Mecánica de fluidos II

ε/D


Re


f
(Moody)


hf
(Darcy)












f asumido


f real (Moody)


D
(D = C1 · f)


Re
(Re = C2/D)


ε/D












f asumido
(Moody)


f real
(Moody)


vm
(Darcy)


Re














María Gabriela Ruiz Hinojosa
Ingeniería Química
HB versus Q
Q (L/s)
HB (m)

HB versus Q
Q (L/s)
HB (m)

HB versus Q
Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

Q (L/s)
HB (m)

ε/D

Re

f
(Moody)

hf
(Darcy)
f asumido
(Moody)
vm
(Darcy)
Re
f real
(Moody)
f asumido
D
(D = C1 · f)
Re
(Re = C2/D)
ε/D
f real (Moody)


Para hacerlo más sencillo, se va a analizar a un fluido permanente y unidireccional. Entonces se toma un tubo de corriente, de cualquier forma, a partir de la formación de líneas de corriente.
Las ecuaciones básicas de flujo se originan a partir de:
Balance de Materia
Balance de Energía
Balance de la Cantidad de Movimiento
Balance de Materia
El flujo de materia o flujo másico es la cantidad de materia que atraviesa la sección. Se mantiene constante cuando en el sistema no hay generación, consumo o acumulación de masa. Viene dado por la siguiente expresión:
m=vAδ
m=msm2kgm3
m=kgs
Si la materia se conserva, se va a cumplir que:
m1=m2
v1A1δ1=v2A2δ2
12A2A1v1
δ1v2
δ212A2A1v1
δ1v2
δ2
1
2
A2
A1
v1
δ1
v2
δ2
1
2
A2
A1
v1
δ1
v2
δ2
Para generalizar:
vAδ=cte
A ésta se la conoce como Ecuación de Continuidad, aplicada cuando la velocidad es única en la sección transversal, es decir, cuando las partículas en toda la sección se mueven a la misma velocidad. Sin embargo, realmente la fricción y la viscosidad causan que las partículas adquieran velocidades diferentes.
Debido a que las partículas se mueven con diferente velocidad, y a que además la densidad del fluido cambia si hay una fuente de calor, se introduce el concepto de velocidad media (v), la cual es tomada para los cálculos en los que se emplea la ecuación de continuidad.
La velocidad media es una velocidad representativa, dada por la siguiente ecuación:
v=QA
Q=vA
Donde Q es el caudal o descarga. Ésta magnitud viene dada en unidades de volumen por unidad de tiempo, y se mantiene constante cuando se trata con un fluido incompresible.
Como las partículas no se mueven a la misma velocidad, el sistema debe ser analizado de manera diferente: diferencialmente. Como se ha procedido hasta el momento, se toma a un elemento de área.
dAvFlujodAvFlujo
dA
v
Flujo
dA
v
Flujo
Si v es la velocidad local o velocidad que tienen todas las partículas situadas sobre el elemento de área dA (OJO: sobre la línea que lo limita, y no sobre lo que está en el interior), entonces la ecuación diferencia es la siguiente:
dm=δvdA
m=A dm=A δvdA
Inicialmente se va a considerar que la densidad no varía, de manera que:
m=δA vdA
Es en este punto cuando se introduce el término de la velocidad representativa.
m=δvA
δA vdA=δvA
A vdA=vA
v=A vdAA
Si manipula matemáticamente a la ecuación: m=δvA, se tiene que:
mδ=vA
Por lo tanto para fluidos incompresibles, para los cuales la densidad es constante, se cumple la relación:
vA=v1A1=v2A2=Q=cte
Cuando el fluido es compresible, la relación vA ya no es constante. Para un fluido de este tipo, conforme avanza el gas a través de la tubería cambia su velocidad y su densidad, debido a una caída de presión. Sin embargo, siempre y cuando se haga pasar una misma masa, es decir, mientras no haya consumo, generación o acumulación de materia, se va a cumplir lo siguiente:
m=vδA=cte
mA=vδ
Sin embargo, para éstos el caudal no se mantiene constante:
Q=vA cte
A la relación mA se la conoce como Velocidad Másica o Densidad de Corriente o de Flujo (G). Esta magnitud viene dada en unidades de masa por unidad de área y unidad de tiempo, kg/m2s por ejemplo.
G=mA=vδ
Si el área es constante, la velocidad másica es una constante, independientemente de si la velocidad y la densidad varían. De ahí que cuando se trabaja con fluidos compresibles, y éstos se muevan, es muy conveniente trabajar en términos de velocidad másica.
Balance de Energía
En este caso, interesan las energías que acompañan al fluido y que son llevadas por él. De éstas, las más importantes son las energías mecánicas:
Energía Cinética
Energía Potencial
Energía Potencial de Presión
Energía Potencial de Posición
La energía potencial, en el caso de la mecánica de fluidos, debe ser tratada con más cuidado. Normalmente se trabaja con una energía referida a la posición, pero la presión también es considerada dentro de estos sistemas.

Capacidad/Habilidad de realizar trabajo en virtud de loa velocidad que adquiere una masa. Viene dada por la ecuación:
Ec=12mv2 J
Sin embargo, en el fluido las partículas no se mueven a la misma velocidad. Para resolver esto, se determina más bien un flujo de energía empleando la velocidad representativa del sistema. Por tanto, la ecuación a seguir sería la siguiente:
Ec=12mv2 Js
Por otro lado, el flujo másico viene dado por la expresión:
m=Wg m=Wg
Ec=12Wgv2
A veces conviene que la energía cinética sea específica, es decir, que venga dada por unidad de masa o de fuerza.
EcW=v22g
JsNs×1 Nm1 J=m2s2ms2
m=m
Al término v22g se lo conoce como Altura o Carga de Velocidad, precisamente porque dimensionalmente viene dado en metros. Sin embargo, el hecho de que se lo denomine "altura" no cambia su definición básica: energía cinética por unidad de peso que existe en un punto en particular. En la cinemática tradicional este producto representa a la altura desde la que se debe soltar a un sólido para que adquiera cierta velocidad v en un campo específico.

NIVEL DE REFERENCIAWzNIVEL DE REFERENCIAWzEnergía de un fluido en virtud de su posición. Para determinarla, se debe fijar un nivel de referencial.
NIVEL DE REFERENCIA
W
z
NIVEL DE REFERENCIA
W
z
La energía potencial de posición se adquiere en un campo de fuerza gravitacional y por eso su cuantificación exige la definición de un nivel de referencia.
EPosición=Wz kg*m
Esta ecuación puede ser convertida en un flujo de energía de posición, mediante la siguiente expresión:
EPosición=Wz kg*ms
EPosiciónW=z m
NIVEL DE REFERENCIAW-zNIVEL DE REFERENCIAW-zDe modo que z es la Altura de Posición o Altura de Elevación (aunque es preferible la primera denominación ya que la segunda es redundante). La altura de posición representa la energía de posición por unidad de peso y, por lo tanto, es proporcional a la masa de cualquier otro cuerpo, independientemente de cualquier otra consideración, por ejemplo, la presencia de un fluido entre la masa considerada y el nivel de referencia.
NIVEL DE REFERENCIA
W
-z
NIVEL DE REFERENCIA
W
-z
Una energía potencial de posición de valor negativo es normal, dependiendo del nivel de referencia seleccionado. Esto significa que habrá que darle energía a la molécula para que llegue a dicho nivel de referencia.
El peso de una sustancia es la fuerza másica que actúa sobre todos los elementos de la masa considerada debido a la presencia de un campo gravitacional. Este concepto es diferente al considerado para fuerza superficial.

Fuerzas superficiales generadas por el esfuerzo cortante, la tensión superficial o la presión, dan lugar a lo que se denomina Energía Potencial de Presión. Energía Potencial de Presión es la energía que se requiere para forzar al fluido a moverse cierta distancia en contra de la presión. Puede transmitirse a través de una masa fluida.
Si antes se consideraba que presión es la fuerza aplicada perpendicularmente en un área considerada, ahora se trata de algo más general. Para entenderlo mejor, se va a tomar a un sistema como el que se observa en la figura.
zhNR12γzhNR12γ
z
h
NR
1
2
γ
z
h
NR
1
2
γ
Si se toma como origen a la presión atmosférica:
P1=0
P2=γ h P2γ=h
Donde h se denomina Altura de Presión. En el gráfico se observa claramente que z equivale a h, para este caso.
De 1 a 2 la energía de posición se convierte en energía de presión. Esto ocasiona que, al abrir la válvula, salga el fluido.De 1 a 2 la energía de posición se convierte en energía de presión. Esto ocasiona que, al abrir la válvula, salga el fluido.Por lo tanto, la energía de posición en 1 se ha transformado en energía de presión en 2, es decir, hay una interconversión entre energía de posición y energía de presión. Es así que la presión en 2 será la causa por la cual, si se abre la llave, el fluido sale y fluye.
De 1 a 2 la energía de posición se convierte en energía de presión. Esto ocasiona que, al abrir la válvula, salga el fluido.
De 1 a 2 la energía de posición se convierte en energía de presión. Esto ocasiona que, al abrir la válvula, salga el fluido.
Ahora, si cierra un recipiente en el que se coloca un gas a presión, ¿qué sucede?
zhNR12γ PgzhNR12γ Pg
z
h
NR
1
2
γ

