Medidas de tendencia central

Medidas de tendencia central Definición de valor central o de posición

Media Geométrica: Es la raíz n-sima del producto de un conjunto de valores.

Son los valores calculados a partir de las observaciones realizadas a una población o una muestra para localizar un valor típico de la región central de la distribución. Las medidas de tendencia central o de valor central son:

Para simplificar los cálculos, en caso de obtener cantidades elavadas, se emplean logaritmos, quedando la fórmula de la siguiente manera:

Media Aritmética o Promedio Aritmético: Es el resultado obtenido de la suma de las variables dividido entre la cantidad total de datos. Media para datos no agrupados

Media para datos agrupados (media poderada)

Al resultado del lado derecho de la fórmula anterior se le calcula el antilogaritmo para obtener el valor buscado. Media geométrica para datos agrupados:

: Caracterizan o indican las repeticiones, en otros casos son “coeficientes de ponderación” o “pesos” que miden la importancia que se desea asignar a dferentes valores en el cálculo de la media, que se denominará “media ponderada”

Donde Aplicando logaritmos:

Características del promedio aritmético: 1. El valor de la media aritmética depende de cada una de las medidad que forman la serie, y se halla afectada excesivamente por las desviaciones extremas con respecto al promedio. 2. Se calcula con facilidad y es única para cada caso. 3. Es susceptible de operaciones algebraicas. Aplicaciones y usos del promedio aritmético: 1. El promedio aritmético es el más utilizado en virtud de que puede ser calculado para cualquier tipo de progresión, lógicamente en las que siguen una progresión aritmética. 2. En aquellas series en las que que por existir términos iguales a cero o negativos, algunos promedios no pueden calcularse, se puede usar el promedio aritmético.

Características de la media geométrica: 1. La media geométrica da menos importancia a las desviaciones extremas que la media aritmética. 2. Queda rigurosamente determinada cuando se trata de valores positivos. 3. Es susceptible de operaciones algebraicas. Usos del promedio geométrico: 1. Cuando la serie presenta una progresón geométrica. 2. Cuando se desee saber el promedio del tanto porciento de aumento o disminución de algún elemento de estudio. 3. Para promediar auquellas series cuyo valor no puede bajar mas alla de una cantidad, pero si subir en forma limitada, por ejemplo: las rentas de las personas, los precios de acciones o bonos

Medidas de tendencia central Media Armónica o Promedio Armónico: Se representa por el símbolo H y se define como el inverso del promedio aritmético del inverso de los valores . Deducción de la fórmula de promedio armónico para datos no agrupados a partir de la media aritmética según la definición:

1. La media armónica es apropiada para promediar velocidades y otras magnitudes similares. 2. Es susceptible de operaciones algebraicas. Usos del Promedio Armónico:

Media aritmética:

1. Cuando los datos siguen una progresión geométrica . 2. Se quiere obtener un promedio de tiempo para una operación dada, como es el caso de promediar velocidades. 3. Cuando cantidades variables de mercancías, monedas, etc, se venden por una misma cantidad de dinero, o viceversa, cuando para una misma cantidad de mercancía se vende a diferentes precios.

Inverso de los valores: Inverso de la media aritmética:

Generalizando:

: Cantidad de datos,

Característcas del promedio armónico:

Mediana: Es el valor central (o un valor interpolado) de un conjunto de datos. La mediana divide a la distribución en dos partes iguales, de tal forma que el número de datos que preceden mediana es la misma cantidad de valores que le siguen. Se representa por Md o Me.

: Valores

Con lo que se obtiene la fórmula de la media armónica para datos no agrupados. Media armónica para datos agrupados o media armónica ponderada: Si se tienen una serie de valores , sus respectivas ponderacioes pesos: promedio armónico será:

,…, , siendo , , .., , su

Calcular la mediana para datos no agrupados: 1. Se ordenan los datos en forma creciente o decreciente . 2. Si el número de datos es impar, la mediana es aquel valor que está situado en el centro de la distribución . 3. Si en número de datos es par, la mediana es la semisuma de los dos datos centrales .

Tenemos que: Ejemplo: Las notas obtenidas por un grupo de 10 estudiantes: 14, 14, 14, 15, 17, 18, 18, 19, 20, 20. Md = 17,5 Generalizando:

: Ponderaciones o pesos : Valores : cantidad de datos

Medidas de tendencia central Mediana para datos agrupados: Para calcular la mediana en una tabla de frecuencias, se requiere de las frecuencias absoluta y acumulada . y, se emplea la siguiente fórmula:

Donde: : Mediana : Límite inferior de la clase en que se encuentra la mediana : Recorrido del intervalo de la clase mediana. : Suma total de las frecuencias absolutas de la distribucion : Frecuencia acumulada anterior a la clase mediana : Fecuencia acumulada de la clase mediana Moda (o Modo): Es el valor de la variable estadística que contiene la mayor frecuencia absoluta, es decir, el valor que más se repite. La moda se utiliza en una distribución cuando se desea obtener información sobre el punto donde se encuentra la mayor concentración de observaciones. Si existe una sola variable con la mayor repetición se dice que la distribución es unimodal, si existen 2 variables que tienen la misma repetición, se dice que la distribución es bimodal, si son tres variables es trimodal. Para calcular moda de una distribución de datos agrupados, se necesita la frecuencia absoluta Fórmula para calcular la moda en una distribución de datos agrupados:

: Moda. : Límite inferior de la clase modal. : Fecuencia absoluta de la clase modal : Frecuencia absoluta de la clase anterior a la clase modal. : Frecuencia absoluta de la clase siguiente a la

modal. : Recorrido del intervalo de la clase modal.