Método dos Elementos de Contorno

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE TECNOLOGIA/SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL/ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MÉTODOS NUMÉRICOS EM ENGENHARIA

Apostila de Método dos Elementos de Contorno por Lucas Máximo Alves

CURITIBA – PARANÁ 20 - JULHO - 2006 1

LUCAS MÁXIMO ALVES

Apostila de Métodos dos Elementos de Contorno

Prof. Dr. Luiz Alkimin Lacerda e José Antonio Marques Carrer

CURITIBA – PARANÁ 20 - JULHO – 2006 2

LUCAS MÁXIMO ALVES

Apostila de Método dos Elementos de Contorno

Trabalho Apresentado como requisito para obtenção de nota parcial da Disciplina de Métodos dos Elementos de Contorno do curso de Doutorado do Programa de Pós-Graduação em Métodos Numéricos do Setor de Tecnologia/Setor de Ciências Exatas, Departamento de Engenharia Civil/Departamento de Matemática da Universidade Federal do Paraná

Prof. Dr. Luiz Alkimin Lacerda e José Antonio Marques Carrer

CURITIBA – PARANÁ 20 - JULHO - 2006 3

ÌNDICE Apresentação ............................................................................................................................18 Capítulo – I ...............................................................................................................................19 INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS ............................................................19 1. 1 – Objetivos do capítulo...................................................................................................... 19 1. 2 – Introdução 19 1. 3 – Simplificação de um Problema Real .............................................................................. 20 1. 4 – Equações Diferenciais .................................................................................................... 20 1. 5 – Discretização do Problema ............................................................................................. 20 1. 6 – Escolha do Método Aproximado para a solução do problema....................................... 21 1.6.1 - Vantagens do Método dos Elementos de Contorno ...................................................... 24 1.6.2 - Desvantagens do Método dos Elementos de Contorno................................................. 24 Capítulo – II..............................................................................................................................25 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ...........................................................................................25 2. 1 - Objetivos do capítulo ...................................................................................................... 25 2. 2 – Introdução 25 2. 3 – Conceitos Fundamentais................................................................................................. 26 2.3.1 – O problema unidimensional.......................................................................................... 26 2.3.2 – O conceito de Funções de Distribuição de Erros.......................................................... 26 2.3.3 – Analisando o Problema no Contorno – 1ª Integração por Partes ................................. 27 2.3.4 – 2ª Integração por Partes ................................................................................................ 27 2.3.5 – 3ª Integração por Partes ................................................................................................ 29 2.3.6– 4ª Integração por Partes ................................................................................................. 30 2. 4 – Soluções Aproximadas ................................................................................................... 32 2.4.1 – Resolução a partir de Soluções Aproximadas .............................................................. 32 2.4.2 – Avaliando os Erros de Aproximação............................................................................ 33 2. 5 – Técnicas de Resíduos Ponderados.................................................................................. 35 2. 6 – Aplicação Prática dos Método dos Resíduos Ponderados .............................................. 37 2.6.1 - Exemplo 2.1 – Obtendo uma solução Exata ................................................................. 37 2.6.2 – Método do Ponto de Colocação.................................................................................... 39 2.6.3 – Método da Colocação por Subdomínio ........................................................................ 41 2.6.4 – Método de Galerkin ...................................................................................................... 43 2.6.5 - Exemplo 2.2 – Obtendo uma solução aproximada por um Método de Domínio.......... 45 2.6.6 – Método do Ponto de Colocação.................................................................................... 47 2.6.7 - Exemplo 2.3 – Obtendo uma solução aproximada por um Método de Domínio.......... 49 2. 7 – Aplicação Prática da Formulação Fraca e da Formulação Inversa................................. 52 2.7.1 – Formulação Fraca - 5ª Integração por Partes................................................................ 52 2.7.2 – Formulação Inversa - 6ª Integração por Partes............................................................. 53 2.7.3 – Exemplo 2.4 – Formulação Fraca usando o Método de Galerkin ................................ 54 2. 8 – Soluções de Contorno e Domínio................................................................................... 59 4

2.8.1 - Aplicação Prática........................................................................................................... 59 Solução 60 2.8.2 – Formulação Fraca dos Resíduos Ponderados ............................................................... 61 2.8.3 - Método dos Elementos Finitos..................................................................................... 62 2. 9 – Formulação Inversa dos Resíduos Ponderados .............................................................. 63 2.9.1 – Método de Treffitz........................................................................................................ 64 2.9.2 – Exemplo de utilização do Método de Treffitz .............................................................. 64 Solução: 65 2.9.3 - Método de Contorno ..................................................................................................... 67 2.9.4 – Exemplo de utilização do Método de Contorno ........................................................... 70 Solução: 70 2. 10 – Quadro Resumo dos Métodos Aproximados................................................................ 73 2. 11 – Lista de Exercícios e Problemas................................................................................... 74 2.11.1 – Resolver a equação diferencial ................................................................................... 74 Solução. 74 2.11.3 - Resolver a equação diferencial.................................................................................... 78 Solução: 78 2.11.5 - Resolver a equação diferencial.................................................................................... 82 Solução: 82 2.11.6 – Resolver a equação diferencial ................................................................................... 86 Solução: 86 Conclusão 93 Capítulo – III ............................................................................................................................94 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO ...............................94 3. 1 -Objetivos do capítulo ....................................................................................................... 94 3. 2 - Introdução 94 3. 3 – Precursores do Método de Elementos de Contorno........................................................ 95 3.3.1 – Método das Funções de Green...................................................................................... 96 3.3.2 – Integração por Partes em duas dimensões .................................................................... 97 3. 4 – Definição Matemática e Desenvolvimento do Método ................................................ 100 3.4.1 – Solução Fundamental-Função de Ponderação............................................................ 103 3.4.2 - Valor Principal de Cauchy .......................................................................................... 108 3.4.3 – Solução Numérica da Equação de Laplace................................................................. 110 3. 5 – Discretização do Contorno ........................................................................................... 112 3.5.1 - Elemento Constante – Discretização Linear ............................................................... 113 3.5.2 - Elemento Linear – Discretização Linear..................................................................... 114 3. 6 – Exemplos e Aplicações................................................................................................. 119 3. 7 – Exercícios e Problemas................................................................................................. 120 Capítulo – IV ..........................................................................................................................121 PROBLEMAS DE POTENCIAL...........................................................................................121 4. 1 - Objetivos do capítulo .................................................................................................... 121 4. 2 – Introdução 121 4. 3 – A Equação de Poisson .................................................................................................. 122 4.3.1 – O problema bidimensional.......................................................................................... 122 5

4.3.2 – A 2ª Identidade de Green............................................................................................ 123 1ª Integração por Partes .......................................................................................................... 123 2ª Integração por Partes .......................................................................................................... 125 4.3.3 - Levando o problema para o contorno.......................................................................... 127 3ª Integração por Partes .......................................................................................................... 127 4ª Integração por Partes .......................................................................................................... 128 4. 4 – A Formulação Fraca do Método dos Resíduos Ponderados ......................................... 129 4.4.1 – Resolvendo o problema no contorno .......................................................................... 129 5ª Integração por Partes (Formulação Fraca) ......................................................................... 130 4.4.2- Motivos da “fraqueza” ................................................................................................. 132 4. 5 – A Formulação Inversa do Método dos Resíduos Ponderados ...................................... 133 6ª Integração por Partes .......................................................................................................... 133 4. 6 – Equações Integrais Básicas........................................................................................... 134 4.6.1 – Solução Fundamental ................................................................................................. 136 4.6.2 – Análise das soluções fundamentais bi e tridimensional ............................................. 140 4.6.3 – Aplicação da Solução Fundamental a Equação Integral ............................................ 141 4.6.4 – Equação Integral de Contorno .................................................................................... 142 4. 7 – Método de Discretização do Contorno ......................................................................... 144 4.7.1 – Montagem das matrizes Hij e Gij ................................................................................ 146 4. 8 – Elementos de Discretização de um Contorno em 2D ................................................... 149 4.8.1 – Elementos de função constante ou Elementos Constantes ......................................... 151 4.8.2 – Elementos de função linear ou Elementos Lineares................................................... 152 4.8.3 – Elementos de função parabólica ou Elementos Quadráticos...................................... 154 4. 9 – Os Métodos de Cálculo das Integrais Hij e Gij .............................................................. 155 4.9.1- Integrações Não-Singulares ......................................................................................... 156 4.9.2- Integrações Quase-Singulares ...................................................................................... 156 4.9.3- Integrações Singulares.................................................................................................. 156 4. 10 – O Mapeamento Global do Contorno para o Cálculo das Integrais Hij e Gij ............... 157 4.10.1 - Cálculo Analítico da Integral Hij para i≠ j................................................................. 157 4.10.2 - Cálculo Analítico de dr/dnj para i ≠j ......................................................................... 160 4.10.3 - Cálculo Analítico da Integral Gij para i≠ j................................................................. 162 4.10.4 – O Cálculo da Integrais Hij = Hii para i = j para r ≠ 0 ................................................ 163 4.10.5 - Cálculo Analítico de dr/dni para i = j ........................................................................ 164 4.10.6 – O Cálculo da Integrais Hij = Hii para i = j para r = 0 ................................................ 168 4.10.7 – O Cálculo da Integral Gij = Gii para i = j e r ≠0 ........................................................ 170 4. 11 – Mapeamento Local do Contorno ................................................................................ 171 4.11.1 – Mapeamento Linear do Contorno............................................................................. 172 4.11.2 – Calculo da derivada dr/dn da Transformação de coordenadas do Mapeamento Linear do Contorno ............................................................................................................................ 177 4.11.3 – Jacobiano da Transformação do Mapeamento Linear do Contorno......................... 179 4. 12 – Aplicação do Mapeamento Local as Integrais Hij e Gij .............................................. 180 4.12.1 – O Cálculo da Integral Hij para i ≠ j ........................................................................... 180 4.12.2 – O Cálculo da Integral Hij = Hii para i = j .................................................................. 183 4.12.3 – O Cálculo da Integral Gij para i ≠ j ........................................................................... 184 4.12.4 – O Cálculo da Integral Gij = Gii para i = j .................................................................. 187 6

4. 13 – Integração Numérica pelo Método da Quadratura de Gauss ...................................... 188 Capítulo – V ...........................................................................................................................194 APLICAÇÕES PRÁTICAS ...................................................................................................194 5. 1 – Objetivos do capítulo.................................................................................................... 194 5. 2 – Introdução 194 5. 3 – Problema de o Potencial Escalar sobre uma Placa Plana ............................................. 195 5. 4 – Solução do Problema de o Potencial Escalar sobre uma Placa Plana .......................... 199 5.4.1 – Mapeamento Linear do Contorno do Problema ......................................................... 199 5.4.2 – Elementos Constantes................................................................................................. 200 5.4.3 – Elementos Lineares e Quadráticos ............................................................................. 201 5.4.4 – Análise da Simetria do Problema na redução do número de integrais ....................... 202 5.4.5 – Mapeamento Numérico dos Elementos e de suas Coordenadas................................. 204 5.4.6 – Tabelas de Hij e Gij para dois pontos de Gauss........................................................... 205 5.4.7 – Tabelas de Cálculo de Inversão das Matrizes Hij e Gij para dois pontos de Gauss .... 215 5.4.8 – Tabelas de Hij e Gij para os pontos internos com dois pontos de Gauss..................... 217 5.4.9 – Tabelas de Hij e Gij para quatro pontos de Gauss ....................................................... 222 5.4.10 – Tabelas de Cálculo de Inversão das Matrizes Hij e Gij para quatro pontos de Gauss 236 5.4.11 – Tabelas de Hij e Gij para os pontos internos com quatro pontos de Gauss ............... 238 5. 5 – Alteração do programa POCONBE de cálculo pelo Método de Elementos de Contorno para o Problema do Potencial Escalar .................................................................................... 245 5.5.1 - Entrada de Dados do Programa POCONBE na forma Original.................................. 247 5.5.2 - Saída de Dados do Programa POCONBE na forma Original ..................................... 248 5.5.3 - Saída de Dados do Programa POCONBE na forma Modificada ................................ 250 Capítulo – VI ..........................................................................................................................252 INTRODUÇÃO A TEORIA DA ELASTICIDADE .............................................................252 6. 1 - Elementos de mecânica dos sólidos .............................................................................. 252 6. 2 - Análise do estado das tensões ....................................................................................... 253 6.2.1 – Tração e vetores de acoplamento das tensões ............................................................ 253 6.2.2 – Componente das tensões............................................................................................. 254 6.2.3 – Tensão em um ponto .................................................................................................. 256 6.2.4 – Tensão sobre o plano normal...................................................................................... 258 6.2.5 – Representação dyádica das tensões ............................................................................ 260 6. 3 - Equações de Equilíbrio.................................................................................................. 261 6.3.1 – Princípios Físicos e Matemáticos ............................................................................... 261 6.3.2 – Momento linear .......................................................................................................... 262 6.3.3 – Momento angular........................................................................................................ 264 6. 4 - Tensões Principais......................................................................................................... 267 6. 5 – Análise das deformações .............................................................................................. 268 6.5.1 – Tensor das deformações ............................................................................................. 271 6.5.2 – Densidade de energia de deformação ......................................................................... 271 6.5.3 – Equações de compatibilidade ..................................................................................... 272 6.5.4 – Materiais Elásticos Lineares....................................................................................... 273 6.5.5 – Complementaridade da densidade da energia de deformação.................................... 275 7

Capítulo – VII.........................................................................................................................278 PROBLEMAS DE ELASTOSTÁTICA.................................................................................278 7. 1 – Objetivos do capítulo.................................................................................................... 278 7. 2 – Introdução 278 7. 3 – Notação Cartesiana Indicial.......................................................................................... 279 7. 4 – Teoria da Elasticiade Linear ......................................................................................... 279 Trabalho do curso - 1:............................................................................................................. 281 Solução: 281 7. 5 – Método dos Elementos de Contorno ............................................................................ 284 Trabalho do curso - 2:............................................................................................................. 285 Solução: 285 Trabalho do curso -3:.............................................................................................................. 288 Solução: 289 7.5.1 - Soluções Fundamentais ............................................................................................... 290 7.5.2 - Dedução formal da Identidade Somigliana ................................................................. 291 7.5.3 - Tensões nos Pontos Internos ....................................................................................... 293 7.5.4 - Método dos Resíduos Ponderados .............................................................................. 294 7.5.5 - Equação Integral de Contorno..................................................................................... 295 7.5.6 - Regiões e Domínios Infinitos...................................................................................... 297 Para problemas 3D (X ∈ Γρ): ................................................................................................. 298 Para problemas 2D. ................................................................................................................ 299 7.5.7 - Implementação Numérica ........................................................................................... 300 7.5.8 - Sub-Regiões ................................................................................................................ 308 7.5.9 – Propriedades de Simetria ............................................................................................ 310 7.5.10 - Problema da placa com um furo................................................................................ 314 Capítulo – VIII .......................................................................................................................315 APLICAÇÕES PRÁTICAS EM ELASTICIDADE ..............................................................315 8. 1 – Objetivos do capítulo.................................................................................................... 315 8. 2 – Introdução 315 8. 3 – Problema da Placa Plana com furo circular de raio r = 5,0 resolvido pelo Método dos Elementos de Contorno 316 8.3.1 – Apresentação do Problema Placa Plana com furo ..................................................... 316 8.3.2 - Metodologia de Análise do Problema ......................................................................... 317 8.3.3 – Consideração da Simetria da Peça na Análise Elástica .............................................. 317 8.3.4 – Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo ................................................ 318 8.3.5 – Arquivo de Entrada de Dados da Placa Plana com furo para o Programa BINN na forma da malha Original......................................................................................................... 319 8.3.6 - Desenho da Malha Origina da Placa Plana com furo circular..................................... 321 8.3.7 - Arquivo de Saída de Dados da Placa Plana com furo circular para o Programa BINN na forma Original.................................................................................................................... 322 8.3.8 – Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo Circular Deformada............... 326 8. 4 – Problema da Cavidade com Pressão Uniforme – 12 Elementos resolvido pelo Método dos Elementos de Contorno.................................................................................................... 327 8.4.1 –Apresentação do Problema da Cavidade com Pressão ................................................ 327 8.4.2 - Metodologia de Análise do Problema ......................................................................... 328 8

