MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS GENERALIZADOS COM IRREGULARIDADES
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Capítulo – III MECÂNICA DO CAMPO CONTÍNUO DE POTENCIAIS GENERALIZADOS COM IRREGULARIDADES ...mas, tendo sido semeado, cresce e faz-se a maior de todas as hortaliças e cria grandes ramos, de tal modo que as aves do céu podem aninhar-se à sua sombra (Mc 4,32).
RESUMO Neste capítulo será visto a fundamentação matemática básica da teoria do campo escalar, vetorial e tensorial em um meio irregular, onde desenvolveremos o cálculo analítico das equações dos fluxos nos volumes, nas superfícies e nos contornos, em termos da fração volumétrica irregular efetiva(1) e da rugosidade (fractalidades), com a presença da rugosidade no contorno e da fração volumétrica irregular efetiva no domínio geométrico do problema. Será proposto um modelo escalar para a fração volumétrica irregular efetiva e um modelo escalar, vetorial e tensorial para a rugosidade de contornos irregulares e fractais. Os problemas do calor, da elasticidade e da fratura serão colocados em pauta com uma proposta de modificação das equações constitutivas desses fenômenos para campos escalares e vetoriais, respectivamente.
3. 1 – Objetivos do Capítulo i) Apresentar a transição da Mecânica do Contínuo Clássica (Regular) para uma Mecânica dos Meios Irregulares.
ii) Estabelecer a conexão entre o Meio Contínuo Regular e o Meio Irregular. iii) Estabelecer as transformações das equações do Meio Regular para o Irregular iv) Descrever uma Mecânica dos Meios Irregulares apresentando os conceitos e os Teoremas Fundamentais, as principais equações diferenciais e integrais básicas de potencial, fluxo e continuidade. v) Fundamentar os resultados desta teoria ampliandos os conceitos utilizados neste capítulo com a presença de porosidade do volume e rugosidade das superfícies.
3. 2 – Introdução aos Fenômenos de Natureza Dinâmica Fenomenologias, como a Mecânica do Calor, a Mecânica dos Sólidos, a Mecânica dos Fluidos, etc., são análogas e podem ser descritas de forma geral pela chamada Mecânica e Termodinâmica do Contínuo, cujos conceitos de densidades e fluxos generalizados podem ser definidos a partir das equações de conservação da massa, do momento, e da energia provenientes das leis de Newton da Mecânica das Partículas Discretas e das Leis da Termodinâmica Clássica transformadas no formalismo do contínuo, conforme foi mostrado no Capítulo – II. Ou seja, a descrição de fenômenos físicos que nos dão a idéia de movimento, como o fluxo de calor, o movimento de uma partícula, a deformação de um corpo, o escoar de um fluido, o crescimento de uma trinca, etc. podem ser unificados em um formalismo matemático cuja estrutura e conceitos gerais são análogos. Todos esses fenômenos podem ser estudados de forma comparativa para se obter um entendimento completo dos processos simultâneos complexos que podem ocorrer na natureza e em sistemas projetados pelo homem. Quando a descrição de um dado fenômeno parte do conceito de posição, velocidade, quantidade de movimento, etc., dizemos que esta é uma descrição mecânica. E, quando a descrição de um dado fenômeno parte do estudo dos seus potenciais, dizemos que esta é uma descrição termodinâmica. Uma teoria geral de campo procura unificar os aspectos elementares e reducionistas da mecânica, com os aspectos gerais da termodinâmica. Esses potenciais contidos em partículas ou ao redor de corpos na forma de campos, como o campo elétrico, magnético, o campo gravitacional, o campo de temperatura, o campo de velocidades, etc, todos eles, produzem movimentos. Neste sentido sabe-se que todo “movimento” parte da diferença de algum tipo de “potencial” entre dois pontos. Esta grandeza
1
ou fração volumétrica deformada
pode ser chamada de “potencial generalizado”, por exemplo. No caso do fluxo de calor a diferença de potencial corresponde à diferença de temperatura entre dois pontos. No caso do movimento de uma partícula a diferença de potencial mecânica, elétrica ou magnética pode ser atribuída à aplicação de uma força, e assim por diante. Todos esses potenciais e forças estão presentes, na lista dos fenômenos que podem ser unificados pela teoria dos campos escalares e vetoriais e tensoriais.
3.2.1 - Campo Uniforme ao Redor de Superfícies Regulares No caso de campo eletrostático ao redor de uma partícula carregada, ou de um corpo com forma regular esférica uniformemente carregada, o campo externo em questão, apresentará linhas de mesmo potencial (linhas equipotenciais circuncêntricas) que acompanharão as linhas de contorno do corpo, cujo centro corresponde ao centro geométrico desse corpo (Figura - 3. 1a), e as linhas de campo elétrico estarão dirigidas para fora, (Figura 3. 1b). O campo elétrico ao redor deste corpo será dado pelo gradiente do seu potencial entre dois pontos, cujo vetor estará apontado na direção normal às linhas de mesmo potencial, ou seja, apontam na direção radial do corpo esférico, conforme mostra a Figura - 3. 1b.
Figura - 3. 1. Campo em torno de um corpo esférico regular uniformemente carregado sujeito a um potencial eletrostático escalar u cte , a) Linhas equipotenciais; b) Linhas de fluxo constante.
O exemplo anterior, também, nos dá uma idéia de como pode ser o campo de temperatura ao redor de um corpo, também de forma esférica, cujo calor se distribui uniformemente em toda a sua extensão. De forma análoga ao caso anterior, as linhas
equipotenciais (no caso linhas isotérmicas circuncêntricas) acompanharão as linhas de contorno do corpo, cujo centro corresponde ao centro geométrico desse corpo. E, o fluxo de calor se dará na direção perpendicular às linhas isotérmicas, de forma análoga ao campo elétrico, cujo valor será proporcional ao gradiente do campo térmico. Outro exemplo pode ser dado a partir do campo gravitacional ao redor de uma massa de forma esférica, cujas linhas equipotenciais acompanham de certa forma o contorno da superfície do corpo, etc. Todos eles são exemplos de campos de potenciais escalares. Quando os campos envolvidos são campos dinâmicos cuja descrição envolve diretamente o conceito de velocidade e de movimento de uma partícula, como no caso de deformações elásticas e/ou plásticas de um sólido, ou taxas de deformações de um fluido, novamente, surge a idéia de campo potencial associado a diferenças de potenciais, as quais são responsáveis pela formação de gradientes de potencial e por sua vez responsáveis pelo movimento das partículas imersas nesses campos. Nesses casos os campos são de potenciais vetoriais ou tensoriais. Mesmo assim, para todas as situações descritas até agora, é possível generalizar o conceito de posição, velocidade, quantidade de movimento, força, potencial, diferença de potencial, etc. com a finalidade de descrever matematicamente o campo clássico de uma forma unificada
3.2.2 - Campo Uniforme ao Redor de Superfícies Irregulares Por outro lado, de forma análoga à situação de geometria regular, quando se trata de corpos com formas irregulares e se considera que o seu campo interno é uniforme, as linhas equipotenciais externas nos três tipos de fenômenos exemplificados acima acompanharão as formas irregulares do seu contorno, conforme mostra Figura - 3. 2. Até este ponto a complicação da irregularidade dos contornos pode ser trabalhada por soluções numéricas e as correções que surgem em relação ao caso regular são apenas geométricas. Neste sentido pode-se sempre adotar que o fluxo deriva do potencial a partir do seu gradiente da seguinte forma:
kT ( prob. térmico) J ( prob. elétrico ) etc,
(3. 1)
Figura - 3. 2. Campo em torno de um corpo esférico irregular uniformemente carregado sujeito a um potencial eletrostático escalar u cte , a) Linhas equipotenciais; b) Linhas de fluxo constante.
onde k, e são as condutividades térmicas e elétricas e T e são os potenciais térmicos (temperatura) e elétrico, respectivamente. Ou seja, as linhas de fluxos são perpendiculares às linhas equipotenciais, sejam elas de potencial elétrico, térmico ou de outra natureza qualquer dentro dessa mesma classe de fenomenologia. Contudo, quando as irregularidades de campo envolvem também a parte física do campo, no sentido de haver campos não uniformes, fontes de campo aleatoriamente dispersas no meio, volumes porosos, efeitos não lineares geométricos e físicos, etc., a solução das equações de campo pode se tornar muito trabalhosa ou analiticamente impraticável. Neste ponto, é preciso recorrer a algum tipo de geometria que possa tratar das descontinuidades geométricas e seus efeitos sobre o valor dos campos dos potenciais. Além do que, é necessário generalizar tanto a descrição geométrica da forma dos objetos e do contorno de suas superfícies, como a descrição geométrica dos campos envolvidos, junto com seus efeitos dinâmicos. Porque, além de uma generalização geométrica e fenomenológica, é preciso também fazer a inserção destas nos modelos praticáveis por uma teoria de campo generalizada. Portanto, um dos objetivos deste trabalho de tese é propor uma formulação da teoria do contínuo que leve em conta a rugosidade da superfície de contorno e a fração volumétrica irregular efetiva do interior do volume do corpo ou do meio em estudo. De forma mais direta, as conseqüências desta nova proposta de formulação teórica serão utilizadas no estudo da Mecânica da Fratura com rugosidade das trincas e superfícies de fratura.
3.3 –Revisão Bibliográfica A teoria do campo contínuo clássica utiliza a geometria euclidiana na descrição dos fenômenos de transferência de calor, massa, momentum, etc. Com esta geometria é possível descrever apenas os fenômenos que acontecem em formas regulares sem considerar os efeitos da rugosidade das superfícies, ou da porosidade do interior dos volumes. Mesmo quando as formas são cheia de detalhes geométricos, utilizam-se modelos numéricos e cálculos aproximados [Blyth 2003, Xie 2003, Hyun et al 2004]. Na fratura, por exemplo, esta quase nunca acontece sem o surgimento de superfícies rugosas. Os casos de fratura com superfícies lisas aparecem normalmente em processos de clivagem de monocristais e no interior de alguns grãos do material. No caso de fratura de materiais policristalinos com considerável rugosidade (cuja ponta da trinca rugosa interage no processo de fratura) o uso da geometria euclidiana deixa a desejar. Pois os resultados não são completos e os cálculos não são exatos, e ainda não se consegue explicar diversos fenômenos da fratura quase-estática e dinâmica em que a rugosidade é presente [Fineberg et al 1991, 1992; Xie, 1995; Boudet, 1995, 1996; Alves 2005, Alves et al 2010]. A descrição matemática do crescimento da curva J-R de resistência a fratura, por exemplo, só pode ser explicado se for levado em conta o aparecimento da rugosidade durante o processo de propagação ou crescimento de uma trinca [Carpinteri 1996, Rupnowski 2001, Alves et al 2001, Alves et al 2010]. Isto significa que o modelo geométrico da rugosidade precisa ser incluído no cálculo analítico da integral-J de Eshelby-Rice [Su et al , 2000; Weiss, 2001; Rupnowski, 2001; Alves et al 2001, Alves et al 2010]. Um outro fenômeno na fratura que envolve o surgimento de rugosidade é a propagação de trincas rápidas, onde surgem instabilidades com ramificação de trincas e oscilações na velocidade de crescimento da trinca, a partir de uma velocidade crítica [Fineberg et al 1991, 1992, Boudet, 1996].
3.3.1. O surgimento de teorias do campo continuo com
a inclusão de
irregularidades A presença de irregularidades de forma e de microestrutura na superfície e no interior de materiais sujeitos a fenomenologias é uma realidade na natureza e também nos materiais desenvolvidos pelo homem. Não é de agora que existe a necessidade de se tratar com as irregularidades e os defeitos presentes em um material. Para isso têm surgido, ao longo dos anos, tópicos específicos das ciências exatas que tratam de irregularidades geométricas e
microestruturais nas superfícies e no interior dos materiais [Bammann, 1982; Forest, 1998; Trovalusci, 1998; Duda, 2007; Engelbrecht, 2009]. Desde que surgiu a teoria fractal, grande tem sido os esforços em descrever as formas irregulares da natureza como também o seu efeito sobre os fenômenos físicos e químicos nos materiais [Hornbogen 1989, Panin, 1992, Lazarev, 1993]. Hornbogen [1989] enumerou diferentes aspectos da microestrutura de materiais que podem ser tratados pela geometria fractal. Panagiotopoulos [1992] propôs a utilização da geometria fractal na descrição da estrutura dos sólidos irregulares, Panin [1992] descreveu os fundamentos da meso-mecânica de um meio com estruturas, Tarasov [2005] descreveu uma mecânica do contínuo para meios fractais utilizando o calculo fracional. Yavari [2006] descreveu as leis de equilíbrio covariantes espaciais e materiais na elasticidade. Outras abordagens estão sendo elaboradas por diversos cientistas e publicadas na literatura especializada, e dizem respeito a uma teoria especificamente fractal envolvendo o cálculo fracional em múltipla escala [Dyskin, 2005, Carpinteri, 2009]. Dyskin [2005] têm publicado vários trabalhos no sentido de utilizar a teoria fractal e o calculo fracional para descrever uma mecânica de múltipla escala. Carpinteri [2009] et al utilizaram o calculo fracional como uma forma de incluir a teoria fractal na descrição de fenômenos de elasticidade e fratura envolvendo a rugosidade e o efeito de escala. Todas estas são propostas de uma mecânica que possa tratar inclusivamente a irregularidade de forma e de microestrutura no seu contexto matemático. Durante a evolução da proposta deste trabalho observou-se a necessidade de haver uma teoria matemática do contínuo com irregularidades (poros, rugosidade, etc.) que seguisse um método de solução do problema irregular diretamente a partir das equações diferenciais governantes do campo clássico com irregularidades. Desta forma, uma transição do meio contínuo regular clássica para o meio irregular se faz necessária, a qual será vista nesse capítulo. Observa-se, então, que é necessário modificar a teoria do campo contínuo desde a teoria dos campos escalares até os campos tensoriais passando pela teoria do calor, teoria da elasticidade, fratura, por exemplo, para envolver na sua descrição matemática o efeito da rugosidade descrevendo-a e explicando o seu surgimento com seus efeitos e conseqüências. Portanto, vamos agora neste capítulo propor as modificações desejadas na teoria do campo contínuo de forma a incluir a rugosidade das superfícies e a fração volumétrica irregular efetiva dos volumes, onde estaremos designando esses meios materiais com o nome de Meios
Irregulares(2). Neste capitulo nós propomos uma modificação espacial e material das leis da mecânica do continuo através de volumes porosos e superfícies rugosas, considerando que essas irregularidades geométricas introduzem uma “transformação covariante” na mecânica do contínuo clássica que pode ser fractal ou não. Neste sentido a transformação é introduzida por um tensor ξ " F " (3) de rugosidade responsável por um certo tipo de “estiramento” ou variação da superfície rugosa em relação a superfície média aparente projetada no espaço euclidiano, onde:
dA dA ξ nˆ nˆo . dAo dAo
(3. 2)
A nossa proposta não se limita a uma irregularidade fractal, podendo ser este apenas um dos modelos a serem utilizados na teoria proposta.
3.3.2. Importância da inclusão da rugosidade na teoria do campo continuo clássica Análises geométricas de superfícies rugosas de fratura em materiais específicos, como madeira, vidro, cimento, argila, demonstram que as rugosidades nesses materiais são características de cada tipo de material [Morel 1998, Ponson 2006, Alves 2004] conforme visto no Capítulo - V. Os aspectos geométricos de superfícies rugosas de fratura em argamassa de cimento, por exemplo, apresentam semelhança entre si. Assim como as superfícies rugosas de fratura obtidas em argilas ou tijolos de argilas também possuem aspectos semelhantes entre si, diferindo, contudo, dos aspectos geométricos das superfícies de fratura do cimento (vide Capítulo – V). Ou seja, cada tipo de material define uma classe de superfícies de fratura, cujos aspectos geométricos são semelhantes para as superfícies de fratura da mesma classe de material. Isto nos ajuda a pensar que a rugosidade deve depender do tipo de material e deve ser incluída na equação constitutiva do mesmo para o estudo dos fenômenos do contínuo (calor, elasticidade, fratura, etc). Portanto, vamos fazer algumas modificações na equação de movimento e nas equações constitutivas básicas começando com a teoria do campo escalar (calor, eletrostática)
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Existem na literatura diversas propostas, cada uma com nomes diferentes, tais como: meios microestruturados, meios de multipla escala, etc., este nome foi escolhido por ser o que melhor se adapta para a nossa proposta 3 o tensor de estiramento na mecânica do contínuo é comumente denotado pela letra F em negrito
depois passando para a teoria do campo vetorial (elasticidade, eletrodinâmica, fluidos, etc.) até a fratura de materiais frágeis elasticamente lineares. A idéia de se fazer estas modificações de forma evolutiva, em grau de complexidade do fenômeno (campos escalares primeiro e depois campos vetoriais) é para poder se aprender com os resultados que cada modificação pode fornecer. Isto permitirá obter a melhor consistência possível na descrição matemática dos fenômenos do contínuo, que envolve a participação da rugosidade no processo, tanto de transferência de calor como nos processos mecânicos de elasticidade e fratura.
3.4 - Fundamentação Teórica – Mecânica dos Meios Irregulares Atualmente várias formulações matemáticas feitas com base em geometrias regulares como a geometria euclidiana, estão sendo revisitadas, na tentativa de se incluir analiticamente as irregularidades de padrões geométricos de volumes e de superfícies contidos ou formados durante o fenômeno. Normalmente, utiliza-se a geometria fractal para essa modelagem, como uma forma de descrever mais autenticamente tais fenômenos. Baseados nesta idéia é que nós descreveremos a partir de agora uma proposta de desenvolvimento de um modelo de aproximação onde um fenômeno de transporte acontece em um corpo cujo contorno é uma linha ou uma superfície rugosa que pode ser modelado pela geometria fractal. Mas antes disso vamos abordar o problema de forma clássica usando a geometria euclidiana e descrever o problema para as superfícies irregulares utilizando o problema clássico corrigido por uma função de aproximação (fractal ou não) para o problema rugoso. Para descrever o processo de dissipação de energia em um caminho rugoso é necessário: I) Postular que a energia para criar uma superfície no caminho rugoso é a mesma que a energia no caminho projetado, Lo, , então, UVo = UV e o = (esta é a equivalência previamente proposta por Irwin). II) Postular que os formalismos matemáticos da Mecânica do Contínuo são invariantes, isto é, são os mesmos em um caminho de rugoso e em um caminho projetado.
3.4.1- Consideração sobre a Continuidade das Funções A partir de agora, e nos capítulos que se seguirão, vamos considerar que as funções vetoriais e escalares que definem as superfícies A A x, y e os volumes
V V x, y, z irregulares, respectivamente, são funções descritas por algum modelo (como o
modelo fractal, por exemplo) capaz de fornecer funções analíticas e diferenciáveis nas vizinhanças dos pontos genéricos de coordenadas P P x, y, z , a fim de que seja possível calcular a grandeza que se propõe, tais como, rugosidade e porosidade.
Figura - 3. 3. Vetores normais à uma quina suave e à um “bico” ou quina brusca.
Ao contrário de utilização das funções fractais não-diferenciáveis onde se utiliza o cálculo fracional e a teoria da renormalização para contornar o problema da não diferenciabilidade, nosso intento é evitar a não-diferenciabilidade dessas funções. Vamos consider que sempre é possível definir um vetor normal em “bicos” e quinas e que as cúspides são consideradas inexistentes na escala natural dos fenômenos, conforme mostra a Figura - 3. 3. Do contrário uma teoria que envolve sub-diferenciais para definir uma família de vetores normais em “bicos” e “quinas” torna-se necessária. Mas esta proposta é mais complexa e sai fora da proposta desse nosso modelo.
3.4.2 – A Problemática da Modelagem da Rugosidade A teoria fractal surgiu no cenário da ciência exata como uma ferramenta capaz de descrever padrões irregulares (na natureza) que apresentam alguma similaridade em diferentes escalas de ampliação (auto-similaridade ou auto-afinidade). Esta possibilidade tem motivado vários cientistas a descrever os fenômenos físicos em termos de uma descrição matemática mais autêntica, que leva em conta os aspectos irregulares ou a rugosidade das estruturas. Uma metodologia de transcrição dos fenômenos descritos na geometria euclidiana para a geometria fractal também torna-se necessária. Neste trabalho, fomos motivados a escrever problemas de
valor de contorno em termos da rugosidade fractal das estruturas aqui estudadas. A idéia básica consiste em trocar os comprimentos, áreas e volumes projetados, isto é, lisos (denotado neste trabalho pelo subscrito “0”) pelos comprimentos, áreas e volumes que apresentam rugosidades reais. Matematicamente, isto significa passar, simplesmente, o contorno liso ou projetado do para o contorno rugoso, d, da seguinte forma:
d ( x, y )
d d o , d o
(3. 3)
conforme mostra a Figura - 3. 4, usando apenas umas simples transformação de coordenadas pela regra da cadeia.
