INTRODUÇÃO À GEOMETRIA FRACTAL

Capítulo III INTRODUÇÃO À GEOMETRIA FRACTAL

SUMÁRIO RESUMO ................................................................................................................................... 3 Introdução ................................................................................................................................... 3 3.1 - Definição de um objeto fractal ........................................................................................... 4 3.2 - O Modelo fractal de estruturas ........................................................................................... 5 3.3 - Propriedades dos objetos geométricos fractais................................................................... 8 3.3.1 - Semente fractal ou elemento geométrico fundamental da estrutura ................. 8 3.3..2 – A relação de invariância por transformação de escala para um fractal autosimilar ...................................................................................................................................... 9 3.3..3 - Dimensão Fractal (não-inteira) ...................................................................... 11 3.3..4 - Limites hierárquicos de escalonamento ......................................................... 12 3.3.5 - Invariância por transformação de escala ou auto-similaridade ....................... 13 3.3.6 - Construção de um fractal ou regra de preenchimento do espaço por um fractal18 3.3.7 - Auto-similaridade fractal e Fractais Auto-similares: ...................................... 20 3.3.8 - Auto Afinidade fractal e Fractais Auto Afins: ................................................ 20 3.3..9 - Auto-similaridade e a auto-afinidade exata e estatística ................................ 23 3.4 – Exemplos de fractais projetados e fractais auto-afins...................................................... 24 3.5 - Tipos de escalonamento ................................................................................................... 28

3.5.1 - Escalonamento baseado no processo de fragmentação (Lo = cte e Lk → ∞, logo ε → 0) ............................................................................................................................... 29 3.5.2 - Escalonamento baseado no processo de crescimento (lok = cte e Lk → ∞, logo

ε → 0) .................................................................................................................................... 30 3.6 – Operações com fractais.................................................................................................... 31 3.6.1- Iteração de retro-alimentação usando um iniciador e uma semente na criação de Pré-fractais ........................................................................................................................... 31 3.6.2 - Renormalização............................................................................................... 32 3.7 – Seqüências e Séries fractais ............................................................................................. 32 3.8 - Classes e tipos de fractais................................................................................................ 33 3.9 - Fractais Matemáticos........................................................................................................ 33 3.9.1. Fractais Matemáticos Uniformes...................................................................... 34 3.9.2 - Fractais Matemáticos Não-Uniformes: ........................................................... 36 3.10 - Fractais Físicos ............................................................................................................... 40 3.10.1. Fractais Estatísticos ........................................................................................ 40 3.10.2 - Fractais laplacianos ou ramificados .............................................................. 40 3.10.3 - Fractais físicos ou estatisticos uniformes e não-uniformes........................... 42 3.11 - Transformada de Legendre para Fractais Não-Uniformes ............................................. 42 3.12 - Multifractais ................................................................................................................... 42 3.13 – Apêndices ...................................................................................................................... 47 3.13.1- Algoritmo matemático de retro-alimentação para construção de um objeto fractal

.................................................................................................................................... 47 3.13.2- Definindo Operadores Geométricos............................................................... 47 3.13.3 - Construindo Novos Operadores Geométricos............................................... 48 3.13.4 - Auto-valores e Auto-vetores dos Operadores ............................................... 50

3.14 - Referências bibliográficas .............................................................................................. 51

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Capítulo III INTRODUÇÃO À GEOMETRIA FRACTAL

RESUMO

Introdução As propriedades básicas de objetos com dimensões “anômalas” (diferente da euclidiana) foram observados e pesquisados já no início deste século, principalmente por HAUSDORFF [1919] e BESICOVITCH [1935]. A importância dos fractais para a Física e muitos outros campos de conhecimento foi apontada por MANDELBROT [1982]. Ele demonstrou a riqueza da geometria fractal e apresentou também importantes resultados em seus livros sobre o assunto [MANDELBROT 1975, 1977, 1982]. A proposta deste capítulo é dar uma introdução aos conceitos básicos, propriedades geométricas e apresentar diferentes tipos de fractais. 3

3.1 - Definição de um objeto fractal É um objeto de dimensão não inteira (D < d, onde d é a dimensão do espaço Euclidiano o qual está imerso) que possui invariância por transformação de escala (autosimilaridade ou auto-afinidade), onde para qualquer contorno contínuo que se tome o mais próximo possível do objeto o número de pontos, N, que forma o fractal não preenche completamente o espaço delimitado pelo contorno, ou seja existe sempre regiões vazias, ou ainda existe sempre uma figura de dimensão, d, (inteira) no qual o fractal pode ser inscrito que não superpõe exatamente o fractal mesmo no limite de escala infinitesimal. A fração de pontos que preenche o fractal em relação a este objeto é diferente de inteiro (1) ou semiinteiro (1/2), podendo possuir simetrias como de rotação por exemplo para ângulos menores que 90°. Conforme foi visto no capítulo anterior em linguagem algébrica, um fractal é uma seqüência auto-similar que possui uma dimensão de Hausdorff-Besicovitch.

Figura - 3. 1. Exemplo de construção de um fractal determinístico imerso em duas dimensões. a) demonstração de como gerar um crescimento fractal usando um procedimento interativo. b) Estrutura análoga construída pela subdivisão do quadrado original. Ambas os procedimentos levam a fractais para k → ∞ com uma dimensão D ≅ 1.465.

De acordo com a secção anterior, diz-se que um objeto é fractal, quando as respectivas funções que caracterizam as grandezas como: perímetro, área ou volume, possuem homogeneidade não-inteira. Neste caso, a propriedade de invariância por transformação de escala ou auto-similaridade, é decorrente de uma transformação de escala, de pelo menos uma desta funções. 4

3.2 - O Modelo fractal de estruturas Em primeiro lugar, deve-se começar com a definição de função homogênea dada por Euler, que constitue a base de todo o escalonamento fractal. De acordo com o teorema de Euler para funções homogêneas de grau n qualquer, uma transformação de escala, εk (εmin ≤ εk ≤ εmax), numa função F(c) deste tipo resulta em:

F(εkc) = εk-nF(c)

(0 ≤ εk ≤ 1),

(3. 1)

Este resultado significa, que o valor de uma função numa escala, F(c), está relacionado com o valor desta mesma função numa outra escala, F(εkc) por uma relação entre as escalas εk, elevada a uma potência n que corresponde ao grau de homogeneidade da função. Um fractal é um objeto que segue a um tipo de escalonamento fracionário (Figura - 3. 2), ou seja, o grau de homegeneidade n da função descrita em (3. 1) não é inteiro, e apresenta a propriedade da autosimilaridade.

Figura - 3. 2. Fractais ramificados, mostrando os elementos de estrutura, ou as unidades geometricas elementares, de dois fractais. a) Fractal matemático auto-similar b) Fractal físico estatisticamente auto-similar.

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As propriedades básicas dos fractais são: a sua dimensão não-inteira e a autosimilaridade, isto é, o fato de suas partes se assemelharem ao todo em diferentes escalas. Esta última propriedade, se torna mais evidente quando se faz uma transformação de escala homogênea de uma parte qualquer de sua estrutura, em escalas sucessivas. Existem dois tipos básicos de fractais: os fractais matemáticos, cujas relações de autosimilaridade são exatas e não tem limites de escala superior ou inferior pois são gerados por regras de interações infinitas (Figura - 3. 2b) e fractais físicos, cujas relações de auto-similaridade são obedecidas na média estatística feita ao longo de todo o fractal, desde uma escala inferior, εmin, até uma outra escala superior εmax (auto-similaridade), conforme mostra a Figura - 3. 2. Supondo-se que os fractais encontrados na natureza, ao se formarem, seguem regras ou leis do tipo citada acima, observa-se que os intrigantes fatos concernentes a sua estrutura, apesar de serem curiosos do ponto de vista matemático, parecem esconder algum tipo de princípio de dissipação de energia [ALVES 1998b, HERRMANN 1986]. Nestes fractais físicos ou naturais o escalonamento da extensão da estrutura é feito por meio de uma função homogênea da seguinte forma:

F(δ) ~ δd -D,

(3. 2)

onde d é a dimensão euclideana de projeção do fractal e D é a dimensão fractal da estrutura auto-similar. Por outro lado, existem fractais com diferentes dimensões ao longo de suas direções ortogonais, que são chamados de fractais auto-afins. Fractais auto-afins são aqueles que aparecem imersos numa dimensão euclidiana superior ( I = d + 1) e possuem projeção sobre uma dimensão euclidiana inferior (d), de tal forma que no limite de escalas muito grandes a dimensão deste é a dimensão euclidiana E. Por exemplo, uma trinca vista de uma escala muito distante pode ser considerada como uma reta, cuja dimensão é d = 1 e superfícies de fratura, neste limite, são planos de dimensão d = 2. Neste fractais o escalonamento da extensão da estrutura é feito por meio de uma função homogênea da seguinte forma:

F(δ) ~ δI - Dx,

(3. 3)

onde I é a dimensão euclideana de imersão do fractal e Dx é a dimensão fractal da estrutura auto-afim ao longo da direção x. O expoente da função acima é dado por H = I - Dx onde H é o expoente Hurst da rugosidade da estrutura. Um exemplo de um fractal auto-afim está mostrado mais oportunamente na Figura - 3. 7, quando será modelado o perfil de uma trinca.