8.4.3 – Consideração da Simetria da Cavidade com Pressão na Análise Elástica ................. 328 8.4.4 - Arquivo de Entrada de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Original ........................................................................................................................ 329 8.4.5 – Desenho da Malha Original da Cavidade Com Pressão mas sem Deformação ......... 331 8.4.6 - Arquivo de Saída de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Original 332 8.4.7 – Desenho da Malha Original da Cavidade com Pressão Deformada........................... 336 8. 5 – Problema da Viga de Parede resolvido pelo Método dos Elementos de Contorno ...... 337 8.5.1 – Apresentação do Problema da Viga Parede................................................................ 337 8.5.2 - Metodologia de Análise do Problema ......................................................................... 338 8.5.3 - Esquema de Análise da Malha Original da Viga Parede ............................................ 338 8.5.4 – Desenho da Malha Original da Viga Parede sem Deformação .................................. 338 8.5.5 – Consideração da Simetria da Viga na Análise Elástica.............................................. 339 8.5.6 – Desenho da Malha Original da Viga sem Deformação com Simetria........................ 339 8.5.7 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original sem Simetria 340 8.5.8 - Desenho da Malha Original da Viga Parede sem Simetria ......................................... 342 8.5.9 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original sem Simetria 343 8.5.10 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original com Simetria 348 8.5.11 - Desenho da Malha Original da Viga Parede com Simetria....................................... 350 8.5.12 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Original com Simetria 351 8.5.13 - Desenho da Malha Original da Viga Deformada ...................................................... 356 8. 6 – Alteração do programa BINN de cálculo pelo Método de Elementos de Contorno para o Problema Elástico

357

8.6.1 – Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular................................ 357 8.6.2 – Arquivo de Entrada de Dados da Placa Plana com furo circular para o Programa BINN na forma da Malha Duplicada ................................................................................................ 358 8.6.3 - Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular ................................ 361 8.6.4 - Arquivo de Saída de Dados da Placa Plana com furo circular para o Programa BINN na forma Duplicada ................................................................................................................ 362 8.6.5 – Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular Deformada............. 368 8.6.6 - Desenho da Malha Duplicada da Cavidade com Pressão para o Programa BINN ..... 369 8.6.7 – Arquivo de Entrada de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Duplicada ..................................................................................................................... 370 8.6.8 – Desenho da Malha da Cavidade com Pressão na forma Duplicada ........................... 372 8.6.9 - Arquivo de Saída de Dados da Cavidade com Pressão para o Programa BINN na forma Duplicada ..................................................................................................................... 373 8.6.10 – Desenho da Malha da Cavidade com Pressão na forma Duplicada ......................... 378 8.6.11 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga sem Simetria ............................. 379 8.6.12 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada sem Simetria ........................................................................................................................... 380 8.6.13 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga com Simetria............................. 384 8.6.14 - Arquivo de Entrada de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada com Simetria........................................................................................................................... 385 8.6.15 - Desenho da Malha Duplicada ................................................................................... 388 9

8.6.16 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada sem Simetria 389 8.6.17 - Arquivo de Saída de Dados da Viga para o Programa BINN na forma Duplicada com Simetria 396 8.6.18 - Desenho da Malha Duplicada e Deformada.............................................................. 402 8.6.19 - Comparação dos Resultados dos Deslocamentos dos Corpos .................................. 403 Capítulo – IX ..........................................................................................................................405 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................................405 9. 1 – Quanto aos Resultados dos Cálculos da Placa Plana.................................................... 405 9. 2 – Quanto aos Resultados dos Cálculos da Elasticidade................................................... 405 9. 3 – Quanto ao curso de Método de Elementos de Contorno .............................................. 406 Referências Bibliográficas......................................................................................................407 Apêndices ...............................................................................................................................408 A. 1 – Cálculo Analítico das Matrizes Hij e Gij..................................................................... 408 A.1.1 – Cálculo das Matrizes Singulares Hii e Gii usando o Maple – 9.0 ............................. 408 A.1.2 – Cálculo das Matrizes Não-Singulares Hij e Gij usando o Maple – 9.0 ..................... 411 A. 2 – Listagem fonte do programa POCONBE Original...................................................... 415 A. 3 – Listagem fonte do programa POCONBE Modificado ................................................ 421 A. 4 – Listagem fonte do programa POTENCIAL CONSTANTE........................................ 427 A. 4 – Informativo das Variáveis do programa BINN Original ............................................. 436 I – Variáveis............................................................................................................................ 436 II – Variáveis .......................................................................................................................... 436 III – Variáveis......................................................................................................................... 436 IV – Incidência dos elementos................................................................................................ 437 V – 437 VI – 437 VII – 437 VIII – 438 A. 5 – Formato do Arquivo de Entrada de Dados do Programa BINN.................................. 439 A. 6 – Listagem fonte do programa BINN Original............................................................... 441 A. 7 – Listagem fonte do programa BINN Modificado ......................................................... 465

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LISTA DE FIGURAS Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real.................................20 Figura - 1. 2. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo Discreto Aproximado. ..............................................................................................................21 Figura - 1. 3. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas equivalentes. .............................................................................................................................21 Figura - 1. 4. Diagrama de passos simplificadores de um problema real.................................22 Figura - 1. 5. Problema de fluxo de condução de calor em uma chapa plana. .........................22 Figura - 1. 6. Funções potenciais..............................................................................................23 Figura - 2. 1. Estrutura dos Métodos Aproximados de Solução de Equações Diferenciais .....73 Figura - 2. 2. Gráfico da solução da equação diferencial: u ( x) =

4 x(1 − x) . ...................76 14

Figura - 2. 3. Condições de contorno do problema. .................................................................78 Figura - 2. 4. Intervalo de validade da função p(x)...................................................................89 Figura - 2. 5. Intervalo de validade da função p(x)...................................................................91 Figura - 4. 1. Domínio sob consideração para as definições básicas da equação de Poisson. ................................................................................................................................................122 Figura - 4. 2. Domínio Ω e o contorno Γ = Γ1 + Γ2, de um problema de Laplaciano de um potencial, u. ............................................................................................................................129 Figura - 4. 3. Definições geométricas da equação de Laplace. ..............................................134 Figura - 4. 4. Espaço vetorial das soluções fundamentais circularmente simétricas..............137 Figura - 4. 5. Circulo de raio r centrado em ξ no domínio infinito Ω∞. .................................139 Figura - 4. 6. Pontos de contorno para o caso bi- e tridimensional, aumentado por uma pequena hemisfera ou semicírculo. ........................................................................................142 Figura - 4. 7. Diferentes tipos de elementos de contorno. ......................................................144 Figura - 4. 8. Elementos de Contorno, linear ou curvo (parabólico ou cúbico) definido por meio dos nós geométricos. .....................................................................................................149 Figura - 4. 9. Elementos de Contorno, linear ou curvo (parabólico ou cúbico) definido por meio dos nós funcionais. ........................................................................................................150 11

Figura - 4. 10. Diferentes tipos de integração de acordo com a posição relativa dos nós nos elementos de contorno. ...........................................................................................................155 Figura - 4. 11. Erros de aproximação cometidos em integrais quase-singulares devido ao número de pontos de Gauss sobre o próprio elemento...........................................................156 Figura - 4. 12. Mapeamento Global de um contorno Γ. ........................................................157 Figura - 4. 13. Integração entre dois elementos de contornos i e j diferentes. .......................158 Figura - 4. 14. Relação entre elementos retos diferentes i ≠ j. ..............................................159 Figura - 4. 15. Cálculo das distâncias entre os elementos i ≠ j...............................................161 Figura - 4. 16. Integração entre dois elementos de contornos i e j diferentes. .......................163 Figura - 4. 17. Cálculo das distâncias entre os elementos i =j para um elemento reto. .........165 Figura - 4. 18. Decomposição do vetor normal em termos dos cossenos diretores................167 Figura - 4. 19. Intervalo de raio ε sobre o elemento reto ξi = j. ..............................................169 Figura - 4. 20. Transformação entre as coordenadas globais e as coordenadas locais de um contorno de geometria qualquer. ............................................................................................171 Figura - 4. 21. Mapeamento linear local da geometria do elemento reto j de funcionalidade constante em u e q. .................................................................................................................173 Figura - 4. 22. Sistema de coordenada do elemento de contorno...........................................187 Figura - 4. 23. Transformação de coordenadas do mapeamento linear do contorno..............188 Figura - 4. 24. Integral de Gauss da função z(η) nas coordenadas de generalizadas ηk.........189 Figura - 4. 25. Processo de Integração de Gauss. ...................................................................192 Figura - 4. 26. Integração de Gauss para um função linear. ...................................................193 Figura - 5. 1. Placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (2,0m x 2,0m) sujeitos as condições de contorno de potencial constante u = u e fluxo constante q = q . ..................195 Figura - 5. 2.. Placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (2,0m x 2,0m) com oito elementos retos de funcionalidade constante, sujeitos as condições de contorno de potencial constante u = u e fluxo constante q = q .............................................................................196 Figura - 5. 3. Dependência da distância d com o raio de integração entre os elementos de contorno. .................................................................................................................................197 Figura - 5. 4. Variação da distância relativas entre os elementos de um contorno.................197 Figura - 5. 5. Simetrias no processo de integração das Matrizes Hij e Gij entre os elementos do contorno de uma placa plana. ............................................................................................203 Figura - 5. 6. Placa plana bidimensional quadrada de tamanhos (2,0m x 2,0m) com oito elementos de funcionalidade constante, sujeitos as condições de contorno de potencial constante u = u e fluxo constante q = q .............................................................................204 Figura - 5. 7. Dependência da distância d com o raio de integração entre os elementos de contorno. .................................................................................................................................245 Figura - 5. 8. Variação da distância relativas entre os elementos de um contorno.................246 Figura - 6. 1. Corpo deformável sob carregamento externo...................................................253 Figura - 6. 2. Tensor das tensões normais e cisalhantes em um corpo...................................254 Figura - 6. 3. Forças agindo sobre um tetraedro elementar em um ponto P...........................256 Figura - 6. 4. Elemento diferencial de superfície ...................................................................258 Figura - 6. 5. Corpo em equilíbrio. .........................................................................................262 Figura - 6. 6. Deformação tridimensional em um corpo flexível. .........................................269 Figura - 6. 7. Casos de a) deformação e b) rotação do ponto de vista de deslocamento vetorial. ................................................................................................................................................270 Figura - 7. 1. Domínio Ω finitos e infinitos com contorno externo e interno respectivamente. ................................................................................................................................................280 Figura - 7. 2. Corpo em equilíbrio sob a ação de cargas e deslocamentos prescritos. ...........284 12

Figura - 7. 3. Região complementar em equilíbrio sob a ação de cargas e deslocamentos prescritos.................................................................................................................................284 Figura - 7. 4. Sistema de coordenadas dos eixos principais, P1, P2, P3, do problema elástico com domínio Ω e contorno Γ e domínio recíproco Ω * e contorno recíproco Γ*...............287 Figura - 7. 5. ...........................................................................................................................291 Figura - 7. 6. Ponto de Colocação ξ pertencente ao contorno Γ............................................296 Figura - 7. 7. Regiões e domínios finitos................................................................................298 Figura - 7. 8. Utilização dos Métodos Numéricos na solução de problemas práticos onde os domínios e os contorno são internos ou externos. ..................................................................300 Figura - 7. 9. Pontos nodais de um contorno regular no caso bidimensional.........................301 Figura - 7. 10. Elemento linear com o ponto fonte ou de de colocação ξ coincidente com o nó geométrico. .............................................................................................................................302 Figura - 7. 11. Elemento linear com o ponto de colocação ξ coincidente com o ponto de colocação. ...............................................................................................................................302 Figura - 7. 12. .........................................................................................................................305 Figura - 7. 13. Elemento linear com o ponto de colocação ξ coincidente com o ponto de colocação. ...............................................................................................................................306 Figura - 7. 14. Separação do Domínio em Sub-Domínios ou Sub-Regiões e Sub-Contornos. ................................................................................................................................................308 Figura - 7. 15. Problema real de simetria de ordem dois e quatro..........................................310 Figura - 7. 16. Simulação da Simetria de um problema real ..................................................311 Figura - 7. 17. .........................................................................................................................311 Figura - 7. 18. .........................................................................................................................312 Figura - 7. 19. .........................................................................................................................313 Figura - 7. 20. .........................................................................................................................314 Figura - 7. 21. Placa infinita com um furo no meio. ..............................................................314 Figura - 8. 1 -Geometria e carregamento da peça em análise como exemplo de um domínio finito. (produzida originalmente por Raphael Scuciato) ........................................................316 Figura - 8. 2 - Consideração da simetria da peça na análise elástica.....................................317 Figura - 8. 3 - Discretização do contorno da considerando a simetria do desenho da Malha Original da Placa Plana com furo circular (produzida originalmente por Rapahel Scuciato). ................................................................................................................................................318 Figura - 8. 4 - Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo circular (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno) ................................................................................321 Figura - 8. 5 – Desenho da Malha Original Deformada (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno) .....................................................................................326 . ...............................................................................................................................................326 Figura - 8. 6 - Geometria e Carregamento da Cavidade com Pressão em Análise com um exemplo de domínio infinito (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ...................327 Figura - 8. 7 - Discretização do contorno da considerando a simetria do desenho da Malha Original da Cavidade com Pressão mas sem Deformação (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ..................................................................................................................328 Figura - 8. 8 - Desenho da Malha Original da Cavidade com Pressão mas sem Deformação (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).................................................331 Figura - 8. 9 - Deformação da Malha Original. Deformada (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno). ....................................................................................336 13