Figura - 3. 4. Mudança do contorno rugoso para o contorno projetado o
Esta simples transformação matemática é a causa de grandes mudanças no paradigma das superfícies rugosas, introduzindo uma nova visão para os fenômenos da mecânica da fratura, como será visto posteriormente no Capítulo - VII. Ela também poderá ser bem aproveitada nos Métodos Numéricos de Elementos Finitos e de Contorno, por exemplo, na simulação de uma trinca rugosa, como será visto no final deste capítulo na parte de resultados das simulações. Nas outras áreas da Mecânica do Contínuo tais como Calor, Elasticidade , Fluidos fica a proposta para trabalhos futuros.
3.4.3 - Problema proposto A solução encontrada por alguns cientistas [Irwin 1948, Muskhelisvili 1954, Barenblatt 1962, Rice 1968] para se descrever alguns fenômenos que estão associados a geometrias irregulares (comprimentos, superfícies e volumes) foi utilizar uma relação energética entre a superfície irregular e a superfície de projeção euclidiana de tal forma que esta é escrita como:
dU dU , dAo dA
(3. 4)
Onde U é a energia envolvida na superfície de área rugosa A , e na superfície projetada de
geometria euclidiana de área Ao . Relações deste tipo pressupõem que a superfície irregular não influencia no fenômeno. Isto pode ser visto se expressarmos a equação acima da seguinte forma:
dU dU dA , dAo dA dAo
(3. 5)
Observe que comparando a expressão (3. 4) com a (3. 5) vemos que a relação entre a área
rugosa ou irregular A e a área de projeção Ao é igual unidade para o caso em que a equivalência energética é considerada. Contudo, quando a relação entre a dA / dAo é diferente da unidade, a equivalência energética (3. 4) não é válida. Nesta situação há duas alternativas;
(i) ou, se reescreve as relações diretamente em termos da geometria irregular A construindose uma nova fenomenologia, (ii) ou, se mantém a equivalência energética na forma da relação (3. 5) com o termo dA / dAo 1 . Dependendo da fenomenologia e de sua larga aplicabilidade, uma ou outra, alternativa é necessária. Neste trabalho, optamos por fazer as correções necessárias da teoria fenomenológica com base na geometria euclidiana, acrescentando-se nas derivadas o termo de correção dA / dAo 1 em todas as equações. Neste sentido, nós vamos desenvolver os cálculos que serão úteis na descrição dos fenômenos que envolvem potenciais escalares e vetoriais para problemas de Elementos de Contorno Rugoso, os quais serão descritos pela geometria fractal. Após esta pequena (ou breve) introdução ao problema de potenciais com rugosidade, vamos elaborar um desenvolvimento matemático geral para a teoria da rugosidade e da fração volumétrica irregular efetiva.
3.4.4 – A Teoria Mecânica dos Meios Irregulares em outras áreas (sugestão de uma nova área) A fundamentação teórica das transformações matemáticas das equações de diversos fenômenos descritos em termos da geometria euclidiana, para uma geometria irregular (fractal ou não), passa por uma abordagem do entendimento das densidades e dos fluxos generalizados em termos dessa nova geometria. Com isso é preciso estabelecer quais transformações matemáticas são necessárias em termos das coordenadas, dos comprimentos, das áreas das superfícies e dos volumes irregulares. È importante elaborar um tratamento
matemático da Transmissão de Calor, Distribuição de Temperatura, Elasticidade e Fratura em objetos com superfícies rugosas ou com múltiplos vazios no seu volume para aplicação em problemas de contato térmico, convecção, porosidade, deformações mecânicas e fratura. Blyth e POZRIKIDIS [2003] estudou o efeito da transmissão de calor através de uma superfície irregular. No resumo de seu trabalho ele descreve: “The effect of irregularities on the rate of heat conduction from a twodimensional isothermal surface into a semi-infinite medium is considered. The effect of protrusions, depressions, and surface roughness is quantified in terms of the displacement of the linear temperature profile prevailing far from the surface. This shift, coined the displacement length, is designated as an appropriate global measure of the effect of the surface indentations incorporating the particular details of the possibly intricate geometry. To compute the displacement length, Laplace’s equation describing the temperature distribution in the semi-infinite space above the surface is solved numerically by a modified Schwarz– Christoffel transformation whose computation requires solving a system of highly non-linear algebraic equations by iterative methods, and an integral equation method originating from the single-layer integral representation of a harmonic function involving the periodic Green’s function. The conformal mapping method is superior in that it is capable of handling with high accuracy a large number of vertices and intricate wall geometries. On the other hand, the boundary integral method yields the displacement length as part of the solution. Families of polygonal wall shapes composed of segments in regular, irregular, and random arrangement are considered, and pre-fractal geometries consisting of large numbers of vertices are analyzed. The results illustrate the effect of wall geometry on the flux distribution and on the overall enhancement in the rate of transport for regular and complex wall shapes” Na elasticidade, P. D. Panagiotopoulos [1992] percebeu a necessidade de reformular a Mecânica dos Sólidos com base na teoria fractal. Paralelamente na Mecânica da Fratura, Arash Yavari [2000, 2002, 2006] reformulou o campo elástico ao redor de uma trinca usando o escalonamento fractal e descobriu novos modos de fratura e uma equação para a curva J-R fractal. Todos estes esforços vêm corroborar a idéia da existência de um novo campo a ser pesquisado e desenvolvido na ciência que unirá em um único ramo os problemas do campo contínuo com as irregularidades físicas e geométricas. Por outro lado, a Teoria Fractal se inseriu no contexto da Matemática dentro do que é chamado de Cálculo Fracional. Na área da Física ela está inserida no Campo dos Meios Desordendados, que inclui estruturas ramificadas, agregados, clusters de partículas, etc.
[Meakin 1988, 1989]. Dentro do contexto desse trabalho observou-se que todas as correções feitas ao campo clássico (escalar, vetorial ou tensorial), quer em problemas de fluxo de calor, de elasticidade e de fratura poderiam ser incluídas em um único contexto de uma Mecânica do Contínuo de Meios Irregulares.
Figura - 3. 5. Áreas abrangentes e interdisciplinares que podem envolver a Mecânica dos Meios Irregulares
Sendo assim diferentes áreas das ciências exatas(4) podem ser incluídas dentro de uma estrutura matemática abrangente que considere as mais variadas formas de irregularidades em um meio material, conforme ilustra a Figura - 3. 5.
3. 4.5 – A microestrutura e as irregularidades de um meio Entende-se por irregularidades quaisquer acréscimos físicos ou geométricos feitos ao meio contínuo tais como: poros, rugosidades superficiais, inclusão de partículas, zonas plásticas, zonas fundidas, trincas internas, etc. Nesta nova roupagem a Mecânica dos Meios Irregulares se reduz a Mecânica do Contínuo quando as irregularidades não existem. Por outro
lado a teoria fractal se insere neste contexto quando a opção pela modelagem das irregularidades for utilizando modelos fractais por causa da invariância por transformação de escalas dessas irregularidades. A Mecânica dos Meios Irregulares poderá neste sentido incluir a Mecânica dos Meios Desordenados quando as equações do continuo Irregular forem transformadas em equações discretas com irregularidades.
3.4.6 – Caracterísitcas básicas das estruturas irregulares Na microestrutura de um material sólido, por exemplo, encontra-se diferentes tipos de defeitos, entre eles estão, as inclusões, os precipitados, as discordâncias, microtrincas, fraturas, etc. conforme mostra a Figura - 3. 6.
Figura - 3. 6. Campo de Irregularidades de diferentes tipos de defeitos e irregularidades presentes num material que agem como concentradores de tensão e influenciam na formação da superfície de fratura (extraído do livro Ewalds, pág. 226, 1993).
Todas essas irregularidades básicas e/ou geométricas podem ser devidamente incluídas na teoria do campo contínuo clássico, na forma de defeitos pontuais, lineares, superficiais e volumétricos, desde que uma representação matemática apropriada seja elaborada de forma a descrever a cinética ou a dinâmica destes defeitos. Para isso vamos iniciar a nossa proposta incluindo na Mecânica do Contínuo apenas a influência geométrica dos
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A Eletrostática se inclui na Teoria dos Campos Escalares Clássicos enquanto que a Eletrodinâmica e o
defeitos.
3.5 – Densidades e Potenciais Generalizadas em termos de geometrias irregulares (rugosas ou porosas) (novo) Como conseqüência da hipótese do contínuo, nós devemos transformar as grandezas da Mecânica Clássica e da Mecânica dos Sólidos em densidades generalizadas, fazendo as grandezas originais se tornarem em grandezas por unidade de volume. Desta forma,
uma grandeza X qualquer, que pode ser massa, M, momento linear, p , Força, F , Energia, U, etc., deverá ser transformada na sua respectiva densidade da seguinte forma:
X . V 0 V
X lim
(3. 6)
onde X m, p, F ,U , etc (massa, momento, força, energia, etc) que podem ser grandezas escalares, vetoriais, tensoriais, etc; ou seja qualquer coisa pode ser utilizada para definir uma densidade genaralizada. Logo podemos escrever:
X
dX dX dm dX X . dV dm dV dM
(3. 7)
Considere o seguinte volume irregular encapsulado, ou inscrito, dentro de um volume euclidiano regular aparente, conforme mostra a Figura - 3. 7.
Magnetismo se inclui na Teoria dos Campos Vetorias Clássicos.
Figura - 3. 7. Volume irregular V encapsulado, ou inscrito, dentro de um volume euclidiano regular aparente Vo
Este volume aparente pode ser qualquer sólido ou forma regular que apresente um volume definido.
3.5.1 – O Conceito escalar da fração volumétrica irregular efetiva Definindo as densidades generalizadas e o em termos da geometria euclidiana e irregular (que pode ser fractal, ou não), respectivamente, temos:
Xo
dX . dVo
(3. 8)
e a densidade dentro do volume irregular (rugoso ou poroso) é dada por:
X
dX . dV
(3. 9)
mas pela regra da cadeia podemos escrever:
Xo
dX dV
dV dVo
.
(3. 10)
Logo, a expressão da densidade euclidiana em termos da densidade no volume irregular (rugoso ou poroso) pode ser expressa como:
Xo X
dV . dVo
(3. 11)
observe que o seguinte termo é válido para a conservação da massa, quando a grandeza ,
X m é dada por esta. obtendo:
o dVo dV dm .
(3. 12)
diz que a massa dentro do volume considerado permanece constante: A porosidade global de um meio é definida como:
pg
V0 V . Vo
(3. 13)
e a porosidade local é analogamente definida como: pl
d V0 V . dVo
(3. 14)
Chamando de fração volumétrica irregular efetiva ao seguinte termo:
dV . dVo
(3. 15)
logo temos que:
Xo X .
(3. 16)
as densidades reais e a aparente estão relacionadas uma com a outra pela fração volumétrica irregular efetiva local. Este última equação será utilizada dentro de outras equações que se seguem para se fazer as correções necessárias para os termos de rugosidade de superfícies e volumes. Observe que globalmente tem-se:
g 1 pg
V . Vo
(3. 17)
e V . Vo
(3. 18)
d V0 V dV . dVo dVo
(3. 19)
pg 1 g 1
e localmente
l 1 pl 1 logo
pl 1 l 1
dV . dVo
(3. 20)
ou seja, de forma geral a relação da porosidade com seu complementar é dado por:
p 1 .
(3. 21)
Esta é a relação entre a porosidade definida classicamente com a sua complementar definida como pela fração volumétrica irregular efetiva para os propósitos deste trabalho.
3.6 – A rugosidade geométrica de uma Linha ou Superfície Rugosa (novo) 3.6.1 – O Modelo Escalar da Rugosidade (novo) Considere a Figura - 3. 8, a qual mostra uma linha rugosa. Nesta figura vê-se o detalhe de um contorno rugoso em comparação com o mesmo problema de campo escalar em um contorno liso. A partir dos pontos do contorno rugoso, em detalhe a direita da Figura - 3. 8, pode-se definir a rugosidade escalar.
Figura - 3. 8. Modelo de rugosidade Escalar
O diferencial do comprimento de uma linha euclidiana lisa dada por:
dLo dxo 2 dyo 2 .
(3. 22)
analogamente considere o diferencial do comprimento de uma linha euclidiana rugosa dada por: dL dx 2 dy 2 .
(3. 23)
Uma proposta de medida de rugosidade é dada pela razão entre os diferenciais acima, onde define-se
dx 2 dy 2 dL . dLo dxo 2 dyo2
(3. 24)
Para um contorno discretizado em segmentos podemos tomar o diferencial das coordenadas sobre os elementos do contorno de uma placa lisa como: dyoi yoi yoi 1 .
(3. 25)
dxoi xoi xoi 1 .
(3. 26)
e
Para um contorno discretizado em segmentos podemos tomar o diferencial das coordenadas sobre os elementos do contorno de uma placa rugosa como: dyi yi yi 1 .
(3. 27)
dxi xi xi 1 .
(3. 28)
e
Logo a equação (3. 22) e (3. 23) pode ser reescritas como:
dLoi dxoi 2 dyoi 2 .
(3. 29)
dLi dxi 2 dyi 2 .
(3. 30)
e
e
dLi dLoi
dxi 2 dyi 2 2
dxoi dyoi
.
2
(3. 31)
Ou
xi xi 1 2 yi yi 1 2
dLi dLoi
xoi xoi 1 2 yoi yoi 1 2
.
(3. 32)
Este modelo escalar da rugosidade não aparece diretamente nas propostas futuras, mas em alguns casos particulares a equação (3. 31) pode ser equivalente aos cossenos dos ângulos formados entre os segmentos sobre a superfície rugosa e sua projeção sobre uma linha lisa de referência euclidiana. Considerando o caso particular onde dxo dxi , ou seja:
xoi xoi 1 xi xi 1
.
(3. 33)
Temos as diferentes definições para a rugosidade escalar dadas por:
dLi dLoi
y yi 1 1 i xi xi 1 1
2
yoi yoi 1 xoi xoi 1
2
.
(3. 34)
ou
dxi 2 dyi 2 dLi dLoi dxoi dLi dLoi
xi xi 1 2 yi yi 1 2 xoi xoi 1
y yi 1 dLi 1 i dLoi xoi xoi 1
(3. 35)
2
No capítulo Capítulo VII é visto a utilização dessa definição de rugosidade em um modelo de superfície de fratura e nas curvas G-R e J-R da Mecânica da Fratura Fractal.
3.6.2 – O Modelo Vetorial da Rugosidade (novo) Por outro lado, considere a Figura - 3. 9onde se observa o vetor posição e o vetor normal sobre os pontos de um contorno rugoso. De acordo com a necessidade do problema do campo em estudo se este é vetorial, a partir dessa Figura - 3. 9, pode-se definir um coeficiente de rugosidade vetorial da seguinte forma:
Figura - 3. 9. Modelo de rugosidade vetorial rˆ rˆo nˆo
da seguinte forma: x ˆˆ ii xo o r y ˆˆ x ji o
x ˆˆ ij yo . y ˆˆ jj yo
(3. 36)
considerando que a matriz é diagonal, ou seja x / yo 0 e y / xo 0 temos x ˆˆ ii xo o r 0
. y ˆˆ jj yo 0
(3. 37)
cujo o módulo é dado por: 2
2
x y o r . xo yo e
(3. 38)
dr o r . r .nˆo . dno
(3. 39)
Para um contorno discretizado em segmentos podemos tomar o diferencial das das coordenadas sobre os elementos do contorno de uma placa rugosa de forma análoga a formulação anterior e obter:
o ri
x i xoi
iˆ
y i yoi
ˆj .
(3. 40)
De acordo com as equações (3. 38) e (3. 39) este modelo representa a variação relativa das projeções de cada segmento da linha rugosa sobre uma linha lisa de referência euclidiana. Para um contorno discretizado em segmentos podemos tomar o diferencial das coordenadas sobre os elementos do contorno da placa lisa como: dyoi yoi yoi 1 .
(3. 41)
dxoi xoi xoi 1 .
(3. 42)
e
Para um contorno discretizado em segmentos podemos tomar o diferencial das coordenadas sobre os elementos do contorno da placa rugosa como: dyi yi yi 1 .
(3. 43)
dxi xi xi 1 .
(3. 44)
e
Portanto, xi xi 1 iiˆˆ x x oi oi 1 o ri y yi 1 ˆˆ i ji xoi xoi 1
xi xi 1
ijˆˆ yoi yoi 1 . yi yi 1 ˆˆjj yoi yoi 1
considerando que a matriz é diagonal, ou seja x / yo 0 e y / xo 0 temos
(3. 45)
xi xi 1 iiˆˆ xoi xoi 1 o ri 0
. yi yi 1 ˆˆjj yoi yoi 1 0
(3. 46)
Para a rugosidade vetorial tem-se: dri dx dy i iˆ i ˆj droi dxoi dyoi dri x x y yi 1 ˆ i i 1 iˆ i j droi xoi xoi 1 yoi yoi 1 dri y yi 1 ˆ 1iˆ i j droi yoi yoi 1
(3. 47)
Observe que o módulo de (3. 31) é dado de forma análoga ao modelo escalar de rugosidade, ou seja: 2
x x y yi 1 o ri i i 1 i xoi xoi 1 yoi yoi 1
2
.
(3. 48)
Considerando o caso particular onde dxo dxi , ou seja:
xoi xoi 1 xi xi 1
.
(3. 49)
Temos:
y yi 1 o ri 1 i yoi yoi 1
2
.
(3. 50)
Esta é a forma vetorial da rugosidade que poderá ser útil em problemas de campos vetoriais.
3.6.3 – Conceito Tensorial de Rugosidade (novo) O conceito de rugosidade que descreveremos, a seguir, permite o desenvolvimento de uma teoria de campo contínuo contendo irregularidades onde os teoremas fundamentais (Teorema da Divergência e Teorema de Gauss, etc) podem ser inseridos nesta teoria, de forma análoga a teoria de campo contínuo clássico regular (escalar, vetorial ou tensorial) da qual já estamos acostumados.
Figura - 3. 10. Rugosidade de uma linha ou de uma superfície em relação a uma projeção média lisa de referência.
Consideremos uma linha ou superfície rugosa se esta apresenta qualquer desvio ou “deformação” relativa a uma reta ou a um plano médio de projeção dito liso, isto é, sem rugosidade, conforme mostra a Figura - 3. 10. Observe que a rugosidade pode ser localizada ou distribuída. Quando esta “rugosidade” for do tipo volumétrica, isto é, se achar no interior de um volume qualquer, chamar-la-emos de “fração volumétrica irregular efetiva”. Pois em termos de uma generalização dimensional esta idéia é consistente com a teoria fractal, por exemplo. É preciso não confundir a rugosidade tensorial que será definida a seguir com o tensor gradiente de deformação F x / X da Mecânica do Contínuo Clássica. Este último é um dos tensores que transforma as coordenadas não deformadas em coordenadas deformadas. É necessário obter uma expressão matemática que defina a rugosidade de forma local, ou seja, dependente das coordenadas. Neste sentido, podemos definir e equacionar a rugosidade de uma superfície irregular da seguinte forma: dA dA nˆ nˆo . dAo dAo
(3. 51)
o símbolo " " denota o produto tensorial entre dois vetores, ou seja, a b aib j Aij que
é uma matriz correspondendo a um tensor de ordem 2, onde dA é o elemento de área sobre a superfície rugosa e dAo é o elemento de área sobre a superfície lisa.
Figura - 3. 11. Superfície irregular A contida em uma superfície euclidiana regular aparente
projetada A0 .
Observe que o elemento de área rugosa dA e o elemento de área sobre a superfície lisa dAo podem ser escritos como:
dA dAnˆ . dAo dAo nˆo
(3. 52)
ou seja, estes elementos de superfícies estão relacionados ao vetor normal em cada ponto das superfícies rugosa e projetada, respectivamente. Portanto, cada um destes elementos depende das coordenadas das superfícies:
A A x, y . Ao Ao x, y
(3. 53)
A operação diferencial em (3. 51), na verdade, dá origem a um “tensor de rugosidade” que pode ser chamado de “gradiente de superfície” e este por sua vez está relacionado ao tensor de curvatura ou a variação do vetor normal com a posição sobre a superfície rugosa [PAOLO Mariano, 2003]. O tensor de rugosidade em 3D pode ser escrito explicitamente em coordenadas cartesianas como: 2 A xx 2 A yx 2 A zx
2 A xy 2 A yy 2 A zy
2 A xz 2 A . yz 2 A zz
(3. 54)
A equação (3. 51) pode ser reescrita como:
A .dAo .