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Definindo-se o “elemento padrão da estrutura” ou “semente” de um fractal, como sendo o elemento básico de formação do mesmo, que é auto-similar ou auto-afim a outro, em escalas sucessivas, o número de estruturas formadas numa determinada escala pode ser descrito de acordo com SANDER [1984] como sendo:

Nr(ε) = ε -Dr,

(3. 4)

onde:

ε: é o fator de transformação de escala usado Nr: é o número de elementos de estrutura na escala ε na direção r. Dr: é a dimensão fractal da estrutura na direção ro. Para fractais auto-similares Dr = D e para fractais auto-afins Dr = Dx. A grandeza ε é o fator de transformação de escala dado pela razão entre os tamanhos r e R do elemento de estrutra em duas escalas diferentes ou sucessivas:

ε = ro/Ro,

(3. 5)

Para um mono-fractal o fator de escala ε é uma constante entre dois niveis consecutivos de escalonamento. Contudo uma generalização pode ser feita a partir da relação (3. 4) para o caso onde a dimensão fractal depende da escala como é o caso de multifractais. Normalmente os fractais encontrados na natureza são multifractais, que correspondem àqueles que possuem uma dimensão que varia continuamente. Para estes fractais, as relações, (3. 1), (3. 2) e (3. 3) são aproximações matemáticas que podem ser usadas para descreve-los em termos de uma medida média. Conforme será descrito neste trabalho, considerando-se as trincas como sendo um fractal físico homogêneo estatisticamente auto-afim e as rupturas ramificadas, como sendo estatisticamente auto-similar, pode-se, partindo-se das expressões (3. 2) e (3. 3), com algumas modificações matemáticas, interpretar os fenômenos de propagação das trincas, tão importante em materiais, chegar a resultados utéis na descrição deste fenômeno. Será possível entender, de forma clara, desde o processo de fratura até o de fragmentação, sob uma visão da variação contínua dos graus de energia fornecido ao material, modificando apenas o número de trincas formadas, ramificadas e sobrepostas, conforme será mostrado mais adiante.

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3.3 - Propriedades dos objetos geométricos fractais A nova visão dos fractais, surge ao se imaginar objetos no espaço euclidiano com preenchimentos irregulares deste espaço, dando origem a dimensões não inteiras segundos os métodos de determinação da dimensão descritos nos parágrafos anteriores. Estes objetos, também podem apresentar ainda propriedades de auto-similaridade, que só podem ser descritos por meio da geometria fractal, como é o caso mostrado na Figura - 3. 2. Observe que neste caso, não existe fisicamente, nenhuma razão para existir um limite inferior ou superior de escala de medida. Porém, com o advento da Física Moderna, surgiu a idéia da quantização, que pressupõe uma unidade fundamental para algumas grandezas físicas. No caso de materiais,

tem-se a escala atômica, que nos sugere um limite inferior de medida de

comprimento, além das medidas inferiores de energia, carga elétrica, momentum, etc. Observa-se portanto, que muitas das propriedades físicas mensuráveis tais como: comprimento, área superficial, rugosidade, volume, etc, seguem leis de escalonamentos que nem sempre são inteiras, cuja a geometria que melhor descrevem, se aproxima mais da geometria fractal do que da geometria euclidiana.

3.3.1 - Semente fractal ou elemento geométrico fundamental da estrutura Pode-se chamar de elemento geométrico fundamental da estrutura, ou “semente” a unidade geométrica unitária que deu origem ao fractal físico ou matemático, conforme mostra a Figura - 3. 2. No caso de fractais físicos, o elemento fundamental da estrutura, é definido como sendo, o menor elemento da estrutura (Figura - 3. 2a), a partir do qual a propriedade de autosimilaridade, ou auto-afinidade, aparece, podendo ser extraído do contexto do objeto a partir da menor escala de observação εmin. Este elemento, serve para contagem do número de estruturas auto-similares, ou auto-afins, dentro de cada escala, afim de obter-se uma descrição analítica ou numérica da estrutura formada.

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3.3..2 – A relação de invariância por transformação de escala para um fractal auto-similar A partir de agora será utilizado o exemplo do pinheiro como sendo um fractal autosimilar para então deduzir as principais relações matemáticas de escalonamento geométrico e em seguida aplicar a fratura A relação de auto-similaridade que descreve o crescimento ou a fragmentação do pinheiro em níveis de escalonamento por meio do seu volume aparente é dado por: V ~ Lo D .

(3. 6)

Levando-se em conta a relação anterior pode-se escrever: V = cte Lo D ,

(3. 7)

escrevendo em termos das escalas tem-se:

V = cte l r

D

D

Lo lr

,

(3. 8)

considerando que a relação (3. 6) é válida para o tamanho lr pode-se extrair o valor da constante a partir de (3. 7) da seguinte forma:

cte = V r l r

−D

.

(3. 9)

Substitundo (3. 9) em (3. 8) tem-se:

V = Vr

lr Lo

−D

.

(3. 10)

Em termos do fator de escala a expressão (3. 10) fica:

V = Vr ε r

−D

(3. 11)

De forma análoga à equação (3. 10), para o caso do volume, é possível obter relações de escalonamentos para estruturas rugosas formadas por superficies e linhas, como as superfícies de fratura e trincas respectivamente, estas por sua vez são dadas por:

A = Ar

lr Lo

−D

,

para estruturas superficiais, e 9

(3. 12)

L = Lr

−D

lr Lo

,

(3. 13)

para estruturas lineares. Todas estas relações podem ser incluidas numa forma geral dada por:

M ( lr ) = M r onde M r = cte l r

D

−D

lr Lo

,

(3. 14)

= l r d onde d é dimensão euclidiana da unidade de medida. Logo a relação

(3. 14) fica: d

M d ( l r ) = N ( l r )l r ,

(3. 15)

onde o número de elementos de estrutura é dado por:

l N ( lr ) = r Lo

−D

.

(3. 16)

Substituindo (3. 16) em (3. 15) obtem-se:

l M d ( lr ) = r Lo

−D

lr d ,

(3. 17)

chamando de M d max = Lo d a medida euclidiana da estrutura completa do fractal tem-se que:

M d ( l r ) = M d max

lr Lo

d −D

.

(3. 18)

O tamanho da estrutura intermediária, lr, pode ser comparável ao tamanho da “régua de medida” utilizada para se obter o valor da grandeza M d ( l r ) . Logo, a medida mais precisa da grandeza M d será obtida quando for tomado o limite l r → 0 ou l r → l min = l o . A medida M do = Lo d corresponde à medida máxima, Mdmax, na projeção euclidiana do fractal, logo a partir de (3. 13) tem-se :

M d ( l o ) = M do

lo Lo

d −D

.

(3. 19)

Percebe-se com isto a importância de se conhecer o tamanho mínimo e o tamanho máximo da estrutura fractal. 10

3.3..3 - Dimensão Fractal (não-inteira) Sabe-se que, do ponto de vista geométrico, um fractal deve está imerso dentro de uma dimensão euclidiana inteira. A dimensão não-inteira de um fractal, aparece por que, a regra de preenchimento da figura a partir da semente, obedece algumas falhas regulares, de forma que a estrutura complementar da semente formada pelos vazios da figura, também é um fractal. Desta forma, pode-se escrever:

V = VP + VV

(3. 20)

ld = lDA + lDB

(3. 21)

ou

onde d: é a dimensão euclidiana na qual o fractal está imerso DA: é a dimensão do fractal em consideração DB: é a dimensão do fractal complementar formados pelos vazios da semente do fractal em consideração Porém, no processo de escalonamento em um número k de níveis tem-se que:

(ld)K = (lDA + lDB)K

(3. 22)

Para o caso de k inteiro, tem-se a fórmula para o binômio de Newton. Um objeto possui dimensão fractal D > d (onde E = d + 1 é a dimensão do espaço euclidiano a qual está imerso) quando:

F(λLo) = λDF(Lo)

(3. 23)

onde F(Lo) é uma das funções descritas anteriormente, dependendo da dimensionalidade do espaço a qual o objeto está imerso. Para os fractais o grau de homogeneidade n corresponde a dimensão fractal, D (não-inteira), do objeto, onde λ é uma escala arbitrária. Baseado nesta definição da dimensão fractal não podemos calcula-la fazendo:

λD =

F (λLo ) F ( Lo )

tomando o logaritmo temos:

11

(3. 24)

ln D=

F (λLo ) F ( Lo ) ln(λ )

(3. 25)

onde:

λ: é o fator de transformação da escala da dimensão linear do fractal Para um fractal a fração de pontos do espaço preenchido é invariante também por transformação de escala, ou seja:

F (λLo ) 1 = F ( Lo ) N ( Lo )

(3. 26)

λ-D = P(Lo) ou λD = N(Lo)

(3. 27)

P( Lo ) = Portanto

3.3..4 - Limites hierárquicos de escalonamento MANDELBROT [1984] apontou em seu trabalho que as superfícies de fraturas e os objetos encontrados na natureza, de uma forma geral, caem numa hierarquia regular, onde os vários tamanhos das irregularidades descritas pela geometria fractal, estão limitados por tamanhos superiores e inferiores, no qual cada nível é uma versão dos níveis contido abaixo e acima destes tamanhos. Algumas estruturas que aparecem na natureza, ao contrário dos fractais matemáticos apresentam a propriedade de auto-similaridade apenas dentro de uma faixa limitada de transformação de escalas (εmin ≤ ε ≤ εmáx). Como se tratam de estruturas de crescimento devido a situações de instabilidades locais ou globais, tal limite de escalonamento está relacionado com a energia total gasta para formar a estrutura. Na escala de corte mínima, εmin, é possível encontrar uma parte do objeto semelhante ao todo, que nas regras de iteração é usado como semente de construção do padrão, que se repete nas sucessivas escalas. E na escala de corte máxima é possível visualizar o objeto fractal como um todo. Na natureza, características peculiares do padrão da semente dependem do sistema em particular, como por exemplo um pinheiro um couve-flor, uma montanha, nuvens, etc, os limites mínimos e máximo de escalas estão relacionados com as escalas de energia gasta na formação da estrutura, pois esta é proporcional a massa do fractal. O número de niveis de 12

escalonamento, k, entre εmin e εmax, depende da taxa com que a energia de formação do fractal formado foi dissipada, ou também do grau de instabilidade que deu origem ao padrão.