Figura - 8. 10 - Geometria e carregamento da peça em análise (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ..................................................................................................................337 Figura - 8. 11 - Esquema de Análise da Malha Original da Viga Parede (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ....................................................................................338 Figura - 8. 12 – Desenho da Malha Original da Viga sem Deformação (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ....................................................................................338 Figura - 8. 13 - Consideração da Simetria da Viga na Análise Elástica (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ....................................................................................339 Figura - 8. 14 - Discretização do contorno da considerando a simetria da Viga na Análise Elástica (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ....................................................339 Figura - 8. 15 - Desenho da Malha Original da Viga Parede sem Simetria (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno). ...............................................................................342 Figura - 8. 16 - Desenho da Malha Original da Viga Parede com Simetria (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno). ...............................................................................350 Figura - 8. 17 - Deformação da Malha Original da Viga Deformada com Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno)...............................................................356 Figura - 8. 18 - Deformação da Malha Original da Viga Deformada com Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno)...............................................................356 Figura - 8. 19 - Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular (produzida por Lucas Máximo Alves). ...........................................................................................................357 Figura - 8. 20 - Desenho da Malha Original da Placa Plana com furo circular duplicada (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).................................................361 Figura - 8. 21 – Desenho da Malha Duplicada da Placa Plana com furo circular Deformada (10x). ......................................................................................................................................368 Figura - 8. 22 - Desenho da Malha Duplicada da cavidade com Pressão (produzida originalmente por Raphael Scuciato). ....................................................................................369 Figura - 8. 23 - Desenho da Malha Duplicada da cavidade com Pressão (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno). ....................................................................................372 Figura - 8. 24 - Desenho da Deformação Malha Duplicada da Cavidade com Pressão (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).................................................378 Figura - 8. 25 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga Parede sem Simetria (produzida por Lucas Máximo Alves)....................................................................................379 Figura - 8. 26 - Esquema de Análise da Malha Duplicada da Viga Parede com Simetria. ....384 Figura - 8. 27 - Desenho da Malha Duplicada da Viga (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno). ....................................................................................388 Figura - 8. 28 - Desenho da Malha Duplicada da Viga Parede Deformada sem Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).................................................402 Figura - 8. 29 - Desenho da Malha Duplicada da Viga Parede Deformada com Simetria (1x) (gerado pelo software FRACMATERIAL especialmente desenvolvido pelo autor para resolver problemas de Método dos Elementos de Contorno).................................................402

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LISTA DE TABELAS Tabela - II. 1. Resultados para o Método do Ponto de Colocação ...........................................48 Tabela - II. 2. Resultados para o Método de Galerkin..............................................................51 Tabela - II. 3. Comparação dos resultados exatos e aproximados com o exemplo 1.2 do livro ..................................................................................................................................................77 Tabela - V. 1. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno ..........................205 Tabela - V. 2. Coordenadas dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno........................207 Tabela - V. 3. Cálculo das Coordenadas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .................................................................................................................................209 Tabela - V. 4. Cálculo das Coordenadas das Normais e de suas Derivadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno....................................................................................................211 Tabela - V. 5. Cálculo das Matrizes Hij e Gij dos Pontos Campo dos Elementos de Contorno ................................................................................................................................................213 Tabela - V. 6. Cálculo das Matrizes Inversas de Hij e Gij dos Pontos Campo dos Elementos de Contorno ............................................................................................................................215 Tabela - V. 7. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno ..........................217 Tabela - V. 8. Coordenadas dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno........................218 Tabela - V. 9. Cálculo das Coordenadas e dos raios de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno ..........................................................................................................219 Tabela - V. 10. Cálculo das Coordenadas das Normais e de suas Derivadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno....................................................................................................220 Tabela - V. 11. Cálculo das Matrizes Hij e Gij dos Pontos Internos dos Elementos de Contorno .................................................................................................................................221 Tabela - V. 12. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno ........................222 Tabela - V. 13. Coordenadas dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno......................224 Tabela - V. 14. Cálculo das Abcissas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .................................................................................................................................226

15

Tabela - V. 15. Cálculo das Ordenadas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .................................................................................................................................228 Tabela - V. 16. Cálculo dos Raios de Gauss e das Coordenadas das Normais dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .......................................................................................230 Tabela - V. 17. Cálculo das Derivadas das Coordenadas das Normais dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno ..........................................................................................................232 Tabela - V. 18. Cálculo das Matrizes Hij e Gij dos Pontos Campos dos Elementos de Contorno .................................................................................................................................234 Tabela - V. 19. Cálculo das Matrizes Inversas de Hij e Gij dos Pontos Campo dos Elementos de Contorno ............................................................................................................................236 Tabela - V. 20. Coordenadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno ........................238 Tabela - V. 21. Coordenadas dos Pontos Campos dos Elementos do Contorno ....................239 Tabela - V. 22. Cálculo das Abcissas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .................................................................................................................................240 Tabela - V. 23. Cálculo das Ordenadas de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno .................................................................................................................................241 Tabela - V. 24. Cálculo dos Raios de Gauss dos Pontos Campo dos Elementos do Contorno ................................................................................................................................................242 Tabela - V. 25. Cálculo das Coordenadas das Normais e de suas Derivadas dos Pontos Fonte dos Elementos do Contorno....................................................................................................243 Tabela - V. 26. Cálculo das Matrizes Hij e Gij dos Pontos Internos dos Elementos de Contorno .................................................................................................................................244 Tabela - VIII. 1.Análise dos Resultados para uma Placa com Furo de Raio = 5,0 ................403 Tabela - VIII. 2. Análise dos Resultados para uma Cavidade com Pressão Uniforme ..........403 Tabela - VIII. 3. Análise dos Resultados para uma Viga Parede sem Simetria .....................404 Tabela - VIII. 4. Análise dos Resultados para uma Viga Parede com Simetria.....................404

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17

Apresentação Esta apostila de Método de Elementos de Contorno é resultado da digitação das aulas do curso ministrado pelo professores Dr. Luiz Alkimin de Lacerda e Dr. José Antonio Marques Carrer e de estudos pessoais do estudante de doutorado M. Sc. Lucas Máximo Alves, do Programa de Pós-Graduação de Métodos Numéricos para a Engenharia-PPGMNE da Universidade Federal do Paraná.

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Capítulo – I INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS APROXIMADOS RESUMO Neste capítulo será visto como a utilização de métodos aproximados pode ajudar a resolver problemas de equações diferenciais, quando a solução analítica é inacessível. Abordaremos o tema das hipóteses simplificadoras e a utilização de equações algébricas na substituição de equações diferenciais complexas.

1. 1 – Objetivos do capítulo i) Entender a problemática dos Métodos Aproximados aplicados a Engenharia. ii) Distinguir situações onde a utilização dos Métodos Aproximados é viável. iii) Saber da existência de diversos Métodos Aproximados.

1. 2 – Introdução A solução de problemas em ciência em engenharia passa por diversas etapas de simplificação. Entre elas está a proposição do modelo matemático aproximado, utilizando-se equações diferenciais. A escolha do método de solução destas equações diferenciais e a simplificação numérica através da discretização do problema. O método dos elementos de contorno é um dos métodos aproximados utilizados em ciência e em engenharia. Ele é aplicado na solução de equações diferenciais, onde estas são transformadas em equações integrais aplicadas ao contorno do problema. Este por sua vez é discretizado em elementos que podem ser, constantes lineares, quadráticos ou cúbicos.

19

1. 3 – Simplificação de um Problema Real Na tentativa de se descrever quantitativamente um problema (fenômeno) físico, ou seja, de se obter uma expressão matemática que corresponda ao fenômeno em questão, inicialmente o problema físico real é substituído por um problema equivalente, mais simples.

Figura - 1. 1. Diagrama de passos simplificadores de um problema real

Neste novo problema são selecionados os parâmetros considerados fundamentais e que podem ser descritos matematicamente através de um sistema de equações diferenciais válido em todo o domínio do problema. A esse sistema são impostas condições de contorno e/ou condições iniciais apropriadas.

1. 4 – Equações Diferenciais Quase todos os problemas em ciências físicas e engenharia podem ser reduzidos a uma equação diferencial. Por esta razão saber reconhecer uma equação diferencial dentro de um problema específico é muito importante, para a busca de sua solução. Da mesma forma, saber classificar uma equação diferencial é o primeiro passo na busca de sua solução, pois apesar de não existir um método único para se resolver todas as equações diferenciais, a classificação delas ajuda a escolher o método mais adequando de solução.

1. 5 – Discretização do Problema Um sistema de equações diferenciais constitui um modelo contínuo, que possui infinitos graus de liberdade, uma vez que as variáveis se distribuem continuamente em todo o domínio do problema. Com exceção de alguns casos mais simples, em geral não é possível encontrar soluções analíticas para o problema. Recorre-se, então, aos modelos discretos (ou numéricos), obtidos dos modelos contínuos através de hipóteses simplificadoras: As variáveis que constituem infinitos graus de liberdade, são expressos em termos de um número finito de graus de liberdade. Esses graus de liberdade são incógnitas dos modelos discretos dos 20

sistemas equivalentes e são determinados a partir da solução de um sistema de equações algébricas.

Figura - 1. 2. Diagrama de substituição de um Modelo Contínuo exato por um Modelo Discreto Aproximado.

Resumidamente, quando o modelo contínuo é substituído por um modelo discreto, o problema matemático da solução de um sistema de equações diferenciais é substituído pelo problema da solução de um sistema de equações algébricas.

Figura - 1. 3. Diagrama de Transformação de Equações Diferenciais em Equações Algébricas equivalentes.

Portanto, só nos resta agora estudar as equações diferenciais para se poder aplicar os métodos aproximados na solução de problemas físicos reais.

1. 6 – Escolha do Método Aproximado para a solução do problema Diversas são as técnicas de aproximação para solução de equações diferenciais e equações integrais. Entre os métodos de equações diferenciais, destacam-se o método das diferenças finitas, o método dos elementos finitos, o método dos volumes finitos, e por último entre os métodos de equações integrais, temos o método dos elementos de contorno. O método dos elementos de contorno consiste em resolver basicamente a equação de Laplace em termos de integrais, ou seja:

∇ 2φ Campo Escalar

= 0 → (u * q + q * u )dΓ Γ

(1. 1)

Em todas elas o problema físico é reduzido a um modelo que por sua vez é reduzido a um modelo matemático, conforme mostra o esquema da Figura - 1. 4. 21

Figura - 1. 4. Diagrama de passos simplificadores de um problema real

O exemplo mais comum é aquele de uma chapa plana sujeita um fluxo térmico

q , conforme mostra a Figura - 1. 5.

Figura - 1. 5. Problema de fluxo de condução de calor em uma chapa plana.

Equivalentemente o método dos elementos finitos, utiliza a discretização do domínio ao invés do contorno. No método dos elementos finitos as matrizes geradas são do tipo banda,

a11

1

0

0

x1

1

a 22

1

0

x2

0

1

a33

1

x3

0

0

1

a44

x4

A

X=

y1 =

y2 y3

(1. 2)

y4

Y

enquanto, que no método dos elementos do contorno a matriz é cheia, ou seja, completa.

22

a11

a12

a13

a14

x1

a 21

a22

a23

a 24

x2

a31

a32

a33

a34

x3

a 41

a42

a43

a 44

x4

A

X=

y1 =

y2 y3

(1. 3)

y4

Y

O método dos elementos de contorno se aplica aos diferentes problemas em engenharia, tais como: mecânica da fratura, mecânica do contato, barreira acústica, proteção catódica (em casco de navios e torres de distribuição elétrica), e problemas de elasticidade. Em todos eles a equação de Laplace possui larga aplicação. Contudo, singularidades fracas e fortes surgem nessas formulações matemáticas, as quais devem ser contornadas por técnicas e artifícios numéricos. Entre elas temos as singularidades do tipo:

1 dr rα

(1. 4)

onde a funções potenciais geram as singularidades do tipo:

1 1 ln(r ) → e 2 r r 1 1 1 → 2e 3 r r r 1 1 1 → α +1 e α + 2 α r r r cujos gráficos são do tipo mostrado na Figura - 1. 6.

Figura - 1. 6. Funções potenciais

23

(1. 5)

1.6.1 - Vantagens do Método dos Elementos de Contorno 1 ) Precisão dos Resultados 2 ) Problemas infinitos ou semi-inifinitos (elimina o efeito de bordas) 3) Envolve somente a discretização do contorno o que diminui o custo computacional

1.6.2 - Desvantagens do Método dos Elementos de Contorno 1) Falta de programas comerciais abrangentes 2) Problemas de não-linearidades das equações 3) Implementação Computacional mais difícil 4) Necessidade de cálculo de soluções fundamentais para cada caso.

24

Capítulo – II CONCEITOS FUNDAMENTAIS RESUMO Neste capítulo serão vistos os conceitos fundamentais para a solução das equações diferenciais pelos métodos de domínios e de contorno, incluindo a formulação fraca, a formulação inversa, o Método Treffitz e o Método de Galerkin e o Método dos Resíduos Ponderados. Aplicaremos as integrações por partes à versão unidimensional da equação de Poisson.

2. 1 - Objetivos do capítulo i) Entender a conceituação básica de distribuição de erros e do Método dos Resíduos Ponderados. ii) Saber aplicar o Método dos Resíduos Ponderados a solução de equações diferenciais. iii) Resolver problemas de equações diferenciais pertinentes ao Método.

2. 2 – Introdução A utilização de equações diferenciais como a equação de Poisson é muito útil na Engenharia. Para dar início ao entendimento dos métodos de soluções aproximadas mais utilizados, nós iremos em primeiro lugar abordar o assunto sob o ponto de vista unidimensional para que os conceitos fundamentais possam ser bem estabelecidos para em seuida genealizar para os caso bi e tridimensional.

25

2. 3 – Conceitos Fundamentais 2.3.1 – O problema unidimensional Considere uma equação diferencial muito simples aplicada a um domínio unidimensional x, desde x = 0 até x = 1, isto é:

d 2u + λ2u − b = 0 em x 2 dx

(2. 1)

onde u é a função que governa a equação e nós geralmente precisamos achá-la usando uma técnica numérica que fornece uma solução aproximada. λ2 é uma constante positiva conhecida e b é uma função conhecida de x. A solução da equação (2. 1) pode ser achada supondo-se uma variação para u consistindo de uma série de funções de forma conhecidas, multiplicadas por coeficientes desconhecidos. Estes coeficientes podem ser obtidos forçando a equação (2. 1) satisfazer uma série de pontos.

2.3.2 – O conceito de Funções de Distribuição de Erros O conceito de distribuição ou ponderação de uma equação diferencial não é somente válido para soluções aproximadas, mas este é um conceito matemático fundamental. Para entender o que estes conceitos significam antes de propor quaisquer aproximações considera-se uma outra w, arbitrária exceto por ser contínua no domínio x e cujas derivadas são contínuas acima de um grau requerido (o grau de continuidade variará com o problema e será mostrado rapidamente). Pode-se agora multiplicar toda a equação (2. 1) por esta função w e integrar sobre o domínio x como segue: 1

d 2u ( 2 + λ2 u − b) wdx = 0 0 dx

(2. 2)

Esta operação é chamada de um produto interno na matemática e embora não implique em quaisquer novos conceitos, permite-nos investigar as propriedades da equação governante.

