MECÂNICA DA FRATURA - CAPÍTULO DE LIVRO

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Mecânica da Fratura Luiz Eduardo Teixeira Ferreira Pesquisador Associado Doutor, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. e-mail: [email protected]

João Bento de Hanai Professor Titular, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. e-mail: [email protected]

1 Introdução Sabe-se que, no estudo dos materiais em nível macroscópico, a matéria pode se apresentar em três estados de agregação: sólido, líqüido e gasoso. Outros tipos de fase, como o estado pastoso ou o plasma, são considerados de interesse em níveis mais avançados da Física. No estado sólido, a matéria de um corpo se organiza com forma, volume e posição relativa de suas partículas definidas. Os átomos ou as moléculas ficam relativamente próximos e a matéria resiste à deformação, mas isso não evita que ela ocorra. Já no estado líqüido, a quantidade de matéria e, aproximadamente, o volume, ficam inalterados, mas a forma do corpo e a posição relativa das partículas não se mantêm. No estado gasoso, apenas a quantidade de matéria se mantém, sendo que a forma e o volume variam. Tratando-se especificamente dos materiais no estado sólido e suas aplicações na Engenharia, interessa conhecer as suas características quanto à continuidade, homogeneidade e isotropia. Diz-se que um corpo é contínuo quando não tem cavidades ou espaços vazios de qualquer espécie. Um corpo é homogêneo quando as propriedades do material são idênticas em quaisquer pontos. É isotrópico quando as propriedades do material não variam conforme a direção ou a orientação. Se alguma propriedade variar, em relação a um sistema de eixos, deve ser entendida como anisotrópica. Todavia, a interpretação da continuidade, homogeneidade e isotropia de um material fica condicionada à escala de observação, isto é, se ele está sendo analisado macro ou microscopicamente. Por exemplo, o aço pode, do ponto de vista macroscópico, ser considerado contínuo, homogêneo e isotrópico, mas sabe-se que, na escala microscópica, ele apresenta heterogeneidades de diversas naturezas. O concreto, por sua vez, também pode ser tratado como uniforme em diversos tipos de análise, mas, na sua estrutura interna, ele é um material multi-fásico – é constituído por pasta de cimento, agregados e vazios. Cada uma dessas fases tem suas características peculiares, que, no conjunto, influenciam o comportamento mecânico e a durabilidade do material. Esta breve menção à natureza da estrutura interna dos materiais serve para enfatizar a importância dos métodos de análise do comportamento mecânico dos materiais, que envolvem conhecimentos sobre a sua macroestrutura e microestrutura, também tratadas em outros capítulos deste livro. No presente capítulo, focalizam-se especialmente a deformabilidade e o fraturamento dos materiais de construção civil, com base em fundamentos da Mecânica dos Sólidos e da Mecânica da Fratura.

2 Mecanismos físicos de deformação Sob o ponto de vista macroscópico, os materiais utilizados na Engenharia são considerados meios contínuos. Sob condições de solicitação externa, eles se deformam, Livro Materiais de Construção Civil

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podendo ou não retomar a sua forma original. Essa postulação, um tanto quanto familiar, define uma das posições na escala da observação da estrutura e do material que a constitui, ou seja, a macroescala. Para estudar os meios contínuos, os engenheiros procuram, primeiramente, separar as partes que compõem o sistema contínuo ou subdividir o meio em pequenos “elementos”, discretizando o problema. Naturalmente, esse processo de discretização é finito. Caso não fosse, a subdivisão indefinida requereria o tratamento matemático do problema pela consideração de elementos infinitesimais. Em seguida, procuram estudar e compreender o comportamento dessas pequenas partes ou elementos para, posteriormente, reagrupá-los de forma a obter uma descrição do comportamento “médio” global, do meio. Na Ciência dos Materiais e na Mecânica Experimental, essas pequenas partes do meio contínuo separadas para estudos são designadas por elementos representativos. Teoricamente, as propriedades mecânicas verificadas no elemento representativo do material refletem satisfatoriamente as propriedades de todo o meio. Para que isso ocorra, o elemento deve ser suficientemente pequeno de modo a evitar mudanças bruscas de comportamento mecânico entre um elemento e outro, mas deve ser suficientemente grande, para poder representar os microprocessos que ocorrem em sua estrutura elementar. Para se ter uma idéia de grandeza, esses volumes representativos são da ordem de 0,1 mm3 para os metais e de 100 mm3 para o concreto (Lemaitre, 1996). Com efeito, mecanismos físicos como a deformação e o dano ocorrem em escalas inferiores, especialmente na microescala do material. Os materiais são compostos de átomos que se mantêm agrupados por ligações que resultam da interação de campos eletromagnéticos (Lemaitre e Chaboche, 2002). O agrupamento desses átomos ocorre de maneira organizada, formando o que se denomina monocristal ou grão. Para um melhor entendimento do monocristal, podem-se imaginar os átomos ocupando os vértices de um paralelepípedo. Quando um átomo adicional ocupa o centróide desse paralelepípedo, a estrutura cristalina elementar é denominada cúbica de corpo centrado (CCC), característica dos materiais com alta resistência. Usualmente, esses materiais apresentam ruptura frágil. Por outro lado, os monocristais podem apresentar átomos organizados nos vértices do paralelepípedo e em cada uma de suas faces, resultando no que se denomina estrutura cúbica de face centrada (CFC). Materiais com esse tipo de estrutura elementar, usualmente apresentam ruptura dúctil. Uma terceira categoria de organização atômica é a que se denomina hexagonal compacta (HC), ou hexagonal fechada, onde os átomos encontram-se organizados segundo um prisma hexagonal. A estrutura dos metais, por exemplo, é formada pela repetição de monocristais, dando origem ao que se denomina estrutura policristalina. Muitas vezes, a estrutura cristalina apresenta defeitos de diferentes naturezas, no que diz respeito à organização dos átomos. Esses defeitos podem ocorrer em pontos isolados, como, por exemplo, pela ausência de átomos ou em superfícies, como os que se verificam na interface entre duas fases do material 1. Ocorrem, ainda, em linha, por repetição periódica. Esse tipo de defeito, de grande importância, é designado discordância. Nesse nível de observação, ou seja, na microescala, é que se verificam os principais mecanismos de interesse para a definição do comportamento mecânico dos materiais. Entende-se por resiliência a propriedade apresentada pelo material de deformar-se em regime elástico. As deformações elásticas ou resilientes são resultados da reversão dos movimentos relativos dos átomos, uma vez cessada a solicitação externa. Do ponto

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O estudo da estrutura cristalina dos materiais é procedido no capítulo 6. Livro Materiais de Construção Civil

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de vista termodinâmico, dentro de um ciclo de carregamento e de descarregamento na fase resiliente, não ocorre dissipação energética2. Por outro lado, as deformações irreversíveis resultam de deslocamentos relativos dos átomos, que persistem depois de cessada a solicitação externa, podendo ocorrer nos grãos do material, internamente (deformações intragranulares), ou envolver deslocamentos irreversíveis de diversos grãos (deslocamentos intergranulares). As discordâncias (defeitos em linha), por exemplo, reduzem consideravelmente a estabilidade da estrutura cristalina, e a sua movimentação é a principal causa das deformações permanentes. Um metal que apresente uma série de discordâncias, quando solicitado ao cisalhamento, experimentará uma movimentação dessas discordâncias por deslocamentos das ligações (escorregamentos), que dará origem a deformações permanentes. Durante essa movimentação, não há ruptura de qualquer natureza nas ligações atômicas, mas, ao seu final, a estrutura cristalina estará reorganizada, permanentemente, em outra posição. Se as solicitações externas continuam a crescer, a densidade das discordâncias aumenta, aumentando, conseqüentemente, o número de “barreiras” à movimentação das próprias discordâncias. Assim, para que as discordâncias possam continuar a se movimentar, há a necessidade de aumento da solicitação externa, o que justifica o comportamento de encruamento do material. Esse fenômeno ocorre em níveis elevados de deformação plástica (Lemaitre e Chaboche, 2002). Outros tipos de deformação, como as que ocorrem no domínio da viscoplasticidade, também encontram amparo nas teorias de movimentação das discordâncias. As deformações que ocorrem particularmente no concreto e materiais assemelhados são abordadas nos próximos itens.

3 Conceito de falha e resistência 3.1 Mecanismos de falha Os mecanismos que causam falhas nos materiais têm origens diversas e muitas vezes estão associados à natureza do próprio material ou às suas condições de utilização. Ainda na discussão relativa à escala cristalina, enfatizou-se que as deformações irreversíveis, que têm origens nas movimentações das discordâncias, ocorrem sem que haja a ruptura das ligações atômicas. Entretanto, se a movimentação de uma discordância for impedida por um microdefeito ou por uma concentração de tensão ao nível microscópico, a movimentação de outra discordância pode ser impedida e, nesse caso, ocorre a quebra de ligações atômicas. A repetição sucessiva desses impedimentos e rupturas dará origem a um dano, dito elementar, que consiste na nucleação de uma microfissura. A perda de coesão entre a matriz e a inclusão, ou a quebra de ligações intergranulares, são outros exemplos de mecanismos de dano. Entretanto, os mecanismos de falha ou ruptura são essencialmente dois, o de ruptura frágil e o de ruptura dúctil. Na ruptura frágil, os materiais usualmente rompem por clivagem, ou seja, por separação direta ao longo dos planos cristalográficos, ruptura que se caracteriza pelo desenvolvimento de deformações plásticas em quantidades desprezíveis (vide item 5.1). Por outro lado, a ruptura dúctil ocorre pela reunião de vazios ou de microfissuras geradas a partir dos citados danos elementares, dentro de um processo chamado coalescência. Nesse caso, a ruptura é precedida da geração de quantidades substanciais

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Informações mais detalhadas sobre as deformações são encontradas no Capítulo 8. Livro Materiais de Construção Civil

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de deformações plásticas. O desenvolvimento de ambas as formas de ruptura é sempre favorecido pela existência de microdefeitos na estrutura do material. Esses microdefeitos, quer inerentes à estrutura cristalina, quer provocados por danos elementares, são concentradores naturais de tensão, portanto, promotores de danificação progressiva. No caso dos concretos, por exemplo, a existência de microfissuras e vazios, mesmo antes da aplicação de quaisquer carregamentos, favorece a ocorrência, na escala microscópica, de concentração de tensões elevadas, já nos estágios iniciais de carregamento do elemento estrutural. Nesse caso, com a elevação dos níveis de carregamento, e conseqüente aumento das tensões, verifica-se a perda progressiva de coesão entre a matriz e os agregados, dentro de um processo de ruptura frágil que promove as deformações permanentes na microestrutura do material. Esse processo avança, com o crescimento da solicitação, causando rupturas designadas rupturas de interface, que contornam parcialmente os agregados graúdos até atingirem a matriz propriamente dita. Assim, as características de resistência da interface matriz-agregado tornam-se determinantes relativamente à contenção da progressão do dano. No caso dos concretos de alta resistência (solicitados ao fraturamento ou à tração), nos quais a qualidade da interface é superior àquela dos concretos convencionais, a microfissuração ocorre também na fase cristalina, motivando a ruptura de toda a seção dentro de um processo misto em que prevalece a clivagem dos agregados (ruptura intra e transgranular). As microfissuras e os vazios, inerentes à estrutura do material ou nele provocado em virtude da solicitação externa, são sinônimos de descontinuidades e afetam diretamente a sua resistência.