(3. 55)
S
tomando a derivada de A em relação ao elemento de volume, para uma superfície qualquer inclusive no interior do volume, temos que a densidade volumétrica de superfície rugosa no interior do volume é:
dA d A dV dV
.dA . o
(3. 56)
S
como o lado direito de (3. 56) é a própria definição do divergente de , temos:
.
d dV
.dA . o
(3. 57)
S
logo, igualando (3. 57) com (3. 56) vemos que a densidade de superfície rugosa é dada por: dA A . . dV
(3. 58)
ou ainda, podemos reescrever (3. 57) e obter:
. dV .dA . o
V
(3. 59)
S
sendo dado pela integração de (3. 51), tem-se: d .dAo . dA S
(3. 60)
d . dV . dAo V
(3. 61)
ou a partir de (3. 59) temos:
comparando (3. 55) com (3. 59) temos que:
A . dV .
(3. 62)
V
Esta relação nos ajuda a obter valores de área rugosas em termos do divergente de rugosidade, interior ao volume.
3.7 – Fluxos e Equações de Movimento generalizados em termos de geometrias rugosas (Novo) Na natureza algumas grandezas dinâmicas podem ser representadas por meio de taxas e fluxos generalizados. Entre eles está a taxa e o fluxo de massa, o fluxo de calor, o fluxo de momento linear, etc., que atravessa um corpo, por exemplo. Definimos a taxa de uma determinada grandeza X como sendo: dX . X dt
(3. 63)
a derivada temporal de uma grandeza X define uma grandeza chamada de derivada material no contínuo a qual está descrita no Capítulo – II na secção 2.7.1. De forma geral o fluxo de uma grandeza generalizada X que atravessa uma área infinitesimal, dAo , em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, é definido como: dX d dX J Xo . dAo dAo dt
(3. 64)
Esta grandeza, X , é de natureza geral e pode ser um escalar (massa M, carga elétrica q, calor Q, energia U entropia S, etc ) ou um vetor (momento p , velocidade v , etc.) ou um tensor (tensão
, Polarização P , etc.). O sobrescrito “ 0 ” indica que a geometria considerada é a
geometria euclidiana regular.
Figura - 3. 12. Fluxo através de uma superfície irregular A contida em uma superfície euclidiana regular aparente projetada Ao
Neste ponto aparece a motivação de se utilizar a Teoria Fractal na descrição de superfícies rugosas. A maior motivação do uso da teoria fractal nos modelos matemáticos e
fenomenológicos está na possibilidade de se descrever analiticamente as estruturas irregulares. Equações de potenciais e fluxos que atravessam superfícies rugosas podem ser reescritas em termos da geometria fractal, onde o efeito da rugosidade pode ou não influenciar o fenômeno.
3.7.1 – O Fluxo de Generalizado, JX, através de uma Superfície Rugosa (novo) Considere a superfície irregular A e a sua respectiva projeção Ao no plano euclidiano, pelas quais passam o fluxo de alguma grandeza X 0 . Seja J Xo o fluxo generalizado da grandeza X d dX J Xo 0 , dAo dt
(3. 65)
onde Ao é a área de projeção euclidiana de A . Vamos a partir de agora definir o fluxo generalizado, J X 0 , das grandezas generalizadas, X 0 consideradas anteriormente, como sendo: J X0
d dX 0 dA dA dt dA0
(3. 66)
Onde X 0 m, p0 , F0 ,U 0 , etc .
Desde que dX/dt é uma derivada material para as grandezas X = Q (calor), q (carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. O fluxos correspondentes podem ser definidos como JX = JQ (fluxo de calor), Jq (fluxo de corrente elétrica), J (fluxo de massa), Jp (fluxo de momento = pressão + tensão tangencial), etc, dados respectivamente pelas lei de Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc.
Normalmente o fluxo J X 0 está associado a uma densidade X 0 e a uma velocidade v X 0 do processo ou fenômeno em questão:
d dX 0 dA J X0 J X 0 X 0 vX 0 . dA dt dA0
(3. 67)
Observa-se que mesmo uma densidade (como no caso da tensão mecânica que é uma densidade de energia por unidade de volume) esta também pode ser o fluxo de uma outra grandeza (no caso da tensão mecânica é um fluxo de momento). Assim densidades, fluxos e
velocidades generalizadas estão associadas umas as outras. Logo, para o caso onde a grandeza
X 0 p0 , corresponde ao momento linear da partícula tem-se: d dp0 dA J p0 J p0 σ 0 . dA dt dA0
(3. 68)
é o tensor das tensões o qual será utilizado mais adiante, e o fluxo generalizado da grandeza
X 0 p0 corresponde a densidade de forças ou o gradiente do tensor das tensões. f X 0 F0 J p0 .
(3. 69)
Se a área Ao que o fluxo J Xo atravessa é a área de projeção euclidiana, para passar esta equação para a descrição irregular (fractal ou não) basta incluir a derivada em relação a área de superfície rugosa da seguinte forma: d dX 0 dA J Xo , dA dt dAo
(3. 70)
Observe que na equação (3. 70) manteve-se a descrição fenomenológica em termos da área projetada onde apenas a correção da rugosidade foi acrescentada. Desta forma o fluxo em termos da superfície de área rugosa é dado de forma análoga a (3. 65), como: d dX JX 0 , dA dt
(3. 71)
Portanto, podemos escrever (3. 70) da seguinte forma: dA J Xo J X , dAo
(3. 72)
onde definindo-se o tensor rugosidade dado em (3. 51) por: dA dA nˆ nˆo . dAo dAo
(3. 73)
logo, a equação do fluxo atuante na superfície rugosa é:
J Xo J X ,
(3. 74)
Esta equação mostra que o fluxo projetado está relacionado o fluxo rugoso a menos do tensor de rugosidade.
3.7.2 – “Fluxo de Porosidade” e Equação de Movimento da fração volumétrica irregular efetiva (novo) É possível imaginar processos ou fenômenos físicos em que a fração volumétrica irregular efetiva varie com o tempo e com as coordenadas de sua posição. Neste sentido podemos definir um “fluxo de porosidade”, desde que o fenômeno ou processo envolvido seja o responsável pela sua geração, formação e transporte, como por exemplo, o processo de corrosão, coalescência de microvazios no interior de um material, o processo de remodelação óssea e osteoporose. Sabendo que fração volumétrica irregular efetiva é definida a partir de (3. 15) como:
dV . dVo
(3. 75)
Conforme a Figura - 3. 13, podemos definir o fluxo da fração volumétrica irregular efetiva como sendo: d d J0 dA0 dt
.
(3. 76)
Figura - 3. 13. Fluxo da fração volumétrica irregular efetiva ou “fluxo de porosidade” deslocando-se com uma velocidade média v para uma direção enquanto a perda de massa se desloca na direção contrária.
Observe que um fração volumétrica irregular efetiva na Figura - 3. 13 segue uma direção oposta a um fluxo de partículas que abandona um corpo material conforme mostra a
Figura - 3. 13. Agora, integrando a equação (3. 76) em termos da área projetada A0 obtém-se:
d J 0 .dA0 . dt
(3. 77)
alternativamente a taxa temporal de variação do volume real pode ser expressa em termos da área rugosa real da superfície, utilizando a transformação dada na (3. 51) ou (3. 73) em (3. 77), como:
d 1 J .dA . dt
(3. 78)
Considerando válido o teorema da divergência para o fluxo de fração volumétrica irregular efetiva tem-se: d d d J .dA0 . .J 0 dV0 dt dV0 0
(3. 79)
ou
d d dV dt
d J .dA . .J dV
(3. 80)
logo J . dA . J 0 0 0 .dV0 .
(3. 81)
alternativamente, usando a equação (3. 15) e integrando em termos do volume real tem-se:
1 J 0 .dA0 .J .dV .
(3. 82)
então, comparando-se (3. 81) com (3. 77) tem-se: d .J .dV0 . dt
(3. 83)
ou alternativamente comparando-se (3. 82) com (3. 78) tem-se:
d 1 .J .dV . dt
logo, derivando (3. 83) em relação ao volume temos:
(3. 84)
d d dV0 dV0
.J .dV
0
.
(3. 85)
como o lado direito de (3. 85) é a própria definição de divergente tem-se: d .J . dVo
(3. 86)
trocando a ordem das derivadas de (3. 86) tem-se:
d d .J dt dVo
.
(3. 87)
observe que a fração volumétrica irregular efetiva dentro do parêntesis em (3. 87) é a própria densidade de volume poroso. Portanto,
d .J . dt
(3. 88)
Ou substituindo (3. 75) em (3. 87) tem-se a equação de movimento do fluxo de fração volumétrica irregular efetiva: .J .
(3. 89)
Esta equação representa uma fenomenologia geral de como varia a fração volumétrica irregular efetiva com a posição em um meio irregular, sujeito a campos de forças que deslocam sua massa e movimentam suas irregularidades no interior do seu volume aparente.
3.7.3 - Relação entre fração volumétrica irregular efetiva e vazão de massa Ainda de acordo a Figura - 3. 13 podemos definir o fluxo associado a vazão como sendo: d dV JV dA0 dt
.
(3. 90)
logo, integrando a equação (3. 90) em termos da área projetada A0 obtém-se a vazão como
sendo:
dV JV .dA0 . dt
(3. 91)
alternativamente a taxa temporal de variação do volume real pode ser expressa em termos da área rugosa real da superfície, utilizando a transformação dada na (3. 51) em (3. 91), como: dV 1 JV .dA . dt
(3. 92)
Considerando válido o teorema da divergência para o fluxo de fração volumétrica irregular efetiva tem-se: d dV dV0 dt
d JV .dA0 . .JV dV0
(3. 93)
ou d .JV dV
d dV dV0 dt
1
JV .dA .
(3. 94)
logo J . dA . J V 0 V .dV0 .
(3. 95)
alternativamente, usando a equação (3. 15) e integrando em termos do volume real tem-se:
J
V
1 .dA0 .JV .dV .
(3. 96)
então, comparando-se (3. 95) com (3. 91) tem-se:
dV .JV .dV0 . dt
(3. 97)
ou alternativamente comparando-se (3. 96) com (3. 92) tem-se:
dV 1 .JV .dV . dt
(3. 98)
logo, derivando (3. 97) em relação ao volume temos: dV d dV0 dV0
.J .dV V
0
.
como o lado direito de (3. 99) é a própria definição de divergente tem-se:
(3. 99)
dV . .JV dVo
(3. 100)
trocando a ordem das derivadas de (3. 100) tem-se: d dV .JV dt dVo
.
(3. 101)
observe que a fração volumétrica irregular efetiva dentro do parêntesis em (3. 101) é a própria densidade de volume poroso dada em (3. 75). Portanto, d . .JV dt
(3. 102)
Esta equação representa uma fenomenologia geral de como varia o fluxo de volume com a posição em um meio irregular, sujeito a campos de forças que deslocam sua massa e movimentam suas irregularidades no interior do seu volume aparente. Ou substituindo (3. 75) em (3. 101) tem-se a equação de movimento do fluxo de fração volumétrica irregular efetiva: .JV .
(3. 103)
Esta equação mostra que a variação espacial do volume irregular é igual a taxa de variação da fração volumétrica irregular efetiva.
3.7.4 – Conjugação do fluxo de fração volumétrica irregular efetiva com a Rugosidade (novo) Sabemos que (3. 76) pode ser reescrita como: d d dA J0 . dA dt dA0
(3. 104)
d d J0 . dA dt
(3. 105)
J 0 J .
(3. 106)
onde a partir de (3. 73) tem-se:
ou
Esta equação mostra que o fluxo fração volumétrica irregular efetiva projetada está relacionado o fluxo fração volumétrica irregular efetiva rugosa a menos do tensor de rugosidade.
3.7.5 – Fluxo de Rugosidade e a Equação de Movimento da Rugosidade (novo) De forma análoga aa fração volumétrica irregular efetiva, é possível imaginar processos, ou fenômenos físicos, em que a rugosidade varie com o tempo e com as coordenadas de sua posição. Neste sentido, podemos definir o fluxo de rugosidade, desde que o fenômeno, ou processo, envolvido seja o responsável pela sua geração, formação e transporte, como por exemplo, o processo de amassamento de um material, o processo de fratura, etc. Sabendo que rugosidade é definida a partir de (3. 73) como: dA dA nˆ nˆ0 . dAo dAo
(3. 107)
Conforme a Figura - 3. 14, podemos definir o fluxo de rugosidade como sendo:
d d J . dAo dt
(3. 108)
Figura - 3. 14. Fluxo da fração volumétrica deformada ou fluxo de rugosidade deslocando-se com uma velocidade média v para uma direção.
trocando a ordem das derivadas tem-se:
d d J . dt dAo
(3. 109)
usando (3. 51) em (3. 108) tem-se: d J . dt
(3. 110)
Por outro lado, integrando-se a equação (3. 108) em termos da área projetada A0
obtém-se:
d dt
J .dAo .
(3. 111)
alternativamente, usando a equação (3. 51) em (3. 111) e integrando em termos da área rugosa real tem-se: d dt
1 J .dA .
(3. 112)
Considerando válido o teorema da divergência para o fluxo de rugosidade tem-se: J . dA . J o .dVo .
(3. 113)
alternativamente, usando a equação de fração volumétrica irregular efetiva dada em (3. 15) e integrando em termos do volume real tem-se: 1 J . dA . J o .dV .
(3. 114)
então comparando-se (3. 113) com (3. 111) tem-se:
d dt
.J .dVo .
(3. 115)
ou alternativamente comparando-se (3. 114) com (3. 112) tem-se: d dt
1 .J .dV .
logo derivando (3. 115) em relação ao volume temos:
(3. 116)
d
dVo
d dVo
.J .dV
o
.
(3. 117)
como o lado direito de (3. 117) é a própria definição de divergente tem-se: d .J . dVo
(3. 118)
trocando a ordem das derivadas de (3. 118) temos:
d d .J . dt dVo
(3. 119)
observe que dentro do parêntesis em (3. 119) é a própria densidade de superfície rugosa. Portanto,
d . .J dt
(3. 120)
substituindo (3. 51) em (3. 119) tem-se a equação de movimento do fluxo de rugosidade: d d .J dt dVo
.dA . o
(3. 121)
S
como o lado direito de (3. 137) é a própria definição de divergente tem-se:
.J . .
(3. 122)
Esta equação representa uma fenomenologia geral de como varia a rugosidade com a posição em um meio irregular, sujeito a campos de forças que deslocam sua massa e movimentam suas irregularidades na superfície do seu volume aparente. Ainda a partir de (3. 111) e (3. 118) temos:
d .J . dt
(3. 123)
que corrobora a equação (3. 110).
3.7.6 - Relação da Rugosidade com o Fluxo de Àrea Rugosa (novo) Ainda de acordo a Figura - 3. 14 podemos definir o fluxo de área rugosa como sendo:
d dA JA . dAo dt
(3. 124)
trocando a ordem das derivadas tem-se:
d dA JA . dt dAo
(3. 125)
usando (3. 51) em (3. 125) tem-se:
d J A . dt
(3. 126)
Por outro lado, integrando-se a equação (3. 124) em termos da área projetada A0
obtém-se: dA J A .dAo . dt
(3. 127)
alternativamente, usando a equação (3. 51) em (3. 127) e integrando em termos da área rugosa real tem-se:
dA 1 J A .dA . dt
(3. 128)
Considerando válido o teorema da divergência para o fluxo de rugosidade tem-se:
J
A
.dAo .J A .dVo .
(3. 129)
alternativamente, usando a equação de fração volumétrica irregular efetiva dada em (3. 15) e integrando em termos do volume real tem-se:
J
A
1 .dAo .J A .dV .
(3. 130)
então comparando-se (3. 129) com (3. 127) tem-se: dA .J A .dVo . dt
ou alternativamente comparando-se (3. 130) com (3. 128) tem-se:
(3. 131)
dA 1 .J A .dV . dt
(3. 132)
logo derivando (3. 131) em relação ao volume temos:
dA d dVo dVo
.J .dV A
o
.
(3. 133)
como o lado direito de (3. 133) é a própria definição de divergente tem-se:
dA . .J A dVo
(3. 134)
trocando a ordem das derivadas de (3. 134) temos: d dA .J A dt dVo
.
(3. 135)
observe que dentro do parêntesis em (3. 135) é a própria densidade de superfície rugosa. Portanto, dA .J A . dt
(3. 136)
substituindo (3. 51) em (3. 135) tem-se a equação de movimento do fluxo de rugosidade:
d d .J A dt dVo
.dAo . S
(3. 137)
como o lado direito de (3. 137) é a própria definição de divergente tem-se:
d .J A . . dt
(3. 138)
Ainda a partir de (3. 127) e (3. 134) temos:
.J A . .
(3. 139)
que corrobora a equação (3. 126).
3.7.7 – A Equação de Movimento Generalizada (novo) Mantendo-se a relação entre as taxas temporais da grandeza X inalterada, temos:
dX J Xo dAo J X .dA . dt
(3. 140)
Definindo-se o divergente como sendo: d dX .J Xo dVo dt
.
(3. 141)
d dX .J X dV dt
.
(3. 142)
e
Aqui é importante observar como o teorema da divergência pode ser escrito a partir de (3. 65) e (3. 140) em termos de volumes que envolvem ou não rugosidades ou irregularidades, fractais, obtendo-se:
J
Xo
dAo .J Xo dVo .
(3. 143)
.dA .J X dV .
(3. 144)
e
J
X
Substituindo (3. 143) e (3. 144) em (3. 65) ou (3. 140), temos: dX .J Xo dVo .J X .dV . dt
(3. 145)
Trocando a ordem das derivadas (3. 141) e (3. 142) pela regra de Schwartz para funções com derivadas contínuas podemos escrever: d dX .J Xo . dt dVo
(3. 146)
d dX .J X dt dV
(3. 147)
e
.
substituindo (3. 8) e (3. 9) nas equações (3. 146) e (3. 147), respectivamente, temos: d .J Xo Xo . dt
e
(3. 148)
d .J X X . dt
(3. 149)
Escrevendo a equação (3. 146) ou (3. 148) da continuidade em termos da relação (3. 72) e (3. 11)
dA d dV . J X nˆ nˆo X . dAo dt dVo
(3. 150)
ou em termos do tensor rugosidade dado em (3. 51) e da fração volumétrica irregular efetiva dada em (3. 15) temos:
d . J X X . dt
(3. 151)
Definimos a equação da continuidade na nova roupagem geométrica para várias fenomenologias que dependem de geometrias irregulares. Neste conjunto de fenomenologias estão os fenômenos: da difusão, transferência de calor, escoamento viscoso, deformação de sólidos, mecânica da fratura, eletromagnetismo, etc. A equação de movimento (3. 151) pode ser ainda generalizada, porque as forças de superfícies sempre podem ser escritas como divergentes de fluxos, da seguinte forma:
f . J S X
(3. 152)
logo temos:
d f f V S dt X onde,
fV , é a somatória da densidade de forças de volume,
(3. 153)
f S é a somatória da
densidade das forças de superfície. Portanto,
f
V
d . J X X dt
(3. 154)
Esta é uma equação geral para um meio irregular que possui rugosidade e porosidade.
3. 8 – Equação Constitutiva de Potenciais Vetoriais em termos de geometrias rugosas (novo) 3.8.1 – Equações Constituitvas e Leis de Fluxos proveniente de Gradientes Vários fenômenos de transporte em meios contínuos podem ser unificados em equações de potenciais (escalares ou vetoriais) e de fluxos. Entre eles se encontram a Mecânica dos Sólidos, dos Fluidos e do Calor, Mecânica da Fratura, etc. Essa generalização é devida a J. W. Gibbs, pois ele identificou que vários problemas de transporte podem ser escritos em termos do gradiente de grandezas escalares ou vetoriais ( Figura - 3. 15) juntos com a equação da continuidade. Essa unificação deu avanço a chamada Mecânica do Contínuo e a Termodinâmica dos Processos Irreversíveis. Contudo, atualmente várias formulações matemáticas feitas com base em geometrias regulares como a geometria euclidiana, estão sendo revisitadas, na tentativa de se incluir analiticamente as irregularidades de padrões geométricos de volumes e de superfícies contidos ou formados durante o fenômeno. Utiliza-se a geometria fractal para essa modelagem, como uma forma de descrever mais autenticamente tais fenômenos. Desta forma, diferentes fenomenologias de fluxos apresentam a mesma estrutura matemática a qual está resumida na Figura - 3. 15.
Figura - 3. 15. Leis fenomenológicas de fluxos proporcionais aos gradientes de suas respectivas grandezas.
