Metodologia Generalizada De Projeto De Filtros De Saída De Segunda Ordem Para Inversores De Tensão Com Modulação PWM Digital

METODOLOGIA GENERALIZADA DE PROJETO DE FILTROS DE SAÍDA DE SEGUNDA ORDEM PARA INVERSORES DE TENSÃO COM MODULAÇÃO PWM DIGITAL LEANDRO MICHELS, ROBINSON F. DE CAMARGO, FERNANDO BOTTERÓN E HUMBERTO PINHEIRO Grupo de Eletrônica de Potência e Controle - Universidade Federal de Santa Maria CEP 97105-900, Santa Maria, RS, Brasil, +55 55 220 8463 e-mail: [email protected], [email protected] http://www.ufsm.br/gepoc Resumo – Este artigo apresenta uma metodologia sistematizada e generalizada de projeto de filtros de saída de segunda ordem para inversores que sintetizam tensões senoidais através de modulação por largura de pulso (PWM) digital. Esta metodologia se destina a determinar a maior freqüência natural do filtro que assegure a especificação de taxa de distorção harmônica total (THD) máxima admissível nas tensões de saída do inversor PWM. A metodologia proposta é discutida em detalhes, incluindo a descrição das etapas de projeto para as topologia e estratégias de modulação que atendam as hipóteses assumidas e os passos necessários para obtenção da curva de projeto normalizada. Para ilustrar o uso da metodologia proposta, é detalhado o projeto de um filtro trifásico com saída a três fios. Finalizando, alguns exemplos experimentais de projeto empregando um protótipo de 15kVA são apresentados, cujos resultados demonstram a validade da metodologia de projeto proposta. Palavras-chave – inversores de tensão, modulação PWM digital, procedimento de projeto de filtros. Abstract – This paper presents a systematized and generalized methodology to obtain design procedures of second-order output filter for voltage-source inverters that synthesize sinusoidal waveforms through digital pulse-width modulation (PWM), whose objective is the determination of the largest corner frequency that attends the specification of the maximum acceptable total harmonic distortion (THD) in the output voltages. The proposed methodology is discussed in detail, including the description of the design steps for the topologies and modulation strategies that attends the assumed hypothesis and the procedure to obtain the normalized design curve. To illustrate the use of the proposed methodology, are detailed the design of three-phase three-wire filter. Finally, some experimental design examples using a 15kVA setup are given, whose results demonstrate the validity of the proposed design methodology. Keywords – voltage-source inverters, digital PWM modulation, filter design procedure.

1 Introdução Os inversores estáticos de tensão modulados em alta freqüência, com destaque para aqueles com modulação por largura de pulso, têm sido largamente utilizados para sintetizar tensões senoidais para as mais variadas aplicações, tais como em fontes ininterruptas de energia (UPS), geradores de tensões CA de potência (AC power sources) e compensadores de reativos. Pelo fato de apresentarem uma elevada THD nas saídas, devido as componentes harmônicas de alta freqüência introduzidas pela modulação, são adicionados filtros LC passa-baixas entre os inversores e as cargas, sendo os mesmos projetados para atender às especificações de projeto da máxima admissível THD nas tensões de saída. O procedimento de projeto de filtros LC de saída para inversores de tensão é constituído de duas etapas distintas. A primeira é a determinação da máxima freqüência natural do filtro que atenda às especificações da THD máxima admissível na saída para todas as condições de carga. A segunda etapa é a determinação da relação entre as capacitâncias e as indutâncias do filtro. Esta relação é definida para atender a especificações particulares de cada projeto, sendo sua determinação fortemente associada à aplicação em questão. Por isso, várias metodologias para definir esta relação foram criadas, tais como a que minimiza a energia reativa nos elementos do filtro (Dewan e Ziogas, 1979), a que garante uma impedância de saída menor que um determinado valor para uma faixa de freqüências (Kusko, 1990), ou

