Manual de óptica e ondas

Curso de física








Manual de óptica e ondas





Ensino à distância

Universidade Pedagógica


Rua Comandante Augusto Cardoso nº 135



Direitos de autor
Este módulo não pode ser reproduzido para fins comerciais. Caso haja
necessidade de reprodução deverá ser mantida a referência à Universidade
Pedagógica e aos seus Autores.



















Universidade Pedagógica
Rua Comandante Augusto Cardoso, nº 135
Telefone: 21-320860/2
Telefone: 21 – 306720
Fax: +258 21-322113

Moçambique




















Agradecimentos


Ao Centro de ensino a distância (CEAD) pela disponibilização do Template
usado na produção dos Módulos.
Ao Instituto Nacional de Educação a Distância (INED) pela orientação e
apoio prestados.
Ao Magnífico Reitor, Directores de Faculdade e Chefes de Departamento pelo
apoio prestado em todo o processo.







































Ficha Técnica

Autores: Alberto Marcos Halar & Jossias Vilanculos
Desenho Instrucional:
Revisão Linguística:
Maquetização:
Edição:




Índice


Visão geral 1

Benvindo ao Módulo de Física Moderna 1
Objectivos do curso 1
Quem deveria estudar este módulo 1
Como está estruturado este módulo 2
Ícones de actividade 2
Habilidades de estudo 3
Precisa de apoio? 3
Tarefas (avaliação e auto-avaliação) 3
Avaliação 3

Unidade 1 5

Movimento Oscilatório 5
Introdução 5

1.1.5 Sobreposição (superposição do MHS) 17

Sumário 28
Exercícios 28

Lição nº 2 31

Oscilações Amortecidas 31
Introdução 31
Movimento sub amortecido 32
Energia de um oscilador sub amortecido 34
Sumário 37
Exercicios 37

Lição nº 3 39

Oscilações Forçadas e Ressonância 39
Introdução 39
Tratamento matemático da ressonância 40
Exercicios 44

Unidade 2 45

Lição nº 1 45
Oscilações eléctricas harmónicas 45
Introdução 45
Sumário 48
Exercícios 48
Oscilações eléctricas amortecidas (RLC) 49
Introdução 49
Sumário 51
Exercícios 51

Lição nº 3 53

Oscilações eléctricas forcadas (RLC com gerador) 53
Introdução 53
Aplicação da ressonância nos circuitos eléctricos 57
Exercícios 64

Unidade nº 3 67

Ondas 67
Introdução 67

Ondas mecânicas 68


Classificação das ondas 70


Classificação quanto a direcção de propagação 70


Transversais 70


Longitudinais 71


Fontes sonoras 73


Tecnologia sonora 74


Meios de Propagação 74


Tabela - velocidade do som no ar c e C, densidade do ar ρ, impedância
acústica Z e temperatura 75


Produção do Som 76


Transmissão do Som 78


Qualidades do Som 79


Equação de onda 80


Demonstração 82


Fazendo uma verificação na equação diferencial, 83


Ondas harmónicas 83


Equação da onda 84


Ondas unidimensionais 84


Grandezas que caracterizam uma onda 85


Energia cinética e potencial numa corda 86


Energia potencial 86


Energia media de um segmento 87


Potência media de transmissão de energia 87


Potência de transmissão 87


Propagação das ondas 88


As ondas podem – se propagar de três maneiras 88


Unidimensionais quando – se propagam em uma só direcção. 88


Ondas em três dimensões 88


Intensidade das ondas 89


Nível de intensidade e sonoridade 89


Ondas contra obstáculo 90


Velocidade de grupo 91


Efeito Doppler na acústica 94

Sumário 98
Exercícios 98
Ondas unidimensionais 99
Introdução 99
Potência media de transmissão de energia 103
Sumário 105
Exercícios 105

Unidade 4.0 107

Ondas Electromagnéticas 107
Introdução 107

Ondas electromagnéticas 108


Energia e momento de uma onda electromagnética 109


Princípio de super posição de ondas 110


Efeito Doppler em ondas electromagnéticas 116

Sumário 118
Exercícios 118

Unidade 5 119

Óptica Geométrica 119
Introdução 119
Reflexão numa superfície esférica 121
Fórmula de Descartes 121

III) Construção de imagens 123


Aumento produzido por um espelho esférico 126


Refracção numa superfície esférica 126


I. Fórmula de Descartes. 127


Lentes 130


Aumento produzido por uma lente 133

Sumário 134
Exercícios 135




Visão geral


Bem vindo ao Módulo de Óptica e ondas

Caro estudante! o estudo de Óptica e ondas que você vai iniciar tem em
vista a criação de uma base física sólida para o curso de Física. Nesta
área da Física os conceitos de "oscilação" e "onda" e "raio luminoso" são
deveras fundamentais para o estudo de muitas fenómenos da natureza.
Com o tratamento deste modulo, você estará habilitado a iniciar e
desenvolver o curso de Física com segurança e facilidade.

Objectivos do curso


Quando terminar o estudo de óptica e ondas, o estudante será capaz de:





" "Proporcionar uma discussão cuidadosa dos conceitos "
"Objectivos "básicos da disciplina, com ênfase na compreensão "
" "dos aspectos essenciais, procurando desenvolver a "
" "capacidade de pensar sobre os fenómenos em termos "
" "físicos; "
" "Tratar com mais profundidade fenómenos ligados a "
" "oscilações, ondas e óptica abordados na física "
" "escolar; "
" "Criar motivação, abrir horizonte dar ao estudante, "
" "a ferramenta necessária para possíveis pesquisas na"
" "física escolar e / ou na física ondulatória; "
" "Desenvolver no discente a compreensão dos fenómenos"
" "ligados a óptica geométrica e ondulatória. "


Operar com as aplicações da óptica e da acústica













Quem deveria estudar este módulo


Este Módulo foi concebido para a formação de professores em exercício que
tenham feito a décima segunda classe ou o equivalente e que pretendendo
continuar com o ensino de física se tenham matriculado no curso de ensino à
distância fornecido pela Universidade Pedagógica.