Para os propósitos deste trabalho vamos estudar como a rugosidade influencia nos fenômenos de potencial vetorial como a teoria da elasticidade e a mecânica da fratura, considerando para o problema da elasticidade a tensão aplicada como um fluxo de momento dado pela Lei de Hooke modificada: i) no dominio J X . X X T X . 2
(3. 155)
para a elasticidade e fratura frágil Esse problema de elasticidade também pode ser escrito na forma geral dada em Erro! Fonte de referência não encontrada. usando-se o tensor de Eshelby-Rice apresentado na secção 2.14.2. ii) para o contorno de forma geral tem-se: d dX JX dA dt
.
(3. 156)
Vamos a partir de agora estudar o efeito da rugosidade (fractal ou não) em problemas de potenciais vetoriais como a fratura elástica.
3.8.2 - Relação entre Rugosidade e fração volumétrica irregular efetiva em Campos Vetoriais (novo) Sabendo que o fluxo de uma grandeza que atravessa um superfície euclidiana pode ser escrito em termos do fluxo desta mesma grandeza que atravessa uma superfície rugosa da seguinte forma como: J Xo J X .
(3. 157)
pela relação de Gibbs para a Lei de Hooke Generalizada temos que: J Xo . Xo
Xo T Xo . 2
(3. 158)
J X . X
X T X . 2
(3. 159)
e consequentemente
como as densidades são dadas por
o .
(3. 160)
logo substituindo (3. 158) e (3. 159) em (3. 157) temos:
. Xo
Xo T Xo . X X T X . 2 2
(3. 161)
o que resulta que: Xo X .
(3. 162)
. Xo . X .
(3. 163)
e
usando (3. 160) em (3. 162) temos: X X .
(3. 164)
. X . X .
(3. 165)
e
logo, desenvolvendo-se o operador diferencial em (3. 164) tem-se:
X X X .
(3. 166)
. X X . . X .
(3. 167)
e
ou reescrevendo (3. 167) tem-se:
I
X
X .
(3. 168)
I .
X
X . .
(3. 169)
e
considerando o caso em que:
. 0 .
(3. 170)
então . X 0 ou
.
(3. 171)
I Portanto, devemos considerar apenas uma das situações em (3. 171). Seguindo, então, com a escolha de . X 0 , temos então que: X . X I
(3. 172)
sabendo que:
ˆ d X X .sds
.
(3. 173)
ˆ d X .sds . X I
(3. 174)
X
nˆ.sˆ
logo
integrando temos:
.sˆ ln X ds . I *X
(3. 175)
onde *X é uma densidade de referência da grandeza X . Portanto, exponenciando (3. 175) temos:
.sˆ X *X exp ds . I
(3. 176)
Este resultado mostra uma relação entre a densidade real e a aparente em termos dos parâmetros de porosidade e do tensor de rugosidade. Esta relação não depende do sistema de coordenadas. Observe que se não houver rugosidade na superfície do sistema considerado mas porosidade no volume, temos que: .sˆ X *X exp ds .
(3. 177)
d X *X exp .
(3. 178)
X * X exp ln . *
(3. 179)
X *X . *
(3. 180)
ou
e
logo
Este é um resultado conhecido, que define a relação entre porosidade e densidade real e aparente.
3. 9 – A Equação do Campo Contínuo com Irregularidades (novo) 3.9.1 - Modificação da Equação Constitutiva de Potenciais Vetoriais – Caso Elástico Para os propósitos deste trabalho vamos estudar os fenômenos de potencial vetorial como a teoria da elasticidade e a mecânica da fratura. Robert Hooke descobriu a relação entre tensão e deformação de um material elástico. Na versão generalizada de sua lei para o campo de tensão-deformação para meios irregulares devemos ter: J X 0 . X 0 X 0 T X 0 . 2
(3. 181)
Com a correção da rugosidade temos:
dV J Xo . X dVo 2
dV dV T X X . dVo dVo
(3. 182)
explicitando a operação do gradiente sobre os termos entre parêntesis temos: J Xo . X
dV dVo
dV X dVo
.
dV dV dV T T dV X X X X 2 dVo dVo dVo dVo
(3. 183)
ou seja, a equação do fluxo de campo escalar com irregularidades atuante no volume poroso:
J Xo . X X
. X X T X X T 2
(3. 184)
reorganizando os termos dessa equação tem-se: J Xo . X X T X X 2 Energética
ou para superfícies rugosas:
T 2 . Geométrica
(3. 185)
J X 0 . X X T X . 2
(3. 186)
Neste conjunto de fenomenologias que seguem a equação da continuidade estão os fenômenos, do escoamento viscoso, a deformação de sólidos, mecânica da fratura, eletromagnetismo, etc.
3.9.2 - Proposta de uma equação para o potencial vetorial com irregularidades para a teoria da elasticidade Para se escrever uma equação de movimento para o campo elástico com irregularidades, podemos partir da equação (3. 16) em (3. 181) ou (3. 184) e (3. 16) em (3. 148) e (3. 151) e obter: d . . X X T X X . 2 dt
(3. 187)
ou alternativamente substituindo (3. 181) e (3. 11) em (3. 148) temos:
dV dV dV d dV T . . X X X X . dVo 2 dVo dVo dt dVo
(3. 188)
ou desenvolvendo os operadores internos a partir de da equação (3. 188) . . X
dV dV X dVo dVo
. X 2
d dV dV dV dV T T dV X X X X dVo dVo dVo dVo dVo dt .
(3. 189)
para , cte temos: dV dV . . X X dVo dVo . dV dV dV d dV T T dV . X X X X X 2 dVo dVo dVo dVo dVo dt
(3. 190)
executando o cálculo do gradiente e do Laplaciano com irregularidades no domínio tem-se:
2 X 2. X X .
. d . X 2 X 2T X 2T X T X 2T X 2 dt
(3. 191)
ou
. X 2. X X .
T . . X 2 X X . . X d X 2 T 2. T .T dt X X X
(3. 192)
ou agrupando em termos semelhantes tem-se: 2 T T X . X . X . . . X 2 2 Energética
Geométrica
(3. 193)
d 2. X . X . X T X dt Termos de Interação
. Esta é uma proposta de equação de movimento para um meio elástico com irregularidades. Utilizando-se a equivalência entre rugosidade e a fração volumétrica irregular efetiva dado em (3. 15) para descrever o potencial vetorial
X na superfície do material.
Observe que a parte energética possui forma análoga à parte geométrica, ou seja, isoladamente as soluções são análogas, a menos do termo de interação. È certo que a solução de uma equação do tipo mostrada em (3. 193) é muito complexa, por isso precisamos recorrer a métodos alternativos ou aproximados. Uma das alternativas é acrescentar correções do termo de porosidade ponto a ponto no domínio a partir da solução primitiva sem irregularidades (problema euclidiano), ou seja, corrige-se a solução do problema elástico sem irregularidades acrescentando-se termos de correções ponto a ponto no domínio a para se obter a solução com irregularidades. Outra alternativa é corrigir a solução sem irregularidades com modelos geométricos fractais desde que a geometria do problema seja fractal que possa aceitar tais correções. Para o caso estático tem-se d X / dt 0 , logo: 2 T T X . X . X . . . X 2 2 2. X . X . X T 0
(3. 194)
. A título de exemplo de solução numérica de problemas com irregularidades apresentamos na Figura - 3. 16 abaixo a solução numérica de um problema de potencial escalar com irregularidades no meio, dado pela seguinte equação do tipo “equação de Laplace” com irregularidades: 2 X . 2. X 0 .
(3. 195)
Figura - 3. 16. Campo escalar com pontos concentradores de campo aleatoriamente distribuídos no meio
3.9.3 - Equação do Potencial Vetorial para as Superfícies Rugosas Para se escrever uma equação de movimento para o campo elástico com irregularidades, podemos substituir a equação (3. 186) em (3. 151) e obter: d . . X X T X X . 2 dt
(3. 196)
Logo
. X . X . . X T X 2
d X T X . X 2 dt Ou reescrevendo temos:
.
(3. 197)
. X . X T X 2
. d T X X . X . X dt 2
(3. 198)
E finalmente
. X . T X 2 . d T X X . X . X dt 2
. X
(3. 199)
Esta é uma proposta de equação de movimento para um meio elástico com rugosidades na superfície. Para o caso estático tem-se d X / dt 0 , logo:
. X
. X . T X 2
X T X . X . 0 2
.
(3. 200)
Reescrevendo esta equação temos:
. X . T X . 2 0. T X X . X 2
. X
(3. 201)
O que resulta em duas equações separadas: Uma para problema elástico sem rugosidade
. X
. X . T X X T X . X k 0 . 2 2
(3. 202)
. k 0 .
(3. 203)
e outra apenas para a rugosidade:
È possível que de uma forma geral o termo k seja uma função da densidade generalizada X , assim tem-se,
k f X .
(3. 204)
Isto nos faz acreditar que o problema que apresenta apenas rugosidade na superfície com interior do domínio sólido, pode ser resolvido apenas com funções de correção geométrica, como no caso de uma trinca rugosa como será mostrado mais adiante nos resultados. A solução da equação (3. 203) é do tipo:
0 exp k.rn .
(3. 205)
Isto significa que o efeito da rugosidade sobre o campo do potencial em questão é atenuado exponencialmente à medida que um observador se afasta da borda rugosa
rn 0
para o
interior do domínio do campo rn , onde rn é o raio vetor tomando na direção normal a cada ponto sobre a superfície rugosa. Como solução pode-se ter uma combinação linear de soluções linearmente independentes dadas por uma transformada (tipo Fourier ou Laplace), gerando soluções do tipo de auto-funções L.I, dadas por:
k exp k X .rn .
(3. 206)
k
3.9.4 – Solução das Equações do Potencial Vetorial com Irregularidades Para solucionar parte dessa equação, nós devemos considerar a equivalência entre a rugosidade superficial e a fração volumétrica irregular efetiva mostrada na equação (3. 172) representada a seguir: X . X I
(3. 207)
Considerando que a rugosidade possui uma dependência dada por (3. 203) podemos utilizar essa dependência da seguinte forma:
.
1 k . .
(3. 208)
Supondo que de forma análoga a rugosidade, a densidade do potencial X 0 também se
comporta da seguinte forma:
X k X 1 X . X
(3. 209)
Logo substituindo (3. 207) em (3. 209) tem-se: I k 0 .
(3. 210)
Ik k .
(3. 211)
ou
Usando o resultado (3. 205) tem-se: Ik k exp k X .rn k .
(3. 212)
k
Aplicando a técnica do fator integrante tem-se:
exp k .r exp k .r Ik exp k .r
exp k X .rn k . k
(3. 213)
k
onde podemos reescrever o lado esquerdo e o lado direito como: exp k .r k exp k X . rn r k . k
(3. 214)
ou ainda integrando dos dois lados temos:
exp k .r k exp k X . rn r k .dr .
(3. 215)
k
Logo o efeito da fração volumétrica irregular efetiva sobre o campo pode ser expressa como: exp k .r
exp k . r X n r k .dr . k
(3. 216)
k
Observe que a integral no lado esquerdo corresponde a uma das representações da função delta de Dirac, se os limites de integração envolvem um domínio que vai desde , . Integrando a equação (3. 216) de uma forma geral a solução da equação será:
k exp k .rn .
(3. 217)
k
Este resultado mostra que assim como a rugosidade o efeito da fração volumétrica
irregular efetiva sobre o campo se esvaece exponencialmente à medida que se afasta da periferia da irregularidade de domínio (poro) na direção de regiões regulares.
3.9.5 – Solução das Equações do Fluxo Vetorial com Irregularidades Reescrevendo (3. 202) em função de (3. 159) ou de (3. 181) temos: .J X k .J X 0 .
(3. 218)
De forma análoga a (3. 203) e (3. 205) temos: .J X k . JX
(3. 219)
logo J X J k exp k .rn .
(3. 220)
k
Podemos reescrever o produto escalar k .r na superfície como sendo: 1 k .rn . .rn .
(3. 221) 1
Observe que o inverso do tensor de rugosidade
aparece no expoente
operando sobre um vetor . que seleciona na operação do divergente apenas as componentes nas direções normais ou puras, evitando as direções “cisalhantes” onde se mistura as componentes do tensor de rugosidade . Observe com isso que se o vetor k for nulo obtém-se de volta o problema euclidiano de superfície lisa. Podemos prever a partir dos resultados obtidos aqui que a rugosidade não irá influenciar o campo se este acontece na direção perpendicular a direção normal da superfíce rugosa, como por exemplo na elasticidade o campo yy não é afetado pela rugosidade na direção normal ao raio de curvatura da ponta da trinca, conforme ilustra a Figura - 3. 17.
Figura - 3. 17. Representação do campo de tensão
yy a uma distância r da ponta da trinca.
3. 10 – Desenvolvimento do Modelo de Aproximação A partir de agora vamos apresentar o desenvolvimento matemáticos de como se calcula na prática, isto é, a partir dos resultados numéricos as densidade, os fluxos e os campos generalizados com e sem rugosidade, tomando como exemplo o vetor deformção elástica u .
3.10.1 – Fluxo Proveniente do Gradiente de um Potencial Vetorial em Geometrias Irregulares Considerando o problema particular da elasticidade e da fratura elástica para
X u , X 0 u0 e J X J u , J X 0 J u0 com J u .u u T u , como o da Lei de 2 Hooke, devido ao gradiente de um potencial, pode ser generalizado para um potencial, u u x, y , qualquer da seguinte forma: J u .u u T u . 2
sendo temos: x y
(3. 222)
u ˆ u ˆ u i j x y
(3. 223)
Figura - 3. 18. Placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (10,0m x 10,0m) sujeitos as condições de contorno de potencial constante
X u , X 0 u0 e fluxo constante J X J u , J X 0 J u0 a)
Problema P1; b) Problema P2.
Estamos interessados em descrever a forma do fluxo, J , em um contorno rugoso de coordenadas x, y a partir do fluxo, J o em um contorno liso de coordenadas xo , yo , para um mesmo material, conforme mostra a Figura - 3. 18, onde vale também uma relação do tipo, J u0 .u0 u0 T u0 . 2
(3. 224)
onde uo uo xo , yo e o . Os fluxos J o e J apenas se distinguem pela xo yo
geometria rugosa em uma ou mais das bordas do corpo, chamaremos de problema P1 e de problema P2, respectivamente, conforme mostra a Figura - 3. 18. Considere o contorno rugoso sobre uma placa plana com uma linha de referência euclidiana correspondente a projeção deste contorno sobre a direção horizontal, conforme mostra a Figura - 3. 19
Figura - 3. 19. Contorno rugoso sobre uma placa plana com geometria regular e seu contorno projetado correspondente.
Para se escrever o problema P2 em função do problema P1 reescreveremos a equação (3. 222) a partir das seguintes derivadas:
du y uoy xo u du x uox xo eˆ1 eˆ2 . x duox xo x duoy xo x
(3. 225)
e
du y uoy yo u du x uox yo eˆ1 eˆ2 . y duox yo y duoy yo y
(3. 226)
onde x, y são as coordenadas do potencial e do fluxo na placa rugosa e xo , yo são as coordenadas do potencial e do fluxo sobre a placa lisa. Uma vez que as coordenadas x, y podem não ser as mesmas podemos escrever:
du x duox u u u eˆ1 eˆ2 x y du x du oy
uox du x uox du y x duox y duox uoy du x uoy du y x duoy y duoy .
uox du y uox x duox y uoy du y uoy (3. 227) x duoy y
ou du x duox u du x du oy
du x uox yo yo du y y duox duox yo x uoy xo xo du x uoy yo yo du y xo x y duoy yo x y duoy uox xo xo xo x y
du y uox yo yo y duox yo x uoy xo xo du y uoy yo yo xo x y duoy yo x y
uox xo xo xo x y
(3. 228)
. e considerando
xo y 0 e o 0 , pode-se escrever em uma forma matricial compacta que: y x
du x uox du ox xo u u ˆ ˆ u e1 e2 du y u y y ox du oy yo
uoy x o xo x . uoy yo yo y
(3. 229)
Ou escrevendo de forma resumida temos:
du u duo
xo y eˆ1 o eˆ2 . o uo y x
(3. 230)
Chamando de ro
xo ˆ yo ˆ i j . x y
(3. 231)
Temos:
du u duo
o uo ro .
(3. 232)
Podemos escrever:
du u ouo ro . duo Calculando o módulo do gradiente temos:
(3. 233)
u
du ouo duo
2
xo yo x y
2
.
(3. 234)
Vamos a partir de agora descobrir qual é a relação entre as coordenadas sobre o contorno rugoso e o contorno liso.
3.10.2 – Relação entre os Fluxos Projetado e Rugoso Considere a Figura - 3. 20 como sendo um detalhe da Figura - 3. 19.
Figura - 3. 20. Ângulos de referência entre os elementos infinitesimais de um contorno rugoso e projetado.
O fluxo no problema P2 é dado por: J J x iˆ J y ˆj .
(3. 235)
Sendo: Jx k Jy k
du x dx . du y
(3. 236)
dy
temos que: du J k x dx
2 du y dy
2
.
(3. 237)
E ainda du du J x k x ox duox dxo du y duoy Jy k duox dyo
dxo dx
.
dyo dy
(3. 238)
Sabendo que: J ox k J oy k
duox dxo
.
(3. 239)
duoy dyo
podemos escrever: du dx J x J ox x o duox dx . du y dy J y J oy o duoy dy
(3. 240)
logo du J J ox x duox
du y dxo ˆ i J oy duoy dx
dyo ˆj . dy
(3. 241)
Sendo dxo 1 dx cos . dyo 1 dy cos
(3. 242)
du 1 J x J ox x duox cos . du y 1 J y J oy duoy cos
(3. 243)
temos:
Logo
2 du y du x J J ox J oy duoy duox
2
1 . cos
(3. 244)
Como as componentes do fluxo pode ser escrita a seguinte forma: J ox J o cos . J oy J osen
(3. 245)
temos: J Jo
du cos x duox
2 du y sen duoy
2
1 . cos
(3. 246)
Considerando que dLo / dL cos podemos escrever: J Jo
2
du du cos x sen x duox duox
2
dL . dLo
(3. 247)
e ainda considerando que: uox uo cos . uoy uosen
(3. 248)
Temos: J Jo
cos cos 2 sen sen 2
1 . cos
(3. 249)
Observe que conforme a rugosidade varia no contorno o valor dos ângulos e também variam.
3.10.3 – Análise das Projeções do Contorno Rugoso sobre o Liso Considerando um elemento de contorno reto, e um elemento de contorno inclinado em relação a este, conforme mostra a Figura - 3. 21 podemos observar que para elementos de contornos diferentes, i j para calcular du / dn j precisamos determinar analiticamente ou geometricamente quanto vale dr / dn j .
Figura - 3. 21. Relação entre elementos retos diferentes i j.
chamando de:
nˆ nx iˆ n y ˆj
(3. 250)
dr dxiˆ dyjˆ
(3. 251)
nˆ.dr nx dx n y dy
(3. 252)
e
logo
Onde o vetor normal ao segmento AB que liga dois pontos de coordenadas, A ( xo , yo ) e
B ( x, y ) é dão por:
nˆ y yo iˆ x xo ˆj .
(3. 253)
ou dydx ˆ ˆ dxdy ˆ ˆ nˆ.dr i .i j. j 0 d d
(3. 254)
Portanto, Se os vetores nˆ e dr são perpendiculares ( nˆ dr ) entre si, pois nˆ.dr 0 dnˆ
dy ˆ dx ˆ i j d d
(3. 255)
Logo
du u u dy dx dn x y
(3. 256)
Portanto, a equação fica
du u.nˆ dn
(3. 257)
Para novamente transformar a derivada direcional em fluxo podemos escrever: duo dr nˆo ouo o nˆo . dno dno
(3. 258)
du dr nˆ u nˆ . dn dn
(3. 259)
E
Portanto, devemos saber calcular quanto vale dr/dn.
3.10.4 - Cálculo Analítico de dr/dnj A derivada direcional dr/dnj pode ser escrita em termos do gradiente de r como:
dr r .nˆ j dn j
(3. 260)
E dr r r .nˆ j dn j
(3. 261)
Sendo
r r rˆ r
(3. 262)
podemos escrever:
r .nˆ j dr dn j r
(3. 263)
Mas a partir da Figura - 3. 21. nós temos que r .nˆ j d ij , logo temos:
d ij dr dn j r
(3. 264)
onde dij é um valor único para cada par de elementos
i e j .
