Matematicas Avanzadas: Problema de una membrana circular

Corolario: Si ft=gh, donde t y h son variables distinta e independiente entonces las funciones son constantes: ft=gh=c, donde c es una constante cualquiera
Vibración de una Membrana Circular
Ecuación de Vibración en coordenadas cartesiana
2u t2=a2 2u x2+ 2u y2
Condición de Frontera: La función u toma valor de 0 en todo instante en el círculo de radio L que limita la membrana
Si x2+y2=L2 t ux,y,t=0
Condición de Finitud: La función u es finito para cualquier valor u<
Ecuación de Vibración en coordenadas Cilíndrica
Es más conveniente trabajar en estas coordenadas a tratarse de una membrana circular. Ahora la función u estará en función de (r,θ,t)
2u t2=a2 2u r2+1r u r+1r2 u θ

Condición Inicial: ur,θ,0=fr,θ, Condición de Frontera: t,θ uL,θ,t=0, Condición de Finitud: u< , Simetría Angular: ur,θ+2π,t=ur,θ,t
Resolución de la Ecuación asociado al problema de la membrana vibrante
Suponer que la función u es separable en cada una de sus variables
ur,θ,t=RrΦθTt
Reemplazar la expresión obtenida en (1) en la ecuación.
2u t2=a2 2u r2+1r u r+1r2 u θ
RΦ 2T t2=a2ΦT 2R r2+1r R r+RT1r2 Φ θ
RΦ 2T t2=a2TΦ 2R r2+1r R r+R1r2 Φ θ

De la expresión anterior, hacer que un lado de la ecuación esta una función solo con respecto a t y en el otro una función con respecto a r y θ
RΦ 2T t2=a2TΦ 2R r2+1r R r+R1r2 Φ θ
1a2T 2T t2=1RΦΦ 2R r2+1r R r+R1r2 Φ θ
1a2T 2T t2=1R 2R r2+1r R r+1Φ1r2 Φ θ

Como a cada lado de la ecuación se tiene funciones que depende de variables distinta, entonces cada lado se iguala a una constante -λ2, teniendo así dos ecuaciones.
1a2T 2T t2=1R 2R r2+1r R r+1Φ1r2 Φ θ=-λ2
1a2T 2T t2=-λ24.11R 2R r2+1r R r+1Φ1r2 Φ θ=-λ2 4.2

De la expresión 4.2, hacemos que un lado de ecuación solo dependa de variable r y el otro lado solo dependa de la variable θ
1R 2R r2+1r R r+1Φ1r2 Φ θ=-λ2
1R 2R r2+1r R r+λ2=-1Φ1r2 Φ θ
1Rr2 2R r2+r R r+r2λ2=-1Φ Φ θ

De igual manera que en el paso 4, igualamos la expresión obtenida en el paso 5 a una constante n2.
1Rr2 2R r2+r R r+r2λ2=-1Φ Φ θ=n2
1Rr2 2R r2+r R r+r2λ2=n26.1-1Φ Φ θ=n26.2


Resolvemos la ecuación 6.2 (la resolución general es una función sinodal)
-1Φ Φ θ=n2
Φ θ=-n2Φ
Φ θ+n2Φ=0

La solución de la ecuación diferencial anterior es de la forma Acosnx+Bsin(nx), con A y B constante
Nótese que la solución depende de la constante n
Debido a la condición de simetría angular, la función Φ tiene que ser simétrica con periodo 2π, esto sucede si la constante n es un entero mayor o igual a 0. (Si es menor a 0, lo que cambia seria los signos de las funciones cosenos y senos, cambio que ya lo abarcaría las constantes An y Bn).
Teniendo en cuenta esto, obtenemos la siguiente solución general:
Φnθ=Ancosnθ+Bnsinnθpara n=0,1,2, .. .

Resolvemos la ecuación 6.1 (la resolución general es una función de Bessel)
1Rr2 2R r2+r R r+r2λ2=n2
r2 2R r2+r R r+r2λ2R=n2R
r2 2R r2+r R r+r2λ2-n2R=0

Nótese que la solución depende de λ y n
La solución de la ecuación diferencial anterior es de la forma Rr=CJnλr+DYnλr , Donde Jn es la función de Bessel de primera especie y Yn es la función de Bessel de segunda especie, ambas son de orden n. C y D son constante.
Debido a la condición de Finitud, se tiene que cumplir que Rr=CJnλr+DYnλr< .
Esto no se cumple si se la expresión contiene la función Yn, pues Yn0 cuando r 0, para que se cumple se tiene que omitir la función Yn, quedando así la solución: Rr=CJnλr
Debido a la condición de frontera se debe cumplir que: RL=CJnλL=0, se puede despegar λ conociendo las raíces de Jn, representado: γ1,n,γ2,n,γ3,n,…, por lo tanto, existe varios λ, λm,n=γm,n/L. Con esto la solución nos queda Rr=CJnγm,nLr. Enumeramos las raíces desde m=1
Teniendo en cuenta todo estos puntos, obtenemos la siguiente solución general:
Rn,mr=Cn,mJnγm,nLr

Resolvemos la ecuación 4.1 (la resolución general es una función de Bessel)
1a2T 2T t2=-λ2
2T t2=-λ2a2T
2T t2+λ2a2T=0