3.2 Resistência real e teórica e efeito de escala De modo geral, pode-se dizer que os diagramas tensão-deformação utilizados na Engenharia não representam com total fidelidade as relações entre tensão e deformação e a resistência efetiva do material em todos os pontos da matéria. Isso ocorre, em primeiro lugar, pelo fato de que tais diagramas são construídos com base nas dimensões originais do corpo-de-prova, as quais são continuamente alteradas durante o ensaio. A rigor, seriam necessárias medidas de tensão e deformação baseadas nas dimensões a cada instante. Em segundo lugar, lembra-se que a resistência de um material guarda relação estreita com o grau de integridade da sua estrutura interna. Como já se comentou, a integridade da estrutura cristalina governa a deformabilidade do material, tanto no regime elástico, quanto no regime plástico. Com a evolução do processo de dano, a microfissuração torna-se mais acentuada e, por conseqüência, aumenta também o número de descontinuidades internas no volume do elemento estrutural. A conseqüência geométrica, em uma dada seção transversal, é traduzida pela redução da seção útil, do ponto de vista resistente. Por outro lado, duas ou mais estruturas similares, por exemplo, dois cilindros construídos com o mesmo material, o primeiro com 10 cm de diâmetro por 20 cm de altura, e o segundo com 15 cm de diâmetro por 30 cm de altura, externamente vinculados da mesma maneira e solicitados à ruptura por compressão ou por tração uniaxial, deveriam apresentar resistências “idênticas”, quer dizer, romper sob os mesmos níveis teóricos de tensão. Entretanto, isso não se verifica. Em materiais com estruturas cristalinas bem definidas, como é o caso dos metais, a probabilidade de ocorrência de microdefeitos será muitas vezes maior no cilindro de maior tamanho. No caso de materiais cimentícios, como o concreto e as rochas, tanto os danos difusos quanto os danos localizados, também Livro Materiais de Construção Civil

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serão diferentes e ocorrerá a manifestação de um forte efeito de escala, que se exprime através dos diferentes níveis da tensão de ruptura apresentados em cada caso. Como o processo de microfissuração é evolutivo, a modificação da capacidade resistente torna-se dependente do nível de danificação do material que constitui o elemento estrutural. Assim, a resistência real vincula-se, em última análise, às propriedades de danificação do material e, inevitavelmente, à escala estrutural.

4 Gênese da fissuração 4.1 Processo de acumulação de dano e iniciação da fissuração Do ponto de vista mecânico, a acumulação do dano ocorre pela geração sistemática de rupturas das ligações e nucleações sucessivas de microfissuras. Muitas vezes, essas rupturas são caracterizadas por simples perda de coesão entre as diferentes fases do material. Como tais descontinuidades microscópicas ocorrem nas regiões mais tensionadas do sólido, quer no fraturamento frágil, quer no fraturamento dúctil, os vazios que as caracterizam acabam por se reunir, dando origem a uma ou mais mesofissuras. O crescimento individual dessas mesofissuras, ou a ocorrência de um novo processo de coalescência delas, gera a macrofissura, que é aquela que se pode detectar visualmente. A solicitação alternada por tração, ou por tração seguida de compressão, por exemplo, constitui outro importante fator de natureza mecânica, responsável pela acumulação de danos. Mesmo que a flutuação de tensões ocorra abaixo da tensão de escoamento do material (fadiga de alto ciclo), os defeitos microscópicos, microfissuras e vazios que ocorrem na estrutura cristalina do material passam a concentrar tensões (suficientemente altas), que dão origem a processos locais de plastificação. No princípio, o processo de danificação é estável e caracterizado pela propagação estável das microfissuras. Contudo, esse processo é evolutivo e leva a estrutura ao colapso pelas razões anteriormente expostas. Na macroescala do elemento estrutural, pequenas regiões que apresentem irregularidades, descontinuidades externas ou internas decorrentes de detalhes malprojetados ou de defeitos de fabricação são regiões potencialmente concentradoras de tensões, as quais podem levar a estrutura à danificação progressiva, à fissuração e ao colapso. Por outro lado, a acumulação de danos não se dá única e exclusivamente por razões de ordem mecânica ou geométrica. Outros processos importantes de acumulação de danos são os processos assistidos pelo meio. Dentre eles, destacam-se o de fragilização dos metais pela presença de hidrogênio e o processo de corrosão. A conjugação de fatores mecânicos e químicos, como o fenômeno da corrosão sob tensão, constitui uma terceira classe de processo de acumulação de danos. Este último é de grande importância na engenharia estrutural, especialmente no caso de obras protendidas sujeitas à ação agressiva do meio.

4.2 Propagação de fissuras em elementos estruturais A propagação de fissuras em elementos estruturais ocorre, fundamentalmente, por intensificação de tensões acima da resistência ao fraturamento do material. As tensões responsáveis pelo crescimento das fissuras, que muitas vezes levam ao colapso estrutural, podem ter origens em solicitações diretas, como a aplicação de carregamentos ao elemento estrutural, ou podem decorrer de deslocamentos impostos, a exemplo dos recalques diferenciais, ou, ainda, de deformações termo-elásticas. Por outro lado, fatores como a fragilização química atuam no sentido de mudar o regime de ruptura do material, modificando, conseqüentemente, as suas características Livro Materiais de Construção Civil

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de resistência ao fraturamento. Essa mudança de regime pode levar à instabilidade, como, por exemplo, uma fissura inicialmente estável. A propagação de fissuras pode ocorrer segundo diferentes regimes. O crescimento subcrítico ou estável subentende o crescimento da solicitação externa, para que haja um avanço adicional da fissura. Cessada a carga, a fissura permanece estável na nova posição. Esse tipo de crescimento é usualmente verificado em materiais de comportamento dúctil ou em elementos estruturais que apresentem elevados níveis de plastificação na região à frente da ponta da fissura, a exemplo de elementos metálicos delgados e das chapas finas. Ocorre também no concreto, nas argamassas e rochas, uma vez ultrapassado o “limite de elasticidade” e antes que se atinja a carga crítica que leva o elemento à ruína. O crescimento instável da fissura é aquele que se verifica uma vez atingida a carga crítica, ou a carga de colapso. É característico nos materiais de ruptura frágil, que usualmente rompem sem apresentar plastificação apreciável. Os diferentes regimes de propagação da fissura são abordados com mais detalhes ao longo deste capítulo.

4.3 Limitações da Mecânica do Dano e da Mecânica da Fratura Na realidade, a Mecânica do Dano e a Mecânica da Fratura são ciências que se complementam. A Mecânica do Dano preocupa-se com o processo de danificação do material, desde a sua condição de absoluta integridade até o grau máximo de degradação, caracterizado pela nucleação de uma fissura discreta no material. Portanto, a formação ou iniciação de uma fissura é explicada pela Mecânica do Dano. Por outro lado, a Mecânica da Fratura lida com a verificação da estabilidade de uma fissura pré-existente em um meio não degradado por mecanismos de dano, assim como com a instabilidade dessa fissura até o colapso estrutural. Dessa maneira, tudo faz indicar que o divisor de águas entre esses dois ramos da Ciência é, de fato, a localização da deformação.

5 Mecânica da Fratura Definida por Kanninen (1985) como um tópico da Engenharia fundamentado na Mecânica Aplicada e na Ciência dos Materiais, a Mecânica da Fratura ganhou impulso como ramo da Engenharia Estrutural somente há algumas décadas, motivado pela necessidade de interpretação de acidentes catastróficos que envolveram obras de Engenharia. Quando o foco do estudo se refere à integridade estrutural, esse ramo da Mecânica contribui para a análise da formação, propagação e arrestamento3 das fissuras, com vistas ao desempenho adequado dos materiais e estruturas. Em outras situações, os conhecimentos podem ser aplicados na formação e propagação intencional e controlada de fissuras, a exemplo do fraturamento hidráulico em rochas destinado à estimulação de produtividade em reservatórios de petróleo. Broek (1986) observa que estruturas construídas com materiais de alta resistência normalmente apresentam baixa resistência ao fraturamento, podendo romper em níveis de tensão muito abaixo daqueles para os quais foram projetadas. Segundo o autor, a ocorrência de fraturamento a baixos níveis de tensão em estruturas construídas com esses materiais induziu o desenvolvimento da Mecânica da Fratura como disciplina da Engenharia Estrutural. Em contínuo desenvolvimento, a Mecânica da Fratura faz parte da base dos fundamentos do projeto estrutural, de modo a complementar aos critérios de resistência 3

Entende-se por arrestamento, o impedimento da propagação da fissura. Livro Materiais de Construção Civil

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utilizados, uma vez que interessa à Engenharia o conhecimento do processo de formação das fissuras, de forma a preveni-las ou, eventualmente, a produzi-las intencionalmente. Uma vez que as falhas ou fissuras são inevitáveis nos materiais, do ponto de vista prático, as obras da Engenharia devem ser necessariamente avaliadas quanto à sua segurança e vida útil, especialmente sob os enfoques da preservação e da conservação, que são premissas essenciais do mundo moderno. A Mecânica da Fratura oferece técnicas eficientes para a avaliação da Tolerância de Dano, com base no conhecimento prévio de parâmetros resistentes associados à fissuração e ao colapso do material. Os tópicos a seguir apresentados têm por principal objetivo a apresentação dos principais conceitos relativos à Mecânica da Fratura, guardando, no entanto, características de um texto introdutório.

