INTRODUÇÃO A TEORIA FRACTAL

Capítulo - I INTRODUÇÃO SUMÁRIO 1. 1 – A natureza e a importância dos fractais............................................................................ 2 1.2 - Padrões de crescimento na natureza: da ordem ao caos. .................................................... 4 1.3 - Onde é possível encontrar fractais...................................................................................... 5 1.4 - A origem fenomenológica dos fractais na natureza ........................................................... 8 1.5 - Referências Bibliográficas ............................................................................................... 10

Capítulo - I INTRODUÇÃO Escrever um texto conciso e claro sobre a teoria fractal é uma tarefa que requer a paciência de um garimpeiro e a habilidade de um relojoeiro. Isto porque os textos fontes que existem sobre o assunto são muito fragmentadas, devido, talvez, a sua larga aplicabilidade nas ciências de uma forma geral. Contudo, todo o texto escrito neste e nos próximos capítulos estará voltado ao problema particular da fratura.

1. 1 – A natureza e a importância dos fractais A ciência ao longo dos anos, através do progresso tecnológico e da disseminação do conhecimento científico, tem contribuído para modificar o senso de observação da humanidade de uma forma geral. Os cientistas, são pessoas que tem a sua percepção mais aguçada e disciplinam o seu senso de observação através da informação e da pesquisa científica. Eles são capazes de perceber coisas, que ultrapassam ao senso comum da maioria das pessoas. Algumas das observações feitas pelo cientistas tem levado o homem a entender mais sobre a descrição geométrica dos objetos, aparentemente irregulares, presentes na natureza. O entendimento da forma geométrica destes objetos podem nos levar a entender os processos físicos e químicos muito úteis no desenvolvimento da ciência. Desde muito tempo, o homem sabia intuitivamente a diferença entre uma reta e uma curva, entre um quadrado e um círculo, entre um cubo e uma esfera. Mesmo não sabendo definir com precisão matemática, as diferenças geométricas são bem visíveis e com algum esforço é possível pedir a uma pessoa para descrever, através de uma lista de diferenças e 2

semelhanças, os dois objetos. Porém, com um pouco de informação científica sobre a descrição geométrica destas figuras, é possível tornar o seu senso de percepção mais aguçado e fazê-la distinguir entre duas delas, apenas com o conceito de razão e proporção, da qual ela verá que o número pi = 3,1415... tem um papel importante na descrição de figuras curvas por exemplo. Através deste tipo de descrição geométrica, Euclides foi o responsável pela sistematização do conhecimento das formas regulares construídas ou idealizadas pelo homem. Porém, as formas aparentemente irregulares encontradas na natureza, só a bem pouco tempo, é que tem recebido uma sistematização mais precisa. Benoit Mandelbrot e outros cientistas são os principais responsáveis por este trabalho. A alguns anos, Mandelbrot (1975), juntamente com outros cientistas, observaram que muitos outros objetos, estruturas e padrões de crescimento na natureza, tais como nuvens, orla marítima, formação de cristais de gelo, fraturas, etc, apresentam um tipo irregular de geometria, com propriedades de invariância por transformação de escala. Mandelbrot (1976), foi o primeiro a apontar em seu livro, a idéia de que estas figuras irregulares, encontradas na natureza, poderiam ser descritas por um novo tipo de geometria (não-euclidiana) cuja dimensão seria fracionária. Ele estabeleceu as principais propriedades desta nova descrição geométrica para estes objetos e os chamou de “fractais”, por causa da sua dimensão nãointeira. A palavra “fractal”, foi sugerida por Mandelbrot como sendo derivada do latim fractus que significa fração ou fragmento, ou ainda, significa irregular ou fragmentado, relativo ao verbo frangere que significa quebrar. Mandelbrot também foi o responsável pela criação de vários métodos de medida da dimensão fracionária estabelecida por esta nova geometria. Sendo assim, a sistematização do conhecimento geométrico de figuras regulares e da geometria capaz de descrever os sistemas simples na natureza, que faz parte do senso de observação das pessoas hoje em dia, foram feitas inicialmente por Euclides. E a sistematização do conhecimento geométrico de figuras irregulares e da geometria que descreve os padrões de crescimento e fenômenos complexos, foi feita por Benoit Mandelbrot. É possível, que assim como Euclides tornou aguçado o nosso senso comum, através do ensino da geometria euclidiana, com o passar dos anos, através da sistematização das formas geométricas não regulares na naturezas, percebidas por cientistas como Hausdorf, Besicovich, Mandelbrot, e outros, num futuro bem próximo estes cientistas, tornem-se responsáveis pelo aguçamento dos senso comum da humanidade que está por vir, e as pessoas passem a tratar as formas geométricas irregulares com mais naturalidade do que vemos hoje 3