Pg
z
h
NR
1
2
γ

Pg
P2=Pg+γ h
P2γ=Pgγ+h
zhNR12γ -PgzhNR12γ -Pg
z
h
NR
1
2
γ

-Pg
z
h
NR
1
2
γ

-Pg
P2=-Pg+γ h
P2γ=-Pgγ+h
Esto demuestra lo que se dijo inicialmente, es decir, la presión se transmite a través de una masa fluido. Notar que los niveles h y z no han variado nada. Es así como se dispone de una presión mucho mayor con la que se lograría que el fluido fluya más rápido.
Por otro lado, para ver más claramente que la Atura de presión es la energía potencial de presión por unidad de peso, se acudirá a un pistón.
P12Posición del pistón al inicio (1) y al final (2)Pistón con rodillos que se expandenSm2LP12Posición del pistón al inicio (1) y al final (2)Pistón con rodillos que se expandenSm2L
P
1
2
Posición del pistón al inicio (1) y al final (2)
Pistón con rodillos que se expanden
Sm2
L
P
1
2
Posición del pistón al inicio (1) y al final (2)
Pistón con rodillos que se expanden
Sm2
L
Es el sistema presentado, la presión del fluido ejerce una fuerza normal sobre la superficie del pistón. Considerando que energía es la capacidad de hacer un trabajo, y que trabajo es fuerza por distancia:
E=T=F L
Energía de presión
E=P S L
E=P S L
Por su parte, masa se define como el producto de la densidad por el volumen, mientras que peso es más bien el producto del peso específico por el volumen. Así, se tiene:
W=V γ
W=S L γ
S L=Wγ
E=P Wγ=PWγ
Esta ecuación, expresada como flujo calórico, queda:
E=PWγ
EW=Pγ
Donde el término Pγ se conoce como Altura de presión.
Finalmente, un fluido que esté moviéndose tiene una altura total en cada punto en el que se lo analice, que resulta de la sumatoria de todas las alturas que puede presentar, es decir, de la altura de presión más la altura de velocidad más la altura de posición.
HT=Pγ+v22g+z
La altura total resulta también del cociente de la energía total del fluido en un punto específico, dado por la suma de las energías mecánicas explicadas anteriormente, para el peso del mismo.
ETW=Pγ+v22g+z
EPresión+EPosición+EcW=Pγ+v22g+z
Por otro lado, cuando los fluidos se mueven no existe mayor variación de la energía interna.
NRhAzAh1z1A1NRhAzAh1z1A1
NR
hA
zA
h1
z1
A
1
NR
hA
zA
h1
z1
A
1
El punto A es un punto representativo. Las energías de presión y de posición se analizan en el eje de la tubería, siendo la velocidad representativa la velocidad media.
EAW=PAγ+vA22g+zA
123123Por otro lado, si se desea estudiar al punto 1, se analizará a todo el "chorro" de fluido que abarca a ese punto. La posición representativa es el eje, y por lo tanto la presión que marca el manómetro, dada por la altura del fluido en el tubo acoplado (pues se trata de un piezómetro), es la presión del punto 1 y del punto 2 y de los "n" puntos que se hallan sobre la recta de acción del manómetro. Si bien, para determinar la presión específica en cada punto se debería considerar la altura de cada uno de los puntos respecto al nivel superior del líquido en el piezómetro, cada uno de los puntos tendrían una presión diferente y el análisis se complicaría enormemente. Por eso, se toma algo representativo.
1
2
3
1
2
3
El compromiso en realidad es medir la presión en el eje de la tubería, para trabajar con presiones y velocidades representativas.

