torno de Júpiter. O verdadeiro movimento não é um movimento hannônico simples e sim um movimento circular uniforme. O que Galileu viu, e que o leitor pode ver com um bom binóculo e um pouco de paciência, foi a projeção do movimento circular uniforme em urna reta situada no plano do movimento. As notáveis observações de Galileu nos levam à conclusão de que o movimento harmônico simples é o movimento circular uniforme visto de perfil. Em uma linguagem mais formal:

'

~O movimento harmônico simples é a projeção do movimento circular uniforme em um diâmetro da circunferência ao longo da qual acontece o movimento circular.

A Fig. 15-13a mostra um exemplo. Uma pa1tícula de referência P' executa um movimento circular uniforme com velocidade angular w (constante) em uma circunferência de referência. O raio x,,. da circunferência é o módulo do vetor posição da partícula. Em u1n instante t, a posição angular da partícula é wt + , onde é a posição angular no instante t = · O. A projeção da partícula P' no eixo x é um ponto P, que considera~os como uma segunda partícula. A projeção do vetor posição da partícula P' no eixo x fornece a localização x(t) de P. Assim, temos: x(t) = x,,1 cos( wt + ), (15-36)

que é exatamente a Eq. 15-3. Nossa conclusão está corr~t~. s_e a partíc~la de re~erência P' executa um movimento circular uniforme, sua proJeçao, a part1cula proJetada P, executa um movimento harmônico simples em um diâmetro do círculo. A Fig. 15-13b mostra a velocidade v da partícula de referência: D~ acord? coin_a Eq. 10-18 (v = wr), 0 inódulo do vetor velocidade é wx,,,; sua proJeçao no eixo x e v(t) = -wx,, sen(wt + ,. R / -

-

--

-

-

oIU..U...UU-J...U.Wll-...j.HH+tt+ttttrtt-tt-~rfirr 1

-

1

-xm

-

-

-\_

--

-

---

-

-

-bl (!!. ,,,

x,,,e

Figu~a 15- 15 A função desloc:uncnto x(t) e.lo oscila~or a,nortecido da Fig. 15-14. A amphtudc . que é dada 1JO r x,,. e_,,,n,,, .. diminui cxponenc1almentc co1n o te1npo.

103

104

CAPÍTULO 15

TESTE 5 t elástica a constante de A tabela mostra três conjuntos de valores Pai:ª a co;~ta~; 14 Ord~ne os conjuntos amortecimento e a massa do oscilador amortecido da tg. - . d quarto , . para que a energia · rnecânica se re uza a um de acordo com o tempo necessar10 do valor inicial, em ordem decrescente.

Conjunto 1 Conjunto 2 Conjunto 3

,,,

bu

2ko ko 3ko

6bo 3bo

Exemplo

·'·

4 li,

(

. do osc1·1ador harmônico amortecido Tempo de decaimento da amplitude e da energia

Para o oscilador amortecido da Fig. 15-14, ,n = 250 g, k = 85 N/m e b = 70 g/s.

do lado esquerdo. Assim, _ 2m ln ! t= b -

(a) Qual é o período do movimento?

-(2) (0,25 kg) (ln

i)

0,070 kg/s

(Resposta)

= 5,0 s.

Como b e urr, 1 ., lo 1dac.Jc 11ttlt,1l de IO.O 111/, na direçao da pos1çao d cqutl1hr11J Quando damos uma sacudidela na ponta de um& corda esltcada, um pulso se propaga ao longo da corda. O pulso se forma e se propaga porque a corda est,t ~ob lcn ,ao. Quando puxainos a ponta da corda para cima. a ponta puxa para cin1a a parte\ 1/inha da corda por causa da tensão que existe entre as duas partes. Quando a partL , 1/tnha se move para ci,na, puxa para cima a parte seguinte da corda e assin1

i '" ,· - , - , - - -

>l· ,.

'

117

118

CAPÍTUL016

por diante. Enquanto isso está acontecendo, puxamos para baixo a extremidad, da corda. Assim, as partes da corda que estão se deslocando para cima começam a ser Pulso .... puxadas de volta para baixo pelas partes vizinhas, que já se encontram em 1noviV I> mento descendente. O resultado geral é que a distorção da forma da corda (o pulso) se propaga ao longo da corda com uma velocidade v. Quando deslocamos a mão para cima e para baixo continuamente, em um 1novimento har1nônico simples, uma onda contínua se propaga ao longo da corda com velocidade v. Como o movimento da mão é uma função senoidal do tempo, a onda tem forma senoidal em qualquer instante, como na Fig. 16-l b, ou seja, a onda possui a forma da curva seno ou cosseno. (a) V amos considerar apenas o caso de uma corda "ideal", na qual não existem forças de atrito para reduzir a amplitude da onda enquanto está se propagando. Além disso, y Onda vamos supor que a corda é tão comprida que não é preciso considerar o retomo da senoidal onda depois de atingir a outra extremidade. Um modo de estudar as ondas da Fig. 16-1 é examinar a forma de onda, ou seja, a f arma assumida pela corda em um dado instante. Outro modo consiste em observar o movimento de um elemento da corda enquanto oscila para cima e para baixo por causa dá passagem da onda. Usando o segundo método, constatamos que o deslocamento dos elementos da corda é perpendicular à drreção de propagação da onda, como mostra a Fig. 16-lb. Esse movimento é chamado de transversal e dizemos (b) que a onda que se propaga em uma corda é uma onda transversal. A Fig. 16-2 mostra como uma onda sonora pode ser produzida por um êmbolo Figura 16- 1 (a) Produção de um em um tubo com ar. Quando deslocamos o êmbolo bruscamente para a direita e depulso isolado em uma corda. Com a pois para a esquerda, enviamos um pulso sonoro ao longo do tubo. O movimento do passagem do pulso, um elemento típico da corda (indicado por um ponto) se êmbolo para a direita empurra as moléculas do ar para a direita, aumentando a presdesloca para cima e depois para baixo. são do ar nessa região. O aumento da pressão do ar empurra as moléculas vizinhas Como o movimento do elemento é para a direita e assim por diante. O movimento do êmbolo para a esquerda reduz a perpendicular à direção de propagação pressão do ar nessa região. A redução da pressão do ar puxa as moléculas vizinhas da onda, dizemos que o pulso é uma para a esquerda e assim por diante. O movimento do ar e as variações da pressão do onda transversal. (b) Produção de uma ar se propagam para a direita ao longo do tubo na forma de um pulso. onda senoidal. Um elemento típico da ~u~do deslocamos o êmbolo para a frente e para trás em um movimento harcorda se move repetidamente para cima moruco sIIDp~es, como na Fi~. 16-2, uma onda senoidal se propaga ao longo do tubo. e para baixo. Esta também é uma onda Como o n:iov1mento das moleculas de ar é paralelo à direção de propagação da onda, transversal. esse i:iovlffiento é ch~ad? de longitudinal e dizemos que a onda que se propaga no_ar~ uma onda long1tudinal. Neste capítulo, vamos estudar as ondas transversais, pnnc1palmente . . . as ondas em cordas·• no Capítulo 17, vamos estud ar as ondas 1ongt-· tudinais, pnnc1palmente as ondas sonoras. Tanto. as ondas transversais como as ondas longi'tuclinais . sao _ eh amadas de ondas progressivas quando se propagam de um lu gar ª outro, como no caso das ondas na corda da Fio. 16-1 e no tubOd F' a ig. 16-2. Observe qu é b d e a on a que se propaga e não o meio material (corda ou ar) no qual a d on a se move. V t> y

A

-+

16-4 Comprimento de Onda e Frequência Para descrever perfeitamente uma onda em elemento da corda) precisamos de fu u~a corda (e o movimento de qualquer . . ' uma nçao que t ç I s1gn1fica que necessitamos de uma rei _ d ç omeça a i.orma da onda. sso açao a J.Orma Figura 16-2 Uma onda sonora é produzida, em um tubo cheio de ar, movendo o êmbolo para a frente e para trás. Como as oscilações de um elemento de ar (representado pelo ponto) são paralelas à direção de propagação da onda, ela é un1a onda t,,,1,.:1t11di11al.

Y = h(x, t),

(16-1)

onde y é o deslocamento transversal de tempo t e da posição x do elemento umdelemento da corda e h é uma função do . na cor a. Qualq ç · d onda na Fig. 16-lb pode ser descn'ta t d uer 1orma senoidal como a a oman o h com f fu çao cosseno; ambas fornecem a inesma forma o uma unçao seno ou uma n· usar a função seno. para a onda. Neste capítulo, vamos . . Imagine uma onda senoidal como a da F' s1t1vo de un1 eixo ,r Quando a onda ig. l6-lb se propagando no sentido po· . passa por elementos (ou seja, por trechos muito

PARTE 2

ONDAS-1

pequenos) da corda, os elementos oscilam paralelamente ao eixo y. Em um instante 1 t, o deslocamento ) do elemento da corda situado na posição x é dado por

oscil~tório

,.L {

y(.t, t) = y,,1 sen(/cx - wt).

(16-2) Como a Eq. 16-2 está escrita em termos de u111a posição genérica x e de um tempo genérico t, pode ser usada para calcular o desloca1nento de todos os elementos da corda em um dado instante e a variação com o tempo do deslocamento de um dado elemento da corda em função do tempo. Assim, pode nos dizer qual é a forma da onda em um dado instante de tempo e como essa forma varia com o tempo. Os nomes das grandezas da Eq. 16-2 são mostrados e definidos na Fig. 16-3. Antes de discuti-los, porém, vamos examinar a Fig. 16-4, que mostra cinco "instantâneos" de uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de um eixo x. O movimento da onda está indicado pelo deslocamento para a direita da seta vertical que aponta para um dos picos positivos da onda. De instantâneo para instantâneo, a seta se move para a direita juntamente com a forma da onda, mas a corda se move apenas paralelamente ao eixo y. Para confrrmar esse fato, vamos acompanhar o movimento do elemento da corda em x = O, pintado de vermelho. No primeiro instantâneo (Fig. 16-4a), o elemento está com um deslocamento y = O.No instantâneo seguinte, está com o maior deslocamento possível para baixo porque um vale (ou máximo negativo) da onda está passando por ele. Em seguida, sobe de novo para y = O. No quarto instantâneo, está com o maior deslocamento possível para cima porque um pico (ou máximo positivo) da onda está passando por ele. No quinto instantâneo, está novamente em y = O, tendo completado um ciclo de oscilação.

r enno

\1n1)!ilndl' Desloc,1n1t·nto

119

Fase

y(x,t) = y,,, scn(h.,· -

Número · ·· / de onda_/

J

(l)lt)

Tempo

Posição

Frequência angular

Figura 16-3 Nomes das grandezas

da Eq. 16-2, para uma onda senoidal transversal.

Observe este ponto na série de instantâneos.

Amplitude e Fase

••

A amplitude Ym de uma onda como a Fig. 16-4 é o mó~ulo ~o deslocamentp máximo sofrido pelos elementos a partir da posição de equ1líbr10 _quando a onda passa por eles. (O índice m significa máximo.) Como Ym.é um 1:1odulo, ~ sempre uma grandeza positiva, !Ilesmo que sej'a medido para baixo e nao para cima, como na

~6i!:

y

X

Fig. da onda é o argumento kx - wt do seno da ·Eq. 16-2. ~u~do a oi;i.da passa por um elemento da corda em uma dada posiç~o x, a !asedvana lin~;rmen~e e . . .fica ue o seno também varia, osc1lan o entre com o tempo t. Isso s1gm q d , em de um pico da onda pelo ·ti (+ 1) correspon e a passag . é y o valor extremo negativo O valor extremo pos1 vo . t O valor de y na pos1çao x m· elemento; nesse in~tan e, de um vale da onda pelo elemento; nesse instante, o (-1) corresponde a passagem A . funça-o seno e a variação da fase da onda ss1m a · é y elemento da corda e a amplitude da valor de y na pos1çao x - m · • ; d com o tempo correspondem à oscilaçao e um onda determina os extremos dO des1ocamento do elemento.

Comprimento de On da e Nu, mero de Onda

ª

(b)

y

l •• X

(e)

, . _

d é a distância (paralela a direçao de propa0 comprimento de onda À de uma on d da Um comprimento de onda típico . - da forma e on . . gação da onda) entre repet1çoes . t" eo da onda em t = O. Nesse instante, . . . 6 4 que é um instan an está md1cado na Fig. 1 - a, . _ da forma de onda, a Eq. 16-2 fornece, como descriçao (16-3) y (x , O) = Y111 sen kx. . . O nas duas extre1rudades do compr1y é o mesm nto + À Assim, de acordo com a Eq. 16-3, Por definição, o deslocame _ · em x -- x 1 ex - X1 • mento de onda, ou seJa, + A) ( ) Sen kxi = y,,, sen k X1 y,,, k ) (16-4 = y,11 sen(kx1 + À • . quando O '1ngulo (ou argumento) au1nenta de epet1r Uma fun ção seno começa se r kA - 277' ou 21r rad, assim, na Eq. 16-4 devemos ter -

ª

••

•

(d)

(e)

Figura 16-4 Cinco "instantâneos"

de uma onda que está se propagando em uma corda no sentido positivo de um eixo x. A amplitude Ym está indicada. Um con1primento de onda A típico, medido a partir de uma posição arbitrária x 1, também está indicado.

CAPÍTULO 16

120

•

y

k = 21T'

Isto é um gráfico e não um instantâneo.

( l

0 o

Energia Potencial Elástica

I

''

Figura 16-9 Instantâneo de uma onda progressiva e1n u1na corda no instante t = O. O ele1nento a da corda está sofrendo um deslocamento y = Ym e o elemento b está sofrendo 'um deslocamento y = O. A energia cinética depende da velocidade transversal do elemento; a energia potencial, do alongamento.

