Imunização do risco de taxa de juros de mercado (ETTJ) em uma carteira previdenciária simulada

AT U Á R I A

Imunização do risco de taxa de juros de mercado (ETTJ) em uma carteira previdenciária simulada Thierry Faria da Silva Gregorio Professor da Universidade do Estado do Rio de Janeiro e Atuário do Centro de Análises de Sistemas Navais E-mail: [email protected] Guilherme Dornelas Vianna Atuário do IRB-Brasil Resseguros E-mail: [email protected] João Santoro D’Amato Atuário da MRS Global E-mail: [email protected] Marcos dos Santos Capitão-de-Corveta Gerente de Projetos do Centro de Análises de Sistemas Navais E-mail: [email protected]

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RESUMO

vestidos em títulos públicos pós-fixados em IPCA, deno-

Nesta pesquisa apresentam-se as principais estraté-

minados Notas do Tesouro Nacional – Série B (NTN-B).

gias de imunização do risco da taxa de juros de mercado

A principal linha de ação é igualar a duração modificada

(ETTJ), utilizando medidas clássicas na avaliação de ris-

do ativo em relação ao passivo no intuito de alinhar os

cos, a duration (duração), a duração modificada e a con-

valores presentes do ativo e do passivo quando haja al-

vexidade. O objetivo deste estudo é realizar a imunização do risco de taxa de juros do passivo de uma carteira previdenciária simulada de uma Entidade de Previdência

risco.

1. INTRODUÇÃO

taxa de juros é a duração modificada. A duração modifi-

financeiro é cada dia mais imprevisível, como demonstram as recentes crises financeiras internacionais. No intuito de criar administrações financeiras eficientes para esse mercado volátil, os gestores de risco buscam constantemente criar instrumentos que possam auxiliar na redução do risco de mercado, em especial o risco de variação das taxas de juros. A análise do risco de taxa de juros, dentre outros riscos, é de grande importância na administração dos ativos e passivos (Asset Liability Management – ALM) de um passivo previdenciário e de uma carteira de renda fixa, pois busca diminuir ou até eliminar os impactos das variações nas taxas de juros de mercado no valor presente do ativo e do passivo, minimizando possíveis prejuízos para a entidade, participantes e beneficiários.

cada de acordo com Bierwag (1977) avalia a sensibilidade do valor atual de um ativo ou de um passivo em relação às variações nas taxas de juros, o que pode ser interpretado matematicamente como a primeira derivada da função valor presente dos fluxos financeiros em relação à taxa de juros. Esta estratégia considera que as variações nas taxas de juros são paralelas, ou seja, ocorrem simultaneamente e na mesma proporção em todos os vencimentos. Além da duração modificada, pode-se trabalhar com a convexidade (Bierwag,1977) que representa a segunda derivada da função valor presente dos fluxos financeiros em relação à taxa de juros, permitindo desta forma minimizar o erro de aproximação entre o valor presente estimado, utilizando a duração modificada e a convexidade, e o verdadeiro valor presente. O mercado financeiro habitualmente adota a duração

Um dos principais conceitos de gerenciamento do ris-

instituída por Macaulay (1938) que considera que as ta-

co de taxa de juros é o conceito de imunização, que tem

xas de juros são constantes para todos os horizontes

como foco eliminar o efeito econômico das variações da

temporais e a duração instituída por Fisher e Weil (1971)

taxa de juros sobre os valores presentes de determina-

que considera a Estrutura a Termo de Taxa de juros como

da carteira. A imunização clássica segundo Redington

fator de desconto financeiro.

(1952) consiste em manter a igualdade entre o valor presente do ativo e o valor presente do passivo frente a variações futuras nas taxas de juros. Uma das estratégias mais utilizadas para a avaliação da exposição de uma carteira ao risco de variação de

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Palavras-chave: Imunização; Taxa de Juros; Gestão de

Complementar, na qual os recursos garantidores são in-

Em uma economia dinâmica e globalizada o ambiente

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terações nas taxas de juros de mercado.

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Neste estudo abordaremos uma estratégia imunizadora na qual considera a Estrutura a Termo de Taxa de Juros como fator de desconto, visto que para fins de solvência é necessário avaliar os direitos e obrigações a valor de mercado (Gregorio, 2013).

