Matemática e Música - Percepção Musical

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS

CCET  CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DM  DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Matemática e Música Percepção Musical

Roberto Menegassi Junior

Orientador: Prof. Dr. Gil Vicente Reis de Figueiredo

Trabalho de Graduação Prof. responsável: Artur Darezzo Filho

São Carlos - SP dezembro de 2004

Matemática e Música Percepção Musical

Roberto Menegassi Junior

Orientador: Prof. Dr. Gil Vicente Reis de Figueiredo

Trabalho de Graduação Prof. responsável: Artur Darezzo Filho

São Carlos - SP dezembro de 2004

Sumário Resumo

1

Introdução

2

1 Denições da Física do Som

4

1.1

Movimento Harmônico Simples (MHS)

. . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Movimento Harmônico Composto (MHC) . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Ondas

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Denições Musicais 2.1

Melodia

2.2

Harmonia

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

3 Denições Matemáticas da Música

10

3.1

Relações Matemáticas na Oitava . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.2

As Notas Musicais em Correspondência com Frações e Logaritmos

12

3.3

Divisão do Intervalo Musical em Partes . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.3.1

Escala Justa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.3.2

Escala Pitagórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.3.3

Escala Temperada

16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

O Conceito de Transposição Musical

. . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.5

Melodia Como Classe de Equivalência . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.6

A Gama Musical Como Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

i

ii

SUMÁRIO

4 A Percepção da Harmonia dos Tons Musicais 4.1

4.2

DLO - A Diferença no Limite do Observável

20

. . . . . . . . . . . .

20

. . . . . . . . . . . . . . .

23

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

4.1.1

Tabelas da Percepção Auditiva

4.1.2

Música Microtonal

4.1.3

A N-ésima Divisão do Intervalo de Oitava

Melodias em Comum Coecientes à Parte

. . . . . . . . .

25

. . . . . . . . . . . . .

30

Conclusões

36

Anexos

37

Bibliograa

38

Resumo Apresentamos neste trabalho uma introdução às denições de onda sonora, vibração e estudo do movimento harmônico tal como denições musicais de melodia e harmonia. Descrevemos o processo histórico da divisão numérica do intervalo musical e apresentamos os questionamentos sobre sua aceitação devido à limitação do ouvido humano em perceber tons diferentes. Utilizando uma visão analítica sobre esses aspectos e considerando a evolução musical, mostramos que a gama musical a qual possui o maior número de frações de denominadores baixos é ideal para exprimir a música que a percepção humana, em geral, é capaz de discernir. Repetimos esta característica para investigar e comparar a percepção musical para duas espécies de pássaros e relacioná-las à percepção musical humana.

1

Introdução O som, o ritmo e a harmonia, quando unidos, resultam no que conhecemos hoje como música. A melodia pode ser denida como uma seqüência de notas musicais ou sons organizados pela harmonia e pelo ritmo. Ela pode ser vista como um conjunto de símbolos musicais organizados num determinado espaço chamado partitura. Estes símbolos podem ser colocados em correspondência com números inteiros referentes à freqüência das respectivas notas musicais associadas ou representando o movimento, associando a cada nota um número. O ritmo é uma vibração periódica. Porém quando executado por uma fonte não programável (ser humano) pode se tornar arrítmico em relação a uma fonte programável (máquina). Isso é explicado pelo fato que o período do ritmo programado será o mesmo entre suas divisões e subdivisões, enquanto que o ritmo executado por diferentes pessoas nunca terá exatamente período igual. Neste trabalho estudaremos denições teóricas apenas para a melodia e a harmonia.

Não estudaremos o ritmo, pois observaremos característi-

cas matemáticas da transposição melódica, tal como na representação da gama musical cromática por frações de denominadores baixos, logaritmos e pela raiz duodecimal ou raiz harmônica. A estética musical presente nas diferentes culturas possui interpretações, muitas vezes distintas, para a idéia de sons dissonantes e consonantes. Nossos órgãos sensoriais estão aptos a perceber o mundo comparando o quociente entre as magnitudes dos estímulos e não suas diferenças. Assim é porque a transmissão de impulsos através dos nervos, para o sistema nervoso central, opera transformando logaritmicamente as grandezas daqueles estímulos. Isto acontece porque os nervos são semelhantes a linhas de transmissão elétricas, modeláveis por circuitos RLC, que têm, portanto, soluções do tipo exponencial. É por essa razão que se utilizam decibéis para intensidade sonora; e é também por isso que os trastes no braço de um violão tem espaçamento exponencial. Na esfera do visual, nossos olhos não chegam a perceber uma oitava inteira:

o violeta não chega a ter a freqüência de duas vezes o vermelho; em

conseqüência, a analogia entre música e pintura é limitada.

2

A música provoca sensações para além daquilo que ouvimos. Quantas vezes já nos sentimos alegres, melancólicos ou tristes ao escutarmos uma determinada música. A música estimula indiretamente todo o nosso corpo. Podemos perceber a música de todas as formas, indiretamente, pois o nosso cérebro é o interpretador primário de todos os estímulos recebidos por nossos órgãos sensoriais. Podemos ler uma partitura musical, observar a movimentação das ondas de um som pelo seu espectro, através de um osciloscópio ou um computador, sentir a vibração de uma música dentro de uma sala de concertos, nos sons de um tambor ou de uma banda durante os ensaios. Indiscutivelmente, interagimos com a música de muitas formas. Nossos órgãos sensoriais estão aptos a perceber vibrações que variam dentro de um certo intervalo de freqüência. Essas vibrações são medidas em ciclos por segundo. Sua medida no SI corresponde a hertz (Hz). O ouvido humano é capaz de perceber vibrações no intervalo de 20Hz a 20000Hz.

Contudo, como existem pessoas que não possuem a mesma

capacidade visual ou a mesma sensibilidade olfativa ou palativa, existem aquelas que não percebem o mesmo intervalo descrito acima. Assim como existem espécies animais que percebem vibrações sonoras em intervalos de freqüência maiores ou menores. Nos próximos capítulos veremos quais são os intervalos correspondentes a nossa audição e os de outras espécies de animais. Cada ser vivo tem sua própria característica sensorial, necessária à sua sobrevivência e adaptação ao meio em que vive. Porém é fato que nossos órgãos sensoriais podem ser treinados de forma a aguçar sua percepção. A capacidade de distinguir tons musicais diferentes varia de pessoa para pessoa e ainda de espécie para espécie. Estes são alguns dos aspectos que iremos estudar neste trabalho. É claro que abordaremos o assunto utilizando a linguagem matemática.

3

Capítulo 1 Denições da Física do Som 1.1 Movimento Harmônico Simples (MHS) Segundo ROEDERER, movimento signica mudança de posição de certo corpo em relação a um corpo de referência.

Se o corpo em movimento é

muito pequeno em relação ao corpo de referência, ou em relação às dimensões do âmbito espacial coberto por seu movimento, de modo que sua forma é praticamente irrelevante, o problema ca reduzido a descrição do movimento de um ponto no espaço. Eis porque um corpo assim pequeno é chamado de ponto material ou partícula. Por outro lado, se o corpo não é pequeno, mas sabemos de antemão, por circunstâncias particulares, que todos os pontos do corpo estão connados a mover-se em linhas retas paralelas uma à outra (translação retilínea), também será suciente especicar o movimento de apenas um ponto do corpo. Esse é um caso unidimensional de movimento, e a posição deste ponto do corpo, e portanto de todo o corpo, ca completamente especicada com apenas um número: a distância de um ponto xo de referência. Segundo RAMALHO, um fenômeno é periódico quando se repete, identicamente, em intervalos de tempos iguais. O período

T

é o menor intervalo

da repetição do fenômeno. Diz-se que um ponto material efetua um movimento harmônico simples linear quando, numa trajetória retilínea, oscila periodicamente em torno de uma posição de equilíbrio sob a ação de uma força cuja intensidade é proporcional à distância do ponto à esta posição. Essa força é sempre orientada para esta posição e se chama força restauradora. No MHS o deslocamento do ponto material, desde a origem é dado como uma função do tempo por:

x (t) = xm · cos (ω · t + φ0 )

4

(1.1)

CAPÍTULO 1.

Na qual fechado

5

DEFINIÇÕES DA FÍSICA DO SOM

xm , ω, φ0 ∈ R e são constantes, [−1, 1], logo o deslocamento de 4.2

a função cosseno varia no intervalo varia no intervalo

[−xm , xm ].