aquela que resulta na menor impedância de saída que não ultrapassa um limite máximo de pico de corrente nos interruptores (Botterón et al., 2001). Diversas metodologias para determinação da freqüência natural de filtros LC de saída para inversores foram apresentadas na literatura (Dewan e Ziogas, 1979; Ryo et al., 2002). Contudo, são poucas as metodologias focadas para as técnicas de geração digital dos sinais de modulação, tais como o PWM regularmente amostrados e a modulação space vector (SV). Para esta última estratégia de modulação, foi proposto um procedimento de projeto aplicável à algumas topologias de inversores específicas (Botterón et al. 2001; Michels et al., 2003). Entretanto, não existe um procedimento sistematizado e generalizado para determinação da freqüência natural de filtros LC de saída aplicáveis a vários tipos de inversores PWM com modulação gerada digitalmente. Este artigo apresenta uma metodologia sistematizada e generalizada de projeto de filtros de saída de segunda ordem para inversores que sintetizam tensões senoidais através de PWM digital. O objetivo da metodologia é a determinação da maior freqüência natural do filtro que assegure a especificação de THD máxima nas tensões de saída, sem entrar no mérito sobre a relação entre L e C. A metodologia proposta é discutida em detalhes, sendo descritas as etapas necessárias para derivação do procedimento de projeto para as topologia e estratégias de modulação que atendam as hipóteses dadas. São apresentados detalhes sobre a aplicação da metodologia proposta para algumas topologias de filtros monofásicos e trifásicos

com saída a três fios e a quatro fios. Um exemplo de projeto de filtro empregando a metodologia proposta é também apresentado, sendo o mesmo experimentalmente testado em um protótipo de 15kVA. 2 Metodologia de Projeto Nesta seção é apresentado a metodologia sistematizada para a determinação da máxima freqüência natural do filtro LC que atenda as especificações de THD nas tensões de saída para todas as condições de carga. A metodologia de projeto origina-se na equação da THDv da tensão de saída, dada por: ∞ 1 THDv = Vo (n)2 (1) ∑ Vo (1) h = 2 onde Vo é a tensão de saída para a qual se está especificando a THDv. A partir da generalização da análise mostrada em Michels et al. (2003), obtém-se a seguinte equação de projeto dos filtros: THDv f n ( p ) = f1 ms (2) DF2 ( p, m) onde p é o índice associado a uma das tensões de saída do filtro, fn e f1, são a freqüência natural do filtro a ser determinada e a freqüência da senóide a ser sintetizada, respectivamente, THDv é a taxa de distorção máxima especificada para as tensões de saída, ms=fs/f1 é a freqüência de amostragem normalizada (onde fs é a a freqüência de atualização do circuito gerador dos comandos dos interruptores) e DF2(p,m) é a taxa de distorção normalizada em função dos diferentes índices de modulação m. Este último fator é uma função não-linear do espectro dos sinais gerados pelo inversor para cada índice de modulação. Para evitar a necessidade de cálculo deste fator em cada projeto, este fator é traçado em um gráfico. 2.1. Hipóteses assumidas Com relação aos sinais de referência e de modulação, assume-se que: 1. Os sinais de referência são senoidais. No caso de inversores polifásicos, todas as referências devem possuir a mesma freqüência. Além disso, é necessário assegurar que é possível a síntese destes sinais no espaço das tensões de saída do inversor. 2. A partir dos sinais de referência são calculados os sinais de modulação, que são os sinais que efetivamente são empregados para a geração dos comandos dos interruptores. Os sinais de modulação devem ser calculados de tal forma a se garantir a geração das formas de onda desejadas na saída do filtro. Por exemplo, se os inversores forem projetados para operarem de forma equilibrada, tais como os inversores trifásicos a três fios, considera-se que os sinais de modulação são tais que se permite obter formas de onda com mesma freqüência e amplitude na saídas defasadas entre si em 120º. Em alguns casos, isso pode exigir que estes sinais possuam amplitudes diferentes, tal como ocorre no inversor trifásico a três fios com um braço capacitivo (Michels et al., 2003). 3. Os sinais de modulação são sintetizados pelo in-

