Mecanica_dos_solidos_A-APS1-UTFPR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA

GABRIEL CÉSAR DA SILVA APS I – ANÁLISE DE PERFIS PARA UMA VIGA SUBMETIDA A FLEXÃO

PROF. DR. DIEGO AMADEU F. TORRES

Londrina, 2015.

1. OBJETIVO Para a viga mostrada na Fig. 1, que está submetida a forças externas, devemos determinar qual a melhor escolha entre os perfis comerciais “I” e “U” para esta viga, determinando a melhor designação.

Fig. 1 – Viga e esforços externos

A força F1 é dada pela Eq. 1.

𝐹1 = 10kN ∗ ∑(Algarismos do Registro Acadêmico)

[Eq. 1]

A força F2 é dada pela Eq. 2.

𝐹2 =

5 ∗ [10kN ∗ ∑(Algarismos do Registro Acadêmico)] 6

[Eq. 2]

Para a análise, escolheremos como material o aço A36, com uma tensão normal de escoamento 𝜎ESC = 250MPa. Na análise do perfil “U”, é a junção de duas peças através de 2 linhas de parafusos ao longo do comprimento, como mostra a Fig. 3. Cada parafuso possui diâmetro 𝑑 = 3⁄16 pol e tensão cisalhante de escoamento 𝜏ESC = 380MPa. Como critério, estará sendo usado um fator de segurança 𝐹𝑆 = 2,0, onde 𝐹𝑆 é dado por

𝐹𝑆 =

𝜎𝐿𝐼𝑀 𝜎𝐴𝑇𝑈𝐴𝑁𝑇𝐸

Fig. 2 – Seção transversal de perfil “I”

Fig. 3 – Seção transversal de perfil “U”

[Eq. 3]

2. METODOLOGIA Pelas equações impostas pela estática (Eq. 4, Eq. 5, Eq. 6), é possível determinar os valores das reações nos apoios vinculares e assim, construir o diagrama de esforços internos para a viga, conforme a convenção dada pela Fig. 4. → ∑ 𝐹𝑥 = 0 +

[Eq. 4]

+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0

[Eq. 5]

↓ +↑ ∑ 𝑀𝑧 = 0

[Eq. 6]

Fig. 4 – Convenção usada para a construção dos diagramas de esforções internos.

A partir desses valores, é necessária a construção da equação da tensão normal, que pode ser devido ao momento fletor (Eq. 7) e/ou devido a força normal (Eq. 8)

𝜎𝑥 = −

𝜎𝑥 =

𝑀𝑧 𝑦 𝐼𝑧

[Eq. 7]

𝑁 𝐴

[Eq. 8]

onde 𝐼𝑧 é o momento de inércia em torno do eixo z, 𝑦 é a coordenada ao longo do eixo y, e 𝐴 é a área da seção transversal. Os valores dessas três variáveis serão usados conforme a designação de cada perfil comercial, que são valores tabelados. Após determinada a equação da tensão normal, é verificada o fator de segurança através da Eq. 3.

Os cálculos necessários serão calculados através do software Microsoft Office Excel 2013.

3. RESULTADOS Como foi dito anteriormente, as forças calculadas dependem da somatória dos algarismos do RA (Registro Acadêmico) multiplicados por uma constante, como consta nas Eq. 1 e Eq. 2. Portanto, calculando, obtemos 𝑅𝐴 = 1434055

∑(Algarismos do Registro Acadêmico) = 1 + 4 + 3 + 4 + 0 + 5 + 5 = 22

𝐹1 = 220kN 𝐹2 = 183,33kN

3.1

Diagrama de Corpo Livre

Fig. 5 – Diagrama de corpo livre.

Através das equações da estática (Eq. 4, Eq. 5, Eq. 6), pode-se determinar os valores os valores das reações 𝑅𝐵 , 𝑅𝐶𝑥 e 𝑅𝐶𝑦 . → ∑ 𝐹𝑥 = 220kN ∗ 𝑠𝑒𝑛 30° + 𝑅𝐶𝑥 − 183,33kN ∗ 𝑠𝑒𝑛 30° = 0 +

+↑ ∑ 𝐹𝑦 = 220kN ∗ 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑅𝐵 + 𝑅𝐶𝑦 − 183,33kN ∗ 𝑐𝑜𝑠 30° = 0

↓ +↑ ∑ 𝑀𝑧 𝐶 = −220kN ∗ cos 30° ∗ 5,632m − 𝑅𝐵 ∗ 3,584m − 183,33kN ∗ cos 30° ∗ 2,56m = 0 𝑅𝐵 = 412,8kN 𝑅𝐶𝑥 = 18,333kN 𝑅𝐶𝑦 = 381,046kN

3.2

Diagrama de Esforços Internos

Pela convenção dada pela Fig. 4, obteve-se os seguintes diagramas para esforço normal, cortante e momento fletor.

