Métodos Monte Carlo e do Enxame de Partículas Aplicados à Otimização de Sensores Baseados em Ressonância de Plasmons de Superfície

May 31, 2017 | Autor: Eduardo Fontana | Categoria: Sensors and Sensing, Surface plasmon resonance
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Métodos Monte Carlo e do Enxame de Partículas Aplicados à Otimização de Sensores Baseados em Ressonância de Plasmons de Superfície Leonardo Machado Cavalcanti e Eduardo Fontana Departamento de Eletrônica e Sistemas Universidade Federal de Pernambuco, Recife – PE 50740-550, Brasil [email protected], [email protected] Resumo— Um dos principais desafios no projeto de sensores baseados em Ressonância de Plasmons de Superfície — RPS — é maximizar sua sensibilidade. Neste artigo é proposto o uso de dois algoritmos heurísticos, Monte Carlo e Enxame de Partículas, para otimização de sensores baseados em RPS nas configurações de Kretschmann e de Otto sem o auxílio da aproximação lorentziana para a curva de ressonância. Devido à natureza probabilística dos algoritmos, conseguiu-se obter um método simples e robusto para atingir essa otimização. É feita uma comparação quanto à eficiência computacional dos algoritmos em relação ao método tradicional de otimização, ficando demonstrado que o método de Enxame de Partículas é o mais eficiente em relação às outras técnicas. Com o emprego desse método, a dependência espectral dos parâmetros ótimos é obtida para sensores utilizando filmes de ouro nas configurações de Kretschmann e de Otto, tanto para aplicações em meios gasosos quanto em meios aquosos. Palavras-chave— RPS; otimização da sensibilidade; Enxame de Partículas; Monte Carlo

I. INTRODUÇÃO Plasmons de superfície — PS — são oscilações eletromagnéticas confinadas à interface entre um dielétrico e um condutor [1,2] com campo elétrico associado ortogonal à interface. Embora não seja possível excitar PS por iluminação direta de uma superfície metálica planar, eles podem ser excitados por um prisma de acoplamento ou modificando a superfície metálica na forma de uma grade de difração. Particularmente para o acoplamento por prisma, que é mais simples do que o acoplamento por grades de difração [3], existem duas configurações bem conhecidas — Kretschmann e Otto — que estão mostradas na Fig. 1. Na configuração de Kretschmann, um filme fino metálico é depositado sobre a parte superior do prisma. Já na configuração de Otto, o prisma é separado do filme metálico por uma fina lacuna de ar ou de material dielétrico. A configuração mais comum é a de Kretschmann, porém a configuração de Otto é uma melhor opção quando se deseja evitar o contato direto com a superfície do filme metálico (por exemplo, no estudo da qualidade de filmes finos). Vale observar também que novas opções de uso dessa configuração no desenvolvimento de sensores foram propostas recentemente na literatura [4]. A excitação de PS por Este trabalho foi financiado pelas agências de fomento FACEPE – Fundação de Amparo à Ciência e Tecnologia do Estado de Pernambuco e CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico.

Fig1. Sensores RPS de acoplamento por prisma nas configurações de (a) Kretschmann e (b) Otto.

acoplamento de prisma baseia-se na reflexão total atenuada de uma onda TM, i.e., com campo elétrico polarizado no plano de incidência, conforme ilustrado na Fig.1, tunelando o feixe incidente para a interface metal-ar, onde a oscilação é confinada. O fenômeno de ressonância de plasmons de superfície — RPS — observado na medição da potência óptica refletida nas estruturas da Fig.1, corresponde a um mínimo na dependência angular ou espectral da curva de reflectância. No primeiro caso, o comprimento de onda é fixado e no segundo o ângulo de incidência é mantido constante. A Fig.2 ilustra qualitativamente a curva de ressonância, para o caso de uma varredura angular do ângulo de incidência. Como resultado da forte concentração do campo eletromagnético no meio adjacente ao metal, a localização do mínimo da ressonância é bastante sensível a variações das propriedades ópticas desse meio, fazendo com que o dispositivo tenha alta sensibilidade. Portanto, uma pequena variação das propriedades ópticas do meio adjacente ao metal corresponde a um deslocamento da

Fig. 2. Curvas de RPS para dois valores de índice de refração. Um incremento Δn desloca a RPS para a região de ângulos crescentes, resultando em um incremento ΔR na reflectância, para um dado ângulo de incidência.

curva de reflectância que pode ser detectado e monitorado, conforme ilustrado na Fig.2. Sensores baseados em RPS, doravante denominados de sensores RPS, são usados, por exemplo, na detecção de reações biológicas, sem a utilização de marcadores fluorescentes ou radioisotópicos [5,6].

espessura ótima assim como de outros parâmetros do sensor. Destes resultados, conclui-se que praticamente em toda região que vai do visível ao infravermelho próximo, o ouro é o metal mais adequado para o desenvolvimento de dispositivos de alta sensibilidade.