3.3.5 - Invariância por transformação de escala ou auto-similaridade É possível construir objetos, com regras iterativas em escalas de ampliação ou redução, de tal forma, que as características, (falhas e preenchimentos), se repitam (sejam periódicas) em escalas sucessivas (Figura - 3. 3). Neste caso, dizemos que o objeto é autosimilar. Para garantir a auto-similaridade, ou seja, o fato de que uma parte do objeto se pareça com o todo, é preciso construir um padrão que se repete pelo menos em duas escalas sucessivas. Se as falhas se estenderem invariantemente por sucessivas transformações de escala de ampliação ou redução, dizemos que este objeto é um fractal (Figura - 3. 3). Pois a invariância por transformação de escala implicará que as partes do objeto serão semelhantes ao todo em escalas sucessivas de ampliação, ou redução, desde pelo menos uma escala de corte mínima, εmin, até uma escala de corte máxima, εmáx, (Figura - 3. 3).

Figura - 3. 3. Fractal com um padrão periódico em escala de redução ou ampliação, desde uma escal de corte εmin até uma escala de corte máxima εmáx.

Se nós quisermos dimensionar um objeto fractal de forma estática análoga a aquela descrita na secção - # nós veremos que a dimensão deste fractal corresponde a dimensão do espaço euclidiano no qual ele está imerso. Porém como os fractais tem uma lei de crescimento própria onde cada parte é substituída pelo todo em escala reduzida, esta 13

dinâmica de crescimento estabelece uma auto-similaridade, que não acontece com os objetos euclidianos comuns. A auto-similaridade pode ser expressa matematicamente se considerarmos uma transformação de escala, onde a dimensão macroscópica do fractal, Lo, está relacionada com a dimensão de suas partículas numa escala, λ, da seguinte forma:

λ= Lo/lo

(3. 28)

onde: l: é a dimensão das partículas do fractal na escala, λ. Se cada partícula nesta escala for substituída pelo todo que contém inicialmente, N, partículas no fim deste primeiro estágio, k, nós teremos, N2, partículas. Logo para um estágio, k, de transformações auto-similares nós teremos que o fractal como um todo terá:

N (λkL) = Nk+1(L)

(3. 29)

De forma análoga a escala final, λk, está relacionada com a escala inicial λ da seguinte forma:

λk = λk

(3. 30)

Portanto não tem sentido de falar em dimensão fractal sem está associada a ela uma dinâmica de crescimento. Pois a auto-similaridade é uma propriedade que provém basicamente desta dinâmica de crescimento. E cada tipo de fractal possui sua dinâmica própria de crescimento que resulta na invariância por transformação de escala. A relação entre auto-similaridade e dimensão fractal O dimensionamento de um objeto ou figura regular, é feito tomando-se as direções principais nas quais o objeto ou figura se estende. A ampliação ou redução em uma determinada escala, pode ser feita multiplicando-se os seus tamanhos principais (ou dimensões) por um fator de escala, ε. Ao se fazer isso, imagina-se que todas as partes do objeto são preenchidas igualmente de forma que o novo objeto, na nova escala, guarda as mesmas características do anterior, caracterizando uma transformação de escala homogênea inteira. Como por exemplo, um circulo de raio, r, possui as mesmas características

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geométricas que um circulo de raio igual a 5r, isto pode ser chamado de similaridade (Figura 3. 4).

Figura - 3. 4. Transformação de escala ou homotetia de um círculo homogêneo.

As transformações de escala de um objeto euclidiano gera um objeto similar, porém de tamanhos diferentes, mas que guardam a mesma proporção em relação ao objeto não transformado. Isto não implica em dizer que, partes do objeto sejam semelhantes, mas que as características de dois objetos em escalas diferentes são as mesmas (Figura - 3. 3). Porém, se ao ampliarmos ou reduzirmos um objeto o preenchimento do seu espaço acontecer de forma irregular, isto é com falhas neste preenchimento, durante a operação de ampliação ou redução, neste caso, dizemos que o seu escalonamento apesar de ser homogêneo é não inteiro. Este preenchimento pode seguir uma regra iterativa determinada, cuja falha ou perda no preenchimento acontece regularmente em todas as escalas (Figura - 3. 3), neste caso, dizemos que a figura é matematicamente construída por uma lei de preenchimento ou de falha matematicamente exata, mas não inteira. Por outro lado, a regra de preenchimento pode ser também estatística, neste caso, dizemos que a regra de preenchimento é natural, como acontece normalmente na natureza, no caso de padrões de crescimento que se repetem em diversas escalas, com uma ligeira flutuação estatística (Figura - 3. 2a). A homotetia, é um conceito que significa dizer que os aspectos geométricos de um objeto existentes em uma escala, são similares aos aspectos geométricos deste mesmo objeto em uma escala diferente. Enquanto que, a auto-similaridade é um conceito geométrico, que significa dizer que, os aspectos geométricos de um objeto existentes em uma escala são similares aos aspectos geométricos de partes deste mesmo objeto em uma escala diferente, ou seja, as partes do objeto são semelhantes ao todo. (Figura - 3. 3) Para descrever a auto-similaridade, deve-se considerar o exemplo da Figura - 3. 5. onde a cada nível, k, de escalonamento tem-se, nk, discos, formado um número total, NT, de 15

discos. Contando-se o número de elementos de estrutura (discos), nk, a cada nível, k, de escalonamento, o número total de discos em toda estrutura, contendo, M, níveis de autosimilaridade, pode ser escrito como: M

N T = ∏ nk

(3. 31)

k =0

Figura - 3. 5. Fractal autosimilar formado de nk discos a cada nivel de escalonamento k

Para descrever a variação do número de elementos total com a escala de observação, vamos diferenciar a expressão (3. 31) e obteremos: M

dN T = d (∏ nk ) k =0

(3. 32)

logo

dN T =

M j =0

M

{( dn j / n j )∏ nk } k =0

(3. 33)

dividindo (3. 31) por (3. 33) tem-se: M

dN T / N T = ∏ dn j / n j k =0

(3. 34)

rescrevendo-se para todos os nk iguais a n (nk = n), ou seja o número, n, se conserva a cada nível, k, tem-se:

NT = n M

(3. 35)

logo 16

dNT/NT =M(dn/n)

(3. 36)

(dNT/dn) = M (NT /n)

(3. 37)

MNT = (dNT/dn)n

(3. 38)

ou

portanto

de acordo com o teorema de Euler, o número, M, pode ser entendido como sendo o grau de homogeneidade da função NT = NT(n). Observe que M é inteiro pois não existem níveis intermediários. Por outro lado, o número n de estruturas auto-similares pode ser uma função homogênea de grau, D, não inteiro das dimensões da figura.

Dn = (dn/dr)r

(3. 39)

Figura - 3. 6. Retângulos dentro de retângulos similares, que não apresenta fractalidade.

Isto significa que as figuras auto-similares não preenchem todo o espaço delimitado pela figura de nível, k, superior. Desta forma, nós vemos que estas duas características são absolutamente necessárias para se definir uma figura fractal. Do contrário, poderá se ter uma figura auto-similar porém não fractal como é o caso do exemplo mostrado na Figura - 3. 6.