5.1 Considerações sobre o fraturamento de materiais frágeis De modo geral, a formulação da Mecânica da Fratura Elástico-Linear (MFEL) é aplicável a analise de materiais que apresentam ruptura frágil e que usualmente rompem por clivagem. A clivagem é a forma mais frágil de fraturamento que pode ocorrer em materiais cristalinos. Nos metais, por exemplo, ocorre por separação direta ao longo dos planos cristalográficos, devido à ruptura das ligações atômicas4. Sob condições normais de solicitação ao fraturamento, nos materiais frágeis a dissipação energética envolvida com a plastificação do material é nula ou desprezível, e o crescimento da fissura usualmente é instável. Isso quer dizer que, uma vez iniciada, a fissura propaga-se sem que haja necessidade de aumento do carregamento externo, o que é sinônimo de colapso catastrófico. Esse tipo de ruptura é usual nos materiais com estruturas cristalinas cúbicas de corpo centrado, como o tungstênio, o molibdênio e o cromo, que se caracterizam pela sua elevada resistência. É comum também entre materiais com estruturas cristalinas hexagonais compactas, como o zinco, o berílio e o magnésio. Muitos aços de alta resistência utilizados na construção civil também apresentam ruptura frágil, requerendo, assim, atenção especial no que diz respeito à sua utilização. Da mesma forma, diversos materiais compósitos, a exemplo dos concretos de alta resistência, apresentam regimes de ruptura muito próximos ao da fragilidade quando solicitados ao fraturamento. A ruptura por propagação de fissura, nesse caso, é majoritariamente transgranular, o que, de certa forma, justifica a baixíssima quantidade de crescimento subcrítico da fissura, que se verifica antes da ruptura. Outro caso de interesse é o fenômeno denominado transição dúctil-frágil que ocorre com determinados aços de comportamento dúctil. Esses materiais, se submetidos a diminuições bruscas de temperatura, passam a romper de maneira frágil.

5.2 Modos de solicitação ao fraturamento Os modos de solicitação ao fraturamento são diferenciados de acordo com os deslocamentos relativos das faces da fissura, produzidos pelas solicitações externas (pontos A e A’, Figura 1). Os três diferentes modos de solicitação ao fraturamento, caracterizados pelas componentes de deslocamento, u, v e w, que se associam respectivamente aos eixos ortogonais x, y e z apresentados na Figura 1, são: ƒ Modo I, ou modo de abertura (u=0; v≠0; w=0); ƒ Modo II, modo de escorregamento ou de cisalhamento plano (u≠0; v=0; w=0); ƒ Modo III, modo de rasgamento ou de cisalhamento antiplano (u=0; v=0; w≠0).

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Para maiores informações sobre os regimes de ruptura dos materiais, sugere-se uma consulta ao Capítulo 6. Livro Materiais de Construção Civil

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Figura 1 – Modos de solicitação ao fraturamento: Modo I (A), Modo II (B) e Modo III (C).

No entanto, em situações práticas, os sólidos e os elementos estruturais fissurados são usualmente solicitados ao fraturamento em circunstâncias em que os diferentes modos ocorrem simultaneamente. A combinação (ou interação) de modos e intensidade de cada um deles determinará, dentre outras coisas, a trajetória da fissura até o colapso estrutural.

5.3 Campo de tensão à frente da ponta de uma fissura As regiões de descontinuidade em um sólido deformado, usualmente, provocam aumentos rápidos dos níveis de tensão. Esse é o caso, por exemplo, de um simples furo em uma placa tensionada. Em regiões situadas na periferia desse furo, as tensões atingem valores três vezes maiores do que aquele da tensão aplicada. Ao abaular-se o furo, dando-lhe o formato de uma elipse, a concentração de tensões crescerá substancialmente, e as tensões resultantes serão amplificadas, relativamente à tensão aplicada, de um fator igual a (1 + 2a/b), onde a e b são os semieixos, maior e menor da elipse. Essas situações são ilustradas na Figura 2.

Figura 2 – Concentrações de placas de grandes dimensões com furos circular (a) e elíptico (b).

Numa situação real, onde b é praticamente nulo, ocorre o que se denomina configuração de fissura. Nesse caso, a relação a/b tende ao infinito e, matematicamente, a tensão também tenderá a crescer infinitamente, ou seja, a tornar-se singular. A Figura 3 ilustra esquematicamente a distribuição de tensões à frente da ponta de uma fissura de extensão 2a, em uma chapa de dimensões “infinitas”, solicitada biaxialmente por tensões

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remotas, σ. Esse caso clássico é denominado “problema de Griffith”, em homenagem ao precursor da Mecânica da Fratura5.

Figura 3 – Diagrama de distribuição de tensões à frente da ponta da uma fissura interna.

A presença da singularidade na ponta da fissura afeta diretamente os campos de tensão e de deformação à sua frente, de tal modo que a determinação analítica do estado de tensão, em um dado ponto nessa região, requer considerações especializadas. De uma forma geral, nos problemas planos de elasticidade linear, a questão central é encontrar uma função de tensão de Airy (Φ), que satisfaça à equação bi-harmônica: ∂ 4 Φ 2∂ 4 Φ ∂ 4 Φ + + =0 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

Equação 1

Para a solução do problema de Griffith, adota-se uma função de variáveis complexas (Unger, 1995) que satisfaz também às condições de contorno estabelecidas no problema. Assim, todas as componentes de tensão, em qualquer ponto próximo à ponta da fissura, ficam determinadas em função da distância r e do ângulo θ (Figura 3). Para o Modo I de solicitação ao fraturamento, as tensões são dadas por:

σx = σy = τ xy =

3θ  θ θ cos 1 − sen sen  2 2 2  2π r KI

θ θ 3θ  cos 1 + sen sen  2 2 2  2π r KI 3θ θ θ sen cos cos 2 2 2 2π r KI

Equação 2 Equação 3 Equação 4

Nas equações anteriores, a variável KI recebe o nome de Fator de Intensidade de Tensão para o Modo I de fraturamento, que representa a “amplitude” da singularidade de tensão na ponta da fissura. Em outras palavras, o Fator de Intensidade de Tensão, KI, 5

Grifith, A.A. The phenomena of rupture and flow in solids. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, series A, v. 221, p. 163-198, Mar. 1920. Livro Materiais de Construção Civil

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pode ser entendido como o fator que associa o campo de tensão à frente da ponta da fissura com a singularidade. No caso geral, escreve-se:

σ ij =

KI 2π r

f ij (θ )

Equação 5

Para o Modo II de fraturamento, o estado de tensão em um ponto genérico é determinado pelas equações:

σx = − σy = τ xy =

K II θ θ 3θ  sen  2 + cos cos  2 2 2  2π r K II 3θ θ θ sen cos cos 2 2 2 2π r K II θ θ 3θ  cos 1 − sen sen  2 2 2  2π r

Equação 6 Equação 7 Equação 8

Para as solicitações no Modo III de fraturamento, tem-se:

τ xz = −

K III θ sen 2 2π r

Equação 9

τ yz =

K III θ cos 2 2π r

Equação 10

Nesse caso, σx= σy= σz= τxy= 0. Observa-se, finalmente, que os Fatores de Intensidade de Tensão dependem das dimensões do sólido fissurado, das condições de contorno do problema (tipo/forma do carregamento e vinculação externa) e da extensão da própria fissura (Broek, 1986). Para o Modo I, por exemplo, tem-se que: K I = σ π a f ( a; W )

Equação 11

onde σ é a tensão externamente aplicada, a é a extensão da fissura e W é uma dimensão significativa do sólido fissurado. A função adimensional de dependência geométrica e de condições de contorno f(a;W) é usualmente determinada para geometrias específicas utilizando-se técnicas numéricas, como os métodos dos elementos finitos ou dos elementos de contorno. Para as geometrias comuns submetidas a carregamentos usuais, as funções de dependência são facilmente encontradas na literatura. Seja, por exemplo, uma viga bi-apoiada com base B, altura W e vão S, solicitada à flexão em três pontos por uma carga P (carga concentrada central), que apresenta uma fissura de extensão a no centro do vão. Nesse caso, a tensão nominal na região central da viga é dada por:

σ=

3 PS 2 BW 2

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Equação 12

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A profundidade da fissura a, normalizada relativamente à altura W da viga, é α=a/W. A altura W é a dimensão significativa do sólido fissurado, uma vez que (W-a) define o que se denomina ligamento, ou seja, a extensão que ainda está sujeita à fissuração. Combinando as Equações 11 e 12, tem-se:

KI =

3 PS π a f (α ) 2 BW 2

Equação 13

Para a determinação do fator de intensidade de tensão, a função f(α) deve ser calculada para a relação S/W particularmente analisada, uma vez que KI é uma grandeza que depende da geometria. Para tanto, utiliza-se a equação que segue, cujos coeficientes, computados pelo método dos elementos finitos, são apresentados na Tabela 1:

f (α ) = a + bα + cα 2 + dα 3 + eα 4 + fα 5 (0.05 ≤ α ≤ 0.65)

Equação 14

Tabela 1 – Coeficientes para a função adimensional de dependência, f(α).

S/W 1 2 3 6 9 12 15

a

b

c

d

e

f

1.3784151 1.0244559 1.0444201 1.0771384 1.0843312 1.0952824 1.0985129

-2.8339910 -1.4050530 -1.2557771 -1.0921176 -0.9797652 -1.0798027 -1.0667642

6.3744746 4.4289807 4.0220222 3.5032921 3.0458388 3.9783769 3.9535844

-2.9002261 0.0180668 1.3056905 2.5230498 3.4258041 0.0532106 0.0330708

-5.8053333 -8.7581504 -11.1403750 -12.8730870 -13.6221960 -8.2047085 -8.0664448

12.7549070 13.9282700 15.6007550 16.6358800 16.7970730 13.5719790 13.4576870

Por outro lado, para uma estrutura de dimensões “infinitas”, como a chapa do problema de Griffith, a função f(a;W) terá valor unitário.

5.4 Critério de estabilidade da fissura e tenacidade ao fraturamento Em uma estrutura previamente fissurada, ao elevar-se o nível da solicitação externa ao fraturamento no Modo I, por exemplo, o Fator de Intensidade de Tensão, KI, cresce proporcionalmente. Para um material de resposta linear-elástica ao fraturamento, o crescimento de KI ocorrerá até que se atinja um nível crítico, a partir do qual a fissura passa a propagar de forma instável, isto é, sem que haja crescimento da solicitação externa. Nesse caso, temse uma situação limite de resistência, ou seja:

K I = K IC

Equação 15

onde KIC é a tenacidade ao fraturamento do material. O subscrito c tem o significado de crítico. Entende-se por tenacidade ao fraturamento a propriedade que o material apresenta de absorver e dissipar energia antes e durante o processo de fraturamento. Pode ser igualmente entendida como a propriedade apresentada pelo material de resistir ao avanço da fissura. Assim, a Equação 15 representa um critério de estabilidade que é amplamente utilizado em atividades de projeto. Analisando dimensionalmente a Equação 11 para KI (e, conseqüentemente, KIC) e observando que a função f(α) é adimensional, tem-se: Livro Materiais de Construção Civil

11

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.

