Limites, Derivadas e Vetores

1. Limite Definição: o limite de uma função f(x) quando seu argumento x tende a x0 é o valor L para o qual a função se aproxima quando x se aproxima de x0 (note que a função não precisa estar definida em x0). Se f(x) está definida em x0 e seu gráfico não apresenta descontinuidades nem oscilações muito fortes, é natural escrever lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 ≡ 𝑓(𝑥0 )

𝑥 → 𝑥0

Ou seja, o limite é igual ao valor da função em x0. Exemplos: 1.1) Calcule lim𝑥 → 1 𝑥 2 + 2 Queremos saber o valor de f(x) = 𝑥 2 + 2 quando x tende a 1. Como essa função é sempre contínua, então basta substituir a variável x:

lim 𝑥 2 + 2 = (1)2 + 2 = 3

𝑥→1

1.2) Calcule lim𝑥 → 1+ 4𝑥 3 − 7𝑥 2 + 7𝑥 + 1 Como no exemplo 1.1, a função é contínua. A diferença é que se pede o valor do limite quando x tente a 1 pela direita. Nesse caso só precisamos substituir a variável x: lim 4𝑥 3 − 7𝑥 2 + 7𝑥 + 1 = 4(1) − 7(1) + 7(1) + 1 = 5

𝑥 → 1+

1.3) Calcule lim𝑥 → 0

𝑥 2 −𝑥 𝑥

Nesse tipo de função, tente simplificar!

𝑥2 − 𝑥 𝑥(𝑥 − 1) lim = lim = lim 𝑥 − 1 = 0 − 1 = −1 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥

Em alguns casos, no entanto, a função não é bem definida e pode haver problemas sérios. Se você fizer uma tabela com os valores da função acima, apesar da função não estar definida para x = 0, dá para desconfiar que à medida que nos aproximamos de x = 0. Física para Ciências Biológicas

Anderson Ferreira Sepulveda

Para lidar com situações como essa criou-se uma definição de limite onde o que acontece exatamente no ponto em que se deseja calcular o limite não é importante. Importa apenas o que ocorre nas vizinhanças desse ponto. Isso permite o cancelamento dos fatores comuns no numerador e no denominador como acabamos de fazer. 1

1.4) Calcule lim𝑡 → 0 𝑡

A função é descontínua em t = 0. Mas olhe nas vizinhanças desse ponto. Quando t tende a 0 à esquerda, acontece que lim−

1 = −∞ 𝑡

lim+

1 = +∞ 𝑡

𝑡→0

E quando t tende a 0 à direita

𝑡→0

Por que? Faça um gráfico de f(t) e verá que isso é verdade! 1.5) Seja função 𝑓(𝑥) = {

+1 −1

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 < 1

Que pode ser representada no gráfico abaixo:

Quando x tende a 1 o limite é claramente indefinido. Mas se aproximarmos a x = 1 tendendo à esquerda temos que f(x) tende a f(1) = -1; e se x = 1 tendendo à direita temos que f(1) = +1.

Física para Ciências Biológicas

Anderson Ferreira Sepulveda

2. Derivadas

Tecnicamente, a derivada de uma função não passa de um caso especial de limite. A velocidade instantânea (que é a derivada da posição em relação ao tempo) corresponde ao limite da velocidade média para um intervalo de tempo muito pequeno (que tende a se anular). Para calcular a derivada de uma função f(x) num certo ponto x0, nós inicialmente damos um acréscimo ∆x em x0 e calculamos a diferença ∆𝑓 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) E a razão Δ𝑓 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) = Δ𝑥 ∆𝑥

A derivada no ponto x0 é dada pelo limite

𝑑𝑓 ∆𝑓 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓 ′ = lim = lim ∆𝑥 →0 ∆𝑥 →0 𝑑𝑥 ∆𝑥 ∆𝑥

Fazendo o limite acima, temos a relação das derivadas mais comuns:

Tabela 2.1: Algumas derivadas fundamentais 𝒅𝒇⁄𝒅𝒙 zero 𝑛𝑥 𝑛−1 cos x -sen x 𝑒𝑥 1/x

𝒇(𝒙) constante 𝑥𝑛 sen x cos x 𝑒𝑥 ln x

Relacionando algumas propriedades, que simplificam o cálculo das derivadas: a) Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑔(𝑥), onde c é uma constante e 𝑔(𝑥) é outra função, temos 𝑑𝑓 𝑑𝑔 =𝑐 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Física para Ciências Biológicas