Quando uma corda inicialmente reta é atravessada por uma onda senoidal, os ele. mentos da corda sofrem deformações. Ao oscilar transversalmente, um ~Iemento da corda de comprimento dx aumenta e diminui periodicamente de compr~mento para assumir a forma da onda senoidal. Como no caso de uma mola, a energia potencial elástica está associada a essas variações de comprimento. Quando o elemento da corda está na posição Y = Ym (como o elemento a da Fig. 16-9), seu comprimento é o valor de repouso dx e, portanto, a energia potencial elástica é nula. Por outro lado, quando o elemento está passando pela posição y =O, seu alongamento é máximo e, portanto, sua energia potencial elástica também é , . maxima.

Transporte de Energia Os elementos da corda possuem, portanto, energia cinética máxima e energia potencial máxima em y = O. No instantâneo da Fig. 16-9, as regiões da corda com deslocamento máximo não possuem energia e as regiões com deslocamento nulo possuem energia máxima. Quando a onda se propaga ao longo da corda, as forças associadas à tensão da corda realizam trabalho continuamente para transferir energia das regiões com energia para as regiões sem energia. Suponha que produzimos em uma corda esticada ao longo de um eixo x horizontal uma onda como a da Eq. 16-2. Podemos produzir esse tipo de onda fazendo uma das extremidades da corda oscilar continuamente, como na Fig. 16-lb. Ao fazer isso, fornecemos energia para o movimento e alongamento da corda; quando as partes da corda se deslocam perpendicularmente ao eixo x, adquirem energia cinética e ene_rgia potencial elástica. Quando a onda passa por partes da corda que estavam anteriormente em repouso, a energia é transferida para essas partes. Assim, dizemos que a onda transporta energia ao longo da corda.

A Taxa de Transmissão de Energia A energia cinética dK associada a um elemento da corda de massa dm é dada por dK = .!dmu2

(16-27) onde u é a velocidade transversal do elemento da co d p d · d · _ r a. ara eternunar u, er1vamos a Eq. 16-2 em relaçao ao tempo, mantendo x constante: 2

u

=

ay at

'

= -wy,,, cos(kx -

wt).

(16-28)

Usando essa relação e fazendo dm = "dx a Eq 16 ,- , · -27 se torna clK = !(µ dx)(-wy,,,) 2 cos 2(kx - wt).

(16-29)

Dividindo a Eq. 16-29 por dt, obtemos a taxa com . . · ssa 1 c1nét1ca pa por u1n ele1nento da corda e, portanto a taxa com a qa qua a energia . . , . , rrans· _ • ua1 a energia c1net1ca e porta~a pela onda. Como a razao dxldt que aparece do lado direito da E . 16-29 é a velocidade v da onda, temos: q clK - i 1 2 1( dt - zµv..en1plo. as ondas sonoras dos vários instrumentos chegam simultaneame11te aos nossos ouvidos. Os elétrons presentes nas antenas dos receptores de rádio e televisão são colocados em n1n,1mento pelo efeito combinado das ondas eletromagnéticas de muitas estações. A 1gua de um lago ou de um porto pode ser agitada pela marola produzida por mui!c1· ~mbarcações. Suponha que duas ondas se propagam simultaneamente na mesma corda estiGioa. Sejam y 1(x, t) e ) 12(x, t) os deslocamentos que a corda sofreria se cada onda ~r propagasse sozinha. O deslocamento da corda quando as ondas se propagam ao mesn10 tempo é a soma algébrica y'(x, I) =

)'1(X,

t) + Y2(,Y, I).

( 16-46)

Quando duas ondas se superpõem , deixamos de perceber as ondas separadamente e percebemos apenas a onda resultante.

......

Essa soma de deslocamentos significa que ,:)Ondas superposta1- se somam algebricamente para produzir uma onda resulta nte ou 0 nda total.

Este. é outro exemplo do princípio de superpos1çao, · - segundo o qua1, quando vanos ' · efeitos ocorrem simultaneamente, 0 efeito total é a soma dos efeitos individuais. A Fig. 16-11 mostra uma sequência de instantâneos de dois pulsos que se propagam em ·sent1·d os opostos na mesma corda estica · d a. Q uan do os pu 1sos se superpoern, 0 PUiso · pulsos. Alem ' d1sso. · se el ~esultante é a soma dos dois cad a pu1so passa pe1o outro e nao existisse:

--

~Oncta~ .

· superpostas não se afetam mutuamente.

16~1o 1

s

nterferência de Ondas

Uponha . . . arnplit que produzimos duas ondas !:)eno1da1s de mesmo comprimento de onda e · em uma corda. O pr1nc1p10 · ' · da supe1· Posiç' Ude que se propagam no 1nesmo sent1do Pode ser usado. Que forma tem a onda resultante?

ªº

Figura 16-11 Uma série de instantâneos que mostra dois pulsos se propagando e1n sentidos opostos em uma corda esticada. O princípio da superposição se aplica quando os pulsos passam um pelo outro.

130

CAPIIU LO 16

A forina da onda resultante depende da fase re/aliva das duas ondas. Se as onda estão exatamente e1n fase (óu seja, se os picos e os val~s de uma estão exatamcn,; alinhados com os da outra), o deslocamento total a cada instante é o dobro do de\locamento que seria produzido por apenas uma das ondas. Se estão totalmente defasa. das (ou seja, se os picos de uma estão exatamente, alinhados com os vales da outra), elas se cancelam mutuamente e o deslocamento e zero; a corda permanece parada O fenômeno de combinação de ondas recebe o nome de interferência e dizemo~ que as ondas interferem entre si. (O termo se refere apenas aos deslocamentos; a propagação das ondas não é afetada.) Suponha que uma das ondas que se propagam em uma corda é dada por

'

y 1(x, t) = Y,n sen(kx -

(16-47)

úJt)

e que outra, deslocada em relação à primeira, é dada por y 2(x, t) = y,,1 sen(kx - wt + ).

(16-48)

As duas ondas têm a mesma frequência angular w (e, portanto, a mesma frequência f), o mesmo número de onda k (e, portanto, o mesmo comprimento de onda À) e a mesma amplitude Ym· Ambas se propagam no sentido positivo do eixo x, com amesma velocidade, dada pelaEq. 16-26. Elas diferem apenas de um ângulo constante, a constante de fase. Dizemos que as ondas estão defasadas de ou que a diferença de fase entre elas é. Segundo o princípio de superposição (Eq. 16-46), a onda resultante é a soma algébrica das duas ondas e tem um deslocamento y' (x, t)

= =

y1(x, t) + Yz(x, t) Ym sen(kx - wt) + Ym s,en(kx -

úJl

+ ).

(16-49)

De acordo com o Apêndice E, a soma dos senos de dois ângulos a e {3 obedece à identidade sen a + sen f3 = 2sen! (a + {3) cos~ ( a - {3).

(16-50)

Aplicando essa relação à Eq. 16-49, obtemos y' (x, t)

=

[2y,, 1 cos !] sen(kx -

úJt

+ i ).

(16-51)

Como mostra a ~ig. 16~ ~ 2, a onda resultante também é uma onda senoidal que se propaga no sentl.do pos1t1.vo de x. Ela é a única onda que se pode ver na corda (as ondas dadas pelas Eqs. 16-47 e 16-48 não podem ser vistas).

~ Se duas onda~ senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda se propagam

,I

no mesmo sentido em uma corda, elas interferem para produz·1r uma onda resultante . senoidal que se propaga nesse sentido.

A onda resultante difere individuais em dois aspectos.. (1) a constante de . das ondas , , ,1,.12 (2) f ase e 'r' e a amp1itude Ym é o módulo do fator entre colchetes da Eq. 16-51:

Y;n = 12y,n COS ~I Tc nno d~' .unplítude

1·c11110 o, c1latnr10

A onda resultante da Eq. 16-51, produzida pela interferência de duas ondas transversais senoidais, é ta1nbém uma onda transversal senoidal, com um fator de amplitude e um fator oscilatório. Figura 16-12

(amplitude).

(16-52)

Se = O rad (ou Oº), as duas ondas estão exatamente em fase como na Fig. 16-13a. Nesse caso, a Eq. 16-51 se reduz a ' y'(x, t)

= 2y,, sen(kx - wt) 1

(=O).

(16-53)

Essa onda resultante e~tá plotada na Fig. 16-13d. Observe, tanto na figura corno na Eq. 16-53, que a amplitude da onda resultante é duas veze · amplitude 'á · d' 'd . E , . s maior que a das ondas 1n 1v~ ua1s. ssa e a maior amplitude que a onda resultante pode ter, J que o valor máximo do termo em cosseno das Eqs. 16-51 e 16-52, que é 1, acontece

,'

PARTE 2

' ONDAS-1

Quando estão exatamente fora de fase, as ondas se cancelam mutuamente.

auando estão exatamente em fase, as ondas produzem ma onda resultante ~e grande amplitude. y

Esta é uma situação intermediária, com um resultado intermediário. y

)

- .. y1(x,1) e y.2(x, t)

131

Figura 16-13 Dua'> onda'> = O. A interferência que produz a maior amplitude possível é chamada de inte,ferência totalmente construtiva. Se cf> = 7T rad (ou 180º), as ondas que interferem estão totalmente defasadas, como na Fig. 16-13b. Nesse caso, cos(cf>/2) = cos(7T/2) = O e a amplitude da onda resultante, dada pela Eq. 16-52, é nula. Assim, para todos os valores de x e t,

(16-54) y'(x,t) = O ( = 1rrad). Aonda resultante está plotada na Fig. 16-13e. Embora duas ondas estejam se propagando na corda, não vemos a corda se mover. Esse tipo de interferência é chamado de interferência totalmente destrutiva. Como a forma de uma onda senoidal se repete a cada 27T rad, uma diferença de !ase cf> = 27T rad (ou 360º) corresponde a uma defasagem de uma onda em relação ª outra equivalente a um comprimento de onda. Assim, as diferenças de fase podemser descritas tanto em termos de ângulos como em termos de comprimentos de onda. Por exemplo: na Fig. 16-13b, podemos dizer que as ondas estão defasadas de O,SOcomprimento de onda. A Tabela 16-1 mostra outros exemplos de diferenças de

1

1

f

1

l l

1 1

1

1

Tabela 16- 1

1

D1fu~n . ças de Fase e Tipos de Interferên cia•

----

Diferença de fase em Comprimentos

Amplitude

Tipo de

Graus -;------R_a~d=ia=n:os:.._~~~ d~ e ~O:n:d:ª ~~~~~d=a~O ~n=d~a~ ~ ~ ~ In_t_e rl _e_r_ên_c_ia~ ~ Totalmente construtiva o o 120 2 Intermediária 1~ j ff ~33 h, Totalmente destrutiva 240 w 0,50 O 4 Intermediária 3~ iw o.~ ~ 2w 1 00 2 Totalmente construtiva ~ , ~ 8 15,1 2,40 0,60ym Intermediária :-:-----__A.

d'iferença de

lllo SCntid

o.

. fase é entre duas ondas de mesma frequência e mesma amplitude, que se propagam no mes-

1

[

1

1

1 1

CAPÍTULO 16

132

"ndo unia interferência nem é l é o valor con·eto, subst1tu1ndo-o na f unçao funçã' us~ndo u1n valor nu1nérico qualquer para w e plotando a 0 assun obtida.)

1empo t

u (1n/s)

1

Figura 16-33 Problema 11.

l

••12 A função y(x, t) = (15,0 cm) cos(7Tx - 157Tt), com x em metros e t em segundos, descreve uma onda em u1na corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui um deslocamento y = + 12,0 cm?

1

1

• • 13 Uma onda senoidal de 500 Hz se propaga em uma corda a 350 m/s. (a) Qual é a distância entre dois pontos da corda cuja diferença de fase é 7T/3 rad? (b) Qual é a diferença de fase entre dois deslocamentos de um ponto da corda que acontecem com um intervalo de 1,00 ms? Seção 16-6 Esticada

Velocidade da Onda em uma Corda

• 14 A equação de uma onda transversal em uma corda é

1 1

1 1

y = (2.0 mm) sen[(20 1n- 1)x - (600 s-l)c]. A tensão da corda é 15 N. (a) Qual é a velocidade da Ond a.? (b) D e. ter1n1ne a massa específica linear da corda em gramas por metro.

~·igura 16

~31 Proble1na 8.

-li

'

• 15 Uma ,corda . . esticada tem uma massa específica 1·1near de 5 00 gI cm e esta SUJe1ta a uma tensão de 10' O N · Uma onda senoidal · ' na

1

144

CAPITULO Ili

çorJa tc111 unta :11nphllllk' Jt• 0. 12 n1111 . 11111a f I cq1t l 'l1t lil ,k 100 11 , c,1.1 ,e pn1pag.111dn 1111 ,1.·1111d,1 nt·gatl\ 11 dt· 111tt l' l\11 , "l' .11 qua, ,111 d,l lllld,11.• J,1 lt11111,1 \'( \ , r) \' 'L'll(Á \ 1 cd/) dt·ll·11111111• (,1) \ (hl J.. lt' ) ), determine (f) k, (g) w, (h) cf> e (i) o sinal que precede w.

-

(b)

Figura 16-35 Problema 24. • • •25 Uma corda uniforme de massa me comprimento L está pen-

durada em um teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal na corda é função de y, a distância da extremidade inferior, e é dada por v = fiy. (b) Mostre que o tempo que uma onda transversal leva para atravessar a corda é dado por t = 2.[iii. Energia e Potência de uma Onda Progressiva em uma Corda •26 U.ma corda na' qual ondas podem se propagar tem 2,70 rode

Seção 16-7

compnmento e 260 g de massa. A tensão da corda é 36,0 N. Qual deve serª frequência de ondas progressivas com uma amplitude de 7•7 mm para que a potência média seja 85,0 W? ••27 U d · , ma.on senoidal é produzida em uma corda com uma massa especifica lmear de 2,Og/m. E nquanto a onda se propaga, a energt·a . . cinética dos elementos de massa ao longo da corda varia. A Fig. 16-36a mostra a taxa dK!dt com a qual a energia . cinética . . passa pe10 s

º

-·-->--+-

20- ·

1 , l 1

x (cm)

Figura 16- 34 Problema 23.

R,

-

Rs

~ .......

o -y,

ª

~

~ .......