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3.3.6 - Construção de um fractal ou regra de preenchimento do espaço por um fractal Uma maneira artificial de se construir um fractal, está em estabelecer uma regra de formação, na qual, um elemento estrutural básico chamado de “semente”, é utilizado repetidamente para construção de uma figura ou um objeto geométrico, de forma que, a cada nivel de ampliação o mesmo padrão se repete, e a razão, η, entre o número de elementos, N, ou o número de sementes presentes na estrutura, e o fator de ampliação (λ > 1) ou redução (ε

< 1), possua um valor diferente de qualquer potência inteira de λ ou ε, ou seja:

η = N/λ ≠ λm

(3. 40)

η = Nε ≠ εm

(3. 41)

ou

onde m ∈ Z Baseado nesta regra geral de formação, é possível construir desde contornos até volumes que possuam uma dimensão fractal, D ∉ Z. Por outro lado a regra (3. 40) e (3. 41) pode ser escrita como:

N/λ = λD-1

(3. 42)

Nε = ε-D+1

(3. 43)

N = λD = ε-D

(3. 44)

Então:

onde:

λ ≥ 1: é o fator de transformação (ampliação) de escala entre duas escala consecutivas. ε ≤ 1: é o fator de transformação (redução) de escala entre duas escalas consecutivas. D: é o grau de homogeneidade da função N(λ), que corresponde a dimensão fractal do objeto dada por: De uma forma geral, o número de elementos estruturas dentro de uma determinada escala é dado por (3. 44), e a partir desta expressão nós temos que: 18

D = lnN/lnλ

(3. 45)

O fator de escala, ε = 1/λ, pode ser obtido a partir da figura formada, como sendo a razão entres os tamanhos do elemento fundamental da estrutura, r e R, entre duas escalas consecutivas de ampliação ou redução, da seguinte forma:

ε = r/R

(3. 46)

Rescrevendo-se a expressão (3. 44) a partir de (3. 46) para um determinado nível k = 0,1,2, ...,n de escalonamento tem-se:

N(εk) = (rk/Rk)-D

(3. 47)

onde: Rk-1 = rk e rk+1 = Rk. No caso de se querer quantificar, o número total, NT, de elementos de estruturas de todo o fratal, desde uma escala mínima, εmin, até uma escala máxima, εmáx, tem-se que este número, NT, é dado por:

NT = (rmin/Rmáx) -D

(3. 48)

A relação entre o número, N, entre duas escalas consecutivas e o número total de de elementos de estruturas de um fractal, NT, é dado por:

NT = Nn

(3. 49)

onde n é número de níveis de escalonamento contidos desde uma escala mínima, εmin, até uma escala máxima, εmáx. Não se pode confundir esta forma seqüencial de construção, com a forma na qual os fractais realmente aparecem na natureza. Em meios físicos, os fractais aparecem normalmente por situações de instabilidade locais (Figura - 1.15) ou globais, dando origem a estruturas que podem ser chamada de fractais pelo menos dentro de uma estreita faixa de escalonamento (εmin ≤ ε ≤ εmáx), como é o caso de árvores tais como o pinheiro, estruturas dendríticas em solidificação de materiais e trincas. Para estas estruturas, é fácil ver, que o escalonamento se dá desde o menor galho do pinheiro, que se repete seguindo a mesma aparência, até o tamanho final do mesmo e vice-versa. No caso de uma trinca, se for ampliado um trecho desta trinca por uma escala ε, ver-se-á que este se parece com a trinca inteira e assim sucessivamente, até que chegar-se ao limite máximo de ampliação numa escala mínima, 19

εmin, na qual, não se pode mais ampliar o trecho, sem perder a propriedade de autosimilaridade. Para estruturas fractais não exatas matematicamente, ou também chamadas de fractais físicos, as regras de escalonamento são aproximadas e o fractal formado possui o que chama-se de um escalonamento estatisticamente auto-similar. Neste caso, a dimensão fractal sofre pequenas flutuações de região para região, sendo portanto caracterizado por uma dimensão fractal média.

3.3.7 - Auto-similaridade fractal e Fractais Auto-similares: Objetos fractais auto-similares são estruturas que podem ser reescalonadas isotropicamente sob uma transformação que envolve mudança no comprimento de escala. Isto é, as mudanças de escala em qualquer direção são as mesmas ou estão afetadas por um mesmo fator. Para estas estruturas, a dimensão fractal, D, como definida na seção anterior é única.

3.3.8 - Auto Afinidade fractal e Fractais Auto Afins: No entanto, na maioria das vezes, a prorpiedade descrita na secção 3.3.7 - Autosimilaridade fractal e Fractais Auto-similares: não acontece, pois nem sempre as mudanças de escala são as mesmas. Pode acontecer que o escalonamento em uma direção esteja afetada por algum parâmetro diferente do escalonamento em uma outra direção, ou seja, a existência de uma certa anisotropia na estrutura do objeto fractal. Estes tipos de estruturas fractais geram os chamados fractais auto-afins, apresentam uma certa afinidade (preferência) de crescimento ou escalonamento adequado. Fractais auto-afins, são aqueles que aparecem imersos numa dimensão euclidiana superior E = d + 1 com propriedades anisotrópicas nesta dimensão, e possuem projeção no espaço euclidiano inferior d, de tal forma que, para cada direção, é possível encontrar diferentes propriedades de escalonamento e dimensão fractal. Por outro lado, é possível que a anisotropia esteja apenas na dimensão excedente e a dimensão d da sua projeção seja isotrópica. No caso de trincas e superfícies de fratura é fácil ver que no limite de grandes escalas (ε → ∞) as estruturas lineares (d = 1) tendem a retas e as superficiais tendem a planos (d = 2), respectivamente. Neste caso, diz-se que estruturas fractais deste tipo são chamadas de fractais auto-afins. Neste caso, a descrição deste tipo de fractal é dada por: 20

N = ε2-H

(3. 50)

onde: N: é o número de estruturas auto-similares dentro de uma determinada escala ε. Grande parte dos objetos fractais na natureza pertencem a estruturas fractais autoafins. Por exemplo, os fenômenos de corrosão, o deslocamento dos fluidos, através de um meio poroso, os fenômenos hidrodinâmicos, as superfícies rugosas, eletrodeposição e outros são processos fractais estatisticamente auto-afins [98]. A diferença entre os objetos fractais auto-similares, e os objetos fractais auto-afins é caracterizada por duas dimensões fractais. Uma dimensão fractal, Dl, chamada de local e outra dimensão fractal, Dg, chamada de global [92,99,39,100,101]. Um fenômeno interessante que envolve este contexto é o movimento Browniano. Por exemplo, o processo B(t) que descreve a distância, x,

deslocada por uma partícula browniana no tempo, t, pode ser

estatisticamente reescalonada sobre si mesma pela transformação:

B(t) → b-HB(bt),

(3. 51)

onde H é um expoente, 0 < H < 1, chamado de expoente de Hurst [39,99,102]. Nesta relação, observamos que o escalonamento nas coordenadas tempo, t, e distância, x, são diferentes. Assim, para uma função que escala da forma [92]:

F(x) ≈ b-HF(bx)

(3. 52)

esta função á auto-afim, onde H > 0 é um expoente. Esta expressão de fato, será invariante sob o seguinte escalonamento: encolhendo ao longo do eixo-x por um fator l/b, seguido por reescalonamento do valor da função (perpendicular ao eixo-x) por um fator b-H. Para alguma função determinística auto-afim a equação (3. 52) será dada exatamente, enquanto que para funções estatisticamente auto-afim a equação (3. 52) será dada em forma aproximada. A estrutura da Figura - 3. 7 é um exemplo de um fractal auto-afim (determinístico), onde ele é reescalonado na direção do eixo-y com fator 2n e, na direção do eixo-x, é escalonado por um fator 4n. Para o caso de sua dimensão fractal local Dl da mesma estrutura (r > 1, então

r=4n, N(r) = 4n-1

(3. 55)

Dg = [limn→ ∞ log(4n-1)/log(4n)] = 1.

(3. 56)

logo

Em geral, para qualquer estrutura fractal auto-afim, a dimensão fractal local é relacionada com o parâmetro H como segue,

Dl = d+1 - H,

(3. 57)

e para a dimensão fractal global Dg = d, sendo E = d +1 a dimensão euclidiana onde o fractal está imerso. Na passagem do limite da dimensão fractal local, Dl, para a global, Dg, existe uma zona de transição chamada de “crossover”, mas os resultados obtidos nesta região são um tanto ambíguos e de difícil interpretação [99]. Contudo, na região de dimensão fractal global, a estrutura é considerada não fractal [92].

22

Figura - 3. 7. Esquema mostrando uma estrutura fractal auto-afim. Dois estágios do processo de crescimento, k =1 e k = 2 são apresentados: a) para r > 1[99].

3.3..9 - Auto-similaridade e a auto-afinidade exata e estatística A auto-similaridade exata, é aquela em que o padrão de crescimento se repete com exatidão, a partir de uma semente que deu origem a estrutura. Por outro lado, os fractais físicos aparecem na natureza como resultado de processos irreversíveis, originados de situações de instabilidade, por exemplo, as quais podem gerar superfícies irregulares ou estruturas ramificadas. Nestes processos, não existe um padrão exato, e sim, apenas padrão geral de crescimento, que nos da uma idéia de de auto-similaridade aproximada. Isto porque, em escalas menores, tais padrões sofrem flutuações em torno de uma configuração média, conforme mostra a Figura - 3. 8. Nesta figura, tem-se a impressão de simetria, o que rigorosamente não é verdade e as ramificações apresentam uma auto-similaridade estatística. Desta forma, para se caracterizar uma estrutura como essa, usa-se a dimensão fractal para representar o processo de média estatística, ao longo de toda a figura, porque localmente esta dimensão sofre flutuações de ponto a ponto, e o seu coeficiente de auto-correlação não é exato.

23

Figura - 3. 8. Fractal estatisticamente auto-similar, produzido por uma descarga elétrica num plexiglas, conhecido como figura de Lichtenberg.

3.4 – Exemplos de fractais projetados e fractais auto-afins Pode-se fazer um paralelo, entre a geometria euclidiana e a geometria fractal. Pois, assim como na geometria euclidiana, tem-se os elementos de construção geométrica, na geometria fractal pode- se encontrar objetos análogos a estes elementos. O diversos tipos de fractais que existem são: a) Fractais entre 0 ≤ D ≤ 1 (análogos a pontos) Um exemplo de um fractal imerso numa dimensão euclidiana E = d + 1 = 1, com projeção em d = 0, análogo a geometria puntiforme, pode ser exemplificado pela Figura - 3. 9.