En el caso de los fluidos el balance de energía es especial ya que aparecen sólo los términos de energía mecánica.
Dentro de este contexto, para cualquier análisis se fija un nivel de referencia y se toma un pequeño tubo de corriente. Para el análisis que se realizará a continuación este tubo de corriente corresponderá a un flujo estacionario, potencial y no viscoso (para que no haya fricción ni pérdidas).
NRz+dzzPdAP+dPdAdAθWvFlujov+dvdlLa energía de presión origina fuerzas sobre las respectivas carasLongitud del elementoLas fuerzas originadas por la superficie deben dirigirse hacia el cuerpo, NO salir de él.NRz+dzzPdAP+dPdAdAθWvFlujov+dvdlLa energía de presión origina fuerzas sobre las respectivas carasLongitud del elementoLas fuerzas originadas por la superficie deben dirigirse hacia el cuerpo, NO salir de él.
NR
z+dz
z
PdA
P+dPdA
dA
θ
W
v
Flujo
v+dv
dl
La energía de presión origina fuerzas sobre las respectivas caras
Longitud del elemento
Las fuerzas originadas por la superficie deben dirigirse hacia el cuerpo, NO salir de él.
NR
z+dz
z
PdA
P+dPdA
dA
θ
W
v
Flujo
v+dv
dl
La energía de presión origina fuerzas sobre las respectivas caras
Longitud del elemento
Las fuerzas originadas por la superficie deben dirigirse hacia el cuerpo, NO salir de él.
Según la segunda ley de Newton, se tiene que:
FExt=ma
Sean:
vP A la entrada del elementov+dvP+dP A la salida del elemento
Además es conveniente introducir en el sistema un intervalo de tiempo dt, de modo que dt es el tiempo que el elemento recorre su propia longitud.
Sean fuerzas positivas las que aparecen en el sentido del flujo se tiene:
WP+dPdAPdAθθFlujoWP+dPdAPdAθθFlujo
W
P+dPdA
PdA
θ
θ
Flujo
W
P+dPdA
PdA
θ
θ
Flujo
θNRz+dzzdldzθNRz+dzzdldz
θ
NR
z+dz
z
dl
dz
θ
NR
z+dz
z
dl
dz
-P+dPdA+PdA-Wsinθ=dm a
Siendo dm la masa del elemento.
-PdA-dPdA+PdA-Wsinθ=dm a
-dPdA-Wsinθ=dm a
Se puede creer que la densidad del fluido varía de punto a punto, sobre todo si se recuerda que la presión varía en el sentido vertical. En ese caso, se va a considerar más bien un valor medio de la densidad (δ) para el análisis. Por lo tanto:
dm=δV
V=dA dl
dm=δ dA dl
W=dm g
W=δ g dA dl
Por otro lado, de la definición de aceleración se tiene:
a=dvdt
-dPdA-δ g dA dlsinθ=δ dA dl dvdt
-dP-δ g dlsinθ=δ dl dvdt
Por lo tanto desaparece de la ecuación el término correspondiente a la sección transversal. Esto significa que el balance pudo hacerse para una línea de corriente (trayectoria de una partícula del fluido) de un flujo estacionario, potencial y no viscoso.
-dPδdl-gsinθ=dvdt
sinθ=dzdl
-dPδdl-gdzdl=dvdt
-dPδdl-gdzdl=dvdl×dldt
-dPδdl-gdzdl=dvdl×v
Dado que el término dl se simplifica, el balance es puntual, es decir, independiente de la longitud del elemento. Por lo tanto, desaparece la el "miedo" a que la densidad del fluido varíe de punto a punto.
De modo que se puede considerar a la densidad δ como una densidad normal δ.
-dPδ-gdz=vdv
dPδ+gdz+vdv=0
Ecuación Diferencial de Euler
Esta ecuación se puede aplicar para cualquier caso, siempre y cuando se trate de un flujo estacionario, potencial y no viscoso. Como la expresión corresponde a una ecuación diferencial, se la puede integrar fácilmente entre dos puntos.
Fluidos Incompresibles / Gases a bajas presiones
FluidoIncompresible δ=cteγ=cte
dPδ+gdz+vdv=0
δ=cte g=cte
1δP1P2dP+gz1z2dz+v1v2vdv=0
1δP2-P1+gz2-z1+12v22-v12=0
P2δ-P1δ+gz2-gz1+v222-v122=0
P2δ+gz2+v222=P1δ+gz1+v122
Generalizando, se puede llegar a una ecuación para fluidos INCOMPRESIBLES:
Pδ+gz+v22=cte m2s2
Primera ecuación de Bernoulli
A esta expresión, aplicable sólo cuando los fluidos son incompresibles, se le puede hacer cualquier arreglo. Por ejemplo, considerando que la densidad es constante:
Pδ+gz+v22=cte ×δ
P+δgγz+12δv2=cte×δConstante
P+γz+12δv2=cte Pa
Segunda ecuación de Bernoulli
P+γz+12γgv2=cte
P+γz+12γgv2=cte ÷ γ
Pγ+z+v22g=cteγConstante
Pγ+z+v22g=cte m
Tercera ecuación de Bernoulli
Dado que los términos Pγ, z y v22g corresponden a la altura de presión, la altura de posición y la altura de velocidad respectivamente, se puede ver que la suma de las alturas se conserva en ausencia de fricción. De ahí que en cualquier punto se puede encontrar el contenido energético del fluido.
Cualquiera de las ecuaciones antes enunciadas se puede aplicar a gases, que normalmente son fluidos compresibles, bajo condiciones establecidas.
Ejercicio
En el sistema que se muestra a continuación se tiene un tubo de 3 cm por el que sale agua a la atmósfera. Determinar la presión que marcará el manómetro A y el caudal del fluido en el tubo.
Agua123A3,2 mNR1,1 m3 cmAgua123A3,2 mNR1,1 m3 cmPunto 1 – 2:
Agua
1
2
3
A
3,2 m
NR
1,1 m
3 cm
Agua
1
2
3
A
3,2 m
NR
1,1 m
3 cm
Pγ+z+v22g=cte
P1γ+z1+v122g=P2γ+z2+v222g
Se va a trabajar con presiones relativas, que son las presiones que marca un manómetro.
Dado que en el punto 1 el fluido está en reposo, la velocidad v1 presentará un valor de cero.
09800Nm3+3,2+1,1m+0229,8ms2=P29800Nm3+1,1 m+v2229,8ms2
3,2 m=P29800Nm3+v2229,8ms2
Ecuación (1)
Punto 2 – 3:
Pγ+z+v22g=cte
P2γ+z2+v222g=P3γ+z3+v322g
P29800Nm3+1,1 m+v2229,8ms2=09800Nm3+0+v3229,8ms2
P29800Nm3+1,1 m+v2229,8ms2=v3229,8ms2
Se recordará que el caudal es constante para fluidos incompresibles. Como en este caso el diámetro de la tubería también es constante, y con él el área de transferencia, entonces se puede afirmar que:
v2=v3
P29800Nm3+1,1 m+v2229,8ms2=v3229,8ms2
P29800Nm3+1,1 m=0
P2=-1,1 m×9800Nm3
P2=-10780Nm2
P2=-10780 Pa
Se ha obtenido una presión negativa porque la energía de posición del punto 2 debe compensar a la energía de la altura entre los puntos 2 y 3, a fin de que en el punto 3 la energía cinética del fluido sea 0. De hecho, sí se puede ir de una presión menor a otra mayor si el punto de la primera está más alto.
Reemplazando el valor de P2 en la ecuación (1), se tiene:
3,2 m=-10780Nm29800Nm3+v2229,8ms2
v22=84,48m2s2
v2=9,1804ms
Q=vA=v2A2
Q=v2π× 22
Q=9,1804msπ×3 cm2×1 m100 cm2
Q=0,0065m3s
Se ha comprobado que en un fluido incompresible, siempre y cuando haya ausencia de fricción (fluido no viscoso), se mantiene el flujo energético.
Para visualizar el balance entre los puntos 2 y 3, y entender la justificación por la cual la presión puede ser negativa:
P2γ+z2+v222g=P3γ+z3+v322g
v2=v3
P2γ+z2+v222g=0γ+0+v322g
P2γ+z2=0
P2γ=-z2
En el sistema que se muestra a continuación, ¿qué presión marcará el manómetro B?
Como el fluido que se trata en este ejercicio es agua, un líquido incompresible, se puede aplicar la ecuación de Bernoulli y llevar a cabo el balance entre dos puntos.
Punto 1 – 2:
Pγ+z+v22g=cte
126,2 psi2 cm0,3 L/s
Agua5 cm12''ABNR126,2 psi2 cm0,3 L/s
Agua5 cm12''ABNR
1
2
6,2 psi
2 cm
0,3 L/s
Agua
5 cm
12''
A
B
NR
1
2
6,2 psi
2 cm
0,3 L/s
Agua
5 cm
12''
A
B
NR
P1γ+z1+v122g=P2γ+z2+v222g
Para poder aplicar esta ecuación es necesario conocer los valores de v1 y v2. Para esto se empleará el valor del caudal que, por tratarse de un fluido incompresible, es constante.
Q=vA=v1A1=v2A2
Q=v2π 222
0,3Ls×1 m31000 L=v2π2 cm2×1 m100 cm2
v2=0,955ms
Radio y diámetro no son lo mismoRadio y diámetro no son lo mismov1A1=v2A2
Radio y diámetro no son lo mismo
Radio y diámetro no son lo mismo
v1π 122=v2π 222
v1=v2 22 12
v1=v2 2 12
v1=0,955ms2 cm5 cm2
v1=0,1528ms
P19800Nm3+12 in×2,54 cm1 in×1 m100 cm+0,1528ms229,8ms2=6,2 psi×1 atm14,7 psi×1,013×105Pa1 atm9800Nm3×1 Pa1Nm2+0+0,955ms229,8ms2
P1=40064,8032Nm3×m×1 Pa1Nm2
P1=40064,8032 Pa
P1=5,814 psi
Repetir el ejercicio anterior considerando que la altura del tubo es 12' (12 pies) y no 12'' (12 pulgadas/12 in).
Número con una prima (') Pie
Número con dos primas ('') PulgadaNúmero con una prima (') Pie
Número con dos primas ('') Pulgada126,2 psi2 cm0,3 L/s
Agua5 cm12'ABNR126,2 psi2 cm0,3 L/s
Agua5 cm12'ABNR
Número con una prima (') Pie
Número con dos primas ('') Pulgada
Número con una prima (') Pie
Número con dos primas ('') Pulgada
1
2
6,2 psi
2 cm
0,3 L/s
Agua
5 cm
12'
A
B
NR
1
2
6,2 psi
2 cm
0,3 L/s
Agua
5 cm
12'
A
B
NR
Q=vA=v1A1=v2A2
Q=v2π 222
0,3Ls×1 m31000 L=v2π2 cm2×1 m100 cm2
v2=0,955ms
v1A1=v2A2
v1π 122=v2π 222
v1=v2 22 12
v1=v2 2 12
v1=0,955ms2 cm5 cm2
v1=0,1528ms
Pγ+z+v22g=cte
P1γ+z1+v122g=P2γ+z2+v222g
P19800Nm3+12 ft×30,48 cm1 in×1 m100 cm+0,1528ms229,8ms2=6,2 psi×1 atm14,7 psi×1,013×105Pa1 atm9800Nm3×1 Pa1Nm2+0+0,955ms229,8ms2
P1=7324,96Nm3×m×1 Pa1Nm2
P1=7324,96 Pa
P1=1,063 psi
Fluidos Compresibles
Los fluidos compresibles se caracterizan porque su densidad no es constante, y más bien ésta propiedad depende de la presión y la temperatura a las que el fluido se encuentra expuesto.
δ cte
δ=fP,T
Si bien no se puede analizar un fluido compresible con la ecuación de Bernoulli, sí es posible aplicar al sistema la ecuación de Euler siempre y cuando se haya encontrado la expresión que relaciona matemáticamente a la densidad con la presión y la temperatura.
dPδ+gdz+vdv=0
Fluido Compresible (Gases o Vapores)
Flujo Isotérmico (Temperatura constante)
δ=PRg g T
1δ=Rg g TP
dPδ+gdz+vdv=0
Rg g TdPP+gdz+vdv=0
T=cte g=cte
Rg g TP1P2dPP+gz1z2dz+v1v2vdv=0
Rg g T lnP2-lnP1+gz2-z1+12v22-v12=0
Rg g T lnP2-Rg g T lnP1+g z2-g z1+v222-v122=0
Rg g T lnP2+g z2+v222=Rg g T lnP1+g z1+v122
Rg g T lnP+g z+v22=cte
δ=PRg g T Rg g T=Pδ
PδlnP+g z+v22=cte
δg=γ δ=γg
PγglnP+g z+v22=cte