[K I ] = [F 2] [L] = [F ][L]− 3 2 [L]

(Equação 16)

Para a utilização de unidades de medida do SI, resulta da equação anterior:

K I = Pa m = N m

−3

2

Entretanto, as unidades usuais para KI e KIC são MPa m , MPa m m , kN m-3/2 e daN cm-3/2, dando-se preferência à primeira e última formas para concretos, argamassas, rochas e outros materiais menos resistentes, e à segunda, para materiais metálicos. A Tabela 2 reúne valores típicos de KIC para alguns materiais. Tabela 2 – Valores típicos de tenacidade ao fraturamento, para materiais de diferentes naturezas.

MATERIAL

KIC (MPa.m^0.5)

Concretos-resistência intermediária Concretos de alta resistência Madeiras Ligas de Alumínio Aços- resistência moderada

0.6 -1.0 1.0 -1.6 1.5-2.0 25-35 90-120

5.5 Campo de deslocamento à frente da ponta da fissura O campo de deslocamento para o Modo I de fraturamento (abertura) pode ser determinado pelas expressões que seguem (Broek,1986):

KI  r θ θ  cos 1 − 2υ '+ sen 2   2 2  G  2π K  r θ θ  sen  2 − 2υ '− cos 2  v= I  2 2  G  2π

u=

Equação 17 Equação 18

onde u e v são as componentes de deslocamento nas direções x e y respectivamente; G é o módulo de elasticidade transversal do material, e ν’ é o coeficiente de Poisson. O campo de deslocamento para o Modo II de fraturamento (cisalhamento plano) é dado pelas equações:

K II  r θ θ  sen  2 − 2υ '+ cos 2   2 2  G  2π K  r θ θ  cos  − 1 + 2υ '+ sen 2  v= I  G  2π 2 2 

u=

Equação 19 Equação 20

Para análises em estado plano de deformação, ν’=ν. No caso de estado plano de tensão, adota-se ν’=ν/(1+ν). Para o Modo III de fraturamento (cisalhamento antiplano), tem-se: Livro Materiais de Construção Civil

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w=

K III  2r θ sen   G  π 2

.

Equação 21

As últimas cinco equações são úteis para a simulação do processo de fraturamento pelos métodos dos elementos finitos e dos elementos de contorno, uma vez que permitem o cálculo de KI, KII e KIII, assim como o ângulo θ que define a trajetória da fissura. Para tanto, são utilizados os deslocamentos nodais (u, v e w) que resultam das soluções numéricas.

5.6 Taxas críticas de liberação de energia Até o presente, os parâmetros de fraturamento foram abordados em termos locais, isto é, pela análise dos fatores de intensidade de tensão para os diversos modos de solicitação à fratura. Por outro lado, um sólido que apresente uma fissura pode ser analisado a partir do seu comportamento global. Nesse caso, o sólido é estudado relativamente à variação da sua flexibilidade durante o processo de propagação da fissura, utilizando técnicas que se fundamentam em princípios energéticos. Suponha-se um sólido (não fissurado) deformado e em equilíbrio, sujeito à ação de um conjunto de ações externas. O equilíbrio pode ser escrito na forma: F=U

Equação 22

onde F é trabalho realizado pelas forças externas, e U a energia potencial elástica ou energia de deformação acumulada no sólido. No caso de um sólido deformado em equilíbrio, que apresente uma fissura de extensão inicial a, o crescimento desta fissura somente ocorrerá se a energia necessária para formar uma fissura adicional de extensão “ da ” puder ser liberada pelo sistema. Por outro lado, a condição necessária para que o sólido permaneça em equilíbrio durante a propagação adicional e estável, de extensão infinitesimal ∂a , é que a primeira derivada (taxa de variação) da energia potencial elástica total, П, relativamente à extensão a da fissura seja nula (Shah, Swartz e Ouyang, 1995). Nesse caso, o equilíbrio pode se escrito na forma: F=U+W

Equação 23

onde F é o trabalho realizado pelas forças externas, U a energia potencial elástica e W a energia requerida para a propagação estável da fissura. Entende-se por propagação estável da fissura o crescimento da fissura necessariamente associado ao aumento da solicitação externa. Em outras palavras, uma vez cessado o aumento da solicitação, cessa também o crescimento da fissura. O potencial energético, nesse caso, é dado por:

∏ = U − F +W

Equação 24

A condição para que o crescimento da fissura seja estável,será:

e

∂∏ ∂ = (U − F + W ) = 0 ∂a ∂a

Equação 25

∂ (F − U ) = ∂W ∂a ∂a

Equação 26

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.

que é a condição para o equilíbrio energético. O primeiro membro da equação anterior, designado por G, é a parcela que solicita ao fraturamento, e o segundo, a sua contraparte resistente, R. Para um sólido deformado, de espessura B, solicitado por uma força P que, por sua vez, produz um deslocamento v, tem-se:

G=

1 ∂ ⋅ ( F −U ) B ∂a

Equação 27

que é a Taxa de Liberação de Energia. Considerando-se o deslocamento v produzido pela carga ao realizar o trabalho, a equação anterior pode ser reescrita na forma:

G=

1 ∂ (F − U ) = 1  P ∂v − ∂U  B ∂a B  ∂a ∂a 

Equação 28

Considerando também o conceito de flexibilidade, C = v/P ou v = C.P, tem-se que:

U=

1 1 Pv = C P 2 2 2

Equação 29

e

∂v ∂ (C P ) = C ∂P + P ∂C = ∂a ∂a ∂a ∂a

Equação 30

Com o equacionamento anterior, as duas diferentes formas de solicitação ao fraturamento (através de forças aplicadas ou de deslocamentos aplicados) podem ser estudadas separadamente. No caso de força constante aplicada, tem-se:

G=

∂C  1  ∂P ∂C   1  ∂v ∂U  1   ∂P − +P + P2 P  =  P C  −  2CP  ∂a  2  ∂a ∂a   B  ∂a ∂a  B   ∂a

Equação 31

Como P é constante, ∂P / ∂a = 0 :

G=

P 2 ∂C 2 B ∂a

Equação 32

Da mesma forma, pode-se escrever:

G=

1  ∂v  1  ∂U  P  =   2 B  ∂a  B  ∂a 

Equação 33

No caso de deslocamento constante aplicado, tem-se v constante e ∂v / ∂a = 0 . Procedendo de forma análoga, obtém-se:

G=−

1 ∂P 1  ∂U  v =−   B  ∂a  2 B ∂a

Equação 34

O equacionamento anterior permitiu concluir que o valor de G é constante, tanto para carregamentos prescritos como para forças prescritas. É importante observar que G tem um caráter global, ao contrário de KI, pois decorre da análise de variação de flexibilidade do corpo (antes e após a propagação da fissura). Livro Materiais de Construção Civil

14

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.

Observa-se que, para um material frágil e de comportamento elástico-linear, quando a taxa de liberação de energia, G, atinge um valor crítico, GC, a fissura propaga de maneira instável. Assim, GC é um parâmetro resistente do material, ou seja, uma propriedade mecânica e é conhecido como Taxa Crítica de Liberação de Energia ou Energia de Fraturamento. A energia de fraturamento é uma medida da tenacidade ao fraturamento do material. Mesmo que obtidos em análises de diferentes naturezas (local e global), o fator de intensidade de tensão K e a taxa de liberação de energia potencial elástica G, são parâmetros de tenacidade que se relacionam. A relação entre K e G é obtida através de uma análise inversa, pela qual se procura determinar a energia necessária ao fechamento parcial de uma fissura em um corpo deformado, aplicando-se uma tensão às duas faces da mesma, denominada tensão de fechamento (Broek,1986), procedimento que conduz a: 2 2 KI K II Equação 35 GI = G II = E' E' onde E’=E para o estado plano de tensão (EPT) e E’=E/(1-ν2) para o estado plano de deformação (EPD). Para o Modo III, tem-se:

G III

K = (1 + ν ) III E

2

Equação 36

Para o caso de solicitação múltipla ao fraturamento: G=

1 (1 + ν ) 2 2 ( K I + K II2 ) + K III E E

( E.P.T.)

Equação 37a, b G=

(1 − ν 2 ) (1 + ν ) 2 2 ( K I + K II2 ) + K III E E

(E.P.D)

Figura 4 – Seqüência esquemática da determinação de KIC pela técnica de variação de flexibilidade.

As equações para G, anteriormente deduzidas, bem como a relação existente entre G e K, são de grande utilidade para a determinação da tenacidade ao fraturamento dos materiais, a partir da análise da variação de flexibilidade de corpos-de-prova, quando solicitado ao fraturamento em laboratório. De uma forma geral, toma-se:

Livro Materiais de Construção Civil

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.

2

GI = e

P 2 ∂C K I = 2 B ∂a E'

Equação 38

1

 E ' ∂C  2 K I = P   2 B ∂a 

Equação 39

A Figura 4 ilustra a seqüência de determinação de KI, pela análise da variação de flexibilidade de um corpo-de-prova, utilizando a Equação 39. Ao leitor interessado em um aprofundamento no assunto, recomenda-se o estudo de outras formulações baseadas em princípios energéticos, como o das integrais de caminho independente (integrais “J”), que se aplicam à análise tanto de problemas lineares, quanto de problemas elastoplásticos.

5.7 Extensão da zona de processos inelásticos e limitações da Mecânica da Fratura Elástico-Linear Define-se como zona de domínio de K a região circunferencial à frente da ponta da fissura, dentro da qual o campo de tensão e de deformação é descrito (e governado) pelo Fator de Intensidade de Tensão. Tendo em vista as limitações inerentes à resistência do material fissurado dentro dessa zona circular e imediatamente à frente da ponta da fissura, ocorre o que se denomina Zona de Processos Inelásticos, conforme se ilustra na Figura 5a. No caso dos materiais de ruptura quase-frágil, como os concretos, as argamassas e certas rochas, a zona de processos inelásticos é caracterizada por uma "banda" microfissurada, que acumula o processo de dano decorrente da amplificação das tensões. No caso de sólidos fissurados constituídos de materiais dúcteis, quando as tensões na região próxima à ponta da fissura excedem o nível de resistência elástica, o material passa a escoar.