Além de sensores RPS que medem o deslocamento do mínimo da ressonância, tanto no domínio angular quanto no domínio espectral, pode-se também empregar sensores RPS que simplesmente medem variações de intensidade, para ângulo de incidência e comprimento de onda constantes, como ilustrado na Fig. 2. Nesse esquema, para um dado comprimento de onda, mede-se a mudança da reflectância em um ângulo fixo, no ponto de máxima declividade da curva de ressonância.

Um método teórico geral para maximizar a sensibilidade na configuração de Kretschmann usando uma aproximação lorentziana foi relatado em [11]. Uma equação descrevendo a dependência da sensibilidade com a espessura do metal, em conjunção com a condição de que o acoplamento crítico seja igual a 2, foi utilizada para determinar a espessura ótima do filme metálico. Esse resultado também foi verificado por meio de uma detecção em tempo real de soluções de glicose em diferentes concentrações.

O projeto de sensores RPS geralmente tem como objetivo determinar parâmetros do dispositivo que otimizem seu desempenho, o que corresponde em última análise a maximizar o fator de qualidade da curva de ressonância. Modificando os parâmetros do sensor, tais como espessura do filme/lacuna, ângulo de incidência e comprimento de onda, pode-se encontrar os parâmetros ótimos que maximizam a sensibilidade. Essa busca por valores ótimos não é um processo de simples abordagem, visto que envolve a otimização de uma função objetivo complexa não-linear. A. Otimização do Efeito de RPS A otimização da sensibilidade de sensores RPS foi primeiro abordada em [7] utilizando a configuração de Kretschmann com um ângulo de incidência ligeiramente menor que o ângulo de ressonância. A curva de reflectância foi aproximada por uma função lorentziana ao redor da ressonância e a espessura foi escolhida de tal modo que a reflectância fosse zero na ressonância. Essa situação corresponde à condição de acoplamento crítico, isto é, quando a constante de amortecimento intrínseco do PS se iguala à constante de amortecimento de radiação devido a espessura finita do filme metálico; ambas constantes de amortecimento conjuntamente determinam a largura da curva de reflectância. Em outros estudos, foi constatado que essa suposição estava incorreta. Na verdade, a sensibilidade máxima não corresponde a uma reflectância nula na ressonância, isto é, à igualdade entre as duas constantes de amortecimento, mas sim à condição que a constante de amortecimento de radiação é metade daquela devida ao amortecimento intrínseco, o que corresponde a um coeficiente de acoplamento igual a 2 [8-10]. A referência [10] apresenta uma análise sistemática da otimização da sensibilidade de um sensor RPS na configuração de Kretschman para filmes de Au, Ag, Al e Cu, por meio de uma aproximação lorentziana da curva de reflectância. Conforme descrito em [10], a operação ótima de um sensor RPS operando a comprimento de onda e ângulo fixos seria obtida com o ângulo de incidência fixado no ponto de declividade absoluta máxima da curva de RPS, para uma espessura do filme metálico tal que o coeficiente de acoplamento é igual a 2. A otimização foi realizada por um algoritmo de busca direta cuja convergência dependia fortemente da estimativa inicial que nesse caso foi escolhida como a espessura do acoplamento crítico. Resultados numéricos foram apresentados para a dependência espectral da