26

2.3.3 – Analisando o Problema no Contorno – 1ª Integração por Partes Isto é feito integrando-se por partes os termos com derivadas na expressão acima. 2

2

Neste caso pode-se somente “manipular” desta forma o primeiro termo, isto é, d u / dx , o que resulta: 1

1

1

d 2u du du w 2 dx = w − dx u dx 0 u dx 0 dv

v 0

dw dx dx

v

(2. 3)

du

onde

u=w

du = dw =

dw dx dx

(2. 4)

du dx

(2. 5)

e

d 2u dv = 2 dx dx

v=

Note que a integração por partes tem produzido dois termos, um no domínio com primeiras derivadas de u e w e outro nos contornos (o qual neste caso são simplesmente os dois pontos x = 0 e x = 1). Substituindo (2. 3) em (2. 2) obtemos: 1

1

d 2u du ( 2 + λ2u − b) wdx = − dx 0 dx 0

1

dw du + (λ2u − b) w dx + w =0 dx dx 0

(2. 6)

2.3.4 – 2ª Integração por Partes Além disso, se a função w possui grau suficiente de continuidade, pode-se integrar por partes novamente e obter: 1

du − dx 0 dv

1

1

dw dw d 2w dx = −u + u 2 dx dx v dx 0 0 v dx u

du

u

Onde

27

(2. 7)

d 2w du = 2 dx dx

dw u= dx

(2. 8)

e

dv =

du dx dx

v=u

(2. 9)

Substituindo (2. 7) em (2. 6) obtemos: 1

1

1

1

d 2u d 2w du dw 2 ( 2 + λ u − b) wdx = u 2 + (λ2 u − b) w dx + w −u =0 dx dx dx dx 0 0 0 0

(2. 10)

A expressão (2. 10) é claro é equivalente a expressão (2. 6), mas aqui não, somente, tem-se passado todos as derivadas para a nova função w, mas dois termos em x = 0 e x = 1 nos dá uma visão para dentro das condições de contorno necessárias para resolver o problema. Neste caso u ou du/dx precisa ser conhecida em x = 0 e x = 1. Note que a função w a qual em princípio era uma função arbitrária com um certo grau de continuidade pode ser feita para satisfazer certas condições de contorno se assim desejarmos. Embora a equação (2. 10) fornece ao usuário uma visão para dentro, do tipo de condições de contorno requeridas para resolver o problema, estas condições ainda não foram explicitamente incorporadas dentro do problema. De forma a fazer assim vamos considerar que as condições de contorno são dadas por:

u =u q=

em

du =q dx

x=0 em

x =1

(2. 11)

onde as derivadas de u são agora definidas como q e os termos com barras representam valores conhecidos da função e de suas derivadas. É usual chamar as condições de primeiro tipo em (2. 11) de “condições essenciais” e aquelas como q envolvendo derivadas são chamadas de “condições naturais”. Substituindo-se os valores de (2. 11) em (2. 10) obtemos:

28

1 0

d 2w u 2 + (λ2 u − b) w dx + wq dx

x =1

− wq x=0 − u

dw dw −u =0 dx x=1 dx x=0

(2. 12)

2.3.5 – 3ª Integração por Partes Agora é interessante retornar a expressão original (2. 2) pela integração por partes novamente, mas desta vez passando as derivadas de w para u. A primeira integração fornece: 1 1

1 d 2w dw dw u 2 dx = u − dx dx 0 dx 0 v

dv

0

v

du dx dx

(2. 13)

du

onde

u =u

du =

dw dx dx

(2. 14)

e

dv =

d 2w dx dx 2

v=

dw dx

(2. 15)

Substituindo (2. 13) em (2. 12) obtemos: 1

−

0

dw dx

du dw dw + (λ2 u − b) w dx + u −u + wq dx dx x=1 dx x=0

x =1

dw dw − wq x=0 − u +u =0 dx x=1 dx x=0

(2. 16)

A equação (2. 16) fica: 1 0

−

dw dx

du dw dw + (λ2 u − b) w dx + u −u + wq dx dx x =0 dx x =0

29

x =1

− wq x=0

(2. 17)

2.3.6– 4ª Integração por Partes Além disso, após uma segunda integração resulta em: 1

dw − dx 0

du du dx = − w dx v dx

dv

u

1 0

1

d 2u + w 2 dx 0 v dx

u

(2. 18)

du

onde

du u= dx

d 2u du = 2 dx dx

(2. 19)

e

dv =

dw dx dx

v=w

(2. 20)

Substituindo (2. 18) em (2. 17) obtemos: 1 0

d 2u dw dw + (λ2 u − b) wdx + u −u + wq 2 dx x=0 dx x=0 dx

−w

du dx q

+w x =1

du dx

x =1

− wq x=0

(2. 21)

=0 x =0 q

Mais uma vez um termo desaparece, neste caso q w x =0 1 0

d 2u dw dw + (λ2 u − b) wdx + u −u + wq 2 dx x=0 dx x=0 dx

x =1

− wq x=1 = 0

(2. 22)

Note que sendo q = du/dx conforme definida anteriormente, nós podemos agrupar os termos chegando agora a uma expressão interessante diferente da fórmula original (2. 10). 1 0

d 2u dw 2 + ( λ u − b ) wdx + ( u − u ) − (q − q ) w x =1 = 0 dx x =0 dx 2

(2. 23)

Esta expressão implica que estamos tentando forçar não somente a satisfação da equação diferencial em x, mas as duas condições de contorno. Onde as funções w e dw/dx podem ser vistas como multiplicadores de Lagrange. Além disso, nada foi dito sobre aproximações, as

30

expressões acima são válidas para soluções exatas também. Em outras palavras o procedimento descreve uma ferramenta geral para a investigação das equações diferenciais.

31

2. 4 – Soluções Aproximadas Vamos agora obter soluções aproximadas para os problemas envolvendo equações diferenciais

2.4.1 – Resolução a partir de Soluções Aproximadas Embora nas secções anteriores tenhamos introduzido o conceito de distribuições, as formulações aplicam-se independentemente do tipo de solução que se acha, isto é, elas são válidas tanto para soluções exatas como para soluções aproximadas. Esta secção, contudo, investigará o que acontece quando o conceito de uma solução aproximada é introduzido na formulação. Na prática de engenharia a solução exata pode somente ser conhecida em alguns casos simples e este é, portanto importante ver como as soluções se comportam quando se introduz uma aproximação. Vamos considerar agora que a função u define uma solução aproximada ao invés de uma solução exata. Neste caso pode-se escrever, por exemplo: u = α 1φ1 + α 2φ 2 + α 3φ 3 + ...

onde os

i´s

(2. 24)

são os coeficientes desconhecidos e os φi são uma seqüência de funções

linearmente independentes as quais são conhecidas. Os αi são coeficientes generalizados embora em alguns casos eles podem ser associados com valores nodais da variável sob consideração.

Em geral nos problemas de engenharia, prefere-se usar valores nodais

conforme eles têm um significado físico claro e este é feito em elementos finitos, diferenças finitas ou métodos dos elementos de contorno. Em tais casos a aproximação para u pode ser escrita como: u = u1φ1 + u 2φ 2 + u 3φ 3 + ...

(2. 25)

ou u=

N j =1

u jφ j

(2. 26)

onde os φj são uma seqüência de funções linearmente independentes que são algumas vezes chamados de funções de interpolação. uj são os valores nodais das variáveis de campo ou de suas derivadas (ou mais geralmente o valor nodal de qualquer variável com significado físico diretamente relacionado a u ou suas derivadas).

32

2.4.2 – Avaliando os Erros de Aproximação Introduzindo a aproximação para u dentro da equação diferencial governante acha-se que esta equação não é mais identicamente satisfeita exceto para o caso no qual (2. 25) ou (2. 26) pode representar a solução exata. Isto produz um erro ou uma função residual que logo será definida. Por exemplo, introduzindo um valor aproximado de u dentro da equação (2. 1) geralmente acha-se que: d 2u + λ2 u − b ≠ 0 em x dx 2

(2. 27)

O mesmo geralmente ocorrerá com as condições de contorno correspondente a esta equação, isto é: u − u ≠ 0 em

x=0

(2. 28)

q − q ≠ 0 em x = 1

Pode-se agora introduzir o conceito de uma função erro ou função residual que representa os erros ocorrentes no domínio ou no contorno devido a não-satisfação das equações acima. A função erro no domínio é chamada R e é dada por: R=

d 2u + λ2 u − b 2 dx

(2. 29)

E no contorno tem-se: R1 = u − u

(2. 30)

R2 = q − q

Embora o caso da equação (2. 29) acima é uma equação particular e relativamente simples o mesmo ocorre para qualquer outro problema. Se se considera a equação de Poisson

∇ 2 u = b , por exemplo, a função erro no domínio é: R = ∇ 2 u − b em Ω

E os erros para as condições de contorno ( u = u em Γ1 e q = por:

33

(2. 31) ∂u = q em Γ2) são definidos ∂n

R1 = u − u

em Γ1

R2 = q − q

em Γ2

(2. 32)

Os métodos numéricos usados na engenharia tentam reduzir estes erros a um mínimo pela aplicação de diferentes técnicas. Esta redução é levada a cabo forçando os erros serem zero em certos pontos, regiões ou em uma forma média. Esta operação pode ser geralmente interpretada como distribuição destes erros. A forma na qual esta distribuição é feita produz diferentes tipos de técnicas de distribuição de erros que, em geral, força as integrais dos resíduos ponderados, por uma certa função, ser zero. Por causa disto elas são chamadas de Técnicas dos Resíduos Ponderados.

34

2. 5 – Técnicas de Resíduos Ponderados A solução do problema de valor de contorno definida pelas equações (2. 27) e (2. 28), (2. 31) e (2. 32) ou seqüências similares para outros problemas pode ser tentada pela escolha de uma função para a aproximação de u. Pode-se então ter três tipos de método. (i) Se a suposta solução aproximada satisfaz identicamente todas as condições de contorno mas não as equações governantes em Ω, tem-se um método de puro domínio. (ii) Se a solução aproximada satisfaz o campo ou as equações governantes, mas não as condições de contorno têm-se um método de contorno. (iii) Se a suposta solução não satisfaz nem as equações de campo nem as condições de contorno, tem-se um método misto. Vamos primeiro supor que as funções φj que são definidas para aproximar u, satisfaz todas as condições de contorno. Têm-se então uma função residual R no domínio conforme as equações de campo são geralmente não identicamente satisfeitas. A idéia é agora fazer R tão pequeno quanto possível estabelecendo seu peso residual igual a zero para os valores das funções de ponderação, ψj, tal que, basicamente tem-se:

Ω

RΩψ j dΩ = 0

em Ω

com j =1,2, ...N

(2. 33)

Onde RΩ = (u ) é um operador diferencial, e u = solução aproximada, dada por:

u=

N j =1

u jψ j

(2. 34)

Estas funções têm de ser linearmente independentes. Note que de uma outra forma escrevendo (2. 33) em uma forma que é mais compacta, é fácil operar com ela, pela definição de uma nova função w, tal que:

w = β 1ψ 1 + β 2ψ 2 + ... + β Nψ N =

N j =1

β jψ j

(2. 35)

onde βj são coeficientes arbitrários. Portanto, a equação (2. 33) pode agora ser escrita em termos, de uma forma mais compacta, como,

35

Ω

RΩ wdΩ = 0

em Ω

(2. 36)

Diferentes tipos de funções de ponderação ψj (ou w) definirão diferentes métodos aproximados. A equação (2. 33) ou (2. 35) produzirá um sistema de equações algébricas das quais os valores desconhecidos dos coeficientes αi ou ui usados em u (equação (2. 24) ou (2. 25) pode ser obtida. A aproximação pode sempre ser melhorada pelo aumento do número de funções N usadas (N é o número de termos na solução aproximada igual ao número de funções peso requeridas). Os método aproximados baseados na equação (2. 36) são chamados de Método dos Resíduos Ponderados e dada uma solução aproximada, o método varia de acordo com as funções de ponderação usadas como peso. No que segue um pouco será revisto.

(i)

Método dos Pontos de Colocação (ψ j = δ ( x − x j ) )

(ii)

Método da Colocação por Sub-regiões ou Subdomínios (ψ j =

(iii)

Método de Galerkin (ψ j = φ j )

(iv)

Método dos Momentos (ψ j = x ). j

36

0 se x ∉ Ω j 1 se x ∈ Ω j

)

2. 6 – Aplicação Prática dos Método dos Resíduos Ponderados 2.6.1 - Exemplo 2.1 – Obtendo uma solução Exata Como uma ilustração de como usar os método dos resíduos ponderados, considere a seguinte equação diferencial ou equação de campo no domínio unidimensional x (onde x varia de x = 0 até x = 1) isto é: d 2u +x=0 dx 2

(2. 37)

com condições de contorno homogêneas, isto é: u = 0 em

x = 0 e x =1

(2. 38)

(Note que a equação (a) é um caso particular da equação (2. 1) quando λ = 0 e b = x). A exata solução de (a) pode ser achada pela integração e dá: u exata =

x x3 − 6 6

(2. 39)

Vamos agora tentar resolver (a) usando a Técnica de Resíduos Ponderados descrita anteriormente acima, começando pela definição de uma solução aproximada que satisfaz as condições de contorno e pode ser escrita como: u = α 1φ1 + α 2φ 2 + α 3φ 3 + ...

(2. 40)

Pode-se usar polinômios Hermiteanos para φj, mas desde que somente duas delas satisfaçam as condições de contorno homogêneas, somente estas duas serão usadas, isto é: u = α 1φ1 + α 2φ 2

(2. 41)

onde

φ1 = x − 2 x 2 + x 3 φ2 = x 3 − x 2

(2. 42)

A função erro ou residual neste caso é obtida pela substituição de (2. 41) na equação (2. 37) que fornece:

37

d 2u +x dx 2 d 2φ1 d 2φ 2 = α1 +α2 +x dx 2 dx 2 = α 1 ( 6 x − 4) + α 2 ( 6 x − 2) + x R( x1 , α 1 , α 2 ) =

Vamos agora reduzir (2. 43) usando as várias técnicas de resíduos ponderados.

38

(2. 43)

2.6.2 – Método do Ponto de Colocação Neste caso N pontos x1, x2, ...,xN são escolhidos no domínio e o resíduo é estabelecido zero nestes pontos. Esta operação pode ser interpretada como funções de ponderação definidas em termos das funções deltas de Dirac nestes pontos, isto é:

ψ j = δ ( x − x j );

j = 1,2,..., N

(2. 44)

δ ( x − x j ) no ponto x = x j tem um valor infinito, mas é tal que sua integral da a unidade, isto é:

δ ( x − x j )dΩ = 1;

j = 1,2,..., N

Ω

(2. 45)

A função de Dirac pode ser interpretada como o limite de uma função regular quando sua base tende a zero. Portanto, a equação (2. 33) pode agora ser escrita como:

Rδ ( x − x j )dΩ = 1;

j = 1,2,..., N

Ω

(2. 46)

A qual simplesmente diz que a função erro é zero na série de pontos, isto é:

R x = x = 0; j

j = 1,2,..., N

(2. 47)

O método consiste de uma série de funções erros ou funções residuais iguais a zero em que muitos pontos como estes são coeficientes desconhecidos na solução aproximada. A distribuição dos pontos de colocação é em princípio arbitrária, mas na prática melhores resultados são obtidos se eles são uniformemente distribuídos. Solução do Exemplo 2.1 pelo Método do Ponto de Colocação: Aqui força-se os resíduos serem zero na série dos pontos. Considere neste caso que R é zero nos dois pontos x = 0,25 e x = 0,75. Esta fornece R x =0, 25 = α 1 (6 x − 4) x =0, 25 + α 2 (6 x − 2) x =0, 25 + x x =0, 25 = 0

(2. 48)

R x =0, 75 = α 1 (6 x − 4) x =0, 75 + α 2 (6 x − 2) x =0,75 + x x =0,75 = 0

(2. 49)

e

ou

39

R x =0, 25 = −10α 1 − 2α 2 + 1 = 0

(2. 50)

R x =0, 75 = 2α 1 + 10α 2 + 3 = 0

(2. 51)

− 10 − 2 α1 −1 = 2 + 10 α 2 −3

(2. 52)

e

E ainda

Do qual se obtém que os seguintes resultados para α1 e α2:

α1 =

1 6

(2. 53)

1 α2 = − 3 Substituindo (2. 62) em (2. 41) dá o seguinte resultado 1 1 u = [x − 2x 2 + x3 ] − [x3 − x 2 ] 6 3 1 1 3 2 1 2 x u= − x − − x + 6 3 6 3 6 u=−

(2. 54)

x3 x + 6 6

Note que este caso é demais trivial e os mesmos resultados foram obtidos por todos os outros métodos. Em geral isto não será verdade quando a solução exata não pode ser reproduzida pelo valor proposto de u e se achará diferentes resultados dependendo do método usado.