Fig. 6 – Diagrama de esforço normal.

Fig. 7 – Diagrama de esforço cortante.

Fig. 8 – Diagrama de momento fletor. 0 ≤ 𝑥 < 2,048 ; 𝑀𝑧 (𝑥) = 190,525𝑥

[Eq. 9]

2,048 ≤ 𝑥 < 5,632 ; 𝑀𝑧 (𝑥 ) = −222,275𝑥 + 845,414

[Eq. 10]

5,632 ≤ 𝑥 ≤ 8,192 ; 𝑀𝑧 (𝑥 ) = 158,771𝑥 − 1300,637

[Eq. 11]

3.3

Momento de Inércia, Tensão Normal e Fator de Segurança

Como se tratam de perfis comerciais, seus valores geométricos, assim como sua inércia, são tabelados. Devido a isso, foi feita uma planilha no software Microsoft Office Excel com todas as designações de cada perfil, e assim calculado os valores de tensão normal e fator de segurança para cada designação. O cálculo da tensão normal será feita a partir da soma das Eq. 7 e Eq. 8, já que há contribuições tanto do esforço normal como também do momento fletor.

𝜎𝑥 = −

𝑀𝑧 𝑁 𝑦+ 𝐼𝑧 𝐴

[Eq. 12]

3.3.1 Perfil “I”

Realizando os cálculos das tensões normais e determinando o fator de segurança para cada designação do perfil “I”, obteve-se

Tabela 1 – Resultados para o perfil “I” σ [Pa] Designação

x = 2,046m

I610 X 180 158 149 134 119 I510 X 143 128 112 98,3 I460 X 104 81,4 I380 X 74 64 I310 X 74 60,7 52 47,3 I250 X 52 37,8 I200 X 34 27,4 I150 X 25,7 18,6 I130 X 15 I100 X 14,1 11,5 I75 X 11,2 8,5

-96735800,27 -104131697,8 -125396986,2 -133308521,5 -142782941,2 -149858684,6 -159701709,2 -194745592,1 -209021272,7 -239853942,9 -278323342 -381390626,5 -415292324,4 -483863197 -540820869 -640935241,1 -675722832,1 -826210136,5 -992582144,3 -1502962390 -1688532860 -2777245238 -3301607794 -4945258751 -7117829196 -7940933375 -12433098077 -14498347428

Fator de segurança σESC = 250MPA

x = 5,632m N = -110kN

N = -91,66kN

FS1

FS2

FS3

90955998,22 97293646,92 118797355,5 125724922 133952104,4 143757846,8 152656303 187037494,7 199756577,8 232953509 268315904,3 373628164,6 405025389,1 480316842,7 534282538,1 633846343,4 666671477,3 826935582,5 987310575,9 1514140260 1694661742 2828697725 3344296048 5032307127 7289381442 8117696665 12793645256 14892033155

91756871,58 98206084,73 119762618,6 126797436,7 135158683,3 144765539,1 153774595,7 188329044 201223777,8 234332456,4 270079365,8 375558690,9 407275695,9 482251441,9 536655112,5 636604238,1 669707901,1 829685207,7 991115555,1 1518337056 1699901742 2833937725 3352034444 5042010831 7299570331 8130258309 12806470431 14909173342

2,58 2,40 1,99 1,88 1,75 1,67 1,57 1,28 1,20 1,04 0,90 0,66 0,60 0,52 0,46 0,39 0,37 0,30 0,25 0,17 0,15 0,09 0,08 0,05 0,04 0,03 0,02 0,02

2,75 2,57 2,10 1,99 1,87 1,74 1,64 1,34 1,25 1,07 0,93 0,67 0,62 0,52 0,47 0,39 0,37 0,30 0,25 0,17 0,15 0,09 0,07 0,05 0,03 0,03 0,02 0,02

2,72 2,55 2,09 1,97 1,85 1,73 1,63 1,33 1,24 1,07 0,93 0,67 0,61 0,52 0,47 0,39 0,37 0,30 0,25 0,16 0,15 0,09 0,07 0,05 0,03 0,03 0,02 0,02

3.3.2 Perfil “U”

Realizando os cálculos das tensões normais e determinando o fator de segurança para cada designação do perfil “U”, obteve-se

Tabela 2 – Momentos de inércia para o perfil “U” Designação

Iz [m ]

Aplicando o teorema de Steiner [m4]