Esse movimento também é chamado de movimento senoidal ou cossenoidal, isso porque é possível demonstrar que qualquer movimento periódico, por mais complicado que se apresente, pode ser descrito como uma soma de vibrações ou movimentos harmônicos simples, uma vez que a função 4.2 pode ser representada analiticamente pela função trigonométrica seno ou cosseno. Analogamente a onda sonora é escrita como uma equação do deslocamento do ponto material. freqüência angular e

Seja

φ = φ0 + ωt,

a

a amplitude do movimento,

ω = 2π/T

a

o espaço angular do ponto que realiza o MCU

(movimento circular uniforme). A equação da onda sonora é dada por:

x (t) = a cos (ωt − φ0 )

(1.2)

A função 4.2 pode ser denida como função periódica. Por denição, uma função é periódica quando:

f (t) = f (t + T ) para todo valor de t. A constante mínima

T

(1.3)

que satisfaz 1.3 se chama período

da função. Repetindo 1.3, se obtém,

f (t) = f (t + n · T ) , n = 0, ± 1, ± 2, . . .

1.2 Movimento Harmônico Composto (MHC) A teoria matemática que descreve fenômenos ondulatórios foi desenvolvida por Jean Baptiste Joseph Fourier no início do século XIX. Ela arma que qualquer onda pode ser decomposta em uma combinação de ondas primitivas (MHS). As ondas sonoras podem ser representadas pela soma de diversas ondas individuais, que chamamos de componentes de Fourier. Uma onda tem Movimento Harmônico Composto (MHC), quando esta pode ser decomposta como a soma de ondas do MHS. Quando duas ou mais ondas combinam-se em uma mesma região do espaço, o deslocamento de qualquer partícula nesta região, em qualquer instante de tempo, é dado como a soma vetorial de cada um dos deslocamentos que cada onda produz individualmente nesta partícula. Este princípio de superposição é baseado na análise de um movimento ondulatório através das componentes de Fourier que é a combinação de ondas harmônicas simples. O timbre é a identidade de um instrumento musical, ou seja, é o som característico que produz determinado instrumento.

O que diferencia um

timbre de outro são as amplitudes e o período de duração de cada um dos harmônicos presentes no som resultante. O resultado acústico da combinação das duas propriedades tem o nome de timbre.

CAPÍTULO 1.

6

DEFINIÇÕES DA FÍSICA DO SOM

Y qualquer no MHC e yi (t) a função da componente i de Y em função do tempo. Então, para i = 1, 2, 3, ..., n temos que a onda Y pode ser escrita como a soma das i componentes: Seja uma onda

Yi (t) = y1 (t) + y2 (t) + . . . + yn (t) + . . .

(1.4)

As componentes de Fourier podem ser escritas como funções senoidais. A onda sonora senoidal pode ser escrita em função do tempo:

y (t) = a cos (ωt − φ0 ) Se a função

Yi (t)

é uma função periódica de período

T,

a qual podemos repre-

sentar pela série trigonométrica:

Y (t) = 21 a0 + a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + . . . + b1 senωt + b2 sen2ωt + . . . ∞ ∑ (an cos nωt + bn sen nωt) = 12 a0 + n=1

que chamaremos de série trigonométrica de Fourier.

1.3 Vibração Segundo WUENSCHE, qualquer objeto ou corpo sólido, e mesmo as pequenas moléculas que formam os objetos macroscópicos, possuem uma certa vibração natural, uma freqüência característica. Isso ocorre porque os átomos possuem uma energia de agitação, algo próprio da mecânica quântica que está associado à sua temperatura.

Essa energia é chamada de energia térmica.

A

combinação das freqüências de todos os átomos cria um padrão de vibração que caracteriza os corpos, sejam eles musicais ou não. Da mesma forma, todo corpo emite um padrão de radiação, conhecido como radiação de corpo negro, que só depende da temperatura. Segundo ROEDERER ouvimos um som quando o tímpano entra num tipo característico de movimento chamado vibração. Essa vibração é causada por pequenas oscilações de pressão do ar do canal auditivo associadas a uma onda sonora de entrada. Arquitas de Tarento (430-360 a.C.) foi um dos primeiros pensadores a caracterizar o fenômeno sonoro como resultado de pulsações de ar que produziam sons mais agudos a medida que se tornavam mais rápidas. Essas oscilações de pressão são chamadas de movimento. Quando o tímpano entra em movimento periódico, as suas vibrações são convertidas no ouvido interno em pulsos nervosos elétricos que são enviados ao cérebro e interpretados como som, desde que o período encontrem dentro dos limites audíveis.

T

e a amplitude

A

dessas vibrações se

CAPÍTULO 1.

7

DEFINIÇÕES DA FÍSICA DO SOM

Em geral, o ouvido é um dispositivo extremamente sensível e percebe vibrações do tímpano com amplitudes de até

7 × 10−5 s.

10−7 cm, e com períodos de até

Usualmente esses limites são dados em ciclos por segundo e a unidade

de medida de freqüência

f

em hertz (Hz). A razão para se preferir

f

a

T

é que a

freqüência aumenta quando a nossa sensação de altura do som (graves e agudos) aumenta. As vibrações que ocorrem no intervalo 20Hz  15000Hz são percebidas como ondas sonoras por uma pessoa com uma audição normal. Para o som ser percebido, tanto o limite inferior quanto o superior dependem da intensidade deste (amplitude) e variam de pessoa para pessoa e com a idade. Porém, existem aquelas que são capazes de perceber sons num intervalo maior, que varia entre 20Hz  20000Hz. Mas como essa diferença é para sons muito agudos (acima de 10000Hz) essa não interfere em nosso cotidiano. Tal diferença existente na capacidade auditiva se deve, principalmente, aos hábitos e aos costumes de determinada pessoa.

1.4 Ondas Existem três tipos de onda: ondas mecânicas, eletromagnéticas e ondas de matéria. Neste trabalho estudaremos as ondas sonoras, que são classicadas como ondas mecânicas. Essas ondas são governadas pelas leis de Newton e precisam de um meio físico para existir, ou seja, as ondas mecânicas não se propagam no vácuo. Segundo HALLIDAY, utilizando uma denição geral, ondas sonoras são ondas mecânicas que podem se propagar em meios físicos, ou seja, através de gases, líquidos ou sólidos. Pode haver dois tipos de onda mecânica num sólido. Existem as ondas transversais, nas quais as oscilações dos pequenos elementos do sólido são perpendiculares à direção de propagação da onda. Há também as ondas longitudinais, nas quais as oscilações são paralelas à direção de propagação. Neste trabalho estudaremos exclusivamente as ondas sonoras, que se propagam longitudinalmente. Ondas eletromagnéticas são ondas transversais e não necessitam de nenhum meio físico para existir. Todas as ondas eletromagnéticas se propagam através do vácuo com uma mesma velocidade escalar

c = 299792458m/s

que é a velocidade da luz.

Ondas de matéria são governadas pelas leis da física quântica. Não apresentaremos os detalhes sobre seu meio de propagação, devido à restrição do assunto abordado neste trabalho tal como por sua complexidade de entendimento.

Capítulo 2 Denições Musicais 2.1 Melodia Segundo SADIE, melodia é uma série de notas musicais dispostas em sucessão, num determinado padrão rítmico, para formar uma unidade identicável. A melodia é um fenômeno humano universal que remonta à pré-história; em suas origens, serviram-lhe de modelo: a linguagem, o canto dos pássaros e outros sons animais, bem como o choro e as brincadeiras infantis. O conceito de melodia varia bastante entre diferentes culturas. Denimos melodia como uma seqüência rítmica de um ou mais sons num intervalo de tempo. Os elementos dessa seqüência podem ser representados diferentemente por ondas harmônicas simples ou por uma soma de ondas harmônicas simples. Consideremos uma melodia qualquer que chamaremos de mos representar a seqüência melódica de

Mi = {f1 ; f2 ; . . .

;

i

sons

f

M , pode-

como:

fi } , i = 1, 2, ... , n

Ao considerarmos esses sons como sons musicais ou simplesmente notas musicais de um determinado instrumento, podemos denir a melodia musical como uma seqüência notas, intervalos e acordes de um instrumento musical qualquer. Deniremos intervalo no capítulo 3.

2.2 Harmonia Para entendermos o que se dene por harmonia musical devemos primeiro entender o que é estar em harmonia. Estamos em harmonia com o nosso meio-ambiente quando não interferimos de nenhuma forma nos processos naturais

8

CAPÍTULO 2.

9

DEFINIÇÕES MUSICAIS

que o mantém, ou seja, quando somos elementos neutros dentro deste. Podemos concluir imediatamente a impossibilidade deste fato, pois apenas ao existirmos já estamos modicando nosso meio. Contudo, quando essa interferência é muito pequena, dizemos que estamos em harmonia com o exterior. Há interferência mecânica apenas entre dois ou mais corpos. Na música, a relação harmônica é semelhante. Como esta pode ser entendida como uma onda mecânica, e esta última como o resultado da soma de todas as outras ondas provenientes dos instrumentos que compõe tal música, as interferências entre essas ondas devem ser construtivas e minimamente destrutivas.