versor através de uma técnica de modulação por largura de pulso. Os tempos de condução dos interruptores são calculados a partir de amostras regularmente espaçadas no tempo dos sinais de modulação, sendo o intervalo entre amostras um múltiplo inteiro do período dos sinais de referência. Com relação à estratégia de modulação e operação do inversor, assume-se que: 4. Os sinais de modulação são sintetizados pelo inversor, utilizando uma regra previamente definida para as comutações dos interruptores em cada região do espaço das tensões de saída do inversor (o que caracteriza a modulação space vector). Observa-se que cada interruptor pode comutar várias vezes em um intervalo de amostragem, desde que isso esteja definido nas regras de comutação. 5. Os interruptores do inversor são considerados ideais, sendo desconsideradas as quedas de tensão, a resistência de condução e os atrasos de comutação. 6. A tensão que alimenta o filtro de saída do inversor é determinada exclusivamente pelo estado de comando dos interruptores e pela tensão no barramento CC (ou derivações do mesmo) do inversor. Essa condição é obtida se, em qualquer instante de tempo, os diodos em anti-paralelo aos interruptores não entram em condução. Com relação ao espectro do sinal modulado resultante, assume-se que: 7. O espectro harmônico das tensões geradas pelo inversor que alimenta o filtro de saída em um ciclo do sinal de referência é formado somente pela componente harmônica fundamental e por componentes harmônicas de alta freqüência. Assume-se que a componente harmônica fundamental está localizada abaixo da freqüência natural do filtro enquanto as componentes harmônicas de alta freqüência estão localizadas acima desta freqüência. 8. É assumida a existência de um distanciamento espectral entre a componente fundamental e a freqüência natural do filtro suficiente para garantir que variações da resistência de carga não alterarão significativamente o valor das componentes harmônicas. A mesma hipótese é assumida em relação às componentes harmônicas de alta freqüência. 9. As componentes harmônicas de alta freqüência com amplitude significativa estão todas localizadas em bandas laterais a múltiplos ou sub-múltiplos de ms, como ilustrado na Fig.1. Além disso, deve ser válida a seguinte aproximação para os primeiros grupos de harmônicas:

Uab Vdc

1

2b1

2b2

2b3

2b4

ms a1=1

2ms a2=2

3ms a3=3

4ms a4=4

f f1

Fig. 1. Figura ilustrativa do espectro gerado por uma estratégia de modulação PWM, onde as regiões marcadas são as bandas laterais a múltiplos e sub-múltiplos de ms.

a1ms − b1 ≈ a1ms ≈ a1ms + b1 a2 ms − b2 ≈ a2 ms ≈ a2 ms + b2

(3)

Com relação à topologia do filtro de saída empregado, assume-se que: 10. As saídas do filtro são simétricas entre si ou em relação a um ponto comum (ex.: neutro em sistemas trifásicos a quatro fios); 11. Todos os indutores de um dado filtro possuem indutância idêntica e resistências internas desprezíveis. Similarmente, todos os capacitores também possuem capacitâncias idênticas e resistências internas desprezíveis; 12. O filtro de saída deve ser representável na forma de matriz de funções de transferência, considerando como entradas as tensões geradas pelos braços do inversor e como saídas às tensões que alimentam a carga. Essa matriz deverá possuir a forma V(s)=G(s)U(s) mostrada abaixo, G2 ( s ) ⎞ ⎛ U1 ( s ) ⎞ ⎛ V1 ( s ) ⎞ ⎛ G1 ( s ) G2 ( s ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ G2 ( s ) ⎟ ⎜ U 2 ( s ) ⎟ ⎜ V2 ( s ) ⎟ = ⎜ G2 ( s ) G1 ( s ) (4) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ V ( s ) ⎟⎟ ⎜⎜ G ( s ) G ( s ) G1 ( s ) ⎟⎠ ⎜⎝ U v ( s ) ⎟⎠ 2 ⎝ v ⎠ ⎝ 2 onde V1(s), ... Vv(s) são as tensões de saída cujas THD são especificadas, U1(s), ... Uv(s) são as fontes de tensão equivalentes às tensões geradas pelos braços do inversor, G1(s) são as funções de transferência entre as entradas e as saídas diretas e G2(s) são as funções de transferência entre as entradas e as saídas cruzadas. 13. As funções de transferência G1(s) possuem um comportamento passa-baixas, com atenuação de 40dB/década nas altas freqüências; 14. As funções de transferência G2(s) ou são nulas ou possuem um comportamento passa-banda, com atenuação de 40dB/década nas altas freqüências e com significativa atenuação da componente fundamental em relação à G1(s). 2.2. Procedimento de projeto A metodologia generalizada de projeto de filtros é dada pelos seguintes passos: 2.2.1. Determinação do modelo matemático do filtro O primeiro passo é a obtenção do modelo nominal do filtro na forma de matriz de funções de transferência, como mostrado em (4). Este modelo é obtido considerando as tensões geradas pelos braços do inversor como fontes ideais de tensão. Estas fontes são consideradas entre os terminais de saída do inversor, como por exemplo entre fase-fase e fase-neutro em inversores trifásicos com saída a três fios e a quatro fios, respectivamente. 2.2.2. Aproximação assintótica A partir da matriz de funções de transferência dada em (4), faz-se a aproximação assintótica de G1(s) e G2(s) para as regiões do espectro onde existem componentes harmônicas com magnitudes significativas. Obtém-se, desta forma, as funções de tranferência equivalentes G1*(s) e G2*(s), que consistem em uma aproximação do ganho do filtro para a componente fundamental e

