historial da geometria nao euclidiana

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Índice
Introdução 4
Geometria Euclidiana e Limites das Geometrias Euclidianas 5
Conceito e historial da Geometria Euclidiana 5
Conceito da Geometria Euclidiana 5
Historial da Geometria Euclidiana 5
Os primeiros axiomas 8
Postulados 8
Axiomas 9
Axiomas das Rectas Paralelas 9
A equivalência entre quinto postulado de Euclides e os postulados das paralelas 9
Alguns enunciados equivalentes no 5º postulado de Euclides 10
Imperfeições na obra de Euclides 10
O Aparecimento das Geometrias Não Euclidianas 12
Modelo de Klein-Beltrami 13
Conclusão 15
Bibliografia 16




Introdução
No presente trabalho abordaremos o conceito sobre geometria euclidianas e a sua históriaa origem da Geometria (do grego medir a terra) esta ligada a algumas práticas do cotidiano relacionadas ao plantio, construções e movimento dos astros, sendo usada para cálculo de áreas, superfícies e volumes. Os seus primeiros axiomas das rectas paralelas e a equivalência entre o 5º postulado de Euclides e postulado das paralelas das paralelas, alguns enunciados equivalentes ao 5º postulado de Euclides, imperfeição da obra de Euclides. Sendo, portanto a geometria Euclidiana é a geometria que esta submerso em três dimensões, baseada nos postulado de Euclides no seu livro os "elementos" foi o primeira discussão sistemática sobre a geometria e o primeiro texto a falar sobre teoria dos números. Este trabalho foi feito com muita rigorosidade, tirado em alguns manuais que a biblioteca nos fornece.


