Mecânica Quântica O processo de medida em MQ

Mecânica Quântica O processo de medida em MQ

A C Tort1 1 Departmento de Física Teórica Instituto Física – Universidade Federal do Rio de Janeiro

17 de Maio de 2012

O operador S2 S2 = S · S = Sx2 + Sy2 + Sz2 ou (exercício!): 3~2 S = 4 2



1 0 0 1



Observe que:

e

3~ 4



1 0 0 1



1 0



3~2 = 4



1 0



3~2 4



1 0 0 1



0 1



3~2 = 4



0 1



ou seja: S2 |±i =

3~2 |±i 4

Observe também que: ~ Sz |±i = ± |±i 2 Os kets |±i são simultaneamente autokets de S2 e Sz ! E mais: Sz S2 |±i =

3~3 3~2 Sz |±i = ± |±i 4 8

S2 Sz |±i =

~ 2 3~3 S |±i = ± |±i 2 8

O comutador [S2, Sz ] os operadores S2 e Sz comutam: S2 Sz = Sz S2 O comutador é definido por: i h S2 , Sz = S2 Sz − Sz S2 No caso: h

i S2 , Sz = 0

S2 e Sz podem ser medidos simultaneamente!

Da mesma forma: i h S2 , Sx = S2 Sx − Sx S2 = 0

e

h

i S2 , Sy = S2 Sy − Sy S2 = 0

Mas (exercício!): [Sx , Sy ] = Sx Sy − Sy Sx = i~ Sz [Sy , Sz ] = Sy Sz − Sz Sy = i~ Sx [Sz , Sx ] = Sz Sx − Sx Sz = i~ Sy significando que

Estes observáveis não podem ser medidos simultaneamente!

O processo de medida em MQ: projetores P1/2 = |+i h+| + |−i h−| ou P1/2 =



1 0



(1 0) +



0 1



(0 1) =

ou ainda: P1/2 = I1/2 Se |ψi = c1 |+i + c2 |−i então: P1/2 |ψi = |ψi



1 0 0 1



Como P1/2 + = |+i h+| =



1 0 0 0



P1/2 − = |−i h−| =



0 0 0 1



e

Temos P1/2+ |ψi = c1 |+i e P1/2− |ψi = c2 |−i

Interpretação geométrica:

|ψi P− |ψi = c2 |−i {z } | Projetor

|−i |+i

P |ψi = c1 |+i |+ {z } Projetor

Figura: O espaço vetorial linear dos estados de spin..

Completicidade!

P n

|an i han | = I

O processo de medida em MQ: redução do estado Postulado 5 Depois de uma medida do observável A na qual obtemos o autovalor an como resultado, o sistema está em um novo estado quântico que é a projeção normalizada do ket de estado inicial sobre o ket que corresponde ao resultado dessa medida: ′ ψ = p Pn |ψi hψ| Pn |ψi

onde |ψ ′ i é o ket de estado após a medida e, Pn = |an i han | é o projetor do estado inicial no estado final.

Detalhes: |ψi =

X

cℓ |aℓ i

ℓ=0

Pn |ψi = Pn

X

cℓ |aℓ i =

ℓ=0

X ℓ=0

cℓ Pn |aℓ i =

X ℓ=0

cℓ |an i han | aℓ i =

X

cℓ Pn |aℓ i

X

cℓ |an i δℓn = cn |an i

ℓ=0

ℓ=0

hψ| Pn |ψi = hψ| cn |an i = cn hψ | an i = cn han | ψi∗ = cn cn ∗ = |cn |2 ′  cn |an i

 han | cn ∗ cn |an i ψ = q → ψ′ ψ = =1 |cn | |cn | |cn |2

O processo de medida em MQ: o valor esperado Considere N elétrons preparados no mesmo estado inicial |ψi por um S-G e injetados um por um em um segundo S-G.

|ψi = |+in0

|+in

elétrons não-polarizados

n0

n k |−in0

P+ =

N+ , N

P− =

N− , N

|−in

N = N+ + N−

Postulado 4: P+n = |n h+ | ψi|2 ou P+n = n h+ | ψi n h+ | ψi∗ = n h+ | ψi hψ | +in Da mesma forma: P−n = n h− | ψi n h− | ψi∗ = n h− | ψi hψ | −in o valor esperado é definido por:   ~ ~ hSn i = P+n + − P−n 2 2

  ~ ~ hψ | −inn h− | ψi hSn i = hψ | +in n h+ | ψi + − 2 2 Lembrando que: |+i h+| + |−i h−| = 1 obtemos finalmente: hSn i = hψ| Sn |ψi De modo geral, se A é um operador associado com um observável físico, seu valor esperado no estado |ψi é dado por:

hAi := hψ| A |ψi

Exemplo: |ψi = |+in = cos

    θ θ |+i + sen e iϕ |−i 2 2

lembrando que: Sn =



~  2

sen

obtemos: ~ hSn i = 2

θ 2

cos



θ 2







e iϕ

sen

θ 2

cos




e −iϕ θ 2




    θ θ 2 cos − sen 2 2

O que acontece se θ = 0?

2

 

Desigualdades de Heisenberg Algumas definições: (∆A)2 = hA − hAii2 q  ∆A = A2 − hAi2 [A, B] = AB − BA

∆A ∆B =

1 2

|h[A, B]i|

Exemplo ∆Sx ∆Sy =

1 1 ~ |h[Sx , Sy ]i| = |hi~ Sz i| = |hSz i| 2 2 2 hSz i = hψ| Sz |ψi

Suponha que |ψi = |+i, então: hSz i = h+| Sz |+i =

∆Sx ∆Sy ≥

~2 , 4

~ 2

∆Sx 6= 0, ∆Sy 6= 0

Modelo vetorial para o spin z

S

y

x

Momento angular em MQ De modo geral, se J = L + S:   J2 j mj = j (j + 1) ~2 j mj   Jz j mj = mj ~ j mj

com j ∈ [|ℓ − s|...ℓ + s] e mj ∈ [−j... + j]. No caso do spin (|±i → |s ms i):

S2 |s ms i = s (s + 1) ~2 |s ms i Sz |s ms i = ms ~ |s ms i com s = 1/2, e ms = −1/2, +1/2,   1 1 1 −1 2 2 2 2

FIM DA AULA 7

Próxima aula:

Dinâmica quântica