Matematica superior

2014

Burgos, Nicolás Sanchez, Ramiro

[TRABAJO

INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR]

En este trabajo se explicará brevemente ecuaciones diferenciales y sistemas de las mismas, series de Fourier, transformadas de Laplace y Z y métodos numéricos aplicados a la ingeniería en la vida real.

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

“La preocupación por el hombre y su destino siempre debe ser el interés primordial de todo esfuerzo técnico. Nunca olvides esto entre tus diagramas y ecuaciones.” Albert Einstein.

2

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Índice:

Contenido Índice: ................................................................ 3 Introducción: ..........................................................5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales ..........................................................6 Introducción Teórica .................................................7 Ecuación diferencial ...............................................7 Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. .........................7 Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables. ....................................7 Ensayo sobre el principio de la población ............................8 Ley de Malthus .......................................................8 Modelo matemático ....................................................8 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales ............................. 9 La ley de Kirchhoff ...............................................11 Solución de la ecuación diferencial: .............................. 13 Conclusión: .......................................................15 Aplicaciones de sistemas de ecuaciones diferenciales ................15 Conclusión: .......................................................17 Aplicaciones de series de Fourier y transformada de Fourier. ..........18 Introducción Teórica ................................................19 Señales Digitales: ..................................................19 Análisis de Fourier ...............................................19 Transformada de Fourier ...........................................20 Transformada rápida de Fourier ....................................20 Aplicaciones de Series de Fourier ...................................21 Conclusión: .......................................................22 Aplicaciones de la Transformada de Laplace ............................ 23 Introducción Teórica ................................................24 Introducción histórica ............................................24

3

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 La Transformada de Laplace ........................................25 DEFINICION ........................................................25 Aplicaciones de transformada de Laplace ............................. 26 Conclusión: .......................................................28 Aplicaciones de la Transformada Z (ZETA) .............................. 29 Introducción Teórica ................................................30 La Transformada de Zeta ...........................................30 Aplicaciones de la Transformada Z ...................................30 Conclusión: .......................................................33 Aplicaciones de métodos numéricos de resolución de ecuaciones algebraicas y trascendentes, errores, separación de raíces y problemas de interpolación .........................................................34 Introducción Teórica ................................................35 Concepto de interpolación .........................................35 Aplicación ”Método de la bisección” .................................35 Aplicación “Polinomio de interpolación de Lagrange” .................38 Aplicaciones de métodos numéricos en las ecuaciones diferenciales ordinarias ............................................................ 40 Introducción Teórica ................................................41 Método de Euler ...................................................41 Método de Euler Mejorado ..........................................43 Método de Runge-Kutta .............................................44 Método de Runge-kutta aplicado en los movimientos de los planetas ....45 Comparación de los 3 métodos numéricos con la herramienta Matlab .....46 Conclusión final: .....................................................51 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ............................................52

4

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Introducción:

Durante mucho tiempo, las personas se preguntan qué es lo que verdaderamente resolvemos con las matemáticas. A lo largo del tiempo y con el estudio de las mismas, vamos descubriendo un mundo lleno de cosas nuevas, que a veces nos parecen raras y sin un entendimiento de para qué no servirá en nuestro futuro. Nosotros, los estudiantes de ingeniería, entendemos esto como la capacidad de tener un pensamiento elevado y una mejor calidad de respuesta hacia los problemas diarios relacionados con las matemáticas. Por este tipo de cuestiones, en el presente trabajo desarrollaremos las aplicaciones de los diferentes temas dados en la asignatura de Matemática Superior en un marco de un trabajo final integrador. Cabe tener presente, para el mejor entendimiento del informe, que el lector tenga conocimientos de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales, series de Fourier, transformada de Laplace, transformada Z y métodos numéricos de la EDO.

5

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 UNIDAD I

Aplicaciones de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales

6

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Introducción Teórica Ecuación diferencial Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en: Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones en derivadas parciales: respecto a dos o más variables.

aquellas

que

contienen

derivadas

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son: 𝑦 ′ = 2𝑥𝑦 + 1es una ecuación diferencial ordinaria, donde𝑦 representa una función no 𝑑𝑦

especificada de la variable independiente 𝑥 , es decir, 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 es la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥. La expresión

𝜕𝑢 𝜕𝑥

+

𝛿𝑢 𝛿𝑦

= 0es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace). Sistema de ecuaciones diferenciales Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales pude tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias En un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de cualquier orden, puede ser reducido a un sistema equivalente de primer orden, si se

7

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 introducen nuevas variables y ecuaciones. Por esa razón en este artículo sólo se consideran sistemas de ecuaciones de primer orden. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden escrito en forma explícita es un sistema de ecuaciones de la forma:

Ensayo sobre el principio de la población El Ensayo sobre el principio de población es una obra del siglo XVIII publicada originalmente en inglés como An Essay on the Principle of Population (1798). Es una obra de demografía escrita por el economista inglés Thomas Robert Malthus, en la que desarrolla la influyente teoría de que la población crece más rápidamente que los recursos, conduciendo a una progresiva pauperización de la población. Ley de Malthus El trabajo de Malthus pretendía interpretar la desigualdad económica, la miseria y la pobreza de las masas trabajadoras bajo el capitalismo como una consecuencia práctica del crecimiento de la población y la escasez de recursos. Malthus afirmaba que la población se duplicaba cada 25 años, es decir, crecía en progresión geométrica, presentando un crecimiento exponencial. Para ello se basó en los datos de crecimiento de población en Estados Unidos durante el siglo XVIII. Por otra parte Malthus supuso que los medios de subsistencia, en el mejor de los casos, aumentan en progresión aritmética, es decir, presentan un crecimiento lineal. Modelo matemático La ley de Malthus predecía por tanto la ocurrencia en el futuro de un fenómeno llamado catástrofe malthusiana en el que los recursos alimentarios serían claramente insostenibles para mantener a la población mundial y sobrevendrían graves guerras y hambrunas que diezmarían a la humanidad. Esta sección formaliza las ideas de Malthus en forma de ecuaciones diferenciales y calcula en función de ciertos parámetros el tiempo de ocurrencia de la catástrofe malthusiana en donde la cantidad de alimentos disponibles no es suficiente para sostener a toda la población.