Del paso 8, se sabe que por condición de frontera λ=γm,nL y por lo tanto T depende de las raíces de la función de bessel de orden n
La solución de la ecuación diferencial anterior es de la forma Ecosλax+Fsin(λax), con E y F constante
Con esto puntos, tenemos que la solución general es:
Tn,mt=En,mcosγm,nLat+Fn,msinγm,nLat

Reemplazamos las resoluciones de las ecuaciones en ur,θ,t=RrΦθTt, y sumamos todas sus posibles respuestas.
un,mr,θ,t=Cn,mJnγm,nLrAncosnθ+BnsinnθEn,mcosγm,nLat+Fn,msinγm,nLat
=Cn,mAncosnθ Jnγm,nLr+Cn,mBnsinnθ Jnγm,nLrEn,mcosγm,nLat+Fn,msinγm,nLat
=En,mCn,mAncosnθ Jnγm,nLr+En,mCn,mBnsinnθ Jnγm,nLrcosγm,nLat+Fn,mCn,mAncosnθ Jnγm,nLr+Fn,mCn,mBnsinnθ Jnγm,nLrsinγm,nLat

Debido a que En,m, Cn,m, Fn,m, An, Bn son constante cualquiera, entonces se puede cambiar sus productos por otras constantes. Qn,m=En,mCn,mAn, Pn,m=En,mCn,mBn, Zn,m=Fn,mCn,mAn, Wn,m=Fn,mCn,mBn.
un,mr,θ,t=Qn,mcosnθ Jnγm,nLr+Pn,msinnθ Jnγm,nLrcosγm,nLat+Zn,mcosnθ Jnγm,nLr+Wn,msinnθ Jnγm,nLrsinγm,nLat


La solución general quedaría como LA suma de todas las posibles soluciones de un,m
ur,θ,t=n=0 m=1 un,mr,θ,t

Para calcular los coeficientes usamos tenemos en cuenta la condición inicial ur,θ,0=fr,θ
ur,θ,0=fr,θ=n=0 m=1 un,mr,θ,0
fr,θ=n=0 m=1 Qn,mcosnθ Jnγm,nLr+Pn,msinnθ Jnγm,nLrcos0+Zn,mcosnθ Jnγm,nLr+Wn,msinnθ Jnγm,nLrsin0
fr,θ=n=0 m=1 Qn,mcosnθ Jnγm,nLr+Pn,msinnθ Jnγm,nLr

=n=0 m=1 Pn,m Jnγm,nLrsinnθ+n=0 m=1 Qn,m Jnγm,nLrcosnθ
=n=0 sinnθm=1 Pn,m Jnγm,nLr+n=0 cosnθm=1 Qn,m Jnγm,nLr



Reemplazamos m=1 Pn,m Jnγm,nLr con Ψn,mr y m=1 Qn,m Jnγm,nLr con Θn,mr
=n=0 sinnθ Ψn,mr+n=0 cosnθΘn,mr
=n=0 sinnθ Ψn,mr+cosnθΘn,mr
fr,θ=2Θ0,mr2+n=1 sinnθ Ψn,mr+cosnθΘn,mr



Para despegar Ψn,m y Θn,m usamos la expansión de Fourier con respecto a la variable θ
2Θ0,mr=1π02πfr,θdθ
Θn,mr=1π02πfr,θcosnθdθ, para n=1,2,3..
Ψn,mr=1π02πfr,θsinnθdθ, para n=1,2,3..


Una vez obtenido Θn,m y Ψn,m, calculamos Pn,m y Qn,m usando la serie Fourier-Bessel sobre la variable r
Comencemos con Θ0,mr
Θ0,mr=12π02πfr,θdθ=m=1 Q0,m J0γm,0Lr

Q0,m=1J1γm,0Lr0Lr Θ0,mrJ0γm,0Lrdr

Q0,m=12π J1γm,0Lr0L02πr fr,θγm,0Lrdθdr, para m=1,2,3…




De manera parecida con Θn,mr
Θn,mr=1π02πfr,θcosnθdθ=m=1 Pn,m Jnγm,nLr
Q0,m=1Jn+1γm,nLr0LrΘn,mrJnγm,nLrdr
Qn,m=1π Jn+1γm,nLr0L02πr fr,θJnγm,nLrcosnθdθdr, para n,m=1,2,3…


Y con Ψn,mr
Pn,m=1π Jn+1γm,nLr0L02πr fr,θJnγm,nLrsinnθdθdr, para n,m=1,2,3…


Reemplazamos los coeficientes para obtener la función u, suponiendo Zn,m y Wn,m iguales a 0.
ur,θ,t=n=0 m=1 un,mr,θ,t
ur,θ,t=n=0 m=1 Qn,mcosnθ Jnγm,nLr+Pn,msinnθ Jnγm,nLrcosγm,nLat+Zn,mcosnθ Jnγm,nLr+Wn,msinnθ Jnγm,nLrsinγm,nLat
ur,θ,t=m=1 Q0,m J0γm,0Lr+n=1 m=1 Qn,mcosnθ Jnγm,nLr+Pn,msinnθ Jnγm,nLrcosγm,nLat
ur,θ,t=m=1 12π J1γm,0Lr0L02πr fr,θγm,0Lrdθdr J0γm,0Lr+n=1 m=1 1π Jn+1γm,nLr0L02πr fr,θJnγm,nLrcosnθdθdrcosnθ Jnγm,nLr+1π Jn+1γm,nLr0L02πr fr,θJnγm,nLrsinnθdθdrsinnθ Jnγm,nLrcosγm,nLat