em dia, não se surpreendendo mais, quando dizemos que um objeto possui dimensão fracionária, mudando inclusive a idéia comum que se tem de perfeição e ordem, como tem feito a teoria dos sistemas não-lineares, mais conhecida como teoria do caos, em relação ao pensamento científico clássico ou mais conservador.

1.2 - Padrões de crescimento na natureza: da ordem ao caos. A descrição de objetos e figuras regulares está baseada em conceitos geométricos tais como: simetrias, invariâncias etc, tendo como suporte a geometria euclidiana. O conceito de simetria é intuitivamente introduzido nos postulados de Euclides, na descrição destas figuras. Além do que, a idéia grega de perfeição e ordem, baseado nas simetrias das formas regulares, está intuitivamente embutida no seu pensamento. Porém, isto parece não ser o comportamento geral das formas encontradas na natureza. Embora se preserve a idéia de simetria, a maioria das construções geométricas realizadas pela natureza, são irregulares e as formas regulares fazem parte da exceção e não da regra. A natureza possui uma forma própria de construir objetos geométricos. Pois, assim como o homem é capaz de construir artificialmente, objetos, através de desenhos, moldagens, esculturas, etc, com padrões geométricos regulares e definidos, a natureza também possui seus próprios mecanismos de construção de objetos e padrões, os quais nós encontramos nas formações rochosas, nas árvores, nos relâmpagos, etc. Ela o faz, através do desencadeamento de fenômenos e processos físicos, químicos, biológicos, etc, que seguem leis bem definidas, cuja manipulação humana, pode ou não estar presente. Neste trabalho, procuraremos descrever a forma pela qual a natureza constrói seus padrões usando a fenomenologia da descrição fractal, para explicar a construção de objetos tais como trincas e outras estruturas ramificadas. Para o caso de padrões e formas construídas pelo desencadeamento de processos naturais, seguramente o fenômeno físico ou químico que gerou tal objeto, como uma superfície de fratura por exemplo, está estreitamente relacionado as propriedades físicas do meio e estas por sua vez, tem implicações nas suas propriedades geométricas dos padrões e formas. Pensando nisso, podemos tirar proveito da descrição geométrica e extrair informações do fenômeno que gerou tais padrões, além de um entendimento maior das suas propriedades físicas do meio. Ao longo dos anos, o homem tem aprendido a descrever as formas regulares através de teoremas matemáticos, os quais são úteis na descrição das propriedades físicas dos 4

objetos encontrados na natureza, como os cristais por exemplo. Porém, sabe-se que a natureza, não mantém válida a regra de construção de figuras regulares em todos os níveis de escala, e para isso, tem surgido uma nova forma de descrever padrões irregulares com o intuito de deduzir as suas propriedades físicas do meio e entender os processos que geram tais objetos, a partir de suas propriedades geométricas. Durante os séculos XVIII e XIX os cientistas procuraram entender vários fenômenos tomando como base a visão euclidiana da natureza através das leis de Newton da mecânica na qual ela está baseada. Eles conseguiram estabelecer por meio da própria mecânica, da termodinâmica e da mecânica estatística as condições válidas para que os sistemas atinjam a ordem e o equilíbrio. Até então, fenômenos que apresentavam uma certa desordem, ou eram aproximados por sistemas próximo ao equilíbrio (processos reversíveis), ou eram tratados do ponto de vista puramente estatístico. Pode-se dizer que estes dois séculos, foram os séculos dos sistemas ordenados. Porém no fim deste século XX, vários cientistas tem se preocupado com a descrição matemática dos sistemas desordenados, como por exemplo, padrões de crescimento ramificados que acontecem longe do equilíbrio termodinâmico além de outros. Situações de ordem como o arranjo cristalográfico dos átomos foram bem explicados, porém situações de total desordem como o estado vítreo parecem ainda esconder muitas informações das quais não podem ser tratadas pela leis clássicas da física do ponto de vista da geometria euclidiana. A base fenomenológica para esta descrição dos processos de crescimento dos padrões geométricos irregulares normalmente encontrados na natureza, é o estudo da dinâmica não-linear e a teoria do caos.