Por este fato dizemos quando determinada música é agradável aos nossos

ouvidos ou não. Quando há interferência destrutiva, não há som, e quando há interferência construtiva é possível escutarmos todos os sons presentes. Quando não conseguimos escutar nitidamente os sons que compõe uma onda composta, dizemos que estes são dissonantes e ao contrário dizemos que são consonantes. Consonância, em latim consonantia, signica acordo, concordância, ou seja, consonante é todo o som que nos parece agradável, que concorda com nossa estética musical e com os outros sons que o seguem. Dissonância, em latim dissonantia, signica desarmonia, discordância, ou seja, é todo som que nos parece desagradável, ou seja, todo intervalo que não satisfaz a idéia de repouso e pede resolução em uma consonância subseqüente.

Isto é, a harmonia não pode ser

dissociada dos aspectos rítmicos da música. Em particular, o uso de dissonâncias e consonâncias pode gerar, pelas tensões que cria, um poderoso impulso para frente. Esta idéia vem sendo modicada com o passar dos anos. Antigamente na história da música ocidental, consideravam-se dissonantes alguns acordes que hoje são considerados consonantes. Essas dissonâncias eram proibidas na música antiga esteticamente agradável aos ouvidos.

A última dissonância

aceita como consonância na história da música foi o intervalo de terça maior.

Capítulo 3 Denições Matemáticas da Música A matemática e a música possuem laços profundos já conhecidos desde a Antigüidade.

Esta hipótese reforça-se através de um artigo publicado

pela revista Scientic American em setembro de 1997, referente a um osso de urso com idade entre 43000 a 82000 anos encontrados nos Alpes da Eslováquia em 1995, apresentando uma conguração de buracos capaz de produzir intervalos musicais de tons e semitons.

Esse achado emitia tais intervalos em virtude da

distância entre o segundo e o terceiro buraco, ser duas vezes aquela existente entre o terceiro e o quarto.

O que revelou preocupações matemáticas na sua

construção. Porém tais considerações não passam de conjecturas.

3.1 Relações Matemáticas na Oitava Segundo ABDOUNUR o primeiro registro cientíco, de fato, associando matemática e música ocorre por volta do século VI a.C. na Grécia Antiga, na escola pitagórica.

Estes pensadores relacionaram intervalos musicais com o

conceito matemático de frações.

Pitágoras (582 a.C.), através de experiências

com o som do monocórdio, efetua uma de suas mais belas descobertas, que deu à luz ao quarto ramo da matemática: a música. Ao analisarmos a oitava musical consideramos uma corda indeformável sem divisões pré-determinadas, presa em seus extremos e tensão constante, ou seja, anação xa.

Entre os extremos consideramos um cavalete móvel que

divide a corda em duas seções. Este instrumento foi antigamente denominado de monocórdio nos experimentos de Pitágoras com a divisão da oitava por razões de números inteiros. Chamaremos de intervalo o comprimento da corda entre duas notas distintas consideradas. Para facilitar os cálculos iremos considerar os intervalos a partir dos extremos da corda e o cavalete.

10

CAPÍTULO 3.

DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DA MÚSICA

11

No experimento de Pitágoras com o monocórdio, foram realizadas as seguintes observações: Ao excitarmos a corda, percutindo ou puxando, retirando-se o ponto de apoio (cavalete), escutaremos seu som fundamental, cujo período é a distância entre os pontos xos. Ao posicionarmos o cavalete na metade da corda (intervalo=1/2) obtemos a oitava, que vibrará com duas vezes a freqüência inicial. Em 2/3 da corda obteremos o intervalo de quinta e em 3/4 o intervalo de quarta. Esses intervalos são chamados de consonâncias pitagóricas. A descoberta da relação entre razão de números inteiros e tons musicais mostrou-se signicativa naquela ocasião e criou uma dúvida fundamental para o desenrolar da relação matemática e música:

Por que às consonâncias musicais subjazem razões de pequenos números inteiros? Qual é a causa e qual o efeito? (Abdounur, 1999). Tais intervalos mostram-se naturais ao ouvido humano, pois estabelecem acusticamente congurações de ondas compostas por relações de pulsação simples, como: 1 contra 2, 2 contra 3 e 3 contra 4. Em linguagem cartesiana (Descartes, 1961), disse que tal característica cansaria menos o ouvido, já que, na onda resultante, o número de pulsos a serem percebidos diminui em função das coincidências. Na escala pitagórica encontram-se as consonâncias principais citadas anteriormente e outras razões que representam as demais notas musicais no intervalo considerado. Tal escala é obtida através de uma progressão geométrica de razão

3/2

chamada percurso de quintas. A história da relação entre essas duas áreas tão próximas contou

com a contribuição de outros pensadores muito importantes que vieram após Pitágoras com novas idéias e críticas sobre a escala pitagórica. Teórico e compositor italiano de Chioggia  proximidades de Veneza -, Gioseo Zarlino (1517-1590) estabeleceu métodos de divisão do braço de um instrumento de som xo em doze semitons iguais por meio de médias geométricas. Em sua obra Institutioni Armoniche de 1558, Zarlino concebe a música como imitação da natureza. Ele armava que dois sons são mais agradáveis aos ouvidos quanto mais harmônicos comuns tiverem. No período Renascentista os teóricos consideravam o intervalo de quarta como consonância, somente quando interpretado como inversão da quinta (Drabkin, 1980). Zarlino observou que os intervalos de terças e sextas não se apresentavam consonantes quando produzidos pelas razões pitagóricas. A partir deste fato, Zarlino concebeu o Senário, conjunto dos primeiros seis números inteiros  número sonoro ou número harmônico -, que possuíam o poder para gerar todas as consonâncias musicais, incluindo as imperfeitas.

CAPÍTULO 3.

12

DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DA MÚSICA

3.2 As Notas Musicais em Correspondência com Frações e Logaritmos Os intervalos musicais são classicados em consonantes e dissonantes. Os intervalos consonantes são expressos por frações em que o numerador e o denominador são termos menores que 6. Por exemplo: intervalo de quarta (DÓ-

FÁ) = 4/3 intervalo de quinta (DÓ-SOL) = 3/2.

Já os intervalos dissonantes

são expressos por frações cujos termos aparecem números inteiros maiores que 6. Por exemplo: intervalo de sétima maior (DÓ-SI ) = 15/8 intervalo de tom inteiro (DÓ-RÉ ) = 9/8. Tais intervalos e os demais das escalas pitagórica (com exceção do intervalo DÓ-SI), justa e temperada podem ser representados pela função:

f (n) =

√

12

2n

Que gera os intervalos da escala temperada.

f (n) ∈ [1, 2]

(3.1) Na função 3.1 para

n ∈ [0, 12],

nos dá a posição correspondente da nota musical com relação ao

intervalo da imagem de 3.1. Tais intervalos são apresentados como aproximações das razões descritas acima. Essa diferença, por sua vez é imperceptível ao ouvido humano. Na função:

g (x) = log 12√2 x/20

(3.2)

para

x ∈ [20, 20000], x, g (x) ∈ Z+

g (x)

é o número que corresponde a nota musical, expressa em hertz.

vemos que

x

varia dentro da faixa audível e

120

96

Nota

72

48

24 12 0

1

2000

4000

6000

8000 10000 Frequencia

12000

14000

16000

18000

20000

CAPÍTULO 3.

DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DA MÚSICA

13

3.3 Divisão do Intervalo Musical em Partes 3.3.1

Escala Justa O sistema de consonâncias de Zarlino é obtido da seguinte forma:

se começarmos com uma nota de freqüência

f1 ,

que chamaremos de dó 1 .

Ao

introduzirmos a oitava acima (dó 2 ), teremos o intervalo mais consonante de todos.

Agora acrescentamos a quinta, com freqüência

de sol 1 .

3/2f1 ,

que chamaremos

Esse passo fornece dois novos intervalos com razões de freqüências

3/2 (do1 − sol1 )

e

4/3 (sol1 − do2 ).

Como próximo passo, existem duas opções, se

quisermos manter um número máximo de intervalos consonantes. Essas opções são as notas

5/4f1

e

6/5f1

que chamaremos de mi 1 e mi 1 bemol respectivamente.

As notas dó-mi-sol constituem a tríade maior, o elemento básico da harmonia da música ocidental (se tivéssemos escolhido mi 1 bemol teríamos a tríade menor). Podemos continuar a introduzir notas, tentando, a cada passo, manter o mínimo de dissonâncias e o máximo de consonâncias. Esse sistema utilizado por Gioseo Zarlino para a obtenção da gama diatônica utilizava um conjunto de números denominado Senário, que segundo ele eram geradores de toda a perfeição. O Senário de Gioseo Zarlino corresponde a seqüência:

Sn = {n + 1/n} E para os 6 primeiros números inteiros:

Sn = {2/1, 3/2, 4/3, 5/4

e 6/5}

Que representam a oitava, a quinta, a quarta, a terça maior e a terça menor respectivamente.