-

~

~

~

~ ~

o

0,1 X

0,2

(n1)

(a)

Figura 16-36 Proble1na 27.

o

1 I (ms)

(b)

2

PARTE

ONDAS-1 tos de massa da corda em um certo instante e1n função da e1c1nen d A p· 16 3 , 1g. - 6b e se1nelhante, exceto . ância x ao longo da cor a. dist. · cineltca · ' · passa lo fato de que 1nostra a t ax a co m a qua_l a energia pe mdeterminado elemento de massa (situado em u1n certo ponto porurda) em função do tempo t. Nos dois casos, a escala do eixo daCO . . vertical é definida por R, = 10 W. Qual é a amplitude da onda? seção 16.s

A Equação de Onda

y(x, t) = (3.00 n1m) sen[(4,00 m- 1)x - (7,00 s- 1)t].

•35 Duas ondas senoidais de mcsrna frcquéncia 1,c propagam no 1nes1no sentido em u1na corda. Se Ymi = 3,0 cm, Ym2 = 4.0 cm. cp 1 = Oe cp2 = 'TTl2 rad, qual é a amplitude da onda resultante'! • •36 Quatro ondas são produzidas na mes1na corda e no mesmo sentido:

y2(x, t) = (4.00 mm) sen(21Tx - 400?Tt + 0,717) y3(x, t) = (4,00 mm) sen(21Tx - 400?Tt + 1T)

Qual é a amplitude da onda resultante?

y1(x, t) = (4,60 n1m) sen(2?Tx - 400?Tt)

• ••30 Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma

y2(x, t)

onda dada em termos de uma função genérica h(x, t):

+ (6,0 s- 1)t].

Interferência de Ondas

•31 Duas ondas progressivas iguais, que se propagam no mesmo

sentido, estão defasadas de 'TT/2 rad. Qual é a amplitude da onda resultante em termos da amplitude comum Ym das duas ondas? •32 Que diferença de fase entre duas ondas iguais, a não ser pela constante de fase, que se propagam no mesmo sentido em corda esticada, produz uma onda resultante de amplitude 1,5 vez a amplitude comum das duas ondas? Expresse a resposta (a) em graus, (b) em radianos e (c) em comprimentos de onda. ••33 Duas ondas senoidais com a mesma amplitude de 9,00

mm

e o mesmo comprimento de onda se propagam em uma corda esticada ao longo de um eixo x. A onda resultante é mostrada duas vezes na Fig. 16-37, antes e depois que o vale A se desloque de uma distância d = 56,0 cm e1n 8,0 1ns. A distância entre as marcas do eixo horizontal é l Ocm; H = 8,0 mm. A equação de uma das ondas é da forma y(x, t) = Ym sen(kx + wt + cp 1), onde cp 1 = Oe cabe ao leitor determinar O sinal que precede w. Na equação da outra onda, determine (a) y,., (b) k, (c) w, (d) cp2 e (d) o sinal que precede w.

,. \ I I

I

(4,00 mm) sen(21rx - 400?Tt)

• •37 Duas ondas se propagam na mesma corda:

y(x, t) = (2,00 mn1)[(20 m- 1)x - (4,0 s- 1)r]º.5.

Seção 16- 10

=

y4(x, t) = (4,00 mm)sen(2?TX - 4001Tt + 1,717).

••29 Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por

y(x, t) = (4,00 mm) h[(30 m- 1)x

Fasores

Seção 16-11

y 1(x, t)

•28 Use a equação de onda para determinar a velocidade de uma onda dada por

145

/\

I

\

\

I I

=

(5,60 mm) sen(21Tx - 400?Tt + 0,80?Trad).

Qual é (a) a amplitude e (b) o ângulo de fase (em relação à onda l) da onda resultante? (c) Se uma terceira onda de amplitude 5,00 mm também é produzida na corda com o mesmo sentido que as duas primeiras, qual deve ser o ângulo de fase para que a amplitude da nova onda resultante seja máxima? ••38 Duas ondas senoidais de mesma frequência e mesmo sentido são produzidas em uma corda esticada. Uma das ondas tem uma amplitude de 5,0 mm e a outra uma amplitude de 8,0 mm. (a) Qual deve ser a diferença de fase cp 1entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a menor possível? (b) Qual essa amplitude mínima? (c) Qual deve ser a diferença de fase cp2 entre as duas ondas para que a amplitude da onda resultante seja a maior possível? (d) Qual é essa amplitude máxima? (e) Qual é a amplitude resultante se o ângulo de fase é (cp 1 - cp2)/2? • •39 Duas ondas senoidais de mesmo período, com 5,0 e 7 ,O mm

de amplitude, se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada, onde produzem uma onda resultante com uma amplitude de 9,0 mm. A constante de fase da onda de 5,01nm é O. Qual é a constante de fase da onda de 7,0 ffiln? Seção 16- 13

Ondas Estacionárias e Ressonância

•40 Duas ondas senoidais com comprimentos de onda e amplitudes iguais se propagam em sentidos opostos em uma corda com uma velocidade de 1Ocm/s. Se o intervalo de tempo entre os instantes nos quais a corda fica reta é 0,50 s, qual é o comprimento de onda das ondas? •41 Uma corda fixa nas duas extre1nidades tem 8,40 m de cornprimento, u1na massa de O, 120 kg e uma tensão de 96,0 N. (a) Qual é a

F· igura 16-37 Problema 33. 34

Uma onda senoidal de frequência angular 1200 rad/s e an1Phtuct 1· e 3·OO 1nn1 é produzida ern uma corda de rnassa espec1'fi ca •n~ar 2,00 gim e 1200 N de tensão. (a) Qual é a taxa média com a ~Uai ª energia é transportada pela onda para a extretnidade oposta . acorda') (b u111 • ) Se, ao rnesrno ten1po, urna onda igual se propaga em ·· , · totalª corda vizinha, de mes1nas caracter1st1cas, qua 1e' a Laxa •nédia lllid corn a qual a energia é transportada pelas ondas para as exlreSão ades opostas das duas cordas? Se. ern vez disso. as duas ondas llléd~roctuzidas ao 1nes1no te1npo na 1nes111a corda, qual é a taxa 1a tot 1 .e d f'a,c cn~a corn a qual transportam enero1a quando a d11erença e e as duas ondas é (c) O, (d) 0,4'7T rad e (e) '7T rad? ''.'

velocidade das ondas na corda? (b) Qual é o maior comprimento de onda possível para urna onda estacionária na corda? {c) Determine a frequência dessa onda. •42 Uma corda submetida a u1na tensão

oscila no terceiro harrnônico com uma frequênciaJ;, e as ondas na corda tê1n u1n comprimento de onda À 3• Se a tensão é aumentada para T = 4T1 e a corda 1 é novamente posta para oscilar no terceiro harmôníco, qual é (a) a frequência de oscilação e1n termos deJ; e (b) o co1nprimento de onda das ondas em termos de A3? T,

•43 Qual é (a) a menor frequência, {b) a segunda 1nenor frequência e (c) a terceira menor frequência das ondas estacionárias em um fio com 10,0 m de co1nprimento, 100 g de massa e 250 N de tensão? ,44 Uma corda com 125 cm de cornprimento tem uma massa de 2,00 g e u1na tensão de 7,00 N. (a) Qual é a velocidade de u,na onda

l

1

146

CAPÍTULO 16

na corda'? (b) Qual é a frequência de ressonância n1ais baixa 0 l"l. terceiro 1ns1ante cn1 que todos os pontos da corda po t 111l1 ssue1n

transversal nula? l .,·d·ide ' ,,57 Uin gerador en1 uma das extre1nidades de uma corda rnuito ., produz u1na onda dada por ftlOg..

1~ lX

7i

y = (6.0 cn1) cos

2

[(2.00 n1- 1).t + (8.00 s-•)t],

eum gerador na outra extrernidade produz a onda y = (6.0 cn1) cos

7i

2

[(2,00 m- 1)x - (8.00 s-•)t].

Calcule (a) a frequência, (b) o comprimento de onda e (c) a velocidade de cada onda. Para x ~ O, qual é a posição do nó com (d) 0 menor, (e) o segundo menor e (f) o terceiro menor valor de x? Para x;;: O, qual é a posição do antinó com (g) o menor, (h) o segundo menor e (i) o terceiro menor valor de x? ..59 Na Fig. 16-41, uma corda, presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suporte no ponto Q, é tensionada por um bloco de massa ,n. A distância entre P e Q é L = 1,20 m, a massa específica linear da corda é µ, = 1,6 gim e a frequência do oscilador é f = 120 Hz. A amplitude do deslocamento do ponto Pé suficientemente pequena para que esse ponto seja considerado um nó. Também existe um nó no ponto Q. (a) Qual deve ser o l'alor da massa ni para que o oscilador produza na corda o quarto harmônico? (b) Qual é o modo produzido na corda pelo oscilador para 1n = 1,00 kg? Oscilador

Q

·1 m

F' igura 16-41 Problemas 58 e 60.

fiO Na l 1g. 1h- l 1. un1,1 Lord,1, prc .i ,1 uni o c1hulor no1d.il no ponto P e apoiacJ., c111 urn , up,111c 1111 ponln fJ é tc11 1011 l I por u111 bloco ele 1na,.,a 111 1\ di-.t,tnl 1.1 entre /' c {l é /~ 1 2fJ 111. e 1 f rcquênc1a do º"cilador é f-= J20 111. ,\ ,11npl11udc dn de locan1cn lo do ponto P é suficicnternenlc pequena p.ir.i que e e ponto Jn considerado um nó. Também existe um ncí no ponto Q IJrna ond,1 estacionária aparece quando a ma.,sa do bloco é 286, I g ou i ~7.0 g, mas não aparece para nenhuma mas ...a entre c,,c-. cJoi \ ,ilorc . Qual é a n1assa específica linear da corda? Problemas Adicionais

61 Em u1n experimento com ondas estacionárias. uma corda de 90 cm de comprimento está presa a um dos braços de um diapasão excitado eletricamente, que oscila perpendicuJarmente à corda com uma frequência de 60 Hz. A massa da corda é O.O-++ kg. A que tensão a corda deve ser submetida (há pesos amarrados na outra extremidade) para que oscile com dois comprimentos de onda?

62 Uma onda senoidal transversal que se propaga no sentido positivo de um eixo x tem uma amplitude de 2,0 cm. um comprimento de onda de 10 cm e uma frequência de 400 Hz. Se a equação da onda é da forma y(x, t) = Ym sen(kx + wt), determine (a) Ym• (b) k, (c) w e (d) o sinal que precede w. Qual é (e) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda e (f) a velocidade da onda? 63 Uma onda tem uma velocidade de 240 rn/s e um comprimento de onda de 3,2 m. Qual é (a) a frequência e (b) o período da onda? 64 A equação de uma onda transversal que se propaga em uma

corda é y = 0,15 sen(0,79x - 13t),

onde x e y estão em metros e testá em segundos. (a) Qual é o deslocamento y emx = 2,3 me t = 0,16 s? Uma segunda onda é combinada com a primeira para produzir uma onda estacionária na corda. Se a equação da segunda onda é da forma y(x, t) = Ym sen(kx ± wt), determine (b) Ym, (c) k, (d) w e (e) o sinal que precede w. (f) Qual é o deslocamento da onda estacionária em x = 2,3 me t = 0,16 s? 65 A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda é y = (2,0 mm) sen[(20 m-•)x - (600 s-1 )t].

''' 59 Na Fig. 16-42, um fio de alumínio, de comprimento L, = 60,0 cm, seção reta 1,00 X 10-2 cm2 e massa específica 2,60 g/cm3 , está soldado a um fio de aço de massa específica 7 ,80 g/cm3 e mesma se ' Çao reta. O fio composto, tensionado por um bloco de massa m 1 dO,o kg, está disposto de tal forma que a distância Li entre o ponto fie solda e a polia é 86 6 cm. Ondas transversais são excitadas no Por_uma fonte exterr:a de frequência variável; u1n nó está situado estaP~ha. (a) Determine a menor frequência que produz uma onda c1on · · Q t nó - ana tendo o ponto de solda como um dos nós. (b) uan os ssao ob servados para essa frequência?

n:

Alu1nínio

Determine (a) a amplitude, (b) a frequência, (c) a velocidade (incluindo o sinal) e (d) o comprimento de onda da onda. (e) Determine a velocidade transversal máxima de uma partícula da corda. 66 A Fig. 16-43 mostra o deslocamento y do ponto de uma corda situado em x = O em função do tempo t quando uma onda passa pelo ponto. A escala do eixo y é definida por y, = 6,0 mm. A onda tem a forma y(x, t) = Ym sen(kx - wt + sas super tic1c · · ~o das sonoras ação e o espalha1nento das on ' e. . g das sonoras tem h h.d. . as oscilações produzidas pe1as on • ' iais em um de,en 1 1mcn 1onal . ." · mpletas ou pare , d· .· · . d. lares às frentes de on cl que ind1ct1m representadas por c1rcunfe1enc1as co ; Raio · - etas perpen icu · de uma fonte pontual. Rruos sao r ' A etas duplas sobrepostas aos raio da Figura 17-2 U1na onda sonora se a direção de propagação das frentes de o~dad.. s. s do ar são paralelas aos raios. • - long1tu 1na1s propaga a partir de u1na fonte pontual S Fig. 17-2 indicam que as osci1açoes a da Fia. 17-2, as frentes de onda 0 0 em un1 1neio tridiinensional. As frentes . . d i Onte pontua1 com _ Nas proXllllldades e uma das desse tipo são chamadas de ondat de onda for,nam esferas com centro e1n ,. a1h três dimensoes; on . d andem e seu rato aumenta, a curvatura S; os raios são perpendiculares às frentes são esfencas e se esp amem fr tes de on a se exp ' ·d de onda. As setas de duas cabeças esféricas. A medi a que as en d da são aproximadamente planas (ouremostram que os elementos do meio dinúnui. Muito longe da fonte, ~s frentes e on f são chamadas de ondas planas. tas, em desenhos bidimensionais); ondas desse ipo oscilam paralelamente aos raios. .\

17-3 A Velocidade do Som · de uma onda mecan ,,, 1·ca, seia ela transversal ou longitudinal, depende A velocidade · dades 1nerc1ai · · ·s do me1·0 (para armazenar tanto das propne . energia . c1net1ca) . como das propriedades elásticas do meio (para armazenar energia potencial). Assim, podemos generalizar a Eq. 16-26, que fornece a velocidade de uma onda transversal em uma corda, escrevendo propriedade elástica (17-1) propriedade inercial ' ;i

•

•

,

•

v=H=

Tabela 17-1

.