uma aproximação assintótica, de segunda ordem, para o ganho das freqüências acima da freqüência natural do filtro. Por exemplo, para a G1(s) dada por

(

)

ωn 2 s 2 + 2ζωn s + ωn 2 3 3 G1 ( s) = 4 s 2 + 2ζωn s + ωn 2 s 2 + 2ζωn s + ωn 2 4

(

)(

)

é feita a seguinte aproximação: , f = f1 ⎧ 1 ⎪ * 2 G1 ( s ) = ⎨ 3 ⎛ f n ⎞ fn ⎪ ⎜ ⎟ , f ⎩4 ⎝ f ⎠

(5)

(6)

Após essa etapa, é necessário se descrever |G1*(h)||Uq(h)|, substituindo-se s por h.ω1 em |G1*(s)|. Por exemplo, (6) fica sendo descrita por G p,q* (h) U q (h)

⎧ U q ( h) , h =1 ⎪⎪ = ⎨ ⎛ f ⎞2 3 1 ⎪ ⎜ n ⎟ 2 U q ( h) , h ⎪⎩ 4 ⎝ f1 ⎠ h

fn h∈ f1

+

(7)

onde q é o índice associado a uma das tensões de entrada do filtro. A aproximação utilizada em G2(s) é semelhante à apresentada para G1(s), com diferença de que para a componente fundamental de G2*(n) o ganho é nulo. É importante mencionar que para essa aproximação ser aceitável, é necessário que |G2*(1)|5%, por exemplo) em relação à aproximação assintótica. Assim, garantindo-se que o espectro dos sinais gerados pelo inversor não possua componentes harmônicas dentro dessa faixa de freqüências, se garante que o procedimento de projeto é confiável e independente da resistência de carga. 2.2.4. Definição de m O passo seguinte é a definição do índice de modulação m do inversor empregado. Este é definido de tal forma a garantir que se obterá o valor máximo possível da tensão nas saídas Vx(s), x=1, 2, ..., v, sem sobremodulação, para m=1. Por exemplo, para o inversor trifásico com saída a quatro fios cujas saídas são dadas como sendo a tensão entre a fase e o neutro, define-se m como sendo 3 U x (1) E , pois a máxima tensão de saída de fase possível de ser gerada por esse inversor é E / 3 . É interessante mencionar que o mesmo vale também para os inversores polifásicos onde os sinais modulantes precisam ter magnitudes

⎛ v ⎞ DF2 ( p, m ) = ⎜⎜ ∑ sinal ( G p , q (1) ) W (q ) ⎟⎟ U p (1) ⎝ q =1 ⎠ onde 1

1 2

(8)