PγlnPg+g z+v22=cte
PγlnP+z+v22g=cte
Como para un flujo isotérmico la temperatura es constante, también se cumple que:
Rg g T=cte
Pδ=ctePγ=cte
Es importante resaltar que para resolver la ecuación diferencial de Euler se empleó la ecuación general de los gases ideales, que es una expresión que sólo trabaja con variables absolutas, es decir, presión y temperatura absolutas. Por lo tanto, para las relaciones obtenidas finalmente SE DEBE TRABAJAR CON PRESIONES ABSOLUTAS.
Ejercicios
En la tubería horizontal, cuál es la velocidad del flujo en el punto B si la temperatura del proceso es 20 .
2''AB1 m3/s
Nitrógeno (N2)0 , 1 atm7,8 psi3,6 psi2''AB1 m3/s
Nitrógeno (N2)0 , 1 atm7,8 psi3,6 psi
2''
A
B
1 m3/s
Nitrógeno (N2)
0 , 1 atm
7,8 psi
3,6 psi
2''
A
B
1 m3/s
Nitrógeno (N2)
0 , 1 atm
7,8 psi
3,6 psi
Nitrógeno a 0 y 1 atm Gas (Fluido Compresible)
Hay que tener en cuento todo lo que implica que el fluido no sea compresible. Por ejemplo, el caudal ya no será constante, pero el flujo másico sí, pues la materia no desaparecerá mágicamente. Por eso, se comenzará calculando el flujo másico.
m=δ V
m=δ V
En este caso, el dato de 1 m3/s corresponde al flujo volumétrico del gas que se midió a las condiciones dadas y no el caudal a la entrada. De hecho los datos de presión y temperatura a la entrada del sistema sólo sirven para determinar la cantidad de materia que ingresa al sistema, y no para aplicarlos en la ecuación integrada de Euler.
δ=PPMRT=1 atm28kgkgmol0,0821m3atmkgmol°K273°K
δ=1,249kgm3
m=δ V
m=1,249kgm31m3s
m=1,249kgs
Para calcular el flujo másico es correcto utilizar, para la densidad, la temperatura a la que se midió el flujo volumétrico del gas.Para calcular el flujo másico es correcto utilizar, para la densidad, la temperatura a la que se midió el flujo volumétrico del gas.El flujo másico a su vez viene dado por la siguiente ecuación:
Para calcular el flujo másico es correcto utilizar, para la densidad, la temperatura a la que se midió el flujo volumétrico del gas.
Para calcular el flujo másico es correcto utilizar, para la densidad, la temperatura a la que se midió el flujo volumétrico del gas.
m=G A
G=δ v
m=δvA
Como el flujo másico es constante, entonces se cumplirá la relación:
m=δvA=cte
m=δAvAAA=δBvBAB
Con la peculiaridad de que estas densidades se deben calcular a la temperatura del sistema en el punto respectivo, los puntos A y B en este caso. Como el flujo es isotérmico, δA y δB se determinarán para la temperatura del proceso, que es 20 , mas no para la temperatura de 0 , que corresponde a la temperatura a la que se midió el flujo volumétrico del gas y que sirvió ÚNICAMENTE para hallar el valor del flujo másico.
Punto A:
PA=7,8 psi×1 atm14,7 psi+1 atmLa presión DEBEser absoluta
PA=1,5306 atm
δA=PAPMRT=1,5306 atm28kgkgmol0,0821m3atmkgmol°K20+273°K
δA=1,7816kgm3
m=δAvAAA=δAvAπ A22
1,249kgs=1,7816kgm3vAπ2 in2×2,54 cm1 in×1 m100 cm2
vA=345,886ms
Punto B:
PB=3,6 psi×1 atm14,7 psi+1 atmLa presión DEBEser absoluta
PB=1,2449 atm
δB=PBPMRT=1,2449 atm28kgkgmol0,0821m3atmkgmol°K20+273°K
δB=1,449kgm3
m=δBvBAB=δBvBπ B22
1,249kgs=1,449kgm3vBπ2 in2×2,54 cm1 in×1 m100 cm2
vB=425,2687ms
Esta ecuación trabaja con presiones ABSOLUTAS.Esta ecuación trabaja con presiones ABSOLUTAS.Y aunque se ha llegado hasta la respuesta, hasta el momento no se ha aplicado la ecuación correspondiente al balance de energía. Por eso, se va a emplear esta ecuación para comprobar los resultados obtenidos.
Esta ecuación trabaja con presiones ABSOLUTAS.
Esta ecuación trabaja con presiones ABSOLUTAS.
PγlnP+z+v22g=cte
PAγAlnPA+zA+vA22g=PBγBlnPB+zB+vB22g
Como el ejercicio solicita la velocidad en el punto B, ésta será la incógnita en la ecuación.
1,5306 atm1,7816kg*m3×9,8 N1 kg*×1 Pa1Nm2×1 atm1,013×105Paln1,5306 atm+345,886ms229,8ms2=1,2449 atm1,449kg*m3×9,8 N1 kg*×1 Pa1Nm2×1 atm1,013×105Paln1,2449 atm+vB229,8ms2
vB2=155596,78m2s2
vB=394,46ms
Así el valor de velocidad en el punto B, hallado a partir de caminos distintos, también resultó distinto.
Como se dijo anteriormente, la materia no va a perderse mágicamente. Por lo tanto, la ecuación 100% confiable es la que mantiene el flujo másico constante, es decir:
m=δAvAAA=δBvBAB
vB=425,2687ms
Sin embargo, la otra ecuación, que se basa en la conservación de la energía, también es completamente válida. Lo que sucede es que como se tomaron valores arbitrarios para plantear el ejercicio, datos como la presión que marca el manómetro B son inconsistentes con el ejercicio.
Para tener una consistencia, se calculará la presión que debe marcar el manómetro B.
PAγAlnPA+zA+vA22g=PBγBlnPB+zB+vB22g
Ahora la incógnita es PB. Sin embargo, es importante considerar que δB depende del valor de PB y, por tanto, vB (m=δBvBAB) también está influencia por PB. Es así que el resultado obtenido anteriormente, es decir 396,24ms, no es correcto.
δB=PBPMRT
m=δBvBAB
vB=mδBAB
vB=mPBPMRTAB
vB=mRTPBABPM
PAγAlnPA+zA+vA22g=PBγBlnPB+zB+vB22g
PAδAglnPA+vA22g=PBPBPMRTglnPB+mRTPBABPM22g
PAδAlnPA+vA22=RTPMlnPB+12mRTPBABPM2
1,5306 atm×1,013×105Pa1 atm1,7816kgm3ln1,5306 atm+345,886ms22=0,0821m3atmkgmol°K20+273°K×1,013×105Pa1 atm28kgkgmollnPB+121,249kgs0,0821m3atmkgmol°K20+273°KPBπ2 in2×2,54 cm1 in×1 m100 cm228kgkgmol2
96863,051=87028,639lnPB+140141,1773PB2
Resolviendo esta ecuación se obtiene que:
PB=2,14412 atm PB=1,53064 atmPB=30,8753 psi PB=22,5004 psiPB=16,17 psig PB=7,8 psig
Como la presión que marca el primer manómetro (A) es de 7,8 psi, entonces la presión que marca el manómetro B es 14,44 psi.
vB=mRTPBABPM
vB=1,249kgs0,0821m3atmkgmol°K20+273°K2,14412 atmπ2 in2×2,54 cm1 in×1 m100 cm228kgkgmol
vB=246,92ms
La presión debe disminuir, pues caso contrario no habría flujo. Recordar que la transferencia de momentum se da de un punto de mayor presión a otro de menor presión.La presión debe disminuir, pues caso contrario no habría flujo. Recordar que la transferencia de momentum se da de un punto de mayor presión a otro de menor presión.Pese a que se ha llegado a un resultado se sabe que la presión DEBE disminuir, ya que si no cae la presión ¿cómo se establece el flujo?
La presión debe disminuir, pues caso contrario no habría flujo. Recordar que la transferencia de momentum se da de un punto de mayor presión a otro de menor presión.
La presión debe disminuir, pues caso contrario no habría flujo. Recordar que la transferencia de momentum se da de un punto de mayor presión a otro de menor presión.
Lo lógico es que baje la presión, baje la densidad y aumente la velocidad del flujo.
Para un proyecto de descomposición bioquímica de pasto se necesita oxigenar un recipiente profundo de fermentación introduciendo 5 L/s de aire a 2 atm absolutas en el fondo. Se obtiene este aire desde un compresor que lo envía por una tubería de 10 cm de diámetro y se encuentra a 16 m más abajo del fermentador. Se considera el flujo isotérmico a 18°C. Si la instalación está en Quito:
¿Qué presión se requiere?
¿Qué cantidad de aire se toma de la atmósfera?
Alimentación
Pasto + Vitaminas
+ MineralesProducto + Insectos (Proteínas) + Azúcares+ Otros residuos12Aire atmosférico
18 291°K =10 cm2 atmabs
5 L/s16 cmAlimentación
Pasto + Vitaminas
+ MineralesProducto + Insectos (Proteínas) + Azúcares+ Otros residuos12Aire atmosférico
18 291°K =10 cm2 atmabs
5 L/s16 cm
Alimentación
Pasto + Vitaminas
+ Minerales
Producto + Insectos (Proteínas) + Azúcares+ Otros residuos
1
2
Aire atmosférico
18 291°K
=10 cm
2 atmabs
5 L/s
16 cm
Alimentación
Pasto + Vitaminas
+ Minerales
Producto + Insectos (Proteínas) + Azúcares+ Otros residuos
1
2
Aire atmosférico
18 291°K
=10 cm
2 atmabs
5 L/s
16 cm
PγlnP+z+v22g=cte
P1γ1lnP1+z1+v122g=P2γ2lnP2+z2+v222g
δi=PiPMRT
δ1=P1PMRTγ1=P1PMgRT
δ2=P2PMRTγ2=P2PMgRT
m=δiviA vi=mδiA
vi=mPiPMRTπ4 2=4π 2mRTPM1Pi
m=Qiδi=Q2δ2
m=Q2P2PMRT Q2P2=mRTPM
vi=4Q2π 2P2Pi
v1=4Q2π 2P2P1v2=4Q2π 2
P1P1PMgRTlnP1+z1+4Q2π 2P2P122g=P2P2PMgRTlnP2+z2+4Q2π 222g
RTPMlnP1+z1g+8Q22π2 4P2P12=RTPMlnP2+z2g+8Q22π2 4
8Q22π2 4P2P12-1=RTPMlnP2P1+z2-z1g
85Ls×1 m31000 L2π20,1 m4P2P12-1=16 m9,8ms2+0,0821m3atmkgmol°K291°K×1,013×105Pa1 atm28,84kgkgmollnP2P1
0,20264237P2P12-1=156,8+83917,07455lnP2P1
P2P1=0,9981 P2P1=1759,3534
P2=2 atm
P1=2,0037 atm P1=0,001137 atm
v1=4Q2π 2P2P1=45Ls×1 m31000 Lπ0,1 m20,9981
v1=0,635ms
Q1=v1A=0,635msπ40,1 m2×1000 L1 m3
Q1=4,99Ls
m=Qiδi=QiPiPMRT
mRTPM=QiPi=cte
Q1P1=Q0P0 Q0=Q1P1P0
Q0=4,99Ls2,0037 atm0,72 atm
Q0=13,89Ls
Fluido Compresible (Gases o Vapores)
Flujo Adiabático
Como ya se demostró en termodinámica, para un flujo adiabático se cumple la relación:
Pδk=cte P1δ1k=P2δ2k=P3δ3k=…
TP1-kk=cte T1P11-kk=T2P21-kk=T3P31-kk=…
Donde k es el coeficiente adiabático, que a su vez está dado por:
k=CpCv
Empleando estas definiciones en la ecuación diferencial de Euler se tiene:
dPδ+gdz+vdv=0
Pδk=cte δ=P1/kcte1/k
dPP1/kcte1/k+gdz+vdv=0
cte1/kP1P2dPP1/k+gz1z2dz+v1v2vdv=0
cte1/kP1-1k1-1kP1P2+gzz1z2+12v2=0
cte1/k1-1kP21-1/k-P11-1/k+gz2-z1+12v22-v12=0
cte1/k1-1kP2P2-1/k-P1P1-1/k+gz2-z1+12v22-v12=0
cte1/k1-1kP2P21/k-P1P11/k+gz2-z1+12v22-v12=0
1k-1kP2cte1/kP21/k-P1cte1/kP11/k+gz2-z1+12v22-v12=0
kk-1P2P21/kcte1/k-P1P11/kcte1/k+gz2-z1+12v22-v12=0
δ=P1/kcte1/k
kk-1P2δ2-P1δ1+gz2-z1+12v22-v12=0
kk-1P1δ1+gz1+v122=kk-1P2δ2+gz2+v222
kk-1Pδ+gz+v22=cte
kk-1Pδ g+z+v22g=cte
kk-1Pγ+z+v22g=cte