8

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Expresado en ecuaciones diferenciales el argumento de Malthus es el siguiente: Si P(t) es la población en el año t que crecería exponencialmente (progresión geométrica) y A(t) la cantidad total de alimentos que crecería linealmente (progresión aritmética) las tasas de aumento serían:

(1) Donde P0 es la población inicial y A0 es la dotación inicial de alimentos (y, por tanto, a0 = A0/P0 la dotación de alimentos por persona inicial). Supongamos ahora que la cantidad mínima de alimentos o ingesta mínima por persona es amin, entonces si las hipótesis de Malthus hubieran sido correctas para todo instante del tiempo, la cantidad de alimentos por persona se habría reducido hasta ser inferior a la cantidad mínima de alimentos por persona en el instante de la catástrofe malthusiana tcm:

(2) Puede verse que para cualesquiera valores positivos de r, k, A0, P0 y amin existe un instante del tiempo dado por tcm en el que se produce indefectiblemente la catástrofe malthusiana, si las ecuaciones de evolución (1) no cambian en todo el proceso. La solución de (2) viene dada mediante la función W de Lambert:

Esta última expresión da el tiempo para el cual se produce la catástrofe malthusiana, y se puede ver que ese momento llega antes cuanto mayor es la tasa crecimiento exponencial r. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales

Así como la mecánica tiene como base fundamental las leyes de Newton, la electricidad también tiene una ley que describe el comportamiento de los circuitos eléctricos, conocida como la ley de Kirchhoff. Realmente, la teoría de la electricidad está gobernada por un cierto conjunto de ecuaciones conocidas en la teoría electromagnética como las ecuaciones de Maxwell. La ley de Kirchhoff es adecuada para estudiar las propiedades simples de los circuitos eléctricos. El circuito eléctrico más simple es un circuito en serie, en el cual tenemos una fem (fuerza electromotriz), la cual actúa como una fuente de energía tal como una batería o

9

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 generador, y una resistencia, la cual consume o usa energía, tal como una bombilla eléctrica, tostador, u otro electrodoméstico. En física elemental encontramos que la fem está relacionada con el flujo de corriente en el circuito. En forma simple, la ley dice que la corriente instantánea I (en un circuito que contiene sólo una fem E y una resistencia R) es directamente proporcional a la fem. Simbólicamente: I α E o I α E de donde, E = IR donde R es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o simplemente, resistencia. La ecuación anterior es conocida bajo el nombre de la ley de Ohm. Circuitos más complicados, pero para muchos casos más prácticos, son circuitos que otros elementos distintos a resistencias. Dos elementos importantes son inductores y condensadores. Un inductor se opone a cambios en corriente. Tiene un efecto de inercia en electricidad de la misma manera que una masa tiene un efecto de inercia en mecánica. Un condensador es un elemento que almacena energía. En física hablamos de una caída de voltaje a través de un elemento. En la práctica podemos determinar esta caída de voltaje, o como se llama comúnmente, caída de potencial o diferencia de potencial, por medio de un instrumento llamado voltímetro. Experimentalmente las siguientes leyes se cumplen: 1. La caída de voltaje a través de una resistencia es proporcional a la corriente que pasa a través de la resistencia. Si ER, es la caída de voltaje a través de una resistencia e I es la corriente, entonces ER α I o ER = IR donde R es la constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de resistencia o simplemente resistencia. 2. La caída de voltaje a través de un inductor es proporcional a la tasa de tiempo instantánea de cambio de la corriente. Si EL es la caída de voltaje a través del inductor, entonces 𝐸𝐿 =

𝑑𝑙 𝐿 𝑑𝑡

donde

L

es

la

constante

de

proporcionalidad

𝑑𝑙

𝐸𝐿 𝛼 𝑑𝑡 llamada

o el

coeficiente de inductancia o simplemente inductancia. 3. La caída de voltaje a través de un condensador es proporcional a la carga eléctrica instantánea en el condensador. Si 𝐸𝑐 es la caída de voltaje a través del condensador y Q la carga instantánea, entonces 𝐸𝑐 𝛼𝑄

o 𝐸𝑐 =

𝑄 𝐶

donde hemos tomado 1/C como la

10

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 constante de proporcionalidad, C se conoce capacitancia o simplemente capacitancia.

como

el

coeficiente

de

La ley de Kirchhoff El enunciado es uno de los de la ley de Kirchhoff: La suma algebraica de todas las caídas de voltaje alrededor de un circuito eléctrico es cero. [Otra manera de enunciar esto es decir que el voltaje suministrado (fem) es igual a la suma de las caídas de voltaje.] Se acostumbra indicar los diferentes elementos de un circuito como se ilustra:

Como un ejemplo, considere un circuito eléctrico consistente en una fuente de voltaje E (batería o generador), una resistencia R, y un inductor L, conectados en serie como se muestra en la figura:

11

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

Adoptamos la siguiente convención: la corriente fluye del lado positivo (+ ) de la batería o generador a través del circuito hacia el lado negativo (- ). Puesto que, por la ley de Kirchhoff, la fem suministrada (E) es igual a 𝑑𝑙 la caída de voltaje a través del inductor 𝐿 𝑑𝑡 más la caída de voltaje a través de la resistencia (RI), tenemos como la ecuación diferencial requerida para el circuito: 𝐿

𝑑𝑙 𝑅𝐼 = 𝐸 𝑑𝑡

Como otro ejemplo, suponga que nos dan un circuito eléctrico consistente en una batería o generador de E en serie con una resistencia de R y un condensador de C.

Aquí la caída de voltaje a través de la resistencia es RI y la caída de voltaje a través del condensador es Q/C, de modo que por la ley de 𝑄 Kirchhoff 𝑅𝐼 + = 𝐸 tal como aparece esto no es una ecuación 𝐶

12

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 diferencial. Sin embargo al notar que la corriente es la variación de la 𝑑𝑄 𝑄 𝑑𝑄 carga con el tiempo, esto es, 𝐼 = 𝑑𝑡 , 𝑅𝐼 + 𝐶 = 𝐸 se convierte en 𝑅 𝑑𝑡 + 𝑄 𝐶

=𝐸 , la cual es una ecuación diferencial para la carga instantánea. Acompañando a las ecuaciones diferenciales obtenidas están las condiciones que se derivan, por supuesto, del problema específico considerado. Ejemplo aclaratorio: Un generador con una fem se conecta en serie con una resistencia y un inductor. Si el interruptor K se cierra en tiempo t = 0, establezca una ecuación diferencial para la corriente y determine la corriente en tiempo t. Formulación matemática: Llamando a I la corriente o intensidad de corriente que fluye según el 𝑑𝑙 primer circuito descrito, tenemos, por la ley de Kirchhoff, 𝐸 = 𝑅𝐼 + 𝐿 𝑑𝑡

Solución de la ecuación diferencial: Dado el siguiente circuito:

Por ley de Kirchhoff obtenemos la siguiente ecuación diferencial: 𝑣𝑡 = 𝑅𝑖 + 𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

Esta es una expresión diferencial no homogénea, lineal de primer orden, para resolverla requerirá una previa separación de variables de la siguiente manera:

13

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 𝑣 − 𝑅𝑖 = 𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

𝑅𝑖 − 𝑣 = −𝐿 𝑅𝑖 = −𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

𝑑𝑖 +𝑣 𝑑𝑡

Multiplicando por R: 𝑖

𝑅 𝐿 𝑑𝑖 𝑣 = − + 𝑅 𝑅 𝑑𝑡 𝑅

Simplificando: 𝑖= − 𝑖−

𝐿 𝑑𝑖 𝑣 + 𝑅 𝑑𝑡 𝑅

𝑣 𝐿 𝑑𝑖 =− 𝑅 𝑅 𝑑𝑡

Despejando dt: 𝐿 − 𝑅 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝑣 (𝑖 − 𝑅 ) 𝑣 𝑅

Integrando por sustitución (haciendo 𝑢 = 𝑖 − ; 𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑𝑖): 𝐿 𝑑𝑖 𝐿 𝑑𝑖 𝑅 ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑣 = −𝑅 ∫ 𝑣 (𝑖 − 𝑅 ) (𝑖 − 𝑅 ) −

𝐿 𝑣 𝑡 = − ln (𝑖 − ) + 𝑘 𝑅 𝑅

(1)

Aplicando las condiciones iniciales: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 = 0

𝑖=0

Se determina k: 𝐿 𝑣 0 = − ln (0 − ) + 𝑘 𝑅 𝑅 Entonces: 𝑘=

𝐿 𝑣 ln (− ) 𝑅 𝑅

14

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Reemplazando en (1): 𝐿 𝑣 𝐿 𝑣 𝑡 = − ln (𝑖 − ) + ln (− ) 𝑅 𝑅 𝑅 𝑅 Multiplicando por –i esta última expresión y operando llegamos a: 𝑣 𝑖−𝑅 𝐿 − 𝑡 = ln ( 𝑣 ) 𝑅 (− 𝑅 ) Sabiendo que 𝜏 (𝑡𝑎𝑢) =

𝑅 𝐿

y elevando a e: 𝑡 𝑒 −𝜏

𝑣 𝑖− 𝑅 = ( 𝑣 ) (− 𝑅 )

Despejando i: 𝑖(𝑡) =

𝑣 𝑣 𝑡 − 𝑒 −𝜏 𝑅 𝑅

Luego, la caída de tensión en la resistencia será: 𝑡

𝑣𝑅 = 𝑅𝑖 = 𝑣 − 𝑣𝑒 −𝜏 Y la caída de la tensión en la bobina será: 𝑣𝐿 = 𝐿

𝑡 𝑑𝑖 = 𝑣𝑒 −𝜏 𝑑𝑡

Conclusión: Es fácil comprender porque se presentan tan a menudo ecuaciones diferenciales en los problemas de Física: si “y = f(x)” es una función que representa una magnitud escalar, entonces su derivada “df/dx” representa la tasa de cambio (derivada respecto del tiempo) de “y” en relación con “x”. En cualquier fenómeno natural, las variables que aparecen y sus tasas de cambio se relacionan entre si según los principios básicos que rigen el proceso y, cuando esta relación se expresa mediante símbolos matemáticos, el resultado es habitualmente una ecuación diferencial. Aplicaciones de sistemas de ecuaciones diferenciales Aplicaciones de sistemas de ecuaciones diferenciales a poblaciones de dos especies en un mismo habitad Sólo puedo decir que la vida es lucha, lo pone en los libros de ciencias naturales. Lucha entre congéneres, contra los elementos, por el alimento,

15

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 la luz, el agua y el aire, una combinación de estrategias ofensivas y defensivas que nos conduce circularmente desde el no ser hasta el dejar de ser. Todo lo que no sea así entendido carece de vida [. . . ] todos los órdenes vegetales y animales están permanentemente en pie de guerra, combatiendo por mantener la vida, escondiéndose de sus predadores y depredando a sus presas, a veces de forma individual, otras en grupo, pero siempre guerreando sobre este planeta en que sólo pueden cohabitar los más dotados. (Fragmento de la novela Un estado del malestar, de Joaquín Berges) Los sistemas de ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en la interacción entre dos especies en un mismo habitad, como por ejemplo entre pájaros y gusanos. En este caso la interacción entre ambas especies respondía a un modelo de depredación, en el que la única información de que disponíamos consistía en que la población de gusanos se veía mermada a un ritmo proporcional a su propio tamaño en cada instante de tiempo. Diseñaremos una ecuación diferencial por cada una de las especies que participan en la interacción, de modo que el sistema general de ecuaciones diferenciales que vendrá a representar finalmente tal experiencia interactiva responderá al siguiente esquema.

Donde a; b; c; d; e; f є R son los parámetros biológicos del modelo. Tales sistemas reciben el nombre de sistemas de Lotka–Volterra. El significado de las constantes es el siguiente:   

a y d representan las tasas de crecimiento intrínsecas asociadas a las poblaciones x e y, respectivamente; b y f son los coeficientes de autoinfluencia (sobre su propio crecimiento) de las poblaciones representadas por x e y, respectivamente; por último, las cantidades c y e son los coeficientes de influencia cruzados de la especie y sobre la especie x y de la especie x sobre la especie y, respectivamente.

Para ilustrar lo expuesto elijamos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de Lotka–Volterra:

Los valores de los coeficientes de influencia cruzada son c = +2 y e = 4, lo cual quiere decir que la presencia de la especie y favorece el

16

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 desarrollo de la especie x pero, por contra, la presencia de x perjudica el desarrollo de y. Se trata, por consiguiente, de un caso de antagonismo. Para entender en profundidad el efecto último de la interacción es conveniente analizar qué le sucedería separadamente a cada una de las poblaciones en ausencia de la otra. Ausencia de la especie y: Se trata del caso en que y = 0, luego la segunda de las ecuaciones en (2) no aporta ninguna información relevante (0 = 0), mientras que la primera de ellas se reduce a:

Los puntos de equilibrio de (3) son x = 0 y x = 2;4, luego cualquier solución cuyo dato inicial x0 se encuentre entre ambos puntos de equilibrio (por ejemplo, x0 = 1) verifica que es creciente (x ‘= (12 5 . 1). 1 = 7 > 0), por lo que a largo plazo tenderá hacia el valor de la correspondiente capacidad de carga: K1 = 2;4. Ausencia de la especie x: Ahora x = 0, luego es la primera de las ecuaciones en (2) la que no aporta información relevante. La segunda, sin embargo, se lee:

Los puntos de equilibrio de (4) son y = 0 e y = 12, luego cualquier solución cuyo dato inicial x0 se encuentre entre ambos puntos de equilibrio (por ejemplo, y0 = 1) verifica que es creciente (y’ = (242.1).1 = 22 > 0), por lo que a largo plazo tenderá hacia el valor de la correspondiente capacidad de carga: K2 = 12. Conclusión: Ambas especies conviven e interactúan: Entonces, como vimos con anterioridad, la especie x sale beneficiada (c = +2) mientras que y es perjudicada (e = 4). La intuición biológica nos dicta que el comportamiento conjunto de ambas especies a largo plazo debe traducirse en una capacidad de carga mayor que 2;4 para la especie x (fruto del beneficio obtenido a costa de y) y menor que 12 para la especie de y (fruto del perjuicio provocado por la presencia de x).