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2. ASSET LIABILITY MANAGEMENT – ALM De forma abrangente podemos definir a estratégia de ALM, como o processo de monitoramento das operações financeiras, no intuito de assegurar que os objetivos e interesses dos investidores, participantes e beneficiários sejam alcançados e que o valor de seus ativos ou investimentos sejam maximizados. Os principais objetivos desse tipo de gestão consistem em garantir que os recursos garantidores alcancem os rendimentos necessários para fazer jus às obrigações da entidade com os participantes e segurados.

o casamento dos fluxos de caixa do ativo em relação ao passivo durante um período determinado e igualar as durações modificadas. Já a congruência absoluta se baseia em realizar o casamento de todos os fluxos de caixa do ativo em relação ao passivo.

3. DURAÇÃO, DURAÇÃO MODIFICADA E CONVEXIDADE DE MACAULAY 3.1 Duração O conceito de duração foi introduzido pela primeira

O ALM tem como principal foco a gestão dinâmica da

vez por Macaulay (1938) que é basicamente o com-

carteira, focando inicialmente, nos riscos de taxas de ju-

primento de um título ou, em termos estatísticos, o

ros e na forma a qual estes riscos podem impactar no ba-

vencimento médio dos fluxos de caixa. A teoria de

lanço contábil, sem deixar de avaliar os riscos de crédito,

Macaulay considerou cada fluxo financeiro (cupom ou

de liquidez e de subscrição. Na atuária, as idades dos

principal) como um título zero cupom que tem como

participantes, as tábuas de mortalidade e a rotatividade

fator de desconto uma taxa de juros constante, desta

ajudam a projetar o fluxo financeiro do passivo, o qual

forma o somatório dos diversos títulos zero cupom

deve estar garantido através dos investimentos mate-

com diferentes valores e maturidades corresponderia

rializados no ativo. A gestão das obrigações da entidade

ao título original.

frente aos participantes e segurados e a administração dos recursos garantidores das provisões matemáticas são grandes desafios para os atuários.

A continuação abaixo expressa a duração instituída por Macaulay:

No caso das seguradoras e entidades de previdência complementar, ou seja, carteiras com passivos atuariais, a gestão integrada dos ativos e passivos com o objetivo

Ct = Fluxo de Caixa no tempo t

de minimizar o risco de descasamento entre eles virou

t = Prazo até o vencimento em dias úteis

um item indispensável em qualquer estratégia de gestão

r = Taxa de juros constante para todos os vencimentos

de riscos financeiros. Devido a esse tratamento inte-

VP = Valor Presente dos fluxos financeiros

grado de ativos e passivos, visando alocar os ativos de acordo com a necessidade vinda do passivo, instituiu-se o conceito de ALM. Segundo De La Peña (2008) podem-se classificar as

Enquanto a maturidade leva em consideração apenas o prazo até o vencimento do principal, a duração, como visto na expressão (1), calcula o tempo médio de recebimento/pagamento dos fluxos de caixa ponde-

estratégias de ALM em congruência por durações, con-

rando cada instante t pela proporção

que

gruência temporal ou congruência absoluta. A congruên-

logicamente está compreendida no intervalo [0,1].

cia por durações consiste em igualar as durações modi-

Portanto, considera-se a duração uma medida finan-

ficadas do ativo e do passivo com o intuito de imunizar o

ceira mais adequada que a maturidade no que tange

balance financeiro em relação a mudanças nas taxas de

à expectativa de recebimento/pagamento dos fluxos

juros. A congruência temporal tem por objetivo realizar

financeiros futuros.

