Lógica, estruturas e teorias físicas

   

massa   (de   um   corpo);   em   biologia,   fazemos   uso   de   conceitos   como   gene,   organismo,   mutação,   espécie,   etc.   Fatos   similares   se   dão   com   as   demais   áreas.     Do   ponto   de   vista   dos   fundamentos   da   ciência,   esses   conceitos   podem   ser   organizados   na   forma   de   uma   estrutura   matemática,   que   designaremos   genericamente  por  E,  a  qual  postulamos   capta   aspectos   de   D   de   acordo   com   nossa  opinião.     Por  exemplo,  uma  sistematização   simplificada   da   mecânica   clássica   de   partículas,   MCP,   (seguindo   a   linha   proposta   por   McKinsey,   Sugar   e   Suppes   em   1953),   (Quadro   4)   pode   ser   alcançada   a   partir   dos   conceitos   de   partícula   (ou   `ponto   material’),   massa   (de   uma   partícula),   posição   de   uma   partícula   em   um   instante   de   tempo,     forças   (que   atuam   sobre   uma   partícula   em   um   determinado   instante   de   tempo),   e   de   um   intervalo   T   de   números   reais,   que  desempenha  o  papel  de  intervalo  de   tempo.   Uma   força   que   age   sobre   uma   partícula  p  no  instante  t  é  denotada  por   fi(p,t),   o   negrito   indicando   que   se   trata   de   uma   grandeza   vetorial,   o   índice   i   meramente  nomeia  a  força  particular.       Para   desenvolvermos   uma   abordagem   axiomática   a   uma   teoria   como   a   MCP,   devemos   inicialmente   especificar   em   que   arcabouço   matemático   (e   lógico)   estaremos   operando,   mas   voltaremos   a   este   ponto   na  seção  2.    Por  enquanto,  fazemos  notar   que   nossa   estrutura   pode   ser   escrita   na   forma   de   uma   quíntupla   ordenada   E   =   (P,   T,   m,   s,   f),   sendo   P   um   conjunto   não   vazio  e  finito  (o  conjunto  das  partículas),   T   um   intervalo   da   reta   real,   e   m   uma   função   que   associa   um   número   real   positivo  a  cada  elemento  de  P,  de  forma   que  m(p)  denota  a  massa  da  partícula.  A   posição   de   uma   partícula   p   em   um   instante   de   tempo   t   é   dado   por   uma   função  vetorial  s(p,t),  que  é  um  vetor  no   espaço   euclidiano   R3   (o   negrito   indica   que  s  é  também  uma  função  vetorial).  À  

LÓGICA,  ESTRUTURAS  E   TEORIAS  FÍSICAS     Newton  C.  A.  da  Costa   Décio  Krause    

Grupo  de  Estudos  em  Lógica  e  Fundamentos  da   Ciência   Departamento  de  Filosofia   Universidade  Federal  de  Santa  Catarina    (Junho  2011)  

 

  1.  Ciência  e  matemática   Uma   das   coisas   para   as   quais   os   cientistas   em   geral   não   dão   atenção   pormenorizada   na   sua   atividade   são   a   lógica   e   a   matemática   subjacentes   às   teorias   que   desenvolvem   ou   utilizam.   Nada   mais   natural   que   isso   seja   assim,   pois   se   um   físico,   um   biólogo   ou   um   engenheiro   tivesse   que   dar   atenção   a   esses   tópicos,   provavelmente   não   teria   tempo  para  desenvolver  a  sua  disciplina.   Mas,  por  que  esses  itens  são  relevantes,   e   para   que   tipo   de   discussão?   Para   delinearmos  essas  questões,  vejamos  de   que   forma   a   lógica   e   a   matemática   entram  em  algumas  discussões  sobre  os   fundamentos   da   ciência,   enfatizando   o   papel   das   estruturas   matemáticas   na   sistematização   das   disciplinas   científicas.     Suponha   que   desejamos   investigar   um   domínio     do   conhecimento   que   chamaremos   de   D,   nas   ciências   empíricas,   humanas   ou   formais   (em   princípio,   o   que   diremos   aplica-­‐se   a   todas   essas   áreas,   mas   nos   restringiremos  à  física).    Para  abordar  D,   selecionamos,   a   partir   de   nossa   experiência,   conhecimentos   prévios,   intuição,   o   que   quer   que   seja,   uma   coleção   de   conceitos   que,   em   nossa   opinião,   refletem   o   que   se   passa   em   D.   Por   exemplo,   em   física   clássica   fazemos   uso   de   conceitos   como   força,   energia,  

