Matemática

I UNIDAD: MATRICES Y DETERMINANTES

1. INTRODUCCIÓN.
En muchos análisis económicos las variables se suponen ligadas por
conjuntos de ecuaciones lineales. El álgebra matricial proporciona una
notación clara y concisa para la formulación y solución de tales
problemas, muchos de los cuales serían muy complicados en la notación
algebraica convencional.
En esta unidad, se definen a las matrices y las operaciones entre
éstas. También se tratan y aplican a la solución de ecuaciones lineales
simultáneas, el rango y la inversa de una matriz. Considerando en cada
caso las aplicaciones al campo de la Economía.


2. DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ. Una matriz es un arreglo rectangular de
números o funciones dispuestas en filas y columnas encerradas entre
paréntesis o corchetes, que verifican ciertas reglas para determinadas
operaciones y se utilizan cualquiera de las siguientes formas para su
representación:
o
- Una matriz se denota por una cualquier letra mayúscula
(A,B,C,….,Z)
- Las letras representan a números reales o funciones y son
los elementos de la matriz.
- El conjunto de números constituyen la i-ésima fila.
- El conjunto de números constituyen la j-ésima columna.


3. ORDEN DE UNA MATRIZ. El orden o dimensiones de una matriz está dada por
el producto , donde indica el número de filas y el
número de columnas.
Ejemplo:
es una matriz de orden 2 x 3
Observación: El conjunto de matrices de orden con elementos en K (K
puede ser o ) puede denotarse como , es decir:



Ejercicios, escribir explícitamente las siguientes matrices:
a)
b)
4. IGUALDAD DE MATRICES. Se dice que las matrices y son
iguales si y solo si son idénticas; es decir, si son del mismo orden y
sus respectivos elementos son iguales. Esto es:
, para cada y para cada .
PROPIEDADES.
Si A y B son dos matrices cualesquiera, entonces: A=B ó B=A.
Si A es una matriz, entonces: A = A;
Si A y B son matices y
Si A, B y C son matrices y si


Ejercicio:
Sean las matrices: y . Si A = B. Hallar el valor de x.y.z




5. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES.
a) Matriz Rectangular. Es la matriz de orden con
Ejemplo:
es una matriz rectangular de orden


b) Matriz Fila. La matriz de orden se denomina matriz fila o
vector fila.
Ejemplo:
es una matriz o vector fila de orden


c) Matriz Columna. La matriz de orden , recibe el nombre de
matriz columna.
Ejemplo:
es una matriz columna de orden
d) Matriz Nula o Matriz Cero. Es aquella matriz en la que todos sus
elementos son iguales a cero.
Ejemplo:
es una matriz nula que se denota como:


e) Matriz Cuadrada. Es una matriz que tiene el número de filas igual
al número de columnas.
Ejemplo:
es una matriz cuadrada de orden 3.


En forma general, las matrices cuadradas, tienen la siguiente forma:

Observaciones:
- La diagonal principal es una línea formada por los elementos
- La suma de los elementos de la diagonal principal de un matriz
cuadrada se llama TRAZA de la matriz.

6. ADICIÓN DE MATRICES. Dadas las matrices y que son del mismo
orden, se dice que son conformables respecto a la adición, es decir es
posible encontrar la suma de estas, entonces la suma de A y B es otra
matriz tal que:

Esto es: .
PROPIEDADES. Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces se
cumplen las siguientes propiedades:
………. Clausura
………. Conmutativa
………. Asociativa
tal que …………. Elemento Neutro Aditivo
Para cada tal que … Elemento Inverso Aditivo
7. OPUESTA DE UNA MATRIZ O INVERSA ADITIVA. Si se tiene la matriz
entonces la opuesta o inversa aditiva de A es: .
8. SUSTRACCIÓN DE MATRICES. Dadas las matrices y , entonces la
diferencia entre A y B es otra matriz C, del mismo orden, tal que: .
9. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ. Dada la matriz A y un número real
k, el producto de k por la matriz A, se define por: , es decir cada
componente de la matriz A se multiplica por k.


PROPIEDADES.
Si y son números reales, entonces:
………. Asociatividad escalar
…..Distributividad respecto a la adición de escalares
………. Distributividad respecto a la adición de matrices


Ejercicios:


1. Determine los valores de las variables para la siguiente ecuación:

2. Sean las matrices :
.
Si: A = B, hallar A + 3C
3. Si: . Resolver las siguientes ecuaciones:
a) 3(X – 2A) = 5(B - C) + 2(X – A - B)
b) 3(X – A + B) = 2[X - 2(B + C)] - (X + C)
4. Resolver el sistema: , donde:

10. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES. El producto de una matriz y una matriz
, si es posible determinarlo, dado que el número de columnas de la
matriz A es igual al número de filas de la matriz B, entonces el producto
de A.B es otra matriz , donde es el producto escalar de la i-
ésima fila de A por la k- ésima columna de B. gráficamente podemos
observar:

Por definición: tal que los elementos de la matriz producto se
obtiene de la siguiente manera:
= (fila i de A por la columna k de B)

Es decir: .
PROPIEDADES.



, salvo el caso donde A y B sean matrices permutables

Ejercicios:
1. Calcular el producto:
2. Hallar a,b,c y d para que satisfagan la ecuación:
3. Si: , calcular: x + y + z.
4. Si: . Hallar: S = a + b + c + d.
5. Si: , hallar: tal que:
6. Si: , hallar:
a)
b)

11. MATRICES CUADRADAS ESPECIALES

A) MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR. Es aquella matriz cuadrada A, cuyos
elementos son iguales a cero, para todo i > j


B) MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR. Es aquella matriz cuadrada A, cuyos
elementos son iguales a cero, para todo i < j.


C) MATRIZ DIAGONAL. Es aquella matriz cuadrada A, que a su vez es
triangular superior e inferior.