17

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 UNIDAD II Aplicaciones de series de Fourier y transformada de Fourier.

18

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Introducción Teórica Señales Digitales: Una señal digital es una forma de onda muestreada o discreta, pero cada número en la lista puede, tomar solo valores específicos. Su forma característica es ampliamente conocida: la señal básica es una onda cuadrada (pulsos) y las representaciones se realizan en el dominio del tiempo. Por otra parte, el análisis de Fourier es un concepto básico para entender algunos de los efectos que se producen en la transmisión de datos a través de un medio físico, como por ejemplo distintos tipos de cables. En esta nota de aplicación se detallara el cálculo de la descomposición de una señal digital mediante series de Fourier, además de la interpretación de los efectos que ejerce el medio sobre esa misma señal. Para ello realizaremos el estudio de esta señal digital en el dominio de la frecuencia mediante el análisis de Fourier. Análisis de Fourier La información puede transmitirse por medio de cables al variar alguna de sus propiedades físicas como la tensión o la corriente que circula por él. Al representar el valor de dicha propiedad en función del tiempo, podremos modelar el comportamiento de la señal y analizarla matemáticamente. A principios del siglo XIX, Fourier demostró que cualquier función que se comporte de forma razonablemente periódica, puede construirse mediante la suma (posiblemente infinita) de funciones seno y coseno.

Donde f es la inversa del periodo de la señal y la denominamos frecuencia fundamental de la señal s(t). Por otra parte, a0 es una constante a la que llamaremos componente continua de s(t) y an, bn son las amplitudes de los diferentes armónicos. Estos armónicos son los que nos permiten el estudio en frecuencia de dicha señal periódica. Una señal de datos que tiene una duración finita, puede manejarse suponiendo que aquella se repite una y otra vez:

19

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Transformada de Fourier La transformada de Fourier, en esencia, descompone o expande una señal o función en senos y cosenos de diferentes frecuencias cuya suma corresponde a la señal original, es decir, es capaz de distinguir las diferentes componentes de frecuencia de la señal, y sus respectivas amplitudes. La transformada de Fourier de una función del tiempo f(t) se define como:

De acuerdo con lo dicho anteriormente la transformada de Fourier puede obtener un representación en el dominio de la frecuencia de una señal que se encuentra originalmente en el dominio del tiempo. Transformada rápida de Fourier FFT es la abreviatura usual (del inglés Fast Fourier Transform) de un eficiente algoritmo que permite calcular la transformada de Fourier discreta (DFT) y su inversa. La FFT es de gran importancia en una amplia variedad de aplicaciones, desde el tratamiento digital de señales y filtrado digital en general a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales o los algoritmos de multiplicación rápida de grandes enteros. El algoritmo pone algunas limitaciones en la señal y en el espectro resultante. Por ejemplo: la señal de la que se tomaron muestras y que se va a transformar debe consistir de un número de muestras igual a una potencia de dos. La mayoría de los analizadores TRF permiten la transformación de 512, 1024, 2048 o 4096 muestras. El rango de frecuencias cubierto por el análisis TRF depende de la cantidad de muestras recogidas y de la proporción de muestreo. Uno de los algoritmos aritméticos más ampliamente utilizados es la transformada rápida de Fourier, un medio eficaz de ejecutar un cálculo matemático básico y de frecuente empleo. La transformada rápida de Fourier es de importancia fundamental en el análisis matemático y ha sido objeto de numerosos estudios. La aparición de un algoritmo eficaz para esta operación fue una piedra angular en la historia de la informática. Las aplicaciones de la transformada rápida de Fourier son múltiples. Es la base de muchas operaciones fundamentales del procesamiento de señales, donde tiene amplia utilización. Además, proporciona un medio oportuno

20

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 para mejorar el rendimiento de los algoritmos para un conjunto de problemas aritméticos comunes. Aplicaciones de Series de Fourier Consideremos el caso de la transmisión del byte 01100010 (ASCII „B‟). Definiremos la función f(t), periódica con período T, de forma tal que el período será dividido en 8 fracciones de forma tal que en cada una de ellas se envía uno de los bits que componen al byte; la función quedaría definida como:

Con la función definida, y dado que es una función periódica con período T, podemos representar esta mediante la Serie de Fourier. Sus coeficientes 𝑎0 , 𝑎𝑛 𝑦 𝑏𝑛 y quedarían establecidos como:

donde B(i) representa el valor del bit en la posición i-ésima contadas desde la 0-ésima a la 7-ésima de izquierda a derecha. Con el desarrollo de f(t) en Serie de Fourier, vemos como el byte va a ser codificado mediante una señal digital; gráficamente podemos ver cómo la lógica binaria de tensiones altas y bajas es codificada a la señal digital que aproximará estas tensiones:

21

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

Figura 1: Señal binaria a transmitir para un patrón 01100010 (ASCII „B‟)

Figura 2: Señal digital de aproximación a la señal binaria para un patrón 01100010 (ASCII „B‟) Conclusión: Hemos encontrado una clara aplicación de un concepto y herramienta matemática como lo es las Series de Fourier en el campo de las comunicaciones y transmisiones de datos vía un canal digital; en particular, se podrá reconocer que la aplicación de este concepto y herramienta es absolutamente eficiente y a la vez, da lugar a la reflexión de la importancia de estos pese a que de manera abstracta en su estudio es difícil reconocer su utilidad. En particular es llamativo el poder de la teoría desarrollada por Fourier, haciendo énfasis que 210 años después de su publicación no sólo sigue intacta sin variantes o contradicciones, sino que también, es mundialmente utilizada en variadas áreas de la ingeniería y la investigación para el desarrollo tecnológico, acentuando así su nivel de importancia y aceptación en cuanto a la aplicación práctica de tal concepto, como dijimos, teórico.

