Lista de Exercícios Resolvida - Convolução

Lista de Exercício

Docente: Fabiano Poderoso Disciplina: Análise de sinais e Sistemas Alunos: Guilherme, Mabelle C. Marinho da Rocha, Ronaldo Nascimento dos Santos. Vinícius Marinho Silva

Vitória da Conquista, Janeiro 2013.

Problemas 2.2 Avalie as somas de convolução de tempo discreto dadas abaixo: a) y[n]  u[n]  u[n  3] b) y[n]  2 n.u[n  2] * u[n  3]

Letra a: y[n]  u[n]  u[n  3] x[k ]  u[n] h[k ]  u[n  3] 

y[n] 

 x[k ].h[n  k ]

k  

n3 0

n  3; y[3]  1.1  1

n  3,

n  4; y[4]  1.  1.1  2 n  5; y[5]  1  1  1.1  3

y[ n]  0

nx

Logo:

y[ x]  x  2 y[n]  (n  2).u[n  2]

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Letra b :

y[n]  2 n .u[n  2] * u[n  3] x[k ]  2 n u[n  2] h[k ]  [n  3] y[n] 



 x[k ].h[n  k ]

k  

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

n3 2 n5 para n  0; k  3 n  1; k  2 n  2; k  1 n5 y[n] 



 x[k ].h[n  k ]

k  

y[n] 

l  k

n 3

2

k

k  

k  





a

a b





l

a

k  n3

1 

l  3 n

 1

al 3 n



1 y[n]   2     l  3 n  2  1   2 y[n]    1 2

l

b  3 n

l

3 n

n

Logo:

1

 1  1   1  1 y[n]           8  2   2  4

2n

2.5 ) Avalie as de integrais de convolução de tempo contínuo apresentadas abaixo: a) y(t )  u(t  1) * u(t  2) b) y(t )  e2t u(t ) * u(t  2)

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Letra a:

y (t )  u (t  1) * u (t  2) x(t )  u (t  1) h(t )  u (t  2) y (t )  h(t ) * x(t ) 

y (t ) 

 x .ht   d

 

y (t )   u (  1).u t  2   d 



y (t )   u (  1).u (  2)d  

y (0)   0d  0, t  1

 t2 t  2  1 t 1



t 2

y (t )   1d  t  2  1 1

Logo:

y(t )  t  1, t  1

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Letra b:

y (t )  e 2t u (t ) * u (t  2) x(t )  e´2t h(t )  u (t  2) y (t )  x(t ) * h(t ) y (t ) 









 x( ).h(t   )d 

 x( )u (t  2   )d

t20

 t2

t  2

t20 t  2



y (t ) 

 x( ).h(t   )d

 

y (0) 

 0d  0, t  2



t 2

y (t ) 

e

 2t

.1d

0





1 1 y (t )   e  2t / t0 2   e  2t  2   1 2 2

Logo:

y (t ) 





1 1  e 2t  2  , t  2 2

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

2.11Uma interconexão de sistemas LTI é descrita na figura P2.11. As respostas ao impulso n

1 são h1    (u[n  2]  u[n  3]), h2 [n]   [n], h3 [n]  u[n  1]. Admitamos que a reposta 2 impulso do sistema global de x[n] até y[n] seja denotada como h[n] .

ao

a) Expresse h[n] em termos de h1 [n] , h2 [n] , h3 [n] . b) Avalie h[n] usando os resultados de (a). Nas parteas (c)-(e) determine se o sistema corresponde a cada resposta ao impulso é (i) estável, (ii) causal, e (iii)sem memória. c) h1 [n]

d) h2 [n] e) h3 [n]

Letra a:

y[n]  x[n] * h[n]

Logo:

h[n]  h1[n] * (h1[n]  h3[n])

Letra b: h4 [n]  (h2 [n] * h3 [3])   [n]  u[n  1]  u[n] n

1 h[n]  h1 [n] * h4 [n]    u[n  2]  u[n  3] * u[n] 2 n

1 f [n]    u[n  2]  u[n  3] 2 g[n]  u[n] z[n]  f [n] * g[n] z[n] 



 f [n].g[n  k ]

k  

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

n  2, 1 h[n]     k  2 2  n

h[n]  0

Logo:

 2  n  3,

k

Letra c: i) n



1 h1[n]    .u[n  2]  u[n  3],  2  k   estável ii ) h1[n]  0, n  0 não _ causal iii ) h1[n]  k [n] dinâmico

Letra d:

h2 [ n]   [ n] i) 

 h [ n]  1

k  

2

estável ii ) h2 [ n]  0, n  0 causal iii ) h2 [ n]  k [ n] instâneo Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Letra e: h3 [n]  u[n  1] i) 

 h [ n ]  ,

k  

3

não _ estável

ii ) h3 [n]  0, n  0 causal iii ) h3 [n]  k [n] dinâmico

2.12 Para cada resposta ao impulso listada abaixo, determine se o sistema correspondente é (i) sem memória, (ii) causal, (iii) estável. a) h(t )  e

2 t

2n g) h[n]  e u[n  1]

2t b) h(t )  e u(t  1)

h) cos( 1  .n){u[n]  u[n  10]}

c) h(t )  u(t  1)  2u(t  1)

i) h[n]  2u[n]  2u[n  1]

d) h(t )  3 (t )

j) h[n]  sen( 1  .n)

e) h(t )  cos( .t )u(t )

k) h[n]   [n]  sen( .n)

8

2

n f) h[n]  2 u[n]

Letra a:

h(t )  e

2 t

i )h(t )  k (t ) dinâmico ii ) h(t )  0, t  0 não _ causal iii ) 

h(t ) 

 h(t ) dt  



estável Letra b:

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

h(t )  e 2t u (t  1) i) dinâmico ii ) 

 ht dt  



não _ estável iii ) h[t ]  0, t  0 causal

Letra c:

h(t )  u (t  1)  2u (t  1) i) dinâmico ii ) 

 ht dt  



não _ estável iii ) h[t ]  0 não _ causal

Letra d:

h(t )  3 (t ) i) h(t )  0, t  0 instân tan io ii ) h(t )  0, t  0 causal iii ) 

 h(t )dt  1( )



estável

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Letra f:

h[n]  2 n u[ n] i) h[n]  0, n  0 não _ causal ii ) 



 h[n]   2 

k

2

k  

iii ) h[n]  0, n  0 dinâmico

Letra h:

h[n]  cos( 1  .n){u[n]  u[n  10]} 8 i) h[n]  0, 0  n  10 dinãmico ii ) 

 h[n]   

estável iii ) h[n]  0, n  0 causal Letra i:

h[n]  2u[n]  2u[n  1] i) h[n]  0, n  0 causal ii ) 

 h[n]   

estável iii ) instâ tan io Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Letra j:

h[n]  sen( 1  .n) 2 i )h[n]  0, n  0 não _ causal ii ) 

 h[n]   

não _ estável iii ) h[n]  0, n  0 dinâmico

Letra k:

h[n]   [n]  sen( .n) i) h[n]  0, n  0 causal ii ) 

 h[n]   

estável iii ) instân tan io

2.21)Determine a saída do sistma descrita pelas seguintes equações diferenciais com entrada e condições iniciais conforme especificado:

a)

d y (t )  10 y (t )  2 x(t ), dt

y(0)  1, x(t )  u(t )

b)

d2 d d y (t )  5 y (t )  4 y (t )  x(t ), 2 dt dt dt

y(0)  0,

d y (t ) / t 0  1, dt

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

x(t )  e 2t u(t )

c)

d2 d y (t )  3 y (t )  2 y (t )  2 x(t ), 2 dt dt

y(0)  1,

d y (t ) / t 0  1, dt

x(t )  cos(t )u(t )

d)

d2 d y (t )  y (t )  2 x(t ), y(0)  1, 2 dt dt

d y (t ) / t 0  1, dt

x(t )  2e t u(t )

Letra a:

d y (t )  10 y (t )  2 x(t ), dt

Solução homogênea:

d y (t )  10 y (t )  0 dt r  10  0

Solução particular:

x(t )  2u (t ) y p (t )  k .u (t ) y 'p  0

r  10 y h (t )  A.e 10t

Substituindo na equação:

0  10[k .u (t )]  2u (t ) k

2u (t ) 1  10u (t ) 5

Solução geral:

y (t )  A.e 10t  1 y ( 0)  1  A  1 A 4

5

5

5

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Logo:

y (t ) 