Observe a partir da (3. 255) que
r .nˆ j r . nˆ j dr cos dn j r r
(3. 265)
Como nˆ j é um vetor unitário temos nˆ j 1 , logo
dr r .nˆ j r cos dn j r r
(3. 266)
Figura - 3. 22. Cálculo das distâncias entre os elementos i j.
mas r r , logo teremos
dr r .nˆ j cos dn j r
(3. 267)
onde
r .nˆ j n x rx n y ry cos 2 2 2 2 nˆ r n x n y rx ry Como nˆ j 1 temos:
(3. 268)
n x rx n y ry dr cos 2 2 dn j rx ry
(3. 269)
Observe que dr / dn j é igual ao cosseno do ângulo entre o vetor r e a direção na normal
nˆ j . Este valor da projeção de r na direção de nj é único e fixo para cada par de elementos i e j, e vale dinj não dependendo de r para um elemento de contorno constante, ou seja,
r .n j n x rx n y ry dr cos 2 2 dn j r rx ry
(3. 270)
Onde rˆ.nˆ j d i n j logo teremos:
din j dr cos dn j r
(3. 271)
Onde d i n j é um valor único para cada para de elementos i e j e não depende do raio r entre o centro do elemento i e qualquer ponto X = (x,y) sobre a extensão do elemento j. Retornando a equação (3. 259) e substituindo nela a equação (3. 253) temos: du nˆ u r r .nˆ nˆ . dn
(3. 272)
E ainda substituindo (3. 271) na equação (3. 259) ficamos com: du nˆ u cos nˆ . dn
(3. 273)
3.10.5 – O gradiente em geometrias irregulares Consideremos o sistema de coordenadas conforme mostra a Figura - 3. 23.
Figura - 3. 23. Caso geral de um contorno liso onde
uo // nˆo e ro // nˆo e
rˆo .nˆo cos o 1 . Sabemos que a derivada direcional que representa o fluxo em uma determinada direção para o contorno liso é dada por: duo o uo rˆo .nˆo . dno
(3. 274)
onde, o produto escalar rˆo .nˆo dá a projeção do fluxo sobre o contorno liso.
rˆo .nˆo cos o
.
(3. 275)
Retornando a equação (3. 274) temos: duo nˆo o uo cos o nˆo . dno
(3. 276)
Figura - 3. 24. Elemento infinitesimal de superfície sobre um contorno liso e sua normal correspondente.
Sendo, xo x cos iˆ ysen ˆj yo xsen iˆ y cos ˆj
(3. 277)
Ou xo cos yo sen
sen x cos y
(3. 278)
Onde é o ângulo formado pelas normais nˆo , nˆ entre o contorno rugoso e sua projeção que corresponde ao contorno liso. Logo, xo x y cos iˆ sen ˆj x x x yo x y sen iˆ cos ˆj y y y
(3. 279)
Ou particularmente, xo x x x y x o y y
y x cos y sen y
sen i 1 0 cos cos j 0 1 sen
xo cos iˆ sen i x cos j yo cos ˆj y
(3. 280)
Portanto, ro
xo yo cos iˆ cos ˆj x y
substituindo (3. 280) em (3. 234) temos:
(3. 281)
u
du ouo duo
cos 2 cos 2 .
(3. 282)
logo
du ouo duo
u
2 cos .
(3. 283)
Como
du u rˆ.nˆ . dn
(3. 284)
temos: du u rˆ.nˆ o uo dn
2 cos rˆ.nˆ .
(3. 285)
Usando o fato de que: du du duo dnˆo . dnˆ duo dnˆo dnˆ
(3. 286)
Temos: du du duo dno u rˆ.nˆ o uo dn duo dno dn
2 cos rˆ.nˆ .
(3. 287)
sendo
duo ouo rˆo .nˆo . dno
(3. 288)
podemos relacionar a derivada direcional sobre a rugosa com a derivada direcional sobre a superfície lisa da seguinte forma:
dn du du u rˆ.nˆ ouo rˆo .nˆo o ouo dn duo dn
2 cos rˆ.nˆ .
(3. 289)
Cancelando o termo ouo temos
dn du rˆo .nˆo o 2 cos rˆ.nˆ . duo dn
(3. 290)
Por outro lado, multiplicando e dividindo por rˆo .nˆo obtemos:
rˆ.nˆ dn du du u rˆ.nˆ ouo rˆo .nˆo o ouo rˆo .nˆo 2 cos dn duo dn rˆo .nˆo
(3. 291)
. Usando (3. 288) em (3. 291) temos:
rˆ.nˆ 2 cos . rˆo .nˆo
dn du du du ouo rˆo .nˆo o dn duo dn dno
(3. 292)
Esta é uma expressão geral que vale para qualquer situação onde as grandezas associadas às coordenadas não está alinhado as direções principais do corpo, e nem estas por sua vez estão alinhadas as direções principais do fluxo. Como
du du ouo cos o e u cos temos: dno dn dn du du o uo cos o o . dn duo dn
(3. 293)
E
dn du du du ouo rˆo .nˆo o dn duo dn dno
rˆ.nˆ 2 cos . cos o
(3. 294)
Ou
u
dn du ouo rˆo .nˆo o ouo duo dn
2 cos .
(3. 295)
Logo dn du rˆo .nˆo o 2 cos . duo dn
(3. 296)
Se a direção do gradiente na superfície lisa estiver na mesma direção da normal a essa superfície isto é no caso particular de um contorno liso onde uo // nˆo temos
rˆo .nˆo cos o 1 , logo:
duo ouo . dno
(3. 297)
logo
dno du du du o uo dn duo dn dno
2 cos rˆ.nˆ .
(3. 298)
E
du dno 2 cos rˆ.nˆ . duo dn
(3. 299)
Mas neste caso rˆ.nˆ cos logo: dno du du du ouo dn duo dn dno
2 cos cos .
(3. 300)
Ou
du du duo dn duo dno
2 cos cos .
(3. 301)
du du ouo dn duo
2 cos cos
(3. 302)
2 cos .
(3. 303)
E novamente
Ou u
du ouo duo
De forma análoga consideremos o sistema de coordenadas conforme mostra a Figura - 3. 25. Sabemos que a derivada direcional que representa o fluxo em uma determinada direção para o contorno rugoso é dada por: du u rˆ.nˆ . dn
onde, o produto escalar rˆ.nˆ dá a projeção do fluxo sobre o contorno rugoso.
(3. 304)
rˆ.nˆ cos
.
(3. 305)
Figura - 3. 25. Caso geral de um contorno rugoso onde rˆ rˆo nˆo
Retornando a equação (3. 304) temos: du nˆ u cos nˆ . dn
(3. 306)
Figura - 3. 26. Elemento infinitesimal de superfície sobre um contorno rugoso e sua normal correspondente.
Por outro lado, sabemos que:
du du duo dno . dn duo dno dn Substituindo (3. 304) e (3. 274) em (3. 307) temos:
(3. 307)
u rˆ.nˆ
dn du o uo rˆo .nˆo o . duo dn
(3. 308)
Logo a partir de (3. 276) e (3. 306) temos: dn du du u cos o uo cos o o . dn duo dn
(3. 309)
Então,
u
du cos o dno . ouo duo cos dn
(3. 310)
De acordo com a Figura - 3. 27
Figura - 3. 27. Relação entre os Elementos infinitesimais de superfície de um contorno rugoso e liso e suas normais correspondentes.
Temos:
nˆo cos nˆ senˆ .
(3. 311)
dno cos . dn
(3. 312)
logo
Logo a equação (3. 309) fica:
u cos
du ouo cos o cos . duo
(3. 313)
Portanto, temos finalmente que: u
du cos o o uo cos . duo cos
(3. 314)
A partir desse resultado analítico, observa-se que conforme as posições relativas dos fluxos e da rugosidade de um contorno variam, o cosseno do ângulo entre eles também varia. Portanto, a cada ponto do contorno o cosseno pode variar suavemente ou discretamente, dependendo da natureza do contorno. Desta forma, precisamos modelar a variação desse cosseno junto com a variação posição relativa do contorno rugoso com a sua projeção sobre uma linha de referência euclidiana de acordo com a natureza da rugosidade do contorno. De uma forma geral podemos desenvolver o modelo que será descrito a seguir. Comparando (3. 234) com (3. 314) podemos concluir que: 2
2
x y cos o ro o o cos . x y cos
(3. 315)
Se a direção do gradiente na superfície lisa estiver na mesma direção da normal a essa superfície isto é uo // nˆo temos cos o 1 , logo:
duo ouo . dno
(3. 316)
então, 2
2
cos x y . ro o o cos x y
(3. 317)
du du u cos ouo cos dn duo
(3. 318)
E portanto,
Esta equação mostra que a derivada direcional sobre a superfície rugosa du dn se relaciona com o gradiente do potencial, 0u0 sobre uma projeção lisa a menos do cosseno do angulo
de inclinação e da relação entre os potenciais du du0 .
3.10.6 – Aproximação por Série de Taylor do Potencial Rugoso em termos do Potencial Liso Seja a distribuição de deslocamentos u x, y sobre um contorno rugoso de um
corpo, cuja linha de referência euclidiana em um corpo semelhante, porém com contorno imaginário liso, possui uma distribuição de deslocamentos u *o x *o , y *o , conforme mostra a Figura - 3. 28.
Figura - 3. 28. Contorno rugoso com linha de referência euclidiana de um contorno liso projetado.
Vamos estimar a variação de temperatura do contorno rugoso em relação a linha de referência do contorno liso como sendo dada por: u * x *o , y *o u * x *o , y *o u x, y u *o x *o , y *o x x *o y y *o x y u * x *o , y *o u * x *o , y *o 2 x x *o y y *o ... x y
(3. 319)
. Suponhamos que as condições de contorno dos dois corpos (ou de contorno rugoso e liso) são idênticas. A partir de agora o problema rugoso será aproximado pelo problema liso com uma correção dada pelas equações (3. 230) ou (3. 234). Vamos substituir os dados referentes a linha de projeção, uo x *o , y *o , euclidiana pelos dado referentes ao problema euclidiano, uo xo , yo , da seguinte forma:
u xo , yo u xo , yo u x, y uo xo , yo x xo y yo x y . u xo , yo u xo , yo 2 x xo y yo ... x y
(3. 320)
Utilizando esta aproximação vamos agora modelar a rugosidade da superfície rugosa. Portanto, du x, y u xo , yo u xo , yo 1 1 1 x x o y yo duo xo , yo uo xo , yo x uo xo , yo y u xo , yo u xo , yo 1 2 x xo y yo ... uo xo , yo x y
(3. 321)
. Esta equação mostra como se relaciona os potenciais du du0 .
3.10.7 - Modelamento Geométrico de uma Linha ou Superfície Rugosa Considere uma linha (ou superfície) rugosa conforme a mostrada na Figura - 3. 29, Vamos subdividir toda sua extensão dessa linha em segmentos de tamanho fixos, para cada iteração, todos iguais a lk e deixar o tamanho de suas projeções sobre o eixo horizontal livre para variar seu comprimento conforme o ângulo de projeção , como mostra a Figura - 3. 29.
Figura - 3. 29. Linha rugosa subdividida em segmentos de tamanho único igual a lk.
O comprimento aproximado da linha rugosa será dado por: Nk
Lk
lk N k lk
(3. 322)
k 1
Observe, que embora o tamanho dos segmentos sobre a linha rugosa são iguais, o tamanho de suas projeções sobre o eixo horizontal são variáveis. Agora, por outro lado, vamos subdividir esta mesma linha em segmentos de
comprimento, lr tais que suas projeções horizontais sejam todas fixas e iguais a lo , ou seja,
lo lr cos r ;
r ; r 1, 2,...N o 2 2
(3. 323)
Figura - 3. 30. Linha rugosa subdividida em tamanhos lr, cujas projeções sobre a linha horizontal são todas iguais a lo.
Observe, que embora o tamanho de suas projeções sobre o eixo horizontal são todas iguais a lo , o tamanho dos segmentos sobre a linha rugosa são variáveis. Neste caso, teremos que o comprimento total da linha lisa é dado por:
Lo
lo
(3. 324)
onde o número total de segmentos de tamanho lo sobre a projeção de comprimento Lo é: L No o lo
(3. 325)
De forma análoga ao primeiro caso teremos que o comprimento total da linha rugosa é: No
Lr
lr
(3. 326)
r 1
Sendo lo lr cos r
logo a partir de (3. 324) temos:
(3. 327)
No
Lo
lr cos r
(3. 328)
r 1
Por outro lado temos que:
Lo / lo Lr
lo cos r r 1
(3. 329)
Ou
Lo / lo Lr lo
1 cos r r 1
(3. 330)
Observe que o cosseno do ângulo, formado pelo segmento sobre a linha rugosa em relação ao segmento de projeção, lo , sobre a linha horizontal, flutua a cada pequeno trecho da linha rugosa. Os resultados (3. 322) e (3. 330) mostram como a forma de medir ou parametrizar uma linha rugosa pode fornecer equações diferentes que descrevem a mesma linha. Considerando que os valores dos comprimentos Lk em (3. 322) e Lr em (3. 329) são aproximadamente iguais temos que:
Lo / lo N k lk
lo cos r r 1
(3. 331)
Logo
L
/l
l o o 1 Nk o lk r 1 cos r
(3. 332)
Observe que a relação entre os tamanhos liso e rugoso não participa da somatório, mas apenas o cosseno do ângulo formado entre eles. Esses cossenos podem ser agrupados entre si por diferentes critérios de renormalização. O resultado (3. 332) fornece uma interpretação geométrica para a rugosidade de uma linha irregular qualquer.
3. 11 – Métodos analíticos, numéricos, algoritmos de simulação e técnicas computacionais utilizados Nesta secção apresentamos a metodologia dos resultados analíticos, numéricos e do trabalho de tese de doutorado. Nesta secção e nas secções 3.12 e 3.13 vamos descrever a versão numérica das equações utilizadas nas simulações, a metodologia numérica de solução das equações, os algoritmos, os critérios de convergência das soluções utilizadas na análise dos erros numéricos, bem como as etapas e as demais metodologias que foram utilizadas na solução do problema proposto. Um campo de tensão na ponta de uma trinca rugosa foi simulado. Analisou-se o efeito da rugosidade sobre esse campo variando-se vários parâmetros como o comprimento da trinca, a rugosidade e o raio de curvatura. Utilizou-se um código em FORTRAN pelo MEC e um código em FORTRAN para o MEF (FRANC2D). A partir destas simulações calculou-se a curva J-R de uma trinca lisa e de uma trinca rugosa equivalente através de um modelo de rugosidade. Utilizou-se a curva J-R da trinca lisa para obter a curva J-R da trinca rugosa, por meio de um modelo fractal. Realizou-se isto em comparação com o resultado numérico direto e experimental da curva J-R da trinca rugosa como uma forma de validar a aproximação fractal do modelo apresentado. Para isso simulou-se diferentes rugosidades entre elas, rugosidades periódicas (ou senoidias), fractais auto-similares e autoafins e rugosidades aleatórias. O intuito foi conhecer qual a influência da rugosidade sobre o campo de tensão na ponta da trinca e nas suas vizinhanças e sobre a taxa de liberação de energia dado pela curva J-R. Os objetivo desta secção são: i) Apresentar a caracterização do problema de tese proposto e a sua forma de abordagem ii) Apresentar metodologia de abordagem e Métodos Numéricos a serem utilizados iii) Apresentar as principais perspectivas futuras do trabalho de tese. A solução dos problemas do contínuo com irregularidades recebeu diferentes abordagens ao longo das várias etapas de evolução desse trabalho: i) A primeira delas procurou resolver o problema por métodos numéricos diretos utilizando uma malha irregular (com rugosidade no contorno ou porosidade no domínio) a partir das formulações básicas do Métodos Numéricos Convencionais (MDF, MEF, MEC, etc). ii) A segunda opção, desenvolvida nesse trabalho, consistiu em resolver o problema euclidiano equivalente com irregularidades fazendo-se a correção do problema para o mesmo caso (situação ou sistema) sem irregularidades, utilizando-se uma expansão em Série de Taylor
do potencial, ponto a ponto, sobre o contorno rugoso, por exemplo. A expansão em série de Taylor foi feita a partir de uma linha de referência do problema euclidiano regular. Porém, acrescentando-se as possíveis correções aos valores do comprimento rugoso do contorno, por meio de uma função de rugosidade ponto a ponto como o cosseno do ângulo de inclinação da rugosidade, por exemplo. iii) A terceira opção, desenvolvida nesse trabalho, consistiu em resolver o problema euclidiano equivalente com irregularidades fazendo a correção do problema para o mesmo caso (ou sistema) sem irregularidades, utilizando-se uma expansão em Série de Taylor do potencial, ponto a ponto, sobre o contorno rugoso, por exemplo, de forma análoga ao caso anterior. A expansão em série de Taylor foi feita a partir de uma linha de referência do problema euclidiano regular, porém acrescentando as possíveis correções aos valores do comprimento rugoso do contorno, por meio de uma função de rugosidade extraída de um modelo fractal, por exemplo. Algo como aquele feito no caso da Fratura mostrado no capítulo VII.
3. 12 – Apresentação, Caracterização e Proposição do Problema Elástico de Fratura sem e com rugosidade O problema proposto consiste na validação de um Modelo de Potenciais Vetoriais com Contornos Rugosos por pelo menos dois Métodos Numéricos (Método de Diferença Finitas, Elementos Finitos e de Contorno) para comparação dos resultados e aferição das medidas. Para caracterizar o problema a ser proposto neste projeto este foi dividido em três partes e em vários exemplos a serem checados. Os problemas numéricos que foram resolvidos nesse trabalho são:
3.12.1 - Definição do Problema P1 – Problema Clássico de Griffith O problema P1 consiste em resolver por Métodos Numéricos (Métodos de Diferença Finitas, Elementos Finitos e de Contorno) o potencial vetorial em um objeto de geometria regular como uma placa retangular de espessura unitária, por exemplo, sujeita à diferentes condições de contorno. Exemplos diferentes foram gerados para cada forma dos objetos euclidianos considerados e para cada tipo de condição de contorno, conforme mostra a Figura - 3. 31.
Figura - 3. 31. Exemplo de um problema P1; Caso de estudo de campo elástico e fratura lisa em uma placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (10,0cm x 10,0cm) sujeitos as condições de contorno.
O problema liso chamado de problema P1 foi matematicamente formulado como segue:
Chamaremos de uo ao potencial vetorial correspondendo ao vetor campo de deformação, para a geometria euclidiana regular, conforme a equação (3. 333):
uo uo ( xo , yo )
(3. 333)
Em geral os fluxos através de uma superfície de contorno são dados em termos do gradiente da função
ou ouo ( xo , yo )
(3. 334)
e a função distribuição é dada por:
20u ( xo , yo ) o . ouo ( xo , yo ) 0
(3. 335)
Portanto, o problema pode ser resolvido por diferentes métodos analíticos e numéricos, incluindo o Método de Diferenças Finitas, Método dos Elementos de Contorno e o Método dos Elementos Finitos, os quais foram utilizados neste trabalho.
3.12.2 - Definição do Problema P2 – Problema Rugoso (Fractal ou não) O problema P2 consiste em resolver por Métodos Numéricos (Método das Diferenças Finitas, Elementos Finitos e de Elementos de Contorno) o potencial vetorial em um objeto de geometria irregular com pelo menos uma das bordas rugosas, como uma placa retangular de espessura unitária, por exemplo, sujeito à diferentes condições de contorno. Exemplos diferentes foram gerados para cada forma dos objetos euclidianos considerados para cada tipo de condição de contorno, conforme mostra a Figura - 3. 32.
Figura - 3. 32. Exemplo de um problema P2; Caso de estudo de campo elástico e fratura rugosa em uma placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (10,0cm x 10,0cm) sujeitos as condições de contorno.
O problema rugoso chamado de problema P2 foi matematicamente formulado como segue:
Chamaremos de u ao potencial vetorial para a geometria fractal irregular, conforme a equação (3. 336):
u u ( x, y )
(3. 336)
Em geral os fluxos através de uma superfície de contorno são dados em termos do gradiente da função
u u ( x, y )
(3. 337)
e a função distribuição é dada por:
2u ( x, y ) . u ( x, y ) 0
(3. 338)
Novamente este tipo de problema pode ser resolvido por diferentes métodos analíticos e/ou numéricos, incluindo o Método de Diferenças Finitas, Método dos Elementos de Contorno e o Método dos Elementos Finitos, os quais foram utilizados neste trabalho.
3.12.3 - Definição do Problema Equivalente PE O problema equivalente-PE consiste em aproximar o problema real-P2 a partir do problema euclidiano-P1 de geometria regular. Para isto vamos utilizar uma função de correção que descreva a rugosidade da superfície do problema real-P2, a fim de que, a partir desta função de correção seja possível obter os resultados do problema real-P2, possivelmente, com um custo numérico ou computacional menor. O problema com aproximação chamado de problema equivalente PE foi matematicamente formulado como segue: Considere a função que descreve o problema real a partir do problema euclidiano regular como sendo dada por:
u x, y Deformação. Real
f uo xo , yo Deformação. Equivalente
(3. 339)
Em geral os fluxos através de uma superfície de contorno são dados em termos do gradiente da função, logo a partir de (3. 339) podemos escrever: u Fluxo Real
g uo ( xo , yo ) Fluxo Equivalente
(3. 340)
e a função distribuição é dada por:
f 02u ( xo , yo ) g o . ouo ( xo , yo ) 0
(3. 341)
A partir desta formulação queremos encontrar quais são as formas funcionais, f, g, h que relacionam o problema euclidiano liso com o problema rugoso (fractal ou não), ou seja:
PE1 2
P1 . f xo , yo , uo Métodos Teoria Alternativa Numéricos
P2 Metodos Numéricos
(3. 342)
que podem ser ajustadas por um modelo de rugosidade (fractal ou não).