2 ⎧ a1ms + b1 ⎡ * G1 (k ) U q (k ) ⎤ 2 ⎪ ⎥ ⎪ ∑ ⎢⎢ ⎥ a12 ⎪ k = a m − b1 ⎣⎢ ⎦⎥ 1 s ⎪ 2 ⎪ b 2 ⎪ a2 ms + 2 ⎡ G1* ( k ) U q (k ) ⎤ 2 ⎪ ⎢ ⎥ + …, q= p ⎪ + ∑ ⎢ ⎥ a2 2 b ⎪ ⎥ k = a2 ms − 2 ⎢ ⎣ ⎦ 2 ⎪ W (q ) = ⎨ (9) 2 ⎪ a1ms + b1 ⎡ * ⎤ G2 (k ) U q (k ) 2 ⎪ ⎥ ⎪ ∑ ⎢⎢ ⎥ a12 ⎪ k = a m − b1 ⎣⎢ ⎦⎥ ⎪ 1 s 2 ⎪ b 2 ⎪ a2 ms + 2 ⎡ G2* ( k ) U q (k ) ⎤ 2 ⎪ ⎥ +… , q≠ p ∑ ⎢⎢ ⎪ + ⎥ a22 b2 ⎪ ⎢ k = a2 ms − ⎣ ⎦⎥ ⎪⎩ 2

e sinal(Gpq(1)) é o sinal do ganho de G1(1) e G2(s) na matriz de funções de transferência do filtro. Para DF2(p,m) ser real, o resultado do somatório apresentado em (18) deve ser positivo. Os índices a1, a2,... e b1, b2,... são obtidos a partir dos espectros obtidos no passo anterior, sendo que cada um destes índices pode ser distinto para as diferentes entradas Uq(s), desde que estes respeitem as hipóteses apresentadas. Obtém-se, então, diversos índices normalizado DF2(p,m) para diversos valores de m empregando-se (8). Posteriormente, traça-se os índices obtidos num gráfico, obtendo-se a curva de DF2(p,m). É interessante ressaltar que caso as tensões de entrada

E

_

~ ~

L uab

C

R

vab

Fig. 2. Inversor monofásico com filtro LC de segunda ordem

apresentem espectro idêntico, o índice DF2(p,m) será o mesmo para qualquer p. 3 Aplicação da Metodologia Proposta para as Principais Topologias de Filtros Nesta seção será apresentado a aplicação da metodologia proposta para as topologias de filtros de saída mais usuais. Para ser uma aplicação mais genérica, não serão definidas topologias para os inversores, sendo somente apresentados os passos relativos as seções 2.2.1 a 2.2.3. 3.1. Inversores monofásicos Os inversores monofásicos com filtro LC possuem a estrutura mostrada na Fig. 2. Estes inversores possuem o seguinte modelo Vab ( s ) = G1 ( s )U ab ( s ) (10) G1 ( s ) =

ωn 2 s 2 + 2ζωn + ωn 2

,

(11)

1

1 L ωn = , ζ= 2R C LC que pode ser aproximado por ⎧ 1 , h =1 ⎪ G1* (h) = ⎨⎛ f n ⎞ 2 1 fn ⎪⎜ ⎟ 2 , h f1 ⎩⎝ f1 ⎠ h

(12)

A análise da aproximação assintótica diante de variações na resistência de carga, para este filtro, é mostrada na Fig. 3. Verifica-se que os erros que ocorrem devido à variações de carga são suficientemente pequenos para ω5ωn. Logo, não devem existir componente harmônica no sinal de uab dentro desta faixa de freqüências para que a aproximação seja válida. 3.2. Inversores trifásicos a três fios 3.2.1. Com os capacitores ligados em Y Os inversores trifásicos a três fios com filtro LC com capacitores ligados em Y possuem a estrutura mostrada na Fig. 4(a). Estes filtros possuem o seguinte modelo 0 0 ⎞ ⎛ U ab ( s ) ⎞ ⎛ Vab ( s ) ⎞ ⎛ G1 ( s ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ G1 ( s ) 0 ⎟ ⎜ U bc ( s ) ⎟ (13) ⎜ Vbc ( s ) ⎟ = ⎜ 0 ⎜ V (s) ⎟ ⎜ 0 0 G1 ( s ) ⎟⎠ ⎜⎝ U ca ( s ) ⎟⎠ ⎝ ca ⎠ ⎝ 30 Magnitude (dB)