A Ve locidade do Somº

Meio Gases Ar (OºC) Ar (20ºC) Hélio Hidrogênio Líquidos , Agua (0°C) , Agua (20°C) ' Agua salgadah Sólidos Alumínio Aço Granito

em que (para ondas transversais) T é a tensão da corda eµ, é a massa específica linear da corda. Se o meio de propagação é o ar e a onda é longitudinal, podemos deduzir facilmente que a propriedade inercial que corresponde a µ, é a massa específica p do ar. O que corresponde, porém, à propriedade elástica? Em uma corda esticada, a energia potencial está associada à deformação periódica dos elementos da corda quando a onda passa por esses elementos. Quando uma onda sonora se propaga no ar, a energia potencial está associada à compressão e expansão de pequenos elementos de volume do ar. A propriedade que determina o quanto um elemento de um meio muda de volume quando é submetido a uma pressão (força por unidade de área) é o módulo de elasticidade volumétrico B, definido (pela Eq. 12-25) como

B= Velocidade (m/s)

331 343 965 1284 1402 1482 1522 6420 5941 6000

ªA OOC e I atm de pressão, a menos que haja uma indicação em contrário. ~A 200C e com 3,5% de salinidade.

6.p 6. V/V

(definição de módulo de elasticidade volumétrico),

(17-2)

em que ti V/V é a variação relativa de volume produzida . são l::àp. Como vimos na Seção 14-3, a unidade de ressã por uma vanaç!o ~e pres on por metro quadrado, que recebe um no P . 0 no SI para pressao e o newt a Eq. 17-2 a unidade de B ta b ' , me especial, o pascal (Pa). De acordo corn ' m em e o pascal Os · · d A toS' · quando aumentainos a pressão sobre um sin~s e up e l::à V sao opos · 1 e.emento (ou SeJa, Â.p é positivo), o volume diminui (l::à V é negativo) Incluímo · s um sinal negativ E B eja um número positivo. Substituindo,,. or B o na q. 17-2 para que s p eµ, por P na Eq. 17-1, obtemos V=

~p \j-;;

(velocidade do som)

(17-3)

como a velocidade do som ein um . d . . . Be massa específica p. A Tabela 17 1 meio e inódulo de e1astic1dade volumétnco - mostra a velo ·d d . , ~ massa ~specífica da água é quase v ci a e .de som em váiios meios. e 1000 o uruco fator importante, esperaríainos ezes maior que a do ar. Se esse f~ss , de acordo com a Eq. 17-3, que a veJoc1da-

ONDAS li •

153

•

de do sotn na .igu~ tosse t~~·~.to n1c11or ~t1c a velocidatlc do scl1n llt) ar. 1~111 rt·t:11110, a raoeli\ 17-1 n1o~t1~ o cont1a110. so11cl~11111os (1_1ova~11cnlc a partir da l~q. 17 ')que() tl'Kiulo de elast1c1dade volt1111ét11co d,t água e 111a1s tlc 1()0() vezes niai(H' que O do '.:r. Este é, realn1ente, o caso .. A água~ n1t1ito 111ais inco 1111)ressívcl dcl que O ur, 0 que.· ~,·eja a Eq. 1~-2) é ?utra foiina de dizer que o 111óc.tulo c.lc claslicidac.lc vt>lun1ótrico ,otia é 111u1to 111ruor que o do ar.

da a~ '

oemonstração Formal da Equação 17...3 Vanios agora de111011strar a Eq. 17-3 aplica11do diretm11e11te as leis de Newton. Considere uni pulso isolado de co111pressão do ar que se propaga da direita para a esquerda, con1velocidade v, e1n un1 tubo co1no o da Fig. 16-2. Van1os escolher u1n referencial que se inove ~01n a 1nesn1a velo.cidade que o pulso. A Fig. l 7-3a 111ostra a situação do ponto de vista desse referencial. O pulso per111anece estacionário e o ar passa por ele con1 velocidade v, 1nove11do-se da esquerda para a direita. Seja p a pressão do ai· não perturbado e p + l:lp a pressão na região do pulso, onde 6.p é positivo devido à compressão. Considere u1n ele111e11to de ar de espessura tix e seção reta A, 1novendo-se em direção ao pulso com velocidade v. Quando oele1nento de ar penetra no pulso, a borda dia11teira encontra un1a região de 1naior pressão, que reduz a velocidade do ele1nento pru·a v + l:lv, onde l:lv é u1n nú1nero negativo. A redução de velocidade termina quando a borda traseira do elemento penetra no pulso, o que acontece após um intervalo de tempo dado por (17-4)

6.t = 6.x. V

Vamos aplicar a segunda lei de Newton ao elemento. Durante o intervalo de tempo ó.t, a força média exercida sobre a borda traseira do ele1nento é pA, dirigida para a direita, e a força média exercida sobre a face dianteira é (jJ + l:lp )A, dirigida para a esquerda (Fig. 17-3b). Assim, a força resultante média exercida sobre o elemento durante o intervalo l:lt é F = pA - (p = -6.pA

+ 6.p )A (17-5)

(força resultante).

Osinal negativo indica que a força resultante que age sobre o ele~ento de ar.aponta Para a esquerda na Fig. 17-3b. o volume do elemento é A6.x; assim, com a aJuda da Eq.17-4, podemos escrever a massa como (17-6) 6.m =pó.V= pA ÂX = pAv 6.t (massa). A. aceleração média do

elemento durante o intervalo l:lt é

a=

ÂV

(17-7)

(aceleração).

Ât

AJ· em movimento (elemento de íluido)

p + A/', v + Av

,...,._..

'

A: 1

1

/J, I '

~•' Pulso

- ~Ax~-

/J,

11

( X 11 111 , 111c :i 1nt c 11 ul,1d c d" Mnn r1i onde 41r1 1 é a :í,ca da l'Sf l'tll . /\ 1iq , l 7 11 ~ < 11 • • • 1 11111dr.1d11 da dt 'll,IIICICI I w2• De acordo com o pr1nctp total é dada por

1til

A

(b)

s = s, + s2 = s,,,(cos w1l + cos w2t).

(e)

Figura 17-17 (a, b) As variações de pressão 6.p de duas ondas sonoras quando são detectadas separadamente. As frequências das ondas são muito próximas. (e) A variação de pressão quando as duas ondas são detectadas simultaneamente.

Usando a identidade trigonométrica (veja O Apêndice E ) cosa+ cos (3 = 2 cos[!(a - f3 )] cos[!(a + /3)] podemos escrever a variação de pressão total na forma s = 2s,,, cos[!( w1

-

w 2)t] cos[f( w, + w2)t].

(17-43)

e

(17-44)

Definindo

podemos escrever a Eq. 17-43 na forma s(t)

= [2s cos w' t] cos wt.

(17-45)

11,

Vamos supor que as frequências angulares w 1 e w 2 das ondas que se combinam são quase iguais, o que significa que w ~ w' na Eq. 17-44. Nesse caso, podemos co~siderar a Eq. 17-45 como uma função cosseno cuja frequência angular é w e cuJa amplitude (que não é constante, mas varia com uma frequência angular w' ) é o valor absoluto do fator entre colchetes. A amplitude é máxima quando cos w' t na Eq. 17-45 é igual a 1 ou - 1, o que acontece duas vezes em cada repetição da função cosseno. Como cos w' t tem uma frequência angular w' , a frequência angular w bai do batimento é w bat = 2w'. Assim, com a ajuda da Eq. 17-44, podemos escrever

r

,.

%ai =

2 w' = (2) (~)(w1 - Wi) =

W1 -

w2 •

Como w = 27Tf, essa equação também pode ser escrita na forma •

(frequência de batimento).

(17-46)

Os músicos usam o fenômeno de batimento para afinar seus instrumentos. O som de um instrumento é comparado com uma frequência padrão (como, por exemplo. uma nota chamada "lá de concerto" tocada pelo primeiro oboé) e ajustado até que o batimento desapareça. Em Viena, o lá de concerto (440 Hz) é fornecido por telefone aos muitos músicos residentes na cidade.

·

Exemplo Uso das frequências de batimento pelos pinguins

Quando um pinguim-imperador volta para casa depois de sair à procura de alimento, como consegue encontrar o companheiro ou companheira no meio de milhares de pinguins reunidos para se proteger do rigoroso inverno da Antártica? Não é pela visão, já que todos os pinguins são muito parecidos, mesmo para outros pinguins.

A resposta está no modo como os pinguins emitem sons. A_ 1naioria dos pássaros emite sons usando apenas um do~ do.is lados do órgão vocal, cha1nado de siringe. Os pingu1ns-unperadores, porém, emitem sons usando simultaneamente os dois lados da siringe. Cada lado produz ondas acústicas estacionárias na garganta e na boca do pássaro.

•

PARTE 2

ONDAS-li

como en1 u1n LuboAco~11 as duas e.xtrcn1idades abertas. Sudo p1in1eiro har1nônico [)I' d · ponha que a frequenc,a . . , · O UZlC1O A · . . A da s1r1nge A . e ·( 11 = 43'>- Hz e que ,a fi·equenc1a Pelo lado do pr1me1ro ham1on1co produzido pela extrenúdade B é .foi = 371 Hz. Qual é a frequência de batimento ent.1e as duas frequenc1as do pr1me1ro harmô1úco e e11tre as d d uas frequenc1as o segundo l1ar1nônico? A

A

•

•

De ac~rdo com a Eq. 17-46 ifbat = f, - / 2), a frequência de batimento de duas frequências é a diferença entre as frequenc1as. A

i2L e ~ frequcncta, do segu~,c.1~ ha11nônico é (2 = 2,•/21~. ompatando as duas frequcnc1as, vemos qul.!, sl.!ja qual for o valor de L '

li

•

•

167

=

2.f,.

Para o pinguim, o segundo harmônico do lado ;l tem uma frequênciaf12 = 2/,11 e o segundo harmônico do lado B tem uma frequência/82 = 2f81 • Usando a Equação 17-46 com as frequências .ft. 2 e f 82, descobrimos que a frequência de batimento correspondente é

•

Íbat.2

Cálculos Para as duas frequências de primeiro harinônico

fi I e / 8 1, a frequência de batimento é Íbat.1 = !111 - fn1 = 432 Hz - 371 Hz = 61 Hz.

(Resposta)

Como as ondas estacionárias produzidas pelo pingui1n correspondem a um tubo com as duas extremidades abertas, as frequências de ressonância são dadas pela Eq. 17-39 (f = nv/2L), e1n que L é o comprimento (desconhecido) do tubo. A frequência do p1imeiro hannônico é/1 =

=

f112 -

=

122 Hz.

(Resposta)

Os experimentos mostram que os pinguins conseguem perceber essas frequências de batimento relativamente elevadas (os seres humanos não conseguem perceber frequências de batimento maiores que cerca de 12 Hz). Assim, o chamado de um pinguim possui uma variedade de harmônicos e frequências de batimento que permite que sua voz seja identificada mesmo entre as vozes de milhares de outros pinguins.

~

96Hz).

Essas variações de frequência relacionadas ao movimento são exemplos do efeito Doppler. Esse efeito foi proposto (embora não tenha sido perfeitamente analisado) e1n 1842 pelo físico austríaco Johann Christian Doppler. Foi estudado experimentalmente em 1845 por Buys Ballot, na Holanda, "usando uma locomotiva que puxava u1n vagão aberto co1n vários trompetistas". O efeito Doppler é observado não só para ondas sonoras, mas também para ondas eletromagnéticas, corno as micro-ondas, as ondas de rádio e a luz visível. No momento, porém, va1nos considerar apenas o caso das ondas sonoras e tomar como referencial a ,nassa de ar onde as ondas se propagam. Isso significa que a velocidade da fonte Fedo detector D das ondas sonoras será medida e111 relação ao ar. (A não ser que seja dito o contrário, vainos supor que o ar está e111 repouso em relação ao solo, de 1nodo que as velocidades tan1bém pode,n ser 111edidas en1 relação ªº.solo.) Vamos supor que F e D se aproxin1ani ou se afastan1 en1 linha reta, co,n velocidades 1nenores do que a velocidade do so1n. Se o detector ou a fonte está se n1ovendo, ou an1bos estão se 1novendo. a frequência e1nitida.f e a frequência detectada.(' são relacionadas através da equação V11

2f111

2(432 Hz) - 2(371 Hz)

Um carro de polícia está estacionado no acostamento de uma rodovia, com a sirene de 1000 Hz ligada. Se você também estiver parado no acostamento, ouvirá o som da sirene com a mesma frequência .•Se houver um movimento relativo entre você e o carro de polícia, porém, ouvirá urna frequência diferente. Se estiver se aproxiniando do can·o de polícia a 120 km/h, por exemplo, ouvirá uma frequência mais alta (1096 Hz, um auniento de 96 Hz). Se estiver se afastando do carro de polícia com a mesma velocidade, ouvirá uma frequência mais baixa (904 Hz, uma diniinuição de

I'

2/111 -

=

17-9 O Efeito Doppler

./, - .r ,, +::: r,

Í112 =

(..:quaç.10 gi:ral d() c.:l..:ito l)opplc.:1 ).

(17-47)

168

CAPÍTULO 17

. . é a velocidade do detector em relaç~ em que v é a veloc1dade do son1 no ar, ao ao . l ar A escolha do sinal pos1t1vo 0 ar e vr é a velocidade da fonte em re açao a0 · u nc. gativo é dada pela seguinte regra:

"º '

.

..