 

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medida   em   que   t   varia   em   T,   s(p,t)   descreve   uma   curva   no   espaço   R3,   que   representa   a   trajetória   da   partícula   no   período   de   tempo   considerado   (Figura   1).   Esses   conceitos   são   sujeitos   a   determinados  postulados,  que  nos  dão  o   seu   caráter   operacional;   em   síntese,   os   postulados   são   os   seguintes:   (1)   a   função   s(p,t)   é   duplamente   diferenciável,   ou   seja,   para   toda   partícula  p,  podemos  obter  as  derivadas   em   relação   ao   tempo   (em   notação   simplificada)   ds/dt     e   d2s/dt2,   as   quais   representam,   respectivamente,   a   velocidade  v(p,t)  e  a  aceleração  a(p,t)  da   partícula   p   no   instante   t;   (2)   a   série   ∑i=1,2,...   fi(p,t)   é   absolutamente   convergente,   ou   seja,   mesmo   que   haja   uma   infinidade   de   forças,   a   soma   é   finita   e  independe  da  ordem  em  que  as  forças   são   consideradas.     O   fato   de   s   ser   duplamente   diferenciável   garante   que   haja   sentido   falar   em   trajetória,   como   fizemos   acima.   Finalmente   (em   nosso   esquema   abreviado),   o   postulado   (3),   que  é  a  famosa  Segunda  Lei  de  Newton,   a   saber,   força   é   igual   a   massa   vezes   aceleração,  ou  seja,  ∑i=1,2,...   fi(p,t)  =  m(p).   a(p,t).       A  partir  desse  esquema,  podemos   introduzir   por   definição   vários   outros   conceitos   que   nos   auxiliam   a   desenvolver   nossa   versão   da   referida   mecânica,   como   os   de   energia   cinética,   energia   potencial,   dentre   outros.   Para   grande   parte   das   aplicações,   é   adequado   estender   o   esquema   acima   de   forma   a   incorporar   forças   internas,   que   as   partículas  exercem  uma  sobre  as  outras,   e   forças   externas,   que   agem   sobre   as   partículas   do   sistema,   tendo   origem   (como   o   nome   sugere)   externa   ao   sistema.   A   estes   novos   conceitos   são   impostas   outras   condições,   seja   por   axiomas   adicionais,   seja   por   meio   de   definições,   as   quais   podem,   por   exemplo,   representar   as   demais   leis   de   Newton.   A   mecânica   que   se   obtém,   muito   propriamente,   denomina-­‐se   de  

 

mecânica  de  partículas  newtoniana.  Após   esta   breve   discussão,   que   certamente   o   leitor   pode   transportar   para   outras   áreas   e   teorias,   faremos   algumas   observações  acerca  dos  fundamentos.       2.    Questões  de  fundamentos     A  primeira  coisa  a  observar  é  que   não  é  possível  sistematizar  um  corpo  do   conhecimento   por   meio   de   uma   teoria   física   como   a   MCP   sem   o   recurso   da   matemática.   Com   efeito,   na   esquematização   acima   fizemos   uso   das   noções  de  conjuntos,  funções,  derivadas   e   de   várias   outras   coisas.   É   preciso   reparar   ademais   que   o   modelo   matemático   elaborado   (que   usualmente   chamamos   de   teoria)   trata   de   apenas   alguns   aspectos   de   uma   parcela   da   realidade.   Se   quiséssemos   tratar   de   outras  porções,  por  exemplo  levando  em   conta  colisões  entre  partículas,  teríamos   que   elaborar   um   modelo   bem   mais   sofisticado   que   levasse   em   conta   deformações   e   outros   conceitos,   adentrando   no   que   se   denomina   de   mecânica   do   contínuo.   O   mesmo   vale   para   os   demais   domínios   sob   investigação:   se   levarmos   em   conta   aspectos   relativísticos,   ou   quânticos,   teremos   que   assumir   estruturas   diferentes,   algumas   de   extrema   sofisticação.     Isso   aponta   para   uma   primeira   tese   que   defendemos:   no   momento,  não  há  teoria  física  universal,   que   se   aplique   a   todos   os   domínios   irrestritamente.   Isso   não   implica   que   uma   tal   teoria   unificada   não   possa   ser   encontrada,   mas   no   esquema   atual   as   teorias   científicas   são   elaboradas   para   atacar   questões   específicas,   e   quando   mudamos   de   campo   de   atividade   ou   quando   nosso   conhecimento   evolui,   via   de   regra   somos   convidados   a   mudar   de   teoria.     Mas,   se   usamos   alguma   matemática,   como   sabemos   que   os   conceitos   que   necessitamos   estão  