diferentes entre si para gerar tensões com mesma amplitude na saída. 2.2.5. Verificação da adequação da estratégia de modulação às hipóteses assumidas Dada a estratégia de modulação PWM digital adotada, o próximo passo é verificar se a mesma atende às hipóteses 7, 8 e 9. Isso pode ser realizado através da geração matemática do padrão das tensões que foram modeladas como as tensões de entradas do filtro U1, U2, ..., Uv de forma idênticas àquelas obtidas no inversor para a estratégia de modulação adotada. Estes padrões devem ser gerados para um ciclo completo dos sinais de referência tomando-se diversos valores de m, onde deve-se tomar uma freqüência de amostragem normalizada ms suficientemente alta para assegurar erros pequenos nas aproximações assumidas. Após isso, se aplica uma transformada de Fourier nestas formas de onda e se verifica se as hipóteses 7, 8 e 9 são atendidas. Se estas hipóteses não forem atendidas, o procedimento apresentado não é válido para esta estratégia de modulação. 2.2.6. Traçado da curva de DF2(p,m) A determinação do índice normalizado DF2(p,m) é feita através da seguinte equação

ζ=0 ζ=1 assíntota

0

30

0.1

1 Freqüência (rad/s)

10

Fig. 3. Resposta em freqüência normalizada de G(s) para ζ=0, ζ=1 e para a sua aproximação por assíntotas

G1 ( s ) =

~ ~2

_ωn

L uab ubc

s 2 + 2ζωn + ωn

R vab

L

,L ωn = 2 C

C

1v C

bc

LC

R

, Rζ =

30

1 L 2R C

(a) E

_

~ ~

L

R

uab

L

C

ubc

L

C

C

vab

R

vbc

R

Magnitude (dB)

E

(14) O modelo destes inversores, para cada par entradasaída, é idêntico aos inversores monofásicos mostrado na Seção 3.1, apresentando, portanto, análises similares. 3.2.2. Com os capacitores ligados em ∆ Os inversores trifásicos a três fios com filtro LC com os capacitores ligados em ∆ possuem a estrutura mostrada na Fig. 4(b). Estes inversores são descritos por (13) e (14), onde, neste caso, 1 1 L (15) ωn = , ζ= C 3LC 2 3R As outras análises são todas similares ao caso anterior. 3.3. Inversores trifásicos a quatro fios 3.3.1. Sem indutor entre o neutro da carga e o neutro do inversor Os inversores trifásicos a quatro fios com filtro LC sem indutor entre o neutro da carga e do inversor possuem a estrutura mostrada na Fig. 5(a). Estes inversores possuem o modelo dado por 0 0 ⎞ ⎛ U an ( s ) ⎞ ⎛ Van ( s ) ⎞ ⎛ G1 ( s ) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ U bn ( s ) ⎟ (16) G1 ( s ) ⎜ Vbn ( s ) ⎟ = ⎜ 0 ⎜ V (s) ⎟ ⎜ 0 G1 ( s ) ⎟⎠ ⎜⎝ U cn ( s ) ⎟⎠ 0 ⎝ cn ⎠ ⎝ onde G1(s) é dada por (11). Similarmente, estes inversores possuem aproximação assintótica e análise de variação da resistência similares aos inversores monofásicos. Entretanto, neste caso, são empregadas tensões de fase para as tensões de entrada e saída do filtro, ao invés de tensões de linha, como mostrado para aquele caso. 3.3.2. Com indutor entre o neutro da carga e o neutro do inversor E

_

L

R

L

ubn

van

R

vbn R

L C

ucn

C

C

vcn

(a) E

_

~ ~

L uan

R

L

ubn

van

R

vbn R

L C

ucn

1 Freqüência (rad/s)

C

C

vcn

L

(b) Fig. 5. Inversor trifásico de quatro fios com filtro LC (a) sem indutor entre o neutro da carga e o do inversor (b) com indutor entre o neutro da carga e o do inversor