Quando o 1novimento do detector ou da fonte é no sent_ido de aproximá-J?s, o sinal da velocidade deve resultar em um aumento da frequência. Qu~ndo O movimento do detector ou da fonte é no sentido de afastá-los, o sinal da velocidade deve resultar em uma diininuição da frequência. Para resumir, aproximação significa aumento de frequência; afastamento significa diminuição de frequência. Aqui está uma descrição detalhada da aplicação da regra. Se o detector estiver se movendo em direção à fonte, use o sinal positivo no numerador da Eq. 17-47 para obter um aumento da frequência. Se o detector estiver se afastando da f ante, use 0 sinal negativo no numerador para obter urna diminuição da frequência. Se o detector estiver parado, substitua v0 por O. Se a fonte estiver se movendo em direção ao detector, use o sinal negativo no denominador da Eq. 17-47 para obter um aumento da frequência. Se a fonte estiver se afastando, use o sinal positivo no denominador para obter urna diminuição da frequência. Se a fonte estiver parada, substitua vF por O. Antes de demonstrar a Eq. 17-47 para o caso geral, vamos demonstrar as equações do efeito Doppler para as duas situações particulares apresentadas a seguir. 1. Quando o detector está se movendo em relação ao ar e a fonte está parada em relação ao ar, o movimento altera a frequência com a qual o detector intercepta as frentes de onda e, portanto, a frequência da onda sonora detectada. 2. Quando a fonte está se 1novendo em relação ao ar e o detector está parado em relação ao ar, o movimento altera o comprimento de onda da onda sonora e, portanto, a frequência detectada (lembre-se de que a frequência está relacionada ao comprimento de onda).

Detector em Movimento, Fonte Parada Na Pi~. 17-18, um ~etector D (representado por uma orelha) está se movendo com veloc1~ade v0 em direção a uma fonte estacionária F que emite ondas esféricas, de compnmento de onda À e frequência!, que se propagam com a velocidade v do som no ar. As frentes ~e o:nda estão desenhadas com uma separação de um comprimento de onda. A frequenc1a detec~ada pelo detector D é a taxa com a qual D intercepta as frentes de onda (ou cornpnrnentos de onda individu.,.;s) se D est·1vesse parado, a f, mas como D esta se movendo em direção às fre t d d t xa de taxa seria · t t - , . n es e on a, a a in ercep açao e maior e, portanto, a frequência detectadaf' é maior do quef •

,

Aumento de frequência: o detector se aproxima da fonte.

U1na fonte sonora estacionária F e1nite frentes de onda esféricas, 1nostradas co1n u1na separação de u1n co1npritnento de onda, que se cxpande1n radiahnenle com velocidade v. Um detector D. representado por uma orelha, l.ie move co1n velocidade v,, e1n direção à fonte. O detector 1nede urna frequência 1naior por causa do 1novi 111cnto. Figura 17-18

•

\'

f a menos que v0 = O (ou seja, a menos que o detector esteja parado). Podemos usar um raciocínio semelhante para calcular a frequência detectada por D quando D está se afastando da fonte. Nesse caso, as frentes de onda se movem uma distância vt - v0 t em relação a D no intervalo te f' é dada por f' =

f

(17-51)

VD. V

Na Eq. 17-51, f' < f a menos que v0 17-51 na equação V+ VD

f ' = f -V~

(17-52)

Fonte em Movimento, Detector Parado Suponha que o detector D está parado em relação à massa de ar e a fonte F está se movendo em direção a D com velocidade vF (Fig. 17-21). O movimento de F altera o comprimento de onda das ondas sonoras que a fonte emite e, portanto, a frequência detectada por D. . Para co1npreendermos por que isso acontece, vamos chamar de T ( = li!) o intervalo de tempo entre a emissão de duas frentes de onda sucessivas, O, e 02. Durante 0 intervalo T, a frente de onda o, percorre uma distância vT e a fonte percorre un1a distância vFT. No fim do intervalo T, a frente de onda 0 2 é e1nitida. No lado para onde F está se movendo, a distância entre OI e 0 2, que é o comprimento de onda À' das ondas que se propagam nessa direção, é vT- vrT. Se D detecta essas ondas, detecta uma frequência/' dada por ,•!(- v1 lf V

=f-l' -

\' f

-

(b)



X

F Ã.'-..

F1

1~

D

Na Eq 17-53 f' > fa menos que vF = O. ' · ento de onda A' das ondas é vT + vFT. Se D detecta No· lado oposto, o compnm essas ondas, detecta uma frequência!' dada por V

f'

=

f

(17-54)

V+ VF.

Na Eq. 17-54,f' de O; 0,2 ou 0,5 comprimento de onda. (a) Sem fazer cálculos no papel, ordene esses valores de c/> de acordo com a taxa média com a qual as ondas transportam energia, em ordem decrescente. (b) Qual é a taxa média em termos de Pm~.1 para o primeiro valor de e/>?

dade direita faz ressoar quatro tubos próximos, cada um com apenas uma extremidade aberta (os tubos não estão desenhados em escala). O tubo B oscila no modo fundamental, o tubo C no segundo hannônico, o tubo D no terceiro harmônico e o tubo E no quarto hannônico. Sem executar cálculos, ordene os cinco tubos de acordo com seus comprimentos, em ordem decrescente. (Sugestão: desenhe as ondas estacionárias em escala e, em seguida, desenhe os tubos em escala.)

2 Na Fig. 17-24, duas fontes pontuais F 1 e F2 , que estão em fase, emitem ondas sonoras iguais de comprimento de onda 2,0 m. Em termos de comprimentos de onda, qual é a diferença de fase entre as ondas que chegam ao ponto P se (a) L1 = 38 me L,. = 34 m, (b) L 1 = 39 me L,. = 36 m? (c) Supondo que a distância entre as fontes é muito menor que L 1 e Li, que tipo de interferência ocorre no ponto P nas situações (a) e (b)?

..... 1 _ ___.! B

.___ _. . .,! e

--.....J'D

, j ._

'-----'E

Figura 17-26 Pergunta 5.

•• p Figura 17-24 Pergunta 2.

3 Na Fig. 17-25, três tubos longos (A, B e C) estão cheios de gases

submetidos a pressões diferentes. A razão entre o módulo de elasticidade volumétrico e a massa específica está indicada para cada gás em termos de um valor de referência Brfp0 . Cada tubo possui um êmbolo na extremidade esquerda que pode produzir um pulso' no tubo (como na Fig. 16-2). Os três pulsos são produzidos simultaneamente. Ordene os tubos de acordo com o tempo de chegada dos pulsos na extremidade direita aberta dos tubos, em ordem crescente.

6 O tubo A tem comprimento L e uma extremidade aberta. O tubo B ~e1? comprimento 2L e as duas extremidades abertas. Quais har~on~cos do tubo B têm frequências iguais às frequências de ressonanc1a do tubo A? 7 A Fig. 17-27 mostra uma fonte Sem movimento que emite sons com uma certa frequência e quatro detectores de som estacionários. Ordene os detectores de acordo com a fr d d . equenc1a o som que etectam, da maior para a inenor. A

3, 1

_l_ 1

A 1 1

t

'L

!-l.

,__ 1

11

4Bo/Po:

1

B

t

: L

1 1,:=:~' -l. 5 Na Fig. 17-26. o tubo A é coloca1 1 L do para oscilar no terceiro harmô..=:::~-' Bo!Po e nico por uma pequena fonte sonora interna. O so1n emitido na extremi- Figura 17-25 Pergunta 3. 1

2

L

16Bo/Po

•4

_______ _,....1

-r-

4 O sexto harmônico é gerado em um tubo. (a) Quantas extremidades abertas o tubo possui (o tubo deve possuir pelo menos uma)? (b) No ponto médio do tubo existe um nó, um antinó ou wn estado intennediário?

•

.

~ s ----1

Figura 17-27 Pergunta 7. 8 U1na pessoa fica na b ·d d

segurando uma fonte ueo1 ~ ~ tres c_an·osséis, um de cada vez. ~ que emite 1sotrop1camente sons de uma certa f requenc1a. A frequencia t. . dos can·osséis varia com ou ia pessoa ouve a uma certa distância séis A vari·aça-o d f ~ te_1npo por causa da rotação dos carros. , a requencia pai· d e1n função do teinpo d p· os tres carrosséis está plota a com a velocidade line:r ~g. 17-28. Ordene as curvas de acor~o (a) angular w do can·ossel e (cda fonte s~nora. (b) com a velocidade decrescente. ) com o raio r do carrossel, em orden1 A

•

A

A

ª

A

•

ONDAS-li j

te. A tensão da corda é ajustada até que a velocidade das ondas na corda s~ja igual à velocidade do som no ar. crn seguida, o modo fundamental de oscilação é produzido na corda. Em que tubo o ,om gerado pela corda produz ressonância e qual é o modo de oscilação correspondente?

1

. ura 17-28 Pergunta 8. f1g

L

9 Quatro das seis frequências dos harmônicos abaixo de 1000 Hz d um certo tubo são 300, 600, 750 e 900 Hz. Quais são as duas ;quências que estão faltando na lista? 10 A Fig. 17-29 mostra uma corda esticada de comprimento L e tubos a, b, e e d de comprimentos L, 2L, U2 e U2, respectivamen-

111 .--

175

b

a

Figura 17-29 Pergunta 10.

1

1

PROBLEMAS O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema

~ Informações adicionais disponiveis em O Circo Voador da Ffsica de Jearl Walker, LTC, Rio de Janeiro, 2008. Use os seguintes valores nos problemas, a 1nenos que sejani fornecidos outros valores: velocidade do som no ar: 343 m/s massa específica do ar: 1,21 kg/in3 Seção 17-3 A Velocidade do Som

•1 Dois espectadores de uma partida de futebol no estádio de Montjuic veem e depois ouvem uma bola ser chutada no campo. O tempo de retardo para o espectador A é 0,23 s e para o espectador B é 0.12 s. As linhas de visada dos dois espectadores até o jogador que chutou a bola fazem um ângulo de 90°. A que distância do jogador está {a) o espectador A e (b) o espectador B? (c) Qual é a distância entre os dois espectadores? •2 Qual é o modulo de elasticidade volumétrico do oxigênio se 32 gde oxigênio ocupam 22,4 L e a velocidade do som no oxigênio é 317 m/s? •3 -:,;: Quando a porta da Capela do Mausoléu, em Hamilton,

Escócia, é fechada, o último eco ouvido por uma pessoa que está atrás da porta, no interior da capela, ocorre 15 s depois. (a) Se esse eco se devesse a uma única reflexão em uma parede em frente à porta, a que distância da porta estaria essa parede? (b) Como a parede, na verdade, está a 25,7 m de distância, a quantas reflexões (para a frente e para trás) corresponde o último eco? '4 Uma coluna de soldados, marchando a 120 passos por 1ninuto, segue o ritn10 da batida de um tambor que é tocado na frente da coluna. Observa-se que os últimos soldados da coluna estão levantando º.Pé_ esquerdo quando os primeiros soldados estão levantando o pé direao. Qual é o compri1nento aproxi1nado da coluna?

•s Os terremotos gera1n ondas sonoras no interior da Terra. Ao contrário de u1n gás, a Terra pode trans1nitir tanto ondas transver~ai, (S) co1no ondas longitudinais (P). A velocidade das ondas Sé .ª Ordem de 4.5 k1n/s e a das ondas Pé da ordem de 8.0 k111/s. U1n ~,~rnógrafo registra as ondas P e S de u1n terren1oto As prin1ei1a.., Ondas P chega1n 3.0 1n1n antes das primeiras ondas S. Se as onda, se propagaram e1n linha reta. a que di-.tância oco11cu o tc1Tcn1oto? '6 tJ

A.

n1 hon1en1 bate co1n un1 martelo na ponta de uni barra JclgaJ,1. velocidade do son111a barra é 15 vezes 1na1n1 que a vcloi.:1 para diferentes pressões do gás, mas quando a quantidade de gás é reduzida (o que diminui o valor de p3), as três curvas convergem para 373,125 K.

188

C PÍ ULO 18

li .

d

Co rro po nd nc,n o ntr

01 ( li

umn

1

(

1c-1nr cra1L1r.1

212

100

Zero absoluto

, Ponto Jc cbuliçãu cJ' ai,: 11 1 17 0 Te1nperatura nonnal tio l:OrpL1 20 Te1nperatura confortável 0 Ponto de congelan1ento da água" = - 18 Zero da escala Fahrenheit - 40 .C . :.....:.o_in_c_id_ê_nc_i_a _d_as_e_s_ ca_I_as_ _ _ _ _ _ _ _ __ _

OK

~ -"= -73.15 C --459.67"F ~----=-:..=-:e__:_;

Figura 18-7 Comparação entre as

escalas Kelvin, Celsius e Fahrenheit de temperatura.

(JX/1

6X

32

o -40

. d b ,·ção da água na escala Celsius é 99,975º C e o ponto de ªEstntamente falando, o ponto e e u1 · exi·stem ligeiramente menos de I 00 C entre es~c~ dois ponto,· conge1amento é O,Oo ºC . Asstm, O

•

A posição do símbolo de grau em relação às letras C e F é usada para distinguir medidas e graus nas duas escalas. Assim, OºC = 32ºF significa que uma temperatura de Oº na escala Celsius equivale uma temperatura de 32º na escala Fahrenheit, enquanto 5 Cº = 9 Fº significa que uma diferença de temperatura de 5 graus Celsius (observe que, nesse caso, o símbolo de grau aparece depois do C) equivale a uma diferença de temperatura de 9 graus Fahrenheit.