22

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 UNIDAD III Aplicaciones de la Transformada de Laplace

23

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

Introducción Teórica Introducción histórica Pierre-Simon de Laplace nació el 23 de marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge y falleció el 5 de marzo de 1827. A los 19 años viajó a Paris a estudiar matemáticas, donde rápidamente impresionó a d’Alembert, quien lo apadrinó y le consiguió trabajo de profesor de matemáticas en la École Militaire. Debido a la gran cantidad de trabajos de calidad que presentó y la variedad de temas que abordó, ya a los 24 años se le conocía como ‚el Newton de Francia‛. El matemático Anders Lexell, contemporáneo de Laplace, escribió que Laplace mismo se consideraba el mejor matemático de Francia, y que ‚quería opinar acerca de todo‛. Entre los trabajos de Laplace destaca sobre todo su ‚Tratado de Mecánica Celeste‛, obra que publicó en cinco volúmenes entre 1799 y 1825 y que suele considerarse como la culminación de la teoría newtoniana de la gravitación. El otro gran aporte de Laplace se encuentra en el campo de la Teoría de Probabilidades. La primera edición de la ‚Teoría Analítica de las Probabilidades‛ fue publicada en 1812 y en ella consideró las probabilidades desde todos los puntos de vista: presenta el método de los mínimos cuadrados, el problema de la aguja de Bufón, aplicaciones a la mortalidad, expectativa de vida y a problemas legales; incluye también aplicaciones para determinar la masa de Júpiter, Saturno y Urano, métodos de triangulación y un método para determinar el meridiano de Francia. Y contiene lo que hoy conocemos como la Transformada de Laplace. La transformada de Laplace aparece por primera vez en el trabajo de Euler de 1769, ‚Institutiones Calculi Integralis‛, al resolver la ecuación: 𝐿𝑦 ′′ + 𝑀𝑦 ′ + 𝑁𝑦 = 𝑈 Sin embargo, quizás por la frecuencia con que Laplace la usó y por la profundidad de los resultados que logró, la transformada lleva su nombre. Durante el siglo XIX se le conocía con el nombre ‚Método de Laplace‛ y aunque hubo muchos matemáticos que contribuyeron a la teoría, fue Poincaré quien desarrolla de nuevo la transformada de Laplace. Sin embargo, la transformada de Laplace como la conocemos hoy, se debe al trabajo de Gustav Doetsch de 1937.

24

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 La Transformada de Laplace La Transformada de Laplace es un caso especial de lo que se denomina Transformación Integral. Su utilidad para resolver problemas físicos hace que sea, junto con la Transformada de Fourier, una de las herramientas más útiles para estos efectos. En particular destaca su utilidad para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias como las que surgen al analizar, por ejemplo, circuitos electrónicos. El método de Laplace consiste en aplicar esta transformada a ecuaciones diferenciales de difícil resolución, convirtiéndolas así en problemas algebraicos simples, que pueden ser resueltos de manera sencilla. Este método se puede ilustrar con el siguiente esquema:

El objetivo del método es que modificar el problema usando la transformada de Laplace y posteriormente usar la Transformada Inversa, sea más fácil que resolver la ecuación diferencial por métodos directos. Esto resulta particularmente útil cuando las funciones involucradas no son continuas DEFINICION La transformada de Laplace es una ecuación integral que involucra para el caso específico del desarrollo de circuitos, las señales en el dominio del tiempo y de la frecuencia, relacionándolas como:

a este par de ecuaciones se les llama la transformada bilateral de Laplace, pues es válida para valores positivos y negativos de t; no

25

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 obstante, el interés en el análisis de circuitos se centra en funciones que comienzan en un tiempo que se podría llamar inicial. Bajo esta consideración podemos ‚redefinir‛ la transformada como:

llamando este par ahora como transformada unilateral de Laplace. Para asegurar que las funciones que vamos a utilizar tengan transformada, estas deben cumplir básicamente con dos condiciones: 1. la función v (t) debe ser integrable en todo el intervalo finito

donde:

2.

El límite:

existe para algún valor de Aplicaciones de transformada de Laplace

Los sistemas mecánicos pueden ser usados para modelar muchas situaciones e involucran tres elementos básicos: masa representada por M, resortes, cuya rigidez se representa mediante K y amortiguadores, cuyo coeficiente de amortiguamiento es B. Las variables asociadas son el desplazamiento x(t), medido en metros, y la fuerza F(t) medida en Newtons.

26

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

Figura 1: Sistema masa-resorte-amortiguador. (a)Esquema del problema (b)Diagrama de cuerpo libre. Planteando las ecuaciones de Newton teniendo en cuenta la Figura 1-b obtenemos que:

Despejando F(t) la ecuación queda:

Aplicando la transformada de Laplace, haciendo uso de las propiedades (1) y (2), se obtiene:

Despejando X(s), obtenemos que:

Para simplificar un poco la resolución, supongamos un caso específico, en el cual la posición y la velocidad en t = 0 es 0, entonces:

Remplazando los valores como indica la figura 1-a y suponiendo que la frecuencia en la fuerza externa aplicada es ω = 2:

27

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

Antes de anti-transformar, debemos separar la anterior fracción, en fracciones simples, obteniendo:

Por último, para obtener el resultado, se anti-transforma:

Donde x(t) es la función que caracteriza el movimiento del cuerpo en en tiempo. Para más información véase [2]. Conclusión: En este breve informe se trató de demostrar que la aplicación de la transformada de Laplace favoreció el desarrollo de una solución, facilitando su obtención. Para un ingeniero que esté estudiando un problema de la vida real, es importante que tenga en cuenta esta herramienta, ya que el cambio en el dominio de la aplicación, permite que se trabaje algebraicamente, acortando el tiempo necesario para obtener una respuesta.

28

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 UNIDAD IV Aplicaciones de la Transformada Z (ZETA)

29

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Introducción Teórica La Transformada de Zeta La Transformada de Zeta es un modelo matemático similar a la transformada de Fourier para el caso del tiempo discreto o las transformadas de Fourier y Laplace para el caso de tiempo continuo, que se emplea entre otras aplicaciones en el estudio del procesamiento de señales digitales, como son el análisis y proyecto de circuitos digitales, los sistemas de radar o telecomunicaciones y especialmente los sistemas de control de procesos por computadoras. Al considerar la TZ de una función de tiempo x(t), solo setoman en cuanta los calores muestrados de x(t), esto es, x(0), x(T), x(2T),… donde T es el periodo de muestreo. La TZ de una función del tiempo x(t), dende t es positivo, ode la secuencia de valores x(kT), donde k adopta valores de cero o de enteros positivos y T e el periodo de muestreo, de define mediante la siguiente ecuación: 𝑖𝑛𝑓

𝑋(𝑧) = 𝑍[𝑥(𝑡)] = 𝑍[𝑥(𝑘)] = ∑ 𝑥(𝑘𝑇)𝑧 −𝑘 𝑘=0

Para una secuencia de números x(k), la TZ se define como 𝑖𝑛𝑓

𝑋(𝑧) = 𝑍[𝑥(𝑘)] = ∑ 𝑥(𝑘𝑇)𝑧 −𝑘 𝑘=0

La TZ definida mediante las ecuaciones se conocen como TRANSFORMADA Z UNILATERAL.

