XXII Encontro Nacional de Engenharia de Produção Curitiba – PR, 23 a 25 de outubro de 2002
IDENTIFICAÇÃO DE VARIÁVEIS FORA DE CONTROLE USANDO O GRÁFICO X COM LIMITES DE BONFERRONI Adriano Mendonça Souza Universidade Federal de Santa Maria – UFSM - RS e-mail:
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Leoni Pentiado Godoy Universidade Federal de Santa Maria – UFSM - RS e-mail:
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Maria Helena Rigão Universidade Federal de Santa Maria – UFSM - RS e-mail:
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Roselaine Ruviaro Zanini Universidade Federal de Santa Maria – UFSM - RS e-mail:
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ABSTRACT: The main purpose of this research is to study the Bonferroni methodology apllied in multivariate quality control, for this a set of four variables were genereated. The fourth variable was put out-of-control to check the methodology and successful the fourth variable was identifyed out-of-control using x-bar with Bonferroni limits. KEY WORDS: Multivariate statistical process, Bonferroni limits, x-bar chart. 1. Introdução Atualmente as organizações desenvolvem o conceito da busca permanente por excelência, onde a qualidade total é apenas mais uma das técnicas de eficiência administrativa a disposição das empresas. Um dos passos para se obter a qualidade total é o controle estatístico do processo, composto por um conjunto de técnicas desenvolvidas com o objetivo de gerar informações que dão suporte à tomada de decisão. Dentre esses procedimentos destacam-se os gráficos de controle, os quais representam um registro gráfico da qualidade de uma característica de um serviço ou produto, dependendo da estrutura da empresa ou indústria. Muitas indústrias possuem equipamentos que geram dados correlacionados e que exigem monitoramento simultâneo, o que geralmente é realizado utilizando-se o controle de qualidade multivariado. Caso fosse ignorado o fato da correlação e se usasse a monitoração do processo, usando gráficos de controle univariados, o resultado seria um grande número de gráficos que deveriam ser traçados, um para cada uma das variáveis observadas. De acordo com MONTGOMERY (1991), a análise multivariada torna-se útil quando existem múltiplos parâmetros e seus efeitos não são independentes ou, quando alguns parâmetros são parciais ou medidas de outros parâmetros, o que configuraria uma correlação. Ao utilizar-se gráficos de controle multivariados, em detrimento de vários gráficos de controle univariados, os ganhos são evidentes, tanto em relação ao tempo, quanto aos recursos humanos utilizados para gerir esse monitoramento e, principalmente, à acurácia que estes gráficos fornecem. Assim, os gráficos de controle multivariados T2 de ENEGEP 2002
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Hotelling fornecem uma importante contribuição para verificar a estabilidade do processo. Porém, de acordo com HAWKINS (1991), eles apresentam algumas desvantagens. Uma delas é que, esses gráficos não são imediatamente interpretáveis, pois envolvem todas as variáveis de uma única vez, isto significa que, se o processo for detectado fora de controle, é necessário o uso de outras metodologias para identificar qual ou quais são as variáveis responsáveis. Muitos autores têm discutido formas de diagnosticar os sinais fora de controle, mostrados por um gráfico T2 de Hotelling, com o objetivo de encontrar as variáveis geradoras desta instabilidade. KOURTI (1996) sugere como alternativas à identificação destas variáveis, a decomposição da estatística T2 de Hotelling ou a análise de componentes principais ou, ainda, análise dos resíduos da regressão, se os dados forem correlacionados; e, gráficos X com ajuste de Bonferroni, se os dados forem nãocorrelacionados. Este trabalho tem por objetivo fazer a avaliação de um processo multivariado usando o gráfico de controle T2 de Hotelling para verificar a sua estabilidade e, posteriormente, se o processo for diagnosticado fora de controle, serão usados os gráficos X , com a correção de Bonferroni, para identificar quais são as variáveis causadoras da instabilidade do processo. 2. Metodologia Inicialmente um conjunto de dados será avaliado por meio do gráfico T2 de Hotelling. Quando for detectado que o processo está fora de controle, sendo as variáveis não correlacionadas, utilizar-se-á os gráficos de controle X , com correção de Bonferroni, para a identificação das variáveis fora de controle. Serão gerados tantos gráficos individuais, quantas forem as variáveis. A utilização desta correção evita falsos alarmes, mantendo o nível de significância global definido para o controle do processo. Para a realização deste trabalho foram geradas quatro variáveis, com 100 observações cada uma, onde a quarta variável foi, propositalmente, colocada fora de controle para testar a adequação da teoria em controle de qualidade. 3. Gráficos de controle São representações gráficas de uma característica de qualidade de um produto ou serviço, sendo considerados ferramentas poderosas no auxílio da identificação de causas comuns e causas assinaláveis, identificando, desta maneira, o grau de estabilidade de um processo. 3.1. Gráficos de controle X São gráficos de controle para variáveis, isto é, características de qualidade que podem ser expressos por uma medida numérica, sendo aplicados para controlar a média de um processo. De acordo com a teoria estatística, a distribuição de médias amostrais tendem à distribuição normal com a aumento do tamanho da amostra. Isto significa que, se o processo está sob controle estatístico, a distribuição das médias amostrais dos subgrupos, segue aproximadamente a distribuição normal. Ao construir as cartas de controle assumese que o modelo normal pode ser utilizado para se avaliar a performance esperada. Os limites de controle podem, então, ser considerados em múltiplos de desvios-padrões, podendo ser de ± 3σ da distribuição das médias amostrais numa situação estável ou sob controle. As fórmulas e constantes, usadas para calcular os limites de controle, determinam que os pontos que estão dentro da faixa de ± 3σ da média estão sob controle. A análise de ENEGEP 2002