Como está estruturado este módulo


Todos os módulos dos cursos produzidos pela Universidade Pedagógica
encontram-se estruturados da seguinte maneira:


"Páginas introdutórias "
"Um índice completo. "
"Uma visão geral detalhada do curso / módulo, "
"resumindo os aspectos-chave que você precisa "
"conhecer para completar o estudo. Recomendamos "
"vivamente que leia esta secção com atenção antes de "
"começar o seu estudo. "
"Conteúdo do curso / módulo "
"O curso está estruturado em unidades. Cada unidade "
"incluirá uma introdução, objectivos da unidade, "
"conteúdo da unidade incluindo actividades de "
"aprendizagem, um sumario da unidade e uma ou mais "
"actividades para auto-avaliação. "
"Outros recursos "
"Para quem esteja interessado em aprender mais, "
"apresentamos uma lista de recursos adicionais para "
"você explorar. Estes recursos podem incluir livros, "
"artigos ou sites na internet. "
"Tarefas de avaliação e/ou Auto-avaliação "
"Tarefas de avaliação para este módulo encontram-se "
"no final de cada unidade. Sempre que necessário, "
"dão-se folhas individuais para desenvolver as "
"tarefas, assim como instruções para as completar. "
"Estes elementos encontram-se no final do Módulo. "
"Comentários e sugestões "
"Esta é a sua oportunidade para nos dar sugestões e "
"fazer comentários sobre a estrutura e o conteúdo do "
"Módulo. Os seus comentários serão úteis para nos "
"ajudar a avaliar e melhorar este Módulo. "



Ícones de actividade


Ao longo deste manual irá encontrar uma série de ícones nas margens das
folhas. Estes ícones servem para identificar diferentes partes do processo
de aprendizagem. Podem indicar uma parcela específica de texto, uma nova
actividade ou tarefa, uma mudança de actividade, etc.


Acerca dos ícones


Os ícones usados neste manual são símbolos africanos, conhecidos por
adrinka. Estes símbolos têm origem no povo Ashante de África Ocidental,
datam do século 17 e ainda se usam hoje em dia.


Os ícones incluídos neste manual são... (ícones a ser enviados - para
efeitos de testagem deste modelo, reproduziram-se os ícones adrinka, mas
foi-lhes dada uma sombra amarela para os distinguir dos originais).


Pode ver o conjunto completo de ícones deste manual já a seguir, cada um
com uma descrição do seu significado e da forma como nós interpretámos esse
significado para representar as várias actividades ao longo deste curso /
módulo.






" " " " "
" " " ""Aprender "
"Comprometiment"Resistência, ""Qualidade do"através "
"o/ "perseverança "trabalho" "da "
"perseverança "Auto-avaliaçã"(excelência/ "experiência"
"Actividade "o "autenticidade"" "
" " ") "Exemplo / "
" " "Avaliação / "Estudo de "
" " "Teste "caso "
" " " " "
" "Unidade/relaç" " "
"Paz/harmonia "ões " ""Eu mudo ou"
"Debate "humanas " "transformo "
" "Actividade de" "a minha "
" "grupo " "vida" "
" " "Vigilância / "Objectivos "
" " "preocupação " "
" " "Tome Nota! " "
" " " " "
" " " "Apoio / "
" ""Pronto a ""Nó da "encorajamen"
" "enfrentar "sabedoria" "to "
" "as " "Dica "
" "vicissitudes "Terminologia " "
" "da vida" " " "
"[Ajuda-me] "(fortitude / " " "
"deixame "preparação) " " "
"ajudar-te" "Reflexão " " "
" " " " "
"Leitura " " " "



Habilidades de estudo

Caro estudante!
Para frequentar com sucesso este módulo terá que buscar através de uma
leitura cuidadosa das fontes de consulta a maior parte da informação ligada
ao assunto abordado em cada uma das unidades apresentadas. Para o efeito,
no fim de cada unidade apresenta-se uma sugestão de livros para leitura
complementar.
Antes de resolver qualquer tarefa ou problema, o estudante deve certificar-
se de ter compreendido a questão colocada;
É importante questionar se as informações colhidas na literatura são
relevantes para a abordagem do assunto ou resolução de problemas;
Sempre que possível, deve fazer uma sistematização das ideias apresentadas
no texto.
O grupo deseja – te muitos sucessos!




Precisa de apoio?

É evidente que dúvidas e problemas são comuns ao longo de qualquer estudo.
Neste contexto, em caso de dúvida numa matéria tente consultar os manuais
sugeridos no fim da lição e disponíveis nos centros de ensino a distância
(CEAD) mais próximos. Se tiver dúvidas na resolução de algum exercício,
procure estudar os exemplos semelhantes apresentados no manual. Se a dúvida
persistir, consulte a orientação que aparece no fim dos exercícios. Se a
dúvida persistir, veja a resolução do exercício.
Sempre que julgar pertinente, pode consultar o tutor que está à sua
disposição no centro de CEAD mais próximo.
Não se esqueça de consultar também colegas da escola que tenham feito a
cadeira de óptica e ondas, vizinhos e até estudantes de universidades que
vivam na sua zona e tenham ou estejam a fazer cadeiras relacionadas com
a óptica e ondas.

Tarefas (avaliação e auto-avaliação)

Ao longo deste módulo irá encontrar várias tarefas que acompanham o seu
estudo. Tente sempre solucioná-las. Consulte a resolução para confrontar o
seu método e a solução apresentada. O estudante deve promover o hábito de
pesquisa e a capacidade de selecção de fontes de informação, tanto na
internet como em livros devendo apenas apresentar o devido cuidado na
pesquisa de tais informações. Consulte manuais disponíveis e referenciados
no fim de cada lição para obter mais informações acerca do conteúdo que
esteja a


estudar. Se usar livros de outros autores ou parte deles na elaboração de
algum trabalho deverá citá-los e indicar estes livros na
bibliografia. Não se esqueça que usar um conteúdo, livro ou parte do livro
em algum trabalho, sem referenciá-lo é plágio e pode ser penalizado por
isso. As citações e referências são uma forma de reconhecimento e respeito
pelo pensamento de outros. Estamos cientes de que o estimado estudante não
gostaria de ver uma ideia sua ser usada sem que fosse referenciado, não
acha?
Na medida de possível, procurar alargar competências relacionadas com o
conhecimento científico, as quais exigem um desenvolvimento de
competências, como auto-controle da sua aprendizagem.
As tarefas colocadas nas actividades de avaliação e de auto-avaliação
deverão ser realizadas num caderno à parte ou em folha de formato A4.




Avaliação

O Módulo de óptica e ondas terá dois testes e um exame final.
Note que o exame referenciado deverá ser feito no Centro de Recursos mais
próximo, ou em local a ser indicado pela administração do curso. O
calendário das avaliações será também apresentado oportunamente.
A avaliação visa não só informar-nos sobre o seu desempenho nas lições, mas
também estimular-lhe a rever alguns aspectos e a seguir em frente.
Durante o estudo deste módulo o estudante será avaliado com base na
realização de actividades e tarefas de auto-avaliação previstas em cada
Unidade, dois testes escritos, e um exame.








Unidade 1


Movimento Oscilatório


Introdução


Além do movimento circular e uniforme, são exemplos de movimentos
periódicos o movimento de um pêndulo gravítico, o movimento de um sistema
massa-mola, o movimento da roda de balanço de um relógio, o movimento das
cordas e das colunas de ar dos instrumentos musicais ao produzirem uma
nota, o movimento dos átomos ou dos iões num sólido em torno de uma posição
fixa, o movimento dos electrões numa antena transmissora ou numa antena
receptora, etc.


Mas o que diferencia estes movimentos, está no facto de uns mudarem
periodicamente do sentido da sua trajectória e outros manterem constante.
Para o caso do movimento circular e uniforme, este se efectua sempre no
mesmo sentido, enquanto os outros movimentos referidos mudam periodicamente
de sentido.