Segundo Zarlino, esses números eram geradores de todas as

consonâncias musicais, inclusive as imperfeitas (intervalos dissonanes). Além disso, o compositor italiano enfatizou a perfeição do número 6 (justicativa para a utilização da fração

6/5)

argumentando que Deus necessitou

de seis dias para a criação do mundo, que havia (na época) seis planetas (Lua, Mercúrio, Vênus, Marte, Júpiter e Saturno), que existiam seis características naturais (tamanho, cor, forma, intervalo, estado e gesto) seis direções, que o cubo tinha seis lados e assim por diante. A partir desses pressupostos, Zarlino construiu a gama diatônica de acordo com as proporções de freqüências diretamente derivadas da Série Harmônica.

Tomando-se a nota dó como referência, a gama diatônica de Zarlino é

representada pelas seguintes razões: 1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2

CAPÍTULO 3.

14

DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DA MÚSICA

O incomum desta escala é que os intervalos entre as notas dó-re,

fá-sol e lá-si

(9/8)

é diferente do intervalo entre notas ré-mi e sol-lá

semi-tom é representado pela razão

(10/9).

O

(16/15).

Procurando conservar a máxima proporção de consonâncias possíveis, são introduzidas as notas:

dó# (25/24), ré# (6/5), fá# (45/32), sol# (8/5) e lá# (9/5). O resultado é uma escala cromática justa, com 12 notas dentro da oitava:

1 25/24 9/8 6/5 5/4 4/3 45/32 3/2 8/5 5/3 9/5 15/8 2.

3.3.2

Escala Pitagórica Através dos experimentos com o monocórdio, Pitágoras (582 a.C.)

descobriu três consonâncias principais já citadas anteriormente. Pitágoras considerava o intervalo de quinta o segundo mais perfeito, somente antes do intervalo de oitava, e descobriu que se sobrepusesse o intervalo de quinta como uma seqüência a partir do ponto em 3/4 da corda, ele conseguiria retornar a nota equivalente acrescida ou diminuída de um número inteiro de oitavas (percurso das quintas). Ao partirmos da nota fá teríamos:

f a1 − do2 − sol2 − re3 − la3 − mi4 − si4 − f a5 Na seqüência acima, os índices representam as respectivas oitavas onde se encontram as respectivas notas. Assim, tomando por base a quinta (resultado da relação

3/2), obteve-

-se através de um encadeamento desta razão, também chamada de quinta natural, o sistema pitagórico no qual se obtinha os demais intervalos:

DO − RE = 9/8

(resultado de multiplicar duas quintas reduzido à segunda).

DO − M I = 81/64 DO − F A = 4/3 DO − SOL = 3/2

(resultado de multiplicar quatro quintas reduzido à primeira).

(resultado de inverter a quinta: (a quinta tomada como base).

DO − LA = 27/16

(resultado de multiplicar três quintas reduzido à segunda).

DO − SI = 243/128 DO − DO = 2/1

F A − DO).

(resultado de multiplicar cinco quintas reduzido à terceira).

(o dobro das vibrações da nota da oitava inferior).

A seguir apresentamos os cálculos executados no percurso de quintas, sem o ajuste de oitavas:

CAPÍTULO 3.

DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DA MÚSICA

15

11 (2/3)1 = 2/3 = 0.6667 = sol1 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.6758 (Discrepante) 10 (2/3)2 = 4/9 = 0.4444 = re2 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.4505 (Discrepante) 9 (2/3)3 = 8/27 = 0.2963 = la2 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.3003 (Discrepante) 8 (2/3)3 = 16/81 = 0.1975 = mi3 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.2002 (Discrepante) 7 (2/3)4 = 32/243 = 0.1317 = si3 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.1335 (Discrepante) 6 (2/3)5 = 64/729 = 0.0878 = f a#4 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.0890 (Discrepante) 5 (2/3)6 = 128/2187 =0.0585 = do#5 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.0593 (Discrepante) 4 (2/3)7 = 256/6561 =0.0390 = sol#5 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.0396 3 (2/3)8 = 512/19683 = 0.0260 = re#6 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.0264 2 (2/3)9 = 1024/59049 =0.0173 = la#6 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.0176 1 (2/3)10 = 2048/177147 = 0.0116 = f a7 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.0117 0 (2/3)11 = 4096/531441 = 0.0077 = do8 ∼ = 1/128 × (3/2) = 0.0078 Ao compararmos com o processo inverso do percurso de quintas, os valores obtidos tornaram-se muito discrepantes a partir do sexto passo, ou seja, a diferença está acima do limiar perceptível. Por isso, o processo que Pitágoras utilizou para obtenção da gama diatônica foi muito questionado, pois gerava tons imperfeitos (característica que podemos observar quando comparamos os dois resultados). Podemos também, a partir da oitava, em relação ao comprimento inicial (3/2), fazer o percurso de quintas:

(3/2)0 (3/2)1 (3/2)2 (3/2)3 (3/2)4 ⇓

⇓

⇓

⇓

⇓

1

3/2

9/4

27/8

81/16

⇓

⇓

⇓

⇓

⇓

1

3/2

9/8

27/16

(3/2)5 ⇓ 243/32

⇓

81/64 243/128

No ajuste dos valores na oitava, obtemos a seqüência do-re-mi-fa-sol-la-si-do representada pelas seguintes razões: 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2

CAPÍTULO 3.

3.3.3

16

DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DA MÚSICA

Escala Temperada Da função (1.1.5), para as notas da escala cromática com doze tons,

obtemos os seguintes valores:

do1 = 1, do# ∼ = 1.0595, re ∼ = 1.1225 re# ∼ = 1.1892, mi ∼ = 1.2599, f a ∼ = 1.3348 f a# ∼ = 1.4142, sol ∼ = 1.4983, sol# ∼ = 1.5874 la ∼ = 1.6818, la# ∼ = 1.7818, si ∼ = 1.8877, do2 = 2 Podemos expandir 3.1 para raízes diferentes da duodecimal. Daí se considerarmos que podemos ter divisões da oitava com mais ou menos de doze tons. A função 3.1 ca:

f (x, y) = Para

y ∈ [0, x]

e

x, y ∈ Z+ .

√ x 2y

Contudo não estamos interessados em dividir o

intervalo em menos de doze partes (x

> 12).

Queremos vericar se, ao dividirmos

o intervalo em mais de doze partes, iremos encontrar aproximações para as razões dos sons consonantes existentes na escala cromática justa. A partir desta restrição devemos analisar a limitação que existe no ouvido humano para a percepção de tons com freqüências muito próximas. Assunto que apresentaremos no próximo capítulo. Admitindo o fato anterior, devemos agora limitar superiormente a quantidade das divisões da oitava.

Pois, ao dividirmos muitas vezes o inter-

valo de oitava, iremos obter tons sucessivos muito próximos, para os quais nossa percepção não seria capaz de distingui-los. Para este objetivo, a Tabela 4.5 mostra a divisão do intervalo de oitava em 12 até 50 partes iguais. Por esta tabela conseguimos observar que algumas consonâncias presentes na escala cromática justa e pitagórica estão presentes nas gamas com mais de doze notas na oitava.

3.4 O Conceito de Transposição Musical Segundo ZAMACOIS, transpor ou transportar uma composição consiste em escrevê-la e executá-la com sons mais graves ou agudos que os originais, de forma que nada se altere em sua estrutura melódico-rítmica. A transposição melódica tem o objetivo de tornar possível a execução de uma composição, por um instrumento considerado impróprio a executá-la em sua forma original. Uma transposição que leva

f1

em

α · f1

deve levar

(f1 , f2 , . . . , fk )

α · (f1 , f2 , . . . , fk ) uma vez que esta não altera a estrutura q que α , q ∈ Z é qualquer elemento da escala temperada.

em

rítmica. Temos

CAPÍTULO 3.

17

DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DA MÚSICA

Denimos melodia no capítulo anterior. Vamos agora utilizar essa denição para explicar a transposição melódica. Consideramos inicialmente uma melodia Fk qualquer:

Fk = {f1 ; f2 ; . . .

;

fk } , k ∈ N

Que representamos anteriormente por:

Fk = {αq1 f1 ; αq2 f1 ; . . . Então, a transposição leva

Fk

em

α q · Fk = F

;

αqi f1 }

k-linha. Mas se estivermos con-

siderando um instrumento que não tenha uma conguração de sons xa (um violino, por exemplo), ca impossível estabelecermos numericamente a transposição. Pois não temos como estimar o intervalo considerado, uma vez que este não está denido no instrumento. No piano temos 88 notas musicais. Se considerarmos a escala temperada, a partir da nota mais grave, representamos o conjunto de notas deste 1/ 2 87 instrumento como: {p1 ; αp1 ; α p1 ; . . . ; α p1 } , α = 2 12 que pode ser visto como uma seqüência melódica.