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3.2 Duração Modificada

3.3 Convexidade

De acordo com Macaulay (1938) a duração modificada é oriunda do conceito matemático da derivada, visto que

As variações nas taxas de juros afetam o valor presente dos fluxos financeiros de uma forma não linear, ou

a sua formulação matemática é bastante semelhante à

seja, de uma forma convexa, desta forma quanto maior

primeira derivada da função valor presente dos fluxos

seja a taxa de juros de mercado, menor o valor presen-

financeiros em relação à taxa de juros.

te da carteira. O grau de convexidade pode ser maior ou menor, dependendo principalmente da dispersão dos

A função valor atual dos fluxos financeiros e a sua primeira derivada em relação à taxa de juros estão demonstradas respectivamente nas expressões (2) e (3).

vencimentos dos fluxos financeiros em relação à duração da carteira e da taxa de juros de mercado aplicada. A convexidade é a segunda derivada do valor presente dos fluxos financeiros em relação à taxa de juros de mercado e descreve a maneira como a duração modificada varia em relação a mudanças nas taxas de juros de mercado. Logo, através da convexidade conseguimos diminuir o erro de aproximação ao estimar o valor presente

Como na duração de Macaulay as taxas de juros são constantes para os distintos vencimentos dos fluxos de caixa, é possível instituir a seguinte relação entre as expressões (3) e (1):

dos fluxos financeiros aplicando a Série de Taylor.

Através da Série de Taylor se estima o valor presente utilizando a Duração Modificada e a Convexidade, como se expõe a seguir:

Portanto, instituiu-se a Duração Modificada como sendo a taxa de variação percentual do valor presente dos fluxos financeiros em relação a mudanças na taxa de juros de mercado r, como se exemplifica a continuação:

A utilização da Duração Modificada para estimar o valor presente dos fluxos financeiros é apropriada quando haja pequenas alterações nas taxas de juros de mercado, visto que estabelece uma relação linear entre as variações na taxa de juros e o valor presente, quando na prática esta relação é convexa. A seguir se estabelece a aproximação do valor presente pela duração modificada:

∆r = variação na taxa de juros de mercado

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4. DURAÇÃO, DURAÇÃO MODIFICADA E CONVEXIDADE DE FISHER E WEIL 4.1 Duração O conceito de duração concebido por Fisher e Weil (1971) é semelhante ao estabelecido por Macaulay (1938), entretanto contempla a utilização de taxas de juros de mercado variáveis para trazer a valor presente os fluxos financeiros, permitindo assim calcular o valor presente dos fluxos financeiros utilizando a Estrutura a Termo de Taxa de Juros.

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4.2 DURAÇÃO MODIFICADA A duração modificada calculada em base a fluxos financeiros nos quais as taxas de juros de mercado variam de acordo com os vencimentos, segue o mesmo raciocínio matemático que a duração modificada em base a taxas de juros constantes. Portanto, a seguir se exemplifica a primeira derivada da função valor presente dos fluxos financeiros (considerando taxas de juros variáveis) em relação às taxas de juros:

5. ESTRUTURA DO PASSIVO PREVIDENCIÁRIO 5.1 Construção Da Massa De Participantes Do Passivo Previdenciário Para a construção do passivo previdenciário desta entidade de previdência hipotética, decidiu-se trabalhar com uma carteira composta por 1.000 participantes que estavam em condições de elegibilidade no ano de 2014 e deram entrada no pedido de aposentadoria programada. A idade de elegibilidade deste plano é de 55 anos. Portanto, a distribuição de novos assistidos em cada idade seguiu uma inversa uniforme, com parâmetros 55 e 65,

Consequentemente, a duração modificada em base a teoria de Fisher e Weil (1971) segue a continuação:

Neste caso em que se utilizam taxas de desconto variáveis, não é possível estabelecer uma relação matemática trivial entre a duração e a duração modificada como realizado na expressão (5) para taxas de desconto constantes. Concluindo, através da expressão (6) se estima o valor presente dos fluxos financeiros.

4.3 CONVEXIDADE A convexidade de acordo com as premissas de taxas de desconto variáveis é dada pela segunda derivada da função valor presente dos fluxos financeiros e se expressa a seguir:

Utilizando a expressão (8) logra-se estimar o valor presente dos fluxos financeiros futuros caso haja alterações paralelas na Estrutura a Termo de Taxa de Juros, ou seja, considerando que as taxas de juros variam da mesma forma em todos os vencimentos.

gerada a partir de uma função aleatória que simulava as probabilidades entre 0 e 1. A distribuição de idades simulada segue a continuação:

Idades

Quantidade

Frequência

55 56

98 91

9,80% 9,10%

57

96

9,60%

58

92

9,20%

59

79

7,90%

60

89

8,90%

61

90

9,00%

62

89

8,90%

63

107

10,70%

64

82

8,20%

65

87

8,70%

Total=

1.000

100,00%

Tabela 1. Distribuição de idades simulada

Para simular o valor dos benefícios mensais a serem percebidos pelos assistidos, foi utilizada uma inversa normal com os parâmetros média= R$3.966,00 que é a média dos benefícios dos fundos de pensão brasileiros segundo o Periódico Fundos de Pensão (2013) e desvio-padrão= R$396,60 que foram gerados a partir de uma função aleatória que simulava as probabilidades entre 0 e 1.