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realmente   ao   nosso   dispor?   É   aqui   que   aparece  o  sentido  de  nossa  frase  inicial;   o   cientista   em   geral   age   como   se   `tudo’   o   que   ele   necessita   estivesse     ao   seu   alcance.  Isso  é  verdade  em  certo  sentido,   mas   depende   de   hipóteses   extremamente   fortes.   Ainda   que   em   certas   situações   pudéssemos   utilizar   uma   lógica   de   ordem   superior   (como   fez   Carnap)   ou   a   teoria   das   categorias   para   fundamentar   nossas   disciplinas   científicas,   sem   perda   de   generalidade   podemos   assumir   que   trabalhamos   em   uma   teoria   de   conjuntos,   como   a   teoria   Zermelo-­‐Fraenkel,   ZF   (Quadro   2).   Porém,   se   ZF   for   axiomatizada   como   uma   teoria   de   primeira   ordem,   sendo   consistente,     terá   modelo   enumerável   (como   resulta   de   um   teorema   célebre,   chamado   de   Teorema   de   Löwenheim-­‐ Skolem).   Ora,   neste   modelo,   aquilo   que   representa   o   conjunto   dos   números   reais  será  finito  ou  enumerável.  Mas  em   ZF   prova-­‐se   que   o   conjunto   dos   reais   não   é   enumerável   (teorema   de   Cantor).   Esta  questão,  conhecida  como  `paradoxo   de   Skolem’,   tem   uma   solução   simples,   que  se  resume  em  reconhecer,  como  fez   o  próprio  Skolem,  que  a  bijeção  entre  os   conjuntos   dos   reais   e   dos   naturais   (que   atestaria   a   enumerabilidade   dos   reais)   não   pertence   ao   modelo   enumerável,   estando   `fora’   dele   (Quadro   1).   O   que   importa   aqui   é   que,   usando   uma   teoria   como   ZF,   na   verdade   não   sabemos   em   que   `modelo’   estamos   trabalhando   e,   assim,   de   certo   modo,   com   o   que   estamos  contando,  pois  nada  indica  que   não  estamos  fazendo  física,  por  exemplo,   a   partir   do   modelo   enumerável   de   ZF.     Deste  modo,  em  certo  sentido,  podemos   afirmar   que,   ao   fazermos   ciência   (em   particular,   matemática),   nunca   sabemos   do   que   estamos   falando:   falamos   de   conjuntos   enumeráveis   ou   não   enumeráveis?   Qual   a   noção   de   infinito   que   estamos   utilizando?   Se   usamos   as   noções   de   espaço   e   tempo   em   física,   e   fazemos   isso   necessariamente,   seja  

 

assumindo   alguma   estrutura   espaço-­‐ temporal,   seja   introduzindo-­‐a   de   algum   modo,   tratam-­‐se   do   espaço   e   do   tempo   newtonianos,   típicos   das   mecânicas   clássica   e   quântica   (não-­‐relativista),   ou   trata-­‐se   do   espaço-­‐tempo   relativista?   (Quadro   6)   Estas   são   algumas   questões   que   qualquer   análise   filosófica   sobre   a   ciência  deveria  responder.     Por   outro   lado,   digamos   que   nossa  concepção  filosófica  nos  leve  a  um   intuicionismo   ao   estilo   de   Brouwer   (Quadro   3).   Se   for   assim,   deveremos   erigir   nossa   matemática   dentro   deste   espírito,   e   isso   nos   conduziria   a   uma   visão  científica  completamente  diferente   daquela   que   teríamos   se   assumíssemos   a  matemática  e  a  lógica  usuais.  Portanto,   em   se   tratando   de   fundamentos,   devemos   indicar   qual   a   matemática   e   qual   a   lógica   estamos   assumindo   para   começar   a   discussão.   Ademais,   digamos   que   estejamos   assumindo   a   lógica   chamada  de  clássica.  Ora,  não  há  a  lógica   clássica,   e   quando   se   fala   nesta   lógica   sem   qualificação,   não   se   tem   em   princípio   ideia   de   qual   particular   teoria   se   trata:   trata-­‐se   da   lógica   elementar   usual?   Podemos   assumir   que   ela   incorpora   uma   teoria   de   conjuntos?   Questões  como  essas,  em  se  tratando  de   fundamentos  da  ciência,  são  relevantes  e   não   são   fáceis   de   ser   respondidas.   Outras  serão  vistas  na  sequência.       Mas  voltemos  à  nossa  estrutura  E   para   a   MCP   vista   acima.   A   própria   terminologia   “mecânica   clássica   de   partículas”   denota   aqui   coisas   distintas:   primeiro,   uma   particular   estrutura   que   obtemos   quando   especificamos   o   que   seriam   as   entidades   envolvidas   (por   exemplo,   P   representa   o   sol   e   seus   planetas,   etc.);   depois,   uma   classe   de   estruturas   que   congrega   todas   as   “mecânicas  clássicas  de  partículas”,  uma   espécie   de   estruturas,   como   se   diz   tecnicamente.   Por   fim,   a   expressão   denota   também   a   teoria   dessa   espécie   de   estruturas,   que   podemos   supor   ser  