4 10t 1 e  ,t  0 5 5

Letra b:

d2 d d y (t )  5 y (t )  4 y (t )  x(t ) 2 dt dt dt

Solução homogênea: 2

d d y (t )  5 y (t )  4 y (t )  0 2 dt dt

Solução Particular:

x(t )  2 2t y p (t )  ke 2t

r 2  5r  4  0   25  16  9 r1 

r2 

53  1 2 53  4 2

y h (t )  c1e  4t  c 2 e t

y ' p (t )  2ke 2t y '' p (t )  4ke 2t 4ke 2t  5.(2ke 2t )  4ke 2t  2ke 2t 4ke 2t  10ke 2t  4ke 2t  2ke 2t k .e  2t (4  10  4)  2ke 2t k

 2ke 2t 1  2ke 2t

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Solução geral:

y (t )  y p (t )  y h (t ) y (t )  e  2t  c1e  4t  c 2 e t y ( 0)  0 0  1  c1  c 2 c1  c 2  1 y ' (t )  2e  2t  4c1e  4t  c 2 e t y ' ( 0)  1 1  2  4c1  c 2 c2   1 c1   2

3

3 t

Logo:

y(t )  e 2t  2 e 4t  1 , t  0 3 3

Letra c:

d2 d y (t )  3 y (t )  2 y (t )  2 x(t ) 2 dt dt Solução homogênea:

d2 d y (t )  3 y (t )  2 y (t )  0 2 dt dt r 2  3r  2  0   98 1

Solução Particular (I):

x(t )  2 cos(t ).u (t ) y p (t )  A cos(t )  Bsen (t ) y ' p (t )   Asen (t )  B cos(t ) y '' p (t )   A cos(t )  Bsen (t )

 3 1  1 2  3 1 r2   2 2

r1 

y h (t )  c1e t  c 2 e  2t

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Solução particular:

 A cos(t )  Bsen (t )  3 Asen (t )  3B cot(t )  A cos(t )  2 Bsen (t )  2 cos(t ) ( A  3B  2 A). cos(t )  ( B  3 A  2 B) sen(t )  2 cos(t ) A  3B  2  3A  B  0 B  3A A  9A  2 A 1 5 B3 5

Solução geral:

y (t )  1 cos(t )  3 sen(t )  c1e t  c 2 e 2t 5 5 y (0)  1  1  1  c1  c 2 5

c1 

6  c2 5

y ' ( 0)  1 1 3 y ' (t )   sent (t )  cos(t )  c1e t  2c 2 e  2t 5 5 3 y ' (0)   c1  2c 2  1 5 2 c1    2c 2 5 2 6   2c 2    c 2 5 5 4 c2  5 c1  2

Logo:

y(t )  1 cos(t )  3 sen(t )  2e t  4 e 2t , t  0 5 5 5

Letra d:

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

d2 d y (t )  y (t )  2 x(t )  0 2 dt dt Solução homogênea:

Solução particular:

x(t )  6e  t

r 2 1  0 r  1

y p (t )  ket y ' (t )   ket

y h (t )  c1 cos(t )  c2 sen(t )

y ' ' p (t )  ket ket  ket  6e t 2(ket )  6e t k

 6e  t  3 2ket

y p (t )  3e t Solução geral:

y (t )  y h (t )  y p (t ) y (t )  c1 cos(t )  c 2 sen(t )  3e t y ' (t )  c1 sen(t )  c 2 cos(t )  3e t y (0)  1  c1  3 c1  2 y '0)  1  c 2  3 c 2  2

Logo:

2 cos(t )  2sen(t )  3et , t  0

2.22 Determine a saída dos sistemas descritos pelas seguintes equações de diferenças com entrada e condições iniciais conforme especificado:

a)

y[n] 

1 y[n  1]  2 x[n], 2

n

1 y[1]  3, x[n]  2   u[n]  2

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

b)

y[n] 

1 y[n  2]  x[n  1], y[1]  1, 9

y[2]  0, x[n]  u[n]

c)

y[n] 

1 1 y[n  1]  y[n  2]  x[n]  x[n  1], y[1]  2, y[2]  1, 4 8

x[n]  2 n u[n]