Ambos os métodos de otimização descritos sistematicamente em [10] e [11] utilizaram uma aproximação lorentziana da curva de reflectância apenas para a configuração de Kretschmann. Na prática, a curva de reflectância derivada das equações de Fresnel não possui a mesma simetria de uma função lorentziana. Ela tende a crescer mais devagar que a função lorentziana, na região angular acima do ângulo de ressonância. Além disso, a literatura carece de discussões sobre análises sistemáticas da otimização da sensibilidade de sensores na configuração de Otto. Neste trabalho, são descritos alguns algoritmos de otimização que podem ser aplicados para ambas configurações de sensores RPS, Kretschmann e Otto, sem utilizar uma aproximação lorentziana. Isso é obtido através dos algoritmos heurísticos de otimização, que são caracterizados pela realização de inúmeras avaliações da função objetivo sobre toda região de busca a fim de aumentar a probabilidade de encontrar o ótimo global da função objetivo. Esses algoritmos não necessitam de uma estimativa inicial precisa, adequam-se a qualquer função objetivo não-linear e complexa e, portanto, representam uma excelente ferramenta para a proposta deste trabalho. Entre os algoritmos heurísticos, escolheu-se dois algoritmos simples e robustos: o algoritmo de Monte Carlo e o algoritmo do Enxame de Partículas (do inglês Particle Swarm Optimization – PSO) [12,13]. Nas seções seguintes descreve-se sucintamente os dois algoritmos heurísticos escolhidos aplicando-os ao problema da otimização de sensores RPS nas configurações de Kretschmann e de Otto, utilizando filmes de ouro, como sugerido em [10], a fim de encontrar os valores ótimos do ângulo de incidência e da espessura do filme/lacuna (nossas variáveis de decisão). II. ALGORITMOS DE MONTE CARLO E DO ENXAME DE PARTÍCULAS A. Algoritmo de Monte Carlo O algoritmo de Monte Carlo [12] é um algoritmo de busca intrinsicamente aleatório que pode ser usado para determinar o ponto ótimo global de qualquer função objetivo. Ele sorteia uma grande quantidade de números aleatórios (estimadores das variáveis de decisão) dentro da região de busca, avalia a função objetivo em cada ponto e elege o melhor ponto escolhido como melhor candidato a ótimo global. Esse procedimento pode ser repetido diversas vezes até que se satisfaça uma condição de

convergência — por exemplo, o número máximo de iterações estabelecido pelo usuário. Vale sublinhar que não há necessidade de uma estimativa inicial precisa e que para um grande número de avaliações da função objetivo, maior será a probabilidade de encontrar o ótimo global. Os números sorteados são obtidos por x  xL  r ( xH  xL ) ,

(1)

em que x é um número aleatório sorteado, xL e xH são os limites inferior e superior da região de busca e r é uma variável aleatória uniforme entre 0 e 1. A convergência desse algoritmo depende do número de pontos sorteados e do número de iterações. O usuário pode ajustar esses valores a fim de analisar a eficiência desse algoritmo. Esse algoritmo também funciona para funções objetivo de múltiplas variáveis. B. Algoritmo do Enxame de Partículas O algoritmo de otimização por enxame de partículas [13] — PSO — é um algoritmo de busca que emula o comportamento de um enxame de partículas com o propósito de encontrar cooperativamente o ótimo global da função objetivo. Cada posição xi de uma partícula é sorteada aleatoriamente e corresponde a uma estimação da variável de decisão (ângulo de incidência ou espessura do filme/lacuna). As partículas movem-se com velocidade variável dentro da região de busca, comunicando entre si o melhor ponto global e considerando suas melhores posições até então alcançadas em sorteios anteriores. Em cada iteração, as partículas ajustam suas posições xi e velocidades vi por meio das relações [13] k 1

vi

 wvi  c1 r1 ( pi  xi )  c2 r2 ( g i  xi ) , k

k

k 1

xi

k

k

k 1

 xi  vi , k

metálica e de vidro, no caso da configuração de Otto. Além disso para operação em um dado comprimento de onda, é necessário determinar o ângulo de incidência que fornece a máxima sensibilidade S do efeito. Esta é definida pela taxa de variação da reflectância em relação ao índice de refração, ou seja,

k

(2) (3)

em que k é a ordem atual de iteração, i é a i-ésima partícula, w é o peso de inércia, c1 e c2 são os coeficientes de aceleração, r1 e r2 são duas varáveis aleatórias uniformes entre 0 e 1, pi é o melhor ponto alcançado por uma partícula individual e gi é o melhor ponto alcançado pelo grupo. O peso de inércia w controla a habilidade de exploração global do enxame de partículas. As constantes c1 e c2 estão relacionadas, respectivamente, com o comportamento cognitivo e com o comportamento social do enxame, caracterizando a natureza da exploração [13]. Valores razoáveis para esses parâmetros, baseados em tentativa e erro são w = 0.75, c1 = 1.5 e c2 = 1.5 [13]. Como no algoritmo de Monte Carlo, a estimativa inicial pode ser escolhida arbitrariamente dentro da região de busca. O usuário pode definir o número de partículas e o número de iterações para analisar a eficiência do algoritmo. A grande vantagem do PSO sobre os demais algoritmos heurísticos é que ele converge rapidamente e consistentemente. III. OTIMIZAÇÃO DE SENSORES RPS NAS CONFIGURAÇÕES DE KRETSCHMANN E DE OTTO A otimização de sensores RPS consiste em encontrar a espessura de filme d para o caso da configuração de Kretschmann ou a separação — gap — entre as superfícies

S

dR

.