Figura - 3. 33. Inter-relação entre os Problemas Euclidiano, P1 e Rugoso, P2 e o Problema Fractal Equivalente PE.
A exemplo de ilustração procurou-se por soluções ajustáveis graficamente, conforme mostra a Figura - 3. 33. No caso em que as curvas encontradas não foram facilmente ajustadas a partir do problema P1, por meio de simples aproximações sugeriu-se, modificações mais profundas e necessárias, a fim de se obter um problema equivalente PE, aceitável. Mas antes de tudo uma pergunta foi formulada: Por que não considerar como válida e verdadeira, já, diretamente, a solução do problema P2, uma vez que já se admite que ele é numericamente solúvel pelos métodos utilizados? A resposta a essa pergunta é: Não sabemos se a simples introdução de uma rugosidade no problema P1 corresponde à realidade física do problema P2. Se isto for verdade, a simulação numérica é justificável apenas pela redução do custo computacional, quando se utiliza como solução o problema equivalente PE ao invés de P2. Mas por outro lado, se o problema real for mais complicado que a simples simulação numérica do problema P2. Então, é preciso aprender com o problema real, além daquilo que as respostas numéricas do problema P2 comparadas ao problema equivalente podem oferecer. Deve-se, portanto, de implementar as novidades nas soluções aproximadas e fazer melhorias computacionais da solução numérica do problema P2, utilizando-se métodos numéricos mais elaborados que incluem as novas realidades físicas, até
então não previstas no atual estágio de simulação que foi utilizado.
3. 13 – Metodologias Analíticas e Numéricas de Formulação da Solução do Problema do Potencial Vetorial da Elástico da Fratura Apresentamos nesta secção os materiais e a aplicação dos métodos numéricos e técnicas a serem empregados na solução do problema das equações da mecânica do contínuo regular e irregular de Fratura em uma placa com um contorno liso e outra placa equivalente, porém com contorno rugoso em duas dimensões (2-D). Apresentamos também a forma de preparação e coleta dos dados de simulação numérica, as malhas e as condições de contorno utilizadas.
3.13.1 – Metodologia, plano de trabalho e técnicas utilizadas e formulação dos problemas a serem resolvidos numericmente O problema proposto foi validado por métodos numéricos onde as equações analíticas foram transformadas em equações dos métodos numéricos para a solução dos problemas, conforme se ilustra na Figura - 3. 34. Utilizou-se para realização dos cálculos numéricos (Figura - 3. 34), o Método de Diferença Finitas no EXCEL e/ou em um código desenvolvido em Linguagem DELPHI da Borland, o Método dos Elementos Finitos em um código denominado FEAP e/ou ANSYS ou FRANC2D e o Método do Elementos de Contorno para realização dos cálculos numéricos através das linguagens de Programação, FORTRAN.
Figura - 3. 34. Problema da equação de Navier-Stokes e Lamé em uma chapa plana.
3.13.2 - O Problema do Potencial Vetorial em Geometrias Euclidiana Regulares – P1 Conforme já foi definido anteriormente o problema clássico do potencial vetorial em um corpo com superfície euclidiana regular lisa foi chamado de problema – P1. O problema P1, considerado o problema ideal, foi resolvido diretamente usando uma malha com contorno liso usando métodos numéricos. Este problema foi matematicamente formulado de forma a levar em consideração o fenômeno da fratura elástica, por meio da Lei de fluxo de momento de Hooke e da Equação de Movimento. De acordo com a Lei de Hooke para o caso de um potencial estacionário no tempo para o problema liso, pode ser escrita como: J uo .uo uo T uo . 2
Retornando a equação (3. 343) temos:
(3. 343)
. .uo uo T uo 0 . 2
(3. 344)
Portanto,
2uo . uo 0
.
(3. 345)
Observe que agora neste tipo de problema não é mais necessário a relação dos potenciais e fluxos com a dimensionalidade do espaço. Pois nas equações acima se considera que tais fluxos atravessam superfícies euclidianas regulares. No caso, quando uma superfície ou um volume regular são considerados as equações descritas acima não precisam ser revisadas sob o ponto de vista da dimensionalidade topológica destas superfícies e volumes.
3.13.3 - O Problema do Potencial Vetorial em Geometrias Euclidiana Irregulares – P2 Conforme já foi definido anteriormente o problema clássico do potencial vetorial em um corpo com superfície não-euclidiana (ou fractal) irregular rugosa será chamado de problema – P2. Este foi matematicamente formulado de forma a levar em conta o fenômeno da fratura elástica por meio do fluxo da lei de Hooke e da equação de movimento. As correções matemáticas para o contorno rugoso foram tratadas a partir de modelos de rugosidade, os quais foram formulados nos Capítulos V e VII. Considere o problema de um potencial vetorial em uma placa plana que possui pelo menos um contorno rugoso, dado conforme mostra a Figura - 3. 35
Figura - 3. 35. Contorno rugoso sobre uma placa plana com geometria regular.
Vamos considerar uma discretização deste contorno em pequenos elementos
lineares cujas variações de comprimento em relação a uma linha de referência de um contorno euclidiano é dado conforme mostrado na Figura - 3. 35. O problema P2 considerado o problema rugoso real será resolvido diretamente usando uma malha com contorno rugoso usando métodos numéricos. De acordo com a Lei de Hooke para o caso de um potencial estacionário no tempo para o problema rugoso, pode ser escrita como: J u .u u T u . 2
(3. 346)
Retornando a equação (3. 346) temos: . .u u T u 0 . 2
(3. 347)
Portanto,
2u . u 0
.
(3. 348)
Observe que agora neste tipo de problema precisamos de relação dos potenciais e fluxos com a dimensionalidade do espaço. Pois nas equações acima se considera que tais fluxos atravessam superfícies euclidianas irregulares. Neste caso, quando uma superfície ou um volume irregular são considerados as equações descritas acima precisam ser revisadas sob o ponto de vista da dimensionalidade topológica destas superfícies e volumes.
3.13.4 - O Problema Equivalente do Potencial Vetorial em Geometrias Euclidiana Irregulares – PE Conforme já foi definido anteriormente o problema clássico do potencial vetorial em um corpo com superfície não-euclidiana irregular (fractal ou não) com aproximação da rugosidade foi chamado de problema – PE. O problema equivalente que foi proposto nesta secção é uma aproximação do problema físico real. O problema equivalente PE considerado é um problema fictício que foi resolvido diretamente usando uma aproximação analítica, a partir do problema P1 corrigido por uma aproximação e estabelecendo assim uma equivalência entre os problemas P1 e P2 que pode ser descrita pela seguinte equação P 2 PE .
Onde
(3. 349)
PE P1. f (u , uo , x, y, xo , yo ) .
(3. 350)
Logo substituindo (3. 350) em (3. 349) temos:
P2 P1. f (u, uo , x, y, xo , yo ) . A função de aproximação
(3. 351)
f (u, uo , x, y , xo , yo ) foi obtida pelo modelo de
rugosidade proposto. E, para fins de execução do modelo os dados necessários para validação do modelo foram extraídos do problema P1 e também dos dados geométricos extraídos da placa rugosa do problema P2. Com o intuito de conhecer qual é a influência da rugosidade sobre o campo de tensão na ponta de uma trinca e nas suas vizinhanças e também sobre a taxa de liberação da energia elasto-plástica dado pela curva J-R, simulou-se diferentes rugosidades entre si, tanto rugosidades periódicas como aleatórias variando-se também os parâmetros como comprimento da trinca e raio de curvatura. Também a partir das simulações numéricas calculou-se a curva JR de uma trinca lisa para um corpo de geometria compacta CT.
3. 14 – O Cálculo da rugosidade nos contornos pelos Métodos Numéricos Os dados desses contornos lisos e rugosos serão foram fornecidos na entrada dos códigos. Os resultados fornecidos pelo programa de qualquer um dos métodos numéricos serão utilizados para relacionar a solução numérica com o modelo proposto.
Figura - 3. 36. Aparência do campo escalar nas proximidades de um contorno rugoso.
O modelo da rugosidade proposto anteriormente necessita de dados e informações que podem ser fornecidos pelo Método dos Elementos Finitos. As grandezas necessárias ao cálculo da função de aproximação fractal estão representadas conforme mostra a Figura - 3. 38
ea
Figura - 3. 40. De acordo com esta figura as coordenadas e os comprimentos de
cada elemento do contorno discretizado são dados pelas equações (3. 35) a (3. 47).
3.14.1 – Medida Aproximada da Rugosidade pelo Método dos Elementos Finitos Para se resolver o problema pelo Método dos Elementos Finitos, o domínio e os contornos lisos e rugosos da placa foram discretizados em elementos de comprimentos fixos e variáveis, respectivamente, conforme mostra a Figura - 3. 37.
Figura - 3. 37. Discretização de um contorno rugoso para medida pelo Métodos dos Elementos Finitos usando elementos quadrilaterais.
As grandezas necessárias ao cálculo da função de aproximação fractal, estão representadas conforme mostra a Figura - 3. 38. Elas foram extraídas do arquivo de saída que continha os resultados da simulação e foram lançadas tabelas para a geração dos gráficos do potencial e do fluxo em função da coordenada do contorno.
Figura - 3. 38. Detalhe do esquema metodológico de cálculo pelo Método dos Elementos Finitos dos elementos infinitesimais sobre um contorno rugoso.
Baseado na Figura - 3. 38 nós podemos extrair as informações necessárias para o cálculo da rugosidade a partir dos dados do arquivo do Método dos Elementos Finitos. Nesse método os pontos sobre os elementos são tomados diretamente sobre os pontos de Gauss no interior do elemento, pois para este método o cálculo no nos pontos de Gauss possui erro menor. No interior de cada elemento finito retangular de quatro pontos os pontos de Gauss estão distribuídos de acordo com a Figura - 3. 39 . Os pontos de Gauss do domínio são internos aos elementos da malha. Por isso a rugosidade associada aos pontos de Gauss mais externos de cada elemento que está posicionado no contorno possui valores de potencial e fluxo ligeiramente diferentes daqueles pontos dos nós que estão exatamente sobre o contorno, (vide a Figura - 3. 39). Portanto, no caso do Método dos Elementos Finitos os cálculos sobre os pontos do contorno devem ser extrapolados a partir dos dados calculados obtidos sobre os pontos de Gauss mais próximos a este, conforme mostra a Figura - 3. 40, porque de acordo com a fundamentação teórica desse método os dados fornecidos pela saída do programa FEAP ou FRANC2D possui erros inferiores aos dos pontos de Gauss que são os pontos ótimos de erro mínimo sobre a malha.
Figura - 3. 39. Detalhe dos elementos finitos de um contorno liso e de um contorno rugoso.
Figura - 3. 40. Medida aproximada dos elementos infinitesimais de comprimento nas proximidades de um contorno rugoso.
Para esse problema de rugosidade no contorno em especifico talvez o Método de Elementos de Contorno possa oferecer resultados melhores para os pontos que estão exatamente sobre o contorno enquanto que o método de elementos finitos pode servir muito bem para problemas de “rugosidades” devido a vazios ou porosidade interna no interior do corpo, isto é, no domínio. Contudo, como o erro sobre os pontos de Gauss é minimizado, observa-se que um melhor ajuste para a função de aproximação foi obtido nesses pontos em relação aos pontos do contorno, que no método dos elementos finitos possuem erros maiores do que os pontos de Gauss internos.
3.14.2
– Medida Aproximada da Rugosidade pelo Método dos Elementos de
Contorno Para se resolver o problema pelo Método dos Elementos de Contorno, os contornos lisos e rugosos da placa foram discretizados em elementos de comprimentos fixos e variáveis, respectivamente, conforme mostra a Figura - 3. 41.
Figura - 3. 41. Discretização de um contorno rugoso para medida pelo Métodos dos Elementos de Contorno.
O modelo da rugosidade proposto anteriormente necessita de dados e informações que podem ser fornecidos pelo Método dos Elementos de Contorno. As grandezas necessárias ao cálculo da função de aproximação fractal, estão representadas conforme mostra a Figura - 3. 42. Elas foram extraídas do arquivo de saída que continha os resultados da simulação e foram lançadas tabelas para a geração dos gráficos do potencial e do fluxo em função da coordenada do contorno.
Figura - 3. 42. Medida aproximada dos elementos infinitesimais de comprimento sobre um contorno rugoso.
Na Figura - 3. 42 vemos o detalhe do esquema metodológico de cálculo pelo Método dos Elementos de Contorno dos elementos infinitesimais sobre um contorno rugoso. Baseado na Figura - 3. 42 nós podemos extrair as informações necessárias para o cálculo da rugosidade a partir dos dados do arquivo do Método dos Elementos de Contorno. No Método dos Elementos de Contorno os pontos sobre o elementos são tomados diretamente sobre o contorno, pois para este método o cálculo no contorno possui erro menor.
3. 15 – Aplicação de Métodos Analíticos e Numéricos para a Solução das Equações da Mecânica do Contínuo Irregular Apresenta-se a partir desta secção os resultados analíticos e numéricos dos modelos matemáticos propostos nos capitulo anteriores. Apresenta-se os resultados da simulação numérica da solução de um problema de fratura em uma placa com um contorno liso e outra placa equivalente, porém com contorno rugoso em duas dimensões (2-D). O problema foi simulado pelo Método dos Elementos Finitos utilizando-se o código FRANC2D (Cornell University). Os problemas formulados anteriormente foram simulados utilizando diferentes condições de contorno, e formas geométricas. Porém para comparação entre os problemas
geométricos lisos e rugosos manteve-se formulações equivalentes destas condições de contorno, conforme a metodologia e a sistemática proposta neste capítulo. Simulou-se diferentes rugosidades entre os exemplos simulados, rugosidades periódicas (ou senoidais), fractais auto-similares e auto-afins e rugosidades aleatórias. Os objetivos destas simulações são: i) Verificar a influência do raios de curvatura e do comprimento da trinca na tensão de fratura e na tenacidade a fratura com e sem rugosidade; ii) Verificar a influência da variação da rugosidade pela flutuação da freqüência e amplitude senoidal da superfície da trinca eliptica no campo de tensão na ponta da trinca; iii) estabelecer um critério de fratura por meio de uma relação entre o raio de curvatura
e a rugosidade dL / dL0 .
Os resultados analíticos clássicos do campo de tensão/deformação ao redor de uma trinca são tomados como referencia para a análise dos efeitos que surgem no caso desse campo ser influenciado pelas seguintes variações: i) variação no comprimento da trinca com e sem rugosidade ii) variação no raio de curvatura da trinca com e sem rugosidade iii) variação na rugosidade da trinca. iv) campo de tensão na ponta da trinca com e sem rugosidade v) curva J-R com e sem rugosidade Com a variação desses parâmetros investigou-se a influência da rugosidade no campo de tensão elástico de problemas de fratura. Para a variação no comprimento da trinca com e sem rugosidade procurou-se indentificar a influencia dessa rugosidade ao longo da borda da trinca sobre o campo de tensão. Para a variação no raio de curvatura da trinca com e sem rugosidade procurou-se indentificar a influencia dessa rugosidade sobre o campo de tensão na ponta da trinca. E para a variação na rugosidade da trinca em absoluto procurou-se identificar a influência da intensidade desta sobre o campo de tensão. Os resultados das tensões e das deformações são obtidos, avaliados e discutidos para diferentes refinamentos de malhas utilizadas. O aspecto das malhas foi mantido o mesmo para todos os problemas aqui resolvidos a fim de evitar as variações das quantidades calculadas numericamente devido ao refinamento fornecido pela malha. Isto é, considerou-se um valor de convergência igual para todas as malhas aqui utilizadas nos cálculos para que a comparação entre os problemas P1-liso e P2-rugoso pudesse ser perceptível sem a influência dos desvidos devido a convergências do valores pelo refinamento das malhas.
Análises do campo de tensão ao redor e na ponta de um entalhe com e sem rugosidade, para diversos comprimento de trinca e raios de curvatura, foram analisados. Mediu-se a Energia de Fratura e o Fator de Intensidade de Tensão (SIF) em função do comprimento da trinca, com e sem rugosidade para se obter uma estimativa matemática do comportamento da curva J-R a fim de comparar com o modelo fractal proposto para uma trinca rugosa.
3.15.1 – Campo de Tensão em uma Placa de Griffith lisa ou sem rugosidade: Problema P1 - Modo I Um campo de tensão foi simulado considerando-se um material isotrópico com módulo elástico E 0, 290 105 Pa e um módulo de Poisson v 0, 250 , com tenacidade a fratura K IC 1, 0 Pa. m , densidade 1, 0 Kg / m 3 O campo de tensão de uma placa de Griffith foi simulada de acordo com a malha mostrada na Figura - 3. 43. Essa figura mostra a malha deformada em relação a malha nãodeformada.
Figura - 3. 43. Malha de simulação de uma placa com uma trinca lisa de comprimento L0 2 .
Resultados obtidos para uma placa de Griffith semm e com rugosidade estão mostrados na Figura - 3. 44 e na Figura - 3. 46.Na Figura - 3. 44 mostra-se o aspecto geral do
campo de tensão ao redor de uma trinca elíptica lisa para uma placa carregada nas extremidades. Houve a necessidade de uma fixação de deslocamentos para que o problema fosse numericamente solúvel pelo MEF. Essa fixação foi feita nos vértices inferior (X,Y) e superior (Y) do lado direito da placa. Um outro tipo de fixação foi feita nas bordas da elipse exatamente na metade de cada extremidade dessa elipse. Ou seja, nos pontos extremos sobre a linha horizontal que divide a elipse em duas parte iguais foram feitos fixações na direção Y e nos pontos extremos sobre a linha vertical que divide a elipse em dua parte iguais foram feitos fixações na direção X.
Figura - 3. 44. Aspecto do campo de tensão
xx , yy , xy , int fric , 1 , 2 , max , eff simulado em
uma placa de Griffith com uma trinca lisa de comprimento L0 2 .
Observou-se que embora as fixações tenham sidos feitas em pontos diferentes para o primeiro e segundo caso os resultados forma idênticos.
3.15.2 – Campo de Tensão em uma Placa de Griffith com rugosidade: Problema P2 Modo I Embora não há cálculo analítico para uma trinca rugosa mesmo assim esse problema foi simulado e um fator de forma foi calculado para ser usado na expressão analítica (3. 367) e (3. 368) do problema anterior, como será mostrado na secção seguinte. O campo de tensão de uma placa de Griffith foi simulada de acordo com a malha mostrada na Figura - 3. 45. Essa figura mostra a malha deformada em relação a malha nãodeformada.
Figura - 3. 45. Malha de simulação de uma placa com uma trinca rugosa de comprimento
L0 2 . Na Figura - 3. 46 mostra-se o aspecto geral do campo de tensão ao redor de uma trinca elíptica rugosa para uma placa carregada nas extremidades. Houve a necessidade de uma fixação de deslocamentos idêntica ao problema da placa com uma trinca lisa para que o problema fosse numericamente solúvel pelo MEF. Observe que os campo de tensão em uma placa de Griffith com uma trinca rugosa não diferem muito em seu aspecto geral de uma placa idêntica porém com uma trinca lisa mostrada na Figura - 3. 44.
Figura - 3. 46. Aspecto do campo de tensão
xx , yy , xy , int fric , 1 , 2 , max , eff simulado em
uma placa de Griffith com uma trinca rugosa de comprimento L0 2 .
Novamente observou-se que embora as fixações tenham sidos feitas em pontos diferentes para o primeiro e segundo caso os resultados forma idênticos. Observa-se que como o carregamento foi simétrico em relação a uma linha horizontal (passando pelo meio da placa e dividindo ela em duas partes iguais), o campo produzido também foi simétrico.