Assim, aos movimentos que mudam periodicamente do sentido, na mesma
trajectória, para um e para o outro lado de uma posição fixa, chamada
posição de equilíbrio, designam-se por movimentos oscilatórios.


Os movimentos oscilatórios classificam-se em mecânicos e electromagnéticos,
de acordo com as forças que levam os osciladores a posição de equilíbrio.
Por exemplo, quando o pêndulo gravítico é afastado da sua posição de
equilíbrio, é a força gravítica (mecânica) que tende a fazê-lo regressar à
posição de equilíbrio. Numa antena emissora, cada electrão é um oscilador
electromagnético pois que são forças de natureza eléctrica e magnética que
o levam à posição de equilíbrio.


As oscilações são as responsáveis pelo funcionamento de aparelhos como o
auto-falante, o microfone, os toca-discos e muitos outros. Átomos em um
sólido podem ser estudados se considerarmos um sistema de molas ligando uns
aos outros e que os mantêm todos unidos como um modelo para a vibração dos
mesmos.

Podemos fazer modelos oscilatórios para explicar a estrutura da matéria.
A medição do tempo surgiu a partir da comparação com sistemas periódicos,
tendo surgido a nossa noção de tempo que temos hoje, e tantas técnicas e
invenções para medir esse tempo. A periodicidade dos astros fora usada como
um dos nossos primeiros calendários, dando origem ao nosso sistema de
tempo.
Entretanto, para se começar o estudo da ondulatória é necessário dominar e
saber aplicar bem o modelo para o Movimento Harmónico Simples, um dos
sistemas periódicos mais simples, sendo este o nosso objectivo.










Ao completar esta unidade, você será capaz de:





" " "
"Objectivos " "
" "Caracterizar o movimento oscilatório e o movimento "
" "harmónico simples; "
" "Deduzir a equação diferencial do movimento harmónico"
" "simples num sistema massa-mola e num pêndulo "
" "simples; "
" "Representar e interpretar os gráficos da elongação, "
" "velocidade e aceleração do movimento harmónico "
" "simples; "
" "Deduzir e interpretar as equações da energia no "
" "movimento harmónico simples "





" "Nesta Unidade poderá fazer o uso de novos termos "
"Terminologia "como equação diferencial, oscilador harmónico, "
" "equação da onda, etc. "





Para o estudo do MHS, tomamos um oscilador simples composto por um ponto
material e uma mola elástica.


Temos que considerar as seguintes condições:

– A oscilação deve ser unidimensional (ao longo de um só eixo);
– A mola deve ser de massa desprezível;
– O corpo oscilante é um corpo material;
– A força de atrito é tendente para zero.




FIG.1 Mola disposta horizontalmente presa a um corpo de massa m,
executando um movimento oscilatório numa superfície sem atrito.






Fonte:


Se deslocarmos o corpo de massa m para a esquerda, afastando-a da sua
posição de equilíbrio, e depois a largarmos, veremos que ela fica animada
de um movimento para a direita e para a esquerda, um movimento oscilatório.

Torna-se cómodo começar por analisar as oscilações de uma esfera ao longo
da horizontal, isto é, segundo um eixo 0x, sob a acção da força elástica de
uma mola .
Se deslocarmos a esfera da sua posição de equilíbrio, a), para o lado
direito, alongamos o comprimento da mola em Xmax, b) passando a actuar
sobre a esfera a força elástica da mola.
Se não existisse atrito, o movimento da esfera nunca pararia, mas ele
existe, em particular a resistência do ar, e o sentido das forças
resistentes é sempre contrário ao do movimento, isto é, da velocidade. Por
este motivo, o atrito trava a deslocação da esfera, sendo a amplitude das
oscilações, afastamento máximo relativamente á posição de equilíbrio, cada
vez menor, até que por fim o movimento cessa de todo. Se o atrito for
pequeno, o amortecimento das oscilações só se nota após muitas oscilações
da esfera, podendo considerarmos desprezável o atrito durante um intervalo
de tempo não muito longo.

Em equilíbrio a mola não exerce força no objecto. Quando é deslocado de uma
distancia de X a partir da posição de equilíbrio, a mola exerce a força
–kX, segundo a lei de Hooke.


(1)


Onde K é a rigidez da mola. O sinal negativo indica que a força é oposta ao
sentido do deslocamento (força restauradora).


Combinando a equação (1) com a lei de Newton () , onde m é a massa do
corpo e a sua aceleração, temos:


. Substituindo o valor da aceleração na expressão acima, temos
Passando a massa ao membro contrário temos (2)


Observando a equação (2), nota-se que a aceleração é proporcional ao
deslocamento e tem sentido oposto. Esta é a característica do movimento
harmónico simples.


Fazendo e substituindo na equação (2), temos:


(3) Equação diferencial do Movimento Harmónico simples que se
representa por MHS.


Esta equação admite várias soluções das quais se pode considerar a
seguinte: (4) onde A, e são constantes.


O deslocamento máximo Xmax a partir do equilíbrio é chamado amplitude e
representa – se pela letra A. O argumento da função seno (t+), é
chamado de fase do movimento, sendo a constante chamada de constante
de fase, a qual é a fase para t = 0.


Note que .


Pode ser mostrado que a equação (4) é solução da equação (2). derivando-se
X duas vezes em relação ao tempo.


A primeira derivada de X resulta na velocidade v:


(5)


Derivando a velocidade em relação ao tempo, obtemos a aceleração:


(6)


Substituindo X por , tem-se: (7)


Comparando com , pode-se ver que é solução da equação (2),
a qual pode ser expressa como se (8)


O período T é o tempo mais curto que satisfaz a relação para todos os
valores de t. Substituindo essa relação na equação (4), tem-se:





A função seno ( e a função co-seno) repete seu valor quando a fase é
incrementada de 2, então:





A constante é chamada a frequência angular. Tem como unidade radiano
por segundo.


Para o movimento em análise, a frequência é inversa do período e
representa – se por: (10)


" "8. Um objecto oscila com frequência angular "
"Exemplo 1 "Para o objecto está em com uma "
" "velocidade inicial de "
" "a) Calcule a amplitude e a constante de fase para o "
" "movimento "
" "b) Escreva x como função de tempo. "
" "Solução: "
" "a) Para temos as condições iniciais que nos "
" "são úteis para a determinação quer da amplitude quer"
" "da constante de fase. Como a constante de fase é "
" "determinante para a determinação da amplitude, temos"
" "a partir da posição inicial e da velocidade o "
" "seguinte: "
" " "



1.1.2 Movimento Harmónico simples e movimento circular uniforme


Existe uma relação entre o movimento harmónico simples e o movimento
circular com velocidade constante.





