Mecânica Quântica - Spin 1/2 e a formulação da M. Q. Parte I

Mecânica Quântica Spin 1/2 e a formulação da M. Q. Parte I A C Tort1 1 Departmento de Física Teórica Instituto Física – Universidade Federal do Rio de Janeiro

3 de Maio de 2012

O postulado fundamental da M.Q. Postulado. O estado de um sistema quântico é matematicamente representado por um ket de estado normalizado |ψi.

O ket/vetor de estado |ψi representa o resultado da última medida feito sobre o sistema!!!

Por exemplo, se vc mediu a energia do átomo de H e o resultado foi −13, 6 eV, então |ψi = |E = −13.6 eVi

Experimentos com analizadores e filtros de SG Experimento zero: |+i

|ψi

Z

500

250 250

|−i Superposição: |ψi = a |+i + b |−i Base ortonormal: |+i =



1 0



|−i =



0 1



O ket dual (bra): hψ| = a∗ h+| + b ∗ h−| h+| = (1 0)

h−| = (0 1)

Propriedades da base: h+ | +i = h− | −i = 1 h+ | −i = h− | +i = 0 Segue que: a = h+ | ψi

b = h− | ψi

Exercício: você pode mostrar que: hϕ | ψi = hψ | ϕi∗

Produto escalar: |ψi = a |+i + b |−i |ϕi = c |+i + d |−i hϕ | ψi = c ∗ a + d ∗ b Normalização: se |ϕi = |ψi, hψ | ψi = a∗ a + b ∗ b = |a|2 + |b|2 Para normalizar à unidade escrevemos: |ψi = p

1 |a|2

+ |b|2

[a |+i + b |−i]

Postulado (sugerido pelo experimento de S-G): P+ ~ = kh+ | ψik2 2

P− ~ = kh− | ψik2 2

Como: 1 |ψi = √ [|+i + |−i] 2 temos para o eixo de quantização Z : P+ ~ =

1 2

P− ~ =

1 2

2

2

Experimento 1a

|+i

|ψi

Z

500

|+i

250 250

|−i

Z k

Para o segundo S-G: P+ ~ = kh+ | +ik2 = 1 2

P− ~ = kh− | +ik2 = 0 2

250

Experimento 2a

|ψi 500

|+ix

|+i 250

Z

250

|−i

P1, +x = kx h+ | +ik2 =

1 2

125

X k

125

|−ix

P1, −x = kx h− | +ik2 =

1 2

Experimento 2b

|ψi 500

|+i 250

Z

250

|−i

P2, +x = kx h+ | −ik2 =

1 2

k

|+ix 125

X

125

|−ix

P2, −x = kx h− | −ik2 =

1 2

Determinação dos kets |+ix e |−ix |+ix = a |+i + b |−i |−ix = c |+i + d |−i Dos experimentos 2a e 2b: P1,+x = kx h+ | +ik2 = k(a∗ h+| + b ∗ h−|) |+ik2 = ka∗ k2 = kak2 =

1 2 1 = kx h+ | −ik2 = k(a∗ h+| + b ∗ h−|) |−ik2 = kb ∗ k2 = kbk2 = 2 1 = kx h− | −ik2 = k(c ∗ h+| + d ∗ h−|) |−ik2 = kd ∗ k2 = kd k2 = 2

P1,−x = kx h− | +ik2 = k(c ∗ h+| + d ∗ h−|) |+ik2 = kc ∗ k2 = kck2 = P2,+x P2,−x

1 2

Segue que: 1 a = √ eiα , 2

1 b = √ eiβ , 2

1 c = √ , eiγ 2

1 d = √ eiδ 2

Como no caso dos estados de polarização da luz, o importante é a fase relativa entre os coeficientes complexos, logo fazemos α = 0 e γ = 0, e ficamos com: i 1 h iβ √ |+i + e |−i |+ix = 2 e

i 1 h |−ix = √ |+i + eiδ |−i 2

Experimento 1b Para determinar as fases restantes recorremos ao experimento 1a, mas modificado:

|+ix |ψi 500

X

|+ix

250 250

|−ix

X

250

k

Para o segundo S-G: P+ ~ = kx h+ | +ix k2 = 1 2

P− ~ = kx h− | +ix k2 = 0 2

P− ~ = kx h− | +ix k2 2

⇔

x h−

| +ix = 0

Segue que:

ou

i 1 h 1 + ei(β−δ) = 0 2 ei(β−δ) = −1

ou ainda: eiβ = −eiδ Seguindo a convenção, fazemos β = 0 e δ = π e obtemos finalmente: 1 |+ix = √ [|+i + |−i] 2 1 |−ix = √ [|+i − |−i] 2

Determinação dos kets |+iy e |−iy O processo é similar ao da determinação dos kets |+ix e |−ix . O resultado é: 1 |+iy = √ [|+i + i |−i] 2 e 1 |−iy = √ [|+i − i |−i] 2

Fim da primeira parte.