3.15.3 - Calculo do Fator de Forma de uma Trinca Rugosa em uma Placa de Griffith O fator de forma de uma trinca rugosa foi calculado da segunte forma: i) A partir do trabalho de deformação realizado sobre uma placa sem trinca e com trinca calculou-se a variação da energia elástica na presenca de uma trinca lisa e rugosa. ii) Para o caso de uma trinca elíptica lisa sem rugosidade calculou-se o fator de forma calibrando a medida para um valor igual a pi 3,1415... conforme a equação da variação da energia elastica de deformação mostrada na equação para tensão plana:
U Ll U Ll U 0
2 L2l 1 v 2
(3. 352)
2E
onde:
m
2 E U Ll
2 L2l 1 v 2
(3. 353)
ou
2 2,90 104 0,10673184 0,10320940 1012 m
10
7
Para
/ 0, 06
um Módulo
2
(3. 354)
2
0, 01 1 0, 0625 E 2,90 104 Pa ,
elástico
v 0, 25
e
uma
tensão
107 / 0, 06m temos um resultado para m 3,1818161005714285 ¨que em comparação com o fator , dá um erro de aproximadamente 1,141% .
iii) Para o caso de uma trinca elíptica rugosa o cálculo do fator de forma foi feito a partir da seguinte equação.
U L U L U 0
m * 2 L20 1 v 2 2E
(3. 355)
onde:
m*
2 E U L
2 L2 1 v 2
(3. 356)
ou
2 2, 90 104 0,10675995 0,10320940 1012 m
Para
10
7
/ 0, 06
um Módulo
2
(3. 357)
2
0,01 1 0, 0625
elástico
E 2,90 104 Pa ,
v 0, 25
e
uma
tensão
107 / 0, 06m temos um resultado temos um resultado para m 3, 208895670857142 que em comparação com o fator , dá um erro de aproximadamente 1,141% . Uma vez que o fator m é conhecido o fator m * pode ser alternativamente determinado dividindo-se as equações (3. 356) e (3. 353), para uma mesma geomteria do corpo e um mesmo carregamento, de onde obtemos: U L m U Ll
(3. 358)
0,10675995 0,10320940 1012 m 0,10673184 0,10320940 1012
(3. 359)
m*
ou
m*
logo m* 1, 00798026368* m* 3,16666339133
(3. 360)
Este fator de forma pode ser usado para a correção dos cálculo de fratura rugosa a partir do resultado de fratura lisa, como um problema equivalente PE, conforme foi proposto no Capítulo - VIII de Materiais e Métodos. Este resultado mostra que uma trinca mais rugosa dissipa mais energia em relação a uma trinca lisa para o mesmo carregamento e geometria dos corpos simulados.
3. 16 – Resultados Numéricos pelo Método dos Elementos Finitos com variação do comprimento da trinca lisa e rugosa Nesta secção apresentamos o aspecto geral do campo de tensão ao redor de uma trinca lisa e rugosa para diferentes valores do comprimento da trinca. Apresenta-se nesta secção a aplicação dos métodos numéricos e técnicas empregados na solução do problema das equações da mecânica do contínuo regular e irregular. Apresenta-se os resultados da simulação numérica da solução de um problema de fratura em uma placa com um contorno liso e outra placa equivalente, porém com contorno rugoso em duas dimensões (2-D). Apresenta-se também o aspecto geral do campo de tensão ao redor de uma trinca lisa e rugosa para diferentes parâmetros da trinca. Apresenta-se nesta secção a simulação do campo de tensão estático na ponta de uma trinca rugosa utilizando-se o código MEF denominado FRANC2D (Cornell University). Analisou-se o efeito da rugosidade sobre esse campo variando-se parâmetros como o comprimento da trinca, a rugosidade e o raio de curvatura para verificar a validade das soluções analíticas obtidas nas secções 2.8.3, 2.8.4 e 2.8.5. As condições de restrição e fixação das malhas foram todas aplicadas da mesma forma, ou seja, a borda direita de cada corpo simulado foi fixada nas direções (X,Y), conforme mostra Figura - 2. 1. O carregamento foi aplicado sobre a borda superior e inferior do lado esquerdo do corpo proporcionalmente ao comprimento da trinca, mantendo-se a mesma tensão aplicada, conforme mostra Figura - 2. 1.
Figura - 2. 1. Condições de contorno e carregamento aplicado a malha de simulação de uma placa com uma trinca de comprimento variável, válida tanto para o caso liso como rugoso.
2.9.1 – Campo ao redor de uma trinca com comprimento L0 2, 4, 6,8,10,12 :Modo I de Carregamento A Erro! Fonte de referência não encontrada. mostra o aspecto das malhas utilizadas na solução do problema do campo de tensão elástico linear em um corpo com geometria CT. O aspecto de montagem das malhas foi mantido dentro de um mesmo padrão para que pudesse ser feita uma comparação tanto visual quanto numérica dos resultados. Observa-se que os elementos ao redor da ponta do entalhe são mais concentrados para retratar melhor as sensíveis variações do campo nessa região. O comprimento projetado do entalhe rugoso foi feito propositadamente igual ao comprimento do entalhe liso para que o efeito da rugosidade do entalhe fosse evidente de forma comparativa com o entalhe liso. A Figura - 3. 47 mostra o aspecto das malhas utilizadas na solução do problema do campo de tensão elástico linear. As fixações das malhas foram feitas também da mesma forma, ou seja, a borda direita de cada corpo simulado foram fixadas nas direções (X,Y). E o carregamento foi feito propoircional ao comprimento da trinca, mantendo-se a mesma tensão aplicada. O aspecto de montagem das malhas foi mantido dentro de um mesmo padrão para que pudesse ser feito uma compração tanto visual quanto numérica dos resultados. Observa-se que os elementos ao redor da ponta do entalhe são mais concentrados para poder retratar melhor as sensíveis variações do campo nessa região.
O comprimento projetado do entalhe rugoso foi feito propositadamente igual ao comprimento do entalhe liso para que o efeito da rugosidade do entalhe fosse evidente de forma comparativa com o entalhe liso.
Figura - 3. 47. Malha de simulação de uma placa com uma trinca de comprimento L0 2, 6,10 ; a) trinca lisa b) trinca rugosa.
Figura - 3. 48. Malha de simulação de uma placa com uma trinca de comprimento L0 4,8,12 ; a) trinca lisa b) trinca rugosa.
Figura - 3. 49. Campo de Tensão
xx ao redor de uma trinca de comprimento L0 2, 6,10 ; a)
trinca lisa b) trinca rugosa.
Observa-se na Figura - 3. 49 o avanço da componente xx do campo de tensão ao redor de um entalhe com o seu comprimento, para uma geometria de entalhe liso e rugoso. A medida que o comprimento do entalhe aumenta, observa-se que o tamanho da região de concentração de tensão ao redor do entalhe diminui, tanto para a situação de geometria lisa como rugosa. Os aspectos da componente do campo de tensão xx nas situações de entalhe liso e rugoso são muito parecidos. Contudo, observa-se pequenas deformações no aspecto desse campo da situação de entalhe rugoso em relação ao entalhe liso.
Figura - 3. 50. Campo de Tensão
xx ao redor de uma trinca de comprimento L0 4,8,12 ; a)
trinca lisa b) trinca rugosa.
Observa-se a partir das Figura - 3. 49 e Figura - 3. 51 que o campo em torno da trinca rugosa não é simétrico, ou seja campos paralelos a propagação da trinca como as tensões xx e 2 são mais afetadas pela rugosidade da trinca. O carregamento simétrico produz campo simétrico. Contudo, como a rugosidade de uma face da trinca é a complementar da outra, observa-se uma ligeira assimetria do campo em relação a uma linha horizontal passando pelo meio da placa.
Figura - 3. 51. Campo de Tensão
xy ao redor de uma trinca de comprimento L0 2, 6,10 ; a)
trinca lisa b) trinca rugosa.
Na Figura - 3. 51 observa-se o avanço da componente xy do campo de tensão ao redor de um entalhe com o seu comprimento, para uma geometria de entalhe liso e rugoso. A medida que o comprimento do entalhe aumenta, observa-se uma movimentação da região de concentração de tensão ao redor do entalhe, tanto para a situação de geometria lisa como rugosa. Novamente observa-se que os aspectos da componente do campo de tensão xy nas situações de entalhe liso e rugoso são muito parecidos. Apenas, observa-se algumas pequenas modificações no aspecto da componente xy desse campo na situação de entalhe rugoso em relação ao entalhe liso. Isto devio ao efeito da rugosidade.
Figura - 3. 52. Campo de Tensão
xy ao redor de uma trinca de comprimento L0 4,8,12 ; a)
trinca lisa b) trinca rugosa.
Observa-se em todas a figuras cujo campo depende da direção x que a medida que a trinca penetra no material o campo de tensão se move para frente se deformando até apresentar um padrão típico semelhante as soluções analitica de uma placa infinita com um entalhe na borda.
Figura - 3. 53. Campo de Tensão
yy ao redor de uma trinca de comprimento L0 2, 6,10 ; a)
trinca lisa b) trinca rugosa.
Na Figura - 3. 53 mostra-se o aspecto geral da componente yy do campo de tensão ao redor de um entalhe liso e rugoso a medida que aumenta o seu comprimento. Essa componente do campo de tensão é responsável pelo crescimento da trinca para essa configuração de ensaio (geometria do corpo e carregamento) simulado nessa figura. Contudo, a rugosidade da trinca que fica atrás da região de concentração do campo de tensão parece ter pouca ou quase nenhuma influência sobre essa componente do campo que está a frente do entalhe. Talvez se a rugosidade fosse presente junto a ponta do entalhe pudesse haver alguna influência sobre a forma do campo de tensão. Simulações preliminares realizadas por Chiquito (2010) utilizando-se o programa ANSYS com uma trinca eliptica completamente rugosa mostraram uma modificação no aspecto do campo.
Figura - 3. 54. Campo de Tensão
yy ao redor de uma trinca de comprimento L0 4,8,12 ; a)
trinca lisa b) trinca rugosa.
Observa-se da Figura - 3. 53 que a componente yy do campo de tensão é o menos afetado pelo efeito de uma rugosidade ao longo de uma trinca.
Figura - 3. 55. Campo de Tensão trinca lisa b) trinca rugosa.
1 ao redor de uma trinca de comprimento L0 2, 6,10 ; a)
Figura - 3. 56. Campo de Tensão
1 ao redor de uma trinca de comprimento L0 4,8,12 ; a)
trinca lisa b) trinca rugosa.
Da mesma forma que na Figura - 3. 53 a Figura - 3. 55 mostra que a componente
1 do campo de tensão é pouco afetada pelo efeito de uma rugosidade ao longo de uma trinca. Isto porque no caso da geometria do problema em questão a direção principal 1 na maioria dos pontos da Figura - 3. 55 corresponde a direção y .
Figura - 3. 57. Campo de Tensão trinca lisa b) trinca rugosa.
2 ao redor de uma trinca de comprimento L0 2, 6,10 ; a)
Figura - 3. 58. Campo de Tensão
2 ao redor de uma trinca de comprimento L0 4,8,12 ; a)
trinca lisa b) trinca rugosa.
Da mesma forma que na Figura - 3. 49 a Figura - 3. 57 mostra que a componente
1 do campo de tensão é bastante afetada pelo efeito de uma rugosidade ao longo de uma trinca. Isto porque no caso da geometria do problema em questão a direção principal 2 na maioria dos pontos da Figura - 3. 55 corresponde a direção x .
Figura - 3. 59. Campo de Tensão trinca lisa b) trinca rugosa.
max ao redor de uma trinca de comprimento L0 2, 6,10 ; a)
Figura - 3. 60. Campo de Tensão trinca lisa b) trinca rugosa.
max ao redor de uma trinca de comprimento L0 4,8,12 ; a)
Figura - 3. 61. Campo de Tensão trinca lisa b) trinca rugosa.
eff ao redor de uma trinca de comprimento L0 2, 6,10 ; a)
Figura - 3. 62. Campo de Tensão
eff ao redor de uma trinca de comprimento L0 4,8,12 ; a)
trinca lisa b) trinca rugosa.
As Tabela - III. 1 e Tabela - III. 2 apresentam a variação da energia total de deformação e das componentes do campo de tensão xx , yy em função do comprimento da trinca com e sem rugosidade. Tabela - III. 1. Energia Total de deformação em função do comprimento para uma trinca lisa
CT L 2 4 6 8 10 12
Força (xE6) 1,67 3,33 5 6,67 8,33 10
Total Work 107483650 1640373900 9115741400 33732001000 96822356000 233358990000
Sigma X (PT Stress) 673937 2900743 7034872 12546497 19686046 24388264
Trinca Lisa Sigma Y (PT Stress) 3160760 13709235 33830636 64120624 100689050 144916380
Sigma Y (Elem Stress) 1111587 5181708 13204274 26571653 46285081 72806926
Sigma YY (Line Plot) 3143550 14108249 34656896 64184096 104316310 148708210
A análise numérica da componente do campo de tensão yy foi feita de diversas formas (tensão no ponto, tensão no elemento e tensão meida ao longo de uma linha). Os
resultados obtidos forma muito próximos e apresentaram a mesma tendência em função da variação do comprimento. Tabela - III. 2. Energia Total de deformação em função do comprimento para uma trinca rugosa Trinca Rugosa Sigma X (PT Sigma Y (PT Total Work Stress) Stress) 106167100 630568 2989130 1596504000 2887306 13559134 9200165900 7099090 32756032 33929121000 12417605 62920040 97156983000 18484992 100274660 234736150000 24551316 145503500
Força (xE6) 1,67 3,33 5 6,67 8,33 10
CT L 2 4 6 8 10 12
Sigma Y (Elem Stress) 1104122 5110082 13254964 26591711 46236705 72818049
Sigma YY (Line Plot) 3310602 14516617 34169892 64928672 104569560 148044800
Graficando-se os dados de energia total de deformação em função do comprimento da trinca obteve-se o gráfico mostrado na Figura - 3. 63.
Grafico da Energia Total
Energia de Deformação Acumulada
2,5E+11
Lisa
2E+11
Rugoso 1,5E+11
1E+11
5E+10
0 0
2
4
6
8
10
12
14
Comprimento da Trinca
Figura - 3. 63. Energia total de deformação U L em função do comprimento de uma trinca lisa e rugosa.
O gráfico da Figura - 3. 63 mostra que houve pouca diferença entre os valores da energia total de deformação em função do comprimento de uma trinca para uma placa contendo uma trinca lisa ou rugosa.
4,50 4,00
Fator de Forma m*
3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50
Variando o Comprimento
0,00 0
1E+09
2E+09
3E+09
4E+09
5E+09
6E+09
7E+09
Variação da Energia Elastica de Deformação (UL)
Figura - 3. 64. Energia total de deformação U L em função do fator de forma m * para diferentes comprimento de trinca rugosa.
O gráfico da Figura - 3. 64 mostra a variação da energia elástica total de deformação em função do fator de forma m * para diferentes comprimento de uma trinca para uma placa contendo uma trinca rugosa. Este resultado mostra que a rugosidade e o comprimento da trinca afetam a variação da energia elástica de deformação para uma trinca em crescimento.
3. 17 – Resultados Numéricos pelo Método dos Elementos Finitos com variação do raio de Curvatura Nesta secção apresentamos o aspecto geral do campo de tensão ao redor de uma trinca lisa e rugosa para diferentes valores do raio de curvatura da trinca. Analisamos a princípio a influência do raio de curvatura no campo de tensão em uma placa de Inglis (definir estado de tensão) utilizando o software livre FRANC2D. A motivação desse trabalho é a utilização do mesmo problema de Inglis inserindo uma rugosidade ao redor de toda a trinca para medir a influência desta no campo de tensão.
3.17.1 – CorpoCT0 – Raio de curvatura 0 e trinca lisa e rugosa
Figura - 3. 65. Aspecto da Malha deformada com trinca de raio de curvatura
Figura - 3. 66. Campo de Tensão
xx
no Modo I de Fratura
0.
Figura - 3. 67. Campo de Tensão
yy
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 68. Campo de Tensão
xy
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 69. Campo de Tensão
1 no Modo I de Fratura
Figura - 3. 70. Campo de Tensão
2
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 71. Campo de Tensão max no Modo I de Fratura
Figura - 3. 72. Campo de Tensão
efetiva
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 73. Gráfico da tensão Modo I de Fratura
yy
em função do raio
r
na frente da trinca para
0 no
3.17.2 – CorpoCT1 – Raio de curvatura 1, 2,3, 4,5,6 e trinca lisa e rugosa Para se ter uma idéia da influencia do raio de curvatura de uma trinca lisa no campo de tensão, simulou-se um campo elástico ao redor de uma falha com diferentes raios de curvatura. As fixações das malhas foram feitas também da mesma forma, ou seja, a borda direita de cada corpo simulado foram fixadas nas direções (X,Y). Foi feito um carregamento proporcional ao comprimento projetado da trinca, mantendo-se a mesma tensão aplicada.
Figura - 3. 74. Aspecto da Malha deformada com trinca de raio de curvatura
1,2,3 .
Figura - 3. 75. Aspecto da Malha deformada com trinca de raio de curvatura
4,5,6 .
A título de exemplo dos resultados obtidos tem-se o comportamento mostrado na Figura - 3. 76, para a componente
XX do campo elástico. Observa-se da Figura - 3. 76 que a
medida que o raio de curvatura aumenta o campo de tensão, embora mantenha o mesmo padrão, se espalha e se alarga para dentro do material.
Figura - 3. 76. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
1, 2,3 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade
xx
para
Figura - 3. 77. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
xx
para
4,5, 6 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade Novamente neste caso observa-se que a rugosidade pertuba o campo mais fortemente nas componentes que são na mesma direção do comprimento da trinca rugosa.
Figura - 3. 78. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
1, 2,3 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade.
xy
para
Figura - 3. 79. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
xy
para
4,5, 6 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade Analisando-se agora o efeito da rugosidade de uma trinca sobre o campo de tensão elástico em um material frágil, observa-se o que era esperado pelas equações (3. 205), (3. 206), (3. 217) e (3. 220), ou seja, uma perturbação geométrica (rugosidade) produz na intensidade do campo ao redor da falha uma variação oscilante que acompanha a rugosidade da superfície do entalhe, mas que se atenua à medida que se afasta da rugosidade da trinca na direção do interior do material. Para grandes distancias, longe do efeito da rugosidade superficial, espera-se que os valores do campo elástico para o caso sem e com rugosidade se aproxime um do outro. O mesmo observa-se para as outras componentes do campo como no caso do cisalhamento dado pela intensidade da componente 3. 78.
XY , conforme mostra a Figura -
Figura - 3. 80. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
1, 2,3 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade.
yy
para
Figura - 3. 81 Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
yy
para
4,5, 6 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade. A componente do campo que apresentou menor variação quanto a sua forma foi a componente
YY , conforme mostra a Figura - 3. 80. Mesmo para as direções principais 1 e
2 as formas do campo sofrem o mesmo tipo de perturbação na sua intensidade devido a geometria rugosa da trinca. Quando se grafica a intensidade da componente na frente da trinca para um ângulo
YY do campo em função do raio
0 obtém-se os gráficos da Figura - 3.90. Esta figura
mostra o campo de tensão sofreu um efeito na sua intensidade devido a geometria rugosa da trinca.
Figura - 3. 82. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
1, 2,3 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade.
1
para
Figura - 3. 83. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
4,5, 6 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade. .
1
para
Figura - 3. 84. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
1, 2,3 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade.
2
para
Figura - 3. 85. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
4,5, 6 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade.
2
para
Figura - 3. 86. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
1, 2,3 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade.
max
para
Figura - 3. 87. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
4,5, 6 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade.
max
para
Figura - 3. 88. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
1, 2,3 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade.
efetiva
para
Figura - 3. 89. Imagem do resultado da simulação numérica do campo de tensão
4,5, 6 no Modo I de Fratura sem rugosidade e com rugosidade.
efetiva
para
Figura - 3.90. Gráfico da intensidade do campo de tensão na ponta da trinca em função da distancia r sem e com rugosidade para 1, 2,3 .
Figura - 3.91. Gráfico da intensidade do campo de tensão na ponta da trinca em função do raio de curvatura sem e com rugosidade para 4,5, 6 .
Quando gráfica-se a intensidaden da componente função do raio na frente da trinca para um ângulo
YY do campo de tensão em
0 obtém-se os gráficos da Figura -
3.90. Esta figura mostra que o campo de tensão sofreu um efeito na sua intensidade devido a mudança do valor do raio de curvatura da trinca. Porém, observa-se das duas figuras anteriores que o campo sofre apenas um efeito de magnificação em escala, sem grandes mudanças qualitativas na sua forma ou aspecto. As Tabela - III. 3 e Tabela - III. 4 apresenta os resultados da variação da energia total de deformação com o raio de curvatura da trinca. Tabela - III. 3. Energia Total de deformação em função do raio de curvatura para uma trinca lisa Trinca Lisa 11 Raio de Curvatura Total Work 10
1 2 3 4 5 6
0,95663263 1,0597388 1,3643101 1,3736282 1,3829462 1,4943466
Tabela - III. 4. Energia Total de deformação em função do raio de curvatura para uma trinca rugosa Trinca Rugosa Raio de Curvatura Total Work 1011
0,78312866 1,0589044 1,3234159 1,279419 1,386848 1,5307621
1 2 3 4 5 6
Graficando-se os dados de energia total de deformação, apresentados nas Tabela III. 3 e Tabela - III. 4, em função do raio de curvatura da trinca obteve-se o gráfico mostrado na Figura - 3. 92.