D) MATRIZ ESCALAR. es aquella matriz diagonal en la cual todos los
elementos de la diagonal principal son iguales.
donde :
E) MATRIZ IDENTIDAD. Una matriz cuadrada de orden n cuyos elementos de la
diagonal principal son todos iguales a uno y los otros elementos son
cero, recibe el nombre de matriz identidad o matriz diagonal. Se
denota generalmente con , esto es:

Además:





TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Dada la matriz , se llama matriz transpuesta de A y se denota por
o , a la matriz de orden cuyos elementos se obtienen
intercambiando las filas por las columnas. Esto es:
, donde para todo
Ejemplo


Si: entonces
PROPIEDADES:







F) MATRIZ SIMÉTRICA. Si , entonces la matriz A se llama simétrica.
Ejemplo: La matriz es simétrica

G) MATRIZ ANTISIMÉTRICA. Si , entonces la matriz A se llama
antisimétrica.
Ejemplo: La matriz es antisimétrica

H) MATRIZ PERIÓDICA. Dada la matriz cuadrada A, si para un número entero
positivo p, ocurre que : , se dice que A es una matriz cuadrada
de periodo p.
Ejemplos:
a) Si A es un matriz cuadrada y periódica tal que , hallar el
periodo y calcular .
b) Si: . Calcular
I) MATRICES PERMUTABLES. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo
orden y se verifica que , entonces A y B se llaman matrices
permutables o conmutativas.
Ejemplo:
Hallar todas las matrices conmutativas con la matriz:

J) MATRIZ IDEMPOTENTE. Es una matriz periódica pero de periodo , es
decir:
Ejemplo: Demostrar que la matriz es idempotente

K) MATRIZ NILPOTENTE. Una matriz cuadrada A, es nilpotente si
donde n es un entero positivo llamado índice.
Ejemplo: Demostrar que la matriz es nilpotente de índice 3.
L) MATRIZ INVOLUTIVA. Una matriz cuadrada A es involutiva si
Ejemplo: Demostrar que la matriz es involutiva.


12. POTENCIACIÓN DE MATRICES. La potenciación de matrices la definiremos
por inducción matemática, como sigue:

Observación:
La potenciación de matrices es conmutativa. Según lo anteriormente
expuesto, se cumplen las siguientes propiedades:
a) Si A es una matriz cuadrada, entonces , donde son
enteros positivos.
b) Si conmutan, entonces conmutan, siendo enteros
positivos.


Ejemplos:
1. Si: , , hállese una fórmula para y luego
demostrar su validez por inducción matemática.
2. Determinar una fórmula para , si y luego
demostrar su validez por inducción matemática.


EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS


1. Si: , hallar la suma de los elementos de
2. Si: , hallar
3. Sean: , hallar:
4. Para la matriz: , hallar:
5. Si: , hallar la matriz:
6. Sean las matrices:
Si: , hallar la suma:
7. Si A y B son matrices involutivas y , hallar la traza de la
matriz:
8. Si: es una matriz simétrica, hallar
9. Demostrar que la matriz es periódica , determinar su periodo.
10. Sean las matrices: . Si: , hallar: .
11.
12. (Costos de Transporte) Una compañía tiene plantas en tres localidades,
X, Y y Z y cuatro bodegas en los lugares A, B, C y D. el costo (en
dólares) de transportar cada unidad de su producto de una planta a una
bodega está dado por la matriz siguiente:
A X Y Z De

a) Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $ 1
por unidad ¿Cuál es la nueva matriz?
b) Si los costos de transportación se elevan en una 20 %, escriba los
nuevos costos en forma matricial.


13. (Comercio Internacional) El comercio entre países I, II y III durante
el año 2004 () en millones de dólares) está dado por la matriz
en donde representa las exportaciones del país i al país j.

El comercio entre estor tres países durante el año 2005 (en millones
de dólares) está dado por la matriz B.

a) Escriba una matriz que represente el comercio total entre los tres
países en el periodo de 2 años 2004 y 2005.
b) Si el 2004 y 2005, 1 dólar equivalía a 3,5 nuevos soles peruanos,
escriba la matriz que representa el comercio total durante los 2
años en nuevos soles peruanos.


14. (Matriz de Producción) Un fabricante de zapatos los produce en color
negro, blanco y café para niños, damas y caballeros. La capacidad de
producción (en miles de pares) en la planta X está dada por la matriz
siguiente:
Hombres Mujeres Niños



La producción en la planta Y está dada por.




Hombres Mujeres Niños



a) Determine la representación matricial de la producción total de
cada tipo de zapato en ambas plantas.
b) Si la producción en X se incrementa en un 50% y la de Y en 25%,
encuentre la matriz que representa la nueva producción total de
cada tipo de calzado.

15. (Valoración de Inventarios) un comerciante de televisores a color
tiene cinco televisores de 26 pulgadas, ocho de 20, cuatro
televisores de 18 pulgadas y diez de 12. los televisores de 26
pulgadas se venden en $ 650 cada uno, los de 20 en $ 550 cada uno, los
televisores de 18 pulgadas en $ 500 cada uno y los de 12 se venden en
$ 300 cada uno. Exprese el precio de venta total de su existencia de
televisores como el producto de dos matrices.


16. (Costos de materias primas) Una empresa utiliza tres tipos de materias
primas M1, M2, M3 y en la elaboración de dos productos P1 y P2. el
número de unidades de M1, M2, M3 usados por cada unidad de P1 son 3, 2
y 4, respectivamente y por cada unidad de P2 son 4, 1 y 3,
respectivamente. Suponga que la empresa produce 20 unidades de P1 y 30
unidades de P2 a la semana. Exprese las respuestas a las preguntas
siguientes como productos de matrices.
a) ¿Cuál es el consumo semanal de las materias primas?
b) Si los costos por unidad (en dólares) para M1, M2, M3 son 6,10 y 12
respectivamente, ¿cuáles son los costos de las materias primas por
unidad de P1 y P2?
c) ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana
en la producción de P1 y P2?






DETERMINANTES

1. Definición.- El determinante viene a ser una función que aplicada a
una matriz cuadrada le da un único valor numérico.
NOTACIÓN: Sea A una matriz cuadrada, entonces el determinante de la
matriz A se representa por o .
Entonces la definición de determinante se puede enunciar de la
siguiente manera:
Sea el conjunto de todas las matrices cuadradas de orden n,
entonces la definición queda de la siguiente manera:

Orden de un determinante. El orden del determinante de una matriz
cuadrada A de orden n es n.