40

2.6.3 – Método da Colocação por Subdomínio Para este método o domínio Ω é dividido em M subdomínios e a integral do erro em cada um deles é estabelecida ser zero. As funções pesos são simplesmente escolhidas como,

ψj =

1 para x ∈ Ω j

(2. 55)

0 para x ∉ Ω j

(∈ indica pertencente a, e Ωj é o j´esimo subdomínio). A equação (2. 33) torna-se Rdx = 0

com j =1,2, ...N

(2. 56)

Ωj

Solução do Exemplo 2.1 pelo Método dos Pontos de Colocação por Subdomínios: Considere o domínio dividido em duas partes iguais, uma de 0 a ½ e a outra de ½ a 1. Neste caso pode-se escrever: 1/ 2

1/ 2

0

0

Rdx = [α 1 (6 x − 4) + α 2 (6 x − 2) + x]dx = 0

(2. 57)

e 1

1

Rdx = [α 1 (6 x − 4) + α 2 (6 x − 2) + x]dx = 0

1/ 2

(2. 58)

1/ 2

que produz o seguinte sistema de equações 1/ 2

1/ 2

x2 x2 x2 α 1 (6 − 4 x ) + α 2 (6 − 2 x ) + 2 2 2 0 0 1

1

1/ 2

=0 0

2 1

x2 x2 x α 1 (6 − 4 x ) + α 2 (6 − 2 x ) + 2 2 2 1/ 2 1/ 2

(2. 59) =0

1/ 2

ou − 1,20α 1 − 0,25α 2 + 0,125 = 0 + 0,25α 1 + 1,20α 2 + 0,375 = 0 e ainda

41

(2. 60)

− 0,125 − 1,2 − 0,25 α 1 = α2 − 0,375 0,25 1,2

(2. 61)

do qual se obtém que:

α1 =

1 6

α2 = −

(2. 62)

1 3

Substituindo (2. 62) em (2. 41) dá o seguinte resultado 1 1 u = [x − 2x 2 + x3 ] − [x3 − x 2 ] 6 3 1 1 3 2 1 2 x − x − − x + u= 6 3 6 3 6 u=−

(2. 63)

x3 x + 6 6

Note que a solução exata (2. 41) foram obtidas desde que as funções de forma supostas para u são capazes de representá-lo.

42

2.6.4 – Método de Galerkin No caso do Método de Galerkin as funções de ponderação são as mesmas que as funções de aproximação, isto é:

φ j =ψ j

(2. 64)

Portanto a equação (2. 33) torna-se:

Ω

RΩ φ j dΩ = 0

j =1,2, ...N

(2. 65)

Usando-se a mesma definição que em (2. 35) esta pode ser escrita como

Ω

RΩ wdΩ = 0

j =1,2, ...N

(2. 66)

com w = β 1φ1 + β 2φ 2 + ... + β N φ N

(2. 67)

Este método é o ponto de partida de muitas formulações do Método dos Elementos Finitos para os quais a simetria de φ j = ψ j acoplada as equações de campo inerentemente simétricas, levam a matrizes algébricas simétricas. Solução do Exemplo 2.1 pelo Método de Galerkin: Neste caso as funções peso são:

ψ 1 = φ1 ψ 2 = φ2

(2. 68)

e as expressões dos resíduos ponderados são: 1

[α 1 (6 x − 4) + α 2 (6 x − 2) + x]( x − 2 x 2 + x 3 )dx = 0

(2. 69)

0

e 1

[α 1 (6 x − 4) + α 2 (6 x − 2) + x]( x 3 − x 2 )dx = 0

0

o qual produz as seguintes equações algébricas em α1 e α2. 43

(2. 70)

1

1

α1 (6 x − 4)( x − 2 x + x )dx + α 2 (6 x − 2)( x − 2 x 2 + x 3 )dx 2

3

0

0

(2. 71)

1

− x( x − 2 x 2 + x 3 )dx = 0 0

e 1

1

1

α 1 (6 x − 4)( x − x )dx + α 2 (6 x − 2)( x − x )dx − x( x 3 − x 2 )dx = 0 3

2

0

3

2

0

(2. 72)

0

ou − 4α 1 + α 2 + 1 = 0

α 1 − 4α 2 − 1,5 = 0

(2. 73)

E ainda

− 4 + 1 α1 −1 = +1 − 4 α2 1,5

(2. 74)

Do qual também se obtém que:

α1 =

1 6

(2. 75)

1 α2 = − 3 Substituindo (2. 62) em (2. 41) dá o seguinte resultado 1 1 u = [x − 2x 2 + x3 ] − [x3 − x 2 ] 6 3 1 1 3 2 1 2 x u= − x − − x + 6 3 6 3 6 u=−

(2. 76)

x3 x + 6 6

Note que a solução exata (2. 41) foram obtidas desde que as funções de forma supostas para u são capazes de representá-lo.

44

2.6.5 - Exemplo 2.2 – Obtendo uma solução aproximada por um Método de Domínio Vamos agora estudar uma outra equação usando o ponto de colocação tal que neste caso nós obteremos uma solução aproximada ao invés da solução exata. Considere a equação (2. 1) com λ2 = 1 e x = -b, isto é: d 2u +u+ x = 0 dx 2

(2. 77)

e as condições de contorno homogêneas, u ≡ 0 em x = 0 e x = 1. A exata solução de (2. 77) pode ser facilmente obtida pela integração e dá:

u=

senx −x sen1

(2. 78)

Ao invés de usar (2. 78) nós tentaremos aproximar esta solução definindo uma solução do tipo: u = a1φ1 + a 2φ 2 + a3φ3 + ...

(2. 79)

onde os φi são termos de um polinômio em x, isto é:

φ1 = 1 ; φ 2 = x ; φ3 = x 2 ...

(2. 80)

De forma a satisfazer as condições de contorno exatamente, a equação (2. 79) tem que dá u = 0 em

x = 0 e x =1

(2. 81)

o que implica que, em x = 0 → u = a1 = 0 em x = 1 → u = a1 + a 2 + a3 + ... = 0

(2. 82)

Portanto, a1 ≡ 0 e a2 pode ser expressa em função dos outros parâmetros ai, isto é: a 2 = −(a3 + a 4 + ...)

(2. 83)

Substituindo a1 ≡ 0 e (2. 83) em (2. 79) nós podemos escrever:

u = a3 ( x 2 − x) + a 4 ( x 3 − x) + a5 ( x 4 − x) + ... = x(1 − x)(−a3 − a 4 ) + x(1 − x)(−a 4 ) x + ... Definindo agora uma nova série de parâmetros desconhecidos αi, tais que: 45

(2. 84)

α1 = − a3 − a4 , α 2 = −a4 ,....

(2. 85)

u = x(1 − x)(α 1 + α 2 x + ...)

(2. 86)

Pode-se escrever:

Esta função satisfaz as condições de contorno em u e tem o grau de continuidade requerido pelas derivadas na equação (2. 77), portanto, diz-se ser “admissível”. Nós também veremos que a “distância” entre as soluções exatas e aproximadas diminui quando o número de termos em (2. 86) aumenta e isto implica que a formulação aproximada u é “completa”, isto é, tende a representar a solução exata melhor e melhor quando o número de termos aumenta.

46

2.6.6 – Método do Ponto de Colocação De forma a aplicar a técnica de ponto de colocação nós nos restringiremos a dois termos na expressão (2. 86), isto é:

u = x(1 − x)(α 1 + α 2 x)

(2. 87)

Substituindo esta função na equação governante (2. 77) acha-se o seguinte resíduo, isto é: R=

d 2u + u + x = (−2 + x − x 2 )α 1 + (2 − 6 x + x 2 − x 3 )α 2 + x 2 dx

(2. 88)

A colocação pode agora ser interpretada como estabelecendo R ≡ 0 em dois pontos, a saber x = ¼ e x = ½. Isto também pode ser expresso em termos das funções delta de Dirac aplicadas a estes dois pontos, isto é, a função de ponderação é: 1 1 w = β 1δ 1 ( x − ) + β 2δ 2 ( x − ) 4 2

(2. 89)

A integral dos Resíduos Ponderados é representada por: 1

Rwdx = 0

(2. 90)

0

ou simplesmente R ≡ 0 em

x=

1 4

e x=

1 2

(2. 91)

Substituindo estes valores de x em (2. 88) obtém-se duas equações em α1 e α2. Eles podem ser escritos na forma de matriz como segue:

α 1 (−2 + x − x 2 ) x =1 / 4 + α 2 (2 − 6 x + x 2 − x 3 ) x =1 / 4 + x x =1 / 4 = 0 α 1 (−2 + x − x 2 ) x =1 / 2 + α 2 (2 − 6 x + x 2 − x 3 ) x =1 / 2 + x x =1 / 2 = 0

(2. 92)

ou 29 35 1 α1 + α 2 + = 0 16 64 4 7 7 1 − α1 + α 2 + = 0 4 8 2 −

e ainda

47

(2. 93)

29 16 7 4

−

35 1 α 1 64 = 4 7 1 α2 8 2

(2. 94)

A solução deste sistema fornecerá:

6 31 40 α2 = 217

α1 =

(2. 95)

O valor aproximado de u na equação (2. 87) pode agora ser escrito como: u=

x(1 − x) (42 + 40 x) 217

(2. 96)

Tabela - II. 1. Resultados para o Método do Ponto de Colocação

X 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90

u (exata) 0,018641 0,051194 0,069746 0,065585 0,030901

u (aproximada) 0,019078 0,052258 0,071428 0,065806 0,032350

R -0,009953 +0,002027 +0,00000 -0,024884 -0,081474

Note que a função erro pode agora ser também totalmente definida em termos de x, pela substituição de α1 e α2 em (2. 88). Isto dá R=

1 (−4 + 19 x − 2 x 2 − 40 x 3 ) 217

(2. 97)

Estes resultados podem ser tabelados na Tabela - II. 1, onde eles são comparados em termos da solução exata u. Note que os valores de R são identicamente zero em x = ¼ e x = ½, mas o que isto não significa que a solução para u é exata naqueles pontos.

48

2.6.7 - Exemplo 2.3 – Obtendo uma solução aproximada por um Método de Domínio Vamos aplicar a técnica de Galerkin na equação (2. 1) para a qual λ2 = 1 e

b = −x d 2u +u+ x = 0 dx 2

(2. 98)

com condições de contorno homogêneas x = 0 e x = 1.

u = 0 em

(2. 99)

A solução aproximada será a mesma que no exemplo 2.2, isto é: u = α 1 x(1 − x) + α 2 x 2 (1 − x)

(2. 100)

o qual pode ser escrita como: u = α 1φ1 + α 2φ 2

(2. 101)

onde φ1 e φ2 são funções de forma φ1 = x(1-x) ; φ2 = x2(1-x). O resíduo é o mesmo que o do exemplo anterior, isto é:

d 2u R= 2 +u+ x≠0 dx

(2. 102)

R = (−2 + x − x 2 )α 1 + (2 − 6 x + x 2 − x 3 )α 2 + x

(2. 103)

logo

A função de ponderação w em Galerkin é suposta ter a mesma função de forma como a solução aproximada (2. 101), isto é:

w = β 1φ1 + β 2φ 2

(2. 104)

Os coeficiente β1 e β2 são arbitrários. A Sentença de Resíduos Ponderados é: Rwdx = 0

(2. 105)

Ωj

a qual produz duas expressões integrais como β1 e β2 são arbitrários, isto é:

49

1

R(β1φ1 + β 2φ 2 )dx = 0

(2. 106)

0

ou simplesmente 1

Rφ1 = 0

(2. 107)

Rφ 2 dx = 0

(2. 108)

0

e 1

0

Substituindo (2. 102) e as funções de φ1 e φ2 em (2. 107) e (2. 108) temos: 1

[(−2 + x − x 2 )α1 + (2 − 6 x + x 2 − x 3 )α 2 + x][ x(1 − x)]dx = 0

(2. 109)

[(−2 + x − x 2 )α1 + (2 − 6 x + x 2 − x 3 )α 2 + x][ x 2 (1 − x)]dx = 0

(2. 110)

0

e 1 0

Após a integração isto fornece o seguinte sistema.

