LOGICA MATEMATICA Y CONJUNTOS

LOGICA MATEMATICA Y CONJUNTOS ABSTRACT El presente trabajo tiene como finalidad de revisar todos los conceptos que se refieren a la lógica matemática y conjuntos esto nos ayudara a conocer y saber que este tema es muy elemental en la vida diaria y cotidiana de los estudiantes. INTRODUCCION La lógica infiere a lo largo de nuestra vida la utilizamos diariamente como seres humanos incluso el aprender matemáticas nos obliga a dominar nuestro pensamiento y pensar más en busca de una solución esto hace que nuestro cerebro razone y pueda llegar a resolver todos esos problemas simples y complejo. LOGICA MATEMATICA Y CONJUNTOS La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

PROPOSICION Es una unidad semántica que, o solo es verdadera o falsa. Los elementos fundamentales de la lógica son las proposiciones. Por ello, las oraciones que no son falsas ni verdaderas, las que son falsas y verdaderas al mismo tiempo, o las que demuestran algún tipo de imprecisión (carecen de sentido), no son objeto de estudio de la lógica. Proposiciones lógicas Simples: tenemos una sola proposición Compuestas: tenemos 2 o más proposiciones. Ejemplos: 5 es un número par María trabaja y estudia en casa. Representación simbólica de proposiciones Se las puede representar con una letra minúscula. Ejemplo: a: 5 es un número primo b: María trabaja y estudia en casa. Valor de verdad Llamaremos valor de verdad de una proposición a la veracidad o falsedad. El valor de verdad de una proposición verdadera se la representa con V y de una proposición falsa con F. CONECTIVOS U OPERADORES LOGICOS

TABLA No.1 conectores lógicos TABLAS DE VERDAD Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asignar. Negación.- si p es una proposición cualesquiera ῀p es negación de la proposición.

LOGICA MATEMATICA Y CONJUNTOS Ejemplo: p: la pared es azul ῀p: la pared no es azul Conjunción Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta “p y q” y la notaremos p ∧ q. Esta proposición será verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean. p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Tabla no 2 conjunción Disyunción Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta “p ´o q” y la notaremos p ∨ q. Esta proposición será verdadera si al menos una de las dos p o q lo es. De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p ´o q, es verdad entonces p∨q es verdad y que p ∨ q será falsa, únicamente si ambas lo son. Su tabla de verdad será, por tanto: p q pVq V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Tabla No 3 disyunción Disyunción Exclusiva Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción exclusiva de ambas a la proposición compuesta “p o q pero no ambos” y la notaremos p Y q. Esta proposición será verdadera si una u otra, pero no ambas son verdaderas. Según esta definición una disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q será verdadera cuando tengan distintos valores de verdad y falsa cuando sus valores de

verdad sean iguales. Su tabla de verdad es, por tanto. p q pvq V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Tabla No 4 disyunción exclusiva Condicional Es una proposición compuesta o conformada por un antecedente llamada hipótesis y un consecuente también llamado conclusión simbólicamente se representa: La condicional p→q, que se lee "si p, entonces q" o "p implica q," se define con la siguiente tabla de verdad. p q p→q V V V V F F F V V F F V Tabla No 5 condicional Bicondicional Sean a y b proposiciones entre a y b, representada simbólicamente por a b, es una nueva proposición, cuyo valor de verdad esta dado por la siguiente tabla de verdad: p q P q V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Tabla No 6 bicondicional En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad. La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como , Epq, o . Sin embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del contexto. La

LOGICA MATEMATICA Y CONJUNTOS equivalencia lógica es diferente a la equivalencia material, aunque ambos conceptos estén estrechamente relacionados. Equivalencias lógicas que involucran declaraciones condicionales： p→q≡﹁p∨q p→q≡﹁q→﹁p p∨q≡﹁p→q p∧q≡﹁(p→﹁q) ﹁(p→q)≡p∧﹁q (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r) (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r) (p→r)∧(q→r)≡(p∧q)→r (p→r)∨(q→r)≡(p∨q)→r Equivalencias lógicas bicondicionales： p↔q≡(p→q)∧(q→p) p↔q≡﹁p↔﹁q p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q) ﹁(p↔q)≡p↔﹁q

que

Modus tollendo tollens Si niego el consecuente, como conclusión se niega el antecedente

Silogismo hipotético es aquel tipo de silogismo o más bien regla de inferencia que en su expresión plantea un caso hipotético, por lo cual puede tener términos válidos o no.

involucran Silogismo hipotético El silogismo disyuntivo es similar al hipotético mixto, pues su premisa mayor es disyuntiva mientras que la menor y la conclusión son categóricas. Admite también dos modos: modus ponendo tollens (afirmativo negativo) y modus tollendo ponens (negativo afirmativo). CONJUNTOS La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos. En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

LEYES DE INFERENCIA LOGICA Modus ponendo ponens P1: si es de dia, esta soleado P2: es de dia C: por tanto esta soleado

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Notación A los conjuntos se los representa con letras mayúsculas y a los elementos que están dentro con letras minúsculas. Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de la siguiente manera: x1€A Enunciación de los conjuntos Existen 4 formas de enunciar a los conjuntos: De forma literal Ejemplo: el conjunto n que corresponde al conjunto de los números naturales. Por extensión.los elementos son encerrados entre llaves y separados entre comas es decir el conjunto describe todos sus elementos entre llaves. Ejemplo: Vocales: {a,e,i,o,u} Por comprensión.- los elementos que se determinan a través de una condición que se establece entre llaves, en este caso se emplea el signo “/” que significa “tal que”. Ejemplo: Y: {Xen /x < 10} Por diagramas Diagramas de ven.- son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un conjunto o relaciones de un conjunto. Ejemplo:

Conjunto finito.- es aquel que tiene un número determinado de elementos. C: {Numero de vehículos de Ambato}

Conjunto infinito.- es aquel que tiene un número indeterminado de elementos. E:{los números}

Álgebra de conjuntos Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos: Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.

Relaciones entre conjuntos Conjunto vacio.- no tiene elementos A: {} Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B. Conjunto unitario.- solo tiene un elemento B: {*}

LOGICA MATEMATICA Y CONJUNTOS  

45 no prefieren el programa 50 prefieren los programas o pero no ambos. Se pide determinar el número de encuestados que prefieren ambos

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.

programas. Sol: Usamos el siguiente Diagrama de Venn. Según los datos, podemos armar las siguientes ecuaciones

Al resolver el sistema, los valores son los siguientes: Luego, el número de encuestados que prefieren ambos programas es 20. REFERENCIAS

Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.

Cardinalidad de conjuntos Es la cantidad de elementos de un conjunto A se denota por los símbolos n(A). Ejemplo: Se encuestó a 100 personas sobre sus preferencias en relación a dos programas (no excluyentes) municipales contra la delincuencia. Los programas recibieron los nombres y . Los resultados fueron los siguientes:  65 no prefieren el programa

http://lgicaepn.blogspot.com/2011/12/logic a-matematica.html http://www.zweigmedia.com/MundoReal/lo gic/logic3.html http://es.wikibooks.org/wiki/Cardinalidad_ de_Conjuntos

VivianaLizeth Quispilema Capuz nación en Pelileo el 16 de octubre de 1995. Realizo sus estudios secundario en la unidad educativa “Hispano América” de Ambato donde obtuvo el título de bachiller en aplicaciones informáticas en el año 2013 ingreso a la universidad técnica de Ambato a cursar el nivel 0 en la carrera de Ingeniería Industrial y Proceso de automatización.