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5.2 Cálculos do Passivo Previdenciário

Para calcular o valor presente de cada participante as-

A tábua utilizada para projetar os fluxos financeiros

sistido, foi utilizada a seguinte metodologia:

futuros dos participantes assistidos foi a BR-EMSsb-v.2010-m que foi criada pela Universidade Federal do Rio de Janeiro em base a experiência do mercado segurador brasileiro. t

Para o cálculo do valor presente da carteira, foi utilizada a Estrutura a Termo de Taxa de Juros em base

t

t

px

px

ao modelo de Svensson (1994) disponibilizada pela Superintendência de Seguros Privados (2014), desta forma foi possível projetar as taxas spot para todos os vencimentos futuros nos quais a entidade de pre-

À continuação se apresentam os principais resultados desta carteira: O valor presente calculado utilizando a fórmula (13) foi de R$ 576.356.705,91;

vidência tem obrigações junto aos participantes assistidos.

A duração do passivo previdenciário foi calculada de acordo com a expressão (9) e resultou em 9,83 anos;

A ETTJ utilizada foi a calculada com base nos títulos públicos NTN-B, visto que os benefícios previdenciários

Utilizando a expressão (11) foi calculada a duração modificada da carteira que foi de 9,22;

desta carteira serão reajustados pela inflação do IPCA.

Em base a expressão (12) a convexidade foi de 73.295.558.906,69.

Cabe destacar que a ETTJ proporcionada pelos títulos públicos NTN-B está formada por taxas spot reais.

Maturidade (anos)

Taxa

Maturidade (anos)

Taxa

Maturidade (anos)

Taxa

Maturidade (anos)

Taxa

Maturidade (anos)

Taxa

Maturidade (anos)

Taxa

1

4,33%

13

6,63%

25

6,86%

37

6,95%

49

7,00%

61

7,03%

2

5,51%

14

6,66%

26

6,87%

38

6,96%

50

7,01%

62

7,03%

3

5,90%

15

6,69%

27

6,88%

39

6,97%

51

7,01%

63

7,04%

4

6,10%

16

6,71%

28

6,89%

40

6,97%

52

7,01%

64

7,04%

5

6,22%

17

6,74%

29

6,90%

41

6,97%

53

7,01%

65

7,04%

6

6,30%

18

6,76%

30

6,91%

42

6,98%

54

7,02%

66

7,04%

7

6,37%

19

6,78%

31

6,92%

43

6,98%

55

7,02%

67

7,04%

8

6,43%

20

6,79%

32

6,92%

44

6,99%

56

7,02%

68

7,04%

9

6,48%

21

6,81%

33

6,93%

45

6,99%

57

7,02%

69

7,05%

10

6,52%

22

6,82%

34

6,94%

46

6,99%

58

7,03%

70

7,05%

11

6,56%

23

6,84%

35

6,94%

47

7,00%

59

7,03%

71

7,05%

12

6,60%

24

6,85%

36

6,95%

48

7,00%

60

7,03%

Tabela 2. Estrutura a Termo de Taxa de Juros (Data Base 31/03/2014)

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6. ESTRUTURA DO ATIVO PREVIDENCIÁRIO (RECURSOS GARANTIDORES) 6.1 Composição da Carteira do Ativo O ativo desta entidade previdenciária estará composto basicamente pelos títulos públicos NTN-B que são