Figura - 3. 9. Fractal imerso no espaço unidimensional onde D ≅ 0,631

Este fractal possui dimensão D ≅ 0,631. Este é um fractal do tipo “manchas sobre o assoalho”. Outros fractais deste tipo podem ser observados, quando se pulveriza um material sobre uma superfície. Neste caso a dimensão global das manchas, pode ser algum valor entre 0 ≤ D ≤ 1. 24

b) Fractais entre 1 ≤ D ≤ 2 (análogos a retas) Para um fractal imerso numa dimensão euclidiana E = d + 1 = 2, com projeção em d = 1, análogo a geometria linear é um fractal do tipo “curva de Koch” (Figura - 3. 10), trincas, também podem ser descritas a partir desta figura conforme mostra [TANAKA 1996]. Gráficos de ruídos, também são exemplos de estruturas fractais lineares cuja dimensão esta entre 1 ≤ D ≤ 2.

Figura - 3. 10. Fractal imerso numa dimensão d = 2. Curva triádica de Koch onde D ≅ 1.262.

c) Fractais entre 2 ≤ D ≤ 3 Para um fractal imerso numa dimensão euclidiana E = d + 1 = 3, com projeção em d = 2, análogo a geometria superficial é um fractal do tipo “montanhas” ou “superfícies rugosas” (Figura - 3. 11). As superfícies de fraturas podem ser incluídas nesta classe de fractais.

25

Figura - 3. 11. Superfície irregular ou rugosa aque apresenta escalonamento fractal com dimensão D entre: 2 ≤ D ≤ 3.

Figura - 3. 12. Comparação entre a geometria euclidiana e a geometria fractal. D, d e Df representam as dimensões topológica, euclidiana e fractal, respectivamente.

d) Fractais entre 3 ≤ D ≤ 4 Não é possível visualizar um fractal auto-afim imerso numa dimensão euclidiana E = d + 1 = 4, com projeção no espaço tridimensional, isto é, em d = 3, análogo a geometria volumétrica. O mais natural, para o caso tridimensional, é imaginar um fractal do tipo “queijo 26

suíço”. Porém, não é possivel pensá-lo como sendo um fractal auto-afim com dimensão 3 ≤ D

≤ 4. Pois neste caso, a sequência da classificação de autoafinidade feita até aqui perde o sentido, visto que esta só se manisfestaria se o fractal fosse visto a partir do espaço quadridimensional. Os fractais auto-afins com 3 ≤ D ≤ 4, podem possuir isotropia no espaço de sua projeção e flutuações na dimensão excedente, como é possível observar em trincas para d = 1, superfícies de fratura para d = 2, e estruturas ramificadas para d = 3. Por outro lado, é possível estender o conceito de auto-afinidade para um fractal imerso numa quarta dimensão, se esta for o tempo, onde as flutuações acontecem, como no caso de fractais laplacianos que são isotrópicos em até três dimensões e não necessariamente o são na quarta, que seria a dimensão temporal. Fractais deste tipo, aparecem em “fingers viscosos” em rupturas dielétricas e em descargas de uma forma geral (Figura - 3. 13).

Figura - 3. 13. Exemplos de fractais laplacianos encontrados na natureza, tais estruturas geométricas complexas foram observadas em vários experimentos de crescimento com interfaces instáveis. a), b), c) são três situações de fenômeno de cristalização; d) ,e), f) são exemplos de fingering viscosos sob três condições diferentes; g), h), i) são três estruturas formadas na eletrodeposição de zinco. A dimensão fractal D encontrada para as estruturas mostradas nas figuras b) e) e h) é próximo de ≈ 1.7.

e) Fractais Gordos

27

São fractais cujas propriedades de fractalidade, aparecem na fronteira de sua estrutura, como é o caso do fractal de Éden (Figura - 3. 14). Possuindo no seu interior uma dimensão inteira.

Figura - 3. 14. Modelo de Éden sem redução de ruído.

3.5 - Tipos de escalonamento Os fractais podem aparecer na natureza, sob a forma de contornos ou perímetros, superfícies, e/ou volumes. A construção do ponto de vista matemático, se dá por iteração a partir de uma “semente”, seguindo-se uma regra básica de preenchimento do espaço, que pode ser de crescimento (Figura - 3. 15b) ou fragmentação (Figura - 3. 15a). O número de estruturas, N, e o fator de escalonamento, ε, pode ser escrito de duas formas distintas, conforme mostra a equação (3. 29). O que dá lugar a duas formas de se interpretar a relação de auto-similaridade, (3. 47), uma sob a forma de crescimento e outra sob a forma de fragmentação. O processo de crescimento fractal, pode ser melhor aproveitado na descrição da propagação de uma trinca enquanto que o processo de fragmentação fractal, pode ser melhor aproveitado na descrição de processos de cominuição de um material. É certo, que se uma estrutura de dimensão, D, imersa em um espaço de dimensão euclideana d é fractal, a estrutura complementar formada pelos vazios do fractal com dimensão, α = d-D, também é fractal. Portanto, se um é interpretado como sendo um fractal de crescimento, o fractal complementar, será interpretado como sendo formado a partir de um processo de fragmentação. Pois a extensão física de um, corresponde na redução do outro. 28

Figura - 3. 15. Construção matemática de um fractal, seguindo uma regra básica de preencimento do espaço a) Fragmentação Rmáx = cte b) Crescimento r min = cte.

3.5.1 - Escalonamento baseado no processo de fragmentação (Lo = cte e Lk → ∞, logo ε → 0) O escalonamento descrito acima pode ser interpretado como um processo de fragmentação, quando se considera a redução da escala desde o nível máximo k = n (onde ε =

εmax), até o nível mínimo de escalonamento, k =1 (onde ε = εmin) Figura - 3. 15a. Considerando-se o número de elementos de estruturas Nk >1, num determinado nível, k, de escalonamento como sendo:

Nk = Lk/lrk

(3. 58)

e o fator de escalonamento como sendo:

εk = (lrk/Lo)1/d

(3. 59)

onde: d = 1, 2, 3, 4, .... é a dimensão euclideana da semente. O comprimento real da fronteira fractal é dado por:

Lk = lrkεk-D 29

(3. 60)

onde Lok é um tamanho unitário no nível de escalonamento, k. Por outro lado, para saber-se a medida comprimento da projeção Lok de Lk em unidades de lrk pode ser escrito a partir de (3. 59) como:

Lo = lrkεk-d

(3. 61)

lrk = LkεkD

(3. 62)

a partir de (3. 60) tem- se que:

Portanto substituindo-se (3. 62) em (3. 61)

Lo = LkεkD-d

(3. 63)

Lk = Loεkd-D

(3. 64)

ou

Esta é a relação de auto-similaridade entre os tamanhos real e projetado para o fenômeno de fragmentação fractal. Ela será útil na descrição do processo de fragmentação de um material.

3.5.2 - Escalonamento baseado no processo de crescimento (lok = cte e Lk → ∞, logo ε → 0) O escalonamento descrito acima, pode ser interpretado como um processo de crescimento quando se considera a ampliação da escala desde o nível mínimo k = 1 (onde ε =

εmin), até o nível máximo de escalonamento, k = n (onde ε = εmax), conforme mostra a Figura 3. 15b. Considerando-se o número de elementos de estruturas, Nk >1, num determinado nível k de escalonamento como sendo:

Nk = Lk/lo

(3. 65)

e o fator de escalonamento como sendo:

εk = (lo/Lrk)1/d onde: d = 1, 2, 3, 4, .... é a dimensão euclideana da semente. 30

(3. 66)

O comprimento real da fronteira fractal é dado por:

Lk = loεk-D

(3. 67)

onde lo é um tamanho unitário no nível de escalonamento k. Por outro lado, para saber-se a medida do comprimento da projeção Lrk de Lk em unidades de lo pode ser escrita a partir de (3. 66) como:

Lrk = loεk-d

(3. 68)

lo = LkεkD

(3. 69)

a partir de (3. 67) tem- se que:

Portanto substituindo (3. 69) em (3. 68)

Lrk = LkεkD-d

(3. 70)

Lk = Lrkεkd-D

(3. 71)

ou

Esta é a relação de auto-similaridade entre os tamanhos real e projetado para o fenômeno de crescimento fractal. Ela será util na descrição do crescimento de uma trinca em um material.

3.6 – Operações com fractais Os fractais podem ser reproduzidos por operações matemática conforme sera visto nesta secção.

3.6.1- Iteração de retro-alimentação usando um iniciador e uma semente na criação de Pré-fractais Fractais matemáticos são objetos auto-similares que podem ser reproduzidos indefinidamente sobre um arranjo denominado “iniciador” e cujo padrão geométrico elementar também chamado de “semente” possui a propriedade de auto-similaridade exata com partes da sua estrutura ou com a sua estrutura global em infinitas escalas de ampliação ou redução. 31

3.6.2 - Renormalização A renormalização é um processo matemático para se eliminar singularidades nas teoria de campo da física, sendo aplicada ao processo de escalonamento fractal para se obter uma transformação de escala em fractais matemáticos ou estatísticos.