2. Determinante de Segundo Orden.-
Sea la matriz cuadrada de orden :

Su determinante se define mediante la fórmula:
(Producto de los elementos de la diagonal principal menos el
producto de los elementos de la diagonal secundaria)
Ejemplo: Sea la matriz cuadrada de orden : Hallar su
determinante:
3. Determinante de Tercer Orden.-
Sea la matriz cuadrada de orden :

Su determinante se define mediante la fórmula:

La cual se puede recordar fácilmente con la siguiente regla: (Regla de
Sarrus)





O también:











Ejemplo: Hallar el determinante de las siguientes matrices:



4. Propiedades de los Determinantes:
1. Para toda matriz cuadrada A se cumple:
2. El determinante de una matriz A cambia de signo si dos filas (o dos
columnas) se intercambian.
3. Si la matriz B se obtiene de la matriz A, trasladando una de sus
filas (o columnas) k lugares, entonces se cumple: .
4. Si en una matriz A se tiene que una fila (o columna) es múltiplo de
otra fila (o columna) entonces el determinante de dicha matriz vale
cero.
5. Si en una matriz A todos los elementos de una fila (o columna) son
ceros, entonces su determinante vale cero.
6. Si en una matriz A todos los elementos de una fila (o columna) son
multiplicados por una escalar k, entonces el valor del determinante
también queda multiplicado por k.
Nota: Si una matriz cuadrada A de orden n es multiplicada por el
escalar k (esto significa que todos los elementos de A son
multiplicados por k o en forma equivalente todas las columnas de A
son multiplicadas por k), entonces el determinante de la matriz A
queda multiplicada por . Es decir, si A es de orden , se
tiene que su determinante es:

7. Si a una fila (o una columna) de una matriz A se le suma el
múltiplo de otra fila (o columna9, se tendrá que el valor del
determinante de A no varía.
8. Si los elementos de una fila (o columna) cualquiera consta de dos
términos, el determinante puede expresarse como la suma de otros
dos determinantes.

9. El determinante de la matriz identidad es igual a la unidad.
10. Sea una matriz diagonal de orden , entonces:
(Producto de los elementos de la diagonal)
11. El determinante de una matriz triangular superior (o triangular
inferior) es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal.
12. En forma general, el determinante de una suma de matrices es
diferente de la suma de los determinantes de las matrices. Es
decir:

13. En forma general, el determinante de un producto de matrices es
igual al producto de los determinantes de las matrices (siempre y
cuando las matrices sean cuadradas y del mismo orden). Es decir:



5. Menor Complementario y Cofactores.
Sea A la siguiente matriz de orden :

Sea la submatriz de orden que resulta de eliminar la i-
ésima fila y la j-ésima columna de A, entonces:
i. El determinante se lama MENOR (menor complementario) del
elemento de la matriz A.
ii. El COFACTOR del elemento , que se simboliza por , se
define por:



Ejemplo: Hallar la matriz de cofactores de la matriz
6. Desarrollo de un Determinante por Cofactores.
TEOREMA: El determinante de la matriz cuadrada es igual a la
suma de los productos de los elementos de cualquier fila (o columna)
por sus respectivos cofactores.
a) Si elegimos la fila i, el desarrollo del determinante,
por filas, obedece a la siguiente regla:

b) Si elegimos la columna j, el desarrollo del determinante, por
columnas, obedece a la siguiente regla:

Ejemplo: Calcular , si:


7. Matriz de Cofactores.
Si A es una matriz cuadrada de orden y es el cofactor de
, entonces la matriz de cofactores de A se distingue como :

La transpuesta de esta matriz se llama matriz adjunta de A. es decir:

Ejemplo: Sea la matriz , encontrar la matriz de cofactores y la
matriz adjunta de A.


8. Cálculo de determinantes de cualquier orden.
Para calcular el determinante de una matriz de orden n, es conveniente
seguir los siguientes pasos:
1st. Elegir como línea pívot una fila o una columna y destacarla con un
asterisco.
2nd. Haciendo uso de la propiedad 7 de los determinantes, se multiplica
cada elemento de la línea pívot por un número tal que al sumar el
resultado con el elemento correspondiente de otra línea, se obtenga
por lo menos un elemento igual a cero.
3rd. Se repite el paso 2 tantas veces como sea necesario hasta obtener
un determinante equivalente en el que todos los elementos de una
misma línea, excepto uno, sean cero.
4th. Se desarrolla el determinante obtenido en el paso 3 con respecto a
la línea que tiene sus elementos igual a cero, con excepción de uno
de ellos, obteniendo así un solo determinante de orden .
5th. Se repite el procedimiento hasta obtener un determinante de orden
2.


Ejemplos: Calcular los determinantes de las matrices siguientes:
a)
b)
c)

d)


MATRIZ INVERSA


Si , se dice que es inversible si existe una matriz , tal
que: , entonces se dice que es la matriz inversa de y se
denota por . Luego .


Ejemplo:
Para las matrices: y
Se tiene:

Como: , entonces es la inversa de , es decir:



OBSERVACIONES:


1. Si una matriz tiene inversa, entonces esta inversa es única.
2. Si es la matriz inversa de , entonces también se puede decir
que es la matriz inversa de .
3. No siempre una matriz cuadrada tiene inversa.


PROPIEDADES: Si A y B son matrices cuadradas de orden n, inversibles,
entonces:





TEOREMA: Una matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si


Ejemplos:
1. Sea: ; como , entonces existe la inversa de y por
lo tanto es inversible.
2. Sea: ; como , entonces no existe la inversa de , es
decir no es inversible.


Definiciones:
i. Una matriz cuadrada A se dice que es NO SINGULAR si y sólo si
ii. Una matriz cuadrada A se dice SINGULAR si y sólo si
Luego, del teorema y las definiciones anteriores, obtenemos la siguiente
equivalencia:








En símbolos:










OBTENCIÓN DE LA MATRIZ INVERSA:


TEOREMA: Si A es una matriz inversible (), entonces la matriz
inversa está dada por:








Ejemplos: Hallar la inversa de las siguientes matrices:

a)
b)
TEOREMA: Si una matriz cuadrada A es no singular (), entonces:










OPERACIONES ELEMENTALES (O.E.)
Definición.- Se llaman operaciones elementales o transformaciones
elementales por filas (o columnas) sobre una matriz A, alas siguientes
operaciones:
1st. Al intercambio de dos filas (o dos columnas)
NOTACIÓN:
: representa al intercambio de la fila por la fila
: representa al intercambio de la columna por la columna

2nd. A la multiplicación de una fila (o una columna) por un escalar no nulo
NOTACIÓN:
: representa a la multiplicación de la fila por el escalar
k
: representa a la multiplicación de la columna por el
escalar k.
3rd. A la fila (o columna) le sumamos el múltiplo de otra fila (o columna)
NOTACIÓN:
: representa a la suma de la fila con k veces la fila

: representa a la suma de la columna con k veces la
columna


MATRICES EQUIVALENTES
Se dice que una matriz es equivalente (por filas) a una matriz
, si B se puede obtener de A por medio de un número finito de
operaciones elementales (por filas).
NOTACIÓN:
Ejemplo: Mediante operaciones elementales, la matriz , llevarla a la
matriz identidad, si fuese posible.