Anderson Ferreira Sepulveda

b) Dada a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑓1 (𝑥) + 𝑏𝑓2 (𝑥), onde 𝑓1 (𝑥) e 𝑓2 (𝑥) são funções e 𝑎 e 𝑏 são constantes, temos 𝑑𝑓 𝑑𝑓1 𝑑𝑓2 =𝑎 +𝑏 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 c) Dado o produto de funções, 𝑓(𝑥) = 𝑓1 (𝑥) 𝑓2 (𝑥), temos 𝑑𝑓 𝑑𝑓1 𝑑𝑓2 = 𝑓2 + 𝑓1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 d) Dado o quociente de duas funções, 𝑓(𝑥) = 𝑓1 (𝑥)/𝑓2 (𝑥), temos 𝑑𝑓 1 𝑑𝑓1 𝑑𝑓2 = 2[ 𝑓2 − 𝑓1 ] 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑓2 𝑑𝑥 e) Muitas vezes temos que calcular a derivada de uma “função de função”. Vamos considerar a função f = f(g), onde g = g(x). A derivada é dada pela “regra da cadeira”, 𝑑𝑓 𝑑𝑓 𝑑𝑔 = 𝑑𝑥 𝑑𝑔 𝑑𝑥 Exemplos:

2.1) Calcule a derivada de 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 5 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶, sendo A, B e C números reais. Lembrando a Tabela 1 e as propriedades (a) e (b): 𝑑𝑓 = 5𝐴𝑥 4 + 2𝐵𝑥 𝑑𝑥

2.2) Agora calcule a derivada de 𝑔(𝑥) = (𝐴𝑥 5 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶)2 Se você observar, 𝑔(𝑥) = [𝑓(𝑥)]2 . Logo, podemos usar a regra da cadeia: 𝑑𝑔 𝑑𝑔 𝑑𝑓 = 𝑑𝑥 𝑑𝑓 𝑑𝑥 Recomendo fazer por partes aqui, para não se perder! 𝑑𝑔 = 2𝑓(𝑥) = 2(𝐴𝑥 5 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶) 𝑑𝑓 𝑑𝑓 = 5𝐴𝑥 4 + 2𝐵𝑥 𝑑𝑥 Então, 𝑑𝑔 = 2(𝐴𝑥 5 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶)(5𝐴𝑥 4 + 2𝐵𝑥) 𝑑𝑥

Física para Ciências Biológicas

Anderson Ferreira Sepulveda

2.3) Calcule a derivada de ℎ(𝑡) = (𝑡 + 1)2 (𝑡 2 + 2𝑡)−3 Basta fazer ℎ(𝑡) = ℎ1 (𝑡)ℎ2 (𝑡), com ℎ1 (𝑡) = (𝑡 + 1)2 e ℎ2 (𝑡) = (𝑡 2 + 2𝑡)−3 . Lembrando a propriedade (c) e a regra da cadeia 𝑑ℎ 𝑑ℎ1 𝑑ℎ2 = ℎ2 + ℎ1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Então, 𝑑ℎ1 = 2(𝑡 + 1) 𝑑𝑥 𝑑ℎ2 = −3(𝑡 2 + 2𝑡)−4 (2𝑡 + 2) 𝑑𝑥 De onde obtemos 𝑑ℎ = 2(𝑡 + 1)(𝑡 2 + 2𝑡)−3 + (𝑡 + 1)2 [−3(𝑡 2 + 2𝑡)−4 (2𝑡 + 2)] 𝑑𝑥

2.4) Derive 𝑝(𝜃) = 3𝑠𝑒𝑛(2𝜃) Se fizermos 𝑘(𝜃) = 2𝜃, ou seja, 𝑝(𝑘) = 3𝑠𝑒𝑛(𝑘), então podemos usar a regra da cadeia: 𝑑𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑘 = 𝑑𝜃 𝑑𝑘 𝑑𝜃 Fazendo por partes: 𝑑𝑝 = 3cos(𝑘) = 3cos(2𝜃) 𝑑𝑘 𝑑𝑘 =2 𝑑𝜃 Logo, 𝑑𝑝 = 6cos(2𝜃) 𝑑𝜃

Definição: Seja f definida em um intervalo e sejam x1 e x2 pontos do intervalo - f é crescente no intervalo se f(x1) < f(x2) para x1 < x2 - f é decrescente no intervalo se f(x1) > f(x2) para x1 < x2 - f é constante no intervalo se f(x1) = f(x2) para todos pontos x1 e x2