Figura - 3. 16. a) Processo de renormalização b) critério de renormalização.

3.7 – Seqüências e Séries fractais

32

3.8 - Classes e tipos de fractais Um dos mais fascinantes aspectos dos fractais é a variedade extremamente rica de possíveis realizações de tais objetos geométricos. Este fato dá lugar a questão da classificação, e no livro de MANDELBROT [1982] e nas publicações seguintes muitos tipos de estruturas fractais tem sido descritos. Abaixo nós discutiremos algumas importantes classes com alguma ênfase sobre sua relevância para o fenômeno de crescimento. Portanto, os fractais são classificados, ou se dividem em: fractais matemáticos, aqueles cuja relação de escalonamento é exata e, em fractais físicos aqueles cuja relação de escalonamento é aproximada ou estatística, da seguinte forma:. Os fractais matemáticos (ou exatos) e físicos (ou estatísticos) pode se subdividir em fractais uniformes e não uniformes. Fractais uniformes são aqueles que apresentam uma única dimensão fractal em toda a sua extensão. Fractais não-uniformes são aqueles que possuem diferentes dimensões fractais ao longo de sua extensão.

3.9 - Fractais Matemáticos Fractais matemáticos são aqueles gerados por regras de iteração puramente geométricas, sem levar em conta nenhuma fenomenologia em si, conforme mostra a Figura 3. 2a. Alguns fractais, aparecem de forma especial no espaço de fases de sistemas dinâmicos que estão próximo a situações de movimento caótico segundo a Teoria Não Linear de Sistemas Dinâmicos ou Teoria do Caos. Este tipo de abordagem não será feita aqui, por se tratar de um outro assunto que está fora dos objetivos deste capítulo. Desta forma, a teoria fractal pode ser estudada sob três aspectos fundamentais da sua origem: 1 ) A partir dos padrões com características geométrica auto-similares encontrados em diferentes objetos na natureza. 33

2) A partir da teoria dinâmica não linear no espaço de fases de sistemas complexos. 3) A partir da interpretação geométrica da teoria dos expoentes críticos da mecânica estatística. Existem vários tipos de fractais: uns que crescem uniformemente com um fator de escala único e constante, λ, estes são chamados de fractais uniformes, e outros que crescem de forma não-uniforme com fatores de escala λi's que podem variar de região para região do fractal, estes são chamados de fractais não-uniformes. Estes dois últimos são exemplos de fractais matemáticos bem comportados. É certo que os fractais físicos ou reais podem ser determinísticos ou aleatórios. Onde não só a escala mas todos os parâmetros do fractal podem variar aleatoriamente

3.9.1. Fractais Matemáticos Uniformes No caso de fractais uniformes a dimensão fractal pode ser calculada modificandose a expressões (3. 23) com (3. 20) da seguinte forma:

V(λLo) = λDV(Lo)

D = ln

V (λLo ) / ln λ V ( Lo )

(3. 72)

(3. 73)

Uma forma alternativa de calcular a dimensão fractal D pode ser obtida usando-se a expressão (#) modificada para o volume fractal, onde:

V(Lo) = N(Lo) loD

(3. 74)

para uma transformação de escala λk aplicada a expressão (3. 72) nós temos que:

V(λkLo) = N(λkLo) loD

(3. 75)

pois, assim como o volume o número N(Lo) é também uma função homogênea de grau D, e o volume lD é unitário. Usando-se o resultado (3. 29) nós temos que :

V(λkLo) = Nk+1(Lo) loD usando-se a expressão (3. 72) do lado esquerdo de (3. 76) nós temos que:

34

(3. 76)

λkDV(Lo) = Nk+1(Lo)loD

(3. 77)

usando-se o resultado (3. 30) em (3. 77) temos:

(λk)DV(Lo) = Nk+1(Lo)loD

(3. 78)

substituindo-se (3. 74) em (3. 78) temos:

(λk)DN(Lo) loD = Nk+1(Lo)loD

(3. 79)

(λk)DN(Lo) = Nk+1(Lo)

(3. 80)

(λk)D = Nk(Lo)

(3. 81)

λD = N(Lo)

(3. 82)

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Portanto:

extraindo a raiz k'ésima temos:

Observe que a probabilidade de se encontrar uma partícula entre as N partículas que compõem o fractal é dada a partir do inverso de (3. 82) como:

P( Lo ) = 1 / N ( Lo ) =

1

D

λ

(3. 83)

A dimensão fractal pode ser calculada de forma alternativa independente da transformação de escala λk como:

D = lnN(Lo)/ ln λ

(3. 84)

Triâgulos de Serpienski O triângulo de Sierpinski é dado analiticamente pela relação

Área = 3k-2bkhk/2

(3. 85)

onde bk = b/2k e hk = h/2k, renormalizando a série podemos escrever:

Área = (3k/22k) bh/2 35

(3. 86)

Como para um triângulo equilátero temos h = b√5/√4, podemos escrever:

Área = 3k-2√5/4b2k

(3. 87)

Área = (3k/22k) √5/4b2

(3. 88)

ou

cuja dimensão fractal é dada por: D = ln3/ln2 = 1,58...

Figura - 3. 17. Triângulos de Serpienski, exemplo de um fractal matemático uniforme

3.9.2 - Fractais Matemáticos Não-Uniformes: No caso de fractais não uniformes o número total de partículas numa escala, λr de uma região, r, do fractal é dado de forma análoga a (3. 82):

λr D = N r

(3. 89)

Esta expressão pode ser usada para calcular a dimensão fractal, D, mas depende da região, r, tomada, além do que é preciso conhecer Nr. Como o número total de partículas, N, é dado pela soma dos números parciais das partículas de cada região Nr, então a partir de (3. 89) temos:

N ( Lo ) =

n r =1

Nr =

n i =1

D

(λr )

(3. 90)

Esta expressão também poder ser usada para calcular a dimensão fractal, D, porém é preciso saber o número total das partículas N(Lo). 36

Observe que a probabilidade de se encontrar uma partícula entre as N partículas que compõem o fractal análoga a expressão (3. 83) é dada a partir do inverso de (3. 90), ou seja a probabilidade de se encontrar uma partícula numa destas regiões é:

Pi ( Lo ) = 1 / N ( Lo ) = 1 /

n r =1

N r = 1/

D

n i =1

(λr )

(3. 91)

Observe que a soma de Pi(L) em todas as partículas, isto é: N ( L) i

Pi ( L) = 1

(3. 92)

Queremos encontrar uma expressão que não dependa do número de partículas de cada região, r, e nem do número total de partículas N(Lo). O número total de regiões do fractal não-uniforme é:

n=

n

r

(3. 93)

r =1

A probabilidade de se encontrar uma região, r, qualquer é dado por:

Pn = 1 / n = 1 /

n

r

(3. 94)

r =1

observe que somando-se sobre todas as regiões nós temos que: n 1

Pn = 1

(3. 95)

e a probabilidade de se encontrar uma partícula numa dada região, r, é dado por (3. 89) e (3. 90):

Pr ( Lo ) = N r / N ( Lo ) = N r /

n r =1

N r = (λ r ) / D

n i =1

D

(λr )

(3. 96)

somando-se sobre todos as regiões nós temos que: n r =1

Pr = 1

(3. 97)

De forma análoga a expressão (3. 83), a probabilidade de se encontrar uma partícula i dentro de uma particular região, r, é dada a partir do inverso e (3. 89),

37

Pir = 1 / N r =

D

1

(3. 98)

λr

Somando-se sobre todas regiões, r, nós temos que: n i =1

Pi =

n

1

r =1

λr

D

=1

(3. 99)

A partir (3. 91) (3. 96) e (3. 99) é fácil ver que:

Pi(L) = Pir (1/λr). Pr(λr)

(3. 100)

Portanto a probabilidade de se encontrar uma partícula entre as N partículas que compõem o fractal ou seja a probabilidade de se encontrar uma partícula numa destas regiões é o produto da probabilidade de se encontrar uma partícula i dentro de uma particular região r pela probabilidade de se encontrar uma partícula numa das n regiões. Representação de uma estrutura dendrítica a partir de um fractal não-uniforme O crescimento dendrítico (que quer dizer em forma de árvore) apresenta uma invariância por transformação de escala em várias ordens de grandeza, com direções preferenciais de crescimento análoga a aquela mostrada na Figura - 3. 18b. que depende do empacotamento dos átomos nos planos cristalinos. Assim como em uma árvore os galhos e as folhas crescem de forma a maximizar a sua área superficial (para aumentar a sua área de captação de energia) e de forma a minimizar a sua distância entre os galhos (para minimizar o transporte de alimento-energia). De forma análoga uma estrutura dendrítica cresce seus ramos de forma a aumentar a área superficial a fim de dissipar mais calor e de forma minimizar a sua distância aos ramos maiores de forma a tornar o transporte de calor mais rápido (otimização da condutividade térmica) Assim o crescimento dendrítico pode ser representado por um simples fractal determinístico não-uniforme. conforme mostra a Figura - 3. 18 abaixo: Para este tipo de fractal nós podemos usar a relação (3. 99) Para calcular a dimensão fractal, D, da seguinte forma:

38

Nós vemos que nesta transformação de escala em k = 0 as dimensões (a,b) foram transformada em k = 1 para (2b, 2a) logo os fatores de escala (λa, λb) = (2b/a, 2a/b) portanto:

(1/λa)D + (1/λb)D = (a/2b)D + (b/2a)D = 1

(3. 101)

exponenciando (3. 101) nós temos que: a 2b

e

e

a D 2b

D

+

b D 2a

+

ee

ee

a

b 2a

D

=e

= ee

D ln

a 2b

D ln

a 2b

ln

a 2b

.e

a D 2b

D ln

.e e

D ln

.e e

b D 2a

D

.e e

b 2a

b 2a

b D 2 ln a

=e

=e

(3. 102)

(3. 103)

(3. 104)

=e

(3. 105)

=e

b

k=0

k=1

k=2

Figura - 3. 18. Representação de um crescimento dendrítico a partir de um fractal não-uniforme.