1.3 - Onde é possível encontrar fractais Durante as últimas décadas, tem sido largamente reconhecido pelos físicos que trabalham nas mais diversas áreas, que muitas das estruturas comuns em seus experimentos possuem um tipo especial de complexidade geométrica. Esta consciência foi fortemente formada devido a divulgação dos trabalhos de Benoit Mandelbrot (1977, 1979, 1982, 1988) que chamou a atenção para as propriedades geométricas particulares de tais objetos como: costa de continentes, galhos de árvores, ou superfícies de nuvens. Ele criou o nome fractal para estas formas complexas para expressar o fato que elas podem ser caracterizadas por uma dimensionalidade não inteira (fracionária). Com o desenvolvimento da pesquisa nesta direção 5

a lista de exemplos de fractais tem se tornado muito longa, e inclui estruturas desde agregados microscópicos até clusters de galáxias. Um campo importante de aplicação onde os fractais são observados é aquele dos fenômenos de crescimento longe do equilíbrio termodinâmico, os quais são comuns em muitos campos da ciência e tecnologia. Exemplos de tais processos incluem: o fenômeno da solidificação dendrítica em um meio subresfriado, fingering viscoso, onde as figuras que são formadas quando um fluido viscoso é injetado dentro de um outro mais viscoso ainda, e também a eletrodeposição de íons sobre um eletrodo além de muitos outros processos. A Figura - 1.1 demonstra a complexidade de possíveis padrões de crescimento sob uma grande variedade de condições experimentais. Acrescentando-se ao crescimento interfacial, agregações de partículas similares, representam uma outra importante classe de fenômenos de crescimento que produzem complicados objetos geométricos. A agregação toma lugar partícula por partícula, enquanto em outros casos (por exemplo durante a formação de aerogéis) os agregados, eles mesmos são também móveis e ligados uns com os outros para formar grandes clusters durante seus movimentos.

Figura - 1. 1. Exemplos de estruturas geométricas complexas observadas em vários experimentos de crescimento com interfaces instáveis. a), b), c) são três situações de fenômeno de cristalização; d) ,e), f) são exemplos de figering viscosos sob três condições diferentes; g), h), i) são três estruturas formadas na eletrodeposição de zinco. A dimensão fractal D encontrada para as estruturas mostradas na coluna do meio é próximo de ≈ 1.7. 6

Uma ampla classe de padrões de crescimento é caracterizado por uma estrutura ramificada e aberta conforme ilustrado por aquelas na coluna do meio da Figura - 1. 1. Tais objetos podem ser descritos em termos da geometria fractal. No presente caso, isto significa que as estruturas são, auto-similares (no senso estatístico) e o volume V(R) da região ligada pelas escalas das interfaces com o aumento do tamanho linear R do objeto é de uma forma não-trivial dado por:

V(R) ~ RD

(1. 1)

onde d-1 ≤ D ≤ d é tipicamente um número não inteiro chamado de dimensão fractal, e d é a dimensão do espaço euclidiano no qual o fractal está imerso. Naturalmente, para um objeto real (não-matemático) o escalonamento acima permanece somente para escalas de comprimentos entre uma escala inferior, εmin e superior de corte, εmax. Existe um número de razões para os recentes e rápidos desenvolvimentos na pesquisa de crescimento fractais. O interesse é grandemente motivado pelo fato de que os fenômenos de crescimento fractal estão estreitamente relacionados a muitos processos de importância prática. Aqui mencionamos somente alguns exemplos: a textura interna de ligas devido as estruturas dendríticas que se desenvolvem durante a solidificação destas ligas é grandemente responsável pela maioria de suas propriedades mecânicas. Uma outra área de aplicação porém secundária, é a reposição de óleo, onde a água bombeada para dentro do fundo de um poço, é usada para forçar o óleo fluir para os poços vizinhos. A eficiência deste método é influenciada pela estrutura fractal das figuras viscosas (turbulência em fluidos) correspondente a interface água-óleo. A evolução interna da física como uma disciplina, tem também dado lugar a um aumento no interesse da investigação de estruturas que crescem sob condições longe do equilíbrio. Em 1970 a maioria dos pesquisadores que trabalhavam no campo da mecânica estatística foram envolvidos com problemas relacionados a transição de fase em sistema em equilíbrio termodinâmico. Estes estudos levaram a muitas teorias importantes e métodos incluindo Monte Carlo, e a renormalização baseado na invariância por transformação de escala de sistemas termodinâmicos em seus pontos críticos. Desde que os fractais de crescimentos também são objetos invariantes por transformação de escala (esta propriedade é equivalente a auto-similaridade onde a parte é sempre semelhante ao todo), o conhecimento que tinha sido acumulado durante as 7