Aplicaciones de la Transformada Z Supongamos que la sucesión de observaciones {xk} está siendo grabada y recibimos la observación xk en el paso (tiempo) o índice k. Podríamos intentar procesar (por ejemplo suavizar o filtrar) esta sucesión de observaciones {xk} utilizando el sistema de retroalimentación de tiempo discreto ilustrado en la Figura 1.

Figura 1. Diagrama en bloque de un sistema de control.

30

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 En el tiempo k la observación xk entra al sistema como una entrada y después de mezclarse con la señal de retroalimentación en la unión de sumas continúa hacia el bloque D transformada en la señal rk. Este bloque representa un retardo unitario y su función es mantener su señal de entrada hasta que el reloj avance un paso, al paso k+1. En este momento la señal de entrada sale sin alteraciones convirtiéndose en la señal retardada un segundo vk. Al mismo tiempo parte de esta señal es regresada hacia atrás a través del bloque de ganancia constante ``a´´ a la unión de suma. Este proceso es instantáneo y en la unión de sumas la señal de retroalimentación es retrasada de la siguiente observación de entrada xk+1 para proveer la siguiente entrada al bloque de retardo ``D´´. Mientras que parte de la señal vk es enviada hacia el bloque de sumas por medio del bloque ``a´´, otra parte es dirigida hacia un segundo bloque de retardo ``D´´, el cual cumple la misma función retardando la señal vk para convertirla en la señal yk. Matemáticamente las salidas de los bloques de retardo son:

Y en la unión de sumas:

De la ecuación (1) obtengo:

Que al utilizar la ecuación (2) puedo expresar

Al sustituir rk de (3) se obtiene

Que usando (1) se convierte en

Reorganizando esto da

Observamos que la ecuación (8) es una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes de segundo orden porque el término involucrado en el mayor corrimiento de la sucesión {yk} es el término yk+2, lo que implica un corrimiento de dos pasos. Por último sabemos que la ecuación (8) representa el sistema de la Figura 1.

31

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Si al sistema de la figura 1, ahora le asignamos valores como por ejemplo a=1, b=2 y la sucesión de entrada {xk} es la sucesión escalón unitario {1} entonces podremos resolver la ecuación en diferencias (8) utilizando la transformada Z. Sustituyendo los valores de a y b en la ecuación (8) obtenemos

Aplicando la transformada Z en (9) da Que utilizando la propiedad de linealidad y el resultado 𝑍{1} = 𝑧/(𝑧 − 1), puede escribirse como Recordemos las transformadas

Utilizando (12) y (13) en la ecuación (11) se obtiene

Que al reorganizar es

Para continuar resolviendo la ecuación necesitaremos conocer el primer y segundo término y0 e y1 de la sucesión solución {yk}. Sin esta información adicional no podemos obtener una solución única. Supongamos que estos valores los conocemos (o son datos) 𝑦0 =0,𝑦1 = 1 Entonces al aplicar los valores y0 e y1 en la ecuación (15) se convierte en

Que al descomponer obtenemos

Despejando Y(z) obtenemos

Luego dividimos por z ambos miembros y entonces

32

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

Recordamos las siguientes transformadas

Acomodamos la ecuación (18) y obtenemos

Finalmente anti transformamos usando (20) y (21)

La ecuación (23) representa la sucesión solución para la ecuación en diferencias que satisface las condiciones 𝑦0 =0,𝑦1 = 1 El método desarrollado en este ejemplo se llama método de la transformada z para resolver ecuaciones en diferencias lineales con coeficientes constantes, y es análogo al método de la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Conclusión: La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir ecuaciones en diferencias o ecuaciones recursivas con coeficiente constantes a ecuaciones algebraicas lineales. Este tipo de ecuaciones provienen de todo tipo de sistemas digitales utilizados para control, procesamiento de imágenes y sonido, etc.

33

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 UNIDAD V Aplicaciones de métodos numéricos de resolución de ecuaciones algebraicas y trascendentes, errores, separación de raíces y problemas de interpolación

34

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Introducción Teórica Interpolación Concepto de interpolación Supongamos que hay dos magnitudes x e y de los que se conocen n+ 1 valores relacionados{(𝑥0 , 𝑦0 ), (𝑥1 , 𝑦1 ), … , (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )}relacionados, por ejemplo, datos obtenidos en una experimentación. Con la condición𝑥𝑖 ≠ 𝑥𝑗 , 𝑠𝑖 𝑖 ≠ 𝑗. Nos planteamos si existe una función p tal que 𝑝(𝑥𝑘 ) = 𝑦𝑘 k=0 ,…, n es decir, queremos una función cuya gráfica "pase" por los puntos del plano dados. Si p verifica (1) diremos que p interpola los datos dados p es una función de interpolación para los datos (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 ), 𝑘 = 0 , … , 𝑛 Este tipo de problemas suele darse cuando tenemos datos obtenidos por experimentación y sabemos que hay una función f que rige el proceso pero que desconocemos y queremos trabajar con una función alternativa p que represente bien a esos datos de la muestra. Si f rige el proceso entonces 𝑓(𝑥𝑘 ) = 𝑦𝑘 luego exigiremos a la función p ese mismo requisito, esto nos proporciona condiciones que imponer a p con las que trataremos de obtenerla y una vez conseguido nos permitiría conocer o predecir qué habría pasado en otros x en los que no se ha experimentado. Supongamos que existe la función f tal que Aplicación ”Método de la bisección” Dos partículas A1 y A2 se mueven recorriendo las trayectorias respectivas. A1= x A2= cos(x) Se desea conocer el punto (α, β) donde se cortan Luego calcular dos aproximaciones al punto α usando el método de la bisección. Solución: -Primero se halla el punto de intersección: >> x=-2:0.5:2; >> y=x; >> z=cos(x); >> plot(x,y,x,z); >> grid

35

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-El punto de intersección es [0.5, 1]. Solución Analítica: N 0 1