39

3.10 - Fractais Físicos Fractais físicos são aqueles que aparecem na natureza como resultado do desencadeamento de condições de instabilidades em processos naturais (Sander, 1984), em um fenômeno físico qualquer, conforme mostra as Figura - 3. 2 e Figura - 3. 19.

Figura - 3. 19. Fractal estatístico de Lichtenberg mostrando uma auto-similaridade estatística. fractal produzido através da desaceleração de uma carga elétrica que foi injetada dentro de um plexiglas.

3.10.1. Fractais Estatísticos São fractais estatísticos os objetos cujas propriedades de auto-similaridade variam estatisticamente de região para região do fractal. A sua dimensão pode ser única porém caracterizada por um valor médio, de forma análoga a análise feita para fractais matemáticos. A figura abaixo mostra um fractal estatisticamente auto-similar cuja aparência varia de ramificação para ramificação dando-nos a impressão de que, cada parte é semelhante ao todo.

3.10.2 - Fractais laplacianos ou ramificados Uma classe específica de fractais, chamados de Fractais Laplacianos, são ramificados (Figura - 3. 13). Este intrigante fato, assim como outros encontrados nas estruturas fractais, são de grande interesse da Física. Portanto, a sua geometria pode ser descrita em termos da geometria fractal, tendo como implicações físicas as análises 40

decorrentes desta nova geometria. Estes fractais são aqueles em que o fluxo de energia liberado, J, para sua formação, se conserva, obedecendo a equação de Laplace.

∇2J = 0

(3. 106)

Nos fractais conhecidos matematicamente como laplacianos, do tipo ramificado, os ramos partem de um ponto comum, conhecido como entroncamento. Estes fractais possuem igual probabilidade de crescimento em todas as direções. Neste caso, a estrutura cresce a partir deste entroncamento com bifurcações sucessivas, onde cada entroncamento pode se manter fixa no espaço, ao longo de toda a história de crescimento. Pois, se as posições destes pontos de entroncamento mudarem com o tempo, a trajetória de crescimento do fractal não estará intuitivamente registrado na sua estrutura, nos locais por onde o fractal passsou, quando tinha uma determinada idade intermediária. Isto significa que, o crescimento se não se dá a partir das extremidades presentes a cada instante, ou seja, um ramo pode crescer em detrimento do outro. Ou ainda por outro lado, pode-se dizer que o crescimento que ocorre internamente a fronteira radial, R ,do fractal não é desprezível. Matematicamente isto significa que a diferença entre a equação de Laplace em coordenadas esféricas,

∇2J = 0

(3. 107)

e a equação dinâmica de Fick para a difusão,

∇2 J =

∂N ∂t

(3. 108)

é apenas um termo de derivada parcial no tempo, ∂N / ∂t . Sabendo-se por onde o fractal passou, durante o seu crescimento, é possível escrever este termo, em termos da coordenada radial e da velocidade de crescimento usando a regra da cadeia. Portanto, se a velocidade de crescimento, parametrizada no espaço ou no tempo, for conhecida de alguma outra forma, o resultado é imediato, e a inferência é do processo dinâmico, a partir do estático, é obtido com sucesso. Estes fractais possuem uma densidade que permanece constante, ao longo do processo de crescimento e, o fluxo das partículas possuem um aspecto radial, para um campo conservativo, análogo ao campo elétrico em torno de cargas puntiformes. Neste caso, temos exemplo de rupturas dielétricas, trincas, etc. 41

3.10.3 - Fractais físicos ou estatisticos uniformes e não-uniformes

3.11 - Transformada de Legendre para Fractais Não-Uniformes Fractais físicos são objetos auto-similares que se reproduzem numa estreito intervalo de escalas, cujo padrão geométrico é estatisticamente auto-similar com partes da estrutura ou com a estrutura global em um número finito de escalas de ampliação ou redução. Esta propriedade geométrica pode ser observada na natureza, em estruturas que vão desde o contorno de ilhas até a formação de pinheiros, montanhas, etc.

3.12 - Multifractais São figuras ou objetos fractais onde a dimensão fractal varia continuamente ao longo do objeto. Um multifractal é formada de irregularidades superpostas em diferentes ordens de magnitude. Contudo, a distribuição das irregularidades podem se espalhar sobre uma região de uma tal forma que a concentração de irregularidades varia largamente. Por exemplo, uma concentração de grandes irregularidades está somente em alguns lugares, uma concentração de pequenas irregularidades está em muitos lugares, e uma concentração de finas irregularidades está em quase todos os lugares. Pode também acontecer que a distribuição ou medida, µ, da rugosidade comporta-se como um fractal e segue uma lei de potência, por exemplo:

µ(Br(x)) ~rα

(3. 109)

para r pequenos, mas com um expoente, α, diferente de um lugar a outro. A distribuição medida, µ, com este tipo de propriedade é chamada de uma medida multifractal. Os multifractais apresentam um movimento a partir da geometria de seqüências com tais propriedades geométricas de medida. Em outras palavras, medidas multifractais estão relacionadas ao estudo da distribuição de quantidades físicas ou outras quantidades sobre um suporte geométrico. Propriedades estatísticas de uma estrutura multifractal são caracterizadas por um espectro contínuo de dimensões fractais. 42

Considere uma seqüência fractal, S, consistindo de N pontos de amostra (qualquer quantidade física subtendendo uma medida), e tendo Ni pontos na i’ésima célula. Nós agora introduzimos a "massa" ou a probabilidade.

pi = Ni/N

(3. 110)

na i’ésima célula para construir a medida. Note que a massa na i' ésima célula de tamanho, ε, é dado por:

pi (ε) = εαi

(3. 111)

aqui α é chamado de expoente de escalonamento (o expoente Lipschitz-Hölder na noção clássica da matemática), o qual controla a singularidade da densidade e pode também ser chamado de expoente de singularidade. Uma medida multi fractal é suportada por uma seqüência, S, a qual é a união de subseqüências, Sα, com α escolhido no espectro contínuo de valores,

S = USα

(3. 112)

desde que a seqüência completa, S, é fractal, com uma dimensão fractal, D, as sub-seqüências têm dimensões fractais, f(α) ≤ D. Para subseqüência fractais, como a dimensão fractal, f(α), o número, N(α,ε), dos segmentos de comprimento necessário para cobrir a seqüências, Sα, na faixa de α + dα é:

dN(α,ε) = ρ(α) ε-f(α)dα

(3. 113)

Para estas seqüências a medida, pα, em uma célula de tamanho, ε, tem a dependência da lei de potência, veja a equação (3. 111), sobre o comprimento de escala, ε, tal que nós podemos escrever:

pα = ε α

(3. 114)

ou q

M ( q ,ε ) = i

pi = ε

( q −1 ) Dq

(3. 115)

e portanto a medida M para a séria S dada na equação (3. 115) pode ser escrita:

M d ( q , ε ) = ρ ( α )ε − f ( α )ε qα dα 43

(3. 116)

A integral na equação (3. 116) é dominada pelos termos onde a integral tem seu máximo, em outras palavras para:

d [ qα − f ( α )] α =α ( q ) = 0 dα

(3. 117)

Suponha que para cada q, nós temos α = α (q) > 0 então em α (q)

q= Então,

df ( α ( q )) dα

(3. 118)

α ( q ) é o valor de α em que o gráfico de f tem inclinação q. Além do mais, a integral

na equação (3. 116) pode ser expressa por:

M d ( q ,ε ) ~ ε qα ( q )− f ( α ( q ))

(3. 119)

Aqui Md permanece finito no limite ε → 0 se d é igual expoente de massa τ(q) dado por:

τ ( q ) = f ( α ( q )) − qα ( q ) onde

(3. 120)

α ( q ) é a solução da equação (3. 120) . Então expoente de massa é dado em termos do

expoente de Lipischitz-Hölder

α ( q ) para a massa, e a dimensão fractal f ( α ( q )) da

seqüência que é suportada por este expoente. Por outro lado, se nós conhecemos os expoentes de massas, nós podemos determinar o expoente dee Lipshitz-Hölder (Se α é diferenciável como uma função de q).

dτ df dα dα = −α − q dq dα dq dq

(3. 121)

Pondo α = α ( q ) nós obtemos , usando as equações (3. 118) e (3. 121) que:

α( q ) = −

dτ ( q ) dq

(3. 122)

ou

f ( α ( q )) = qα ( q ) − τ ( q )

(3. 123)

as equações (3. 122) e (3. 123) dão uma representação paramétrica da curva f ( α ( q )) , isto é, a dimensão fractal, f ( α ( q )) , dá suporte de uma singularidade na medida com o expoente