Figura 5 – Zonas de domínio de K e de processos inelásticos.

Sob o enfoque da possível redistribuição da tensão excedente, a extensão da zona de processos inelásticos pode ser calculada, com certa aproximação, utilizando-se a seguinte expressão (Broek, 1986): Livro Materiais de Construção Civil

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rp =

σ 2a f y2

.

K I2 π f y2

=

(Equação 40)

onde a é a extensão da fissura, σ a tensão aplicada e fy a tensão de escoamento do material. O valor de rp assim calculado é utilizado para a correção da extensão da fissura, como se discute a seguir. Como estudados, os conceitos gerais da MFEL são baseados em análises elásticas do campo de tensão, para pequenas deformações (Unger, 1995). Assim, para que a formulação da MFEL seja aplicável à análise de um determinado problema, essa premissa deve ser observada. Naturalmente, no interior da zona danificada, as soluções elásticas perdem a validade. A extensão da zona de processos inelásticos influenciará diretamente a extensão da zona de domínio de K, dado que as soluções elásticas foram deduzidas para regiões muito próximas à ponta da fissura. Portanto, para que os princípios elásticos lineares tenham validade, é necessário, que a condição de plastificação (ou danificação) em pequena escala se verifique. Uma determinação mais rigorosa da extensão rp da zona de processos inelásticos é procedida analisando-se o estado de tensão à frente da ponta da fissura, comparativamente à resistência apresentada pelo material, considerando-se todas as componentes de tensão σ1, σ2 e σ3. Para tanto, é necessário que se utilize um critério de escoamento ou de ruptura que descreva satisfatoriamente o comportamento do material. Nesse sentido, materiais que apresentem ruptura associada ao cisalhamento, a exemplo dos metais, podem ser analisados através dos critérios de Tresca ou de von Mises. Outros materiais, cujas rupturas vinculam-se mais fortemente à tensão hidrostática, como, por exemplo, os solos, as rochas e materiais assemelhados, são freqüentemente estudados pelos critérios de ruptura de Mohr-Coulomb e Drucker-Pragger (Chen e Han, 1999). No que se segue, o critério de von Mises passa a ser analisado. De acordo com esse critério, o escoamento terá lugar quando a tensão efetiva ou tensão equivalente de von Mises, σeq, atingir o valor da tensão de escoamento, fy, do material (Lemaitre e Chaboche, 2002). Assim:

1 2

[(σ

− σ 2 ) − (σ 2 − σ 3 ) − (σ 3 − σ 1 ) 2

1

2

2

]

1 2

= fy

Equação 41

Introduzindo o conceito de Fator de Confinamento Plástico (FCP):

FCP =

σ eq

Equação 42

fy

e observando que a tensão efetiva de escoamento, σeq, é dependente do grau de confinamento, pode-se proceder às análises dos diferentes estados planos. Para θ = 0, as tensões principais são dadas por:

σ1 =

KI 2π r

;

σ2 =

KI 2π r

;

σ 3 = ν (σ 1 + σ 2 ) = 2ν

KI 2π r

Equação 43

Adotando-se o coeficiente de Poisson, ν =1/3, e manipulando-se as equações anteriores, decorre para o estado plano de deformação que FCP= 3, isto é: Livro Materiais de Construção Civil

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.

σ 1 = 3 f y = σ eq

Equação 44

De maneira análoga, estuda-se o estado plano de tensão. Nesse caso, a tensão σ3 será nula, implicando que F.C.P= 1. O equacionamento anterior permite reescrever a Equação 40 de forma a considerar o fator de confinamento plástico, como segue:

rp =

σ 2a

(FCP f )

2

y

=

K I2 π (FCP f y )2

Equação 45

Observa-se, por meio da Equação 45, que a extensão da zona de processos inelásticos para o EPT (chapas finas, por exemplo) é várias vezes maior em comparação ao estado plano de deformação (Figuras 5b e 5c). Isso permite concluir que, em estado plano de tensão, a dissipação energética associada à formação da ZPI (Zona de Processos Inelásticos) é muito superior. Nesse caso, a resistência ao fraturamento também o será, dado que grande parte da energia potencial elástica ou energia de deformação será dissipada com a danificação prévia do material, antes mesmo que a propagação da fissura tenha lugar. Com efeito, a tenacidade ao fraturamento avaliada em EPD é menor que aquela avaliada em EPT. Por outro lado, devido ao confinamento, em EPD as tensões na região à frente da ponta da fissura podem alcançar o triplo da tensão de escoamento, e a resistência ao fraturamento, nesse caso, será menor. Para considerar esta questão e por razões inerentes à segurança de projeto, a tenacidade ao fraturamento é correntemente avaliada em EPD. Nesse sentido, algumas considerações que objetivam limitar a extensão da zona de processos inelásticos, assim como assegurar as condições de confinamento da região à frente da ponta da fissura, são adotadas nas principais normas técnicas. A ASTM (ASTM,1990), por exemplo, faz as seguintes exigências, relativamente às dimensões do corpo-de-prova destinados à avaliação da tenacidade ao fraturamento em EPD:

K a; B; (W − a ) ≥ 2.5 IC  f  y

   

2

Equação 46

As Figuras 5b e 5c ilustram, esquematicamente, a distribuição de tensões para EPD e EPT, bem como as extensões da zona de processos inelásticos em cada um dos casos. Para considerar a transição entre EPT e EPD à frente da ponta da fissura, dado que na superfície do sólido o EPD não pode ser totalmente assumido, adota-se

FCP = 2 2 , o que conduz a:

σ 2a

K I2 ≅ rp = 2 3π f y2  2 2 f  y  

Equação 47

Observa-se, finalmente, que, muitas vezes, torna-se necessária a correção da extensão a da fissura, para a utilização da formulação da MFEL, o que só é possível fazer, dentro de certos limites. Para tanto, utiliza-se uma extensão efetiva que pondera a extensão da zona de processos inelásticos. Essa extensão, para uma fissura com somente uma ponta, é dada por: Livro Materiais de Construção Civil

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aef = a + rp

.

Equação 48

6 Mecânica da Fratura Elastoplástica e Não-Linear 6.1 Considerações sobre o fraturamento de materiais dúcteis Como se comentou anteriormente, problemas de fraturamento que envolvem a elasticidade não-linear ou a plastificação em larga escala não devem ser analisados com a formulação da MFEL, uma vez que ela se fundamenta no campo elástico-linear de tensão, em condições de pequenas deformações. Por outro lado, quando o material apresenta comportamento plástico ou viscoplástico envolvendo quantidades substanciais de deformações irreversíveis (e conseqüente dissipação de energia), a zona de processos inelásticos deixa de ter extensão desprezível, em comparação a outras dimensões significativas do sólido fissurado ou à extensão da própria fissura. Nesses casos, o crescimento da fissura usualmente é estável, isto é, para que haja crescimento da fissura, há a necessidade de se aumentar o nível do carregamento externo, comportamento desejável do ponto de vista da segurança estrutural. O desempenho progressivo do material é um indicador de que a tenacidade ao fraturamento do material nesses casos não tem um valor constante. Na realidade, a resistência ao fraturamento cresce com o crescimento da fissura. Para a análise de problemas de fraturamento nessas condições, diversos modelos não-lineares foram desenvolvidos, dando origem à Mecânica da Fratura Não-Linear (MFNL). Os conceitos da MFNL são aplicáveis à análise de materiais com estruturas cristalinas cúbicas de face centrada, que apresentam ruptura dúctil. Com esses modelos são analisados ao fraturamento os metais puros como o ouro e o cobre, certas ligas de alumínio. Da mesma maneira, modelam com naturalidade o fraturamento de componentes estruturais esbeltos e chapas de pequena espessura, elementos estruturais sujeitos a elevados níveis de plastificação, usualmente fabricados com aços de baixo teor de carbono ou outros materiais. Aplica-se também a MFNL, porém com a utilização de enfoques próprios, à análise de materiais de ruptura quase-frágil, como os concretos, as argamassas, as rochas e certas cerâmicas. Nesses casos, a zona de processos inelásticos não é caracterizada por uma região plastificada, mas por uma região microfissurada de extensão considerável.

6.2 Modelos de análise do fraturamento elastoplástico Os principais modelos não-lineares desenvolvidos para a análise do fraturamento elastoplástico são: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Modelo de Dugdale/Barenblatt; Modelo de Wells; Integrais “J”; Módulo de rasgamento; Curvas de resistência ao fraturamento.

No presente trabalho, somente o modelo de Dugdale é abordado, ficando os demais modelos indicados aos leitores que desejarem um maior aprofundamento no assunto. Modelo de Dugdale Livro Materiais de Construção Civil

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.

Esse modelo considera a existência de uma fissura efetiva, cuja extensão é maior que a da fissura real e que engloba a zona plastificada na ponta da fissura. A extensão adicional, ρ, à frente da ponta da fissura é suposta estar solicitada por uma tensão de fechamento de valor igual à tensão de escoamento do material. A determinação dessa extensão é procedida considerando-se a superposição de efeitos dos fatores de intensidade de tensão decorrentes do carregamento externo, K Iσ , e da tensão de fechamento que atua ao longo da extensão ρ, K Iρ . Assim, a singularidade na ponta da fissura é cancelada, ou seja, KI = 0, conforme ilustra a Figura 6.

Figura 6 – Fissura efetiva do modelo de Dugdale.

A superposição de efeitos é dada por:

K I = K Iσ + K Iρ = 0

Equação 49

que conduz a

K Iσ = − K Iρ

Equação 50

As expressões para os fatores de intensidade de tensão devidos às tensões de fechamento e ao carregamento externo podem ser encontradas na literatura (Broek, 1986). A consideração dessas expressões nas Equações 49 e 50 conduzem a:

ρ=

π 2σ 2 a 8 f y2

=

π K I2 8 f y2

Equação 51

que representa a extensão adicional a ser considerada na ponta (ou nas pontas) da fissura, para a aplicação da formulação da MFEL. Observa-se que:

π K I2 8 f y2

≅

K I2 = rp π f y2

Equação 52

resultado bastante parecido com aqueles obtidos com as Equações 40 e 45 para estado plano de tensão, comprovando, como esperado, que no fraturamento elastoplástico a região de dano é bastante significativa.