GEOMETRIA EUCLIDIANA E LIMITES DAS GEOMETRIAS EUCLIDIANAS
Conceito e historial da Geometria Euclidiana
Conceito da Geometria Euclidiana
Geometria é uma palavra que resulta dos termos gregos "geo" (terra) e "métron" (medir), cujo significado em geral é designar propriedades relacionadas com a posição e forma de objectos no espaço.
A Geometria é a área da Matemática que se dedica a questões relacionadas com forma, tamanho, posição relativa entre figuras ou propriedades do espaço, dividindo-se em várias subáreas, dependendo dos métodos utilizados para estudar os seus problemas.
Este segmento da matemática aborda as leis das figuras e as relações das medidas das superfícies e sólidos geométricos. São utilizadas relações de medidas como as amplitudes de ângulos, volumes de sólidos, comprimentos de linhas e áreas das superfícies.
Existem vários tipos de geometria, como a geometria descritiva, que estuda a representação de objectos espaciais em um plano, e a geometria plana, uma geometria do âmbito bidimensional, pois é definida sobre um plano. A geometria das figuras planas é também conhecida como planimétria, enquanto a dos sólidos geométricos é conhecida como estereométria.
A geometria euclidiana é caracterizada pelo espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica e que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos puderam ser construídos modelos de geometrias não-euclidiana.
Historial da Geometria Euclidiana
Segundo Professor Renato Tião (2011: 1), enfatiza que estudo da geometria Euclidiana parte de três conceitos primitivos: ponto, recta e plano. Estes conceitos são chamados de primitivos por não haver modo de defini-los sem que a definição de um dependa da definição do outro, ou sem que suas definições dependam de ideias definidas por estes três conceitos.
Sustenta Tiao que para conheceremos um pouco da geometria desenvolvida e praticada pela humanidade ao longo dos tempos, é preciso buscarmos na sua história algumas relações entre a geometria e outras áreas da matemática, principalmente com a aritmética e a álgebra elementar. A geometria teve suas origens, conforme os dados históricos, nas práticas desenvolvidas pelo povo do Egipto antigo e da Mesopotâmia (região entre os rios Tigre e Eufrates, habitados pelos babilónios actualmente onde esta situado o Iraque), passando pelo seu desenvolvimento e sistematização através dos filósofos gregos do período helenístico.
É nesse período que surge o trabalho de um dos matemáticos mais destacados da história da humanidade Euclides de Alexandria, um dos mais famosos discípulo da escola platónica.
Afirma Tião que com o trabalho desenvolvido por Euclides que as práticas de medição e cálculo geométrico passaram a ser sistematizados e simbolizados através de um processo lógico-dedutivo, que visava formalizar as práticas geométricas das tradições milenares através de um sistema hipotético-dedutivo. O trabalho de Euclides, portanto, foi de fundamental importância para o desenvolvimento da geometria dedutiva, por se configurar em um tratado teórico sobre as práticas geométricas efectivadas social e historicamente.
O espaço geométrico é a totalidade do universo perceptível, mas a geometria surge como a ciência de se medir a terra, que embora coberta por diversos tipos de relevo, houve época em que os seres humanos afirmavam categoricamente que a terra era plana. Deve-se ter em mente que o estudo da geometria visa adquirir a capacidade de atribuir correctamente valores para as áreas das figuras planas, pois, de forma prática, o valor de um pedaço de terra é estabelecido de acordo com o seu número de metros quadrados. Além disso, as expressões algébricas usadas para obter os valores destas áreas são abertas em variáveis tanto lineares quanto angulares, portanto, é necessário adquirir a capacidade de avaliar numericamente comprimentos e ângulos.
Alguns historiadores nos falam que a Geometria começou a se desenvolver através de necessidades relacionadas ao plantio, construções e movimento dos astros. Pensam que a geometria surgiu dessa necessidade prática de realizar cálculos de distâncias, áreas, superfícies, alturas e volumes. (BOYER, 1996; EVES, 1992 citado por RIBEIRO; 2007)
Euclides foi o primeiro a apresentar a geometria organizada num encadeamento lógico-dedutivo, no qual cada proposição deveria ser deduzida de outra mais simples de maneira lógica e dedutiva. Em sua obra intitulada Elementos, ele reuniu praticamente todo o conhecimento de Matemática básica da sua época.
Sustenta (RIBEIRO; 2007), que durante quase dois mil anos, a geometria de Euclides foi considerada como a única geometria possível. No entanto, o quinto Postulado de Euclides, pelo fato de possuir uma redação mais complexa, extensa e menos intuitiva que os postulados anteriores se tornou motivo de forte questionamento nos seculos XVII e XVIII. Diferentes matemáticos, dentre eles John Wallis (1616 – 1703), Saccheri (1667 – 1733), Lambert (1728 – 1777), Legendre (1752 – 1833), fizeram suas tentativas de demonstração do quinto postulado.
Para estes matemáticos o quinto postulado, conforme enunciado acima, tornou-se questionável por não ser intuitivamente óbvio que as duas rectas em questão deveriam, de fato, se encontrar no infinito. E assim, o postulado começa a ser pensado como uma afirmação a ser demonstrada. Inúmeras foram as tentativas de demonstração sendo que muitas delas admitiam nos argumentos fatos equivalentes ao próprio postulado. Uma das consequências, que veio destas tentativas de demonstração, foi a produção de vários postulados equivalente ao quinto postulado, denominados de postulados substitutos.
Todos os anos o rio Nilo extravasava as margens e inundava o seu delta, terreno situado entre dois braços de um rio. A boa notícia era a de que as cheias depositavam nos campos de cultivo lamas aluviais ricas em nutrientes, tornando o delta do Nilo a mais fértil terra lavrável do mundo antigo.
A má notícia consistia em que o rio destruía as marcas físicas de delimitação entre as possessões de terra. Dessa forma, adviam daí conflitos entre indivíduos e comunidades sobre o uso dessa terra não delimitada. A dimensão desses conflitos era tal que uma pessoa recém falecida tinha de jurar aos deuses que não enganou o vizinho, roubando-lhe terra.
Roubar a terra do vizinho era considerado uma ofensa tão grave como quebrar um juramento ou assassinar alguém. Sem marcos fronteiriços, os agricultores e administradores de templos, palácios e demais unidades produtivas fundadas na agricultura não tinham referência clara do limite das suas possessões para poderem cultivá-las e pagarem os impostos devidos.
Os antigos faraós resolveram passar a nomear funcionários, os agrimensores, cuja tarefa era avaliar os prejuízos das cheias e restabelecer as fronteiras entre as diversas posses. Foi assim que nasceu a geometria.
A obra os elementos, atribuída a Euclides, é uma das mais influentes na historia da matemática, servindo como o principal livro para o ensino da matemática (especialmente geometria) desde a data da sua publicação até o fim do séc. XIX ou inicio do séc. XX. A obra composta por treze volumes, sendo:
Cinco sobre geometria plana;
Três sobre números;
Um sobre a teoria das proposições;
Um sobre incomensuráveis; e
Três (os últimos) sobre geometria no espaço.
Os primeiros axiomas
Para Euclides, a geometria era uma ciência dedutiva que operava a partir de certas hipóteses básicas, os axiomas, que foram apresentados em dois grupos: as noções comuns e os postulados. A distinção entre esses grupos não é muito clara, mas noções comuns seriam consideradas hipóteses aceitáveis a todas as ciências e postulados seriam hipóteses próprias da Geometria.
Postulados
Entre dois pontos distintos, existe e é única a recta que passa por eles.
Fig. 1 Primeiro postulado. Fonte: Ribeiro, 2007
Prolongar um segmento indefinidamente até uma recta.
Fig. 2 Segundo postulado. Fonte: Ribeiro, 2007
Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio.
Fig. 3 Terceiro postulado. Fonte: Ribeiro, 2007
Todos ângulos rectos são iguais entre si.
Fig. 4 Quarto postulado. Fonte: Ribeiro, 2007
Se uma recta que cruza duas outras, isso é feito segundo ângulos internos do mesmo lado menores do que dois ângulos rectos, então as duas rectas prolongadas indefinidamente se cruzarão do lado em que estão menores do que dois ângulos rectos.
Fig. 5 Quinto postulado. Fonte: Ribeiro, 2007
Axiomas
Coisas que são iguais a uma mesma coisa são iguais entre si;
Se iguais são adicionados a iguais, os resultados são iguais;
Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais;
Coisas que coincidem uma com a outra, são iguais;
O todo é maior do que qualquer uma de suas partes.
Axiomas das Rectas Paralelas
O quinto postulado de Euclides, conhecido atualmente como Axioma das Paralelas (denominação devida ao matemático escocês Jonh Playfair), foi, desde a sua criação, alvo de crítica e contestação. Para muitos matemáticos, aquilo que Euclides considerava um axioma não passava de uma proposição, podendo ser provado a partir dos axiomas anteriores.
O postulado das paralelas, se enuncia assim:
Por um ponto fora de uma recta existe uma única paralela à recta dada.
Fig. 6 Postulado das paralelas. Fonte: Ribeiro, 2007
A equivalência entre quinto postulado de Euclides e os postulados das paralelas
Segundo (Playfair citado por Ribeiro 2007; p.2), os equivalentes do quinto postulado são:
Por um ponto fora de uma recta pode-se traçar uma única recta paralela a recta dada.
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a dois ângulos rectos.
Dados quaisquer três pontos não colineares, existe um círculo passando por eles.
Segundo (Pitágoras citado por Ribeiro 2007; p.2), os equivalentes do quinto postulado são:
Em qualquer triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.
Todo ângulo inscrito em um semicírculo é recto.
Quaisquer duas rectas paralelas possuem uma perpendicular em comum.
Alguns enunciados equivalentes no 5º postulado de Euclides
As inúmeras tentativas infrutíferas de provar o quinto postulado de Euclides esbarravam no uso indevido de resultados equivalentes ao quinto postulado de Euclides.
Entre esses resultados podem se citar:
A soma das medidas dos ângulos de um triângulo é igual a 180º;
A soma das medidas dos ângulos de um quadrilátero é igual a 360º;
As rectas paralelas são equidistantes;
Por três pontos não alinhados passa sempre uma circunferência;
A linha dos pontos equidistantes a uma recta dada e do mesmo lado da recta é uma recta;
Por um ponto situado no interior de um ângulo pode-se sempre conduzir uma recta que intersecta as duas semi-rectas que formam o ângulo;
Todo ângulo inscrito numa semi-circunferência é recto;
Se uma recta corta uma de duas rectas paralelas então ela corta também a outra.
Imperfeições na obra de Euclides
O fracasso de todas as tentativas de provar o quinto postulado de Euclides levou lentamente a uma nova concepção da matemática em que todos os elementos de uma teoria devem ser cuidadosamente explicitados.
Uma análise atenta do sistema de postulados de Euclides, faz ver que há muitos apelos à intuição em definições e demonstrações. Euclides usava fatos que não eram postulados ou consequências de teoremas anteriormente provados. Por exemplo, na proposição I do livro I Euclides pede para construir um triângulo equilátero sobre um segmento dado.
Fig.7 Fonte: Ribeiro, 2007
Com o centro em A e raio AB descreve uma circunferência, e com centro em B e raio BA descreva-se outra circunferência.
Fig. 8 Fonte: Ribeiro, 2007
Sejam x²+y²=1 e (x-1)²+y²=1 as duas equações das circunferência s. Resolvendo o sistema obtêm-se C (1/2, ). As circunferências não se intersectam nesse plano, pois que a ordenada do ponto C é irracional.
No fim do século XIX vários matemáticos passaram a trabalhar num estudo mais rigoroso da geometria de Euclides, principalmente no que se refere à ordem. Utilizando os postulados de Euclides não se pode provar que se uma recta intersecta um lado de um triângulo então ela intersectará o outro lado do triângulo. Este fato foi percebido em 1882 pelo matemático Pasch que o adoptou como postulado nas suas demonstrações.
Fig. 9 Fonte: Ribeiro, 2007
Outro problema na axiomática de Euclides é que as demonstrações se baseavam apenas na figura considerada. Vários resultados eram generalizados a partir da demonstração de um único caso particular.
Fig. 10 Fonte: Ribeiro, 2007
Nenhuma palavra é dita sobre os casos em que os ângulos inscritos são obtusos, ou retos ou possuindo um lado passando pelo centro.
Fig. 11 Fonte: Ribeiro, 2007