MATRIZ ESCALONADA.
Definición.- Una matriz es escalonada si tiene la siguiente
estructura:
a) Las primeras K- filas son no nulas y las restantes (n -K) filas son
nulas. Se dice que una fila (o columna) es nula si y sólo si todos sus
elementos son nulos, mientras que una fila (o columna) es no nula si y
sólo si por lo menos uno de sus elementos es distinto de cero.
b) El primer elemento no nulo de cada una de las K filas es la unidad.
c) En cada una de las K filas, el número de ceros anteriores a la unidad
crece de fila a fila.

PROPIEDAD: Cualquier matriz puede ser reducida a una matriz
escalonada , mediante un número finito de operaciones elementales.
Ejemplo: Reducir a su forma escalonada las siguientes matrices:
a)
b)

DETERMINACION DEL RANGO DE UNA MATRIZ POR MEDIO DE OPERACIONES ELEMENTALES


PROPIEDAD: Dos matrices equivalentes tienen el mismo rango, es decir:
Si




OBSERVACIONES:
1st. Se deduce que para hallar el rango de una matriz, es suficiente con
llevarla a su forma escalonada. Luego, el rango de dicha matriz será
igual al rango de una matriz escalonada.
2nd. El rango de la matriz escalonada será K, donde K es el número de filas
no nulas.


Ejemplos: Hallar el rango de las siguientes matrices:
a)
b)

OBTENCIÓN DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE OPERACIONES ELEMENTALES.
TEOREMA: Si una matriz A se convierte en la matriz identidad por una serie
de operaciones elementales de fila o columna, entonces la misma serie de
operaciones elementales de fila o columna realizadas sobre la matriz
identidad la convertirán en .
En esto consiste el método de Gauss – Jordan: Sea la matriz cuadrada
, entonces según el método, se tiene:






donde I es la matriz identidad de orden n x n.
No es preciso conocer de antemano si A es no singular, pues si A es
singular, al aplicar este método, ocurre que uno de los elementos de la
diagonal de la matriz I que aparece en es cero y por lo tanto dicha
matriz nunca será la identidad; en consecuencia no existe .

Ejercicicos:
1. Determinar la inversa de las siguientes matrices:

a)


b)
c)
2. Si se sabe que la matriz satisface la igualdad , donde:
. Hallar la matriz X, mostrando primero que A es no singular.














SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES


El sistema de ecuaciones lineales con ecuaciones y incógnitas.
………… (1)
Es equivalente a la ecuación matricial:
……. (2)
O simplemente , donde es de orden , de y de



Observaciones:
1st. Como (1) es equivalente a (2), entonces toda solución de (1) es
solución también de (2) y viceversa.
2nd. Una solución del sistema es una n- upla cualquiera de números
para los que se satisfacen todas las ecuaciones.
3rd. La matriz se llama matriz de coeficientes.
4th. La matriz de orden se llama matriz aumentada o ampliada de
sistema. Es decir:

5th. Si el sistema (1) tiene una o más soluciones, entonces diremos que el
sistema es consistente, en caso contrario diremos que es inconsistente.


PROPIEDADES:
1. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si sus
respectivas matrices aumentadas son equivalentes. Es decir, el sistema
es equivalente al sistema si y sólo si es equivalente a

2. Dado el sistema de ecuaciones lineales . La matriz aumentada de
los coeficientes es y la matriz escalonada correspondiente a
es entonces, tenemos que los sistemas de ecuaciones y
son equivalentes, es decir, tienen la misma solución.

RANGO DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.


El sistema de ecuaciones lineales con ecuaciones y incógnitas.
………… (1)


donde de orden , de orden y de orden .
Además es la matriz ampliada.

PROPIEDADES:
1. La condición necesaria y suficiente, para que el sistema (1) sea
consistente, es que el rango de la matriz se los coeficiente sea igual
al rango de la matriz aumentada. Es decir:








2. Si el sistema es consistente, se presentan los siguientes casos:
a) Que el sistema (1) tenga una sola solución (solución única). Este
hecho ocurre si el número de incógnitas del sistema es igual al
rango de la matriz aumentada. Es decir, como el sistema tiene n
incógnitas y es consistente (), tendrá solución única si
.
b) Que el sistema (1) tenga más de una solución (infinitas soluciones).
Este hecho ocurre si el número de incógnitas del sistema es mayor
que el rango de la matriz aumentada. Es decir, como el sistema tiene
n incógnitas y es consistente (supongamos que ), tendrá más de
una solución si .
NOTA: Como , entonces () variables o incógnitas del sistema
(1) toman valores arbitrarios. Estas variables o incógnitas que toman
valores arbitrarios se conocen con el nombre de variables libres,
variables independientes o parámetros.
3. Si el rango de la matriz de los coeficientes es distinto del rango de
la matriz aumentada, entonces se dice que el sistema (1) es
inconsistente. Es decir, si entonces el sistema (1) es
inconsistente (no existe solución).

RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES NO HOMOGÉNEO.

1. RESOLUCIÓN UTILIZANDO NOTACIÓN MATRICIAL.


A) UTILIZANDO OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA.
Para sistemas de ecuaciones con incógnitas.
PROPIEDAD: Para resolver un sistema de ecuaciones lineales no
homogéneo, debe llevarse a la matriz ampliada a su forma escalonada
y a partir de dicha forma deducir las soluciones.
Ejemplos: Hallar la solución de los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:



a)
b)
c)


d)
e)


f)


B) UTILIZANDO LA MATRIZ INVERSA.
Para sistemas de ecuaciones con incógnitas.
El sistema se escribe en la forma , se donde se despeja la
matriz de la siguiente manera:
;
Ejemplo: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones
lineales:
2. RESOLUCIÓN UTILIZANDO DETERMINANTES (REGLA DE CRAMER)
Para sistemas de ecuaciones con incógnitas.
Sea el sistema:

Este sistema tiene solución única si y sólo si y esta
solución está dada por:







y además es la matriz obtenida a partir de , reemplazando
la columna de la matriz por la columna .Es decir:
, , … ,


Ejemplo: Por medio de la regla de Cramer resuelva los siguientes
sistemas de ecuaciones:



a.
b.