Física para Ciências Biológicas

Anderson Ferreira Sepulveda

Pensando em derivadas, sendo f função contínua em um intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b): - Se f’(x) > 0 para todo valor de x em (a, b), então f é crescente em [a, b] - Se f’(x) < 0 para todo valor de x em (a, b), então f é decrescente em [a, b] - Se f’(x) = 0 para todo valor de x em (a, b), então f é constante em [a, b]

Exemplo:

2.5) Ache os intervalos nos quais a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 são crescentes ou decrescentes. Se derivarmos a função: 𝑑𝑓 = 𝑓 ′ = 2𝑥 − 4 = 2(𝑥 − 2) 𝑑𝑥 Tem- se que 𝑓′(𝑥) < 0 se −∞ < 𝑥 < 2 𝑓′(𝑥) > 0 se 2 < 𝑥 < +∞ Como f é contínua em x = 2, então f é decrescente em (-∞, 2] e f é crescente em [2, +∞).

Definição: Se f for diferenciável em um intervalo aberto I, então f é classificada como sendo côncava para cima se f’ for crescente em I, e côncava para baixo se f’ for decrescente em I. Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto I: - Se f’’(x) > 0 em I, então f tem a concavidade para cima em I. - Se f’’(x) < 0 em I, então f tem a concavidade para baixo em I. Exemplo:

2.6) Ache os intervalos abertos nos quais a função 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 tem a concavidade para cima e para baixo: Calcule as duas primeiras derivadas: 𝑓′ =

Física para Ciências Biológicas

𝑑𝑓 = 3𝑥 2 − 6𝑥 𝑑𝑥

Anderson Ferreira Sepulveda

𝑓 ′′ =

𝑑2 𝑓 = 6𝑥 − 6 = 6(𝑥 − 1) 𝑑𝑥 2

Como 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 se x > 1 e 𝑓 ′′ (𝑥) < 0 se x < 1, concluímos que - f é côncava para cima em (1, +∞) - f é côncava para baixo em (-∞, 1) Experimente fazer o gráfico!

Definição: Uma função f se diz ter um máximo relativo em x0 se houver um intervalo aberto contendo x0, no qual f(x0) é o maior valor, isto é, f(x0) ≥ f(x) para todo x no intervalo. Analogamente, se diz que f tem um mínimo relativo em x0 se houver um intervalo aberto contendo x0, no qual f(x0) é o menos valor, isto é, f(x0) ≤ f(x) para todo x no intervalo. Quando f tiver um máximo ou um mínimo relativo em x0, se diz que f tem um extremo relativo em x0. Se uma função f tiver extremos relativos, então eles ocorrem ou em pontos onde f’(x) = 0 ou em pontos onde não se pode derivar (como em picos ou onde a função não é contínua). O ponto onde f’(x) = 0 é chamado de ponto crítico ou ponto estacionário. Há um teste para extremos relativos chamado Teste da Derivada Segunda. Baseia-se na observação geométrica de que, num máximo relativo, a função f é côncava para baixo num intervalo aberto, contendo o ponto critico de f, enquanto que, num mínimo relativo, ela é côncava para cima. Supondo que f seja duas vezes diferenciável em um ponto de x0. - Se f’(x0) = 0 e f’’(x0) > 0, então f tem um x0 um mínimo relativo. - Se f’(x0) = 0 e f’’(x0) < 0, então f tem um x0 um máximo relativo. - Se f’(x0) = 0 e f’’(x0) = 0, então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo ou nenhum dos dois em x0. Exemplos:

2.7) Localize os extremos relativos de 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 2 . Fazendo as duas primeiras derivadas: 𝑓′ =

𝑑𝑓 = 4𝑥 3 − 4𝑥 = 4𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 𝑓 ′′ =

Física para Ciências Biológicas

𝑑2 𝑓 = 12𝑥 2 − 4 𝑑𝑥 2

Anderson Ferreira Sepulveda

Resolvendo 𝑓 ′ (𝑥) = 0 resulta que os pontos críticos são x = 0, x = 1 e x = -1. Calculando nestes 𝑓 ′′, temos 𝑓 ′′ (0) = −4 < 0 𝑓 ′′ (1) = 8 > 0 𝑓 ′′ (−1) = 8 > 0 Logo, há um máximo relativo em x = 0 e mínimos relativos em x = 1 e x = -1. Faça o gráfico de f para provar!