(4)

dn A reflectância pode ser calculada aplicando a formulação de Fresnel a qualquer das duas estruturas de três meios mostradas na Fig.1, com base na expressão [14] R

r12  r23 exp( 2 jk 2 d ) 1  r12 r23 exp( 2 jk 2 d )

2

,

(5)

em que d é a espessura do meio 2 e ri,i+1 é dado por [14] ri ,i 1 

ε i 1ki  ε i ki 1 ε i 1 ki  ε i ki 1

,

(6)

com i =1,2, e com ki dado por [14] ki  k0 ε i  ε1 (sin θ) , 2

(7)

com θ representando o ângulo de incidência, εi, a permissividade do meio i, com i = 1, 2, 3, Para otimizar o sensor RPS, poder-se-ia utilizar uma aproximação lorentziana para a curva de reflectância e depois combiná-la com (4) como foi feito em [10,11]. Entretanto, como já discutido, a curva de reflectância não possui a mesma simetria de uma função lorentziana. Uma solução alternativa seria inserir (5) em (4) a fim de obter uma expressão analítica para a sensibilidade e em seguida otimizá-la. Infelizmente, essa abordagem envolve a derivada do valor absoluto de uma função não-linear e complexa, tornando o trabalho extremamente árduo. Neste artigo, é proposto o uso de algoritmos heurísticos, avaliando a função objetivo (S = dR/dn) numericamente. Ou seja, em vez de derivar a curva de reflectância analiticamente, computou-se a derivada numérica da reflectância em relação ao índice de refração e elegeu-se o melhor ponto como candidato a ótimo global. Os algoritmos de Monte Carlo e do Enxame de Partícula foram implementados em MATLAB e aplicados às configurações de Kretschmann e de Otto. Seus desempenhos foram comparados com o algoritmo de busca direta baseado na aproximação lorentziana (só para configuração de Kretschmann) descrito em [10]. Em ambos algoritmos heurísticos, otimizou-se a função objetivo considerando duas variáveis de decisão simultaneamente, a espessura do filme/lacuna e o ângulo de incidência. A estimativa inicial foi escolhida arbitrariamente dentro da região de busca [ d , θ]  [0, 5]  [0, 90] . Os resultados da simulação para um sensor com filme de Au, prisma BK7 e ar como meio adjacente ao metal operando em 1 µm estão apresentados na Tabela I. Três tentativas foram efetuadas para cada um dos algoritmos heurísticos para verificar sua consistência. A dependência

espectral das constantes ópticas do filme de ouro foram extraídas de [15] por meio de interpolação por spline cúbica e o índice de refração do prisma BK7 foi determinado pela equação de Sellmeier [16]. TABELA I. Simulação dos resultados de otimização de Sensores RPS no comprimento de onda de 1 μm. Método Ref.[10] Monte Carlo PSO

Ref.[10] Monte Carlo PSO

θ, graus 42,22 42,2236 42,2166 42,2084 42,2226 42,2226 42,2226 – 42,1333 42,1346 42,1358 42,1356 42,1356 42,1356

Kretschmann, BK7-Au-Ar d, μm S 0,05 337,90 0,0523 335,11 0,0510 336,50 0,0523 325,77 0,0504 338,8277 0,0504 338,8277 0,0504 338,8277 Otto, BK7-Ar-Au – – 2,0018 279,1473 1,9905 279,2360 2,0105 279,3335 2,0046 279.3659 2,0046 279.3659 2,0046 279.3659

Execução 11,255 47,911 s 10000 pontos 500 iterações 1,501 s 100 pontos 300 iterações – – –