No caso

α

é o intervalo do semitom na escala

temperada com 12 notas na oitava.

3.5 Melodia Como Classe de Equivalência Denição 3.5.1

O termo classe de equivalência refere-se a um conceito denido

a partir de uma relação de equivalência.

Uma relação

R

desta natureza deve

ser reexiva (aRa), simétrica (aRb se e somente se bRa) e transitiva (se aRb e bRc então aRc). Nesse contexto, dois elementos pertencem a uma mesma classe de equivalência se estiverem entretecidos segundo a relação de equivalência em questão. Consideramos

F = (f1 , f2 , ..., fk )

dias, sendo uma transposta à outra por uma

′

′

′

′

F = (f1 , f2 , ..., fk ) duas melo1/n potência de 2 e n é o número de e

notas do intervalo de oitava. Tomamos a relação de equivalência  R sobre os números reais positivos não nulos denida por:

′

′

′

(f1 , f2 , ..., fk )R(f1 , f2 , ..., fk ) ⇔ ∃ t ∈ Z tal que R

′

fi f = ′ i = 2t/n fi−1 fi−1

é uma relação de equivalência. De fato:

(3.3)

CAPÍTULO 3.

∀ F

1.

∈ Rk ,

da oitava e

t

fi fi = = 2t/n , fi−1 fi−1

temos

∀F

e

′

F ∈ Rk ,

se

F RF

′

R

n

é o número de divisões

R

é uma relação reexiva;

′

F R F , então, temos pela simetria da menor ′ ′ fi fi fi fi t/n : = ′ = 2 ⇔ ′ = = 2t/n . fi−1 fi−1 fi−1 fi−1

e

relação de equivalência = Portanto

onde

representa a potência da razão entre quaisquer dois termos

sucessivos da seqüência. Portanto 2.

18

DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DA MÚSICA

é uma relação simétrica; ′

′

′′

∀ F, F , F

3.

∈ R

k

, se

F R F

′′

′

f fi = ′′i = 2t/n , ′ fi−1 fi−1

′

e

′

F R F

′′

, então,

′′

logo

fi f = ′ i = 2t/n fi−1 fi−1

fi f ′′ = ′′i = 2t/n ⇒ F R F . fi−1 fi−1

Portanto

e

R

também é transitiva. A volta é válida pois a igualdade de 3.3 é essencial para considerarmos

F

e

F

′

como melodias transpostas. Fato explicado na seção anterior. ′

Analogamente provamos:

′

F SF ⇔ ∃q∈Z

tal que

fi−1 fi = 2q/n . ′ = ′ fi fi−1

No caso, a relação de equivalência 3.3 sobre as notas musicais é a seguinte: Duas melodias são equivalentes se diferirem em intervalo por uma constante

α ∈ R,

onde

α

é uma potência de

21/n .

Podemos observar que a

relação de equivalência estabelecida satisfaz as propriedades referidas, denindo como classes de equivalência todos os conjuntos

Fk

(lê-se F k-linha) que possuem

a mesma estrutura melódica a menos de uma constante. Dessa forma dizemos que duas melodias são equivalentes se a seqüência de notas que a compõe diferem de uma constante. Podemos considerar a relação de equivalência 3.3 existente no conjunto das notas que compõe determinada melodia. Devemos observar que qualquer nota

fk i

na escala cromática temperada deste conjunto pode ser escrita

como o produto da freqüência inicial f1 (f1 1 α = 2 /12 . Temos que essa nota satisfaz:

= min{F })

pela q-ésima potência de

1

fki = αqi · f1 ; α=2 /12 , q ∈ Z, k, i ∈ N E o conjunto das notas da seqüência melódica:

Fk = {αq1 f1 ; αq2 f1 ; . . .

;

αqi f1 }

possui uma relação:

/ fki ∼ fkj ⇔ fki fkj = αqi f1 /αqj f1 = αqi −qj = αqm e

α km

é conhecido como coeciente de translação melódica. Logo a relação acima

garante que dois elementos quaisquer do conjunto de equivalência.

Fk

pertencem a mesma classe

CAPÍTULO 3.

19

DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS DA MÚSICA

Fk = {f1 ; f2 ; . . . ; fk } q e por translação melódica a seqüência α ·Fk = {α f1 ; α f2 ; . . . ; α fk } denimos q o conjunto das transposições de Fk para α i · Fk a classe de equivalência: Considerando uma seqüência de sons puros

qi

q

q

F = {Fk ∈ Rk | Fk R αqi · Fk } ∼ = Rk , k ∈ N

3.6 A Gama Musical Como Grupo Denição 3.6.1

Seja

estrutura algébrica

G

(G, ∗)

um conjunto não vazio e

uma operação em

é denominada um grupo comutativo se

comutativa, tem um elemento neutro na operação

∗

e ∈ G,

e cada elemento

A

é associativa,

g∈G

é invertível

∗. Quando o coeciente de transposição é tal que

Z

∗

G.

1

αk = 2 /12 , k ∈

temos uma conjunto que tende a ter innitas notas e oitavas, isto porque a

seqüência da progressão geométrica com razão para

+∞.

αk

converge para zero e diverge

de elementos

α

k

ℑ

dos intervalos de ) ( oitava 0/12 e é um grupo comutativo. Pois possui o elemento neutro 2

Assim podemos considerar que o conjunto

duas operações bem denidas no intervalo: multiplicação e divisão. Além disso, como possui duas operações bem denidas, cada elemento de nesse conjunto.

ℑ

tem seu inverso

Capítulo 4 A Percepção da Harmonia dos Tons Musicais Neste capítulo cosideramos a habilidade individual de estabelecer uma ordem relativa de alturas quando dois sons puros (de mesma intensidade) são ouvidos um após o outro.

Quando a diferença de freqüência entre os dois

sons é muito pequena, abaixo de certo valor, ambos os sons serão ouvidos como se tivessem a mesma altura (mesma freqüência). Sempre que a variação de um estímulo no tímpano encontrar-se dentro de certo limiar de diferença ou diferença no limite do observável (DLO), o julgamento será que a sensação sonora associada não se altera. Assim que a variação excede a DLO, esta é detectada. Observemos que a DLO se relaciona a uma unidade mensurável (magnitude) e portanto pode ser expressa numericamente.

4.1 DLO - A Diferença no Limite do Observável Segundo ROEDERER, o grau de sensibilidade às variações de freqüência do mecanismo primário de percepção de alturas, ou capacidade de resolução de freqüências, depende da freqüência, intensidade e duração do som em questão e também da subtaneidade da variação de freqüência. Ela varia bastante de pessoa para pessoa, é uma função do treinamento musical e, infelizmente, depende consideravelmente do método de medição empregado. A curva no gráco (gura 4.1) a seguir mostra a DLO média de freqüências variando entre 20 e 5000 Hz para sons puros de intensidade constante igual a 80 decibéis.

20

CAPÍTULO 4.

A PERCEPÇÃO DA HARMONIA DOS TONS MUSICAIS

Figura 4.1: gráco da curva DLO [20,5000]Hz

21

CAPÍTULO 4.

A PERCEPÇÃO DA HARMONIA DOS TONS MUSICAIS

Figura 4.2: gráco da curva DLO [20,20000]Hz

22

CAPÍTULO 4.

A PERCEPÇÃO DA HARMONIA DOS TONS MUSICAIS

23

A curva no gráco (gura 4.2) descreve a quantidade em Hertz para cada freqüência

f ∈ [20, 20000],

a qual, ao ser acrescentada a esta, o ouvido

humano ainda percebe como sendo a mesma freqüência inicial.

As semi-retas

identicadas por: 3%, 1%, 0,6% e 0,5% auxiliam em vericar a porcentagem da DLO sobre o valor da freqüência que é percebida como a mesma freqüência inicial. A menor resolução da DLO ocorre entre 700 e 1500 Hz.

Neste

intervalo (região de freqüências médias) temos uma resolução de 0,5% aproximadamente, a qual corresponde ao menor coeciente de percepção (CP) de 1,005. Sobre o CP investigaremos o processo de divisão temperada da oitava em

n

partes, com

n

variando convenientemente entre 5 e 50.