FIG.2


O deslocamento angular relativo ao eixo x é (11) onde é o
deslocamento angular para t=0s e é a velocidade circular angular da
partícula. A componente X da posição da partícula é
X=Acos=Acos(t+) a qual é a mesma para o movimento harmónico
simples (MHS)





1.1.3. Energia do Movimento harmónico simples


Quando um objecto preso a uma mola descreve um MHS, suas energias potencial
e cinética variam com o tempo. Neste caso, a energia mecânica total (
), é constante.


Considerando um objecto a uma distância x da posição de equilíbrio; se
este objecto sofre uma força de restauração (), a energia potencial
do sistema pode se calcular da relação entre força e energia potencial
. Integrando membro a membro temos:. No MHS, a energia
potencial tem um valor mínimo no centro (x = 0) e aumenta a medida que a
partícula se aproxima de um dos extremos de oscilação (.


Como , temos substituindo que .


A energia cinética do sistema é dada por . Para o MHS, .
Substituindo na equação anterior, obtém – se . Sabe – se que
, então


Como e usando para o deslocamento, pode se expressar a
energia cinética como :


A energia total do oscilador harmónico simples é a soma das energias
cinética e potencial.


. A energia total de um oscilador harmónico é uma quantidade
constante


" "Considere um corpo preso a uma mola tendo a sua "
"Exemplo 2 "posição dada por x=5cos(9.905-1t). "
" "Calcule a velocidade máxima do corpo? "
" "Quando essa velocidade máxima ocorre pela primeira "
" "vez? "
" "Qual a aceleração máxima do corpo? "
" "Quando essa aceleração máxima ocorre pela primeira "
" "vez? "
" " "


Resolução:


a) Considerando que o corpo parte do repouso com =0, então a
posição, a velocidade e a aceleração são dados por:





TAREFA: Construir gráficos de elongação, velocidade, aceleração, energia
cinética, energia potencial e energia total no movimento harmónico simples.





1.1.4. Pêndulo Simples


Def. É um oscilador composto por uma partícula de massa (m) presa num ponto
por um fio de comprimento (l) e massa desprezível, fig 3.


As forças responsáveis pelo movimento são:

Peso
Força aplicada
Tensão de fio

A força responsável pela variação da direcção da velocidade é a resultante
da tensão .


A força responsável pela variação da norma é a componente tangencial
. Esta força coincide com a força tangencial,








FIG.3 Pêndulo Simples


Esta força tem intensidade proporcional a x pois m, g e l são constantes.


Seria MHS se se tivesse a mesma direcção. Isso só acontece para
ângulos pequenos, onde .


Assim:


Onde na analise de molas dissemos:





Para oscilações que já não podem ser consideradas pequenas o período T é
determinado a partir da seguinte fórmula:








Equação diferencial de um pêndulo simples


Voltando a FIG.3 temos:





Como:


Então:


" "Um astronauta foi à lua com um relógio de pêndulo, "
"Exemplo 5 "chegado a lua, diz se o seu relógio adianta ou "
" "atrasa. O que é que ele deve fazer para acertar o "
" "seu relógio? "



Resolução:


R: o relógio atrasa porque a gravidade na lua é menor que a gravidade na
terra.





Para resolver a questão é necessário igualar os dois períodos:



Assim, para acertar o relógio é necessário diminuir o comprimento do
pêndulo 6 vezes.





1.1.4.1 Pêndulo num referencial acelerado


FIG.4


A figura mostra um pêndulo simples suspenso na estrutura de uma caixa móvel
que tem aceleração ao relativa à base, para a direita, enquanto a é a
aceleração do pêndulo relativa também à base. Aplicando a segunda lei de
Newton para o pêndulo tem-se .


Se o pêndulo permanece em repouso em relação a caixa móvel, então e



Onde é o ângulo de equilíbrio. é então dado por . Se o
pêndulo está em movimento em relação à caixa móvel, então . Onde
é a aceleração do pêndulo em relação a caixa móvel. Substituindo,
pela definição acima, temos: substituindo em ambos os lados da
equação, temos:





Substituindo g por e por na equação pode-se resolver a
equação mostrada nesta secção para o pêndulo. Recorde – se que é a
aceleração do pêndulo em relação a caixa móvel e a aceleração.





Se a mola para, de forma que T=0, então tem-se a'=g', o que significa que
g' é uma aceleração de queda livre no quadro de referencia móvel.


1.1.5 Sobreposição (superposição do MHS)


Uma sobreposição significa a realização de duas ou mais oscilações em
simultâneo, e como resultado aparece uma oscilação.





1.1.5.1 Sobreposição de dois MHS com a mesma direcção e mesma frequência

1. Método: Método de vectores girantes

Consiste em representar dois vectores no sistema cartesiano. O objectivo
fundamental é encontrar a amplitude e a fase do movimento, fig 5.


Sabe-se:


Como os vectores são constantes, podemos somar as progressões no eixo x ou
y usando a regra do paralelogramo para encontrar o vector girante
resultante.








Onde:














FIG.5 Vectores girantes


Se as frequências cíclicas forem constantes, a frequência cíclica
resultante também será uma constante. A tarefa é determinar a amplitude e
fase da oscilação resultante.


Para a determinação da amplitude recorremos ao método do vector girante que
consiste em pegar as amplitudes das oscilações como vectores, as quais vão
movimentar no plano , FIG.5.


Casos especiais I. (Os dois movimentos estão em concordância de
fase), ou


e






































A figura representa dois movimentos em concordância de fase, onde o preto
representa o movimento 1, o vermelho o segundo movimento e o azul o
movimento resultante. Note que o movimento resultante está em fase com os
dois elementares, na medida em que os dois atigem os máximos e os mínimos
nos mesmos pontos.


II. ( Movimento em oposição de fase)





. O movimento resultante é . A amplitude resultante é a
diferença entre e , razão pela qual se diz que os dois
movimentos estão em oposição de fase. Em termos dos vectores de rotação
temos , onde corresponde a amplitude e corresponde a
amplitude
























Se os dois movimentos anulam-se

































III. quando ( diferença de fase) é arbitrária

e





A resultante é um MHS com a mesma frequência e amplitude dada por e



Na discussão destes movimentos, podemos trabalhar apenas com vectores no
plano bidimensional para a determinação do movimento resultante de uma
forma geométrica.


Ao método da determinação da resultante que consiste em colocar vectores no
SCO chama – se método dos vectores girantes.


Se as frequências cíclicas parciais forem constantes, a frequência cíclica
resultante também será uma constante cabendo ao estudante determinar a
amplitude e fase da oscilação resultante.


Fora do método dos vectores girantes, temos o chamado método de quadratura,
que se verifica sempre que se satisfizer a condição














" "Uma partícula esta sujeita simultaneamente a 2 MHS "
"Exemplo 6 "de mesma direcção e mesma frequência, suas equações "
" "são: X1=10sen(2t+) e X2=6sen(2t+). "
" "Escrever a equação do movimento resultante "



Resolução:


Para a resolução desta tarefa vamos recorrer ao teorema dos cosenos para a
amplitude, ou seja,


sendo o ângulo entre os dois vectores e para a
determinação da inclinação da recta, onde o ângulo procurado seria
determinado pela razão inversa da tg, ou seja, determinando o arco
cuja tag é o resultado do quociente acima.