α ( q ) de Lipschitz-Hölder. A curva f ( α ( q )) caracteriza a medida e é equivalente a 44

τ ( q ) . Este f ( α ( q )) algumas vezes é referido como

seqüência de expoentes de massa espectro multifractal da medida µ. Portanto

M d ( q ,ε ) ~ ε

( q −1 ) Dq

(3. 124)

onde

( q − 1 )Dq = τ ( q ) = qα − f ( α ( q ))

(3. 125)

Generalizando a relação (3. 16) a partir da expressão (3. 115), temos:

N ( q ,lo , Lo ) =

i

pi

q

( q −1 ) Dq

l = o Lo

(3. 126)

Observe que a probabilidade pi é definida a partir da Figura – 1, como sendo:

pi =

l L

(3. 127)

onde l é o comprimento contido dentro da caixa de tamanho (lo x lo) e L é o comprimento total da trinca rugosa, onde i

pi = 1 e para um q qualquer temos as relações gerais, e a dimensão

fractal generalizada é dada por:

ln

Dq =

pi

q

1 i q − 1 ln(lo / Lo )

(3. 128)

onde q é um índice que retrata o alcance em escala da multifractalidade do fenômeno. Veja que para q = 1 temos:

ln

Dq =1 = lim

q →1

pi

q

1 i q − 1 ln( lo / Lo )

(3. 129)

A descrição multifractal da fratura permite escrever:

L( q , l o , Lo ) =

i

pi

q

l = o Lo

e

45

( q −1 ) Dq

(3. 130)

l Lo (q, lo , Lo ) = o Lo

d

(3. 131)

onde:

L(q, lo , Lo ) = Lo

lo Lo

d + ( q −1) Dq

(3. 132)

e

dL(q, lo , Lo ) l = [1 − (d + (q − 1) Dq ] o dLo Lo

d + ( q −1) Dq

(3. 133)

Para o caso de multifractais auto-afins temos que:

d + (q − 1) Dq = H q − 1

(3. 134)

d − Do = H o − 1

(3. 135)

Para q = 0 tem-se:

logo

L(q, lo , Lo ) = Lo

lo Lo

H q −1

(3. 136)

e

dL(q, lo , Lo ) l = [2 − H q ] o dLo Lo

46

H q −1

(3. 137)

3.13 – Apêndices

3.13.1- Algoritmo matemático de retro-alimentação para construção de um objeto fractal Para se construir uma estrutura fractal deve-se considerar em primeiro lugar os dois objetos geométricos básicos deste tipo de estrutura, o iniciador e a semente. O iniciador, corresponde a configuração geométrica sobre o qual a semente será arranjada. A semente corresponde ao elemento geométrico básico que se repete sobre o arranjo determinado pela forma do iniciador, independentemente da escala de observação. Considere um elemento geométrico básico de forma qualquer, como por exemplo o elemento geométrico usado na construção da curva de Koch [1], conforme mostra a Figura 3. 20.

Figura - 3. 20. Padrão geométrico elementar ou “semente” do fractal da curva de Koch.

3.13.2- Definindo Operadores Geométricos Podemos definir alguns operadores geométricos para criar um algoritmo de formação de uma estrutura fractal qualquer. 1) Operador Ampliador Λλ e Operador Redutor Λλ-1 Estes operadores quando aplicados sobre um objeto eles ampliam ou reduzem este objeto de um fator λ, por exemplo: 47

Λλ (

; Λ-1λ (

)=

)=

2) Operador Criador Χ e Operador Destruidor X-1 Estes operadores quando aplicados sobre um objeto eles criam ou destroem este objeto identico ao primeiro, fazendo esta operação ao lado do objeto anterior da esquerda para a direita, por exemplo: X( . ) =

;

X-1(

)= .

3) Operador Deformador DNλ e Operador Restaurador DNλ-1 Estes operadores quando aplicados sobre um objeto eles deforma ou restaura este objeto, conservando o seu comprimento, por exemplo: DNλ(

)=

;

DNλ-1(

)=

4) Operador Projetador Px e Operador Anti-Projetador Px-1 Estes operadores quando aplicados sobre um objeto eles projetam ou anti-projeta este objeto sobre uma dada direção x, por exemplo: PX(

)=

;

Px-1(

)=

5) Operador Medidor Lx e Anti-Medidor Lpx-1 Estes operadores quando aplicados sobre um objeto eles medem ou retornam o segmento a partir de uma medida deste objeto sobre uma dada direção x, por exemplo: LX(

) = 4u

Lx-1(4u) =

;

3.13.3 - Construindo Novos Operadores Geométricos

48

6) Operador Crescimento Fractal (u =cte, Lp ≠ cte , ε = u/Lp) Nivel k = 0 X4(

;

)=

;

Nivel k =1 D 43(X4 (

)) = D 43(

)= ;

X4 ( D43(X4 (

)= )) = D43(

)=

Nivel k = 2 Portanto o operador Crescimento Fractal pode ser definido como: C43 = D43(X-4( )). 7) Operador Fragmentação ou retro-alimentação Fractal (u ≠cte , Lp = cte, ε = u/Lp) Nivel k = 0 Λ 3( X4(Λ Λ 3(

; )=

;

)) = X4(

D43(X4(Λ Λ 3(

)=

))) = D43(X4(

X4(Λ Λ 3( D43(X4(Λ Λ 3(

)) = D43(

) =

;

Nivel k = 1 Λ 3(

;

)=

;

)) = X4(

)=

;

))) = D43(X4(

)) = D43(

49

) =

;

Nivel k =3

Λ3( ))). Portanto o operador Crescimento Fractal pode ser definido como: F43 = D43(X-4(Λ Observe que este operadores são lineares e comutam entre si. 1) [Λ Λλ,X] = [X,Λ Λλ] 2) [Λ Λλ,DNλ] = [DNλ,Λ Λλ] 3) [Λ Λλ,Px] = [Px,Λ Λλ ] 4) [Λ Λλ,Lx] = [Lx, Λλ] 5) [X,DNλ] = [DNλ,X] 6) [X,Px] = [Px,X] 7) [X,Lx] = [Lx,X] 8) [DNλ,Px] = [Px,DNλ] 9) [DNλ,Lx] = [Lx,DNλ] 10) [Px,Lx] = [Lx,Px]

3.13.4 - Auto-valores e Auto-vetores dos Operadores A semente mostrada na Figura - 3. 20 embora siga um padrão geométrico longitudinal, ela se estende para fora da projeção linear de um segmento de reta, ou seja, existe um comprimento excedente a esta projeção. Este excesso é o responsável pela descrição de estruturas irregulares que se estendem entre uma reta (com dimensão euclideana E =1) e um plano (com dimensão euclideana E = 2) por exemplo. Também podemos imaginar estruturas que se excedem entre um plano (com dimensão euclideana E = 2) e um sólido (com dimensão euclideana E = 3) por exemplo.

Fd(δ)= N(δ)δd

(3. 138)

onde Fd(δ) = L(δ), A(δ), V(δ) para d = 1,2,3 e N(δ) = (δ/δmáx)-D. Observe que: Fd(δmáx) = δmáxd. A metodologia da determinação da dimensão fractal sugeridas pelos fractais matemáticos é dada pela relação (11).

Fd(δk+1) = Fd(δk+1)(δk/δk+1)-Dδkd εk,k+1 = δk/δk+1 50

(3. 139)

3.14 - Referências bibliográficas ALVES, Lucas Máximo - Um novo principio de dissipação de energia para a fratura baseado na teoria fractal, In: Anais do 42o Cong. Bras. de Cerâmica, Poços de Caldas de 3 a 6 de Junho, 1998. Artigo publicado neste congresso ref.008/1 BESICOVITCH, 1935 HAUSDORFF, 1919 HERRMANN, Hans J. - “Growth: An Introduction”, In: On the Growth and Form” Fractal and Non-Fractal Patterns in Physics, Edited by H. Eugene Stanley and Nicole Ostrowsky NATO ASI Series, Series E: Applied Sciences N. 100 (1986), Proc. of the NATO Advanced Study Institute Ön Growth and Form”, Cargese, Corsiva, France June 27-July 6 1985. Copyright by Martinus Nighoff Publishers, Dordrecht, 1986. MANDELBROT, Benoit B, Fractal: form chance and dimension, W. H. Freeman and Company, San Francisco Cal-USA, 1977. MANDELBROT, Benoit B., The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman and Company, San Francisco - Cal-USA, New York 1982. MANDELBROT, Benoit B.; Dann E. Passoja & Alvin J. Paullay, Fractal character of fracture surfaces of metals, Nature (London), vol. 308 [5961], p. 721-722, 19 April, 1984. MANDELBROT, B. B., in: Dynamics of Fractal Surfaces, Edited by Family, Fereydoon. and Vicsék, Tamás, World Scientific, Singapore, p. 19-39. 1991. MANDELBROT, B; “Fractals in Nature”, 1994. TANAKA, M., “Fracture toughness and crack morphology in indentation fracture of brittle materials”, Journal of Materials Science, vol. 31. p. 749-755, 1996. SANDER, L. M. - “Theory of fractal growth process”, Kinetics of Aggregation and Gelation, F. Family, D. P. Landau (editors) © Elsevier Science Publishers B. V., p. 13-17, 1984.

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