Resolver el ejercicio anterior, considerando que el flujo es adiabático y que la temperatura en el punto A es 20 .
2''AB1 m3/s
Nitrógeno (N2)0 , 1 atm7,8 psi?20 2''AB1 m3/s
Nitrógeno (N2)0 , 1 atm7,8 psi?20
2''
A
B
1 m3/s
Nitrógeno (N2)
0 , 1 atm
7,8 psi
?
20
2''
A
B
1 m3/s
Nitrógeno (N2)
0 , 1 atm
7,8 psi
?
20
El flujo másico se puede calcular de la misma manera que en la sección anterior, y de hecho debe salir el mismo resultado.
δ=PPMRT=1 atm28kgkgmol0,0821m3atmkgmol°K273°K
δ=1,249kgm3
m=δ V
m=1,249kgm31m3s
m=1,249kgs
Disponiendo del flujo másico, se puede calcular la velocidad del flujo en el punto A. En el punto B no puede hacerse lo mismo ya que no se conoce ni la presión ni la temperatura del mismo.
PA=7,8 psi×1 atm14,7 psi+1 atmLa presión DEBEser absoluta
PA=1,5306 atm
δA=PAPMRTA=1,5306 atm28kgkgmol0,0821m3atmkgmol°K20+273°K
δA=1,7816kgm3
m=δAvAAA=δAvAπ A22
1,249kgs=1,7816kgm3vAπ2 in2×2,54 cm1 in×1 m100 cm2
vA=345,886ms
Entonces, se aplica la ecuación de la continuidad para este tipo de sistema:
kk-1Pγ+z+v22g=cte
kk-1PAγA+zA+vA22g=kk-1PBγB+zB+vB22g
kk-1PAg δA+vA22g=kk-1PBg δB+vB22g
kk-1PAδA+vA22=kk-1PBδB+vB22
m=δBvBAB=PBPMRTBvBAB
vB=mRTBPBABPM
kk-1PAδA+vA22=kk-1PBPBPMRTB+mRTBPBABPM22
TP1-kk=cte TAPA1-kk=TBPB1-kk
TB=TAPAPB1-kk
kk-1PAδA+vA22=kk-1RTAPMPAPB1-kk+mRTAPBABPMPAPB1-kk22
Dado que k está definida como la relación entre Cp y Cv, valores que a su vez dependen de la temperatura, entonces será necesario trabajar con iteraciones pues la temperatura del punto B es desconocida, así como la presión, la densidad y la velocidad de este punto. Sin embargo, se puede trabajar con los valores característicos de gases de acuerdo a si son monoatómicos, diatómicos o poliatómicos. Para el caso del nitrógeno, que es un gas diatómico, el coeficiente adiabático es 7/5 (1,4).
1,41,4-11,5306 atm×1,013×105Pa1 atm1,7816kgm3+345,886ms22=1,41,4-10,0821m3atmkgmol°K20+273°K×1,013×105Pa1 atm28kgkgmol1,5306 atmPB1-1,41,4+1,249kgs0,0821m3atmkgmol°K20+273°KPBπ2 in2×2,54 cm1 in×1 m100 cm228kgkgmol1,5306 atmPB1-1,41,422
364417,9282=269719,6607PB2/7 +109883PB10/7
Resolviendo esta ecuación se obtiene que:
PB=1,4985 atm PB=1,5305 atmPB=22,028 psi PB=22,5 psiPB=7,328 psig PB=7,8 psig
Como la presión necesariamente debe disminuir, la presión que marca el manómetro B es 7,33 psi.
TB=TAPAPB1-kk
TB=20+273°K1,5306 atm1,4985 atm1-1,41,4
TB=291,23°K
TB=18,23
Como la temperatura de B tiene un valor muy cercano al de A, la variación de temperatura es muy pequeña. De ahí que no fue del toro erróneo tomar un k representativo.
δB=PBPMRTB
δB=1,4985 atm28kgkgmol0,0821m3atmkgmol°K291,23°K
δB=1,755kgm3
m=vBδBAB vB=mδBAB
vB=1,249kgs1,755kgm3π2 in2×2,54 cm1 in×1 m100 cm2
vB=351,168ms
La forma de trabajo con la que se han resuelto los problemas hasta el momento se ha desarrollado en ausencia de pérdidas. Sin embargo, en la realidad esto no sucede, por lo que hay que corregir las ecuaciones planteadas para que se contemplen todos los aspectos.
Corrección de la ecuación de Bernoulli
El momento en el que se dedujo la ecuación de Bernoulli no se consideró si la línea de corriente era curva o no, y más bien se la tomó como una línea recta, llegándose a la relación:
Pδ+gz+v22=cte
Donde se evidencia el carácter escalar con el que se está tratando a la velocidad v. Sin embargo, se puede hacer una ampliación de esta ecuación a fin de comenzar a tomar en cuenta el carácter vectorial del fenómeno.
vdAvdA
v
dA
v
dA
Hasta el momento se consideraba que, cuando un fluido viaja a través de una tubería, éste tiene la misma velocidad representativa en todos los puntos. Sin embargo, realmente no ocurre eso, pues cada partícula que lo conforma tiene una velocidad determinada, siendo las partículas del centro las de mayor velocidad.
Para resolver este problema se tomará un elemento de área, como el que se muestra en la figura, por el que pasa una pequeña porción de fluido de velocidad v.
No hay restricción alguna para que cumpla lo siguiente:
dm=δ v dA
dm=δ v dA
Como la ecuación de Bernoulli se utiliza únicamente para fluidos incompresibles (δ=cte) entonces tranquilamente se puede sacar a la densidad de la integral y tener lo siguiente:
dm=δv dA
m=δv dA
v=v dAA
v dA=v A
m=δ v A
No se puede ignorar que los distintos puntos del fluido se mueven a diferentes velocidades, además de su efecto en el contenido energético del sistema, sobre la energía cinética específicamente. Por lo tanto, también se debería considerar la variación de la energía cinética a lo largo del flujo.
Ec=12mv2
dEc=12v2dm
dEc=12v2dm
dEc=12v2 δ v dA
dEc=v32 δ dA
dEc=v32 δ dA
Ec=δ2v3 dA
EcW=δ2Wv3 dA
EcW=δ2mgv3 dA
EcW=δ2δ v Agv3 dA
EcW=v3 dA2g v A
Así, en ningún momento el verdadero contenido energético del fluido será:
EcW=v22g
Aunque si se deseara emplear esta ecuación de todos modos, se debería introducir un factor correccional conocido como factor de corrección de la energía cinética (α), obteniéndose lo siguiente:
EcW=αv22g
Si esto es cierto, se debe cumplir la igualdad:
αv22g=v3 dA2g v A
α=v3 dAv2 v A
α=v3 dAv3 A
Así, se llegó a determinar la expresión que permite calcular el factor de corrección de la energía cinética, gracias al cual se puede aplicar tranquilamente la siguiente igualdad:
Pδ+gz+αv22=cte
RevmaxvRRevmaxvREn un tubo se tiene una distribución lineal de velocidades. Hallar el valor del factor de corrección de la energía cinética.
Re
vmax
v
R
Re
vmax
v
R
En el ejemplo se tiene un perfil de velocidades lineal, que va desde cero (pues la parte del fluido pegada a la tubería tiene una velocidad igual a cero) hasta una velocidad máximo, que se halla en el centro de la tubería.
RvRe-Revmax12RvRe-Revmax12
R
v
Re
-Re
vmax
1
2
R
v
Re
-Re
vmax
1
2
α=v3 dAv3 A
Para poder resolver esta integral se debe hallar la ecuación que relaciona al área con la velocidad. Para esto, se determinará la ecuación de las rectas de los tramos 1 y 2.
y-y1=y2-y1x2-x1x-x1
R-R1=R2-R1v2-v1v-v1
TRAMO 1:
R-Re=0-Revmax-0v-0
R-Re=-Revmaxv
v=vmaxReRe-R
Se puede integrar respecto a cualquiera de los dos tramosSe puede integrar respecto a cualquiera de los dos tramosTRAMO 2:
Se puede integrar respecto a cualquiera de los dos tramos
Se puede integrar respecto a cualquiera de los dos tramos
R--Re=0--Revmax-0v-0
R+Re=Revmaxv
v=vmaxReRe+R
Por otro lado, si se desea resolver la integral se debe calcular el dA del elemento de área.
RR+dRRR+dR
R
R+dR
R
R+dR
dA=πR+dR2-πR2
dA=πR2+2RdR+dR2-πR2
dA=πR2+2πRdR+πdR2-πR2
dA=2πRdR+πdR2
dR 0 dR2 0
dA=2πRdR
Y ya se dispone con las relaciones necesarias para resolver la integral.
v=v dAA
v=v 2πRdRA=2πv RdRπRe2
v=2Re2v RdR
v=2Re20Rev RdR
v=2Re20RevmaxReRe-RRdR
v=2vmaxRe30ReRe-RRdR
v=2vmaxRe30ReReR-R2dR
v=2vmaxRe3ReR22-R330Re
v=2vmaxRe3ReRe22-Re33-0
v=2vmaxRe3Re32-Re33
v=2vmaxRe3Re36
v=13vmax
Que es precisamente el resultado que se esperaba ya que, como se vio en "Fuerzas originadas por la presión", todo valor medio o representativo corresponde al centro geométrico de la figura que le corresponde, y en un triángulo ese valor es precisamente 1/3 de la altura (o 2/3 dependiendo del sentido que se tome).
α=v3 dAv3 A
α=v3 2πRdR13vmax3 πRe2
α=2127vmax3Re2v3 RdR
α=54vmax3Re2v3 RdR
α=54vmax3Re20Rev3 RdR
α=54vmax3Re20RevmaxReRe-R3RdR
α=54vmax3Re2vmax3Re30ReRe-R3RdR
α=54Re50ReRe-R3RdR
α=54Re50ReRe3-3Re2R+3ReR2-R3RdR
α=54Re50ReRe3R-3Re2R2+3ReR3-R4dR
α=54Re5Re3R22-3Re2R33+3ReR44-R550Re
α=54Re5Re3R22-Re2R3+3ReR44-R550Re
α=54Re5Re3Re22-Re2Re3+3ReRe44-Re55-0
α=54Re5Re52-Re5+3Re54-Re55
α=54Re5120Re5
α=2710=2,7
Ya encontrado este valor, se puede aplicar:
Pγ+z+αv22g=cte
P1γ1+z1+α1v122g=P2γ2+z2+α2v222g
Se dispone de valores característicos de α para ciertos sistemas. Así, para flujos laminares normalmente se trabaja con factores de corrección de la energía cinética que varían entre 1,023 a 1,15; mientras que para flujos turbulentos el valor del factor de corrección es 2.