•

"

TESTE 1 A figura mostra três escalas lineares de temperatura, com os pontos de congelamento e ebulição da água indicados. (a) Ordene os graus dessas escalas de acordo com O tamanho, em ordem decrescente. (b) Ordene as seguintes temperaturas, em ordem decrescente: 50ºX, 50ºW e 50ºY. •

70ºX-+-+-

I 20°W-H' - - 90""' -l--l1

Ponto de e bulição

'

-20ºX--1-1--

30ºW'+-11---

O"Y+-l- Ponto d e congelamento

Conversão de uma escala de temperatura pa ra outra

Suponha que você encontre anotações antigas que descre- mento da água o n , d e graus entre as temperaturas vem uma escala de temperatura chamada de Z na qual o conheci'das em· umaumero e 1 , . sca a e equivalente ao número de ponto de ebulição da água é 65,0ºZ e o ponto de congela- graus entre elas na outra escala. mento é 214,0ºZ. A que temperatura na escala Fahrenheit co1Tesponde uma temperatura T = - 98,0ºZ? Suponha que Cálculos Começamos . 1 a escala Z é linear, ou seja, que o tamanho de um grau z T a u,na das tempe tu por re acionar a temperatura dada T = _ 98 OºZ ra. ras conhecidas da escala z. Como é o mesmo em toda a escala Z. , está mais próx · d ( - 14 OºZ) d imo o ponto de congelamento ponto, de co:~:1aº ponto de ebulição (65 ,OºZ), escolhemos o Como as duas escalas são lineares, o fator de conversão ( - 98,0ºZ) = 8:eon~o. O~servamos que Testá -14,0ºZ · d o ponto de pode ser calculado usando duas temperaturas conhecidas congela,nent (E , Z .(F1 0° · 18 - 8) a b azxo . como ..84,o nas duas escalas, como os pontos de ebulição e congela- graus Z".) º· ssa diferença pode ser 1ida

.

~

.

TEMPERATURA, CALOR EA PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

•

z 65,0ºZ

t-

F Ehuli~;i.n

T

79,0 Zº -14,0ºZ

180 Fº

-1-

-

84,0 Zº T= -98,0ºZ

_J_

212ºF

- .L 32ºF

Congt'l.nnento

•

•

- -

'r-' -.

figura 18_-8 Comparação entre tnna escala de tenlperatura

189

escala Z. a diferença entre os pontos de ebulição e de congela,nento é 65,0ºZ - (-14,0ºZ) = 79,0 Zº. Na escala Fahrenheit, é 212ºF - 32,0ºF = 180 Fº. Assitn, uma diferença de temperatura de 79 Zº equivale a uma diferença de ten1peratura de 180 Fº (Fig. 18-8) e podemos usar a razão ( 180 Fº/79,0 Zº) como fator de conversão . Co1no Testá 84,0 Zº abaixo do ponto de congelamento, deve estar abaixo do ponto de congelamento

desconhecida e a escala Falu·enheil.

º

18

(84'OZº) 79,0 F° Zº -- l 91 F°. O passo seguinte consiste e111 deter1ninar um fator de

conversão entre as escalas Z e Fahre11heit. Para isso, usamos as duas te1nperaturas conl1ecidas na escala z e as co1Tespondentes temperaturas 11a escala Fahrenheit. Na

Como o ponto de congelamento corresponde a 32,0ºF, isto significa que T = 32,0ºF - 191 Fº = -159ºF.

(Resposta)

- - - .~---------~---------

18-6 Dilatação Térmica ' . As vezes, para conseguir desatarraxar a tampa metálica de um pote de vidro, basta colocar o pote debaixo de uma torneira de água quente. Tanto o metal da tampa quanto o vidro do pote se expandem quando a água quente fornece energia aos átomos. (Com a energia adicional, os átomos se afastam mais uns dos outros, atingindo um novo ponto de equilíbrio com as forças elásticas interatômicas que mantêm os átomos unidos em um sólido.) Entretanto, corno os átomos no metal se afastam mais uns dos outros que os átomos do vidro, a tampa se dilata 1nais do que o pote e, portanto, fica frouxa. A dilatação térmica dos materiais com o aumento de temperatura deve ser levada em conta em muitas situações da vida prática. Quando u1na ponte está sujeita a grandes variações de temperatura ao longo do ano, por exemplo, é dividida em trechos separados por juntas de dilatação para que o concreto possa se expandir nos dias quentes sem que a ponte se deforme. O material usado nas obturações dentárias deve ter as mesmas propriedades de dilatação tér1nica que o dente para que o paciente possa beber um café quente ou tomar um sorvete se1n sofrer consequências desagradáveis. Quando o jato supersônico Concorde (Fig. 18-9) foi construído, o projeto teve que levar em conta a dilatação térmica da fuselage1n provocada pelo atrito com o ar durante o voo. -:rJ'I/$ As propriedades de dilatação tér1nica de alguns 1nateriais podem ter aplicações práticas. Alguns termômetros e termostatos utilizam a diferença na dilatação dos componentes de uina tira bi,netálica (Fig. 18-1 O). Os termômetros clínicos e meteorológicos se baseiam no fato de que líquidos como o mercúrio e o álcool se dilatam mais do que os tubos de vidro que os contê,n.

Dilatação Linear Se a temperatura de uma barra ,netálica de co111prin1cnto /., aun1cnta de uni valor 11T, 0 co1nprin1cnto au,nenta de u,n valor

ui

/ ,rru/,

( 18-9)

ern que O ~ un,a conT,i

QO

··· o sistema recebe energia na forma de calor.

PARTE 2

TEMPERATURA, CALOR EA PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

193

ou seja, o joul~. ~ caloria é ~oje definida como igual a 4, 1868 J (exatamente), sem qualquer referencia ao aquec1~ento da água. [A "caloria" usada pelos nutricionistas, às v~zes chamada_d~ Cal~i1a (Cal), é equivalente a uma quilocaloria (1 kcal).] As relaçoes entre as varias unidades de calor são as seguintes: 1 cal= 3,968

X

10- 3 Btu = 4.1868 J.

(18-12)

18-8 A Absorção de Calor por Sólidos e Líquidos Capacidade Térmica A capacidad~ térmica ~ de um objeto é a constante de proporcionalidade entre o calor _Q recebido ou cedido pelo objeto e a variação de temperatura 11T do objeto, ou seJa, (18-13) em que T; e ~são as temperaturas inicial e final do objeto, respectivamente. A capacidade térmica C é medida em unidades de energia por grau ou energia por kelvin. A capacidade térmica C de uma pedra de mármore, por exemplo, pode ser 179 cal/Cº, que também podemos escrever como 179 cal/K ou como 749 J/K. A palavra "capacidade" neste contexto pode ser enganadora, pois sugere uma analogia com a capacidade que um balde possui de conter uma certa quantidade de água. A analogia é falsa; você não deve pensar que um objeto "contém" calor ou , possui uma capacidade limitada de absorver calor. E possível transferir uma quantidade ilimitada ,de calor para um objeto, contanto que uma diferença de temperatura seja mantida. E claro, porém, que o objeto pode fundir ou evaporar no processo.

Calor Específico Dois objetos feitos do mesmo material (mármore, digamos) têm uma capacidade térmica que é proporcional à sua massa. Assim, é conveniente definir a "capacidade térmica por unidade de massa", ou calor específico e, que se refere, não a um objeto, mas a uma massa unitária do material de que é feito o objeto. Nesse caso, a Eq. 18-13 se toma (18-14) Experimentalmente, podemos observar que a capacidade térmica de um~ certa pedra de mármore é 179 cal/Cº (ou 749 J/K), mas o calor específico do marmore (nessa pedra ou em qualquer outro objeto feito de mármore) é 0,21 cal/g · Cº (ou 880 J/kg · K). , , , De acordo com as definições de caloria e Btu, o calor especifico da agua e

e= 1 cal/g. Cº = 1 Btu/lb · Fº = 4186,8 J/kg · K.

(18-15)

A Tabela 18-3 mostra O calor específico de algumas substâncias à temperatura,am-

biente. Note que O calor específico da água é o maior da tabela. O calor especifico de qualquer substância varia um pouco com a temperatura, mas os valo:e~ da Tabela J8-3 podem ser usados com precisão razoável em temperaturas prox1mas da temperatura ambiente.

Calor Específico Molar Ein muitas circunstâncias, a unidade mais conveniente para especificar a quantidade de u1na substánc1a é o 1nol, definido da seguinte for1na:

TESTE 3 U,na certa quantidade de calor Q aquece 1 g de tuna substância A de 3Cº e 1 g de tuna substância B de 4Cº. Qual das duas substâncias te1n o 1naior calor ~

1 1nol = 6,02 X 10 2-1 unidades elen1entares de 111u1/qu er sub~tância. A s'>Ítn J 11101 de alun1 ín10 -.igni11ca 6,02 X l O~' átoinos Je AI (u ,Ílon10 é a unidade clc mc~l.ir) e J inol c.ll' óxido de .1lun11nio significa 6.0~ "

l'specifico ')

194

CAPÍTULO 18 Cnlores Específicos Específicos e • Alguns Calores An1biente Molares à Temperatura ~---Calor

Calor Específico

Substância

------Sólidos Ele111e11tares Chu1nbo Tungsten10 Prata Cobre Alumínio A

•

cal g· K

Granito

Vidro Gelo ( - 1OºC) Líquidos Mercúrio Etanol , Agua do mar , Agua doce

--

0,0305 0.0321 0,0564 0,0923 0.215

128 134 236 386 900

0,092 0,19 0,20 0.530

380 790 840 2220

0,033 0.58 0,93 1,00

140 2430

Outros Sólidos

Latão

J kg· K

Específico Molar .J mol · K 26.5 24,8 25.5 24.5 24.4

3900

4187

1023 fórmulas moleculares de A12 0 3 (a fórmula molecular é a unidade elementar do

composto). , Quando a quantidade de uma substância é expressa em mols, o calor especifico deve ser expresso na forma de quantidade de calor por mol (e não por uni'dade de massa); nesse caso, é chamado de calor específico molar . A Tabela 18-3,~ostrao calor específico molar de alguns sólidos elementares (formados por um uruco elemento) à temperatura ambiente.

Um Ponto Importante Para determinar e utilizar corretamente o calor específico de uma substância, é preciso conhecer as condições em que ocorre a transferência de calor. No caso de sólidos e líquidos, em geral supomos que a amostra está submetida a uma pressão constante (normalmente, a pressão atmosférica) durante a transferência. Entretanto, também podemos imaginar que a amostra seja mantida com um volume constante durante a absorção de calor. Para isso, a dilatação térmica da amostra deve ser evitada pel.a aplicação de uma pressão externa. No caso de sólidos e líquidos, isso é muito difícil de executar experimentalmente, mas o efeito pode ser calculado, e verifica-se que a diferença entre os calores específicos à pressão constante e a volume constante.é relativamente pequena. No caso dos gases, por outro lado, como vamos ver no pro· ximo capítulo, os valores do calor específico à pressão constante e a volume cons· tante são muito diferentes.

Calores de Transformação

ª !~se º'

Quando o calor é transferido para uma amostra sólida ou líquida nem sempre ' (oU temperatura da am,o~tra aumenta: Em vez disso, a amostra pode mudar de de estado). A mater1a pode ex1st1r em três estados principais. No esra,lo so/ldO, _· átomos ou moléculas do material formam uma estrutura rígida através de sua arraçaº

p '--~

TEMPERATURA, CALOR EA PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

.PARTE 2

195

mútua. No estado líquido, os átomos ou moléculas têm mais energia e maior mobilidade. Formam aglomerados transitórios, mas o material não tem uma estrutura ríoida e pode escoar em um cano ou se acomodar à forma de um recipiente. No estado gasoso, os átomos ou moléculas têm uma energia ainda maior, não interagem, a não ser através de choques de curta duração, e podem ocupar todo o volume de um recipiente.

Fundir um sólido significa fazê-lo passar do estado sólido para o estado líquido. O processo requer energia porque os átomos ou moléculas do sólido devem ser liberados de sua estrutura rígida. A fusão de um cubo de gelo para formar água é um bom exemplo. Solidificar um líquido é o inverso de fundir e exige a retirada de energia do líquido para que os átomos ou moléculas voltem a formar a estrutura rígida de um só)ido. Vaporizar um líquido significa fazê-lo passar do estado líquido para o estado gasoso. Este processo, como o de fusão, requer energia porque os átomos ou moléculas devem ser liberados de seus aglomerados. Ferver a água para transformá-la em vapor é um bom exemplo. Condensar um gás é o inverso de vaporizar e exige a retirada de energia para que os átomos ou moléculas voltem a se aglomerar. A quantidade de energia por unidade de massa que deve ser transferida na forma de calor para que uma amostra mude totalmente de fase é chamada de calor de transformação e representada pela letra L. Assim, quando uma amostra de massa m sofre uma mudança de fase, a energia total transferida é Q =Lm.

(18-16)

Quando a mudança é da fase líquida para a fase gasosa (caso em que a amostra absorve calor) ou da fase gasosa para a fase líquida (caso em que a amostra libera calor), o calor de transformação é chamado de calor de vaporização e representado pelo símbolo Lv. Para a água à temperatura normal de vaporização ou condensação,

Lv = 539 cal/g

= 40,7 kJ/mol = 2256 kJ/kg.

(18-17)

Quando a mudança é da fase sólida para a fase líquida (caso em que a ~ostra absorve calor) ou da fase líquida para a fase sólida (caso em que a amostra libera calor), 0 calor de transformação é chamado de calor de fusão e representado pelo símbolo LF. Para a água à temperatura normal de solidificação ou de fusão, Lp = 79,5 cal/g

= 6,01 kJ/mol = 333 kJ/kg.

(18-18)

A Tabela 18-4 mostra O calor de transformação de algumas substâncias.

Tabela 18-4

'

Alguns Calores de Transformação

Fusão

Ebulição

Ponto de Ebulição (K) Calor de Vaporização ~ ,(kJ/kg) Calor de Fusão LF (kJ/kg) Substân1cc:i~a~ ~~P~o~n~to~de~F~us~ã~o~(~K:)~ ~~::_..::_~;:::2.~:..:..='.::.._~ ~ ~ ~-::;-:--=-____:_....:_~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~ 455 - 4o 58 O 20,3 H1.d-rogénio 1, ' 213 Ox1gênio 90,2 13 ' 9 54, 8 296 ~crcúrio 234 ;;·4 ~~~ 2256 3 Agua 273 858 2017 Churnbo 601 23 2 "'6 2323 23., Í'f.tlu 123c 105 , 207 2868 4730 ('ohrc 11561

196

CAPÍTULO 18

.

.

•'4',

.

'

~-

r"" • • - • ·,_;,.,.. '

....

' ,·.'

'

•

.

.