SISTEMA DE ECUACIONES HOMOGÉNEAS


Sea el sistema de ecuaciones lineales de ecuaciones y
incógnitas.
…………(1)
Es equivalente a la forma matricial , donde es de orden ,
de y es la matriz nula de orden .
OBSERVACIONES:
1. El sistema (1) siempre tiene por lo menos una solución (llamada
solución trivial) de la forma , por lo tanto es consistente. Luego
.
2. Una condición necesaria y suficiente para que el sistema (1) tenga más
de una solución, es que , donde es el número de incógnitas.
Es este caso, el sistema posee también soluciones diferentes de la
nula, las cuales son llamadas soluciones no triviales. Para hallar
estas soluciones se aplica el método que se usó en el caso de un
sistema de ecuaciones lineales no homogéneas.
NOTA: Si , entonces el sistema de ecuaciones tiene una única
solución, la cual es la solución trivial.
3. Si en el sistema (1) se tiene que (número de ecuaciones = número
de incógnitas), entonces una condición necesaria y suficiente para que
el sistema tenga soluciones no triviales es que , ya que es este
caso .
4. Como siempre en un sistema homogéneo, entonces para solucionarlo
se aplica el mismo método usado en un sistema de ecuaciones lineales no
homogéneo, con la diferencia de que en lugar de trabajar con
trabajamos con , usando operaciones elementales por filas.

Ejemplos:
1. Resolver el sistemas de ecuaciones:
2. Hallar el valor de , de manera que el siguiente sistema lineal
homogéneo tenga soluciones no triviales

EJERCICICOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS


1. Calcular los siguientes determinantes:



a)


b)


c)
d)
2.
3. Resolver las ecuaciones:
e)
a)
4. Empleando desarrollos adecuados por filas o columnas, calcular el
determinante de cada una de las siguientes matrices:




5. Evaluar:
6. Si:
a) Encontrar los elementos de la diagonal secundaria de A-1
b) Determinar A, ¿Es única?
7. Siendo:
a) Obtener , tal que
b) Resolver el sistema homogéneo para cada valor de
"c" encontrado.
8. Dada la matriz: y , hallar k y A
9. Hallar la matriz A, tal que:
10. Determinar la matriz Y de la ecuación , donde:

11. Por medio de la regla de Cramer resuelva los siguientes sistemas de
ecuaciones:
a)
b)
12. ¿Qué valor debe tomar el coeficiente literal "a" para que el
sistema sea inconsistente?



13. Resuelva el siguiente sistema (si la solución existe)

14. (Punto de equilibrio del mercado). La ecuación de demanda de
cierto producto es y la ecuación de oferta en donde p
es el precio y x es la cantidad demanda o suministrada, según el
caso. Calcule los valores de x y p en el punto de equilibrio.


15. (Asignación de maquinaria) Una empresa produce tres productos A, B
y C, los que procesa en tres máquinas. El tiempo (en horas)
requerido para procesar una unidad de cada producto por las tres
máquinas está dado enseguida.

A B C

Se dispone de la máquina I por 850 horas, de la máquina II por 1200
horas y de la máquina III por 550 horas. ¿Cuántas unidades de cada
producto debería producirse con el objeto de emplear todo el tiempo
disponible de las máquinas?


16. (Inversiones) Una persona invirtió un total de $ 20 000 en tres
inversiones al 6, 8 y 10 %. El ingreso anual total fue de $ 1 624
y el ingreso de la inversión del 10 % fue dos veces el ingreso de
la inversión al 6 % ¿De cuánto fue cada inversión?

17. Una pequeña empresa constructora cobra a $6 la hora por un camión
sin conductor y a $12 la hora por un tractor sin conductor y a $10
la hora por cada conductor. La empresa utiliza la matriz A para
diversos tipos de trabajo.

a) Si P denota la matriz de precios que la empresa fija, con ,
determine el producto PA e interprete sus elementos.
b) Suponga que un pequeño proyecto la empresa utilizó 20 hora s de
trabajo del tipo I y 30 horas de trabajo del tipo II. Si S
denota la matriz de oferta,

Determine e interprete los elementos de AS.
c) Evalúe e interprete el producto de matrices PAS.


18. Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera,
ladrillo, concreto, vidrio y pintura de cualesquiera de tres
proveedores. Los precios que cada proveedor fija a cada unidad de
estos cinco materiales están dados en la matriz A.



En esta matriz cada renglón se refiere a un proveedor y las
columnas a los materiales, en orden listado arriba. El contratista
tiene la política de adquirir todos los materiales requeridos en
cualquier obra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los
costos de transportación. Hay tres obra en construcción
actualmente: la obra I requiere 20 unidades de madera, 4 de
ladrillos, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II
requiere 15, 0, 8, 8 y 2 unidades, respectivamente y la obra III
requiere 30, 10, 20, 10 y 12 unidades, respectivamente. Disponga
esta información en una matriz B de orden 5 x 3 y forme la matriz
producto AB. Interprete los elementos de este producto y úselos con
el propósito de decidir cuál proveedor debería usar en cada obra.



II UNIDAD: ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIÓN.- Sean un conjunto cuyos elementos llamaremos vectores,
un campo y sean las operaciones de adición vectorial (+) y
multiplicación por un escalar (.) definidas de la siguiente manera:

"La suma de dos vectores es otro vector"




"El producto de un escalar por un vector, es otro vector"

Diremos que el objeto es un espacio vectorial sobre el cuerpo
si y solamente si se cumplen los siguientes axiomas.

axioma conmutativo

axioma asociativo

, donde "0" se denomina elemento neutro aditivo o cero

, donde "-v" se denomina opuesto de v









Observaciones:

Los elementos de se llaman vectores y los elementos de se
llaman escalares.

A menudo hablamos del espacio vectorial para referirnos a la
cuaterna

Como está definido sobre los elementos de , decimos que
es un - espacio vectorial.

Por ejemplo:

o Si , se llama espacio vectorial real.

o Si , se llama espacio vectorial complejo.

Para que un conjunto sea un espacio vectorial sobre un cuerpo
debe tener definidas las operaciones de "adición vectorial" y
"multiplicación por un escalar" y cumplir los ocho axiomas antes
mencionados.




TEOREMA. Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo

i.

ii.

iii.

iv.