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axiomatizada   de   modo   a   que   E   venha   a   ser   um     modelo   dos   axiomas   selecionados.   Uma   estrutura   como   E   é   elaborada   inicialmente   tendo-­‐se   em   vista   um   particular   domínio   que   desejamos   investigar,   mas   depois   ela   pode   servir   para   aproximar   outras   `realidades’.   Ou   seja,   E,   que   é   a   contraparte   matemática   da   chamada   teoria  da  mecânica  clássica  de  partículas   mencionada  acima,  mas  nada  diz  de  suas   possíveis   aplicações.   Para   analisarmos   de   que   forma   aquilo   que   aprendemos   com   o   estudo   de   E   pode   se   aplicar   a   domínios   particulares,   uma   outra   gama   de   considerações   deve   ser   levada   em   conta,   como   todas   as   teorias   que   procuram   relacionar   os   constructos   matemáticos   com   as   suas   possíveis   realizações,   por   exemplo   teorias   da   mensuração,   de   erros,   técnicas   estatísticas,  dentre  outras.       3.  Mais  questões  de  fundamentos     A   discussão   precedente   não   esgota   as   questões   que   podem   ser   colocadas   às   teorias   científicas   tratadas   matematicamente.   Por   exemplo,   não   há   maneira  científica  (ou  seja,  que  não  seja   informal   e   algo   vaga)   de   provar   que   nossas   teorias   são   consistentes,   isto   é,   que   não   exista   uma   formula   S   de   sua   linguagem   tal   que   tanto   S   quanto   sua   negação   sejam   teoremas   da   teoria   considerada   (a   isso   chama-­‐se   de   consistência  sintática  da  teoria)  (Quadro   5).  Tendo  em  vista  esta  impossibilidade,   o   que   fazemos   é   operar   como   se   nossas   teorias   fossem   consistentes,   mas   não   podemos   ter   qualquer   garantia   lógica   deste   fato.   Uma   outra   questão   interessante   é   a   seguinte.   Como   as   teorias   físicas   relevantes   (pelo   menos   essas)  envolvem  a  aritmética  elementar,   pode-­‐se   assumir   que   são   formuladas   de   tal   modo   que   a   elas,   ou   a   suas   contrapartes  formais  (que  se  identificam   com  as  teorias  estrito  senso)  se  aplicam   os   célebres   teoremas   de   incompletude  

 

de   Gödel.   Em   síntese,     e   sem   rigor,   o   primeiro   desses   teoremas   afirma   o   seguinte.   Haverá   sentenças   dessas   teorias   que   se   pode   comprovar   serem   verdadeiras   mas   que   não   podem   ser   nem  demonstradas  e  nem  refutadas  (ou   seja,   suas   negações   sejam   demonstradas)   pelas   teorias   em   questão:   essas   teorias   são   incompletas,  e   mais,   são   incompletáveis   (vários   trabalhos   neste   sentido,   envolvendo   as   teorias  físicas,  podem  ser  vistos  em  F.  A.   Doria,   Chaos,   Computers,   Games   and   Time:   25   years   of   joint   work   with   Newton   da  Costa,  Editora  e-­‐papers,  Rio,  2011.).       Como   se   vê,   os   estudos   fundacionistas   relativos   à   matemática,   levados  a  cabo  a  partir  do  final  do  século   XIX,   mas   que   tiveram   seu   auge   nas   décadas  de  30-­‐60  do  século  passado,  são   ainda   extremamente   atuais   em   ciência,   na   medida   em   que   reputemos   como   relevantes   os   trabalhos   acerca   de   seus   fundamentos.           (Quadro  1)   Em   ZF,   pode-­‐se   provar   que   não   existe   uma   função  bijetora  entre  o  conjunto  N  dos  números   naturais  e  o  conjunto  R  dos  números  reais,  o  que   indica   que   R   não   é   enumerável.   No   entanto,   no   modelo   enumerável   de   ZF   (suposta   consistente),   que  existe  por  força  do  teorema  de  Löwenheim-­‐ Skolem,    a  coleção  que  (no  modelo)  representa  R   é   enumerável.   Esta   aparente   contradição   é   conhecida   como   “paradoxo   de   Skolem”,   e   tem   uma   explicação   simples:   a   bijeção   entre   N   e   R   não   pertence   ao   modelo   enumerável.   A   questão   é:   como   saber   se   não   estamos   em   tal   modelo   quando  fazemos  física?         (Quadro  2)   A   teoria   de   conjuntos   ZF   (Zermelo-­‐Fraenkel)   pode   ser   formalizada   de   diversas   formas   na   (verdade,   originando   teorias   distintas).   A   mais   comum  é  utilizarmos  a  lógica  de  primeira  ordem   como   lógica   subjacente,   um   procedimento   originado  com  Thoraf  Skolem.  