U380 X 74 60 50,4 U310 X 45 37 30,8 U250 X 45 37 30 22,8 U230 X 30 22 19,9 U200 X 27,9 20,5 17,1 U180 X 18,2 14,6 U150 X 19,3 15,6 12,2 U130 X 13 10,4 U100 X 10,8 80 U75 X 8,9 7,4 6,1

0,00000454 0,00000379 0,00000334 0,00000209 0,00000183 0,00000157 0,00000158 0,00000138 0,00000114 0,000000912 0,000000997 0,000000796 0,000000708 0,000000817 0,00000062 0,000000538 0,00000047 0,0000004 0,00000042 0,000000347 0,000000276 0,000000264 0,000000229 0,000000172 0,00000013 0,000000122 9,48E-08 7,65E-08

1,81734E-05 1,51766E-05 1,33651E-05 8,37512E-06 7,32357E-06 0,000006276 6,32261E-06 5,5055E-06 4,56887E-06 3,649E-06 3,98854E-06 3,1761E-06 2,82718E-06 3,25743E-06 2,50169E-06 2,14577E-06 1,88474E-06 1,59953E-06 1,68089E-06 1,38399E-06 1,10504E-06 1,05386E-06 9,14509E-07 6,87706E-07 5,20488E-07 4,88442E-07 3,80563E-07 0,000000306

4

Tabela 3 – Resultados para o perfil “U” σ [Pa] Designação

U380 X 74 60 50,4 U310 X 45 37 30,8 U250 X 45 37 30 22,8 U230 X 30 22 19,9 U200 X 27,9 20,5 17,1 U180 X 18,2 14,6 U150 X 19,3 15,6 12,2 U130 X 13 10,4 U100 X 10,8 80 U75 X 8,9 7,4 6,1

x = 5,632m

Fator de segurança

Fator de segurança

σESC = 250MPA

σESC = 345MPA

x = 2,046m

N = -110kN

N = -91,66kN

FS1

FS2

FS3

FS1

FS2

FS3

-2024043662 -2295475584 -2519321516 -3736847073 -4114162198 -4614800211 -4699979635 -5185356988 -5907359849 -6969682621 -6569012132 -7759148367 -8440681814 -7681760242 -9223053468 -10390459423 -11410357128 -12958712752 -12557797834 -14406450491 -16984674183 -17804329133 -20095553381 -24437773400 -30040803100 -32002953283 -37995253780 -44702042484

2096460642 2376203793 2606738645 3872679196 4261646506 4778271172 4875837805 5377585888 6123579734 7220844292 6812933259 8042626718 8747688067 7970013463 9564799325 10771272705 11836765372 13437492891 13034752299 14949485793 17618838724 18479865189 20846423339 25373166048 31181327840 33235879773 39457046330 46416225490

2097427942 2377415154 2608164772 3874290795 4263589302 4780610458 4877455089 5379516414 6126005660 7224028319 6815346417 8045855591 8751312573 7972589305 9568246694 10775498512 11840735069 13442449648 13038495156 14954117106 17624793270 18485227762 20853423339 25379859479 31190318036 33243994817 39466843338 46428212418

0,12 0,11 0,10 0,07 0,06 0,05 0,05 0,05 0,04 0,04 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

0,12 0,11 0,10 0,06 0,06 0,05 0,05 0,05 0,04 0,03 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

0,12 0,11 0,10 0,06 0,06 0,05 0,05 0,05 0,04 0,03 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

0,17 0,15 0,14 0,09 0,08 0,07 0,07 0,07 0,06 0,05 0,05 0,04 0,04 0,04 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

0,16 0,15 0,13 0,09 0,08 0,07 0,07 0,06 0,06 0,05 0,05 0,04 0,04 0,04 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

0,16 0,15 0,13 0,09 0,08 0,07 0,07 0,06 0,06 0,05 0,05 0,04 0,04 0,04 0,04 0,03 0,03 0,03 0,03 0,02 0,02 0,02 0,02 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

Para este perfil, foi necessário calcular a tensão cisalhante para as duas fileiras de parafusos, calculada pela equação

𝜏𝑥𝑦 =

1 𝑉(𝑥)𝑄𝑠 𝑏𝐼𝑧

[Eq. 13]

𝑄𝑠 = ∫ 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑦′𝐴′

[Eq. 14]

𝐴′

𝑞 = ∑ 𝜏𝑥𝑦 ∗ 𝐿

𝑉Parafuso =

[Eq. 15]

𝜏ESC 𝜋𝑑² ∗ 𝐴Parafuso = 𝜏ESC ∗ 𝐹. 𝑆. 4

espaçamento = 𝑒 =

2 ∗ 𝑉Parafuso 𝑞

número de parafusos = 𝑛 =

[Eq. 16]

[Eq. 17]

𝐿Total 𝑒

[Eq. 18]