3 3 1 α 1 10 10 = 12 1 3 13 α 2 20 10 105

(2. 111)

Note a matriz é simétrica porque a equação é de uma ordem par e as funções de ponderação e as funções aproximadas são as mesmas. Resolvendo (2. 111) temos como resultado:

71 369 7 α2 = 41

α1 =

(2. 112)

Substituindo estes valores em (2. 100) produz-se a solução aproximada para u, isto é:

50

u=

71 7 x(1 − x) + x 2 (1 − x) 369 41

(2. 113)

Pode-se achar também a função residual R (equação (2. 102) que agora é:

R=

1 (−16 + 62 x − 8 x 2 − 63x 3 ) 369

(2. 114)

Os resultados para u e R são dadas na Tabela - II. 2 onde elas são comparadas em função da solução exata de u. Note que embora a solução exata de u é sobretudo mais precisa do que no caso de usar a técnica de colocação, agora precisa-se levar a cabo algumas integrações como mostrado na formula (2. 109) e (2. 110). Esta operação não é necessária para o caso do ponto de colocação. Tabela - II. 2. Resultados para o Método de Galerkin

x 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90

u (exata) 0,018641 0,051194 0,069746 0,065582 0,030901

u (aproximada) 0,018853 0,051162 0,069444 0,065505 0,0311460

51

R -0,0269450 +0,004850 +0,013888 +0,005070 -0,034165

2. 7 – Aplicação Prática da Formulação Fraca e da Formulação Inversa Considere agora a equação (2. 1) novamente para ilustrar como uma formulação fraca pode ser usada e como a Sentença dos Elementos de Contorno e do Domínio são obtidas. Vamos começar com a equação (2. 23) que foi deduzida a partir da equação (2. 1) por um processo de integração por partes, com aplicação das condições de contorno, isto é: 1

{ 0

d 2u dw 2 w + ( λ u − b ) w } dx − [( q − q ) w ] + [( u − u ) ] x =0 = 0 x = 1 dx dx 2

(2. 115)

que pode também ser expressa em uma forma mais compacta em função dos resíduos, isto é: 1

Rx wdx − [ R2 w] x =1 + [ R1

0

dw ] x =0 = 0 dx

(2. 116)

A função u será agora assumida satisfazer exatamente as condições de contorno “essenciais” u = u em x = 0. Neste caso (2. 115) torna-se 1

{ 0

d 2u w + (λ2 u − b) w}dx = [(q − q ) w] x=1 2 dx

(2. 117)

ou em termos de (2. 116), simplesmente 1

Rwdx = [ R2 w] x=1

(2. 118)

0

2.7.1 – Formulação Fraca - 5ª Integração por Partes Integrando por partes a equação (2. 117) pode-se escrever: 1

du { dx 0

dw du + (λ2 u − b) w}dx = − w dx dx

x =1 x =0

+ [(q − q ) w] x=1

(2. 119)

ou cancelando-se os termos semelhantes temos: 1 0

{−

du dx

dw + (λ2 u − b) w}dx = [qw] x=0 − [q w] x=1 dx

52

(2. 120)

Se a função peso w é forçada satisfazer a versão homogênea das condições de contorno essenciais em x = 0, a equação (2. 120) torna-se: 1

{−

0

du dx

du + (λ2 u − b) w}dx = −[q w] x=1 dx

(2. 121)

a qual é análoga a equação (4. 50) obtida para a equação de campo de Laplace. Note que a equação (2. 116) também pode ser obtida pela aplicação das condições de contorno dentro da sentença (2. 3) e que esta sentença foi simplesmente obtida por integração por partes da expressão dos resíduos (2. 2).

2.7.2 – Formulação Inversa - 6ª Integração por Partes O tipo de sentença Elementos de Contorno governante, por exemplo, sob discussão é achada fazendo-se duas integração por partes consecutivas (2. 23) e esta dá a fórmula previamente obtida (2. 13), isto é: 1

d 2w {u 2 + (λ2 u − b) w}dx + {[q w] x =1 − [qw] x =0 } dx 0

−

dw u dx

dw − u dx x =1

(2. 122)

=0 x =0

Esta expressão poderia também ter sido obtida por uma dupla integração por partes da equação dos resíduos ponderados (2. 2) e aplicando depois disso as condições de contorno. É correto notar que ambos neste exemplo unidimensional e nas equações de Laplace bidimensional, uma sentença tipo de elementos finitos pode ser obtida depois da primeira integração por partes (equação (2. 3) e (4. 49)), e a equação integral tipo Elemento de Contorno após a segunda integração (equação (2. 10) e (4. 24) ou (4. 25))

53

2.7.3 – Exemplo 2.4 – Formulação Fraca usando o Método de Galerkin Resolva a seguinte equação diferencial:

d 2u +u+ x = 0 dx 2

(2. 123)

com as seguintes condições de contorno

u = 0 em x = 0

(2. 124)

e

q=

du = q em x = 0 dx

(2. 125)

Usando a formulação fraca (Galerkin) 1

−

0

du dx

dw + (λ2 u − b) w dx = −[q w] x=1 dx

(2. 126)

dw + (u + x) w dx = −[q w] x=1 dx

(2. 127)

onde λ = 1 e b = -x, então 1 0

−

du dx

Fazendo

u = α 0 + α1 x + α 2 x 2 + α 3 x 3

(2. 128)

w = β 0 + β1 x + β 2 x 2 + β 3 x 3

(2. 129)

e

e satisfazendo as condições de contorno u = 0, x = 0, logo α0 = 0 também e w, logo, β0 = 0 e

du = α1 + 2α 2 x + 3α 3 x 2 dx

(2. 130)

dw = β1 + 2 β 2 x + 3β 3 x 2 dx

(2. 131)

e

54

e substituindo (2. 130) e (2. 131) em (2. 127) temos: 1

− (α1 + 2α 2 x + 3α 3 x 2 )( β1 + 2 β 2 x + 3β 3 x 2 ) + [(α1 x + α 2 x 2 + α 3 x 3 ) + x ]( β1 x + β 2 x 2 + β 3 x 3 ) dx

0

du / dx

dw / dx

u

w

(2. 132)

= −[q ( β1 x + β 2 x + β 3 x )]x =1 2

3

w

i) Fazendo β1 = 1, β2 = 0, β3 = 0 temos: 1

{− (α

1

}

+ 2α 2 x + 3α 3 x 2 ).1 + [(α 1 x + α 2 x 2 + α 3 x 3 ) + x] x dx = −[ q x ] x =1

(2. 133)

0

ou 1

{− α

1

}

(2. 134)

}

(2. 135)

− 2α 2 x − 3α 3 x 2 + α1 x 2 + α 2 x 3 + α 3 x 4 + x 2 ) dx = − q

0

e 1

{α (−1 + x 1

2

) + α 2 (−2 x + x 3 ) + α 3 ( −3 x 2 + x 4 ) + x 2 ) dx = −q

0

Integrando temos: 1

x3 α1 − x + 3 0

1

0

x2 x4 + α2 − 2 + 2 4

1

0

x3 x5 + α3 − 3 + 3 5

1

0

1

x3 + dx = (2. 136) 3 0

Ou

α1 − 1 +

1 1 1 1 + α2 −1 + + α 3 − 1 + + = −q 3 4 5 3

(2. 137)

Logo

2 3 4 1 − α1 − α 2 − α 3 = −q − 3 4 5 3

55

(2. 138)

ii) Fazendo β1 = 0, β2 = 1 e β3 = 0 1

{− (α

1

}

(2. 139)

}

(2. 140)

+ 2α 2 x + 3α 3 x 2 )( 2 x ) + [(α 1 x + α 2 x 2 + α 3 x 3 ) + x] x 2 dx = −[ q x 2 ] x =1

0

ou 1

{− (2 xα

1

+ 4α 2 x 2 + 6α 3 x 3 ) + (α 1 x 3 + α 2 x 4 + α 3 x 5 + x 3 ) dx = −[q x 2 ] x =1

0

e 1

{− 2 xα

1

}

− 4α 2 x 2 − 6α 3 x 3 + α 1 x 3 + α 2 x 4 + α 3 x 5 + x 3 dx = − q

(2. 141)

0

ou 1

{α (−2 x + x ) + α 3

1

2 ( −4 x

2

}

+ x 4 ) + α 3 (−6 x 3 + x 5 ) + x 3 ) dx = − q

(2. 142)

0

Integrando temos:

2x 2 x 4 α1 − + 2 4

1

4x3 x5 +α2 − + 3 5 0

1

x4 x6 + α3 − 6 + 4 6 0

1

1

x4 + dx = − q (2. 143) 4 0 0

Ou

α1 − 1 +

1 4 1 6 1 1 + α 2 − + + α 3 − + + = −q 4 3 5 4 6 4

(2. 144)

3 17 32 1 − α1 − α 2 − α 3 = −q − 4 15 24 4

(2. 145)

Logo

56

iii) Fazendo β1 = 0, β2 = 0 e β3 = 1 1

{− (α

1

}

+ 2α 2 x + 3α 3 x 2 )(3 x 2 ) + [(α 1 x + α 2 x 2 + α 3 x 3 ) + x] x 3 dx = [q x 3 ] x =1

0

(2. 146)

ou 1

{(−3x α 2

1

}

− 6α 2 x 3 − 9α 3 x 5 ) + (α 1 x 4 + α 2 x 5 + α 3 x 6 + x 4 ) dx = −[ q x 3 ] x =1

0

(2. 147)

e 1

{α (−3x 1

2

}

+ x 4 ) + α 2 ( −6 x 3 + x 5 ) + α 3 ( −9 x 5 + x 6 ) + x 4 ) dx = − q

(2. 148)

0

Integrando temos: 3x 3 x 5 α1 − + 3 5

1

+α2 0

6x 4 x 6 − + 4 6

1

0

x6 x7 + α3 − 9 + 6 7

1

0

1

x5 + dx = − q 5 0

(2. 149)

Ou

α1 − 1 +

1 6 1 9 1 1 + α 2 − + + α 3 − + + = −q 5 4 6 6 7 5

(2. 150)

4 32 50 1 − α1 − α 2 −α3 = −q − 5 24 42 5

(2. 151)

Logo

Montando o sistema de equações temos:

2 3 4 1 − α1 − α 2 − α 3 = −q − 3 4 5 3 − α1

3 17 32 1 − α2 − α3 = −q − 4 15 24 4

4 32 50 1 − α1 − α 2 −α3 = −q − 5 24 42 5 57

(2. 152)

Resolvendo este sistema por Matrizes temos:

2 3 3 4 4 5

3 4 17 15 32 24

4 1 q+ 5 α1 3 32 1 α2 = q + 24 4 α 1 32 3 q+ 5 24

(2. 153)

− 300 239 − 1120 239 1300 239

(2. 154)

cuja matriz inversa é:

α1 α2 α3

1200 239 − 300 = 239 − 420 239

− 420 1 q+ 239 3 1300 1 q+ 239 4 1 − 3475 q+ 5 956

solução fornece os valores para:

α1 = q +

1 1200 1 − 300 1 − 420 + q+ + q+ 3 239 4 239 5 239

α2 = q +

1 − 300 1 − 1120 1 1300 + q+ + q+ 3 239 4 239 5 239

α3 = q +

1 − 420 1 1300 1 − 3475 + q+ + q+ 3 239 4 239 5 239

58

(2. 155)

2. 8 – Soluções de Contorno e Domínio Na secção anterior vimos as Técnicas de Resíduos Ponderados, tais como: - Método de Contorno - Método de Domínio - Método Misto As formas para se obter um método de contorno são: (i)

Selecionar a nossa função de ponderação, w, de tal forma que ela satisfaça a equação governante homogênea (Método de Treffitz)

(ii)

Selecionar a função de ponderação w de tal forma que a integral de domínio seja eliminada (Método dos Elementos de Contorno)

Ω

Vejamos agora como ficam as fórmulas para o Método dos Elementos Finitos (MEF), Método de Treffitz e o Método dos Elementos de Contorno para uma equação unidimensional do tipo dada pela equação (2. 1).

2.8.1 - Aplicação Prática Considere a equação diferencial dada por:

d 2u + λ2 u − b = 0 2 dx

(2. 156)

No domínio Ω = [0 ;1]

com condições de contorno:

u = u para x = 0 q = q para x = 1

(2. 157)

Resolver este problema usando a Formulação Fraca pelo Método dos Elementos Finitos e a Formulação Inversa pelo Método de Treffitz e pelo Método dos Elementos de Contorno.

59

Solução Supondo uma solução aproximada do tipo

u = u ( x)

(2. 158)

os erros de aproximação desta solução no domínio e no contorno são dados por:

εΩ

d 2u = 2 + λ2 u − b ≠ 0 dx

(2. 159)

com

ε Γ1 = u − u para x = 0 em Γ ε Γ2 = q − q para x = 1 em Γ

(2. 160)

A sentença Geral de Resíduos Ponderados é dada por:

Ω

ε Ω wdΩ + ε Γ1 w1dΓ + ε Γ2 w2 dΓ = 0 Γ

Γ

(2. 161)

Considerando que a aproximação satisfaz exatamente as condições de contorno, portanto tendo um método aplicado apenas ao domínio temos as seguinte Solução de Domínio.

Ω

ε Ω wdΩ = 0

(2. 162)

ou seja:

Ω

d 2u + λ2 u − b wdΩ = 0 2 dx

60

(2. 163)

2.8.2 – Formulação Fraca dos Resíduos Ponderados Integrando-se por partes uma vez obtém-se 1

1

1

1

d 2u du du 2 + λ u − b wdx = w − dx 0 0 dx dx 2

0

dw dx + (λ2 u − b) wdx = 0 dx 0

(2. 164)

dw dx dx

(2. 165)

du dx

(2. 166)

onde

u=w

du = dw =

e

d 2u dv = 2 dx dx

v=

chamando de q = du / dx no contorno temos: 1 0

1 d 2u du 1 2 + λ u − b wdx = wq 0 + − 2 dx dx 0

dw dx + (λ2 u − b) w dx = 0 dx

(2. 167)

logo 1

−

0

du dx

dw 1 dx + (λ2 u − b) w dx = − wq 0 dx

(2. 168)

Forçando w = 0 quando x = 0 temos: 1

−

0

du dx

dw dx + (λ2 u − b) w dx = − wq x =1 dx

(2. 169)

Impondo as condições de contorno q = q em x =1 temos: 1 0

−

du dx

dw dx + (λ2 u − b) w dx = − wq dx

61

x =1

(2. 170)

2.8.3 - Método dos Elementos Finitos A equação (2. 170) é a sentença básica do Método dos Elementos Finitos. Dividindo-se o domínio Ω = [0;1] em E subdomínios, ou seja: E

Ω=

e=1

Ωe

(2. 171)

Discretizando e escolhendo-se a solução aproximada do tipo u(x) dado a partir de

u≅u =

N +1 m=1

u mφm em Ω ,

(2. 172)

Para E = N aplicado em (2. 170) temos o sistema de equações do Método dos Elementos Finitos, dado por: N m=1

d 2φm ( x) dφm wl − φm ( x) − 0 dΩ + wl − q dΓ = 0 2 dx dx Ω Γ

um

(2. 173)

Subdividindo o domínio Ω em Ωe subintervalos temos: N +1 m =1

wle

um Ωe

E e =1

B d 2φ me ( x) e e − φ ( x ) d Ω + w m e l dx 2 b =1 Γb

dφ me ( x) − q dΓ b = 0 dx

(2. 174)

Escolhendo por Galerkin

wle = wle = φle

(2. 175)

Temos: N +1 m =1

um

φ le Ωe

E

d 2φ me ( x )

e =1

dx 2

− φ me ( x) dΩ e + φ le Γb

B b =1

dφ me ( x) − q dΓ b = 0 dx

(2. 176)

Observe que na sentença básica de resíduos ponderados aparecem derivadas de ordem dois, consequentemente, é necessário que as funções de aproximação possuam derivadas de ordem um, contínuas. Neste caso, precisaríamos de elementos finitos quadráticos para as funções de interpolação. Contudo, para contornar essa situação utilizando elementos finitos lineares, podemos resolver a equação diferencial a partir da forma fraca dos resíduos ponderados.