𝑎𝑛 0.5 0.5

𝑏𝑛 1 0.75

𝑟𝑛 0.75 0.625

Sg(𝑎𝑛 ) -

Sg(𝑏𝑛 ) + +

Sg(𝑟𝑛 ) + -

Por Matlab: Algoritmo: function [c,err,yc,max1]=biseccion(fun,a,b,tol) %datos %fun: es el nombre de la función definida previamente en un fichero .m %a y b: son los extremos del intervalo izquierdo y derecho respectivamente %tol: Tolerancia %Resultados %c: Es la aproximación al cero de la raíz de la ecuación fun(x)=0 %yc: Es el valor de la aproximación, yc= fun (c) %err: Es el error estimado de la aproximación a c %Mensaje: dice si el procedimiento falla o es exitoso %max1: es el número de iteraciones realizadas ya=feval(fun,a);

36

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 yb=feval(fun,b); max1=floor((log(b-a)-log(tol))/log(2))+1; if ya*yb>0 c=[]; err=[]; yc=[]; max1=[]; disp('El procedimiento no tuvo exito, pues, f(a)*f(b)>0'); return end for k=1:max1 c=(a+b)/2; yc=feval(fun,c); if yc==0 a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if b-a < tol,break, end end err=abs (b-a); disp('el procedimiento fue exitoso');

Definición de la función: function y=fun(x) % Es la funcion del ejercicio del parcial y=x-cos(x);

Cálculos: >> [c,err,yc,max1]=biseccion('fun',0.5,1,0.0001) el procedimiento fue exitoso c= 0.7391 err = 6.1035e-05 yc = -1.7449e-05

37

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 max1 = 13

Aplicación “Polinomio de interpolación de Lagrange” La función de cierto gas a volumen constante en función de la temperatura se muestra en la tabla. Presión (Kg/cm^2) Temperatura (C)

1.12

1.87

2.05

2.50

6.20

9.50

Se desea hallar el polinomio de interpolación de Lagrange que permita estimar la presión en función de la temperatura. 𝑥0 = 2.50 ,

𝑓(𝑥0 ) = 1.12

𝑥1 = 6.20 ,

𝑓(𝑥1 ) = 1.87

𝑥2 = 9.50 ,

𝑓(𝑥2 ) = 2.05

Solución analítica:

P2 (𝑥) =

L0 (𝑥) =

(x − 6.20) ∗ (x − 9.50) x 2 − 15.7x + 58.9 = (2.50 − 6.20) ∗ (2.50 − 9.50) 25.9

L1 (𝑥) =

(x − 2.50) ∗ (𝑥 − 9.50) x 2 − 12x + 23.75 = (6.20 − 2.50) ∗ (6.20 − 9.50) −12.21

L2 (𝑥) =

(x − 2.50) ∗ (𝑥 − 6.20) x 2 − 8.7x + 15.5 = (9.50 − 2.50) ∗ (9.50 − 6.20) 23.1

1.12 1.87 2.05 ∗ (x 2 − 15.7x + 58.9) − ∗ (x 2 − 12x + 23.75) + ∗ (x 2 − 8.7x + 15.5) 25.9 12.21 23.1

Por Matlab: >> X=[2.50,6.20,9.50] X = 2.5000

6.2000

9.5000

>> Y=[1.12,1.87,2.05] Y =

38

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 1.1200

1.8700

2.0500

>> [C]=lagran(X,Y) C = -0.0212

0.3868

0.2852

De esta manera el polinomio queda formado de la siguiente manera: P =

-0.0212x^2

+

0.3868x

+

0.2852

39

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 UNIDAD VI Aplicaciones de métodos numéricos en las ecuaciones diferenciales ordinarias

40

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Introducción Teórica El estudio de los procesos dinámicos y sus sistemas de control, debe iniciarse con la obtención de una representación matemática de las relaciones existentes entre las diferentes variables involucradas en el proceso a controlar, a la que usualmente se denomina modelo del sistema. El proceso de modelado de un sistema dinámico, puede llevar a la obtención de una representación para el mismo por medio de una ecuación diferencial de orden alto, o por un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden no lineales, cuya solución se debe obtener para conocer la respuesta temporal del sistema, a partir un conjunto de condiciones iniciales y una entrada dada. La solución analítica de una ecuación diferencial lineal puede ser fácil, de varias ya presenta dificultades y de muchas es prácticamente imposible. Si las ecuaciones diferenciales son no lineales, el resolver una sola es muy difícil y varias o muchas es imposible por medios analíticos. Como es normal que el modelo obtenido para el sistema que se desea analizar, esté constituido por varias ecuaciones diferenciales no lineales, este solamente puede resolverse con la ayuda de un programa de simulación digital. Para el desarrollo de un programa de simulación de sistemas dinámicos, es necesario entonces contar con un método de solución de ecuaciones diferenciales. Se presentarán adelante en forma breve, algunos de los métodos numéricos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), más empleados en la simulación digital de los sistemas dinámicos. Método de Euler En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado. El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:

Consiste de a

de

en multiplicar los intervalos en subintervalos de ancho ; osea:

manera

que

se

obtiene

un

de puntos: del intervalo Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:

que

conjunto de

interes

va

discreto .

41

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

. La condición inicial , representa el punto por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como

.

Ya teniendo el punto se puede evaluar la primera derivada de ese punto; por lo tanto:

en

Grafica A. Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por pendiente

. Esta recta aproxima

en una vecindad de

y de .

Tómese la recta como reemplazo de y localícese en ella (la recta) el valor de y correspondiente a . Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:

42

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Se resuelve para

:

Es evidente que la ordenada a

calculada de esta manera no es igual

, pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor

sirve

para que se aproxime en el punto y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

Método de Euler Mejorado Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. La fórmula es la siguiente:

Donde

Para entender esta fórmula, analicemos el primer paso de la aproximación, con base en la siguiente gráfica:

43

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

En la gráfica, vemos que la pendiente promedio corresponde a la pendiente de la recta bisectriz de la recta tangente a la curva en el punto de la condición inicial y la "recta tangente" a la curva en el punto donde es la aproximación obtenida con la primera fórmula de Euler. Finalmente, esta recta bisectriz se traslada paralelamente hasta el punto de la condición inicial, y se considera el valor de esta recta en mejorada.

el punto

como la aproximación de Euler

Método de Runge-Kutta El método de Runge-Kutta es un método genérico de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta. Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial. Sea

una

ecuación

diferencial

ordinaria,

con donde es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

,

44

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entre los sucesivos puntos y . Los coeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, los esquemas son explícitos.

para

,

Método de Runge-kutta aplicado en los movimientos de los planetas Uno de los ejemplos más interesantes de resolución de un sistema de ecuaciones de segundo orden es la descripción del movimiento planetario, el cual tiene una solución analítica sencilla en coordenadas polares. La trayectoria seguida por un planeta es una cónica, normalmente una elipse, en uno de los cuyos focos está el centro fijo de fuerzas, el sol. En la figura, se muestra la fuerza que ejerce el sol sobre un planeta, inversamente proporcional al cuadrado de las distancias que separan sus centros, y también se muestran sus componentes rectangulares.