6.3 Fraturamento com localização e amolecimento Nos itens anteriores, foram abordados os principais conceitos relativos à Mecânica da Fratura Elástico-Linear e do fraturamento elastoplástico. Observou-se, também, que a Livro Materiais de Construção Civil

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aplicabilidade dos conceitos clássicos da MFEL à análise dos problemas de fraturamento vincula-se à extensão da zona de processos inelásticos à frente da ponta da fissura. No caso dos materiais de ruptura quase-frágil, como é o caso dos concretos, das argamassas, das rochas e de certas cerâmicas, a zona de processos inelásticos é caracterizada por uma “banda” microfissurada (Bazant e Oh, 1983; Shah, Swartz e Ouyang,1995). A banda ou região de microfissuração é usualmente modelada pela adoção de uma simples interface, dita coesiva, cuja principal característica é a habilidade de transmissão de tensões entre as faces da fissura. Essa propriedade, de certa maneira, caracteriza a ruptura quase-frágil e espelha o ganho de tenacidade do material, dado que uma parcela complementar de energia deve ser dissipada para a redução progressiva (no sentido de destruição) da interface coesiva durante a ruptura, o que serve de fundamento para o modelo de amolecimento adotado para o concreto (Hillerborg,1985). Em tese, a extensão dessa interface é uma propriedade intrínseca do material e associa-se a parâmetros específicos da sua estrutura. Entretanto, a extensão total da fissura (fissura visível acrescida da extensão da interface coesiva), em princípio, é indeterminada, o que torna o problema fortemente nãolinear. Para equacionar-se a questão, diferentes estratégias, como aquelas já abordadas na elastoplasticidade e que envolvem o conceito de fissura efetiva, podem ser aplicadas satisfatoriamente para a solução de diversos problemas. Os principais conceitos relacionados à modelagem do fraturamento quase-frágil passam a ser analisados em seus principais aspectos. 6.3.1 ANÁLISE DA RUPTURA QUASE-FRÁGIL Para o estudo da ruptura quase-frágil, analisa-se inicialmente um sólido préfissurado, solicitado ao fraturamento, bem como o diagrama carga versus deslocamento decorrente do procedimento, conforme se ilustra na Figura 7. Supõe-se que a solicitação ocorra em ciclo fechado, em que as respostas de deslocamento controlam a aplicação da carga. Dessa maneira, a adoção de uma taxa constante de deslocamento fará com que o sistema de ensaio monitore sistematicamente a carga aplicada, carregando ou descarregando o sólido e evitando o colapso brusco. Esse tipo de ensaio é denominado ensaio controlado, ou ensaio sob condições de controle de deslocamentos, e pode ser levado a efeito igualmente sob condições de controle de deformações ou do CMOD (crack mouth opening displacement ou deslocamento de abertura da entrada do entalhe).

Figura 7 – Sólido pré-fissurado solicitado ao fraturamento e diagrama Pxδ (ou Px CMOD) da ruptura. Livro Materiais de Construção Civil

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Para a análise de resultados do ensaio, o diagrama de ruptura é subdividido em três fases distintas. Dentro da primeira fase, a microfissuração é dispersa no volume do sólido e, para todos os efeitos, a resposta é considerada elástico-linear. Na segunda fase, com o crescimento da carga, a partir do ponto a, a microfissuração passa a ficar mais pronunciada, especialmente no plano preferencial de fraturamento. Durante o crescimento da carga, inicia-se a formação de uma banda de microfissuração, ou seja, de uma zona de acumulação de danos. Assim, a resposta de deslocamentos do sólido começa a desviar-se gradativamente da linearidade até que se alcance o ponto b. A partir desse ponto, as microfissuras passam a reunir-se para formar uma fissura maior, dentro de um processo conhecido como coalescência, caracterizando a localização da deformação. Até o ponto c, ou seja, até a carga de instabilidade, o crescimento da fissura é estável (ou subcrítico). Em outras palavras, para que a fissura continue a crescer, há a necessidade de crescimento do carregamento externo. A partir da carga de instabilidade, ou seja, a partir do ponto c, a fissura passa a propagar de forma instável, e a fase III do diagrama só poderá ser obtida experimentalmente se os níveis de carregamento puderem ser gradativamente diminuídos, para que a ruptura brusca não ocorra. Isso pode ser alcançado por meio do controle de um parâmetro de deslocamento (ou de deformação). O ramo descendente do diagrama P-δ é conhecido como amolecimento e caracteriza a ruptura dos materiais quase-frágeis. 6.3.2 MODELAGEM DA ZONA DE PROCESSOS INELÁSTICOS A zona de processos inelásticos é inicialmente modelada pela consideração de uma tensão de fechamento, que atua em ambas as faces da fissura. Esse procedimento é análogo àquele adotado nos modelos elastoplásticos de Dugdalle, conforme se ilustra na Figura 8.

Figura 8 – Tensão coesiva de fechamento das faces da fissura quase-frágil.

A tensão de fechamento, usualmente chamada de “pressão” coesiva, σ(w), é uma função monotonicamente decrescente do deslocamento de abertura da fissura, w, ou seja, quando w = 0, tem-se que σ (w) = f t e quando w = wC, σ (w) = 0 . Na Figura 8, o comprimento da fissura inicial é designado a e a extensão da zona de processos inelásticos, ou seja, a extensão da interface coesiva é designada lp, de tal forma que a extensão total da fissura será aef = a+ lp, consideração análoga àquela feita nos modelos elastoplásticos efetivos. Livro Materiais de Construção Civil

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A tensão de fechamento tem origem em diversos e complexos mecanismos que atuam nas faces da fissura e espelha a principal propriedade da interface coesiva, ou seja, a sua capacidade de transmissão de tensões entre as faces da fissura. Assim, para que a fissura se propague, há necessidade de dissipação de uma parcela adicional de energia, muitas vezes predominante, para superar a ação inibidora da propagação, provocada pelos mecanismos de fechamento. Como exemplos desses mecanismos, citam-se o intertravamento dos grãos, o desvio da direção de propagação, a fricção interfacial, os arrestamentos localizados devido à presença de vazios, a bifurcação do caminho de propagação e o arrancamento dos grãos entre as faces da fissura. Devido aos diferentes mecanismos de dissipação de energia que se verificam no fraturamento quase-frágil, o processo de ruptura pode ser modelado de diferentes maneiras. Quando é modelado usando unicamente o mecanismo de Dugdale, a fissura quase-frágil é usualmente chamada de fissura fictícia, e o modelo utilizado para tratá-la denomina-se Modelo Coesivo. Quando é modelada considerando-se o mecanismo de dissipação de Griffith-Irwin que fundamenta a MFEL, a fissura quase-frágil é chamada de fissura efetiva, e a abordagem é denominada Elástico-Equivalente ou Elástico-Efetiva. Nesse último caso, a modelagem é procedida para a determinação de parâmetros de tenacidade ao fraturamento, a qual é abordada no item seguinte. Uma terceira classe de modelo é o proposto por Bazant, denominado Modelo do Efeito de Escala (Bazant e Kazemi, 1990). Esse modelo considera a extrapolação das respostas das Taxa Crítica de Liberação de Energia, a estruturas de dimensões infinitas e relaciona essa taxa à escala estrutural. Dentre os modelos denominados coesivos, o que ganhou maior aceitação foi o modelo idealizado por Hillerborg (1976, 1985), denominado Modelo da fissura fictícia. Nesse modelo, uma questão importante reside na escolha adequada da relação tensãoabertura (σ-w). As relações σ-w mais simples são as relações lineares e as bi-lineares, ilustradas na Figura 9. Para o fraturamento no Modo I, de abertura, tem-se (Shah, Swartz e Ouyang, 1995): Relação Linear 

w



c

σ (w) = f t 1 −  w 

Equação 53

com wC variando entre 0,01 e 0,04 mm.

Figura 9 – Relações tensão-abertura para o modelo fictício.

Relação Bi-linear

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σ (w ) =

.

w ( f t − σ 1 ) para w ≤ w1 w1

Equação 54

e  w − w1   para w > w1. w w − 1   c

σ (w) = σ 1 

Equação 55

Essa relação é recomendada pelo CEB-FIP. Nesse caso, wC varia em função da dimensão característica do agregado, Φmax, de acordo com a Tabela 3. Tabela 3 – Valores de wC e da constante kd, em função de Φmax.

φ max

wc (mm)

kd

(mm) 8 16 32

0.12 0.15 0.25

4 6 10

Na relação bi-linear, tem-se:

σ 1 = 0.15 f t

Equação 56

e G  G F − 22 wC  F   kd  w 1= 0.95  GF   150  kd 

0.95

Equação 57

com: GF = k d f C

0.7

Equação 58

onde GF é a Energia de Fraturamento (a ser detalhada). Na Equação 58, a resistência à compressão fC é dada em MPa e GF em N/m ou J/m2. Outras relações, como a tri-linear, a função de potência ou mesmo relações exponenciais, podem ser igualmente adotadas. No caso em que se considera a solicitação mista ao fraturamento, relações tensãoabertura análogas às anteriores, mas que utilizam também as tensões de cisalhamento e os deslocamentos de escorregamento (CSD), são necessárias para uma análise acoplada.

6.4 Estudo do fraturamento dos materiais cimentícios 6.4.1 Parâmetros de tenacidade associados ao modelo da fissura fictícia Pela utilização do modelo coesivo, torna-se possível não só a reprodução do colapso estrutural computacionalmente, como também a determinação de parâmetros de tenacidade ao fraturamento que interessam, do ponto de vista prático, às atividades de projeto. Dentre os diversos parâmetros de resistência ao fraturamento até aqui abordados, os principais, e que se associam ao modelo fictício, são a Energia de Fraturamento GF e o comprimento característico do material, lch. Livro Materiais de Construção Civil

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A metodologia utilizada para a determinação desses parâmetros de tenacidade, assim como as limitações e as dificuldades inerentes à suas implementação experimental, são discutidas a seguir. Energia de fraturamento, GF A determinação da energia de fraturamento faz uso de uma técnica bastante simples que consiste na determinação do trabalho necessário à completa ruptura de uma secção transversal entalhada. A energia de fraturamento, em termos unitários, é obtida dividindo-se o trabalho realizado pela carga até a ruptura do corpo, no sentido dado por Clapeyron, pela área da seção fraturada. O método foi proposto na década de 1980 por Hillerborg (1985), um dos precursores da Mecânica da Fratura do concreto. Por sua simplicidade, a metodologia proposta foi largamente aplicada, tendo sido sugerida pela RILEM (1985) para determinação da energia de fraturamento como parâmetro de resistência dos concretos e das argamassas. Posteriormente, com o desenvolvimento mais acelerado da Mecânica da Fratura do concreto, diversos pesquisadores concluíram que a energia de fraturamento assim obtida é fortemente dependente de escala, o que inviabilizaria, ao menos em tese, a aplicação irrestrita do método. Bases do método Para o estudo do método proposto por Hillerborg (1985), analisa-se o colapso de um sólido fissurado submetido a um ensaio de tração uniaxial, no qual o carregamento é aplicado em ciclo fechado com as respostas de deslocamento. Para tanto, duas posições distintas são monitoradas ao longo da ruptura, utilizando-se dois transdutores de deslocamentos. A primeira dessas posições, designada A, situa-se na região não fissurada do sólido, e a segunda, designada B, situa-se na região da fissura, como se ilustra na Figura 10. Na posição A, os deslocamentos são simplesmente registrados. Os deslocamentos registrados em B servem também para controlar a aplicação da carga.