62

2. 9 – Formulação Inversa dos Resíduos Ponderados Integrando-se por partes uma segunda vez a expressão (2. 170) temos:

−

1 0

du dx

1

1 1 dw dw d 2w 2 dx + (λ u − b) wdx = −u + u 2 + (λ2 u − b) w dx (2. 177) dx dx 0 0 dx 0

onde

dw u= dx dx

d 2w du = 2 dx

(2. 178)

v=u

(2. 179)

e

dv =

du dx dx

Substituindo (2. 178) e (2. 179) em (2. 177) obtemos: 1 0

1

d 2w 2 dw 1 u + λ w − bw dx = −q w 0 + u 2 dx 0 dx

(2. 180)

Aplicando as condições de contorno u = u em x = 0 e q = q em x = 1 obtivemos: 1

u 0

d 2w dw dw 2 λ { [ ] [ ] } [ ] [ ] x =0 + w − bw dx = − qw − qw + u − u x = 1 x = 0 x = 1 dx dx dx 2

63

(2. 181)

2.9.1 – Método de Treffitz Escolhendo a nossa função de ponderação w de tal forma que ela satisfaça a equação diferencial na sua forma homogênea, ou seja:

d 2w + λ2 w = 0 2 dx

(2. 182)

resolvendo-se esta equação diferencial para achar o w obtemos a solução da equação homogênea para w a qual é usada como função de ponderação, na sentença abaixo satisfazendo a condição homogênea. 1

u 0

d 2w dw dw ] x =0 + λ2 w − bw dx = −{[qw] x =1 − [qw] x =0 } + [u ] x=1 − [u 2 dx dx dx

(2. 183)

Retornando-se a equação integral da formulação inversa temos: 1 0

d 2w dw dw + λ2 w − bw dx = −{[qw] x =1 − [qw] x =0 } + [u ] x =1 − [u ] x =0 u 2 dx dx dx

(2. 184)

=0

Logo 1

(− bw)dx = −{[qw] x=1 − [qw] x=0 } +

[u

0

dw dw ] x =1 − [u ] x =0 dx dx

(2. 185)

onde q e u são valores desconhecidos e q e u são valores conhecidos.

2.9.2 – Exemplo de utilização do Método de Treffitz Resolvendo a seguinte equação diferencial com λ = 0 e b = -x temos:

d 2u + x=0 dx 2

(2. 186)

Com as condições de contorno u = 0 para x = 0 e u = 0 para x = 1. Partindo da seguinte integral por partes: 1

u 0

d 2w dw dw 2 { } w bw dx qw qw u u + λ − = − [ ] − [ ] + [ ] − [ ] x =0 x = 1 x = 0 x = 1 dx dx dx 2

64

(2. 187)

Solução: Retornando-se a equação integral da formulação inversa temos: 1

u 0

d 2w dw dw + λ2 w − bw dx = −{[qw] x =1 − [qw] x =0 } + [u ] x =1 − [u ] x =0 2 dx dx dx

(2. 188)

=0

Logo 1

(− bw)dx = −{[qw] x=1 − [qw] x=0 } +

[u

0

dw dw ] x =1 − [u ] x =0 dx dx

(2. 189)

Resolvendo a equação diferencial homogênea para λ= 0 temos:

d 2w + λ2 w = 0 2 dx

(2. 190)

d 2w =0 dx 2

(2. 191)

Temos:

onde

w = a0 + a1 x (2. 192)

dw = a1 dx Substituindo (2. 192) na equação (2. 189) temos: 1

1

(− bw)dx = (− b(a0 + a1 x )dx

0

(2. 193)

0

Logo 1

(x(a0 + a1 x )dx = −{[q (a0 + a1 x)] x=1 − [q (a0 + a1 x)] x =0 }

0

= −q1 (a 0 + a1 ) + q 0 a0 Onde a0 e a1 são constantes arbitrárias. i)

Fazendo a0 = 0 e a1 = 1 temos: 65

(2. 194)

1

x 2 dx = − q1

(2. 195)

0

Ou

x3 [ 3 i)

1

= −q1

q1 = −

0

1 3

(2. 196)

Fazendo a0 = 1 e a1 = 0 temos: 1

xdx = − q1 + q0

(2. 197)

0

Ou

x2 [ 2

1

= −q1 + q0

−q1 + q0 =

0

1 2

(2. 198)

Usando-se q1 = 1/3 temos:

1 1 = + + q0 2 3

q0 =

1 6

(2. 199)

Assim o problema está resolvido, pois se conhece o potencial u e o fluxo q no contorno (em x = 0 e x = 1).

66

2.9.3 - Método de Contorno Escolhendo a nossa função de ponderação w de tal forma que ela satisfaça a equação diferencial de Green, ou seja:

d 2w + λ2 w = −δ ( x − ξ ) 2 dx

(2. 200)

resolvendo-se esta equação diferencial para achar w, encontra-se a solução fundamental de Green, w = u*, para w a qual é usada como função de ponderação, na sentença abaixo satisfazendo a condição fundamental da seguinte forma: 1

u 0

d 2w dw dw + λ2 w − bw dx = −{[qw] x =1 − [qw] x =0 } + [u ] x=1 − [u ] x =0 2 dx dx dx

(2. 201)

Retornando-se a equação integral da formulação inversa temos:

1

u 0

d 2w dw dw + λ2 w − bw dx = −{[qw] x =1 − [qw] x =0 } + [u ] x =1 − [u ] x =0 2 dx dx dx

(2. 202)

δ ( x −ξ )

logo 1

(uδ ( x − ξ ) − bw)dx = −{[qw] x=1 − [qw] x=0 } +

[u

0

dw dw ] x =1 − [u ] x =0 dx dx

(2. 203)

Pela propriedade da função Delta de Dirac já vimos que: 1

f ( x)δ ( x − ξ )dΩ = f (ξ )

(2. 204)

− u ( x)δ ( x − ξ )dΩ = −u (ξ )

(2. 205)

0

Logo 1 0

Assim tem-se em (2. 102) que: 67

1

− u (ξ ) − bwdx = −{[q w] x =1 − [qw] x =0 } + [u 0

dw dw ] x =1 − [u ] x =0 dx dx

(2. 206)

Como w = u*(x) é a solução fundamental do problema e q* = dw/dx = du*/dx podemos escrever (2. 206) como sendo: 1

− u (ξ ) − bu *dx = −{[q u*]x=1 − [qu*]x=0 } + {[uq*]x=1 − [u q*]x=0 }

(2. 207)

0

Sabendo que a solução unidimensional u*(x) para o caso unidimensional é dado por:

u*

= (1 − ξ ) x para x ≤ ξ

(2. 208)

(1 − x)ξ para x ≥ ξ

Logo

q*

= (1 − ξ ) x para x ≤ ξ

(2. 209)

(1 − x)ξ para x ≥ ξ

Substituindo estas soluções em (2. 207) temos:

x2 (1 − ξ ) 2 − u (ξ ) − b x2 ( x − )ξ 2 u

1

= −q

(1 − ξ ) x (1 − x)ξ

0

(1 − ξ ) (1 − ξ ) −u (−ξ ) x=1 (−ξ ) x=0

Fazendo ξ = 0 temos:

68

+q x =1

(1 − ξ ) x (1 − x)ξ

+ x =0

(2. 210)

x2 (1 − 0) 2 − u (0) − b x2 ( x − )0 2 u

1

= −q

(1 − 0) x (1 − x)0

+q x=1

(1 − 0) x (1 − x)0

+ x =0

(2. 211)

0

(1 − 0) (1 − 0) −u (−0) x=0 − 0 x=1

ou

x2 x − u (0) − b 2 = −q 0 0 u

1

x =1

x 0

+ x =0

(2. 212)

1

−u

0

+q

0

x =1

x =0

logo

− u (0) − b = −q + 0 + u (0) − u

(2. 213)

Fazendo ξ = 1 temos: 1

x2 (1 − 1) 2 = −q (1 − 1) x − u (0) − b (1 − x)1 x2 ( x − )1 2 0 u

(1 − 1) (1 − 1) −u − 1 x=1 (−1) x=0

Ou

69

+q x =1

(1 − 1) x (1 − x)1

+ x =0

(2. 214)

x2 0 − u (0) − b 2 (x − u

0 −1

−u x =1

1

= −q

2

x )1 2

0 (−1)

0x (1 − x)

+q x =1

0x (1 − x)1

+ x =0

(2. 215)

0

x =0

logo

1 − u (1) − b(1 − ) = 0 + q(1) − u (1) + u 2

(2. 216)

2u (0) + b / 2 = q + u para ξ = 0 q(1) + b / 2 = −u para ξ = 1

(2. 217)

Portanto

2.9.4 – Exemplo de utilização do Método de Contorno Resolvendo a seguinte equação diferencial com λ = 0 e b = -x temos:

d 2u + x=0 dx 2

(2. 218)

Com as condições de contorno u = 0 para x = 0 e u = 0 para x = 1. Partindo da seguinte integral por partes: 1 0

dw dw d 2w u + λ2 w − bw dx = −{[qw] x =1 − [qw] x =0 } + [u ] x=1 − [u ] x =0 2 dx dx dx

(2. 219)

Solução: Retornando-se a equação integral da formulação inversa temos:

1 0

d 2w dw dw + λ2 w − bw dx = −{[qw] x =1 − [qw] x =0 } + [u ] x =1 − [u ] x =0 u 2 dx dx dx δ ( x −ξ )

70

(2. 220)

logo 1

(uδ ( x − ξ ) − bw)dx = −{[qw] x=1 − [qw] x=0 } +

[u

0

dw dw ] x =1 − [u ] x =0 dx dx

(2. 221)

Pela propriedade da função Delta de Dirac temos que: 1

− u (ξ ) − bwdx = −{[q w] x =1 − [qw] x =0 } + [u 0

dw dw ] x =1 − [u ] x =0 dx dx

(2. 222)

Resolvendo a equação diferencial homogênea para λ= 0 temos:

d 2w + λ2 w = −δ ( x − ξ ) 2 dx

(2. 223)

d 2w = −δ ( x − ξ ) dx 2

(2. 224)

temos:

Onde a solução fundamental é dada por:

w=

x se x ≤ ξ

(2. 225)

ξ se x > ξ

Substituindo (2. 225) na equação (2. 222) temos: 1

− u (ξ ) − bwdx = −{[q w] x =1 − [qw] x =0 } + [u 0

dw dw ] x =1 − [u ] x =0 dx dx

(2. 226)

Onde 1

− u (ξ ) − xwdx = −{[q w] x=1 − [qw] x=0 }

(2. 227)

0

sendo

w=

0 se x = 0

ξ se x = 1 71

(2. 228)

temos: ξ

1

− u (ξ ) + x dx + xξ dx = −q1ξ + q0 0 2

(2. 229)

ξ

0

Logo

x3 − u (ξ ) + [ 3

ξ

0

x2 + [ξ 2

1

= −q1ξ

(2. 230)

ξ

e

− u (ξ ) +

ξ3 3

− u (ξ ) − Se ξ = 1

u=0

+

ξ

−

2

ξ3 6

+

ξ3

ξ 2

2

= −q1ξ

= −q1ξ

(2. 231)

(2. 232)

-1/6 + ½ = -q1, portanto:

q1 = −

1 3

(2. 233)

Pode-se obter

ξ3

ξ

1 ξ3 ξ u (ξ ) = − + − ξ = − + 6 2 3 6 6

(2. 234)

Como uma solução que atende as condições de contorno. E para o fluxo:

q(ξ ) = −

ξ2 2

+

1 6

(2. 235)

Uma outra solução fundamental que também atende às condições de contorno é dada por:

w=

(1 − ξ ) x se x ≤ ξ (1 − x)ξ se x > ξ

72

(2. 236)

A qual é a função de Green. Se derivarmos a expressão do potencial em relação a ξ temos o fluxo em qualquer ponto do domínio.

2. 10 – Quadro Resumo dos Métodos Aproximados A metodologia de solução de equações diferenciais por métodos aproximados é mostrada no quadro da Figura - 2. 1.

Figura - 2. 1. Estrutura dos Métodos Aproximados de Solução de Equações Diferenciais

73

2. 11 – Lista de Exercícios e Problemas 2.11.1 – Resolver a equação diferencial d 2u +u+ x=0 dx 2

(2. 237)

Com condições de contorno u(0) = u(1) = 0 usando uma função tentativa da forma

u = a0 + a1 x + a 2 x 2 e ponto de colocação para x = 1/2. Faça um gráfico da solução e compare esta com aquela do exemplo 1.2 do texto e com a solução exata dada pela equação (b) daquele exemplo.

Solução. A solução aproximada sendo do tipo:

u = a0 + a1 x + a 2 x 2

(2. 238)

Para satisfazer exatamente as condições de contorno devemos ter:

u (0 ) = a0 + a1.0 + a2 .0 2 = 0

(2. 239)

u (1) = a0 + a1.1 + a 2 .12 = 0

(2. 240)

e

logo

u (0 ) = a 0 = 0

a0 = 0

(2. 241)

e

u (1) = a1 + a 2 = 0

a 2 = − a1

(2. 242)

reescrevendo a solução temos

u = a1 x − a1 x 2 = a1 x(1 − x) cuja derivada é

74

(2. 243)

du d 2u = a1 − 2a1 x e = −2a1 dx dx 2

(2. 244)

O erro de aproximação é dado por:

εΩ =

d 2u +u + x≠0 dx 2

(2. 245)

Logo

ε Ω = −2a1 + a1 x(1 − x) + x ≠ 0 .

(2. 246)

A sentença de resíduos ponderados é dada por B

ε Ω wdΩ = 0

(2. 247)

A

Substituindo (2. 246) em (2. 247) para o ponto de colocação x =1/2 temos. 1

1 [−2a1 + a1 x(1 − x) + x]δ ( x − )dx = 0 2 0

(2. 248)

logo

[ − 2 a1 + a1 x (1 − x ) + x ] x =1 / 2 = 0 e

− 2a1 + a1

1 1 1 (1 − ) + = 0 2 2 2

− 2a1 + a1

1 1 1 ( )+ =0 2 2 2

a 1 − 2a1 + 1 = − 4 2 − 8a1 + a1 1 =−− 4 2

75

(2. 249)

− 7 a1 1 =− 4 2

a1 =

4 14

Portanto a solução aproximada é:

u=

4 x(1 − x) 14

(2. 250)

Cujo gráfico é:

Figura - 2. 2. Gráfico da solução da equação diferencial:

u ( x) =

4 x(1 − x) . 14

Comparando com a solução do exemplo 1.2 do texto e com a solução exata dada pela equação (b) daquele exemplo temos:

u=

1 x(1 − x)(42 + 40 x) 217

(2. 251)

Esta solução é um função de grau 3 enquanto a solução do problema acima é uma função de grau 2. Porque as soluções aproximadas utilizadas u ( x) = x (1 − x )(α1 + α 2 x ) no cálculo são de graus 3 e a do problema acima é de graus 2, respectivamente.

76

Tabela - II. 3. Comparação dos resultados exatos e aproximados com o exemplo 1.2 do livro

x 0,00 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 1,00

u (exata) 0 0,018641 0,051194 0,069746 0,065582 0,030901 0

u (aproximada) 0 0,019078 0,052258 0,071428 0,065806 0,032350 0

77

u (aproximada) 0 0,025714 0,060000 0,071428 0,060000 0,025714 0

2.11.3 - Resolver a equação diferencial ∇2u = 0

(2. 252)

No domínio plano 0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ y ≤ ∞ , conforme mostra a Figura - 2. 3.

Figura - 2. 3. Condições de contorno do problema.

e com as condições de contorno dadas por:

u (0, y ) = u (1, y ) = 0 u ( x, ∞ ) = 0 u ( x,0) = x(1 − x)

(2. 253)

usando uma função tentativa de forma u(x,y) = A(y)x(1-x) e usando como ponto de colocação x =1/2, para 0 ≤ y ≤ ∞ .