Da Tabela I pode-se verificar que o algoritmo que apresentou melhor eficiência computacional, simplicidade e consistência foi o algoritmo PSO. Ele foi 7,5 vezes mais rápido que o algoritmo de busca direta [10] e 32 vezes mais rápido do que o algoritmo de Monte Carlo. Ademais, seus resultados foram bem consistentes uma vez que todos foram os mesmos nas três tentativas. A dependência espectral da sensibilidade ótima tanto para configuração de Kretschmann quanto para a de Otto com ar ou água [17] como meios adjacentes ao metal foi obtida por meio do algoritmo PSO para a faixa de comprimentos de onda entre 0,6 µm e 1,6 µm e está apresentada na Fig. 3. Na região de comprimentos de onda superiores a 1,6 µm começaram a ocorrer instabilidades e problemas de convergência, muito provavelmente devido à redução significativa da largura de linha da RPS nessa região. As curvas da Fig. 3 demonstram que o sensor RPS na configuração de Kretschmann possui maior sensibilidade que na configuração de Otto tanto para ar quanto para água. A faixa entre 1,5 µm e 1,6 µm apresenta condições viáveis para o projeto de sensores RPS de alta sensibilidade operando nos mesmos comprimentos de onda dos sistemas de comunicações ópticas, visto que, além da sensibilidade ótima atingir valores altos em todas configurações e meios sensoriados, sistemas de comunicação óptica de baixa perda usualmente operam em comprimentos de onda em torno de 1,55 µm. Particularmente, para um comprimento de onda de 1,6 µm, a sensibilidade ótima aumenta de um fator de 1,8 a 1,9 em relação à sensibilidade ótima em 1 µm para todas as configurações e meios sensoriados. Para maximizar a sensibilidade em cada comprimento de onda, determinou-se os valores ótimos da espessura do filme (ou do gap na configuração de Otto) e do ângulo de incidência por meio da aplicação do algoritmo PSO em todo espectro

Fig. 3. Dependência espectral da sensibilidade ótima para as configurações de Kretschmann e de Otto.

considerado. A dependência espectral da espessura ótima e do ângulo de incidência ótimo estão mostradas nas Figs. 4 e 5, respectivamente. Com respeito ao comportamento espectral do ângulo de incidência ótimo, que é um parâmetro diretamente ajustado pelo usuário durante as medições, pode-se observar que seu valor foi alterado quando o meio sensoriado mudou do ar para água como esperado para um sensor RPS. Interessante notar que para um mesmo meio, o ângulo de incidência ótimo permanece praticamente inalterado. A Tabela II apresenta os parâmetros ótimos do sensor operando em 1,6 µm para ambas configurações de acoplamento por prisma.

Fig. 4. Dependência espectral da espessura do filme/lacuna para as configurações de Kretschmann e de Otto.

Fig. 5. Dependência espectral do ângulo de incidência ótimo para as configurações de Kretschmann e de Otto.

TABELA II. Valores Ótimos dos Parâmetros de um Sensor RPS operando em 1,6 μm.

REFERÊNCIAS [1]

Configuração BK7-Au-Ar BK7-Au-H2O BK7-Ar-Au BK7-H2O-Au

S Kretschmann 619,411 287,307 Otto 545,1886 228,5526

d, µm

θ, graus

0,0421 0,0448

42,0623 62,2774

[3]

4,5636 2,8242

41,995 62,1071

[4]

[2]

As curvas elaboradas nas Figs. 3 a 5 constatam a utilidade dos algoritmos heurísticos, em particular o algoritmo PSO, para o projeto de sensores RPS otimizados em ambas configurações, de Kretschmann e de Otto. Pode-se utilizar essas curvas como referências durante projetos de sensores RPS. Ademais, podese aplicar os algoritmos heurísticos a outras configurações de sensores RPS além dos de acoplamento por prisma, como, por exemplo, sensores com multicamadas ou de acoplamento por grades de difração.

[5]

IV. CONCLUSÕES Neste artigo otimizou-se a sensibilidade de um sensor RPS pelo uso de dois algoritmos heurísticos, de Monte Carlo e do Enxame de Partículas, com a vantagem de não se utilizar a aproximação lorentziana. Além disso, os algoritmos heurísticos simplificam bastante o projeto de sensores RPS otimizados permitindo adotar um procedimento robusto que pode ser aplicado tanto na configuração de Kretschmann quanto na de Otto, podendo também ser usados em outras configurações de acoplamento. Quando comparado com o algoritmo de busca direta descrito em [10] e com o algoritmo de Monte Carlo, o algoritmo PSO demonstrou melhor eficiência computacional, facilitando a elaboração das curvas de dependência espectral dos parâmetros ótimos do sensor. Baseado nos resultados encontrados, pode-se projetar um sensor RPS de alta sensibilidade operando na mesma faixa de comprimentos de onda dos sistemas de comunicações ópticas (~1,55 µm). Constatou-se que a sensibilidade ótima em 1,6 µm é 1,8 a 1,9 vezes maior que aquela em 1 µm para todas configurações apresentadas neste trabalho.

[9]

[6]

[7]

[8]

[10]

[11]

[12] [13]

[14]

[15]

[16] [17]

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