Magnitude (dB)

10

(a)

30

Fig. 4. Inversor trifásico com saída a três fios com filtro LC. (a) com capacitores em Y (b) com capacitores em ∆

uan

0

30 0.1

(b)

~ ~

ζ=0 ζ=1 assíntota

ζ=0 ζ=1 assíntota

0

30 60 0.01

0.1

Freqüência (rad/s)

1

10

(b) Fig. 6. Comparações entre a aproximação por assíntotas e a respostas em freqüência para o filtro dado na Fig.5(b). (a) G1(s) (b) G2(s).

Os inversores trifásicos a quatro fios com filtro LC com indutor entre o neutro da carga e do inversor possuem a estrutura mostrada na Fig. 5(b). Estes inversores possuem o modelo dado por ⎛ Van ( s ) ⎞ ⎛ G1 ( s ) G2 ( s ) G2 ( s ) ⎞ ⎛ U an ( s ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ Vbn ( s ) ⎟ = ⎜ G2 ( s ) G1 ( s ) G2 ( s ) ⎟ ⎜ U bn ( s ) ⎟ (17) ⎜ V ( s) ⎟ ⎜ G ( s) G (s) G ( s) ⎟ ⎜ U ( s) ⎟ 2 1 ⎠ ⎝ cn ⎠ ⎝ cn ⎠ ⎝ 2 onde G1 ( s ) =

(

)

ωn 2 s 2 + 2ζωn s + ωn 2 3 3 4 s 2 + 2ζωn s + ωn 2 s 2 + 2ζωn s + ωn 2 4

(

)(

2

G2 ( s ) = −

(

2

)

)

(18)

ωn s + 2ζωn s 1 4 s 2 + 2ζωn s + ωn 2 s 2 + 2ζωn s + ωn 2 4

(

)(

)

(19) 1 L 2R C LC sendo G1(s) e G2(s), respectivamente, aproximados por 1 , h =1 ⎧ ⎪ * 2 (20) G1 (h) = ⎨ 3 ⎛ f n ⎞ 1 fn ⎪ ⎜ ⎟ 2, h f1 ⎩ 4 ⎝ f1 ⎠ h 0 , h =1 ⎧ ⎪ * 2 (21) G2 (h) = ⎨ 1 ⎛ f n ⎞ 1 fn ⎪− ⎜ ⎟ 2 , h f1 ⎩ 4 ⎝ f1 ⎠ h

ωn =

1

, ζ=

A análise da variação resistência de carga para G1(s) e G2(s) é mostrada na Fig. 6. Observa-se, nesta figura, que os erros associados às variações de carga consideradas são suficientemente pequenos para ω5ωn. Note que mesmo sendo considerável a diferença das respostas para a faixa das baixas freqüências de G2(s), as amplitudes das componentes fundamentais destas tensões são insignificantes em relação à amplitude da fundamental de G1(s), que é de 0dB. Por isso, G2(s) pode ser aproximado por zero nas baixas freqüências sem erros significativos.

Q1

Q3

Q5

a E

L

R

L

R

b L

c Q2

Q4

Q6

R C

C

C

o

Fig. 7. Inversor de tensão trifásico de três pernas com saída a três fios com filtro LC de segunda ordem