Ejemplos:

1. Espacio

Sea un cuerpo arbitrario. La notación se usa frecuentemente
para designar el conjunto de todas las de elementos de .
Aquí se ve como un espacio vectorial sobre , en el que la
suma vectorial y el producto por un escalar se definen según

y



El vector cero en es la de ceros:

y el opuesto de un vector se define por :

2. Espacio de Matrices

La notación , o simplemente , se utilizará para designa al
conjunto de todas las matrices de orden sobre un cuerpo
arbitrario , es un espacio vectorial sobre con
respecto a las operaciones usuales de suma matricial y producto por un
escalar, definidas de la siguiente manera:









y

El vector cero en es la matriz llena de ceros:

y el opuesto de un vector se define por :




3. Espacio de Polinomios

Denotemos por el conjunto de todos los polinomios con
coeficientes en algún cuerpo arbitrario . es un
espacio vectorial sobre con respecto a las operaciones usuales
de suma de polinomios y producto de un polinomio por una constante
definidas de la siguiente manera:

y

El vector cero en es el polinomio:

y el opuesto de un vector se define por :













4. Espacio de funciones

Sean un conjunto no vacío y un cuerpo arbitrario.
Consideremos el conjunto de todas las funciones de en .
La suma de dos funciones es la suma definida por:



y el producto de un escalar por una función es la función
definida por:




El vector cero en es la función cero , 0, que aplica cada
en , es decir,





Asimismo, para cualquier función , la función definida por:


es la opuesta d la función


SUB ESPACIOS VECTORIALES




DEFINICIÓN.- Sea un espacio vectorial cualquiera, diremos que
, , es un subespacio vectorial de si y sólo si con
las operaciones de suma vectorial y producto por un escalar definidas en
es un espacio vectorial por si mismo.

Un criterio simple para identificar subespacios es aplicar el siguiente
teorema:




TEOREMA: Suponga que es un subconjunto de un espacio vectorial
. Entonces es un subespacio de si, y sólo si se cumple:

i.

ii. es cerrado bajo la suma de vectores, es decir:

Para todo par de vectores , la suma

iii. es cerrado bajo el producto por un escalar, esto es:

Para todo y para todo , el múltiplo




COROLARIO: es un subconjunto de si, y sólo si:

i.

ii. para todos los y




Ejemplos:

1. Sea cualquier espacio vectorial. Entonces, tanto el conjunto
, que consiste en el vector cero solo, como el espacio
entero son subespacios de V, conocidos como subespacios propios o
triviales.

2. Sea el plano en consistente en aquellos vectores cuya
tercera componente es ; o , en otras palabras . Nótese que
ya que la tercera componente de es .

Para todo par de vectores y en y todo escalar
tenemos que:

y

Pertenecen a , luego es un subespacio de

3. Sea el espacio de las matrices de orden , los subconjuntos
de :

de las matrices triangulares superiores o inferiores

de las matrices diagonales

de las matrices simétricas

de las matrices antisimétricas

Son subespacios de puesto que son no vacíos y cerrados bajo la
suma de matrices y el producto por un escalar.

4. Recordemos que denota el espacio vectorial de los polinomios.
Denotemos por el subconjunto de que consiste en todos los
polinomios de grado , para un fijo. En este caso es un
subespacio de .




Ejercicios:

1. Consideremos el espacio vectorial . Determinar ¿cuál de los
siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales?

a.

b.

c.

d.

2. Sea un espacio vectorial, averiguar ¿Cuál o cuáles de los
siguientes subconjuntos son subespacios vectoriales?

a)

b)

c)

3. Razonar si son subespacios vectoriales de los siguientes
conjuntos:

a)

b)

4. Razonar si los siguientes subconjuntos del espacio vectorial son
subespacios vectoriales

a)

b)

c)

d)

COMBINACIONES LINEALES

DEFINICIÓN 1.- Sea un espacio vectorial y , donde , una
familia o conjunto de vectores de , llamaremos combinación lineal
de elementos de A, a todo vector de la forma:



DEFINICIÓN 2.- Diremos que el vector es una combinación lineal de
los elementos de A, si existen escalares tal que:



Ejercicios:

1. Considerar los vectores , de . Escribir si es posible,
los vectores y como combinación lineal de y .
¿Para qué valores de el vector es una combinación lineal
de y ?

2. Dados los vectores , ,

a) Escribir dos vectores de no nulos que sean combinación lineal
de y .

b) Indicar si es combinación lineal de y .

c) Indicar si es combinación lineal de , y.

d) Calcular los valores de y para que sea combinación
lineal de , y.

3. Expresar el polinomio sobre como combinación lineal de los
polinomios , ,

4. Escribir la matriz como combinación lineal de las matrices:
, y




CONJUNTO DE COMBINACIONES LINEALES

Sea un conjunto de vectores de, ahora formaremos el subconjunto de
cuyos elementos sean todas las combinaciones lineales de los
vectores de, a este conjunto denotaremos con el símbolo , que
se lee "raya".

Si es un conjunto de vectores de, llamaremos , entonces
se escribe así:



Ejemplo: Hallar el conjunto de todas las combinaciones lineales de los
vectores y




TEOREMA: Si se tiene un espacio vectorial y ; el conjunto de
las combinaciones lineales de la familia de vectores de es un
subespacio del mismo, es decir es un subespacio de




SUBESPACIO GENERADO

DEFINICIÓN.- Sea un espacio vectorial y , donde , EL
conjunto de todas las combinaciones lineales de un número finito de
elementos de A es un subespacio de y se denomina el subespacio
generado por y se denota por:



Si es finito, por ejemplodecimos que es un subespacio
finitamente generado.




Ejercicios.

1. En el espacio vectorial consideremos , hallar el subespacio


2. Determinar el subespacio de generado por la familia cuyos
elementos son los vectores y

3. Demostrar que los conjuntos y de generan el mismo
subespacio.




DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

DEFINICIÓN.- un conjunto de vectores de un espacio vectorial
sobre un campo , diremos que es linealmente independiente (l.i.) si
y sólo si:



Si no cumple esta condición diremos que es linealmente
dependiente (l.d.). es decir:

para algún entre

Ejercicios.

1. Dados los vectores de , indicar si son linealmente
independientes. En caso de no serlo, encontrar la relación de
dependencia.

2. Determinar si y son o no linealmente independientes.

3. Determinar si los vectores en son o no linealmente
independientes.

4. Considérese el espacio vectorial de los polinomios sobre .
Determinar si los polinomios son linealmente dependientes,
siendo , , .

5. Sea el espacio vectorial de las funciones de en .
Probar que son linealmente independientes, donde .

6. Sea el espacio vectorial de las matrices sobre .
Determinar si las matrices son linealmente dependientes, siendo:

a) , y

b) , y

7. Dada .

a) Decir si las filas de son linealmente independientes.

b) ¿Es posible decir si las columnas de son linealmente
independientes sin realizar ninguna operación?