Como la mayoría de flujos corresponden al flujo laminar, la corrección es despreciable. La que sí es importante es la corrección debida a la fricción.
Si se consideran las pérdidas debidas a la fricción, ya no se cumple lo siguiente:
Pγ+z+αv22g=cte
P1γ1+z1+α1v122g=P2γ2+z2+α2v222g
, aún cuando se haya introducido el factor de corrección de la energía cinética. Si se trabaja con sistemas en los que la fricción se presenta de forma significativa, la ecuación queda más bien como:
P1γ1+z1+α1v122g=P2γ2+z2+α2v222g+hf1-2
Donde hf1-2 corresponde a la pérdida de carga, cuando se expresa en forma de altura, e indica que la energía que se tenía en el punto 1 ha permitido que se llegue al punto 2 con un contenido energético diferente.
Este factor hace irreversible al proceso, pues la energía en un punto ya no corresponde al contenido energético del fluido en otro punto diferente. Esto implica que la conversión de energía mecánica en calor es una irreversibilidad, una degradación se la energía.
Antes se decía que si el sistema pierde energía en una forma, se compensa con otra, de modo que los términos correspondientes a la presión, la velocidad y la posición se interconvertían entre sí. Por ejemplo, la variación de la presión se neutralizaba con una variación de la velocidad o de la posición.
Sin embargo, este término que se acaba de añadir ya no es interconvertible, pues representa la pérdida de energía entre las posiciones consideradas, y por tanto queda definido por el signo positivo. Esto implica que no se lo puede pasar al otro lado de la ecuación anteponiéndole el signo negativo, como se procede normalmente el matemática, pues en este caso no tiene sentido.
En el sistema, calcular la cantidad de energía que se ha perdido entre los puntos 1 y 2, si se asume que el flujo es laminar.
S=2,31Ls2 cm12NR1,75 atm0,6 atm1,75 mS=2,31Ls2 cm12NR1,75 atm0,6 atm1,75 m
S=2,3
1Ls
2 cm
1
2
NR
1,75 atm
0,6 atm
1,75 m
S=2,3
1Ls
2 cm
1
2
NR
1,75 atm
0,6 atm
1,75 m
El hecho de haber puesto al líquido en contacto con un borde sólido originó una distribución de velocidades, distribución que está estrechamente relacionada con una propiedad inherente al fluido, su viscosidad, por la cual éste pierde su contenido energético a medida que fluye por la tubería.
Para un flujo laminar, se asume que el valor aproximado del factor de corrección de la energía cinética es 1.
Dado que el valor de la densidad relativa del fluido es 2,3, es decir 2,3 veces mayor a la del agua, evidentemente se está trabajando con un fluido incompresible. Por lo tanto, se puede aplicar la ecuación:
P1γ1+z1+α1v122g=P2γ2+z2+α2v222g+hf1-2
Considerando que el diámetro de la tubería permanece constante, y que el fluido con el que se está trabajado es incompresible, se cumple que:
v1=v2
Además, la posición de los puntos 1 y 2 respecto al nivel de referencia es la misma:
z1=z2
Así, la ecuación de Bernoulli queda de la siguiente manera:
P1γ1+z1+α1v122g=P2γ2+z2+α2v222g+hf1-2
P1γ1=P2γ2+hf1-2
Recordar que se trabaja con presiones absolutasRecordar que se trabaja con presiones absolutas
Recordar que se trabaja con presiones absolutas
Recordar que se trabaja con presiones absolutas
1,75+1 atm×1.013×105Pa1 atm2,3kg*L×1000 L1 m3×9,8 N1 kg*=0,6+1 atm×1.013×105Pa1 atm2,3kg*L×1000 L1 m3×9,8 N1 kg*+hf1-2
Energía que se pierde a lo largo del flujoEnergía que se pierde a lo largo del flujo
Energía que se pierde a lo largo del flujo
Energía que se pierde a lo largo del flujo
hf1-2=5,168 m
Si se quisiera representar esta altura en forma de energía, se aplica la ecuación:
E=hf1-2 Q γ
Se recordará que en un fluido incompresible, el caudal también permanece constante.
E=5,168 m1Ls2,3kg*L×9,8 N1 kg*×1 J1 N m×1 W1Js
E=116,5 W
Así, hf1-2 indica que no fue gratis mover al flujo del punto al punto 2, y en la realidad este gasto energético implica un gasto económico.
El cálculo anterior induce a pensar que el contenido energético en un punto lejano será menor, igual que en el caso de la presión. Es decir, la presión va disminuyendo a medida que el flujo se aleja del punto 1, hasta que en un momento dado éste se detiene debido a la falta de una fuerza impulsora.
En la práctica el valor de la pérdida de carga no interesa mecho, pues lo que se busca es que el caudal del flujo se mantenga constante. Para esto se suelen utilizar bombas con las que se compensa las pérdidas debidas a la fricción.
Trabajo de Bomba en la ecuación de Bernoulli
Una bomba es un dispositivo que le confiere al fluido toda la energía que necesita para mantener su contenido energético y compensar las pérdidas.
Cuando se incluye el trabajo de una bomba en la ecuación de Bernoulli, la expresión queda de la siguiente manera:
P1γ1+z1+v122g+HB=P2γ2+z2+v222g+hf1-2
Altura de bomba o Altura comunicada al fluidoAltura de bomba o Altura comunicada al fluido
Altura de bomba o Altura comunicada al fluido
Altura de bomba o Altura comunicada al fluido
Generalmente este es el dispositivo usado para proporcionar al sistema la energía necesaria para que el fluido "fluya".
120,7 L/s
AguaNR2 m40 mhf1-2=6,5 m120,7 L/s
AguaNR2 m40 mhf1-2=6,5 mEn el sistema que se muestra a continuación, calcular la potencia de la bomba. Considere que el flujo es laminar.
1
2
0,7 L/s
Agua
NR
2 m
40 m
hf1-2=6,5 m
1
2
0,7 L/s
Agua
NR
2 m
40 m
hf1-2=6,5 m
Para proceder con el balance, se deben seleccionar dos puntos entre los que esté incluida la bomba.
hf1-2=6,5 m Dato
El agua es un fluido compresible. Entonces:
γ1=γ2=1 kg*L
Igual que en el caso anterior, el diámetro de la tubería no cambia; y como además se está trabajando con un fluido incompresible, la velocidad media del flujo no cambia. Por tanto:
v1=v2
Como se aplicó el concepto de flujo estacionario, nada debe variar. Evidentemente la velocidad del fluido en el punto 1 es 0, lo que implica que el nivel se mantendrá. Así que por el momento no hay que preocuparse de si en los recipientes el nivel del líquido sube o baja.
P1γ1+z1+v12g+HB=P2γ2+z2+v22g+hf1-2
Los recipientes 1 y 2 están abiertos a la atmósfera. Por lo tanto, las presiones 1 y 2 corresponderán a la presión atmosférica, considerando que se debe trabajar con presiones absolutas. De este modo, la ecuación anterior se reduce a lo siguiente:
P1γ1+z1+v12g+HB=P2γ2+z2+v22g+hf1-2
z1+HB=z2+hf1-2
Evidentemente, en el sistema lo único que varío es la altura de posición.
Altura comunicada al fluidoAltura comunicada al fluido2 m+HB=40 m+6,5 m
Altura comunicada al fluido
Altura comunicada al fluido
HB=44,5 m
Si se desea representar la altura comunicada al fluido en forma de energía, se puede aplicar la ecuación:
E=HB Q γ
E=44,5 m0,7Ls1kg*L×9,8 N1 kg*×1 J1 N m×1 W1Js
Energía comunicada al fluido para que pueda subirEnergía comunicada al fluido para que pueda subirE=305,27 W
Energía comunicada al fluido para que pueda subir
Energía comunicada al fluido para que pueda subir
Potencia comunicada al fluidoPotencia comunicada al fluidoAsí, son necesarios 305,27 W para que el fluido se transporte del punto inferior (punto 1) al punto superior (punto 2). Sin embargo, en la vida real se debería trabajar con un motor de mayor potencia a la calculada, ya que normalmente estos equipos no funcionan con un rendimiento (η) del 100%.
Potencia comunicada al fluido
Potencia comunicada al fluido
η=ERealETotal=Potencia HidráulicaPotencia del Motor
¿Qué energía es necesaria para llevar al fluido del recipiente de abajo al recipiente, bombeándolo a razón de 0,8 L/s? ¿Cuál debe ser la potencia de la bomba, si su rendimiento es del 67%?
Tubería=cte v=cte
v1=v2 v122g=v222g
S=1,35>1 Fluido incompresible γ=cte
P1=1 atm P2=1 atm
P1γ1=P2γ2
122,2 m17,9 m1½ inNR0,8 L/shf1-2=6,2 mS=1,35122,2 m17,9 m1½ inNR0,8 L/shf1-2=6,2 mS=1,35
1
2
2,2 m
17,9 m
1½ in