4 Exemplo de projeto Nesta seção é apresentado, como exemplo, a descrição do projeto de um filtro LC trifásico com saída a três fios para o inversor mostrado na Fig. 7 com modulação SV, cuja seqüência de comutação estão apresentadas em Pinheiro et al., (2002). São dadas as seguintes especificações para o filtro: f1=60Hz, THDv=3,6%, m=1, fs=4,98kHz. A aplicação da metodologia de projeto para este filtro está descrita na Seção 3.2.1. Empregando a equação (8) com a informação do espetro de freqüências da estratégia de modulação utilizada, chega-se a curva para o fator DF2(p,m), mostrada na curva “3φ-3P-3F” da Fig. 8. A determinação da freqüência natual do filtro então é efetuada usando (2), onde ms=fs/f1=83 e DF2(1)=0,56, sendo este obtido na Fig. 8., de onde se obteve-fn=1262Hz. Para verificação experimental do procedimento de projeto, empregou-se um inversor de 15kVA acionado por microcontrolador DSP TMS320F241 operando em malha aberta, onde o processador é empregado somente para implementação da estratégia de modulação. Foram obtidos resultados com carga resistiva nominal e sem carga, sendo esta última condição a apresentada no artigo por ser a pior condição de operação. Escolheu-se para a implementação um indutor de L=250µH enquanto que o capacitor foi determinado pela relação ωn2=1/LC, o que resultou em C=63,5µF, sendo utilizado C=60µF, que é a capacitância mais próxima comercialmente existente. A THDv obtida experimentalmente, com o inversor operando sem carga, foi de 3,3%. As Fig.9(a) e Fig.9(b) mostram, respectivamente, o padrão PWM amostrado utilizado e a tensão entre as fases de saída para esta topologia. 5 Conclusão

Fator de distorção de 2ª ordem (DF2)

Este artigo apresenta um procedimento sistemático e generalizado de projeto de filtros de segunda ordem para inversores de tensão com modulação PWM 0.6

1φ 3φ-3P-3F 4φ-4P-4F

0.45

0.3

0.15

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Índice de Modulação(m)

Fig. 8. Curva para taxa de distorção de segunda ordem (DF2)

Fig. 9. Tensão vab obtida experimentalmente para o inversor trifásico a três fios com estratégia de modulação SV com o filtro de segunda-ordem projetado (50V/div, 2 ms/div).

digital. Os exemplos demonstram que a utilização da metodologia apresentada é direta e que a mesma pode ser aplicada para vários inversores de tensão com modulação PWM digital, desde que as topologias dos filtros e as estratégias de modulação respeitem as hipóteses assumidas. Os resultados experimentais demonstram, para três casos-exemplo distintos, que os projetos realizados com a metodologia apresentada resultam em filtros cuja THD medida possui uma boa aproximação com a especificada, o que valida, assim, a metodologia proposta. Agradecimentos Os autores agradecem à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo auxílio financeiro. Referências Bibliográficas Botterón, F., Pinheiro, H, Gründling, H.A., Pinheiro, J.R. e Hey, H.L. (2001). Digital Voltage and Current Controllers for Three-Phase PWM Inverter for UPS Applications. Conf. IEEE IAS’01 Annual Meet. pp. 2667-2674. Bowes, S. R. e Lai, Y. S. (1997). The relationship between space-vector modulation and regular-sampled PWM. IEEE Trans. Ind. Electron., 44(5): 670-679. Dewan, S.B. e Ziogas, P.D. (1979). Optimum Filter Design for a Single Phase Solid-State UPS System. IEEE Trans. Ind. Applicat., IA-15(6): 664-669. Holtz, J. (1992). Pulsewidth modulation – A survey. IEEE Trans. Ind. Electr. 39(6): 410−419. Michels, L., Camargo, R.F., Marques, J., Botterón, F., Gonzatti, F. e Pinheiro, H. (2003). Simple Filter Design Procedure for Voltage Fed Space Vector Modulated Converters. COBEP’03, pp. 430-437. Pinheiro, P., Botterón, F., Rech, C., Schuch, L., Camargo, R.F., Hey, H.L., Gründling, H.A., Pinheiro, J.R. (2002). Space Vector Modulation for VoltageSource Inverters: A Unified Approach. IEEE IECON’02 Conf. Proc., v.1, pp. 23-29. Ryu, B., Kim, J., Choi J. and Choi C. (2002). Design and Analysis of Output Filter for 3-phase UPS Inverter. Proc of IEEE PCC’02, v.3, pp. 941-946. Van Der Broeck, H. W., Skudelny, H. C. e Stanke, G. V. (1988). Analysis and realization of a pulsewidth modulator based on voltage space vectors. IEEE Trans. Ind. Applicat., 24(1): 142-150.