investigações nas pesquisas em transições de fase de segunda ordem (derivada segunda descontínua) tornou-se particularmente útil, dando lugar a um progresso na investigação de processos de crescimento em escala. Então os campos que envolvem fractais desenvolveramse rapidamente, tornando-se evidente que o escalonamento multifractal o qual é a generalização de um simples escalonamento representa uma característica importante de muitos fenômenos de crescimento.

1.4 - A origem fenomenológica dos fractais na natureza Antes de tudo, é preciso distinguir a forma dos objetos em sí, do processo físico em questão na formação de um determinado padrão. Por exemplo, do ponto de vista geométrico, figuras regulares são obtidas quando uma série de simetrias e relações de congruências são mantidas na construção da figura. Do ponto de vista físico, a regularidade ou a ordem está associado a vínculos externos que são impostos ao sistema, associados a situações de trabalho termodinâmico onde a energia é minimizada. Estas simetrias e relações de congruências podem estar matematicamente embutidas na descrição destes vínculos externos, de forma que o único caminho resultante para o sistema naquelas condições seja a regularidade e a ordem, descritos pela leis da física. Por outro lado, figuras e padrões irregulares podem ser obtidos quando uma série de simetrias e relações de congruências são quebradas, na construção de uma figura. E, do ponto de vista físico, situações irregulares aparecem quando não se impõe necessariamente vínculos externos aos fenômenos físicos em questão e/ou quando as situações consideradas são regidas por processos irreversíveis. Os fractais na natureza se originam em condições de instabilidades em um processo de crescimento (captação ou dissipação extrema de energia), dando origem a estruturas ramificadas, como um mecanismo dinâmico de minimização do transporte e maximização da energia captada ou dissipada, afim de dimensionar o processo dentro de um volume limitado. Como exemplo de fenômenos deste tipo temos os relâmpagos, a propagação de trincas em materiais, o crescimento das plantas e a geometria dos pulmões, etc. Para o caso tridimensional, onde um objeto fractal de volume limitado está imerso, este procura maximizar a sua área superficial; e no caso bidimensional onde um fractal de área limitada está imerso, este procura maximizar o seu perímetro, portanto 8

3D:V: limitado ↔ A → ∞ 2D:A: limitado ↔ P → ∞ Nos processos físicos de crescimento a dimensão fractal está diretamente relacionada aos expoentes críticos das funções que determinam o estado termodinâmico do objeto fractal, tais como: energia, temperatura, volume, calor específico. Numa solidificação [ALVES 1995] por exemplo, as condições de equilíbrio, nunca dão origem ao crescimento de uma nova fase, pois uma fase só passa a crescer em condições ligeiramente fora do equilíbrio. Considerando a conservação da massa, uma fase só cresce em detrimento da outra, e nestes casos, estados ligeiramente fora do equilíbrio podem ser aproximados por relações lineares de causa e efeito, cujo potencial é do tipo quadrático (parabólico), o que implica num equilíbrio estável e conseqüentemente num processo reversível, pois neste limite as forças são do tipo conservativas. Situações extremas, como no caso em que o empacotamentos dos átomos acontece longe do equilíbrio termodinâmico, a variação da entropia se dá, de forma que as instabilidades interfaciais, se repetem em escalas cada vez menores, como por exemplo no crescimento dendrítico, onde as leis que regem este fenômeno se mantém invariantes em escalas, e podem ser descritas pela propriedade de autosimilaridade da geometria fractal, cuja condições de homogeneidade são escalonáveis por uma lei de potência do tipo:

F(ε) = ε-D

(1.2)

onde F(ε) é alguma propriedade geométrica do sistema que dependa da escala e ε é um fator de transformação de escala. Considerando-se a transição da ordem ao caos absoluto, nos fenômenos físicos, existem certos estágios desta transição que se dão de forma escalonáveis, ou seja, determinadas características são preservadas independentemente da escala de observação. Portanto, a implicação direta da teoria dinâmica não-linear envolvendo padrões de crescimento, sobre a interpretação dos fenômenos físicos, diz respeito a idéia de que, a natureza através de regras de escalonamento, possui leis físicas que são invariantes por transformação de escala, ou seja, existem leis que são universais desde o macro até o microcosmo, como por exemplo, as leis que descrevem a aglomeração de partículas. Do ponto de vista fenomenológico, o calor liberado ou o desprendimento da energia para a formação de uma fase sólida, num processo de solidificação, se iniciará na 9

maior escala quando a condição de estabilidade de uma interface plana (condição de equilíbrio) é ameaçada pela retirada rápida do calor através de um choque térmico (ou por um resfriamento rápido) e se extinguirá na menor escala, quando todo o fluxo de calor se esgotar, não ameaçando mais as condições de solidificação da menor ramificação da dendrita. Desta forma, nós vemos que os padrões ramificados, podem ser explicados pela necessidade que o corpo tem de aliviar as tensões (térmicas ou mecânicas) a ele imposta, ou liberar a energia armazenada, em situações de instabilidade da forma mais eficiente possível. Desta forma, a caracterização de estruturas irregulares, fornecem a vantagem se fazer previsões com fenômenos que aparentemente não apresentam nenhuma ordem mensurável, o que hoje em dia é chamado de caos determinístico. Pois como se sabe, entre a perfeita ordem e o caos absoluto, existem estados de desordem, que ainda poder ser descritos por teorias analíticas, como a sugerida pela teoria dinâmica que envolve o caos e a geometria fractal. Esta importante área da física surgida nas últimas décadas, tem encontrado larga aplicação em fenômenos estatísticos como as propagação de trincas e a geração de superfícies de fratura, além de outros. Concluímos portanto, que a descrição de objetos regulares encontrados na natureza, seguem idéias intuitivas de ordem e simetrias que nem sempre permanecem na descrição dos padrões irregulares. A mecânica newtoniana por exemplo, foi construída basicamente sobre os princípios de ordem e simetria, análogos a aqueles encontrados na geometria euclidiana. Assim, é preciso revisar os conceitos clássicos com base na nova visão da geometria fractal para se abranger novos fenômenos que até então eram delegados a uma descrição puramente estatística, como é o caso da geometria descrita por uma fratura.

1.5 - Referências Bibliográficas ALVES, Lucas Máximo. “Estudo da solidificação de ligas de Silício-Germânio para aplicações termoelétricas”, Dissertação de Mestrado FCM-IFSC-USP-1995. HERRMANN, Hans J. - “Growth: An Introduction”, In: On the Growth and Form” Fractal and Non-Fractal Patterns in Physics, Edited by H. Eugene Stanley and Nicole Ostrowsky NATO ASI Series, Series E: Applied Sciences N. 100 (1986), Proc. of the NATO Advanced Study Institute Ön Growth and Form”, Cargese, Corsiva, France June 27-July 6 1985. Copyright by Martinus Nighoff Publishers, Dordrecht, 1986. MANDELBROT, Benoit B. 1975 10

MANDELBROT, Benoit B, Fractal: form chance and dimension, Freeman, San Francisco, 1977. MANDELBROT, Benoit B. 1978 MANDELBROT, Benoit B., The Fractal Geometry of Nature, Freeman, San Francisco - New York 1982. MANDELBROT, B; “Fractals in Nature”, 1994. MANDELBROT, B. B., in: Dynamics of Fractal Surfaces, Edited by Family, Fereydoon. and Vicsék, Tamás, World Scientific, Singapore, p. 19-39. 1991. STANLEY, Eugene - “Form: an Introduction to Self-Similarity and Fractal Behavior”, In: On the Growth and Form” Fractal and Non-Fractal Patterns in Physics, Edited by H. Eugene Stanley and Nicole Ostrowsky NATO ASI Series, Series E: Applied Sciences N. 100 (1986), Proc. of the NATO Advanced Study Institute Ön Growth and Form”, Cargese, Corsiva, France, June 27-July 6, Copyright by Martinus Nighoff Publishers, Dordrecht; p. 21-53, 1985. VICSÉK, Tamás, Fractal Growth, World Scientific, Singapore, (1991)

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