NR
0,8 L/s
hf1-2=6,2 m
S=1,35
1
2
2,2 m
17,9 m
1½ in

NR
0,8 L/s
hf1-2=6,2 m
S=1,35
P1γ1+v122g+z1+HB=P2γ2+v222g+z2+hf1-2
P1γ1+v122g+z1+HB=P2γ2+v222g+z2+hf1-2
z1+HB=z2+hf1-2
2,2 m+HB=17,9 m+6,2 m
HB=21,9 m
E=HB Q γ
E=21,9 m0,8Ls1,35kg*L×9,8 N1 kg*×1 J1 N m×1 W1Js
E=231,79 W
η=ERealETotal
67100=231,79 WETotal
ETotal=346 W
El segundo depósito (correspondiente al punto 2) se coloca a 50 m sobre el nivel de referencia, provocando un incremento del 10% en las pérdidas (lo cual es obvio, ya que se alarga la tubería). ¿Qué sucede en ese caso?
122,2 m50 m1½ inNR0,8 L/shf1-2=6,2 m+10%6,2 mS=1,35hf1-2=6,82 m122,2 m50 m1½ inNR0,8 L/shf1-2=6,2 m+10%6,2 mS=1,35hf1-2=6,82 m
1
2
2,2 m
50 m
1½ in

NR
0,8 L/s
hf1-2=6,2 m+10%6,2 m
S=1,35
hf1-2=6,82 m
1
2
2,2 m
50 m
1½ in

NR
0,8 L/s
hf1-2=6,2 m+10%6,2 m
S=1,35
hf1-2=6,82 m
z1+HB=z2+hf1-2
2,2 m+HB=50 m+6,82 m
HB=54,62 m
E=HB Q γ
E=54,62 m0,8Ls1,35kg*L×9,8 N1 kg*×1 J1 N m×1 W1Js
E=578,1 W
La potencia que se requiere para que el fluido sea llevado, a 0,8 L/s, del tanque 1 al tanque 2, éste ahora a 50 m de altura, es mayor a la potencia máxima que se puede obtener de la bomba. Por lo tanto, lo que se sugiere es cambiar la bomba por otra de mayor potencia.
Sin embargo, en caso de que no se pueda cambiar la bomba y que su rendimiento sea exactamente el mismo, lo que sucede es lo siguiente:
E=HB Q γ
Q=EHB γ
Q=231,79 W54,62 m1,35kg*L×9,8 N1 kg*×1 J1 N m×1 W1Js
Q=0,32Ls
Por lo tanto, se van a bombear 0,32 L/s del fluido.