Neste contexto temos:











1.1.5.2 Sobreposição de dois MHS com a mesma direcção e frequências
diferentes.


Como já deve saber, sobreposição é uma realização simultânea de dois ou
mais movimentos produzindo como resultado um único movimento.


Agora vamos fazer o estudo de uma realização simultânea de dois movimentos
com a mesma direcção mas frequências diferentes.


Para simplificar o estudo, consideremos o caso mais simples em que
1=2=0. As equações são dadas do seguinte modo:





O ângulo entre os vectores girantes será: 1t-2t=(1-2)t
consequentemente o movimento resultante X=X1+X2 não é harmónico simples.


A amplitude das oscilações será dada pela expressão: .


Esta amplitude oscila entre os valores A+ e A-.








A+=A1+A2 quando (w1-w2)t=2n


A-= quando (w1-w2)t=2(n+1).


A frequência de oscilação da amplitude é expressa da seguinte forma: .





Batimentos


Ainda relacionado com a sobreposição, vamos estudar um caso especial em que
dois movimentos harmónicos se sobrepõem produzindo um não harmónico.


Se duas notas tem frequências ligeiramente diferentes, surge um batimento
(um dissonância – um som áspero) que resulta da interferência construtiva e
destrutivas das duas ondas quando ficam em fase ou em oposição de fase.


Se as duas frequências se forem aproximando, o batimento, tornar-se-á
gradualmente lento e desaparecerá quando elas forem idênticas (uníssono)


Para descrever-mos este fenómeno, consideremos duas amplitudes iguais,
propagando-se num meio (por exemplo o ar) e na mesma direcção, porem com
frequências ligeiramente diferentes f1 e f2.


O deslocamento que cada onda provocaria em um certo ponto do espaço é dado
por:


Y(t)=Acos(2f1t) e Y2=Acos(2f2t)


Pelo principio da sobreposição, observamos que o deslocamento resultante no
ponto considerado é dado por: Y(t)=Y1(t)+Y2(t)=A(cos(2f1t) +
Acos(2f2t)).Pela resolução trigonométrica, sabe-se que:


fazendo encontramos:


(1)


Através da equação (1) observamos que o deslocamento resultante da
combinação das duas oscilações tem uma frequência efectiva igual à
frequência média e uma amplitude não constante, mas modulada por uma
função oscilatória, ou seja,


(2) A amplitude varia com o tempo e com uma frequência dada por
.





1.15.3 Sobreposição de dois movimentos harmónicos simples com direcções
perpendiculares























FIG.10


A fig 10 representa uma composição de dois movimentos harmónicos simples
com a mesma frequência e direcções perpendiculares. Fica claro que a
trajectória depende da diferença de fase.


Consideremos o caso em que a amplitude se move num plano de modo que suas
coordenadas x e y oscilem com MHS.


Esses MHS, têm a mesma frequência, a mesma amplitude mas fases na origem
diferentes.


(3)


Elevando ambos os membros das duas igualdade ao quadrado e somando membro a
membro, obtemos:





Equação da elipse.


Se :


I) Ax=Ay


X2+Y2=1


Escolhemos a origem do tempo de modo que a fase inicial do movimento
ao longo do eixo dos x seja zero, teremos:








Casos especiais


Se


FIG.8




1. Se (movimentos em oposição de fase)

Na figura acima temos a equação da trajectória descrita durante o
movimento, o que efectivamente mostra que esta é descrita no sentido
crescente





FIG.12








Já para o caso da fig 12, a equação da recta é decrescente


Nos dois casos o movimento é harmónico simples. No entanto, podemos
concluir que, se =0 ou , a sobreposição de 2 MHS com direcção
perpendiculares resulta numa polarização linear, cuja amplitude é dada pela
equação .

2. Se diz-se que o movimento ao longo dos eixos x e y está em
quadratura.

Sobreposição de oscilações reciprocamente perpendiculares entre si e de
frequência cíclica e .


Nestas condições os valores de x e y repetem simultaneamente nos
intervalos de tempo T de valores iguais; mmc (T1, T2); . T1 e T2 são
períodos que podem verificar nos eixos x e y.


Como resultado aparecem movimentos com trajectórias fechadas.


Ex:
FIG.13





a)








b)


Exemplo – 7





Uma partícula esta sujeita simultaneamente a dois MHS da mesma frequência
e mesma direcção. Suas equações são dadas por: .


Determinar o movimento resultante para este caso concreto, atente ao
exemplo 6, ou seja, sendo o ângulo entre os dois vectores e
para a determinação da inclinação da recta, onde o ângulo procurado
seria determinado pela razão inversa da tg, ou seja, determinando o
arco cuja tag é o resultado do quociente acima.





Resolução:








Dados:









Exemplo – 8


3. Um objecto de 3kg, preso a uma mola, oscila com uma amplitude de 4 cm e
um período de 2s.

a) Qual o valor da energia total.
b) Qual a velocidade máxima do objecto.
c) Em que posição a velocidade é a metade da velocidade máxima?

Resolução:


Dados:


M= 3 kg


A=4 cm


T =2s


a)mas


b)


c) . Pretende se que a velocidade seja metade da velocidade máxima.
























Sumário


Características do Movimento Harmónico Simples.Deducao da equação do
M.H.S.Sobreposicao do M.H.S. Energia do M.H.S