Uma vez

que na divisão em 140 partes ou mais, as notas sucessivas são percebidas como a mesma nota, pois:

21/140 < 1, 005 É claro que o intervalo de

n,

(4.1)

para possuir todas as consonâncias,

diminui quando aumentamos o CP. E também, justicamos a escolha desse intervalo, pois quando

n > 140

sabemos que não percebemos a sucessão de duas

notas, contudo se considerarmos um intervalo móvel contendo uma certa consonância, teremos na verdade um intervalo com o dobro do valor do CP e, logo, se considerarmos uma divisão com

n > 70

e tocarmos uma melodia aleatória que

comece numa nota e termine numa nota sucessiva a esta primeira, não notaremos a diferença destas duas, mesmo percebendo sua sucessividade. Justicamos também o uso do intervalo citado, pois um instrumento de anação xa com mais de cinqüenta notas, ou até menos, é inviável de ser tocado devido a nossa própria anatomia. Neste momento vale a pena ressaltar que estamos considerando condições ideais de propagação e recepção do som, como ausência de ruído e características auditivas generalizadas para determinada espécie. Sabemos que estas interferem muito no som percebido, mas como estamos estudando um mecanismo particular, temos que analisá-lo primeiramente sobre condições ideais. Durante o processo descrito vericaremos a existência das consonâncias principais (quinta (3/2), quarta (4/3) e terça (5/4)), além de consonâncias como 6/5 e outras não usuais como 7/6, 8/7 e 9/8. Esta última (usualmente a nota Ré) somente como curiosidade, pois não é considerada consoante com o uníssono.

4.1.1

Tabelas da Percepção Auditiva Para checarmos a existência de destas, montamos uma tabela dinâ-

mica que para cada

n ∈ [1, 500]

e cada freqüência inicial

1. A divisão logarítmica do intervalo de oitava em

n

f0 ,

obtemos:

partes;

CAPÍTULO 4.

A PERCEPÇÃO DA HARMONIA DOS TONS MUSICAIS

24

2. O intervalo aceitável pelo ouvido humano para cada consonância; 3. A aproximação para determinada consonância neste intervalo; 4. Vericação da existência de uma aproximação para tal consonância neste intervalo; 5. A porcentagem do desvio da aproximação para o valor real da consonância; 6. O CP para

f0

e para cada consonância.

Na sua construção, primeiramente dividimos o intervalo de oitava, representado pelo intervalo

[1, 2] em n partes para cada consonância listada acima

conforme o método da escala temperada em 3.3.3.

Em seguida, calculamos o

intervalo indiscriminável de cada consonância para certo CP. Por exemplo, para 3/2:

3/2 ÷ CP < 3/2 × CP ⇒ 3/2 ⊂ [3/2 ÷ CP, 3/2 × CP] Para o cálculo de cada aproximação, tomamos o logaritmo da razão desta aproximação sobre o valor da consonância. Veja a tabela 4.1 como exemplo. Como

log 1 = 0,

o valor que mais se aproxima de zero será o candidato a repre-

sentante da consonância naquele intervalo. Dessa forma, só nos resta vericar se tal representante pertence ao intervalo citado acima. É claro que se em determinada divisão existir uma certa consonância, a porcentagem para o desvio da aproximação será menor ou igual que 100%. Esse percentual é calculado tomando-se a razão entre o logaritmo da razão entre a melhor aproximação da consonância e seu valor real, e o logaritmo do CP para tal freqüência. Caso essa primeira razão for igual a 0 (o denominador nunca será igual a zero pois nesse caso teríamos uma audição absoluta), o desvio será zero (0%) e caso seja 1, o desvio será 100%. Tomamos o logaritmo dos dois valores, pois nosso sistema nervoso central, opera transformando logaritmicamente as grandezas dos estímulos e, dessa maneira, nos faz sentir como se esses fossem lineares. Logo os resultados obtidos não são lineares, mas sim concernentes à percepção. As tabelas nos mostram que as melhores divisões, ou seja, aquelas que possuem as principais consonâncias são para 34, 41, 43, 46, 49 e 50 e seus múltiplos. Para

n

n

valendo 12, 19, 22, 29, 31,

maior que cinqüenta, as notas

sucessivas cam muito próximas e desse modo temos uma probabilidade maior da consonância pertencer a esta divisão. Para

n

maior ou igual a 70 temos todas as consonâncias.

Sendo

assim já temos condições de demonstrar que a divisão da oitava em 12 partes é a primeira divisão que contém as principais consonâncias. Sendo considerada a escala ideal para construir melodias com muito movimento, propiciado pela existência das consonâncias principais. Ou ainda, a escala com 12 tons (twelve tone)

CAPÍTULO 4.

A PERCEPÇÃO DA HARMONIA DOS TONS MUSICAIS

25

propicia uma facilidade maior na composição de melodias que sejam agradáveis aos nossos ouvidos. Esse resultado não descarta a utilização das outras divisões, até mesmo por algumas possuírem consonâncias não usuais, o que poderia enriquecer a melodia. Contudo sua composição, tal como sua execução, exigem um grande estudo e treinamento do ouvido.

4.1.2

Música Microtonal

Denição 4.1.1

É dado o nome de música microtonal à música que utiliza a

oitava com mais de doze tons. Nosso ouvido é sensível a ondas sonoras dentro de uma ampla faixa de freqüências. Sobre um CP de 1,005 detectamos variações de freqüências muito pequenas. Nossa música ocidental (e de muitas outras culturas) está baseada em escalas,

i.e.,

transições e superposições de sons que diferem uns dos outros em

mais de 20 vezes o CP. Por isso investigamos a possibilidade de existir outras divisões ainda dentro do CP que contivessem as principais e outras consonâncias. De fato é possível executar uma música com todas as principais consonâncias de uma oitava com 12 notas numa com 19 notas, e esta com outras consonâncias não existentes na de 12 notas.

4.1.3

A N-ésima Divisão do Intervalo de Oitava Neste momento faremos uma demonstração do porquê a divisão do

intervalo de oitava em 12 partes é a menor divisão que contém todas as consonâncias principais.

O que nos faz enunciar o seguinte teorema.

Antes seria

importante ressaltar que estamos considerando a divisão logarítmica do intervalo da escala temperada, conforme apresentado na subseção 3.3.3.

Teorema 4.1

A escala de doze tons (twelve-tone scale) é a menor divisão da

oitava musical que subjazem às consonâncias de quinta, quarta e terça maiores, as quais chamamos de consonâncias principais. Para a demonstração desse teorema vamos acrescentar uma interpretação vetorial as aproximações das consonâncias. No método utilizado nas tabelas para calcular a aproximação, tomamos o logaritmo da razão entre o valor da aproximação para certa consonância e o valor desta. Logo, o valor que mais se aproxima de zero (log 1) é a melhor aproximação para tal. Por exemplo: para divisão da oitava em 12 partes (n e as consonâncias 3/2, 4/3 e 5/4.

= 12)

CAPÍTULO 4.

divisão

A PERCEPÇÃO DA HARMONIA DOS TONS MUSICAIS

D/n

2

( (n

= 12) log

2D/n 1,5

(

) log

2D/n 1,3333

(

) log

2D/n 1,25

)

D(0)

1,0000

-0,17609

-0,12494

-0,09691

D(1)

1,0595

-0,15101

-0,09985

-0,07182

D(2)

1,1225

-0,12592

-0,07477

-0,04674

D(3)

1,1892

-0,10083

-0,04968

-0,02165

D(4)

1,2599

-0,07575

-0,02460

0,00343

D(5)

1,3348

-0,05066

0,00049

0,02852

D(6)

1,4142

-0,02558

0,02558

0,05360

D(7)

1,4983

-0,00049

0,05066

0,07869

D(8)

1,5874

0,02460

0,07575

0,10378

D(9)

1,6818

0,04968

0,10083

0,12886

D(10)

1,7818

0,07477

0,12592

0,15395

D(11)

1,8877

0,09985

0,15101

0,17903

D(12)

2,0000

0,12494

0,17609

0,20412

Tabela 4.1:

Divisão do intervalo em 12 partes e aproximações para 3/2, 4/3 e 5/4



O valor de  2

D/12

/consonância 

deve ser menor que o CP para

determinada freqüência pois assim a consonância pertencerá a escala. do melhor representante de 1,2599.

5/4

O valor

na divisão em 12 partes vale aproximadamente

Ao compararmos os valores

24/12 /1.25 ≈ 1, 00794 > 1, 005

vericamos

que a aproximação está acima daquela permitida pelo CP.

Figura 4.3:

26

Interpretação vetorial das consonâncias principais para n = 12

CAPÍTULO 4.