Pela Eq. 16, obtemos 2

𝑉Parafuso

380 𝑋 106 𝜋(3⁄16 ∗ 0,0254) = ∗ = 3,385kN 2,0 4

Assim, calculamos o número de parafusos para cada designação do perfil “U”

Tabela 4 – Número de parafusos para cada designação do perfil “U” Tensão de cisalhamento [Pa] Designação

U380 X

U310 X

U250 X

U230 X

U200 X

U180 X U150 X

U130 X U100 X U75 X

74 60 50,4 45 37 30,8 45 37 30 22,8 30 22 19,9 27,9 20,5 17,1 18,2 14,6 19,3 15,6 12,2 13 10,4 10,8 80 8,9 7,4 6,1

0 ≤ x < 2,048

2,048 ≤ x < 5,632

5,632 ≤ x ≤ 8,192

5712722,487 5587211,053 5485285,341 8148439,056 7931175,18 7803424,965 11233658,34 11001806,89 10798188,86 10537972,74 12841055,17 12423895,44 12433674,62 15488438,15 15368256,1 14901597,81 18759776,59 18198174,57 23933528,29 23670881,22 23407445,25 30184462,99 28366489,13 41676172,56 41363761,6 60158380,54 62110922,41 62508202,1

-6664717,968 -6518290,706 -6399379,604 -9506334,031 -9252864,26 -9103825,137 -13105689,06 -12835200,77 -12597650,85 -12294071,07 -14980950,2 -14494272,98 -14505681,81 -18069505,79 -17929296,02 -17384871,55 -21885995,75 -21230805,68 -27921926,26 -27615510,42 -27308174,22 -35214546,7 -33093616,96 -48621289,89 -48256817,26 -70183461,67 -72461384,49 -72924868,77

4760607,07 4656014,098 4571075,916 6790373,008 6609319,588 6502860,964 9361391,779 9168182,033 8998500,162 8781653,169 10700890,54 10353257,07 10361406,4 12907045,34 12806893,52 12418011,21 15633163,57 15165161,39 19944627,85 19725755,06 19506224,85 25153745,56 23638765,76 34730180,26 34469837,51 50132036,41 51759156,34 52090223,1

Fluxo de Número de Cisalhamento parafusos [N/m] necessários 47773158,95 46723558,22 45871195,22 68142059,25 66325170,42 65256847,69 93942484,83 92003606,07 90300831,86 88124751 107384486,3 103895950,3 103977729,6 129523466,2 128518432,8 124615960,7 156880330 152183882,2 200146297 197949887 195746879,9 252420304,2 237217333,3 348520765,8 345908200,8 503079903,2 519408211,3 522730498,7

4. CONCLUSÃO Conclui-se que, a partir dos resultados obtidos, podemos ver que para a escolha do perfil, a única opção que temos entre as duas opções é o perfil “I”, já que o de “U” não suporta a tensão normal que será aplicada. Assim, como queremos que um perfil

57814 56544 55512 82464 80265 78972 113687 111340 109280 106646 129954 125732 125831 156746 155529 150807 189852 184169 242212 239554 236888 305472 287074 421770 418609 608814 628574 632594

cuja o fator de segurança seja 𝐹. 𝑆. = 2,0, a melhor opção é o perfil “I” de designação I610x149. Tabela 5 – Dados do perfil I610x149 MESA Designação

I610 X 149

Área [m²]

Altura d [m]

0,019

0,61

Largura Espessura b [m] t [m] 0,184

0,0221

Espessura da alma t Iz [m4] [m] 0,0189 0,000995

Como o perfil “U” não suportou a tensão normal para o aço A36. Assim foi aconselhado a usar o A571, cujo os resultados de fator de segurança estão na Tabela 3, mas sem sucesso. Portanto constata-se que, para o perfil “U”, mesmo com um aço de alta resistência, o critério de segurança especificado não pode ser atingido. Mesmo não obtendo o resultado esperado para o perfil “U”, ainda foi aconselhado realizar os cálculos para verificar a quantidade de parafusos que seriam necessários para suportar o carregamento imposto, cujo resultados estão contidos na Tabela 4. Portanto, o número de parafusos para o perfil “U” para as respectivas designações variam entre os valores abaixo. 57814 ≤ 𝑛 ≤ 632594

5. REFERÊNCIAS [1] BEER, F. P. JOHNSON JR, E. R. Mecânica dos Materiais / Ferdinand P. Beer ; E. Russell Johnson Jr. ; tradução José Benaque Rubert e Walter Libardi – 5. ed. – Porto Alegre : McGrew-Hill Education, 2008. [2] TORRES, D. A. F. Mecânica dos Sólidos A – Notas de Aula – Londrina : 2015.