6.2 CÁLCULOS DO ATIVO Como a Estrutura a Termo de Taxa de Juros formada pelos títulos públicos NTN-B é estimada através das Taxas Internas de Retorno (TIR) destes títulos, pode-se calcular o valor presente dos títulos desta carteira

pós-fixados em IPCA, os quais foram escolhidos porque

utilizando as TIR que se equivale a utilizar a ETTJ. Desta forma, calcula-se o valor presente, a duração modificada

os benefícios concedidos aos participantes assistidos

e a convexidade das NTN-B desta carteira em base as ex-

serão reajustados ao longo do tempo de acordo com este índice de inflação. A entidade previdenciária dispõe de R$ 576.356.705,91 para investir em títulos públicos,

pressões (2), (5) e (7) respectivamente.

visto que este é o valor presente das suas obrigações frente aos participantes e este é o valor que corresponde aos recursos garantidores. A seguir se ilustram as possíveis NTN-B que podem ser negociadas no mercado secundário: Vencimentos NTN-B 15/05/2015

O título que vence em 15/05/2015 possui uma Taxa Interna de Retorno de 4,53%, logo, obteve-se os seguintes resultados: O valor presente deste título foi de R$ 2349,30; A duração modificada calculada foi de 1,03; Esta NTN-B apresenta a convexidade de 5156,15. A segunda NTN-B elegida que vence em 15/08/2050 tem uma TIR de 6,67%. A continuação se expõe os seus respectivos resultados:

15/05/2017

O valor atual deste ativo é R$ 2.074,70;

15/08/2020

A duração modificada desta NTN-B é 13,47;

15/08/2024 15/05/2035

A convexidade é 4.716.834,45.

7. CONCLUSÃO E IMUNIZAÇÃO

15/05/2045

O principal objetivo deste trabalho é conseguir estabe-

15/08/2050

lecer a imunização do risco de taxa de juros no balance financeiro desta entidade previdenciária fictícia, logo, busca-se igualar a duração modificada do ativo em relação ao passivo. A continuação se expressa à metodologia para igualar a duração modificada do ativo a do passivo:

Tabela 3. Vencimentos disponíveis de NTN-B

Para a composição dos recursos garantidores do passivo desta entidade de previdência foram selecionados os títulos NTN-B com vencimento em 15/05/2015 e 15/08/2050. A metodologia utilizada para a adoção destes títulos foi a busca por estabelecer um ativo que possuísse a maior dispersão possível a fim de obter a maior convexidade. Cabe destacar que em 31/03/2013 o Valor Nominal Atualizado (VNA) das NTN-B tinha o valor de R$ 2.263,83, portanto os fluxos projetados de cupons semestrais têm o valor de R$66,92, pois a NTN-B paga cupons semestrais correspondentes a 6% anual do VNA.

DMp = DM15 . f15 + DM50 . f50 (14)

DMp = Duração Modificada do Passivo DM15 = Duração Modificada do Título que vence em 2015 DM50 = Duração Modificada do Título que vence em 2050 f15 = Proporção de investimento no Título que vence em 2015 f50 = Proporção de investimento no Título que vence em 2050

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Portanto, ao investir 34,21% (R$ 197.213.841,39) do

superior a do passivo, o balance financeiro de uma en-

valor presente do passivo na NTN-B que vence em 2015 e 65,79% (R$ 379.142.864,52) na NTN-B que vence em

tidade fica totalmente imune às variações de taxas de juros de mercado, pois a curvatura (convexidade) da fun-

2050, iguala-se a duração modificada do ativo (9,21) com a

ção valor presente dos fluxos financeiros do ativo será

do passivo, estando assim imune ao risco de taxa de juros. Além disto, estas proporções de investimentos propor-

sempre superior a do passivo. Portanto, para qualquer alteração na taxa de juros de mercado, o valor atual dos

cionam uma convexidade ao ativo de 118.440.746.119,42 que é bem superior a do passivo (73.295.558.906,69).

obrigações da entidade previdenciária frente aos parti-

Cabe destacar que quando a convexidade do ativo é

recursos garantidores será superior ao valor atual das cipantes assistidos.

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Recebido em: 20MAR2014

Como citar este documento:

Aprovado em: 20OUT2014

GREGÓRIO, T. F. da S.; VIANNA, G. D.; D’AMATO, J. S.; SANTOS, M. dos. Imunização do risco de taxa de juros de mercado (ETTJ) em uma carteira previdenciária simulada. Revista PAGMAR, Rio de Janeiro, nº 03, p. 55-62, 2015.

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