Instituto Federal do Ceará Campus Maracanaú Conjuntos e Lógica
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Instituto Federal do Ceará Campus Maracanaú Matemática Discreta Prof. David Souza
1a Lista de Exercícios
Parte I
Conjuntos e Lógica U é composto pelos números inteiros positivos de A = {2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} e C = {5, 6, 7}. Enumere os elementos dos
1. Suponha que um conjunto universo
1
a
10.
Sejam
seguintes conjuntos: (a) (b) (c) (d)
AC ∩ B; AC ∪ B ; (AC ∩ B C )C ; (A ∩ (B ∩ C)C )C .
2. Sejam
A
e
B
dois subconjuntos do universo
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
tais que
A ∪ B = {1, 2, 3, 4}, A ∩ B = {3} A \ B = {1, 2} e Ac = {4, 5, 6}. Determinas
A, B
e
B \ A.
3. Mostre que (a) (b)
P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B); P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∩ P(B);
4. Chama-se de
diferen¸ca sim´ etrica de dois conjuntos A e B ao conjunto constituído A ou a B , mas não a ambos simultaneamente.
pelos elementos que pertencem a (a) Denotado por
A⊕B
a diferença simétrica entre
A
e
B,
mostrar que
A ⊕ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B). (b) Represente a diferença simétrica em diagramas de Venn. (c) Se a diferença simétrica entre dois conjuntos
Ae B ? entre A e B
A
e
B
for igual ao conjunto
A
que
poderá dizer-se a respeito de (d) Se a diferença simétrica
A = C? A ∩ (B ⊕ C) = (A ∩ B) ⊕ (A ∩ C)
for igual a diferença simétrica entre
A
e
C,
necessariamente
(e)
(Lei da distributividade).
5. Mostre as Leis de Morgan abaixo: (a) (b)
(A ∪ B)C = AC ∩ B C (A ∩ B)C = AC ∪ B C
6. Ilustre através de diagramas de Venn as propriedades distributivas entre conjuntos. 7. Prove a seguinte identidade:
(A ∪ B) ∩ (A ∪ B C ) = A. 1 / 5
8. Mostre que se
A
é um conjunto e
n(A) = k
então
P(A) = 2k
(Dica: Indução).
9. Use o diagrama de Venn para mostrar que o seguinte argumento é válido:
S1 : S2 : S3 : •
(a) (b) (c)
A
10. Se
e
Bebês são ilógicos. Ninguém que possa lidar com crocodilos é desprezado. Pessoas ilógicas são desprezadas. Pode-se concluir que Bebês não podem lidar com crocodilos?
B
são conjuntos nitos, então
A∪B
e
A∩B
são nitos e
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). 11. Seja (a) (b) (c) (d)
A = {1, 2, 3, 4, 5}. Determine o valor lógico de cada uma das declarações seguintes:
(∃x ∈ A)(x + 3 = 10); (∃x ∈ A)(x + 3 < 5); (∀x ∈ A)(x + 3 < 10); (∀x ∈ A)(x + 3 ≤ 7).
12. Denote por
p a declaração Ele é rico
declaração na forma simbólica usando
q q.
e por
p
e
a declaração Ele é alegre. Escreva cada
(a) Se ele é rico, então ele é triste; (b) Ele não é nem rico nem alegre; (c) É necessário ser pobre para ser alegre; (d) Ser pobre é ser triste. 13. Suponha que
• p := 7
p, q
e
r
são as seguintes declarações:
é um número inteiro par;
• q := 3 + 1 = 4; • r := 24
é divisível por
8.
(a) Escrever em linguagem simbólica e analisar a tabela verdade das proposições que se seguem:
• 3 + 1 6= 4
e
24
é divisível por
•
não é verdade que
•
se
3 + 1 = 4,
então
7
8;
seja ímpar ou
24
3 + 1 = 4;
não é divisível por
8;
(b) Escrever por palavras as sentenças abaixo e escrever as suas respectivas tabelas de verdade:
• p ∨ (∼ q); • ∼ (p ∧ q); • (∼ r)∨(∼ q); 14. Construir a tabela verdade das seguintes proposições: (a) (b) (c) (d)
[(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q ; p ⇔ (q ⇒ r); [p ∧ (∼ p)] ⇒ q ; [(p ∨ r) ∧ (q ∨ r)] ∧ [(∼ p) ∨ (∼ r)]; 2 / 5
(e)
[p ∧ (q ∨ r)] ∧ [q ∧ (p ∨ r)];
15. Determinar se a expressão composta
(p ∨ q) ∨ [∼ (p ∧ q)] é uma tautologia, uma contradição ou não uma coisa nem outra. 16. Mostrar que (a) (b) (c)
p ∧ (q ∨ r) não é logicamente equivalente a p ∨ (q ∧ r); p ∨ (q ∧ r) é logicamente equivalente a (p ∨ q) ∧ (p ∨ r); p ∨ [∼ (q ∧ r)] é logicamente equivalente a [p ∨ (∼ q)] ∨ (∼ r);
17. Sejam
a, b ∈ R.
18. Sejam
a, b, c, d ∈ R
Mostrar que se tais que
a < b,
0 bd,
19. Escrever as frases que se seguem usando a notação lógica na qual e
p(x)
x
então
c > d.
designa um gato
signi ca x gosta de creme.
(a) Todos os gastos gostam de creme; (b) Nenhum gato gosta de creme; (c) Um gato gosta de creme; (d) Alguns gatos não gostam de creme. 20. Considere, inicialmente, o conjunto universo
U = N.