Exercícios

"De condições básicas necessárias para o surgimento do "
"movimento oscilatório livre. Faça uma tabela que contenha"
"as grandezas fundamentais do movimento osculatório "
"harmónico, suas unidades no S.I. e seus símbolos. "
"Define as oscilações livres. "
"Dê alguns exemplos de movimento que sejam aproximadamente"
"harmónicos. Porque os movimentos realmente harmónicos "
"simples são raros. "
"Deduza e dê solução das equações diferenciais dos "
"movimentos harmónicos de uma mola elástica na horizontal,"
"do pêndulo simples e do pêndulo físico. "
"Um pêndulo simples de 1.0m de comprimento e de massa "
"m=600g e desloca lateralmente de modo que a extremidade "
"inferior fique 4,0cm acima da posição de equilíbrio. "
"Expresse como função da altura do pêndulo, a força, a "
"tangente a trajectória, a aceleração tangencial, a "
"velocidade e o deslocamento angilar, quando se deixa o "
"pêndulo oscilar. "
"A equação do movimento de um ponto material é , onde"
"X é dado em metros e t em segundos. "
"Calcule o deslocamento, a velocidade, a aceleração, o "
"período e a frequência do movimento, no instante t=2.0s. "
"De que tipo de movimento se trata. Descreva-o. "
"Quais os valores máximos da velocidade e da aceleração. "
"7.As acelerações e os deslocamentos a partir do ponto de "
"equilíbrio em um oscilador harmónico simples estão sempre"
"na mesma direcção? E quanto a aceleração e velocidade? E "
"a respeito da velocidade e do deslocamento? "
"8.Se a amplitude de um oscilador harmónico simples for "
"triplicada, por qual factor fica multiplicada a sua "
"energia? "
"9.Dois sistemas massa-mola oscilam com frequências fA e "
"fB .Se fA =2 fB e as constantes das duas molas são "
"iguais, qual será a relação entre as massas? "
" 10. Dois sistemas massa-mola oscilam de tal forma que"
"suas energias sejam iguais. Se kA = 2kB, qual será a "
"relação entre as amplitudes das oscilações "
"11.Um corpo de 1,5 kg oscila com movimento harmónico "
"simples preso a uma mola de constante k = 500N/m. Sua "
"velocidade máxima é de 70cm/s. Qual a energia mecânica "
"total? Qual é a amplitude da oscilação? "
" 12.Um corpo preso a uma mola oscila com amplitude de "
"4,5cm.Sua energia total é de 1,4J. Qual é a rigidez da "
"mola? "
"13. Um corpo de 2,4kg é preso a uma mola horizontal de "
"rigidez k = 4,5 N/m.A mola é distendida 10cm a partir de "
"sua posição de equilíbrio e libertada. Calcule: "
"a frequência do movimento "
"o período "
"a amplitude "
"a velocidade máxima "
"a aceleração máxima "
"o instante em que o corpo alcança pela primeira vez a "
"posição de equilíbrio e a sua aceleração nesse momento "














" ".Duas partículas 1 e 2 de mesma massa m estão presas"
" "por molas de constante elástica k, com comprimento "
" "relaxado l0 e massa desprezível, a paredes verticais"
" "opostas, separadas de 2l0; as massas podem deslizar "
" "sem atrito sobre uma mesa horizontal. Tem-se m=10g e"
" "k=100 N/m. No instante t=0, a partícula 1 é "
" "deslocada de 1cm para a esquerda e a partícula 2 é "
"Auto-avaliação "deslocada de 1cm para a direita, comunicando-se a "
" "elas uma velocidade de m/s, para a esquerda "
" "(partícula 1) e para a direita (partícula 2). "
" "Escreva as expressões dos deslocamentos x1 e x2 das "
" "duas partículas para t>0. "
" "As partículas irão colidir uma com a outra? Em que "
" "instante? "
" "Qual a energia total do sistema? "
" " "
" " "
" " "

Lição nº 2


Oscilações Amortecidas


Introdução


A maior parte das oscilações que vemos no nosso dia a dia, quando há uma
perturbação do sistema, tem lugar um movimento de vai-e-vem em que com o
decorrer do tempo sua amplitude vai diminuindo-se ate parar. Esta situação
é típica quando nos atiramos sobre uma cama de molas, ou ainda sobre o
capom de um carro com amortecedores gastos. A seguir vamos nos ocupar com
estudo deste tipo de oscilações .


Ao completar esta unidade / lição, você será capaz de:





" " "
"Objectivos " "
" "Caracterizar o movimento amortecido; "
" "Deduzir a equação diferencial do movimento "
" "amortecido; "
" "Representar e interpretar os gráficos dos movimentos "
" "super amortecido, amortecimento crítico e "
" "subamortecido; "
" "Interpretar o valor da constante b; "
" "Deduzir e interpretar as equações da energia no "
" "movimento amortecido; "






Oscilações São aquelas cuja amplitude diminui paulatinamente com o tempo à
custa da perda de energia devido ao atrito com meio ambiente. Este tipo de
oscilações constitui aquelas que acontecem na realidade. Exemplo: o
movimento do pêndulo gravítico simples é amortecido pela resistência do ar
e pelo atrito na suspensão, pois há conversão de energia mecânica em
energia interna do ar envolvente e do pêndulo.


O movimento amortecido difere do movimento harmónico simples, dado que no
movimento amortecido a amplitude vai diminuindo com o tempo ao passo que na
MHS esta é uma constante.


Se o amortecimento é bastante grande, a oscilação para completamente antes
mesmo de um ciclo de oscilação. O pêndulo apenas se move em torno da
posição de equilíbrio com uma velocidade que tende a zero, a medida que
tende para a posição de equilíbrio, esse tipo de movimento é denominado
supramortecido.


Se o movimento é pequeno o bastante para que a oscilação do sistema
diminua lentamente com o tempo, o movimento é dito sub amortecido.


O movimento que apresenta um imediato retorno à posição de equilíbrio é
definido como um movimento criticamente amortecido.





Movimento sub amortecido

Como deve se recordar, movimento sub amortecido é o movimento em que o
amortecimento é suficientemente pequeno para que a oscilação do
sistema diminua lentamente com o tempo.

Citamos como exemplo deste movimento, uma criança balançando num infantário
quando a tia pára de empurrar a cada ciclo.





A forca de amortecimento exercida sobre um corpo que oscila, tal como
mostra a figura, pode ser representada pela seguinte equação:


Onde: b é uma constante de amortecimento.


FIG.14


A figura 14 representa um amortecimento de uma oscilação num líquido


Este sistema é chamado linearmente amortecido. Devido à força de
amortecimento ser oposta à direcção do movimento, seu trabalho é negativo e
causa a redução da energia mecânica do sistema.


A energia é proporcional ao quadrado da amplitude , e o quadrado da
amplitude decresce exponencialmente com o aumento do tempo.





FIG.15


Na fig 15, temos uma diminuição da amplitude de uma oscilação com o tempo


A – é a amplitude


A0 – é a amplitude para o t = 0 s


τ –a constante de tempo. A constante de tempo representa o tempo necessário
para a energia decrescer a um factor .


Aplicando a 2ª lei de Newton ao sistema, temos:

















equação diferencial


A solução para um caso sub amortecido é:






A frequência cíclica é dada por:


onde é a frequência sem amortecimento


A amplitude da oscilação é dada por:





A constante de tempo


Se a constante de amortecimento for aumentada, a frequência angular
se reduz ate se tornar zero para um valor critico. .


Quando o sistema não oscila


Se o sistema é super amortecido


Se diz-se que o sistema tem amortecimento critico e o corpo
retorna à posição de equilíbrio sem oscilar.


Quanto maior for o b, mais rápido é o retorno do corpo à posição de
equilíbrio.


FIG.16






Energia de um oscilador sub amortecido


Como a energia de oscilador é proporcional ao quadrado da sua amplitude, a
energia de um oscilador sub amortecido também diminui exponencialmente com
o tempo.





Uma oscilação amortecida é frequentemente descrita por um factor Q (factor
de qualidade de amortecimento), . Q é a parcela de energia perdida em
cada ciclo.


Derivando a equação






Se o amortecimento é fraco, então a energia perdida pelo ciclo é pequena ,
podendo substituir-se por , pelo período T . Então:


em um ciclo é dado por:


Q é universalmente proporcional a parcela da energia perdida por ciclo.