El balance de la cantidad de movimiento (momentum o ímpetu) completa el análisis de las básicas ecuaciones del flujo, que se inició con el balance de masa y se siguió con el balance de energía. Asi como en los casos anteriores, se tomará un tubo de corriente para el cual la velocidad en la sección transversal es constante.
12v1v2v1xv2xdmFlujo Estacionario12v1v2v1xv2xdmFlujo Estacionario
1
2
v1
v2
v1x
v2x
dm
Flujo Estacionario
1
2
v1
v2
v1x
v2x
dm
Flujo Estacionario
F t=m v
F=m v
Así, la fuerza resultante sobre una corriente fluida puede definirse a partir de la expresión:
F=m v
Al utilizar el principio de la cantidad de movimiento, las operaciones involucradas son de carácter vectorial, por lo que se debe fijar al menos una dirección. Por otro lado, se puede descomponer la fuerza en sus respectivas componentes a fin de facilitar el análisis:
i=1 ó 2i=1 ó 2
Fix=m vix dFx=dmv2x-v1xFiy=m viy dFy=dmv2y-v1yFiz=m viz dFz=dmv2z-v1z
i=1 ó 2
i=1 ó 2
dFx=dmv2x-v1x
Fx=dmv2x-v1x
Fx=mv2x-v1x
Sumando vectorialmente las fuerzas Fx, Fy y Fz, se obtiene la fuerza resultante sobre el tubo de corriente.
Si se considera que la velocidad en toda la sección transversal varía, más bien se toma un elemento de área del tubo de corriente, para el cual la expresión con la que se determina el valor de la fuerza en caja eje es:
dFx=dm vx
Fx=dm vx
Factor de Corrección de la cantidad de movimientoFactor de Corrección de la cantidad de movimientoSin embargo, resolver esta integral es muy difícil. De ahí que es mejor trabajar con una velocidad media, que resuma la velocidad de todas las partículas que pasan por el tubo de corriente y que implique un factor de corrección (β) análogo al de la energía cinética (α).
Factor de Corrección de la cantidad de movimiento
Factor de Corrección de la cantidad de movimiento
Fx=dm vx=m vx β
dm=δ v dA
δ v dA vx=δ v A vx β
δv vxdA=δ v A vx β
v vxdA=v vx A β
vvx=vvx v=vxvvx
vxvvxvxdA=v vx A β
1vxvx2dA=vxA β
vx2dA=vx2A β
β=vx2dAvx2A
Fx=dm vx=m vx β
m=δ v A=δ Q
Fx=dm vx=m vx β=δ Q vx β
RevmaxvRRevmaxvRCalcular el factor de corrección de la cantidad de movimiento del tubo para el que se tiene una distribución lineal de velocidades.
Re
vmax
v
R
Re
vmax
v
R
RvRevmaxRvRevmax
R
v
Re
vmax
R
v
Re
vmax
β=vx2dAvx2A
Como el flujo es unidireccional, entonces: vx=v
β=v2dAv2A
v=vmaxReRe-R
RR+dRRR+dRdA=πR+dR2-πR2
R
R+dR
R
R+dR
dA=2πRdR+πdR2
dR 0 dR2 0
dA=2πRdR
v=v dAA
v=v 2πRdRA=2πv RdRπRe2
v=2Re2v RdR
v=2Re20Rev RdR
v=2Re20RevmaxReRe-RRdR
v=2vmaxRe30ReRe-RRdR
v=2vmaxRe30ReReR-R2dR
v=2vmaxRe3ReR22-R330Re
v=2vmaxRe3ReRe22-Re33-0
v=2vmaxRe3Re32-Re33
v=2vmaxRe3Re36
v=13vmax
β=v2dAv2A
β=v2 2πRdR13vmax2 πRe2
β=219vmax2Re2v2 RdR
β=18vmax2Re2v2 RdR
β=18vmax2Re20Rev2 RdR
β=18vmax2Re20RevmaxReRe-R2RdR
β=18vmax2Re2vmax2Re20ReRe-R2RdR
β=18Re40ReRe-R2RdR
β=18Re40ReRe2-2ReR+R2RdR
β=18Re40ReRe2R-2ReR2+R3dR
β=18Re4Re2R22-2ReR33+R440Re
β=18Re4Re2Re22-2ReRe33+Re44-0
β=18Re412Re4-23Re4+14Re4
β=18Re4112Re4
β=1812=1,5
Por lo tanto, un flujo con este perfil presenta un factor de corrección de la cantidad de movimiento de 1,5.
Se tiene un tubo de 3 in de diámetro por el que fluye 5 L/s de agua. ¿Con qué fuerza impacta, si la distribución de velocidad es lineal?
Fx=dm vx=m vx β
Como la tubería es horizontal:
vx=vFx=F
F=dm v=m v β
Q=v A v=QA
v=5 Ls×1 m31000 Lπ32in×2,54 cm1 in×1 m100 cm2
v=1,0964ms
m=δ v A
m=1000kgm31,0964msπ32in×2,54 cm1 in×1 m100 cm2
m=5kgs
F=m v β
F=1,55kgs1,0964ms×1 N1kg ms2
F=8,223 N
1212Pero todo lo calculado hasta el momento se ha desarrollado considerando un flujo estacionario. Pero si en dos puntos se tiene diferentes velocidades, cuando se está llenando una tubería por ejemplo, a cada posición le corresponde un factor de corrección de la cantidad de movimiento.
1
2
1
2
F=mβ2v2-mβ1v1
F=mβ2v2-β1v1
FTotal=mβ2v2-β1v1
m=δ v A=δ Q
FTotal=δ Qβ2v2-β1v1
Si el flujo es estacionario o permanente la velocidad media en cada punto no es muy diferente, de hecho, es exactamente igual. De ahí que la sumatoria de fuerzas es cero:
Flujo Estacionarioβ1=β2=βv1=v2=v
FTotal=mβv-βv
FTotal=m0
FTotal=0
12P1P2-FS12P1P2-FSEn la sumatoria de fuerzas deben incluirse las fuerzas debidas a la presión, el peso o fuerza de la gravedad (en caso de que la tubería hubiera estado inclinada) y las fuerzas de corte o cizalla (fuerzas que se oponen al flujo). Además, pueden presentarse fuerzas generadas por campos magnéticos, y más.
1
2
P1
P2
-FS
1
2
P1
P2
-FS
F=P1A-P2A-FS-Fg
Así, en la fuerza total se incluyen todas las fuerzas que participan en el sistema. Además, se puede percibir que si esta sumatoria es diferente a cero, esa es precisamente la causa por la que cambia la velocidad.
30 2 mm30 2 mmUn fluido de densidad relativa igual a 1,85 y viscosidad de 26 cP forma una lámina de 1 mm de espesor en un plano inclinado 30°. Determinar:
30
2 mm
30
2 mm
El factor de corrección de la cantidad de movimiento (β)
La velocidad media (v)
La velocidad máxima (vmax)
Caudal por metro de ancho
z11dPFSyxdyz11dPFSyxdyConsiderando que se tiene un flujo totalmente desarrollado:
z
1
1
dP
FS
y
x
dy
z
1
1
dP
FS
y
x
dy
Fx=0
dPx-FS=0
FS=dPsin30°
dP=dm g=δ dVg
dV=1 1 z=z
dP=zδg
FS=zδgsin30°
τ=FCorteACorte=FS1 1 τ=FS
τ=zδgsin30°
z=2 mm-y=2×10-3m-y
Porque la velocidad crece con yPorque la velocidad crece con yτ=2×10-3-yδgsin30°
Porque la velocidad crece con y
Porque la velocidad crece con y

τ=μ +dvdy
2×10-3-yδgsin30°=μ dvdy
δgsin30°μ0y2×10-3-ydy=0vdv
δgsin30°μ2×10-3y-y220y=v0v
v=δgsin30°μ2×10-3y-y22
v=1850kgm39,8ms2sin30°26×10-3kgm s2×10-3y-y22
v=697,3077y-174,327×103y2 ms
y=2 mm v=vmax
vmax=697,30772×10-3 -174,327×1032×10-32 ms
vmax=0,697ms
v=vdAA
dA=1dy dA=dyA=1 m2×10-3m A=2×10-3m2
v=12×10-302×10-3697,3077y-174,327×103y2dy
v=12×10-3348,654y2-58,109×103y302×10-3
v=12×10-3348,6542×10-32-58,109×1032×10-33
v=0,465ms
Q=v A=0,465ms2×10-3m2×1000 L1 m3
Q=0,93Ls
β=v2dAv2A
β=10,46522×10-302×10-3697,3077y-174,327×103y22dy
β=10,46522×10-302×10-3486,238×103y2-243,119×106y3+3,04×1010y4dy
β=10,46522×10-3162,079×103y3-60,78×106y4+6,078×109y502×10-3
β=162,079×1032×10-33-60,78×1062×10-34+6,078×1092×10-350,46522×10-3
β=1,2

Tubería es una conducción cerrada que transporta cualquier tipo de fluido. Cabe destacar que su forma es circular y no cuadrada con el fin de disminuir la fuerza de cizalla, pues el área de contacto es menor.
La velocidad del fluido es igual a cero cuando está en contacto con el borde sólidoLa velocidad del fluido es igual a cero cuando está en contacto con el borde sólidoComo gracias a la viscosidad se presentan distribuciones de velocidad dentro de la tubería, las capas del fluido se cortan de diferente manera. La condición de borde implica que en el límite con la tubería la velocidad del fluido es cero, aunque no siempre sucede esto (para estos fluidos se suelen emplear reductores de fricción).
La velocidad del fluido es igual a cero cuando está en contacto con el borde sólido
La velocidad del fluido es igual a cero cuando está en contacto con el borde sólido
El primer científico que estudió el flujo en tuberías fue Reynolds, que procedió con la siguiente experiencia:
ColoranteCapilarAguaColoranteCapilarAgua
Colorante
Capilar
Agua
Colorante
Capilar
Agua
Gracias al colorante, Reynolds observó que al abrir la válvula había un flujo muy ordenado, representado por un hilera de colorante bastante continua, al que denominó laminar. Sin embargo, a medida que abría la válvula, vio que el flujo se iba desordenando hasta que, a altas velocidades, se tornó tan irregular que más bien parecía una mezcla. Por eso, lo nombró flujo turbulento. Así, se pasó de un flujo ordenado a un flujo desordenado.
Reynolds prosiguió con el experimento, procediendo ahora al revés. Es decir, fue cerrando la válvula poco a poco para ver lo que sucede. Entonces notó que a medida que iba cerrando la llave, el flujo pasó de totalmente desordenado a ordenado.
Una característica importante fue que el punto en el que el flujo pasó de laminar a turbulento no coincidió con el punto en el que el flujo pasó de turbulento a laminar. Así, definió dos valores de velocidad en los que el flujo pasa de ordenado a desordenado y viceversa.
LLaminarvCSTTurbulentoTTurbulentovCILLaminar
Viscosidad CinemáticaViscosidad CinemáticaPosteriormente Reynolds experimentó con otros fluidos diferentes al agua. Así vio que este orden de las partículas del fluido depende básicamente de parámetros coma la densidad, la viscosidad y la densidad, relacionándolas de la siguiente manera en el número adimensional de Reynolds (Re):
Viscosidad Cinemática
Viscosidad Cinemática
Re=vϕδμ=vϕν
Para la mayoría de aplicaciones de ingeniería, se ha establecido que:
Re4000 Flujo Turbulento
Cuando el número de Reynolds cae dentro del rango de 2100 a 4000, el sistema se halla dentro del régimen de transición, del cual es mejor salir.
¿Entre qué rangos de velocidad no debería trabajarse en una tubería de ½ in, en la que se transporta alcohol etílico de 80% en volumen a una temperatura de 20 ?
x=80% Volumen VC2H5OH=80 cm3C2H5OHVH2O=20 cm3H2O
δC2H5OH a 20 =0,78934 g/cm3 mC2H5OH=63,1472 g=1,373 gmolδH2O a 20 =0,99825 g/cm3 mH2O=19,965 g =1,109 gmol mT=83,1122 gnT=2,482 gmol
μC2H5OH a 20 =1,2 cP xC2H5OH=1,373 gmol2,482 gmol=0,553μH2O a 20 =1 cP xH2O=1,109 gmol2,483 gmol=0,447
logμ=xilogμi
logμC2H5OH 76% a 20 =xC2H5OHlogμC2H5OH a 20 +xH2OlogμH2O a 20
logμC2H5OH 76% a 20 =0,553log1,2 cP+0,447log1 cP
μC2H5OH 76% a 20 =1,102 cP
x=63,1472 g C2H5OH83,1122 g×100%
x=76% Peso
δC2H5OH 76% a 20 =0,85322gcm3
2100