Solução: A equação diferencial é dada por:

∂ 2u ∂ 2u + =0 ∂x 2 ∂y 2 Sendo as condições de contorno da forma:

78

(2. 254)

u(0,y)= u(1,y)=0 u(x,0)= x(1-x)=0

(2. 255)

u(x, ∞ )=0 E usando uma função u da forma

u(x,y)=A(y)x(1-x)

(2. 256)

No intervalo 0 ≤ y ≤ ∞ . Para que estas condições de contorno sejam satisfeitas, devemos ter:

u(0,y)=A(y).0.(0-1)=0

(2. 257)

u(1,y)=A(y).1.(1-1)=0

(2. 258)

u(x,0)=A(y).x.(1-x)=x(1-x)

(2. 259)

E

E ainda

Isto significa que quando y tende para a zero para um x qualquer, devemos ter:

lim A( y ) = 1

(2. 260)

u(x,∞)=A(∞).x.(1-x)=0

(2. 261)

y →0

e

O que também significa que quando y tende para o infinito para um x qualquer, devemos ter

lim A( y ) = 0

y →∞

(2. 262)

Portanto a função A(y) que satisfaz as condições de contorno é do tipo:

A( y ) = e −αy

(2. 263)

Sendo uma A(y) uma função desta forma temos que:

u ( x, y ) = e −αy x(1 − x) Cujas derivadas são: 79

(2. 264)

∂u ∂ 2u −αy = e (1 − 2 x) = −2e −αy 2 ∂x ∂x

(2. 265)

∂u ∂ 2u = −αe −αy x(1 − x) = α 2 e −αy x(1 − x) 2 ∂y ∂y

(2. 266)

E

O erro de aproximação é dado por:

εΩ

∂ 2u ∂ 2u = 2 + 2 ≠0 ∂x ∂y

(2. 267)

Logo

ε Ω = −2e −αy + α 2 e −αy x(1 − x) ≠ 0

(2. 268)

A sentença de resíduos ponderados é dada por B

ε Ω wdΩ = 0

(2. 269)

A

Substituindo (2. 268) em (2. 269) para o ponto de colocação x =1/2 temos: ∞ 1 0

[−2e −αy + α 2 e −αy x(1 − x)]δ ( x − 1 / 2)dxdy = 0

(2. 270)

0

Ou ∞

e

−αy

0

1

[−2 + α 2 x(1 − x)]δ ( x − 1 / 2)dxdy = 0

0

Logo ∞

e −αy dy[−2 + α 2 x(1 − x)] x=1/ 2 = 0

0

∞

Dividindo tudo por

e −αy dy temos:

0

80

(2. 271)

1 1 − 2 + α 2 (1 − ) = 0 2 2 1 1 2 2

α2 ( )= 2 α2

(2. 272)

1 =2 4

α =± 8 Portanto a solução aproximada é:

u = e−

8y

x(1 − x)

81

(2. 273)

2.11.5 - Resolver a equação diferencial d du (1 + u ) =0 dx dx

(2. 274)

desde x = 0 até x = 1, com condições de contorno u(0) = 0 e u(1) = 1, usando

u = a0 + a1 x + a2 x 2

(2. 275)

como função tentativa e o método da colocação por subdomínio com um único subdomínio x de [0 ; 1].

Solução: Reescrevendo a equação acima temos:

d du du (1. + u =0 dx dx dx

(2. 276)

Aplicando as regras de derivação da soma e do produto temos,

d du d du ( ) + (u ) = 0 dx dx dx dx

(2. 277)

Após aplicarmos as regras de derivação temos

d 2u du 2 d 2u +( ) +u 2 =0 dx dx 2 dx

(2. 278)

Reescrevendo a equação (2. 278) o erro de aproximação é dado por:

εΩ

d 2u du = 2 (1 + u ) + ( ) 2 dx dx

(2. 279)

Efetuando as derivadas em u em termos da solução aproximada dada em (2. 275) temos:

d 2u = 2a2 dx 2

(2. 280)

82

du = a1 + 2a2 .x dx

(2. 281)

du 2 ) = (a1 + 2a 2 .x) 2 = a12 + 2a1 2a2 x + (2a 2 ) 2 dx

(2. 282)

e

(

aplicando as condições de contorno para u temos:

u (0) = a0 + a1.0 + a 2 .0 2 = 0 u (1) = a0 + a1.1 + a2 .12 = 1

a0 = 0 a1 + a2 = 1

Levando os valores de a0 = 0 com a2 = − a1 em

εΩ assim

a2 = 1 − a1

(2. 283)

ε Ω temos que

d 2u du = 2 (1 + u ) + ( ) 2 dx dx

(2. 284)

ε Ω fica da seguinte forma ε Ω = 2a2 (1 + a0 + a1 x + a2 x 2 ) + (a1 + 2a2 x) 2

(2. 285)

reescrevendo a equação (2. 285) temos,

ε Ω = 2a2 + 2a2 a0 + 2a2 a1 x + 2a2 a2 x 2 + a12 + 4a1a2 .x + (a1 + 2a2 x) 2

(2. 286)

Reordenando os termos da equação (2. 286) temos,

ε Ω = 2a2 + 2a2 a0 + 2a2 a1 x + 2a22 x 2 + a12 + 4a1a2 x + 4a22 x 2

(2. 287)

Agora, na equação anterior substituindo os valores de a0 =0 e de a2 =1 − a1 temos os seguinte resultado.

ε Ω = 2(1 − a1 ) + 2(1 − a1 ).0 + 2(1 − a1 )a1 x + 2(1 − a1 ) 2 x 2 + a12 + 4a1 (1 − a1 ) x + 4(1 − a1 ) 2 x 2 Reescrevendo a equação (2. 288) temos:

83

(2. 288)

ε Ω = 2 − 2a1 + 2a1 x − 2a12 x + 2(1 − 2a1 + a12 ) x 2 + a12 + 4a1 x − 4a12 x + 4(1 − 2a1 + a12 ) 2 x 2

(2. 289)

Agora aplicando 1

ε Ω wdΩ = 0

(2. 290)

0

Pelo método da colocação por subdomínio, temos que 1

ω =1. Assim (2. 290) fica.

ε Ω dΩ = 0

(2. 291)

0

Substituindo

ε Ω na equação acima ficamos com:

1

a1[2 − 2a1 + 2a1 x − 2a12 x + 2(1 − 2a1 + a12 ) x 2 +

0

a12 + 4a1 x − 4a12 x + 4(1 − 2a1 + a12 ) 2 x 2

dx = 0

(2. 292)

Efetuando os cálculos da integral temos o seguinte resultado,

2 3 4 2 x − a1 x 3 + a12 x 3 + 3 3 3 4 8 4 a12 x + 2a1 x 2 − 2a12 x 2 + a1 x 3 − a1 x 3 + a12 x 3 ] xx ==10 = 0 3 3 3

[2 x − 2a1 x + a1 x 2 − a12 x 2 +

(2. 293)

Agora substituindo os extremos superiores e inferiores da integral, temos:

2 4 2 [2 − 2a11 + a1 .12 − a12 .12 + .13 − .a1 .13 + .a12 .13 + a12 .1 + 2.a1 .12 − 3 3 3 4 8 4 2.a12 .12 + .a1 .13 − .a1 .13 + .a12 .13 ] − [0] = 0 3 3 3

(2. 294)

Agora reordenado a equação (2. 294) temos:

0.a12 − 3.a1 + 4 = 0

(2. 295)

Resolvendo esta equação temos o seguinte resultado:

a1 =

4 3

(2. 296)

84

Encontrado a1 =

4 levamos este valor na equação (2. 283) para encontrar a2 , que tem o 3

seguinte resultado:

a2 = 1 −

4 3

a2 = −

1 3

(2. 297)

Agora levando este valor na equação de (2. 275) temos o seguinte resultado:

u ( x) = 0 +

4 1 x − x2 3 3

85

(2. 298)

2.11.6 – Resolver a equação diferencial A equação do deslocamento vertical de um cabo suspenso entre dois pontos é d 2u + p( x) = 0 dx 2

onde p(x) a razão entre a carga distribuída e a força nos extremos. Use a

formulação fraca e aproximação homogênea da solução de contorno para calcular a inclinação nos extremos para um cabo que se estende desde x = 0 até x = 1 com condições de contorno u(0) = 0 e u(1) = 0. A função p(x) é dada por.

1 4 1 3 p (x) = 1 , ≤ x < 4 4 3 0 , ≤ x x:=xa*phi_a+xb*phi_b; > y:=ya*phi_a+yb*phi_b; > phi_a:=(1-eta)/2;

> phi_b:=(1+eta)/2;

> x:=xa*phi_a+xb*phi_b;

> y:=ya*phi_a+yb*phi_b;

> x:=(xa+xb)/2 + (xb-xa)*eta/2;

> y:=(ya+yb)/2+(yb-ya)*eta/2;

408

> xo:=(xa+xb)/2;

> yo:=(ya+yb)/2;

> lx:=(xb-xa); > ly:=(yb-ya); > restart: > x:=xo+lx*eta/2;

> y:=yo+ly*eta/2;

> r(eta):=sqrt((x-xo)^2+(y-yo)^2);

> r(eta):=abs(l*eta/2);

> drdn(eta):=(nx*x+ny*y)/r(eta);

> drdn(eta):=dinj/r(eta);

> d_Gamad_eta:=l/2; 409

> z(eta):=-1*drdn(eta)*d_Gamad_eta/(2*Pi*r(eta)); >

> H:=int(z(eta),eta=-1..+1);

> G:=-1/(2*Pi)*int(ln(r(eta)*d_Gamad_eta),eta=-1..+1);

> evalf(G);

410

A.1.2 – Cálculo das Matrizes Não-Singulares Hij e Gij usando o Maple – 9.0 > restart: > > x:=xa*phi_a+xb*phi_b; > y:=ya*phi_a+yb*phi_b; > phi_a:=(1-eta)/2;

> phi_b:=(1+eta)/2;

> > x:=xa*(1-eta)/2+xb*(1+eta)/2;

> > y:=ya*(1-eta)/2+yb*(1+eta)/2;

> x:=(xa+xb)/2 + (xb-xa)*eta/2;

> y:=(ya+yb)/2+(yb-ya)*eta/2;

> lx:=(xb-xa); > ly:=(yb-ya); > l:=sqrt(lx^2+ly^2);

> restart; > x:=xj+lx*eta/2;

411

> y:=yj+ly*eta/2;

> d_Gamad_eta:=l/2;

> > r(eta):=((x-xo)^2+(y-yo)^2)^(1/2);

> r(eta):=((ax+rx*eta)^2+(ay+ry*eta)^2)^(1/2);

> > > > r(eta):=(A+B*eta+C*(eta^2))^(1/2);

> > simplify(r(eta),symbolic);

> dinj:=(nx*x+ny*y);

> drdn(eta):=dinj/r(eta);

> z(eta):=-1*drdn(eta)*d_Gamad_eta/(2*Pi*r(eta)); > 412

> H:=int(z(eta),eta=-1..+1);

> G:=-1/(2*Pi)*int(d_Gamad_eta*ln(r(eta)),eta=-1..+1); >

413

>

414

A. 2 – Listagem fonte do programa POCONBE Original ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 9+6,+ 96 6/# 9+6,+

38 7 9+6,+ 76A5 7 3K6 0 /7 6/ A ) 96*3 /3 D7 /, ) 6/*73 /3 ) #*6D/0 +& ) *A /37

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434

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435

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M

A. 5 – Informativo das Variáveis do programa BINN Original I – Variáveis

1NFB (I1) :

φ : contorno finito 1 : contorno infinito

ITECH (I1) = 1 : variável utilizada na plasticidade: método de resolução NE (I3) : numero de elementos NC (I5) : numero de células = φ NN (I5) : número de nós do contorno NP (I5) : número de pontos internos

IPL (I5) :

= 1 : estado plano de tensão = 2 : estado plano de deformação

φ : sem simetria IDSYM (I5) : simetria

1 : simetria em x 2 : simetria em y 3 : dupla simetria

IPROB (I5) :

1 : análise elástica 2 : análise elastoplástica

II – Variáveis

IYIED (I5) : critério de escoamento (plasticidade) E (F1φ.φ) : módulo de elasticidade longitudinal ET (F1φ.φ) : plasticidade SY (F1φ.φ) : tensão de escoamento PO (F1φ.φ) : coeficiente de Poisson CC (F1φ.φ) : coesão PHI (F1φ.φ) : ângulo de atrito interno III – Variáveis

NI = NN + N

436

(I5)

(F1φ .φ , F1φ .φ )

K,

X(K), Y(K)

n .do nó/ponto interno

I(5) IDUP(K), nó duplo

ISYM(K)

IDUP ≠ φ

indica se o nó/ponto

∈ ou ∉ ao eixo de simetria IV – Incidência dos elementos

K, nó

INC (K,1) nó inicial

INC(K,2) nó final

V–

NFIP, NDFIP, NMITR, PER, TOL NFP (I5) : n. de nós com deslocamentos prescritos NDFIP (I5) : n. de nós com forças de superfícies prescritas

NMITR (I5) PER (F1φ .φ ) parâmetros para análise elastoplástica TOL (F1φ .φ ) VI –

NFIP vezes

K, P(2K - 1), P(2K), FP(2k - 1), FP(2K) nó (x)

FIP =

φ : u livre 1 : u prescrito

(y)

OBS: Admite-se, inicialmente, todo os nós com condições de contorno naturais; deslocamentos prescritos são identificados com FP ≠ 0. VII –

NFIP vezes K, P(2K-1), P(2K)

437

VIII –

Pontos de Integração de elementos (NNPI(1), NNPI(2), NNPI(3)) e de células (NNPC(1), NNPC(2), NNPC(3))

438

A. 6 – Formato do Arquivo de Entrada de Dados do Programa BINN ??? 3 3DA6 06 ==

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A. 7 – Listagem fonte do programa BINN Original G G G G9+6,+ :6+ 76AD3 6/ 6:3K6 0 /7 6/ A G G G G/6/'A / + 3 + A 9+6#A 7 #& 38 G G G G#6D/0 +& A /3 3860 G G G G G G0 : + 3 AA 7 9A 3 + A?" ) '8 6'4* 6 6/2 A 92+ K+ 6 6/2 6/73 2 // /9 /3 // /3 / / /:# 9A 07& 3 6 6/2 6/73 2 ! " . ? ! " 6 6/2 6/73 2 3 7& 96 8A , 7/98 6 6/2 6/73 2 36A : 9 + =A # 6 6/2 6/73"2 / 3+ & 0 6 6/2 , D772 ) * K) * 0) * 6 6/2 96/3672 //9 ) * //9 ) * 0 /7 6/ =) F * &) F * 7& ) * 0D9) * 0 /7 6/ / ) * ) * ) * +) * 0 /7 6/ :9) * D) * 9) * 7) * 7+) * 07+) * 0 /7 6/ = ) * =/) * 9 ) * 0 9 ) * 7 L) * 07 ) 0 /7 6/ 7+ ) * 07+ ) * 7 L) * 0 /7 6/ 0 ) * 0#) * 0 /7 6/ #9) * + 7 0D) * :A ) * 69 /) :A EM@- bG M*

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