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padrões assume que aproximadamente 68,26% dos pontos grafados estão no intervalo de ± 1σ na carta de controle, 95,46% estarão na faixa ± 2σ e 99,73% cairão na faixa de ±3σ. Ou seja, somente 5% das vezes os pontos grafados para um processo que está sob controle estatístico cairão fora do intervalo de ± 2σ. PETENATE (1997) Para MONTGOMERY (1991), o gráfico de controle das médias X , de amostras de tamanho n, extraídas de uma população normal, com média µ e desvio-padrão σ é construído, marcando-se em ordenadas a linha média (LM), o limite superior de controle (LSC) e o limite inferior de controle (LIC), onde; 3σ LSC = µ + n LM = µ (3.1.1) 3σ LIC = µ n Quando os parâmetros µ e σ forem desconhecidos, o que ocorre freqüentemente na fase inicial do controle, é necessário calcular as estimativas dos parâmetros, os quais deverão basear-se em um tamanho amostral de no, mínimo 25 amostras, compostas de subgrupos de tamanho 3, 4, 5 ou 6. A estimativa da média µ será calculada pela média das médias das amostras. 1 X = X 1 + X 2 + ...X n (3.1.2) n
(
)
Sendo µ = X e a estimativa do desvio-padrão σ, pode-se basear no desvio-padrão R , amostral. Uma estimativa para σ, quando são realizadas observações individuais é S = d2 R + R 2 + .... + R m onde R é a média das amplitudes das observações, R = 1 e d2 é um m valor tabelado. Assim os limites de controle para o gráfico X são: LSC = X +
3R d2 n (3.1.3)
LM = X LIC= X -
3R d2 n
Um gráfico de controle X é equivalente a um teste de hipótese e, como tal, possui uma hipótese nula (H0) e uma hipótese alternativa (H1). A hipótese nula consiste em aceitar que todos os pontos correspondentes à característica de qualidade que está sendo testada, estão grafados dentro dos limites de controle (3.1.1), ou seja, aceita-se que aproximadamente 95% dos pontos estão entre µ± 2σ/n. Os pontos grafados além destes limites são considerados fora de controle estatístico. Neste tipo de teste, ao tomar uma decisão, é possível cometer-se dois tipos de erro: o erro tipo I, que consiste em rejeitar a hipótese H0, sendo esta verdadeira e o erro tipo II que consiste aceitar H0 como uma hipótese verdadeira, sendo esta falsa. As probabilidades desses dois tipos de erros são designadas, respectivamente, por α e β.
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Estatisticamente, a aceitação de H0, corresponde, em geral, à insuficiência de evidência experimental no nível de significância desejado, para se chegar à sua rejeição. Essa aceitação, como o próprio termo sugere, não deve ser entendida como uma afirmação de H0. COSTA NETO (2002) O controle sobre o erro tipo II, muitas vezes, não pode ser exercido, ou por não ter havido a determinação conveniente do tamanho da amostra ou porque, em alguns testes, a própria técnica de controle do erro tipo II não é conhecida. Em tais casos, apenas tem-se uma conclusão, estatisticamente forte, se o teste levar à rejeição da hipótese H0, caso em que eventualmente pode-se estar cometendo o erro tipo I. Se a decisão for aceitar H0, nada se pode dizer sobre o risco de se estar errando; logo, o resultado precisa de maior significação, do ponto de vista estatístico. Quando apenas uma característica é observada durante um processo, habitualmente, usa-se o nível de significância de α=5% para a sua avaliação. Porém, quando várias características de um mesmo produto estão sendo observadas, simultaneamente, é necessário avaliar se realmente deve-se realizar cada teste com o mesmo nível de significância α=5% ou, se é possível fazer um ajuste ou correção do valor de α para testes simultâneos. A seguir apresentam-se alguns aspectos relacionados a esse tema. COSTA NETO (2002) 3.2. Gráfico de controle X com correção de Bonferroni É o método alternativo para comparações múltiplas, desenvolvido a partir da desigualdade de probabilidade de Bonferroni. É um ajuste estatístico para o nível de significância (α), em relação ao número de testes realizados, simultaneamente em um conjunto de dados. Assim, o nível de significância de cada teste é calculado dividindo-se o erro geral tipo I, pelo número de testes a realizar. 3.2.1. Desigualdade geral de Bonferroni DEWEY (2002) apresenta a desigualdade geral de Bonferroni como: m P Ι A i ≥ 1 − ∑ P[A i ] i =1 i =1 m
(3.2.1)
onde Ai e seu complemento são eventos quaisquer e m é o número de comparações ou combinações. Se cada Ai é o evento em que um intervalo de confiança calculado para uma particular combinação linear inclui o verdadeiro valor desta combinação, então o lado à esquerda da desigualdade é a probabilidade de que todos os intervalos de confiança, simultaneamente, contenham os seus verdadeiros valores. O lado direito é 1 menos a soma das probabilidades de cada um dos intervalos não conterem os verdadeiros valores das combinações lineares. Então, se são desejadas estimativas simultâneas de múltiplos intervalos com um intervalo de confiança geral 1-α, pode-se construir cada intervalo com uma confiança de (1-α/m), e a desigualdade de Bonferroni assegura que o coeficiente de confiança geral é de pelo menos 1-α. JOHNSON (1992) mostra a desigualdade de Bonferroni, através da decomposição de médias µi em m combinações lineares e diz que, os intervalos de confiança simultâneos podem ser desenvolvidos e são menores e mais precisos que o intervalo de T2.
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3.2.2. Correção de Bonferroni Os ajustes de Bonferroni estão baseados no raciocínio de que se uma hipótese nula é verdadeira, uma diferença significativa (P