Indique quais das proposições
que se seguem são verdadeiras e quais são falsas. (a) (b) (c) (d) (e) (f )
∀x∃y(2x − y = 0); ∃y∀x(2x − y = 0); ∀y∃x(2x − y = 0); ∀x[x < 10 ⇒ ∀y[y < x ⇒ y < 9]]; ∃y∃z(y + z = 100); ∀x∃y[y > x ∧ (y + x = 100)];
•
Observação: Refazer os itens ao considerar também
U =Z
e
U = R.
Parte II
Relações e Funções 1. Sendo o par ordenado
(a, b)
de nido em termos de conjuntos por
(a, b) = {{a}, {a, b}}
mostrar que se veri ca a seguinte relação de equivalência:
(a, b) = (c, d) ⇔ [a = c ∧ b = d] quaisquer que sejam os pares ordenados 2. Seja
(a, b)
(a) (b)
(c, d).
A = {1, 2, 3}. Para cada uma das relações R indicadas a seguir, determine os eleR, o domínio e o contradomínio de R e, nalmente, indicar as propriedades possuem R.
mentos de que
e
R R
é a relação é a relação
< ≥
em em
A. A. 3 / 5
(c)
R
3. Sejam (a) (b)
é a relação
A
e
B
⊂
em
P(A).
dois conjuntos e
Re S
D(R ∪ S) = D(R) ∪ D(S); D(R ∩ S) ⊆ D(R) ∩ D(S)
duas relações de
A
para
B.
Mostrar que
e dar um exemplo que a igualdade não se veri ca
necessariamente; (c) (d)
I(R ∪ S) = I(R) ∪ I(S); I(R ∩ S) ⊆ I(R) ∩ I(S) e
dar um exemplo que a igualdade não se veri ca neces-
sariamente. 4. Seja
x,
R
uma relação num conjunto não-vazio
denotada por
[x]R ,
A.
Sendo
x ∈ A,
de ne-se a classe
R
de
por
[x]R = {y ∈ A : yRx}. (a) Sendo
A = {1, 2, 3, 4}
e
R = {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (1, 1), (2, 3), (4, 2)} [1]R , [2]R , [3]R e [4]R ; Mostrar que R é re exiva se, e somente se, ∀x∈A [x ∈ [x]R ]; Mostra que R é simétrica se, e somente se
determinar (b) (c)
∀x,y∈A [x ∈ [y]R ⇒ y ∈ [x]R ]; (d) Mostrar que 5. Seja
R
∀x∈A [[x]R 6= Ø ⇔ I(R) = A];
a relação de nida em
N
por
(a, b) ∈ R ⇔ b é Estudar 6. Seja
R
divisível por
a.
quanto as propriedades de equivalência.
R = {(x, y) : x, y ∈ Z Z.
e
x−y
é inteiro
}.
Mostre que
R
é uma relação de
equivalência em 7. Seja
α
de
R uma relação de equivalência num conjunto nãovazio A. A para A/R pondo α = {(x, [x] : x ∈ A)}. α é uma função de nida α é sobrejetiva; condições será α injetiva?
(a) Mostre que
em
De ne-se uma relação
A;
(b) Mostrar que (c) Em que
8. Um container retangular com a parte da tampa aberta tem um volume de
10m3 .
A
largura da base é o dobro do comprimento. O material para se fazer a base custa R$
10, 00 por metro quadrado e para os lados,
R$
6, 00/m2 .
Expresse a função custo para
se produzir a caixa. Quais as medidas para que se obtenha a caixa com o menor valor possível?
f (x+h)−f (x) , onde h 2 (a) f (x) = 4x − 5x + 7;
9. Calcule
(b) (c)
√ f (x) = x; f (x) = x3 − 3
h 6= 0
para as seguintes funções abaixo:
;
4 / 5
10. Dada
G(x) =
√
4 − x,
(c)
G(−5); G(0); G(4 − x);
(d)
G(x+h)−G(x) . h
(a) (b)
f :B→C
11. Sejam
f f
(a) Se (b) Se
e e
g g
e
ache:
g : A → B.
Mostrar que:
f ◦ g é injetiva; f ◦ g é sobrejetiva. injetiva. Será f necessariamente
são injectivas, então
são sobrejetivas, então
(c) Suponha-se que
f ◦g
é
injetiva? Será
g
necessa-
riamente injetiva? (d) Mesma coisa do item anterior, mas para sobrejetividade. 12. Se
f (x) = ax + b e g(x) = cx + d e f ◦ g = g ◦ f , determinar uma equação que relacione a, b, c e d.
os coe cientes 13. Seja (a) (b)
f :X→Y
e suponha-se que
A
e
B
são subconjuntos de
X.
Mostrar que:
f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B); f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B);
14. Seja
A
um subconjunto do conjunto universal
U.
A função
fA : U → {0, 1} de nida por
( 1, x ∈ A fA (x) = 0, x ∈ Ac fun¸c˜ ao caracter´ıstica do conjunto A. U . Mostrar que para todo x ∈ U , temos: chama-se
(a) (b) (c) (d)
Sejam
fA∩B (x) = fA (x) ∩ fB (x); fA∪B (x) = fA (x) + fB (x) − fA (x)fB (x); fA (x) + fAC (x) = 1; fC (x) = fA (x) + fB (x) − 2fA (x)fB (x), onde C entre A e B .
e
B
dois subconjuntos de
representa a diferença simétrica
B , A = B ⇔ fA (x) = fB (x),
f
é a função
16. Mostre por álgebra de conjuntos e por função indicadora a equivalência
A ⊆ B ⇔
15. Mostre que para dois conjuntos
A
A
e
onde
indicadora de cada conjunto.
BC
⊆
AC .
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