Variação da Energia de Deformação Elástica 1,8
Energia Total de Deformação
1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4
Liso
0,2
Rugoso
0 0
1
2
3
4
5
6
7
Raio de Curvatura
Figura - 3. 92. Variação da Energia de Deformação com o raio de curvatura no Modo I de Fratura
O gráfico da Figura - 3. 92 mostra que houve uma flutuação entre os valores da energia total de deformação em função do comprimento de uma trinca para uma placa contendo uma trinca lisa ou rugosa.
3. 18 – Análise comparativa entre os campos liso e rugoso Nesta secção apresentamos uma análise comparativa entre os aspectos gerais do campo de tensão ao redor de uma trinca lisa e rugosa.
3.18.1 - Comparação dos Resultados Computacionais de Simulação Liso e Rugoso Para se fazer uma comparação quantitativa entre os campos de tensão liso e rugoso nas mesmas condições de carregamento e material, analisou-se os valores desse campo ao longo de uma linha perpendicular ao comprimento da trinca próximo a ponta da trinca na região inferior e superior na Figura - 3. 93. Os resultados da análise de intensidade do campo ao longo dessas linhas são mostrados nas Figura - 3. 94 e Figura - 3. 95.
Figura - 3. 93. Campos de tensão curvatura da troinca
xx para corpos com comprimento L0 12 e raio de
2 ;a) liso; b) rugosidade 2 c) rugosidade 0,5.
A Figura - 3. 93 mostra que quanto mais rugosa é a trinca mais pertubado será o campo de tensão. Contudo, deve-se observar que, além da pertubação proveniente da rugosidade da trinca, há também uma flutuação nos valores de intensidade do campo em função das coordenadas próximas a rugosidade devido a erros numérico de aproximação. Pois os elementos nas regiões próximas a trinca rugosa são mais deformados e por isso as funções de interpolação dentro desses elemento apresentam maiores erros de aproximação. Nas Figura - 3. 94 e Figura - 3. 95 mostra-se que a rugosidade de uma trinca insere na componente xx do campo de tensão uma pertubação do tipo oscilação amortecida. Isto já haviua sido prevista nas soluções analíticas do campo de tensão elástica com rugosidade apresentada no Capítulo – III.
Figura - 3. 94. Diferença da Intensidade do campo
xx para uma linha inferior perpendicular a
trinca.
A solução analítica apresentada no Capítulo – III previa que a rugosidade pertubaria o campo de tensão de forma exponencial por meio de um “vetor de onda” k cuja natureza era desconhecida. Nesse capítulo observa-se por meios dos resultados mostrados nas Figura - 3. 94 e Figura - 3. 95 que esse vetor de onda k pode ser até mesmo complexo, para poder dá origem a um resultado “oscilatório amortecido” como este. Isto por que a solução desses campos carregam as informações de um mapeamento conforme.
Figura - 3. 95. Diferença da Intensidade do campo
xx para uma linha superior perpendicular a
trinca.
yy
As Figura - 3.96 e Figura - 3.97 mostram a variação da intensidade da componente do campo de tensão em função do raio vetor r para 0o , na frente da trinca para
diferentes de raios de curvatura da trinca. Observa-se dessas figuras que naturalmente o raio de curvatura da trinca afeta o perfil da componente de tensão yy na frente da trinca. Embora haja diferença entre a situação de trinca lisa e rugosa, os valores das
componentes yy dos campos nessas duas situações não apresentam um correlação analiticamente previsível entre elas.
Tensao YY na frente da trinca sem rugosidade
1,40E+08
Tensao YY
1,20E+08 1,00E+08
CT1
8,00E+07
CT2 CT3
6,00E+07
CT4
4,00E+07
CT5 CT6
2,00E+07 0,00E+00 0,00E+00 5,00E-01 1,00E+00 1,50E+00 2,00E+00 2,50E+00 -2,00E+07 Raio r para teta=0
Figura - 3.96. Gráfico da intensidade do campo de tensão na ponta da trinca em função do raio de curvatura sem rugosidade.
Uma vez que a rugosidade afastada da região de campo de tensão mais intensa, a rugosidade só influencia o campo de tensão yy se esta acontecer na direção perpendicular ao raio de curvatura na ponta de uma trinca conforme mostra as Figura - 3.96 e Figura - 3.97
Tensao YY na frente da trinca com rugosidade 1,40E+08
Tensao YY
1,20E+08 1,00E+08
CT1
8,00E+07
CT2 CT3
6,00E+07
CT4
4,00E+07
CT5 CT6
2,00E+07 0,00E+00 0,00E+00 -2,00E+07
5,00E-01 1,00E+00 1,50E+00 2,00E+00 2,50E+00 Raio r para teta=0
Figura - 3.97. Gráfico da intensidade do campo de tensão na ponta da trinca em função do raio de curvatura com rugosidade.
3. 19 – Resultados Numéricos pelo Método dos Elementos Finitos com variação da rugosidade Nesta secção apresentamos o aspecto geral do campo de tensão ao redor de uma trinca lisa e rugosa para diferentes valores de rugosidade da trinca.
3.19.1 – Campo ao redor de uma trinca com rugosidade: Modo I Nas Figura - 3. 98 e Figura - 3. 99 mostra-se as malhas utilizadas na simulação do problema do campo de tensão elástico ao redor de uma trinca rugosa, variando-se o grau desssa rugosidade.
Figura - 3. 98. Malha de simulação de um placa uma trinca com uma rugosidade suave de ordem 1, 2, 3.
Figura - 3. 99. Malha de simulação de um placa uma trinca com uma rugosidade suave de ordem 4, 5, 6.
Figura - 3. 100. Campo de Tensão
xx ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
Figura - 3. 101. Campo de Tensão
xx ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
ordem 1, 2, 3.
ordem 4, 5, 6.
Observa-se a partir da Figura - 3. 101 que a medida que a rugosidade da trinca é mais intensa o campo de tensão apresenta pertubações que podem ter origem na solução numérica aproximada, ou na própria influência da pertubação geometria introduzida pela rugosidade. Para uma rugosidade suave como a mostrada na Figura - 3. 101a onde os erros de aproximação são menores observa-se que o campo paralelo ao comprimento rugoso da trinca é realmente afetado pela rugosidade da mesma.
Figura - 3. 102. Campo de Tensão
xy ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
Figura - 3. 103. Campo de Tensão
xy ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
ordem 1, 2, 3.
ordem 4, 5, 6.
Figura - 3. 104. Campo de Tensão
yy ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
Figura - 3. 105. Campo de Tensão
yy ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
ordem 1, 2, 3.
ordem 4, 5, 6.
Observa-se da Figura - 3. 105 que o campo yy é pouco afetado pela rugosidade da trinca. Isto proque esse campo é perpendicular ao comprimento rugoso da trinca.
Figura - 3. 106. Campo de Tensão
1 ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
Figura - 3. 107. Campo de Tensão
1 ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
ordem 1, 2, 3.
ordem 4, 5, 6.
Figura - 3. 108. Campo de Tensão
2 ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
Figura - 3. 109. Campo de Tensão
2 ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
ordem 1, 2, 3.
ordem 4, 5, 6.
Figura - 3. 110. Campo de Tensão
max ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
Figura - 3. 111. Campo de Tensão
max ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
ordem 1, 2, 3.
ordem 4, 5, 6.
Figura - 3. 112. Campo de Tensão
eff ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
Figura - 3. 113. Campo de Tensão
eff ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
ordem 1, 2, 3.
ordem 4, 5, 6.
A Tabela - III. 5 apresenta a variação da energia total de deformação e das componentes do campo de tensão xx , yy em função do grau de rugosidade da trinca. Tabela - III. 5. Energia Total de deformação em função da rugosidade de uma trinca
Rugosida de 0,5 1 2 3 4 6
Variação na Rugosidade para uma Trinca L = 12 com uma Força 10 (xE6) Sigma X (PT Sigma Y (PT Sigma Y (Elem Sigma YY (Line Total Work Stress) Stress) Stress) Plot) 236978900000 24968678 145957820 72370169 145193920 235796670000 24598552 145168540 72658666 150249760 234632660000 24525920 145342540 72664008 149869730 235129880000 24280422 146676420 73025589 152502480 231854280000 26859976 154113620 72796475 153804580 238281400000 24133976 147469540 73187389 148199790
As diferentes energias totais obtidas para os campos de tensão simulados em função do rugosidade são mostrados no gráfico da Figura - 3. 114.
Variação na Rugosidade 239000000000 Série1
Trabalho Total
238000000000 237000000000 236000000000 235000000000 234000000000 233000000000 232000000000 231000000000 0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
Rugosidade
Figura - 3. 114. Campo de Tensão
eff ao redor de uma trinca com uma rugosidade suave de
ordem 4, 5, 6.
Observa-se na Figura - 3. 114 que o grau de rugosidade afetou em muito os valores da energia total de deformação. Isto era esperado porque quanto mais rugosa é uma trinca mais energia foi dissipada para formar a sua superfície para um campo de tensão gerado nas mesmas condições físicas e geométricas.
4,50 4,00
Fator de Forma m*
3,50 3,00 2,50 2,00 1,50 1,00 0,50
Variando o Comprimento
0,00 0
1E+09
2E+09
3E+09
4E+09
5E+09
6E+09
7E+09
Variação da Energia Elastica de Deformação (UL)
Figura - 3. 115. Energia total de deformação U L em função do fator de forma m * para diferentes rugosidade de uma trinca.
O gráfico da Figura - 3. 115 mostra a variação da energia elástica total de deformação em função do fator de forma m * para uma placa contendo diferentes graus rugosidades de uma trinca. Este resultado mostra que a rugosidade afeta a variação da energia elástica de deformação para uma trinca.
3.19.2 - Aspecto geral do campo de tensão ao redor de uma trinca rugosa Simulações preliminares realizadas por Chiquito (2010) utilizando-se o programa ANSYS com uma trinca eliptica completamente rugosa mostraram uma modificação no aspecto do campo. Esses resultados preliminares do nosso estudo numérico do campo de tensão na ponta de um entalhe com uma rugosidade senoidal, inserida diretamente na ponta desse entalhe, para o problema elástico sem propagação de trinca, mostraram que o campo de tensão na ponta desse entalhe possui uma dependência assintótica com a posição r na frente da trinca que varia desde uma valor máximo que depende do material até um valor mínimo igual a 1/ 2 , que corresponde ao valor clássico. Ou seja, esse estudo preliminar, mostra que a singularidade do campo de tensão na ponta da trinca varia como se fosse um multifractal e que não há um único expoente fractal na ponta da trinca, mas este varia com a posição r .
S43 95-100 S40 S37
90-95 85-90 80-85
S34 S31 S28
75-80 70-75 65-70 60-65
S25 S22
55-60 50-55 45-50
S19 S16
40-45 35-40 30-35
S13 S10 S7
25-30 20-25 15-20 10-15
S4
5-10
S1
0-5
Figura - 3.116. Exemplo preliminar de pontas de rugosidade penetrando em regiões intensas da vizinhança do campo escalar ou vetorial de tensão da ponta principal gerando outras zonas plásticas (cardióide para tensão plana) simulado pelo método de Diferenças Finitas para um campo escalar.
Um outro resultado preliminar simulado por Diferenças Finitas e Elementos Finitos, mostra que pontas de rugosidade que penetram regiões intensas da vizinhança dos campos escalares (térmicos), vetoriais ou tensoriais, ou seja, campos de tensão da ponta principal da trinca geram outras zonas térmicas ou plásticas (cardióide para tensão plana e leminiscata para deformação plana) conforme mostra a Figura - 3.116.
3.19.3 – Análise da Dimensão Fractal na frente de uma trinca A singularidade do campo de tensão na ponta de uma trinca varia assintoticamente desde um valor máximo até o valor de
1/ 2 . Portanto, a análise da dimensão fractal na
ponta de uma trinca foi feita por meio desse expoente, tomando-se uma distância fixa a de onde se executou o cálculo da singularidade do campo de tensão e relacionado este com a dimensão fractal por meio das propostas existentes na literatura [Mosolov, 1993; Balankin, 1994; Yavari , 2002]. Como nenhuma das propostas da literatura corresponde aos valores encontrados na simulação propôs-se uma correção ou uma generalização das propostas vigentes.
3. 20 – Simulação Numérica do crescimento estável de trinca pelo Método dos Elementos Finitos 3.20.1 – Simulação Numérica do crescimento estável de uma trinca lisa sem rugosidade em uma Placa CT:Modo I A partir da simulação do crescimento estável da fratura calculou-se a curva J-R de uma trinca lisa e de uma trinca rugosa equivalente para serem comparadas entre-si. O intuito é conhecer qual a influência da rugosidade sobre o campo de tensão na ponta da trinca e nas suas vizinhanças e sobre a taxa de liberação de energia dado pela curva J-R. Utilizou-se um modelo de rugosidade fractal para se obter a curva J-R da trinca rugosa a partir da trinca lisa corrigida pelo modelo fractal. Realizou-se a comparação com o resultado numérico direto da curva J-R da trinca rugosa como uma forma de validar a aproximação fractal do modelo apresentado. A geometria e as dimensões do corpo de prova simulado segundo a norma ASTM – 1737 (1996) está mostrado no desenho da Figura - 3.117
Figura - 3.117. Desenho do corpo de prova CT usado como padrão de calibração dos resultados numéricos em relação aos analíticos
Para o cálculo da curva J-R houve a necessidade de se simular a propagação da trinca. A aparência das malhas para o calculo da curva J-R só foi alterado a medida que a trinca
se propagou. Por isso o refinamento das malhas foi realizado de forma automática pelo software FRANC2D a fim de se manter o mesmo grau de acuracidade das medidas do valor da resistência a fratura. A malha utilizada na simulação está mostrada na Figura - 3.118 para as situações de incio de trinca e de trinca propagada. A energia total de deformação na situação de inicio de trinca foi de W 0, 20851059 1012 .
Figura - 3.118. Malha deformada de um corpo de prova CT simulado
Nas Figura - 3. 119 a Figura - 3. 125 mostra-se os componentes do campo de tensão elástico nas situações de trinca inicial e trinca propagada. Oserve o deslocamento da região intensa do campo para frente à medida que a trinca se movimentou para frente.
Figura - 3. 119. Campo de Tensão
xx
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 120. Campo de Tensão
xy
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 121. Campo de Tensão
yy
Figura - 3. 122. Campo de Tensão
1 no Modo I de Fratura
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 123. Campo de Tensão
2
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 124. Campo de Tensão max no Modo I de Fratura
Figura - 3. 125. Campo de Tensão
efetiva
no Modo I de Fratura
A Figura - 3. 126 mostra o gráfico da energia de deformação em função do comprimento da trinca desde início até o final da propagação. Como previsto pelo modelo clássico esta curva segue uma dependência quadrática com o comprimento da trinca.
Cresimento Estável de Trinca
Energia Total de Deformação
1,2
Lisa
1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
Variação no Comprimento da Trinca
Figura - 3. 126. Gráfico da Energia de Deformação em função da Variação do Comprimento da Trinca para corpos CT com uma trinca lisa e rugosa em comparação com a correção fractal do modelo proposto.
A Figura - 3. 127 mostra o gráfico da energia de deformação em função do comprimento da trinca desde início até o final da propagação.
3.20.2 – Análise da curva G-R de uma Placa CT com uma trinca lisa ou sem rugosidade:Modo I O crescimento da curva G , mostrado na Figura - 3. 127, não é devido a um aumento da resistência a fratura, mas pode ser explicado pela geometria do corpo de prova. Porque de acordo com a expressão da função f a W mostrada na equação (3. 362) essa equação cresce com o aumento do comprimento da trinca lisa denotado pela letra a nessa expressão.
Taxa de energia elastica liberada - Curva G 1,80E+12 1,60E+12
Lisa
1,40E+12 1,20E+12 G
1,00E+12 8,00E+11 6,00E+11 4,00E+11 2,00E+11 0,00E+00 0,00E+0 5,00E0 02
1,00E01
1,50E01
2,00E01
2,50E01
3,00E01
3,50E01
4,00E01
Comprimento da Trinca
Figura - 3. 127. Gráfico das curvas G-R para corpos CT com uma trinca lisa e rugosa em comparação com a correção fractal do modelo proposto.
O valor tabelado para o fator de intensidade de tensão para um corpo de prova compacto (CT) com uma trinca lisa é dado por:
KI
P a f B W W
(3. 361)
onde a f W
a 2 W 3/ 2 a 1 W
a 0,886 4, 64 W
2 3 4 a a a 13,32 14,72 5, 60 W W W (3. 362)
Com as equações (3. 361) e (3. 362) é possível calcular a expressão da curva G analitica para a placa CT, da seguinte forma:
G
K I2 P2 a f2 2 E W B WE
(3. 363)
Figura - 3. 128. Gráfico das curvas J-R para corpos CT com uma trinca lisa e rugosa em comparação com a correção fractal do modelo proposto.
3. 21 – Discussão dos Resultados Numéricos
3.21.1 - Análise das Aproximações Numéricas Os pontos de Gauss do domínio são internos aos elementos da malha. Por isso a rugosidade associada aos pontos de Gauss mais externos de cada elemento que está posicionado no contorno possui valores de potencial e fluxo ligeiramente diferentes daqueles pontos dos nós que estão exatamente sobre o contorno, (vide a Figura - 3. 129).
Figura - 3. 129. Comparação entre os elementos do domínio e do contorno rugoso
Contudo, como o erro sobre os pontos de Gauss são minimizados, observa-se que um melhor ajuste para a função de aproximação foi obtida nesses pontos em relação aos pontos do contorno que no método de elementos finitos possuem erros maiores do que os pontos de Gauss internos. Para esse problema de rugosidade no contorno em especifico talvez o Método de Elementos de Contorno possa oferecer resultados melhores para os pontos que estão exatamente sobre o contorno enquanto que o método de elementos finitos pode servir muito bem para problemas de “rugosidades” devido a vazios ou porosidade interna no interior do corpo, isto é, no domínio.
3.21.2 - Análise do erro numérico e o critério de convergência das malhas A análise de convergência dos resultados foi feita pela o erro relativo cometido entre as malhas segundo a equação (3. 364).
umalha umalha . Erro
anterior
posterior
0, 05
(3. 364)
umalha anterior
O erro cometido variou muito dependendo do ponto sobre a malha. Embora não se tenha refinado a malha para se diminuir o erro relativo considerou-se o resultado bastante satisfatório cujos gráficos para os três casos estudados estão mostrados nas Figuras: Figura 3. 92, Figura - 3. 94, Figura - 3. 95, Figura - 3.96, Figura - 3.97, Figura - 3. 114, Figura - 3. 126 e Figura - 3. 127.
Apêndices A. 1 - Calibração do Método de Solução Numérica em comparação com uma Solução Analitica A expressão analitica para a curva a taxa de energia elástica liberada G é dada por:
GI
K I2 aeff
(3. 365)
E´
onde E´ E para a tensão plana e E´ E / 1 v 2 para a deformação plana.
aeff a
1 n 1 KI a 2 1 P / P0 n 1 0 1
2
(3. 366)
onde 2 para a tensão plana e 6 para a deformação plana. O valor tabelado para uma placa de Griffith com um entalhe elíptico liso no centro é dado por:
KI
P a f B W W
(3. 367)
2 4 a a 1 0,025 0, 06 W W
(3. 368)
onde a f W
a a sec 4 W 2W
Com as equações (3. 367) e (3. 368) é possível calcular a expressão da curva G analítica para a placa de Griffith, da seguinte forma:
G
K I2 P2 a f2 2 E W B WE
(3. 369)
A.1.1 – Placa SEBN com flexão em três pontos com trinca lisa ou sem rugosidade O valor tabelado para uma viga com um único entalhe (SEBN) é dado por: KI
P a f B W W
(3. 370)
onde S a 3 a W W f W a a 2 1 2 1 W W
a a a a 1,99 1 2,15 3,93 2, 7 3/ 2 W W W W
Figura - 3.130. Malha de um corpo de prova SEBN utilizado na simulação
Figura - 3. 131. Campo de Tensão
xx
no Modo I de Fratura
2
(3. 371)
Figura - 3. 132. Campo de Tensão
xy
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 133. Campo de Tensão
yy
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 134. Campo de Tensão
1 no Modo I de Fratura
Figura - 3. 135. Campo de Tensão
2
no Modo I de Fratura
Figura - 3. 136. Campo de Tensão max no Modo I de Fratura
Figura - 3. 137. Campo de Tensão
efetiva
no Modo I de Fratura
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