A PERCEPÇÃO DA HARMONIA DOS TONS MUSICAIS

27

Se analisarmos vetorialmente, ou seja, se considerarmos um vetor

( ( ) ) ⃗c = ⃗q, ⃗s, ⃗t cujas componentes são a base: ⃗q = log 27/n /1.5 , ( ( ) ) ⃗s = log 25/n /1.333 , ⃗t = log 24/n /1.25 , n = 12 e compararmos com o vetor ( ) p⃗ = p⃗3/2 , p⃗4/3 , p⃗5/4 cujas componentes são os módulos dos logaritmos do menor CP para as consonâncias 3/2, 4/3 e 5/4 respectivamente, vericamos que ∥⃗ c∥ < ∥⃗p∥. A gura abaixo ilustra a situação: consonância

Para não perdermos a generalidade da demonstração, utilizaremos o menor CP do ouvido humano, ou seja, CP

= 1, 005

e assim vericamos:

∥⃗c∥ ≈ 0, 003503 < 0, 003752 ≈ ∥⃗p∥ Desse resultado concluímos: Se considerarmos coexistentes todas as consonâncias principais do intervalo de 12 notas, em relação o vetor percepção

p⃗,

estas estarão

dentro da margem do CP, ou seja, não percebemos que a aproximação da terça é maior do que o CP permite para essa consonância.

Contudo se analisarmos

em regiões de freqüência onde o CP é maior que 1,00794, de fato, a norma da componente terça será menor que a norma da componente percepção da terça, dessa maneira, a consonância pertencerá ao intervalo. Agora que mostramos como interpretar vetorialmente as consonâncias comparando com o vetor percepção, temos uma ferramenta que utilizaremos em todas as divisões para vericar a existência das consonâncias. O que nos leva à demonstração do teorema 4.1.

Demonstração do Teorema 4.1

Para demonstrarmos este teorema basta exibir

n = 1, ..., 12 e vericar que 12 é o primeiro n para o qual temos consonâncias principais, ou seja, ∥⃗ c∥ < ∥⃗p∥. Para isto construiremos a

os resultados para todas as

seguinte tabela:

n



⃗

b

0,003063

∥⃗c∥

0,003752

n



⃗

b

0,003063

∥⃗c∥

0,003752

1 2 3 4 5 6

0,176690 0,036170 0,034783 0,036170 0,006402 0,034783

> > > > > >

0,201522 0,064667 0,034952 0,042156 0,024358 0,034952

> > > > > >

7 8 9 10 11 12

0,005762 0,017045 0,012519 0,006402 0,016819 0,000694

> > > > > <

0,012330 0,023362 0,012981 0,009195 0,020989 0,003503

> > > > > <



Tabela 4.2:

Valor das aproximações para

⃗b e ∥⃗c∥, com n = 1, ..., 12.

Observando a tabela acima vericamos que para primeira divisão da oitava para o qual

n = 12

temos a

∥⃗c∥ < ∥⃗p∥.

Na tabela anterior, mostramos os valores para outros dois vetores: o

vetor ⃗ b = (⃗q, ⃗s)

e

( ) ⃗o = p⃗3/2 , p⃗4/3

apenas para mostrarmos que as consonâncias

3/2 e 4/3 também satisfazem o teorema 4.1.

CAPÍTULO 4.

A PERCEPÇÃO DA HARMONIA DOS TONS MUSICAIS

28

Nesse ponto de nosso trabalho, uma vez que já foram apresentados os três modos pelos quais podemos dividir o intervalo de oitava, abandonaremos o ponto

n = 1

pelo fato de que seu valor representa o uníssono na divisão da

oitava e portanto sua existência é sempre garantida. Os resultados obtidos na tabela 4.1 para o valor do logaritmo da

3/2 e 4/3 aproximações A para

razão da aproximação pelo valor da consonância para

nos apresentam

uma grande peculiaridade. Os valores das

estas consonân-

cias são inversos, ou ainda:

( ) ( ) A3/2 × A4/3 = log 2D/12 /1, 5 × log 2D/12 /1, 3333 = C , D ∈ N, C ∈ R (4.2) o que nos induz a propormos o seguinte teorema:

Teorema 4.2

O valor da melhor aproximação para a consonância

em módulo, ao valor da melhor aproximação de

4/3

3/2

é igual,

para qualquer que seja n.

Em outras palavras, numa certa divisão do intervalo de oitava em n partes, a existência da consonância

3/2

garante a existência da consonância

4/3

e vice-

versa.

Demonstração do Teorema 4.2 1. Seja

i∈N

tal que (i.e. o único

i

satisfazendo):

i

2n < Tem-se

2

n+i n

3 Logo

 log 

2. Seja

j∈N

n+i 2 n

3

< < < < < <

0,06467 0,03495 0,04216 0,02436 0,03495 0,01233 0,02336 0,01298 0,00920 0,02099 0,00350

> < > < < < < < < < <

0,09628 0,04086 0,04234 0,03088 0,04086 0,01409 0,02369 0,01787 0,01444 0,02119 0,00526

> < > < < < < < < < <

0,11727 0,05277 0,04315 0,03160 0,04417 0,02371 0,02510 0,01787 0,01593 0,02446 0,00984

> > < < < < < < < < <

0,13083 0,06766 0,04647 0,03168 0,04486 0,02805 0,03047 0,01997 0,01609 0,02468 0,01257

> > < < < < < < < < <

Tabela 4.4:

Vetor consonância comparado ao vetor percepção para n = 2, ..., 12 e CP=1,05.

CAPÍTULO 4.

A PERCEPÇÃO DA HARMONIA DOS TONS MUSICAIS

34

n



⃗

b

∥⃗o∥

∥⃗c∥

∥⃗ p∥



⃗

d

∥⃗q∥

∥⃗e∥

∥⃗r∥



⃗

f

∥⃗s∥

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0,03617 0,03478 0,03617 0,00640 0,03478 0,00576 0,01704 0,01252 0,00640 0,01682 0,00069 0,01295 0,00576 0,00640 0,00956 0,00139 0,01113 0,00256 0,00640 0,00576 0,00253 0,00841 0,00069 0,00640 0,00342 0,00325 0,00576 0,00053 0,00640 0,00184 0,00374 0,00392 0,00139 0,00576 0,00069 0,00410 0,00256 0,00204 0,00424 0,00017 0,00437 0,00152 0,00253 0,00306 0,00085 0,00447 0,00069 0,00293 0,00211

> > > > > > > > > > < > > > > < > < > > < > < > > > > < > < > > < > < > < < > < > < < < < > < < <

0,06468 0,03495 0,04216 0,02436 0,03495 0,01233 0,02336 0,01298 0,00920 0,02099 0,00350 0,01364 0,01207 0,00726 0,00998 0,00849 0,01165 0,00316 0,00920 0,00671 0,00277 0,00993 0,00350 0,00643 0,00548 0,00473 0,00576 0,00353 0,00726 0,00185 0,00470 0,00521 0,00147 0,00620 0,00350 0,00416 0,00316 0,00399 0,00434 0,00147 0,00556 0,00188 0,00277 0,00447 0,00151 0,00455 0,00292 0,00324 0,00219

> > > > > > > > > > < > > > > > > < > > < > < > > > > < > < > > < > < > < > > < > < < > < > < < <

0,09628 0,04086 0,04234 0,03088 0,04086 0,01409 0,02369 0,01787 0,01444 0,02119 0,00526 0,01675 0,01386 0,00735 0,01072 0,01191 0,01247 0,00316 0,01000 0,00957 0,00402 0,00995 0,00526 0,00821 0,00579 0,00486 0,00697 0,00523 0,00735 0,00238 0,00612 0,00597 0,00156 0,00645 0,00526 0,00470 0,00316 0,00446 0,00564 0,00216 0,00557 0,00287 0,00402 0,00460 0,00165 0,00510 0,00375 0,00331 0,00237

> > > > > > > > > > > > > > > > > < > > < > > > > > > > > < > > < > > > < > > < > < < > < > < < <

0,11727 0,05277 0,04315 0,03160 0,04417 0,02371 0,02510 0,01787 0,01593 0,02446 0,00984 0,01694 0,01408 0,00997 0,01356 0,01252 0,01247 0,00477 0,01206 0,01067 0,00428 0,01007 0,00675 0,00977 0,00632 0,00486 0,00739 0,00701 0,00805 0,00259 0,00622 0,00672 0,00419 0,00672 0,00526 0,00505 0,00477 0,00513 0,00570 0,00233 0,00608 0,00420 0,00428 0,00460 0,00223 0,00587 0,00427 0,00337 0,00248

> > > > > > > > > > > > > > > > > < > > < > > > > > > > > < > > < > > > < > > < > < < < < > < < <

0,13083 0,06766 0,04647 0,03168 0,04486 0,02805 0,03047 0,01997 0,01609 0,02468 0,01257 0,02046 0,01551 0,01021 0,01365 0,01344 0,01472 0,00719 0,01226 0,01069 0,00538 0,01154 0,00824 0,01002 0,00632 0,00536 0,00852 0,00822 0,00835 0,00261 0,00641 0,00747 0,00578 0,00707 0,00529 0,00516 0,00540 0,00636 0,00611 0,00245 0,00612 0,00464 0,00538 0,00511 0,00241 0,00588 0,00454 0,00432 0,00333

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > < < > > > < > < > < < > < < <

Tabela 4.5:

Vetor consonância comparado ao vetor percepção para n = 2, ..., 50 e CP=1,005.