Figura 10 – Decomposição da resposta global de deslocamentos no ensaio de energia de fraturamento.

A resposta global dos deslocamentos do sólido ao longo da ruptura também é apresentada na Figura 10. Essa resposta refere-se às aquisições do transdutor posicionado em B. Livro Materiais de Construção Civil

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Nessa posição, observa-se o crescimento dos deslocamentos com o aumento da carga, até que se alcance a carga de instabilidade, ou seja, a carga máxima do ensaio. Durante o processo de carregamento até a carga máxima, o transdutor posicionado em A registra os deslocamentos, que também são crescentes Após atingir-se a carga máxima, tem início a propagação instável da fissura. Como o ensaio está sendo executado em ciclo fechado, o sistema passa a diminuir paulatinamente os níveis de carregamento, de tal forma que a taxa de deslocamento inicialmente imposta é respeitada. Com o início do descarregamento, observa-se que os deslocamentos elásticos (e, conseqüentemente, as deformações elásticas) na região A passam a ser recuperados. Durante esse processo, o transdutor situado em B evolui a aquisição, registrando o ramo de amolecimento, conforme ilustram os diagramas da Figura 10. Com a diminuição da carga até zero, a parcela elástica da deformação em A é recuperada, recuperando-se a energia de deformação correspondente (área 1, Figura 10). A parcela irrecuperável (área 2, Figura 10) espelha a densidade de energia de deformação dissipada no volume do sólido. Essa parcela da dissipação energética é relativamente pequena, comparativamente àquela que se verifica em B. A área 3 da Figura 10, registrada pelo transdutor B, é muitas vezes maior e reflete a quantidade de energia dissipada na zona de processos inelásticos durante a ruptura. Essa dissipação de energia está fortemente relacionada à redução progressiva da interface coesiva (que inibe o crescimento da fissura) e justifica o comportamento quasefrágil do material, ao longo da ruptura. Ao dividir-se o trabalho realizado pela carga pela área da seção fraturada, normaliza-se o problema e define-se, assim, a energia de fraturamento como sendo a quantidade de energia necessária para a propagação de uma fissura unitária. Naturalmente, abstrai-se desse raciocínio toda a energia dissipada de forma espúria, quer no volume do corpo-de-prova, quer com a danificação do material nos apoios e no ponto de transmissão da carga. Generalidades sobre os procedimentos de ensaio Para a determinação da energia de fraturamento GF, são utilizadas vigas com entalhes centrais, submetidas à flexão em três pontos, como se ilustra na Figura 11a. No caso dos concretos, as dimensões do corpo-de-prova são determinadas em função da dimensão característica do agregado graúdo, Φmax.

Figura 11 – Vigas entalhadas, submetidas à flexão em três pontos.

A execução do entalhe central tem por objetivo a fragilização da seção transversal nessa região e a criação de um plano preferencial de fraturamento, de tal forma que a dissipação energética seja, o tanto quanto possível, planar. Livro Materiais de Construção Civil

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Os ensaios são conduzidos em ciclo fechado, onde o carregamento é controlado pelas respostas do deslocamento vertical da linha de carga. A taxa de deslocamento imposta é da ordem de 0.05 mm/min. O deslocamento de 0.05 mm é obtido para os concretos usuais na carga máxima, a qual se pretende atingir em um minuto. Muitas vezes, os deslocamentos verticais são tomados na face inferior da viga. Em ambos os casos, esses deslocamentos são medidos com o auxílio de um transdutor, fixado ao corpo-de-prova através de um dispositivo de fixação denominado Yoke, cujos pontos de ancoragem encontram-se situados sobre os apoios do corpo-deprova, à meia-altura da seção. Os corpos-de-prova são ensaiados saturados com água, até a total ruptura ou até que se atinja a carga zero. A saturação das amostras deve-se ao fato de que a totalidade dos parâmetros de fraturamento do concreto e de outros materiais assemelhados é diretamente influenciada pelo teor de umidade do material. Determinação da energia de fraturamento A energia de fraturamento é obtida dividindo-se o trabalho realizado pela carga externa, para total ruptura do corpo-de-prova, pela área da seção transversal fraturada, ou seja, a área do ligamento, AL, projetada sobre o plano da seção transversal. O trabalho externo é dado pela área sob a curva Pxδ. Assim:

GF =

1 AL

δ ∫ P(δ ) dδ 0

Equação 59

Para a consideração de outras parcelas intervenientes, a Equação 59 é remodelada, da forma que se segue:

GF =

W0 + W1 + W2 AL

Equação 60

onde W0 é o trabalho realizado pela força externa, W1 o trabalho parcial realizado por uma força adicional, F1, decorrente da consideração do peso próprio do corpo-de-prova e do peso dos acessórios de transmissão de carga, posicionados sobre o corpo-de-prova. O trabalho W2 é o trabalho complementar realizado pela força F1, considerada concentrada no centro do vão e que daria origem ao mesmo momento fletor que aquele decorrente do peso da viga e dos acessórios de transmissão de carga. Essa carga tem valor igual à metade do peso próprio mais acessórios. As diversas parcelas que compõem o trabalho total são ilustradas na Figura 12.

Figura 12 – Parcelas de trabalho que compõe o trabalho total de fraturamento. Livro Materiais de Construção Civil

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As parcelas W1 e W2 consideram a situação de carregamento prévio do corpo-deprova, que ocorre antes do início do carregamento externo e que decorre da ação do peso próprio e do peso dos acessórios. A rampa de amolecimento que se utilizaria para a determinação de W2 tende assintoticamente ao eixo dos deslocamentos. Como simplificação, adota-se W2 ≈ W1. Determinação do comprimento característico, lch. O comprimento característico do material, como definido por Hillerborg (ano???), é dado por: l ch =

EG F ft2

Equação 61

onde E é o módulo de Young, GF a energia de fraturamento e ft, a resistência à tração do material. Essa grandeza decorre de uma aproximação do fraturamento elástico-linear, em que a relação entre K e G é considerada, ou seja:

G=

K 12 σ 2 a = E' E'

Equação 62

ou

a=

E'G

σ2

(Equação 63)

Observa-se que as Equações 61 e 63 têm a mesma forma dimensional. A grandeza lch, inicialmente definida como uma propriedade do material, é proporcional à extensão da zona de processos inelásticos. Para o concreto essa extensão varia entre 0.3lch e 0.5lch. Na realidade, o comprimento característico é um índice da ductilidade do material. Por decorrer de uma aproximação da MFEL, essa grandeza também é intrinsecamente dependente de escala. A dependência da energia de fraturamento na escala estrutural Estudou-se que a energia de fraturamento é obtida dividindo-se o trabalho realizado pela carga externa, pela área da seção fraturada. Essa área é tomada no sentido estritamente geométrico, não se considerando, portanto, as irregularidades da superfície fraturada. Na realidade, a área da superfície fraturada é, muitas vezes, superior ao produto da largura B da viga, pela extensão do ligamento W-a0. Ao ampliar-se o campo da observação, é possível notar que a topografia da superfície rugosa é constituída por inúmeros picos e vales, com características fortemente fractais. Na realidade, a rugosidade da superfície fraturada está intimamente relacionada à fragilidade do material. Quanto mais frágil for o material, mais plana será a superfície fraturada, uma vez que o fraturamento passa a ocorrer por clivagem, ou seja, por um corte mais uniforme. Nesse caso, a área fraturada terá valor mais próximo do produto B.(W-a0), e o erro no cálculo da energia de fraturamento, relativamente à área de projeção, será menor. No caso de materiais de comportamento relativamente dúctil na ruptura, a separação das partes tem características intergranulares mais acentuadas. Isso justifica uma superfície maior, ou seja, um maior afastamento da área real, relativamente ao produto B.(W-a0). Conseqüentemente, o erro no cálculo da energia de fraturamento, relativamente à área de projeção, será maior. Observa-se, entretanto, que a análise não deve ser procedida considerando-se apenas eventuais erros no cálculo da área da seção Livro Materiais de Construção Civil

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fraturada. O que de fato ocorre é que, em ambos os casos, os diagramas P-δ serão significativamente diferentes. Em sólidos que apresentam ligamentos de pequena extensão, em relação à extensão da zona de processos inelásticos, os efeitos da supressão da tensão de fechamento são proporcionalmente mais acentuados, e a energia de fraturamento resultante será maior. Com o crescimento progressivo da escala, a energia de fraturamento será paulatinamente menor até que se alcance um nível de constância. Nesse nível, a energia de fraturamento passa a ser independente de escala e pode ser entendida como uma propriedade do material. 6.4.2 Parâmetros de tenacidade associados aos modelos efetivos A principal estratégia adotada nos modelos efetivos é a determinação de uma extensão efetiva para a fissura aef ou a, que possa representar adequadamente o crescimento subcrítico (ou estável) da fissura real, ou seja, que possa considerar implicitamente o desenvolvimento da interface coesiva. Isso é feito pela identificação de uma fissura “livre” das tensões de fechamento e elasticamente equivalente à fissura real, de tal forma que os conceitos da MFEL possam ser utilizados, conforme ilustrado na Figura 13.

Figura 13 – Fissura elástico-efetiva ou elástico-equivalente.