8. Dados los vectores de , determinar los valores que han de
tener los parámetros y para que exista entre los tres
vectores una relación de dependencia. Hallar dicha relación.




BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.

Dado un espacio vectorial , un subconjunto es una base de
, si:

i. es linealmente independiente:

ii. es sistema de generadores de , es decir

TEOREMA (Teorema de la base):

Si un espacio vectorial tiene una base formada por un número finito
de vectores, entonces todas las bases de son finitas y tienen igual
número de vectores.




Ejercicios.

1. Determinar si constituyen una base del espacio vectorial

2. Hallar una base para subespacio de

3. Determinar si forman una base de

4. Sea el espacio vectorial de las matrices sobre .
Determinar si:, , y constituyen una base de




DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.

Sea un espacio vectorial , se llama dimensión de ( ó
), al entero:

a) , si

b) , si tiene una base con elementos

c) , si no es finitamente generado.




TEOREMA (Dimensión y Subespacios):

Sea un espacio vectorial de dimensión finita. Entonces todas las
bases de son finitas y tienen igual número de vectores.










Ejercicios.

1. Sea el espacio vectorial de las matrices simétricas sobre
. Mostrar que . Determinar si:, , y
constituyen una base de

2. Encontrar una base y la dimensión del subespacio , donde:

a)

b)

c)

3. Encontrar una base y la dimensión del subespacio de
generado por:

4. Sea el subespacio de generado por los vectores .

a) Hallar una base y la dimensión de

b) Extender la base de a una del espacio completo

5. Sea el espacio vectorial de las matrices reales sobre
. Encontrar la dimensión y la base del subespacio generado
por: , , y




OPERACIONES CON SUBESPACIOS VECTORIAL.




1. INTERSECCIÓN DE SUBESPACIOS.

TEOREMA:

La intersección de cualquier número de subespacios de un espacio
vectorial es un subespacio de




2. UNIÓN DE SUBESPACIOS.

Si y son dos subespacios de , entonces no
necesariamente es subespacio de .




3. SUMAS Y SUMAS DIRECTAS DE SUBESPACIOS.




Definición 1 (Suma de Subespacios Vectoriales)

Sean y dos subespacios de un espacio vectorial . Se
llama suma de y , al conjunto definido por:



TEOREMA:

La suma de los subespacios y es también un subespacio
de .




TEOREMA:

Sean y subespacios de dimensión finita de un espacio
vectorial . En este caso, tiene dimensión finita y









Definición 2 (Suma Directa de Subespacios Vectoriales)

Se dice que el espacio vectorial es la suma directa de
subespacios y denotado por:



Si todo vector puede escribirse de una y sólo una forma como
, con y .




TEOREMA:

El espacio vectorial es la suma directa de sus subespacios
y si y sólo si:

i.

ii.




TEOREMA:

Sean y subespacios de dimensión finita de un espacio
vectorial y además , entonces:






Ejercicios.

1. Sean y los siguientes subespacios de :

y

Probar si

2. Sean y los siguientes subespacios de :

y

Probar si

3. Sea y los siguientes subespacios de :



Encontrar una base y la dimensión de:

a)

b)

c)

d)

4. Considérese los siguientes subespacios de





Encontrar una base y la dimensión de:

a)

b)

5. Considérese los siguientes subespacios de





Hallar la dimensión de:

a)

b)

6. Sean y los subespacios de definidos según:

y

Probar si




COORDENADAS RESPECTO A UNA BASE.

Sea un espacio vectorial n-dimensional sobre un cuerpo y
una base de . Cualquier vector puede expresarse de forma
única como combinación lineal de los vectores de la base en ,
digamos:



Estos n – escalares se denominan las coordenadas de relativas
a la base , y forman la n-upla en , llamada el vector
coordenado de relativo a la base . Denotamos este vector por
o simplemente , cuando viene dad implícitamente. Así:



Obsérvese que se utilizan corchetes y no paréntesis para designar el
vector coordenado.



Ejercicios.

1. Consideremos el espacio vectorial de los polinomios de grado
. Los polinomios: , y forman una base de
. Sea , determinar el vector coordenado de relativo a
la base

2. Consideremos en el espacio real los vectores: , y
que forman una base de. Sea , determinar el
vector coordenado de relativo a la base

3. Sea la base de consistente en y . Hallar el
vector coordenado de relativo a , siendo

4. Consideremos el espacio vectorial de los polinomios reales en
de grado .

a) Probar que es una base de

b) Hallar el vector coordenado de respecto a

5. Considérese la matriz en el espacio vectorial de las
matrices reales . Determinar el vector coordenado de la
matriz respecto a: que es la base usual de .




III UNIDAD: APLICACIONES LINEALES

Los espacios vectoriales se relacionan mediante funciones que preservan
las operaciones de suma vectorial y el producto por un escalar, tales
funciones se llaman APLICACIONES LINEALES.




DEFINICIÓN.- Sean y espacios vectoriales sobre el mismo
cuerpo. Una aplicación se llama aplicación lineal o
transformación lineal de en a una función que asigna a
cada un único vector en tal que:

i. Para cada par

ii. Para todo y todo

Dicho de otro modo, es lineal si "preserva" las operaciones
básicas de un espacio vectorial, la suma vectorial y la de producto por
un escalar.

Sustituyendo en ii obtenemos . Esto es, toda aplicación lineal
lleva el vector cero al vector cero.

Ahora para todo par de escalares, y todo par de vectores
obtenemos, imponiendo ambas condiciones de linealidad,



Con mayor generalidad, para escalares cualesquiera y vectores
cualesquiera llegamos a la propiedad básica de las aplicaciones
lineales:






Ejemplos:

1. Sea definida como ¿es L una aplicación lineal?

2. Sea definida por ¿es T una aplicación lineal?




Ejercicios:

1. Discutir si la siguiente aplicación es lineal: definida por

2. Probar que la siguiente aplicación no es lineal definida por


3. Comprobar si las siguientes aplicaciones son lineales:


a)
b)
c)
d)
e)
f)
4. Sean el espacio vectorial de las matrices sobre y
una matriz arbitraria en . Probar que las dos primeras
aplicaciones son lineales, pero la tercera no lo es (a menos que
5. ):

a)

b)

c)










NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL.