'

Equilíbrio térmico entre cobre e água U1n lingote de cobre de 1nassa nzc = 75 g é aquecido em utn forno de laboratório até a temperatura T = 312º C. E1n seguida, o lingote é colocado em um béquer de vidro contendo uma massa 1n0 = 220 g de água. A capacidade térmica Cb do béquer é 45 cal!K. A temperatura inicial da água e do béquer é T; = 12ºC. Supondo que o lingote, o béquer e a água são um sistema isolado e que a água não é vaporizada, determine a temperatura final T1 do sistema quando o equilíbrio térmico é atingido. - -IDEIAS - CHAVE

· · do as Eqs · 18-19 a 18-21 na Eq. 18-22, obtcS u bst1tu1n mos: C0 111u(Tf

_ T),

+ Cb(T1 - T;) + c;nc(Jj -

T _ ee me T + CbT; + cªmªT;

(18-20) para o cobre: Qc = CJnc(T1 - T).

(18-21)

Como a energia total do sistema é constante, a soma das três transferências de energia é zero: (18-22)

-

------

•

Cama +Cb +ccmc

f -

Usando temperaturas Celsius e os valores de cc e c0 da Tabela 18-3, obtemos para o numerador (0,0923 cal/g. K)(75 g)(312ºC)

+ (45 cal/K.)(12ºC)

+ (1,00 cal/g · K)(220 g)(12ºC) =

5339,8 cal,

e para o denominador

Cálculos Para relacionar as transferências de calor a mu-

(18-19)

( 18-231

calas. Explicitando 7j, obtemos

(1,00 cal/g · K)(220 g) danças de temperatura, usamos as Eqs. 18-13 e 18-14 para escrever

= O.

As temperaturas aparecem na Eq. 18-23 apenas na f~rma ·ç Como as diferenças nas escalas Cels1us e de d 11erenças. · sao - 1·ºouai·s, podemos usar qualquer uma dessas esK e1v1n

·. ····:: ;~.:>

(1) Como o sistema é isolado, a energia total do sistema não pode mudar e apenas transferências internas de energia podem ocorrer. (2) Como nenhum componente do sistema sofre uma mudança de fase, as transferências de energia na forma de calor podem apenas mudar as temperaturas.

T)

+ 45 cal/K

+ (0,0923 cal/g · K)(75 g)

= 271,9 cal/Cº.

Assim, temos: =

Tj

5339,8 cal = 19 60C = 2 0ºC. 271,9 cal/Cº '

(Resposta)

Substituindo os valores conhecidos nas Eqs. 18-19 a 1821, obtemos Qª

= 1670 cal,

Qb

= 342 cal,

Qc = -2020 cal.

A não ser pelos erros de arredondamento, a soma algébrica dessas três transferências de energia é realmente nula, como estabelece a Eq. 18-22.

1

Exemplo Mudança de temperatura e de fase (a) Que quantidade de calor deve absorver uma amostra de gelo de massa ,n = 720 g a - 1OºC para passar ao estado líquido a 15ºC?

O processo de aquecimento ocorre e1n três etapas. (1) O gelo não pode fundir a uma temperatura abaixo do ponto de congelan1ento; assim, a energia transferida para o gelo na farma de calor apenas aumenta a temperatura do gelo até a temperatura chegar a OºC. (2) A temperatura não pode passar de OºC até que todo o gelo tenha fundido: assi1n, quando o gelo está a OºC. toda a energia transferida para o gelo na forma de calor é usada para fundir o gelo. (3) Depois que todo o gelo funde, toda a energia transferida para a água é usada para aumentar a temperatura.

Aquecimento do gelo O calor Q I necessáJ.io para fazer a temperatura do gelo aumentar do valor inicial T = - IOºC 1

para.º v~lor final T1 = OºC (para que, depois, o gelo possa fundir) e dado pela Eq. 18-14 (Q = cmÂ1). Usando o calor específico do gelo cg da Tabela 18-3, obtemos Q1 = cgm(T1 - T;) = (2220 .T/kg · K)(0,720 kg)[OºC - (-lOºC)] = 15 984 J = 15,98 kJ. Fusão do gelo O calor Q 2 necessário para fundir todo o

~elo é dado pela Eq. 18-16 (Q = L,n), onde L, nesse caso, e O calor de fusão LF, com o valor dado na Eq. 18-18 e na Tabela 18-4. Temos:

Q2

= Lr111

= (333 k.T/kg)(0,720 kg) = 239.8 kJ.

Aquecimento d~ água O calor Q 3 necessário para fazer a

temperatura da agua aumentar do valor inicial T,

= OºC

...------------------------------------------------~~

-

PARTE 2

TEMPERATU RA, CALOR E A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

para o valor final T1 = 15ºC é dado pela Eq. 18-14 (com o calor específico da água eª): Q3 = Cam(Tr - Ti)

(4186,8 J/kg · K)(0,720 kg)(l5ºC _ OºC) = 45 217 J = 45,22 kJ. =

O calor total Q101 necessário é a soma dos valores calculados nas três etapas: Total

Qtot =

=

+ Q2 + Q3 15,98 kJ + 239,8 kJ + 45,22 kJ Ql

= 300 kJ.

.

IDEIA - CHAVE

.

197

.

.

Os resultados anteriores mostram que são necessários 15,98 kJ para aumentar a temperatura do gelo até o ponto de fusão. O calor restante Q, é, portanto, 210 kJ - 15,98 kJ ou, aproximadamente, 194 kJ. Os resultados anteriores mostram que essa quantidade de calor não é suficiente para derreter todo o gelo. Como a fusão do gelo é incompleta, acabamos com uma mistura de gelo e água; a temperatura da mistura é a do ponto de fusão do gelo, OºC. Cálculos Podemos

(Resposta)

No~e que o calor necessário para fundir o gelo é muito 1na1or que o calor necessário para aumentar a temperatura do gelo e da água. (b) Se fornecermos ao gelo uma energia total de apenas 210 kJ (na forma de calor), quais serão o estado final e a

determinar a massa m do gelo que funde a partir da energia disponível Q, usando a Eq. 18-16 com Lp: 194kJ 333 kJ/kg = 0,583 kg

m=

= 580 g.

Assim, a massa restante de gelo é 720 g - 580 g = 140 g e acabamos com 580 g de água e

140 g de gelo,

a OºC.

(Resposta)

temperatura da amostra?

18-9 Calor e Trabalho Vamos agora examinar de perto o modo como a energia pode ser transferida, na forma de calor e trabalho, de um sistema para o ambiente e vice-versa. Vamos tomar como sistema um gás confmado em um cilindro com um êmbolo, como na Fig. 18-13. A força para cima sobre o êmbolo devido à pressão do gás confinado é igual ao peso das esferas de chumbo colocadas sobre o êmbolo mais o peso do êmbolo. As paredes do cilindro são feitas de material isolante que não permite a transferência de energia na forma de calor. A base do cilindro repousa em um reservatório térmico (uma placa quente, por exemplo) cuja temperatura Tpode ser controlada. O sistema (gás) parte de um estado inicial i, descrito por uma pressão P;, um volume V; e uma temperatura r;. Deseja-se levar o sistema a um estado final f, descrito por uma pressão pft um volume V1 e uma temperatura Tp O processo de levar o sistema do estado inicial ao estado final é chamado de processo termodinâmico. Durante o processo, energia pode ser transferida do reservatório térmico para o sistema (calor positivo) ou vice-versa (calor negativo). Além disso, o sistema pode realizar trabalho sobre as esferas de chumbo, levantando o êmbolo (trabalho positivo) ou receber trabalho das esferas de chumbo (trabalho negativo). Vamos supor que todas as mudanças ocorrem lentamente, de modo que o sistema está sempre (aproximadamente) em equilíbrio térmico (ou seja, cada parte do sistema está em equilíbrio térmico com todas as outras partes). Suponha que algumas esferas de chumbo sejam removidas do êmbolo da Fig. 18-13. permitindo que o gás empurre o êmbolo e as esferas restantes para cima com uma força F, que produz um deslocamento infinitesimal ãs. Como o deslocamento é f)cqueno, podemos supor que F é constante durante o deslocamento. Nesse caso, IJ in,jc.Julo de f. é igual a pA. onde /J é a pressão do gás e A é a área do êmbolo. O trah~tl ho inlin1te~1 mal c/W realizado pelo gás durante o desloca1nento é dado por O

f

Volume

O gás também passa de i para f, mas realiza um trabalho menor.

(b)

o

Podemos controlar a quantidade de trabalho.

f

l•V>O 1 (e) O~---'--::-V-o-lu_m _ e-1.._ _

Volume

Ao passar de f para ;, , o gas realiza um trabalho negativo.

Um ciclo no sentido horário corresponde a um trabalho total positivo.

g,........,_. . h '

o

. l

'"~'

o

.

.

1

~ f

(d)

l

cl---.,..__~d Volume

~Ol

[

1 l\/< o 1

f

(e) O~-.!.-:-; , ,:ol:u--m-c..L__

f"1gura 18- 14 (a) A área sombreada representa trabalho Wrealizado O

>o

J

(/)

o

. Volume estado O trabalho por um sistema ao passar d e um estad o inicial, . . . . para urn w finalf · . . W é positivo porque O voluine dos·1stema aumenta (b) W · . , _continua a ser positivo, mas a ora é maior. (e) conlt~ua a ser p.os1tivo, mas agora é menor. (d) wpode ser ainda men caso, o sistema vai do estadofpara o estado i quando O ás é c . . or (traJetona icdj) ou ainda . . g. . Neste realizado pelo sistema é negativo. (j) O trabalho total Wg 1· omdpr1mtdo_por uma força externa ma1lor (tra~et~n~ ,g!if). (el)h ~f sombreada io1 rea iza o pelo sistema du e o vo ume d11runu1; o traba o . rante um cic · 1o co1npleto é representado pela àf ' ea

-·.... PARTE 2

TEMPERATURA, CALOR E A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA

199

A etapa ia deste processo acontece a pressão constante, o que significa que o número de esferas de chu1nbo sobre o ê1nbolo da Fig. 18-13 per1nanece constante. o aumento de volume (de V; para V1) é conseguido aumentando lentamente a te1nperatura do gás até u1n valor mais elevado T;,. (O aumento de temperatura aumenta a força que o gás exerce sobre o êmbolo, empurrando-o para cima.) Durante essa etapa, a expansão do gás realiza um trabalho positivo (levantar o êmbolo) e calor é absorvido pelo sistema a partir do reservatório tér1nico (quando a temperatura do reservatóri~ térmico é aumentada lenta1nente). Esse calor é positivo porque é fornecido ao sistema. A etapa af do processo da Fig. l 8-14b acontece a volume constante, de modo que o êmbolo deve ser travado. A temperatura do reservatório ténnico é reduzida lentamente e a pressão do gás diminui de Papara o valor finalpp Durante essa etapa, 0 sistema cede calor para o reservatório térmico. Para o processo global iaf, o trabalho W, que é positivo e ocorre apenas durante o processo ia, é representado pela área sombreada sob a curva. A energia é transferida na forma de calor nas etapas ia e af, com uma transferência de energia líquida Q. A Fig. 18-14c mostra um processo no qual os dois processos anteriores ocorrem em ordem inversa. O trabalho W nesse caso é menor que na Fig. 18-14b e o mesmo acontece com o calor total absorvido. A Fig. 18-14d mostra que é possível tomar o trabalho realizado pelo gás tão pequeno quanto se deseje (seguindo uma trajetória como icdj) ou tão grande quanto se deseje (seguindo uma trajetória como ighj). Resumindo: um sistema pode ser levado de um estado inicial para um estado final de um número infinito de formas e, em geral, o trabalho W e o calor Q têm valores diferentes em diferentes processos. Dizemos que o calor e o trabalho são grandezas dependentes da trajetória. A Fig. 18-14e mostra um exemplo no qual um trabalho negativo é realizado por um sistema quando uma força externa comprime o sistema, reduzindo o volume. O , valor absoluto do trabalho continua a ser igual à área sob a curva, mas, como o gas foi co1npri1nido, o trabalho realizado pelo gás é negativo. A Fig. 18-14/mostra um ciclo termodinâmico no qual o sistema é levado de um estado inicial i para um outro estado f e depois levado de volta par~ ~- O tra?alho total realizado pelo sistema durante o ciclo é a soma do trabalho positiv~ realiza?º durante a expansão com o trabalho negativo realizado durante a compre!sao. ~a Fig; 18-14!, o trabalho total é positivo porque a área sob a c~rva de expansao (de 1 aj) e maior do que a área sob a curva de compressão (de/ a z). .

"'TESTE 4

. . . O diagrama p-V da figura mostra seis traJetonas curvas (ligadas por trajetórias verticais) que po~em ~er seguidas por um gás. Quais são as duas traJetór1as curvas que devem fazer parte de um ciclo fechado (ligadas às trajetórias verticais) para que o trab~.º total realizado pelo gás tenha o maior valor pos1t1/

vo possível?

p ,...__

b d

-....

.

,...__

f

.

e

-..

......

a

.

e l'

18- 1o A Primeira Lei da Termodinâmica final, ( 01n vi,nos, quando um sistema passa de um estado. inicial d para d um do estado modo como . tanto o trabalho IV realizado como o cal or Q transfer1do epen em . . , . ._ . . poiein, . , revelaran 1 algo . . . a l'lt:llLla • .. _ ' ' , . , J, ·onduçfio atravcs dos dois 1natcrH11:-. sao No rcg1n1e co,taC1l)n:llll>, ,is IUX,t~ 1.: ~i:t t,.uisf'criJa auavcs dl' uni dos n1atc1iais ,

•

-

•uai I soe: 0 111 ci:, 111 c, que d1,e1 que ,1 cnt.::rg .. 1 , ,· ,slCIIU:t ,11 ,n,ci;. do nut1n 111,1tc11.1 nn ntls m u,n ccno 111 1111\c i.: 1gL1al ,1 cncigia 11 .1 1 1 • .., c , s .i pl:u.:,1 ci;.1.111.1111111ul1,ltlLll 1 1 11111 1 1111111 11 1 1 1 1 til 1111 l unc. Se J';i:,.__, nãu lc,s u,.,

217

218

CAPÍTULO 19

·•os -,riiociri,s H c1lnc luir que todn J776-IX"6),UlllU . 1 o italiano 1\1ncdco Avugadro ( · m't" usar a E(I . 1c1J •.5 -

riação de volu1ne de um gas. 0 ' (jJ V = nRT) para eliminar /J, obtendo

f

W -

\11 11R1' IV

V

I'· 1

G

( 19-12)

•

de uma expansão isotérmica, a temperatura r Como estamos supondo que se tra á-la do lado de fora do sinal de integração é consta11te, de modo que podemos coloc e escrever t

ª

(vi

W = nRT

Ji

dV ln V V = nRT

Vi

vr

.