" / "Quando a tecla dó central no piano é tocada "
"Exemplo 7 "(frequência de 262Hz), ela perde metade da sua "
" "energia em 4s. "
" "Qual é o valor da constante de tempo τ? "
" "Qual é o factor Q para essa corda do piano? "
" "Qual é a fracção de energia perdida por ciclo? "






Resolução:





Nota: τ- é tempo necessário para a energia decrescer de um factor .

c)A fracção da energia perdida no ciclo é dada pela equação





NB: Para a determinação de Q, também é válida a relação


Observe que a fracção da energia perdida após 4s não é apenas o número de
ciclos vezes a fracção da energia perdida por ciclo, porque a perda de
energia é exponencial e não constante.


" "Um oscilador tem um factor Q de 200. Qual é a perda "
"Exemplo 8 "percentual da sua energia durante um período? "


Resolução:





" "Mostre que a relação da amplitude para duas "
"Exemplo 9 "oscilações sucessivas é constante para uma oscilação"
" "amortecida. "


Resolução:





Sumário


Dedução da equação do movimento amortecido.


Classificação dos tipos de amortecimento


Determinação da energia dum sistema amortecido


Exercicios


"1.um corpo de 2kg de massa, preso a uma mola de "
"rigidez k = 400 N/m, oscila com uma amplitude inicial "
"de 3cm.Determine: "
"a) o período "
"b) a energia total inicial "
"c) se a energia decresce 1% por período, determine a "
"constante de amortecimento b e o factor Q "
"2.Mostre que a relação da amplitude para duas "
"oscilações sucessivas é constante para uma oscilação "
"amortecida "
"3.Um oscilador tem um período de 3s.Sua amplitude "
"decresce 5% em cada ciclo. "
"a) de quanto sua energia decresce em cada ciclo "
"b) qual é a constante de tempo ? "
"c) qual é o factor Q? "



" " .Considera-se que a vibração da Terra tem um "
"Auto-avaliação "período de ressonância de 54min e um factor Q de 400"
" "e que, após um grande terramoto, a Terra continua "
" "vibrando por cerca de dois meses. "
" "a) determine a percentagem de energia perdida "
" "durante cada ciclo "
" "b) mostre que após n períodos a energia é En= "
" "0,984nE0. "
" "c) se a energia de vibração de um terremoto é E0, "
" "qual será a energia após dois dias? "




Lição nº 3


Oscilações Forçadas e Ressonância


Introdução





Nas licções anteriores falamos sobre oscilações amortecidas, ou seja,
aquelas cuja amplitude vai diminuindo com o tempo. Está claro que a
amplitude de um movimento amortecido pode se manter sempre constante. Para
manter um sistema harmónico amortecido em movimento, a energia mecânica
precisa ser adicionada ao sistema. Quando isso é feito o sistema oscilante
é dito forçado. No nosso dia a dia este tipo de movimento pode ser
observado num baloiço em que uma pessoa esta baloiçando enquanto a outra
vai aplicando periodicamente uma força (empurrão) ao sistema para este se
manter em movimento oscilatório.


Ao completar esta unidade / lição, você será capaz de:





" " "
"Objectivos " "
" "Caracterizar o movimento oscilatório forçado; "
" "Deduzir a equação diferencial do movimento "
" "oscilatório forçado; "
" "Representar e interpretar os gráficos da "
" "ressonância; "
" "Interpretar o valor de Q; "
" "Deduzir e interpretar as equações da energia no "
" "movimento oscilatório forçado; "
" "Citar exemplos da aplicação da ressonância. "


A ressonância é um problema de maior importância. Além de atrito, existe
uma forca externa f(t) aplicada ao oscilador.


A amplitude, e por tanto a energia, de um sistema em estado estável depende
não somente da amplitude da força de excitação, mas também da sua
frequência. A frequência natural de um sistema oscilatório, , é a
frequência do sistema quando nenhuma força de excitação ou de amortecimento
está presente (no caso de uma mola por exemplo, ).


Se a frequência de excitação é aproximadamente igual a frequência natural
do sistema, este oscilará com uma amplitude muito grande. Mas se a
frequência de excitação for muito maior ou muito menor à frequência
natural, o sistema oscilará com uma amplitude menor.


Quando a frequência de excitação é igual a frequência natural do sistema
oscilatório, a energia por ciclo transferida para o sistema é máxima. Este
fenómeno é denominado ressonância. A frequência natural do sistema é então
chamada de frequência de ressonância.






FIG.17








As figuras acima representam curvas de força média transferida ao sistema
oscilante como uma função de frequência de excitação para dois valores
diferentes de amortecimento.





A largura da banda das curvas de ressonâncias , indicada na figura, é
a largura referente à metade da altura máxima. Para amortecimentos fracos,
a relação entre a largura da banda da curva de ressonâncias e a frequência
de ressonância é igual ao inverso do factor Q.


Tratamento matemático da ressonância


Pode-se tratar matematicamente um oscilador forcado assumindo que, alem da
forca de restauração e da forca de amortecimento, o oscilador esta
submetido a um forca de excitação externa que varia harmonicamente com o
tempo.


Onde e são a amplitude e frequência angular da força de
excitação. Esta frequência geralmente não esta associada a frequência
angular do sistema, .


Aplicando a 2ª lei de Newton, a um corpo de massa preso numa mola
com regidas e submetida a um força de amortecimento e uma força
externa , é:


onde é usada





equação diferencial


A solução desta equação diferencial é dada por onde é a
frequência de excitação e a amplitude A é dada por, o que mostra que o
movimento já foi mantido com a mesma amplitude


sendo a constante dada por:





A velocidade do corpo na fase permanente é obtida dividindo-se em
relação a :


para a ressonância , a velocidade esta em fase com a força de
excitação:





" "Um corpo com uma massa de 1,5kg preso a uma mola de "
" "rigidez igual a perde de sua energia a "
" "cada ciclo de oscilação. O mesmo sistema é excitado "
" "por uma força sonoidal com valor máximo de "
"Exemplo 10 "a) Qual é o valor de do sistema? "
" "b) Qual é o valor da frequência angular de "
" "ressonância? "
" "c) Se a frequência de excitação variar levemente em "
" "torno da ressonância, qual é a largura da "
" "ressonância? "
" "d) Qual é a amplitude na ressonância? "
" "e) Qual é a amplitude, se a frequência de excitação "
" "é ? "



Resolução:

a) Como a energia perdida por ciclo é somente , então o
amortecimento é fraco, pode-se encontrar Q a partir da equação:




b) quando há ressonância, temos a seguinte igualdade:


c) Sabe-se que


d) A amplitude para qualquer frequência de excitação é dada por: ,
na ressonância , então , sabe-se que


e)