DEFINICIÓN: Sea una aplicación lineal. La imagen de , escrito
, es el conjunto de puntos imagen de :






El núcleo de de , escrito , es el conjunto de elementos de
que se aplican en :






TEOREMA:

Sea una aplicación lineal. La imagen de es un subespacio de
y el núcleo de de es un subespacio de .




PROPOSICIÓN.

Supongamos que generan un espacio vectorial y que es
lineal. Entonces generan




Ejercicios:
1. Sea la aplicación proyección sobre el plano . Esto es:
. Determinar la imagen y el núcleo de .
2. Sean el espacio vectorial de los polinomios sobre y
el vector operador tercera derivada, esto es, . Determinar la
imagen y el núcleo de .
3. Considérese un matriz arbitraria sobre un cuerpo .

que vemos como aplicación lineal . Determinar la imagen y el
núcleo de .
Nota. Para la solución de este ejercicio considérese: si es una
matriz vista como una aplicación lineal y es la base
usual de , los vectores serán las columnas de . Por
consiguiente, , que quiere decir espacio columna de es
igual al espacio fila de . Asimismo, el núcleo de coincide
con el espacio nulo de , es decir, con el espacio solución del
sistema homogéneo .
4. Dadas las siguientes aplicaciones lineales, determinar e

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

RANGO Y NULIDAD DE UNA APLICACIÓN LINEAL.
Hasta aquí no hemos relacionado la noción de dimensión con la de aplicación
. En los casos en que es de dimensión finita, tenemos la
relación fundamental que sigue.


TEOREMA:

Sea de dimensión finita y sea una aplicación lineal. Entonces:



Es decir, la suma de las dimensiones de la imagen y el núcleo de una
aplicación lineal es igual a la dimensión de su dominio.



NOTA: Sea una aplicación lineal. Se define al rango de como la
dimensión de su imagen y a la nulidad de como la dimensión de su
núcleo; esto es:

y

Por lo que, de acuerdo al teorema anterior se obtiene la siguiente fórmula
para cuando tiene dimensión finita:



Ejercicios

1. Sea la aplicación lineal definida por: determinar una base y
la dimensión del e .
2. Sea la aplicación lineal definida según:

Hallar una base y la dimensión de la imagen de .
3. Sea la aplicación lineal definida según:

Hallar una base y la dimensión del núcleo de .
4. Considérese la aplicación matricial , donde . Hallar una base
y la dimensión de la imagen y el núcleo de .
5. Considérese la aplicación matricial , con . Encontrar la
dimensión y una base del núcleo y de la imagen de .
6. Sean el espacio vectorial de las matrices 2 por 2 sobre y
. Sea la aplicación lineal definida por . Hallar una base
y la dimensión del núcleo de

CLASIFICACIÓN DE LAS APLICACIONES LINEALES.
Sean , dos espacios vectoriales y una aplicación lineal,
es decir que se cumple i y ii, en esta definición no tiene ninguna
condición salvo que solamente sea una función por lo tanto daremos los
siguientes conceptos:
es un monomorfismo es inyectiva, es decir si
es un epimorfismo es sobreyectiva, es decir si


es un isomorfismo es biyectiva, es decir si es
inyectiva y biyectiva a la vez.
Si entones endomorfismo.
es un automorfismo es un endomorfismo biyectivo


Ejercicios
Dadas las siguientes aplicaciones lineales, determinar e
indicando un base de cada uno de ellos y razonar si dichas aplicaciones son
monomorfismos, epimorfismos o isomorfismos.

1.
2.
3.
4.
5.

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS APLICACIONES LINEALES.
Sean y dos espacios vectoriales y una base de , si
es un conjunto cualquiera de vectores de , entonces existe una
única aplicación lineal tal que .
Ejercicios:
1. Sea una aplicación lineal definida de tal manera que a los
elementos de la base en , la hace corresponder los vectores
y respectivamente.
a) Hallar la imagen de un vector cualquiera de .
b) Hallar la imagen de y
2. Sea y y una base de en consideremos los
vectores . Hallar la aplicación lineal.

MATRICES Y APLICACIONES LINEALES.
Consideremos una aplicación lineal entre los espacio vectoriales
yde dimensiones fintas y .
Consideremos una base de cada espacio vectorial
una base de
una base de
Si entonces existe escalares único tales que . Entonces
las coordenadas de respeto a la base es:

Si la imagen de es , se tiene que .
Como entonces se puede expresar de modo único como combinación lineal
de la base

Donde los escalares son las coordenadas de la imagen de
respeto a la base
Ahora por el teorema fundamental de las aplicaciones lineales,queda
caracterizado unívocamente por los valores que toma cualquiera de la base
de , es decir:

En seguida asignamos a cada escalar un doble subíndice; el primero,
asociado a cada vector de la base .
Luego:

Los escalares que están en las combinaciones de os vectores que son
las imágenes de los elementos de la base de constituyen una matriz
cuya transpuesta denotaremos por

Esta matriz recibe el nombre de MATRIZ DE LA APLICACIÓN LINEAL
RESPECTO DE LAS BASES .
La matriz de la aplicación lineal es del tipo donde es la
dimensión del segundo espacio y del primero.
Luego para hallar la matriz de una aplicación lineal respecto de una
base en cada espacio, se determinan las imágenes dadas por de los
vectores de la base del primer espacio se expresa estas imágenes en
términos de la base del segundo espacio, es decir, como una combinación
lineal de los vectores de la segunda base, la transpuesta de la matriz de
los coeficientes es la matriz de la aplicación lineal respecto de las bases
de ambos espacios.
Si es la matriz de la aplicación lineal respecto de las bases y
y si es la matriz columna correspondiente al vector , cuyos
elementos son las coordenadas de éste respecto de la base de ,
entonces la imagen de , expresada en términos de la base de , se
obtiene multiplicando por al vector columna , es decir:

Ejercicios.
1. Una aplicación lineal está definida por
a) Hallar la matriz de respecto de las bases en y
en .
b) Mediante , obtener la imagen de
2. Sea una aplicación lineal, definida por. Si y son
las bases naturales de y respectivamente.
a) Encuentre la matriz de respecto a las bases y .
b) Usa para encontrar
3. Sea la aplicación lineal definida por y . Hallar la
matriz coordenada de respeto de las bases canónicas de y
.





-----------------------



Camión

Tractor


Chofer

Máquina I

Máquina II

Máquina III



"Una matriz cuadrada A tiene inversa si y sólo si A es no singular"

si y sólo si A es no singular









, donde

A

B

C

D

Negro


Café


Blanco

Negro


Café


Blanco