O Aparecimento das Geometrias Não Euclidianas
Pelo fim do século XVIII foram feitas novas tentativas de demonstrar o quinto postulado de Euclides, desta vez por meio de demonstrações indirectas. Raciocinava-se da seguinte maneira: se o quinto postulado de Euclides for uma consequência dos outros quatro postulados, então estes quatro postulados e a negação do quinto postulado conduzirão a uma contradição. Mas, em vez de conduzir a uma contradição, este novo conjunto de axiomas formou a base de uma teoria consistente chamada hoje de geometrias não euclidianas.
Lobatchevsky em 1829, negou o quinto postulado de Euclides, admitindo que por um ponto fora de uma recta passam pelo menos duas rectas paralelas. Ele foi a primeiro a publicar esta teoria, por isso é considerado o fundador oficial das geometrias não euclidianas, embora Gauss em 1824, já soubesse dessa possibilidade.
Em 1832, Bolyai, independentemente, obteve os mesmos resultados. Essa geometria passou a ser chamada de geometria hiperbólica. Em 1854, Riemann nega o quinto postulado de Euclides admitindo a outra negação: por um ponto fora de uma recta não se pode conduzir uma recta paralela à recta dada. Essa outra geometria não euclidiana passou a ser chamada de geometria esférica.
Mas faltava ainda uma prova para dizer que nesta nova geometria não surgiriam contradições. Beltrami, Klein e Poincaré demonstram a consistência desta nova geometria pelo método dos modelos. Um modelo para um dado sistema axiomático é uma interpretação dada aos conceitos primitivos de modo que os axiomas sejam todos verdadeiros.
Fundadores das GNE
Os modelos
Gauss (1824)
Beltrami (1869)
Lobatchevsky (1829)
Klein (1871)
Bolyai (1832)
Poincare (1881)
Riemann (1854)