CAPÍTULO 4.

A PERCEPÇÃO DA HARMONIA DOS TONS MUSICAIS

35

n



⃗

b

∥⃗o∥

∥⃗c∥

∥⃗ p∥



⃗

d

∥⃗q∥

∥⃗e∥

∥⃗r∥



⃗

f

∥⃗s∥

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

0,03617 0,03478 0,03617 0,00640 0,03478 0,00576 0,01704 0,01252 0,00640 0,01682 0,00069 0,01295 0,00576 0,00640 0,00956 0,00139 0,01113 0,00256 0,00640 0,00576 0,00253 0,00841 0,00069 0,00640 0,00342 0,00325 0,00576 0,00053 0,00640 0,00184 0,00374 0,00392 0,00139 0,00576 0,00069 0,00410 0,00256 0,00204 0,00424 0,00017 0,00437 0,00152 0,00253 0,00306 0,00085 0,00447 0,00069 0,00293 0,00211

> > > > > > > > > > < > > > > < > > > > > > < > > > > < > < > > < > < > > > > < > < > > < > < > >

0,06467 0,03495 0,04216 0,02436 0,03495 0,01233 0,02336 0,01298 0,00920 0,02099 0,00350 0,01364 0,01207 0,00726 0,00998 0,00849 0,01165 0,00316 0,00920 0,00671 0,00277 0,00993 0,00350 0,00643 0,00548 0,00473 0,00576 0,00353 0,00726 0,00185 0,00470 0,00521 0,00147 0,00620 0,00350 0,00416 0,00316 0,00399 0,00434 0,00147 0,00556 0,00188 0,00277 0,00447 0,00151 0,00455 0,00292 0,00324 0,00219

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > < > > > > > > < > < > > < > > > <

0,09628 0,04086 0,04234 0,03088 0,04086 0,01409 0,02369 0,01787 0,01444 0,02119 0,00526 0,01675 0,01386 0,00735 0,01072 0,01191 0,01247 0,00316 0,01000 0,00957 0,00402 0,00995 0,00526 0,00821 0,00580 0,00486 0,00697 0,00523 0,00735 0,00238 0,00612 0,00597 0,00156 0,00645 0,00526 0,00470 0,00316 0,00446 0,00564 0,00216 0,00557 0,00287 0,00402 0,00460 0,00165 0,00510 0,00375 0,00331 0,00237

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > < > > > > > > < > > > > < > > > <

0,11727 0,05277 0,04315 0,03160 0,04417 0,02371 0,02510 0,01787 0,01593 0,02446 0,00984 0,01694 0,01408 0,00997 0,01356 0,01252 0,01247 0,00477 0,01206 0,01067 0,00428 0,01007 0,00675 0,00977 0,00632 0,00486 0,00739 0,00701 0,00805 0,00259 0,00622 0,00672 0,00419 0,00672 0,00526 0,00505 0,00477 0,00513 0,00570 0,00233 0,00608 0,00420 0,00428 0,00460 0,00223 0,00587 0,00427 0,00337 0,00248

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > < > > > > < > > > <

0,13083 0,06766 0,04647 0,03168 0,04486 0,02805 0,03047 0,01997 0,01609 0,02468 0,01257 0,02046 0,01551 0,01021 0,01365 0,01344 0,01472 0,00719 0,01226 0,01069 0,00538 0,01154 0,00824 0,01002 0,00632 0,00536 0,00852 0,00822 0,00835 0,00261 0,00641 0,00747 0,00578 0,00707 0,00529 0,00516 0,00540 0,00636 0,00611 0,00245 0,00612 0,00464 0,00538 0,00511 0,00241 0,00588 0,00454 0,00432 0,00333

> > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > < > > > > < > > > >

Tabela 4.6:

Vetor consonância comparado ao vetor percepção para n = 2, ..., 50 e CP=1,003.

Conclusões Com a seqüência dos temas desenvolvidos neste trabalho, concluímos que a música como conhecemos atualmente é resultante de um longo período de evoluções culturais e tecnológicas. Essa evolução nos permitiu aprimorar as técnicas de construção dos intervalos musicais e analisar de forma crítica as formatações anteriores. Conseguimos analisar o conjunto das gamas musicais algebricamente e a partir daí vericar que a conguração de distribuição das notas na oitava é uniforme. Com isso concluímos que a música a qual está além do intervalo audível ainda obedece à formatação que conhecemos. Dentro desta, introduzimos o estudo da capacidade de distinção de sons puros e concluímos que o ouvido humano possui limitações para diferenciar freqüências próximas, porém tais diferenças podem ser percebidas por espécies animais com uma capacidade auditiva aprimorada. Ao contrário, essas espécies não perceberiam as distinções existentes entre tais freqüências, as quais conseguimos diferenciar. Daí ao analizarmos a audição de dois pássaros, com respectivos CP de 1,003 e 1,05, vericamos que a melhor divisão para relacionarmos as três espécies é para

n = 31

n = 12.

E se relacionarmos o CP 1,005 com 1,003, temos para

uma gama com todas as consonâncias, o que possibilita uma riqueza

melódica muito grande para as duas espécies. Estudamos essas limitações do aparelho auditivo humano ao considerarmos escalas cromáticas com mais de doze tons na oitava. Daí, concluímos que se desejamos ter a menor gama com um número máximo de consonâncias representadas por frações de denominador baixo na oitava, então necessariamente devemos utilizar a escala cromática de doze tons. Concluímos e demonstramos também, que a (não)existência da consonância principal 3/2 implica na (não)existência da consonância principal 4/3 e vice-versa para qualquer

n

que divide a oitava logaritmicamente.

36

Anexos

37

Referências Bibliográcas [1] Abdounur, O. J. Matemática e Música: Pensamento Analógico na Constru-

ção de Signicados -

2a

edição. São Paulo: Escrituras Editora, 1999. (Série

Ensaios Transversais). [2] Descartes, R.

Compendium of Music

American Institute of Musicology,

1961. [3] Drabkin, W. F. The New Groves Dictionary of Music and Musicians

New

York: Mac Milan, 1980. [4] Gainza, V. H. de Estudos de Psicopedagogia Musical Summus Editorial, 1988. [5] Farner, D. S.,King, J. R.

edição. São Paulo:

(Coleção Novas Buscas em Educação ; v. 31).

Avian Biology -

2nd

edition.

London: Academic Press, INC., 1973. (volume 3). [6] Fay, R. R.,Popper, A. N.

1a

United Kingdom -

573p.

Comparative Hearing in Mammals -

3rd

edition.

New York - London: Springer Verlag, 1994. (Springer Handbook of Auditory Research Series). [7] Halliday, Resnick, Walker

Fundamentos de Física, Volume II -

2a

edição.

São Paulo: Livros Técnicos e Cientícos Editora S.A., 1997. 298p. [8] Hsu, P. H.

Analisis de Fourier -

2a

edición.

[tradução: Ramón G. Florez

Torres] México - Buenos Aires: Fondo Educativo Interamericano S.A., 1973. 274p. [9] Ramalho Junior, F., Ferraro, N. G., Soares, P. A. T.

Física, Volume II -

6

a

edição.

Os Fundamentos da

São Paulo: Editora Moderna LTDA., 1996.

528p. [10] Rigden, J. S.

Physics and the Sound of Music -

University of Missouri: John Wiley & Sons, 1977. [11] Roederer, J. G.

edition.

St. Louis:

353p.

Introdução à Física e Psicofísica da Música -

[tradução: Alberto Luis da Cunha] São Paulo, 1998.

2nd

1a

edição.

São Paulo: Editora da Universidade de

310p.

38

39

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[12] Sadie, S.

Dicionário Grove de Música -

1a

edição.

[tradução:

Eduardo

Francisco Alves] Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 1994. [13] Wareld, D. The Study of Hearing in Animals - Methods of Animal Hearing -

4th

edition. United Kingdom - London: Academic Press, 1973.

[14] Welty, J. C., Baptista, L. The Life of Birds Academy of Sciences, 1988.

[15] Wuensche, C. A.

4th

43-143p.

edition. USA- California:

581p.

A Física da Música URL:

http://greeneld.fortunecity.com/hawks/235/ciencias/sica/musica/sicadamusica.htm Itajubá:

Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) - Divisão de

Astrofísica, 1998.

Consultado em 23/05/04

[16] Zamacois, J. Teoria de la Música, Livro II sitária, 1997.

2a

edición. Span Press Univer-