A formulação geral dos modelos efetivos baseia-se na técnica de variação de flexibilidade, pela consideração da variação de um dos deslocamentos significativos (δ ou CMOD) monitorado ao longo da ruptura. Por conseqüência, é implicitamente aceita a hipótese de que a variação de flexibilidade seja um parâmetro suficiente para a determinação da quantidade de avanço (ou crescimento estável) da fissura no corpo deformado. Os principais modelos dessa categoria são o Modelo dos Dois Parâmetros (RILEM, 1990), devido a Jenq e Shah (1985), e o Modelo da Fissura Efetiva, proposto por Karihaloo e Nalathambi (1989). No presente texto, apresenta-se o mais conhecido deles, o Modelo dos Dois Parâmetros. O modelo proposto permite a determinação de dois parâmetros de fraturamento aparentemente independentes de escala, que são a tenacidade ao fraturamento, KSIC e o CTODC (deslocamento crítico de abertura da ponta da fissura). As grandezas mencionadas são obtidas pelo mesmo ensaio, usualmente de flexão em três pontos, conforme se ilustra na Figura 11b. Decorre dos procedimentos do ensaio a determinação do módulo de Young E do material. Livro Materiais de Construção Civil

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Por esse modelo, admite-se que as respostas elásticas e inelásticas da deformação podem ser analisadas carregando-se o corpo-de-prova até a carga máxima e executando-se, na seqüência, um ciclo completo de descarregamento e recarregamento, como se mostra na Figura 14. Das rampas, inicial e de recarregamento, pode-se obter a variação de flexibilidade do corpo-de-prova e, então, determinar-se as parcelas elástica e inelástica do CMOD. Para tanto, o ensaio deve ser levado a efeito em ciclo fechado, em que o carregamento quase-estático é aplicado ao corpo-de-prova em ciclo fechado, sob condições de controle do CMOD, o que se faz por meio da utilização de um transdutor de deslocamentos, do tipo clip-gauge. Bases do método Embasam o modelo as seguintes considerações: o deslocamento de abertura CMOD, na carga crítica, é composto por uma parcela elástica e outra inelástica, da forma que segue.

Figura 14 – Rampas inicial e de recarregamento, para a determinação da variação de flexibilidade.

CMODC = CMODCE + CMODCP

Equação 64

O deslocamento crítico de abertura da fissura, CTODC, é determinado a partir da extensão elástico-efetiva da fissura, utilizando-se as equações da MFEL, e decorre da parcela elástica do CMOD, na carga crítica, CMODEC. Com o valor da flexibilidade inicial, Ci, ou seja, ainda dentro da fase em que as respostas podem ser consideradas lineares, determina-se o valor do módulo de Young, E, do material. Para tanto, utiliza-se a = a0 e α 0 = a 0 / W , onde a0 é a profundidade do entalhe inicial. O módulo é determinado com o auxílio das equações para vigas entalhadas: E=

6 Pi Sa 0 g (α 0 ) CMODi BW 2

Equação 65

Considerando-se

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.

Pi 1 = CMODi C i

Equação 66

decorre E=

6 Sα 0 g (α 0 ) C i BW

Equação 67

A função de dependência geométrica e de condições de contorno, para CMOD, pode ser calculada com o auxílio da Equação 68, com os coeficientes apresentados na Tabela 4, computado com o método dos elementos finitos.

g (α ) = a + bα + cα 2 + dα 3 + eα 4 + fα 5 (0.05 ≤ α ≤ 0.65)

Equação 68

Tabela 4 – Coeficientes para a função adimensional de dependência, g(α).

S/W

a

b

c

d

e

f

1 2 3 6 9 12 15

1.7590492 1.2977013 1.3221786 1.3645023 1.3791305 1.3866538 1.3908255

-0.7041380 0.2193838 0.3308006 0.4351097 0.4651369 0.4729740 0.4781380

1.5300094 -4.2223686 -4.3841661 -4.4062485 -4.4126231 -4.3357744 -4.2864554

31.5003310 45.3635140 46.6028540 47.3894340 47.7335150 47.5632800 47.4803470

-83.0702820 -98.2878040 -100.2734000 -101.6294900 -102.3004800 -102.0181200 -101.9790900

83.0341820 92.5002940 94.2106720 95.5545530 96.1660140 96.0754080 96.1730250

A determinação da flexibilidade inicial é procedida através de um ajuste linear aplicado a um conjunto de pontos situados no intervalo de cargas que varia entre 10% e 30% da carga máxima do ensaio. Esse limite superior pode ser estendido a 50% de Pmax, de acordo com o grau de fragilidade do material. Considerando-se a invariabilidade do módulo de Young, E, pode-se determinar, iterativamente, o valor de αi que conduz ao valor de E, quando a flexibilidade passa de Ci para Cu, ou seja: Ei =

6 Sα i g (α i ) C u BW

Equação 69

O valor de αi deve ser incrementado lentamente, para que boa precisão possa ser atingida. O processo iterativo termina quando Ei ≈ E, dentro de uma tolerância préestabelecida, por exemplo, 0.001. Quando isso ocorre, tem-se que:

α i = α C ⇒ aC = α C .W

Equação 70

A extensão crítica da fissura, ac, é a extensão da fissura elástico-equivalente, aef:

α ef = α C ⇒ a ef = α ef .W

Equação 71

A tenacidade ao fraturamento, KSIC, é obtida fazendo-se:

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31

Instituto Brasileiro do Concreto S K IC =

.

S π a 3 (Pmax + 0.5w) f (α ef 2 BW 2

)

Equação 72

onde w é a soma do peso próprio da viga, entre os apoios e dos acessórios posicionados sobre a viga durante a realização do ensaio. O deslocamento crítico de abertura da fissura, CTODC, pode ser determinado com o auxílio da formulação da MFEL, utilizandose a extensão efetiva da fissura, aef, da forma que segue:

CTODC =

6 (Pmax + 0.5w) S a ef EW 2 B

 a aef   g (α ef ) h 0 ; a W   ef 

Equação 73

com  a a ef   a   = (1 − β 0 )2 + 1.081 − 1.149 ( ef h 0 ;  a W   W   ef  

1

 )  β 0 − β 02 

(

2  

)

Equação 74

e

β0 =

a0 aef

Equação 75

Generalidades sobre os procedimentos de ensaio A determinação experimental da tenacidade ao fraturamento, KSIC, é procedida utilizando-se corpo-de-prova com a relação S/W igual a quatro. Essa relação é bastante usual, uma vez que as principais equações para as funções adimensionais de dependência geométrica encontram-se disponibilizadas na literatura. Isso não implica, entretanto, que outras relações não possam ser utilizadas. Para o concreto e outros materiais assemelhados, as recomendações da RILEM apontam o valor de 1/3 para a profundidade normal do entalhe inicial (α0= a0/W). Os ensaios são conduzidos em ciclo fechado, onde o carregamento é controlado pelas respostas do deslocamento de abertura do entalhe inicial, CMOD. A taxa de deslocamento imposta é da ordem de 0.05 mm/5 min, o que faz resultar um carregamento com características quase-estáticas. Os corpos-de-prova, em número mínimo de quatro, são ensaiados saturados. As dimensões dos corpos-de-prova sugeridas pela RILEM para os concretos variam em função da dimensão característica do agregado, Φmax. O entalhe central é usualmente serrado, com largura da ordem de 3mm. Determinação do comprimento característico Q O modelo proposto permite também a determinação de um comprimento característico do material, designado Q. Teoricamente, esse comprimento relaciona-se com a extensão da ZPI e é análogo ao comprimento característico, lch, definido por Hillerborg (1985), fundamentando-se, entretanto, nas relações de abertura da fissura efetiva. O comprimento característico é dado pela Equação 76:  E CTODC Q =  S K IC 

   

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Equação 76

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Para a pasta de cimento, Q varia entre 12.5 e 50 mm. Para as argamassas, entre 50 e 150mm. No caso dos concretos usuais, esse número está compreendido entre 150 e 350 mm.

7 Referências AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS. Standard Test Method for Plane-Strain Fracture Toughness of Metalic Materials. ASTM-E 399, Book of ASTM Standards, Philadelphia, USA: ASTM, 1990. BAZANT, Z.; OH, B.H. Crack band theory of concrete. Materials and Structures. v. 16, n. 93, p. 155-177, May/Jun.1983. BAZANT, Z. P, KAZEMI, M. T. Determination of fracture energy, process zone length and brittleness number from size effect, with application to rock and concrete. International Journal of Fracture. v. 44, n. 2, p. 111-131, Jul.1990. BROEK, D. Elementary Engineering Fracture Mechanics. Dordrech, The Netherlads: Martinus Nijhoff Publishers, 1986. CHEN, W. F.; HAN, D. J. Plasticity for Structural Engineer. New York, USA: SpringerVerlag, 1988. HILLERBORG, A., MODÉER, M., PETERSSON, P. E. Analysis of crack formation and crack growth in concrete by means of fracture mechanics and finite elements Cement and Concrete Research. v. 6, n. 6, p.773-782, Nov. 1976. HILLERBORG, A. The theoretical basis of a method to determine the fracture energy GF of concrete. Materials and Structures. v. 18, n. 4, p. 291-296, Jul. 1985. JENQ, Y. -S; SHAH, S. P. Two parameter fracture model for concrete. Journal of Engineering Mechanics. v. 111, n. 10, p. 1227-1241, Oct. 1985. KANNINEN, M. F.; POPELAR, C. H. Advanced Fracture Mechanics. New York, USA: Oxford University Press, 1985. KARIHALOO, B. L.; NALATHAMBI, P. An improved effective crack model for the determination of fracture toughness of concrete. Cement and Concrete Research. v. 19, n. 4, p. 603-610, Jul.1989. LEMAITRE, J. A course on damage mechanics. Germany: Springer-Verlag, 1996. LEMAITRE, J.; CHABOCHE, J. L. Mechanics of Solid Material. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2002. RILEM TECHNICAL COMMITTEE 50-FMC. Determination of fracture energy of mortar and concrete by means of three-point bend tests on notched beams. Draft recommendation. Materials and Structures. v. 18, n. 4, p. 287-290, Jul.1985. RILEM TECHNICAL COMMITTEE 89-FMT. Determination of fracture parameters (KSIC and CTODC) of plain concrete using three-point bend tests. Draft recommendation, Materials and Structures, v. 23, n. 138, p. 457-460, Nov. 1990. Livro Materiais de Construção Civil

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.

SHAH, S. P.; SWARTZ, S. E.; OUYANG, C. Fracture mechanics of concrete: applications of fracture mechanics to concrete, rock and other quasi-brittle materials. New York: John Wiley & Sons, 1995. UNGER, D. J. Analytical Fracture Mechanics. New York, USA: Dover Publications Inc, 1995.

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