Tabela: 1. Fonte: Autor 2016
O primeiro modelo que mostra a consistência dessa nova geometria foi apresentado por Beltrami. Trata-se do modelo da pseudo-esfera para a geometria hiperbólica. A rotação completa da tractriz em torno de uma recta gera uma superfície chamada pseudo-esfera.
A tractriz é uma curva definida pela propriedade que os segmentos tangentes situados entre a curva e uma recta dada têm comprimentos constantes.
Fig. 12. Fonte: Ribeiro, 2007
O desenho abaixo representa um triângulo ABC numa pseudo-esfera e as suas medianas AK, BJ e CI.
Fig. 13. Fonte: Ribeiro, 2007
Klein procurava uma representação plana das rectas da pseudo-esfera chamadas geodésicas. Ele obteve esse modelo considerando o interior de um círculo. As rectas da pseudo-esfera tornavam-se cordas desse círculo. E dessa forma ele descobriu as primeiras regras do que se chamaria de modelo de Klein-Beltrami.
Modelo de Klein-Beltrami
Fig. 14 Fonte: Ribeiro, 2007
Nesse modelo, interpretam-se as palavras, plano, ponto, recta e distância por:
Plano: é o interior de um disco de centro O e raio r
Ponto: é qualquer ponto no interior do disco
Recta: é qualquer corda do disco sem as suas extremidades
Distância entre dois pontos A e B : ln (AU/AV)/ (BU/BV)
Esta interpretação constitui um modelo da geometria hiperbólica pois que os postulados P1, P2, P3, P4 de Euclides e o postulado hiperbólico são verificados. Observe que por um ponto C fora de uma recta AB existem pelo menos duas rectas paralelas à AB (o postulado hiperbólico é verificado).
Fig.15 Fonte: Ribeiro, 2007


Conclusão
Concluímos as nossas pesquisas feito pelo grupo, verificamos que o tema que nos foi fornecido foi muito interessante visto que, a Geometria não Euclidiana tem uma historia repleta de hesitações, duvidas e contradições que alguns sábio "Matemáticos"passaram vários anos a discutir factos que lhes apoquentavam as suas mente, tendo a reflexão e apuramento.É uma história de 20 séculos que rompe com a crença de que a geometria é única. O fracasso de todas as tentativas de provar o quinto postulado de Euclides levou lentamente a uma nova concepção da matemática em que todos os elementos de uma teoria devem ser cuidadosamente explicitados. Uma análise atenta do sistema de postulados de Euclides, faz ver que há muitos apelos à intuição em definições e demonstrações.



Bibliografia
BIONGIOVNNI, Vincenzo; Ana Paula Jahn, De Euclides as Geometrias não Euclidianas; S/ed. 2010.
BRAZ, Fernanda Martins; História da Geometria Hiperbólica; S/ed. Belo Horizonte; 2009
RIBEIRO, Ricardo Silva; Graniva, Maria Alice; GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS NA ESCOLA: uma proposta de ensino através da geometria dinâmica; S/ed. Geogebra; 2007.
TIÃO, Renato; Curso de Linguagem Matemática; S/ed. São Paulo, 2011.