Letra a:

y[n] 

1 y[n  1]  2 x[n] 2

Solução homogênea:

y[n] 

1 y[n  1]  0 2

Solução particular:

 1 x[n]  4.    2

n

 1 y p [ n]  k     2

r1 0 2 r1 2 n

1 y h [n]  A  , n 2

n

n

n 1

n

n

1  1  1 k    k   2  2  2

 1  4.    2

1  1  1  1 k     k    .   2  2  2  2 kk 4 2k  4 k2 n

 1 y p [n]  2.   , n  0  2

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

1

n

 1  4.    2

n

Solução geral:

y[n]  y h [n]  y p [n] n

n

1  1 y[n]  A   2   , n  0 2  2 y[1]  3 det er min ar y[o]  ? 1 y[n  1]  2 x[n] 2 1 y[0]  y[1]  2 x[0] 2 1 y[o]   .3  4 2 3 11 y[o]  4   2 2

y[n] 

Substitui na solução completa:

y[o]  A  2  A

11 2

7 2

n

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n

71  1 y[n]     2   , n  0 22  2

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Letra b:

y[n] 

1 y[n  2]  x[n  1] 9

Solução homogênea:

y[n] 

Solução particular:

x[ n]  1

1 y[n  2]  0 9

y p [ n]  k

1 0 9 1 r     3

r2 

n

n

1  1 y h [n]  A   B   , n 3  3

1 k  k 1 9 8 k 1 9 k9 8 y p [ n]  9 8

Solução geral:

y[n]  y h [n]  y p [n] n

y[n] 

n

9 1  1  A   B   , n  0 8 3  3

det er min ar

det er min ar

y[0]  ?

n 1

1 y[n  2]  x[n  1] 9 1 y[0]  y[2]  x[1] 9 y[0]  1 .(0)  0 9

y[1]  1 y[1]  x[0] 9 1 y[1]  1 9 10 y[1]  9

y[n] 

Substitui na equação completa:

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

9  A B  0 8 9 B  A  8 y[0] 

       

9  A 1  B  1  10 3 3 9 8 10  9  A 1  B  1 9 8 3 3 3 A B 72 y[1] 

3 9 B 72 8 13 B 24 7 A 12

B

n

n

9 7  1  13  1  y[n]         , n  0 8 12  3  24  3 

Logo:

Letra c:

y[n] 

1 1 y[n  1]  y[n  2]  x[n]  x[n  1], 4 8

Solução homogênea:

y[n] 

1 1 y[n  1]  y[n  2]  0 4 8

1 1 r 0 4 8 1 1 9    16 2 16 1 3 41 r1  4 2 2 1 3 4 1 r2  4 2 4

r2 

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

Solução particular: n

1  1 y h [n]  A   B   2  4

n

x[n]  2 n y p [n]  k .2 n , n  2 1 1 k .2 n  k .2 n 1  k .2 n  2  2 n  2 n 1 4 8 1 1 1 1 1 k .2 n  k .2 n .  k . 2 n .  2 n  2 n . 4 2 8 4 2 16 k 9 yp 

16 n 2 9

Solução geral:

y[n]  y h [n]  y p [n] n

1  y[n]  A   B  2 

n

1 16 n   2 4 9

det er min ar y[0]  ? y[1]  ? 1 1 y[1]  y[2]  x[0]  x[1] 4 8 1 1 y[0]  (2)  (1)  1  0 4 8 1 1 11 y[0]   (1)  2 8 8 y[0] 

1 1 y[0]  y[1]  x[1]  x[0] 4 8 1 11 1 y[1]  .  .(2)  2  1 4 8 8 115 y[1]  32 y[1] 

Substituindo na solução geral:

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.

y[0]  A  B  A



16 11  9 8

29 B 72

29 11 B B  72 144 2

B

23 72

1  y[1]  A   B  2 

1  16 115  2 4 9 32

23  1  16 115 1 y[1]  A      2  72  4  9 32 2 1 A 12

Logo:

y[n]  

1  1  23  1  16 n       2 ,n  0 12  2  72  4  9

Livro: Sinais e Sistemas / Simon Haykin e Barry Van Veen, Cap 2.