Teniendo en cuenta la fuerza que ejerce el sol sobre un planeta viene descrita por la ley de la Gravitación Universal

45

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Donde M es la masa del sol, m la masa del planeta y r la distancia entre el centro del sol y del planeta. Las componentes de la aceleración del planeta serán:

Escalas Uno de los problemas del tratamiento numérico con ordenador, es la de reducir a números simples e inteligibles por el usuario de un vistazo. La masa de los planetas y del Sol son números grandes: la masa de la Tierra es de 5,972E24 kg y 1,989E30 kg la del Sol. La distancia medida entre la Tierra y el sol es también muy grande 149,600,000 Km y la constante G es muy pequeña 6,67392×10 -11 m3/s2kg. Podemos simplificar el problema numérico, refiriéndonos a un hipotético Sol cuya masa sea tal que el producto GM=1, o bien que se ha cambiado la escala de los tiempos de modo que se cumpla esa igualdad. Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada de la segunda posición, el movimiento del planeta queda descrito por el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundo orden

Existen numerosos métodos de resolución de problemas en las que las fuerzas son centrales y conservativas, los más sencillos se acumulan en cada paso el error inherente a todo procedimiento numérico, haciendo que el planeta describa una espiral en vez de una elipse que es la trayectoria esperada. El procedimiento elegido denominado de Runge-kutta es estable y relativamente fácil de prolongar. Comparación de los 3 métodos numéricos con la herramienta Matlab Comparemos ahora los tres métodos que he mencionado antes: Euler, Euler mejorado y Runge-Kutta. Para ello lo mejor es verlo con un ejemplo. Resolvamos el siguiente problema por los tres métodos con diferentes pasos (h=0.1,0.05,0.001)

46

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

Nuevamente vamos a necesitar un algoritmo que lo vamos a copiar en un fichero de Matlab. El algoritmo es el siguiente. clear all a=0; b=10; f=@(t,x)[2+x*sin(10*(x+t))]; F1=@(t,x,h)[h*f(t,x)]; F2=@(t,x,h)[h*f(t+h/2,x+F1(t,x,h)/2)]; F3=@(t,x,h)[h*f(t+h/2,x+F2(t,x,h)/2)]; F4=@(t,x,h)[h*f(t+h,x+F3(t,x,h))]; t(1)=a; x1(1)=7;x2(1)=7;x3(1)=7; h=input('Ingrese el paso: h = ');; N=(b-a)/h; for k=1:N t(k+1)=t(k)+h; x1(k+1)=x1(k)+f(t(k),x1(k))*h; x2(k+1)=x2(k)+h/2*(f(t(k),x2(k))+f(t(k+1),x2(k)+h*f(t(k),x2(k)))); x3(k+1)=x3(k)+(F1(t(k),x3(k),h)+2*F2(t(k),x3(k),h)+2*F3(t(k),x3(k),h)+F4( t(k),x3(k),h))/6; end hold on plot(t,x1,'b') plot(t,x2,'r') plot(t,x3,'k') disp('#############################################') disp('solucion en rojo para euler mejorado') disp('solucion en azul para el metodo de Euler') disp('solucion en negro para Runge-Kutta') disp('#############################################') hold off Una vez creado el fichero lo llamamos desde la ventana de comandos. El algoritmo nos va a pedir que ingresemos el paso con el cual se va a trabajar, es decir, el que nos da el problema.

47

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

Vemos la gráfica de los 3 métodos para el paso h=0.1

48

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

Vemos la gráfica de los 3 métodos para el paso h=0.05

49

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014

Vemos la gráfica de los 3 métodos para el paso h=0.001 Como podemos ver el método de Euler necesita de un paso bastante fino para proporcionar una solución cercana a la real, mientras de los otros dos son capaces de llegar hasta ella sin necesidad de pasos tan pequeños. En el último caso podemos ver que se enciman todos los métodos debido al paso pequeño es decir que se acercan a la solución.

50

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 Conclusión final:

Luego de un cuatrimestre estudiando la base de la matemática superior, aprendiendo series y transformadas, así como también métodos numéricos para resolución de distintos problemas, nos damos cuenta que las matemáticas son un mundo que nos rodea, que está siempre ahí cuando nosotros no nos damos cuenta, desde lo más mínimo y sencillo hasta lo más complejo. Éste trabajo nos enseñó que no solamente es sumar o restar, hacer un factor común, una derivada o una integral, no enseñó que aplicando todo lo dado en nuestro pasado, podemos llegar a obtener resultados de ecuaciones increíbles y superarnos cada vez más teniendo en cuenta lo aprendido. Simplemente, esta materia nos sigue abriendo la mente para cálculos y resoluciones de mayor grado, y el saber de qué siempre hay algo superior para aprender.

51

[TRABAJO INTEGRADOR DE MATEMÁTICA SUPERIOR] 26 de junio de 2014 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS  Jorge Mauricio Oviedo - Sistemas de Ecuaciones Diferenciales, Resolución por medio de Maple, Matemática, Gauss, Matlab y Macros en Excel. 

Jose Ventura Becerril Espinoza, David Martinez – Ecuaciones Diferenciales Tecnicas de solución y Aplicaciones.



W. E. Boyce y R. C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, Limusa, Mexico, 1996.



Cristian Iván Eterovich - Resolución de circuitos RLC mediante la aplicación de Transformadas de Laplace.



Sholchlro Nakamura – Métodos Numéricos Aplicados Con Software – PEARSON.



Jaime Andrés Cárdenas Córdova – “SISTEMA DE CODIFICACIÓN DE SEÑALES DE VOZ A TEXTO USANDO MATLAB PARA PERSONAS CON DEFICIENCIA AUDITIVA DEL INSTITUTO DE EDUCACIÓN ESPECIAL DR. CAMILO GALLEGOS”



Thermo Nicolet - Introduction to Fourier Transform Infrared Spectrometry



Javier Ramírez Pérez de Inestrosa - Introducción a Matlab y Simulink



http://mmrc.caltech.edu/FTIR/FTIRintro.pdf



http://www.brukeroptics.com/downloads/SP1001Schultz.pdf



www.wikipedia.com



Federico A. Arroyo Huber - Transformada Zeta Aplicación: Señales y sistemas de tiempo discreto o digital



http://gerardo-villicanaespinoza.blogspot.com.ar/2011/12/aplicaciones-de-la-transformadaz.html



http://repositorio.uis.edu.co/jspui/bitstream/123456789/7226/2/116 771.pdf



http://mates-vic.blogspot.com.ar/2012/11/usando-matlab-resolucionde-pvis.html

52