Exercicios








"1.Um oscilador amortecido perde 2% da sua energia a cada "
"ciclo. "
"a) qual é o factor Q? "
"b) se a frequência de ressonância é de 300 Hz, qual é a "
"largura de banda da curva de ressonância quando o oscilador"
"é excitado? "
"2.Um corpo de 2kg oscila em uma mola de rigidez .A "
"constante de amortecimento vale .O sistema é excitado "
"através de uma força senoidal com valor máximo de 10 N e "
"frequência angular . "
"a) qual é a amplitude das oscilações ? "
"b) se a frequência de excitação é variada, para qual "
"frequência ocorrera a ressonância? "
"c) qual é a amplitude das oscilações para a ressonância? "
"d) qual é a largura da curva de ressonância? "









" " "
"Auto-avaliação "Um oscilador amortecido gasta 3,5% de energia a cada"
" "ciclo. Quantos ciclos são necessários para metade da"
" "sua energia seja gasta? "

Unidade 2


Lição nº 1


Oscilações eléctricas harmónicas


Introdução


Recorde – se que na unidade 1 falamos de oscilações mecânicas. Neste
capitulo iremos continuar com a discussão de oscilações, só que desta vez
vamos discutir oscilações eléctricas, Estas oscilações são análogas às
estudadas na unidade 1, sendo que nesta unidade a discussão estará virada
para grandezas eléctricas.


Ao completar esta unidade / lição, você será capaz de:





" " "
"Objectivos " "
" "Deduzir a equação diferencial do movimento harmónico"
" "simples num circuito electrico constituído por uma "
" "bobina e um capacitor. "
" "Representar e interpretar os gráficos da carga e "
" "corrente num circuito LC "
" "Deduzir e interpretar as equações da energia no "
" "movimento harmónico simples num circuito LC "






" "Condensador, bobina, capacitância,bobina. "
"Terminologia " "









Para a obtenção de uma oscilação harmónica, usamos um circuito oscilatório
simples que para a sua realização precisamos de um condensador e de uma
bobina, ou seja, a resistência deve ser igual a zero ( circuito ideal).


FIG.18









Para este circuito oscilatório simples temos: . Representando
a equação diferencial através da carga eléctrica temos:


, , então,


- equação diferencial de uma oscilação eléctrica harmónica. A
solução desta equação diferencial é dada por


amplitude da carga, é frequência das oscilações não
harmónicas


Da expressão , pode se extrair o período do movimento oscilatório


e


A intensidade da corrente é a derivada temporal de q(t).


ou . Em consequência concluímos que a corrente do circuito
é oscilatória, com uma frequência angular e uma amplitude
constante. Razão porque se pode expressar a corrente na forma .
é a frequência natural do circuito.


Pelas expressões da carga e da Intensidade da corrente, nota se que a
intensidade atinge o valor máximo rapidamente do que a carga e está
desfasada em .Tomando em consideração a tensão nesta descrição,
temos , onde é a amplitude da tensão. . Desta expressão da
tensão, conclui se que a carga e a tensão estão em fase, ou seja, tanto a
carga como a tensão, atingem os máximos no mesmo ponto.





















Representação gráfica


FIG.19















A figura representa a curva de variação da carga e intensidade de corrente
como função de tempo


No circuito ocorre oscilação porque à medida que se descarrega o
condensador, a fem na auto indutância tende a manter uma corrente em
sentido oposto que carrega o condensador. Quando o condensador se carrega
de novo, o processo se repete em sentido oposto, dado que ele tende a
descarregar – se novamente


Energia de um circuito LC


Consideremos o circuito a baixo indicado


Ligando o circuito, desenvolvem se oscilações tanto da tensão como da
carga. A energia irá depender da capacitância e da tensão do condensador,
então, e a energia magnética





O máximo da energia eléctrica do circuito regista se para o Ângulo de fase
igual a 90º e o máximo da energia magnética regista se quando o Ângulo de
fase igual a oº. Nota se portanto que quando . é máxima, ou seja,
Quando o condensador descarrega, a energia total do circuito é igual a
energia magnética ,e quando . Como o condensador
não está descarregado, as duas energias registam se simultaneamente e a
soma é igual a energia total do circuito. ,




















Sumário


Estudo do circuito LC.


Energia de um circuito LC





Exercícios


"1.Um circuito LC tem uma capacitância C1 e uma indutância L1. Um segundo "
"circuito tem uma capacitância C2=C1/2 e uma indutância L2=2L1; um terceiro"
"circuito tem uma indutância C3=2C1 e uma indutância L3=L1/2. "
"Mostre que a frequência de oscilação é a mesma para os três circuitos. "
"Em qual dos três circuitos a corrente máxima será maior se os capacitores "
"dos três circuitos forem carregados com a mesma tensão? "
" "
"2. Um capacitor de esta ligado a um gerador que tem uma força "
"electromotriz máxima de 100V.Calcular a reactância e a corrente quando a "
"frequência for de 60Hz e quando for 5.000Hz. "



" "Fabricar um circuito LC com uma frequência de "
"Auto-avaliação "oscilação de milhares de hertz ou mais é mais fácil,"
" "mas fazer um circuito LC com uma frequência de "
" "oscilação de centenas de hertz ou menos é difícil. "
" "Porquê? "




Lição nº 2


Oscilações eléctricas amortecidas (RLC)


Introdução


A fig.20, mostra nos um circuito RLC, ou seja, um circuito constituído por
uma resistência, uma bobina e um condensador. Neste circuito, teremos
oscilações cuja amplitude diminui gradualmente com o tempo devido a
presença da constante de amortecimento que no caso é a resistência
eléctrica.


Ao completar esta unidade / lição, você será capaz de:


" " "
"Objectivos " "
" "Deduzir a equação diferencial do movimento harmónico"
" "simples num circuitoelectrico constituidopor uma "
" "bobina, um capacitor e um resistor "
" "Representar e interpretar os gráficos da carga e "
" "corrente num circuito RLC. "
" "Deduzir e interpretar as equações da energia no "
" "movimento harmónico simples num circuitoRLC "












Para o estudo deste circuito, consideremos as condições iniciais , onde
teremos quedas de tensão nos seguintes elementos do circuito: capacitor,
resistor e na bobina. Pela lei de Kirchoof a soma destas quedas de tensão é
nula.














Quando a resistência não é dispresível, as oscilações resultantes são
amortecidas


Fig.20






Neste caso conta se com uma constante de amortecimento dada por





A solução desta equação diferencial é


A resistência no circuito faz com que a frequência da oscilação seja menor
que a frequência natural.


A corrente varia com o tempo de acordo com a expressão , onde



O amortecimento no circuito deve – se a dissipação de energia na
resistência.





1ª taxa de aumento de energia no capacitor


2ª taxa de aumento de energia na bobina


3ª taxa de diminuição de energia no resistor


Graficamente temos


FIG.21























Sumário


Estudo do Circuito RLC


Energia de um circuito RLC


Exercícios


"1.Desenhe o diagrama fasorial de um circuito RLC em série para VL