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forma,  como  é  feito  na  relatividade  restrita,  (está   certo?   Troco   por   RG?).     Porém,   nesta   teoria,   esses   conceitos   são   relativos.   Outras   noções   de   espaço   e   tempo   são   usadas   na   relatividade   geral,   outras  ainda  nas  teorias  de  cordas,  etc.    Assim,  se   falamos   pura   e   simplesmente   de   “espaço”   e   de   “tempo”,   podemos   não   saber   do   que   se   trata,   pois   seria   necessário   especificar   de   antemão   o   que  estamos  assumindo.  Isso  vale,  em  princípio,   para  todos  os  demais  conceitos.    

  (Quadro  3)   O   matemático   holandês   L.   E.   J.   Brouwer   tinha   uma   concepção   radicalmente   distinta   da   matemática   vigente   no   início   do   século   XX.   Sua   filosofia   e   a   correspondente   matemática   intuicionista   têm   características   diferentes   da   filosofia   e   da   matemática   clássicas.   O   leitor   interessado   pode   consultar   N.C.A.   Costa   Introdução   aos   Fundamentos   da   Matemática   (Hucited,  3a  ed.,  1994).  

   

      (Quadro  4)   Patrick   Suppes,   professor   da   Universidade   de   Stanford,   é   um   dos   principais   artífices   da   chamada   abordagem   semântica   às   teorias   científicas,   iniciada   nos   anos   1950,   a   qual   prioriza   o   estudo   dos   modelos   das   teorias   científicas.        

Figura  1.     Referencias     • A  página  de  P.  Suppes  permite  o   acesso  a  vários  de  seus  artigos.   • Krause,  D.  [2002],  Introdução  aos   Fundamentos  Axiomáticos  da   Ciência.  São  Paulo,  EPU.   • Da   Costa,   N.   C.   A.   [1994],     Introdução   aos   Fundamentos   da   Matemática  (Hucited,  3a  ed.).   • Da  Costa,  N.  C.  A.  [1980],  Ensaio   sobre  os  Fundamentos  da  Lógica.   São  Paulo,  Hucitec-­‐EdUSP.          

  Patrick   Suppes,   de   http://www.stanford.edu/~psuppes/           (Quadro  5)   Um   teoria   T   é   sintaticamente   consistente   se   não   prova   duas   proposições   contraditórias   (uma   sendo  a  negação  da  outra).  Ela  é  semanticamente   consistente   se   possui   modelo.   Esta   segunda   condição  é  mais  forte  e  implica  a  primeira.    

Newton  C.  A.  da  Costa   Aposentado  dos  departamentos  de  matemática  e   de   filosofia   da   USP,   é   um   dos   criadores   das   lógicas  paraconsistentes  e  tem  dado  colaboração   em  diversas  áreas  do  conhecimento.  Atualmente   é   professor   do   programa   de   pós-­‐graduação   do   departamento   de   filosofia   da   UFSC.   É   pesquisador  do  CNPq.       Décio  Krause   Aposentado  do  departamento  de  matemática  da   UFPR,   é   atualmente   professor   do   departamento   de  filosofia  da  UFSC.  É  pesquisador  do  CNPq.    

  (Quadro  6)   Não  se  pode  fazer  física  sem  espaço  e  tempo.  Ou   as   teorias   incorporam   esses   conceitos   como   dados   de   antemão,   como   faz   a   física   newtoniana,   que   assume   esses   conceitos   como   absolutos   (o   mesmo   se   dá   com   a   mecânica   quântica   não   relativística),   ou   deve   introduzi-­‐los   de   alguma  

 

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