2.8) Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100 m, cuja área é a maior possível. Sejam x = comprimento do retângulo (m) y = largura do retângulo (m) A = área do retângulo (m2) Então A = xy. Como o perímetro do retângulo é 100 m, as variáveis x e y estão relacionadas pela equação 2x + 2y = 100 ou y = 50 – x Combinando as duas equações acima, temos A = x(50 – x) = 50x – x2 Como x representa um comprimento, este não pode ser negativo e como os dois lados de comprimento x não podem ter um comprimento combinado que ultrapasse o perímetro de 100 m, então a variável x está restrita ao intervalo 0 ≤ x ≤ 50. Assim sendo, o problema ficou reduzido a encontrar o valor (ou valores) de x em [0, 50] para os quais A é máxima. Como A é um polinômio em x, é continua em [0, 50] e o máximo ocorre nos extremos deste intervalo ou em um ponto critico. Derivando 𝑑𝐴 = 50 − 2𝑥 𝑑𝑥 Se fizermos dA/dx = 0 obtemos 50 – 2x = 0 ⇒ x = 25

Física para Ciências Biológicas

Anderson Ferreira Sepulveda

Quando x = 25 m e y = 25 m, temos o comprimento e a largura que resultam na área máxima A = 625 m2.

Física para Ciências Biológicas

Anderson Ferreira Sepulveda

3. Vetores Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente identificadas, precisam, além da magnitude, da direção e do sentido. Estas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores. Geometricamente, vetores são representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos de retas com um sentido de percurso) no plano ou no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado. Nessa apostila, os vetores estão negrito. Quando for escrever, nunca se esqueça de colocar flechinha em cima da letra! A soma de dois vetores A e B é determinada da seguinte forma: - tome um segmento orientado que representa A; - tome um segmento orientado que representa, com origem na extremidade de A; - o vetor A + B é representado pelo segmento orientado que vai da origem de A até a extremidade de B. B A A

B

Da figura acima, deduz-se que a soma de vetores é comutativa, ou seja, A + B = B +A. Definimos a diferença B menos A, por B – A = B + (-A). Assim, a diferença A – B é um vetor que somado a B dá A, portanto ele vai da extremidade de B até a extremidade de A, desde que A e B estejam representados por segmentos orientados com a mesma origem.

A -B -B

A B

A soma de dois vetores A = (a1, a2) e B = (b1, b2) é dada por A + B = (a1 + b1, a2 + b2)

Física para Ciências Biológicas

Anderson Ferreira Sepulveda

A multiplicação de um vetor V por um escalar α, αV, é determinada pelo vetor que possui as seguintes características: (a) é o vetor nulo, se α = 0 ou V = 0̅ , (b) caso contrário, - tem comprimento |α| vezes o comprimento de V, - a direção é a mesma de V (neste caso, dizemos que eles são paralelos), - tem o mesmo sentido de V, se α > 0 e tem o sentido contrário ao de V, se α < 0. A multiplicação de um vetor V = (v1, v2) por um escalar α é dada por αV = (αv1, αv2) Exemplo:

3.1) Se A = (1, -2, 3), B = (2, 4, -1), calcule A + B e C = 3A A + B = (1 + 2, -2 + 4, 3 + (-1) = (3, 2, 2) Como α = 3, temos C = 3A = (3(1), 3(-2), 3(3)) = (3, -6, 9)

O comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. O comprimento do vetor V também é chamado de norma de V e é denotado(a) por ‖𝑉‖. Pelo Teorema de Pitágoras que a norma de um vetor pode ser calculada usando as suas componentes, por ‖𝑉‖ = √𝑣12 + 𝑣22 No caso em que V = (v1, v2) é um vetor no plano (duas dimensões), e por ‖𝑉‖ = √𝑣12 + 𝑣22 + 𝑣32 No caso em que V = (v1, v2, v3) é um vetor no espaço (três dimensões). Um vetor de norma igual a 1 é chamado de vetor unitário. Dado um vetor V não nulo, o vetor 𝑼= (

1 )𝑽 ‖𝑉‖

é um vetor unitário na direção V, pois ‖𝑈‖ = |

Física para Ciências Biológicas

1 | ‖𝑉‖ = 1 ‖𝑉‖ Anderson Ferreira Sepulveda

Exemplo: 3.2) Um vetor unitário na direção do vetor V = (1, -2, 3) é o vetor 1 1 1 −2 3 𝑼= ( )𝑽 = ( ) (1, −2, 3) = ( , , ) ‖𝑉‖ √14 √14 √14 √14

Física para Ciências Biológicas

Anderson Ferreira Sepulveda