(19-13)

Vi

- entre colchetes nos limites indicados e usando a Calculando o va1or da expressao identidade ln a- ln b = ln(alb), obtemos

VÍW = nRT ln V

(gás ideal, processo isotérmico).

(19-14)

1

Lembre-se de que o símbolo ln indica que se trata de um logaritmo natural, de base e. No caso de uma expansão, V é maior do que V;, de modo que a razão VJV; na Eq. 19-14 é maior que 1. O logar{trno natural de um número maior do que 1 é positivo e, portanto, como era de se esperar, o trabalho W realizado por um gás ideal durante urna expansão isotérmica é positivo. No caso de uma compressão, V1 é menor que v;, de modo que a razão entre os volumes na Eq. 19-14 é menor que 1. Assim, como era de se esperar, o logaritmo natural nesta equação (e, portanto, o trabalho W) é negativo.

Trabalho Realizado a Volume Constante e à Pressão Constante A Eq. 19-14 não permite calcular o trabalho W realizado por um gás ideal em qualquer processo termodinâmico; só pode ser usada quando a temperatura é mantida constante. Se a temperatura varia, a variável T da Eq. 19-12 não pode ser colocada do lado de fora do sinal de integração, como na Eq. 19-13, de modo que não é possível obter a Eq. 19-14. •

TESTE 1 Um gás ideal tem uma pressão inicial de 3 unidades de pressão e um volume inicial de 4 unida~es de volu~e. A tabela mostra a pressão final e o volume final do gás (nas mesmas unidades) em cinco processos. Que processos começam e terminam na mes1na isoterma?

P V

a b 12 6 1 2

e

5 7

e 4 1 3 12

d

Entretanto, podemos sempre voltar à Eq. 19-1 1 para determinar O trabalho W realizado por um gás ideal (ou qualquer outro gás) durante qualquer processo, como os processos a volume constante e à pressão constante. Se O volume do gás é cons· tante, a Eq. 19-11 nos dá W = O {processo a volu1ne constante). (19-15) Se, em vez disso, o volume varia enquanto a pressão /J do gás é mantida constante, a Eq. 19- 11 se torna W = p( "í· - V;) = p ô. V

(processo il pressão constante).

(19-16)

j

p

. _ _PARTE 2 -~ ··

A TEORIA CINÉTICA DOS GASES

221

1

Ex_e mplo Variações de temperatura, volume e pressão de um gás ideal

Um cilindro contém 12 L de oxigênio a 20ºC e 15 atm. A temperatura é aumentada para 35ºC e o volu1ne é reduzido para 8,5 L. Qual é a pressão final do gás em at1nosferas? Suponha que o gás seja ideal. -

· · : · · ·- . -· 1D E I A - C H AV E;.. . :·'-

. ·~·······-

'•

· . - ·•.· .: ' -~·,)

•:.,

;,_.}__,

Como o gás é ideal, a pressão, volume, temperatura e número de mols estão relacionados pela lei dos gases ideais, tanto no estado inicial i co1no no estado final f

Observe que não há necessidade de converter os volumes inicial e final de litros para metros cúbicos, já que os fatores de conversão são multiplicativos e se cancelam na Eq. 19-17. O 1nesmo se aplica aos fatores de conversão da pressão de atmosferas para pascais. Por outro lado, a conversão de graus Celsius para kelvins envolve a soma de constantes que não se cancelam. Assim, para aplicar corretamente a Eq. 19-17, as temperaturas devem estar expressas em kelvins:

T; = (273 + 20) K = 293 K

Cálculos De acordo com a Eq. 19-5, temos:

PiVÍ = rzRT;

T1 = (273 + 35) K

e

PJllt = nRT1.

e

Dividindo a segunda equação pela primeira e explicitando p1, obtemos (19-17)

P1=

= 308 K.

Substituindo os valores conhecidos na Eq. 19-17, obtemos (15 atm)(308 K)(12 L) = 22 atm. PJ= (293 K)(8,5 L)

Exemplo

(Resposta)

·

Trabalho realizado por um gás ideal

Um molde oxigênio (trate-o como um gás ideal) se expande a uma temperatura constante T de 31 OK de um volume inicial Vi de 12 L para um volume final V1 de 19 L. Qual é o trabalho realizado pelo gás durante a expansão? 3,0

- - -1---~--+---!----t---i

..E -·~ "'"'

Em geral, calculamos o trabalho integrando a pressão do gás em relação ao volume usando a Eq. 19-11. Neste caso, , . , . porém, como o gás é ideal e a expansao e 1sotenruca, essa integração leva à Eq. 19-14.

-

Cálculo Podemos escrever: V, W = nRT ln ..!l.

2,0

~

ví

1 1

~

' l +--r

o

-1 -

r f

-

~

o. 1,0

1

T~OK

1

1

1 1

li'

J 1 1

1

1

1 1

1

,,, ' \ 11 1

o

1

1 '

'J

1 '

20 Volu1ne {L)

10

30

Figura 19-3 A área ~01nbreada represenla o_trabalho

de V1 para V1 a r~,,h,ado por I mol de ox1gen10 ao se exp·1nthr • urn,1 h:rnpcratura con!,lante de 31 OK. ,

A

19 L = (1 mol)(8,31 J/mol · K)(310 K) ln 12 L (Resposta) = 1180 .T.

•

A expansão está indicada no diagrama p-V da Fig. 19-3. O trabalho realizado pelo gás durante a expansão é representado pela área sob a curva if. É fácil mostrar que se a expansão for revertida, com o oás sofrendo uma compressão isotérmica de 19 L para L, o trabalho realizado pelo g,1s será -1 180 J. Assim, uina força externa teria que realizar um trabalho de 1180 J sobre o gás para co1nprin1i-lo.

12

222

Ct\Pll ULO 1!1

19-4 Pressão, Temperatura e Velocidade Média Quadrática

1

l't·q11·111l1111l.11 ,1 p.11 t·1lt·

•

,,,~ 1

\tllllhl {'.lrl.,

l \

!.

-

•

I

Figura 19-4 Un1a caixa cüb1ca de aresta L contendo 11 1nols de u1n gás

ideal. U1na n1olécula de 1nassa 111 e velocidade v est.í prestes a colidir con, a parede so1nbrcada de área LJ. É 1nostrada ta1nbén1 u1na reta perpendicular a essa parede.

Yan,os pn:-.sar agora ao nosso pr11ne1ro problema de teoria cinética dos ga1,c~. ('rinsi c.lere II n1ols de u111 gás ideal en1 u1na caixa cúbica de volume V. corno na Fig. 19 .t, J\ \ paredes e.la caixa são 1nantidas a uma temperatura T. Qual é a relação entre a prcs\,tri 11 exercida pelo gás sobre as paredes da caixa e a velocidade da!> molécula,'! As n1oléculas de gás no interior da caixa estão se movendo em toda, as dircc;õe, e con1 várias velocidades. colidindo umas com as outras e ricocheteando nas paredes con10 bolas en1 u1na quadra de squash. Vamos ignorar (por enquanto) as coli5ões das moléculas umas com as outras e considerar apenas as colisões elásticas com as paredes. A Fig. 19-4 mostra uma molécula de gás típica. de massa 111 e velocidade ii, que está prestes a colidir com a parede sombreada. Como estamos supondo que ascolisões das moléculas com as paredes são elásticas, quando a molécula colide com a parede. a única componente da velocidade que muda é a componente .r, que troca de sinal. Isso significa que a única componente do momento que muda é a componente .r. que sofre uma variação t:.p.1. = ( - mvx) - (n1vx) = -2mv.\.

Assim. o momento !ip_, transferido para a parede pela molécula durante· a colisão é 2,nv,. (Como neste livro o símbolo pé usado para representar tanto o momento co1no a pressão. precisamos tomar cuidado e observar que. neste caso, p representa o momento e é uma grandeza vetorial.) A 1nolécula da Fig. 19-4 se choca várias vezes com a parede sombreada. O intervalo de tempo t:.t entre colisões é o tempo que a molécula leva para se deslocar até a parede oposta e voltar (percorrendo uma distância 2L), movendo-se com uma velocidade v,. Assim. !it é igual a 2Llv,. (Note que este resultado é válido mesmo que a molécula colida com outras paredes no caminho. já que essas paredes são paralelas a x e, portanto, não podem mudar o valor de v,.) Assim, a taxa 1nédia com a qual o momento é transmitido para a parede sombreada é dada por Ó.P.1· =

t:.r

2mv_1 2Ll v,

_

n1v.~ L .

?e.acord~ com a segunda le! de.Newton (F = djJ / dt), a taxa coin a qual O momento e ti ansfe1 ido para a parede e a força que age sobre a parede. Para determinar a força lotai. devemos somar as contribuições de todas as moléculas que colidem com ªD1v1d1ndo ~~r~de. levan,do em conta a possibilidade de que tenham velocidades diferentes. o modulo da força total F J ' , . , pe a areada parede ( = L 2), temos a pressão p a que e submetida a parede onde ago · . A ss1m. usando a expressão· de lipj!itra e no d resto da discussão p representa pressão. . , po emos escrever a pressão na forma p =

F.~ =

n1v.~1IL

+ n1v;2IL + ... + mvf,vf L

L= (;

L~

)

0

U '

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:) ,.. ,.. O 1 , . "" I "' ~ O 1/ I >,-( 0

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~!. ___ a--1"-\, n Q-. . 19-25 e J9 26 é causad;,i pelo lato de que, para ?bter a 1 q 19-~6. c;,incclani1.1I).

1"Otl .1 (}.647

•• •

,

!ré m,sOMdO.

Figura 20- 14 Os elementos de um refrigerador. As duac; setas pretas horizontais no Ct"fltrO representam ~ é, portanto, qma substância de trabalho operando energia utilizada IQ FI (coeficiente de desempenho. (20-14) ciclicamentê, como em um diagrama K= IWl qualquer refrigerador), p- V. Uma energia Qp é transferida em - energia adquirida f· d de forma de calor da fonte fria, que está que K é chamado de coeficiente de desempenho. No caso de um re ngerad or à temperatura Tp, para a substância de de acordo com a primeira lei da termodinâmica, = on e trabalho; uma energia QQ é transferida é valor absoluto da energia transferida como calor para a fonte quente. Nesse caso, em forma de calor da substância de O trabalho para a fonte quente, que a F.q. 20-14 assume a forma está à temperatura TQ. Um trabalho (20-15) · W é realizado sobre o refrigerador Kc= (na realidade, sobre a substância de trabalho) pelo ambiente.

~

lw\ lQQI - IQFI,

I IQQ

Como um refri gerador de Carnot é uma máquina de Carnot o~erando no sentido mverso, podemos combinar a Eq. 20-10 com a Eq. 20-15; depois de algumas operações algébricas, obtemos

Kc=

'T'

i Q -

TF

(coeficiente de desempenho, refrigerador de Camot).

,, - e,. ,

(2U· l

Para os aparelhos domésticos de ar-condicionado, K = 2,5; para as gelíl: (., 1c:1da 1.ido ela cai x,1 contc1n n1 el adc das moléculcJt; e (h ) cad.i terço d,1 c, 11x., K Pr •

í6 3 .i6

í9 8 ...:.6

-~

Pr.i Pa Ra

l.fffl_ • - ~., 1'J. 211r r; t ',J 10 • N 77. 0.37J ,,N "' 1b)J,kn1/, 7::-. _.. ( "15 1 ·"')., X líl 1rad/, 7,2 111/s 73 (b) 0,62 s; (e) 1,6 Hz; (d) 5,0 cn1; (e) O,S lzrn/s' • (n) 1;3 X 102 N/in; 1,23% 77. (a) J,2 J;(b)50 79.1 ,53 111 81 (·1:i· (,1) l6,6c111;(h) 2 2 (c)l,SX I0 n1/s ;(d) 11 J 83. (a) l,23kN/n~;(b)?~C~rn;(b)0,28s; 87, (a) 0,735 kg·n12; (b) 0,0240 N·1n; (e) O J81 rud/,' 8~ (85. 1,6 kg 8 (b) 0,75 s 91. (a) 0,35 Hz; (b) 0,39 1-lz· '(e) 0 ( ~ á • 3,5 rn; N/ b ' nuo 111 osc,luçõcs) 93, (a) 245 1n; ( ) 0,284 s 95. 0,079 kg·n,2 97. {a) · 2 8 11 10-skg·n1 ;(b)3, 14rad/s 99.14,0° 101. (a)32 llz·(tl)0 ) 60,0 49 45. (a) 105 li, . (b) 158 111/s 47. 2(lO 11 ' ; (e) l 1 >(. 101 s 1 ; (d) cn1;(c)241 ll1 51. (a)O,)Oc1n, (b) ': 111~ ·(e) ,· (Jctn,(d )O 55. 11 negativo 53. (a) 0.25 L·rn: (h) l ,.7 · IO l~ (;;; ,u/,: '(d) 'i0,0 l·n1: (t:l 0,25111 ~7 ( ·t).., ()() li; (h) l.(JO 111, (l) • ,..,, (a) 124 llz; • • • -· • • l()() llll :i • ( 150 c111: (1) 2'i0 c111; (gl O: (h) 100 llll, (1). (,5. (a) 1,0 ,11111 : (I>) >5 1J irts (h) 8 61 . .~'1\ N ,\ lll'", 1, HI. (ill l ,OO l':' 11 ; . ,)A· l

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