Modelação Numérica e Validação Experimental do Comportamento Dinâmico de uma Ponte Pedonal

REANÁLISE DOS ENSAIOS DINÂMICOS DA PONTE VASCO DA GAMA COM BASE NO MÉTODO DE IDENTIFICAÇÃO ESTOCÁSTICA POR SUB-ESPAÇOS

Álvaro CUNHA Prof. Associado Agregado FEUP Porto

Elsa CAETANO Prof. Auxiliar FEUP Porto

SUMÁRIO Este artigo apresenta uma reanálise dos dados colhidos nos ensaios dinâmicos de recepção da componente atirantada da Ponte Vasco da Gama, tendo por base a aplicação de um dos métodos mais recentes e poderosos de identificação “output-only” – o método de identificação estocástica por sub-espaços – confrontando os resultados alcançados por essa via com os anteriormente obtidos através da técnica convencional de “Peak-Picking”.

1. INTRODUÇÃO Os ensaios dinâmicos de recepção da Ponte Vasco da Gama, realizados após a conclusão da ponte em 1998, envolveram a medição da resposta ambiental da Ponte Atirantada Principal e dos Viadutos Expo, Central e Sul, bem como da resposta em vibração livre da Ponte Principal, mediante a aplicação de uma força súbita, tendo levado à constituição de uma base de dados de muito elevada qualidade caracterizadora do comportamento dinâmico da estrutura na sua fase inicial. Essa base de dados, para além de ter possibilitado desde logo uma identificação muito rigorosa de frequências naturais, modos de vibração e coeficientes de amortecimento modais, com base na aplicação do método convencional de “Peak Picking”[1], permitiu também posteriormente colaborações científicas de grande interesse com as Universidades Católica de Lovaina (Bélgica) [2] e de Aalborg (Dinamarca) [3] em termos de análise da eficiência de novos métodos de identificação modal apenas baseada na medição da resposta ambiental.

Neste contexto, o presente artigo apresenta uma reanálise dos dados colhidos nos ensaios dinâmicos de recepção da componente atirantada da Ponte Vasco da Gama, tendo por base a aplicação de um dos métodos mais recentes e poderosos de identificação “output-only” – o método de identificação estocástica por sub-espaços – confrontando os resultados alcançados por essa via com os anteriormente obtidos através da técnica convencional de “Peak-Picking”.

2. A PONTE E OS ENSAIOS DINÂMICOS DE RECEPÇÃO A Ponte Vasco da Gama, em Lisboa, é possivelmente a estrutura mais espectacular associada à realização da EXPO’98. A extensão total deste segundo atravessamento do rio Tejo é de 17300m, envolvendo três estruturas de transição, uma secção com 5km de comprimento em terra e uma ponte contínua com 12300m de desenvolvimento. Esta ponte inclui uma componente atirantada sobre canal de navegação, com um vão principal de 420m e três vãos laterais de cada lado (62m+70,6m+72m), resultando um comprimento total de 829,2m (Figura 1). O tabuleiro da ponte tem uma largura de 31m e é formado por duas vigas laterais de betão pré-esforçado, com 2,6m de altura, ligadas por uma laje de 0,25m de espessura e por vigas metálicas transversais (em I) espaçadas de 4,42m. A ponte é contínua ao longo de toda a sua extensão, encontrando-se o tabuleiro completamente suspenso à cota 52,5m através de dois planos verticais de 48 tirantes ligados a cada torre. As duas torres, de configuração em H, têm 147m de altura acima de uma zona maciça na base, utilizada como protecção contra a colisão de barcos.

Figura 1: Componente atirantada da Ponte Vasco da Gama 2.1. Ensaio de vibração ambiental O ensaio de vibração ambiental baseou-se na utilização de 6 sismógrafos traixiais de 16 bit. Dois destes sismógrafos foram utilizados como referências, permanentemente localizados na secção 10 (Figura 2), 1/3 vão Norte de ambos os lados da ponte (montante e jusante). Os outros quatro sismógrafos varreram o tabuleiro e as torres, utilizando um total de 29 secções de medida. A gama esperada de frequências de interesse é muito baixa (0-1Hz). Por isso, o tempo de aquisição escolhido em cada “set-up” foi de 16min, valor suficientemente elevado para captar um número adequado de períodos de modos de baixa frequência. A frequência de amostragem utilizada foi de 50Hz. Os sismógrafos funcionaram independentemente, após terem sido programados e sincronizados através de um PC portátil. A fonte de excitação foi o

vento, cuja velocidade variou entre 1m/s e 22 m/s durante toda a campanha de medições. Deste facto, resultaram naturalmente diferenças significativas de níveis de aceleração medidos e, inevitavelmente, de qualidade dos dados adquiridos. LISBOA Oeste

27

26

1

P1

2

3

P2

4

5

P3

6

7

SETÚBAL Este

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8

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PN

10

13 11 12 14 15

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PS

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22

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P5

25

P6

Figura 2: Pontos de medida utilizados na Ponte Vasco da Gama (componente atirantada) 2.2. Ensaio de vibração livre Os resultados alcançados através do ensaio de vibração ambiental foram objecto de verificação através de um ensaio de vibração livre. Este ensaio permitiu uma identificação rigorosa de coeficientes de amortecimento modais a partir das respostas impulsivas medidas. A identificação experimental de coeficientes de amortecimento modais é muito importante não só por não existir qualquer abordagem analítica que possibilite a sua avaliação de modo fiável, mas também porque eles têm uma grande influência sobre a resposta da ponte às acções dinâmicas do vento ou dos sismos. A excitação impulsiva foi conseguida suspendendo uma massa de 60t de um ponto do tabuleiro próximo do ponto 10 (Figura 2), montante, e libertandoa subitamente. As vibrações livres resultantes foram registadas durante 16min nas secções de medida 10, 13 e 16. Este ensaio foi realizado sob baixa velocidade do vento (inferior a 2,5m/s), por forma a garantir que os coeficientes de amortecimento modais representam efectivamente o comportamento estrutural, sem influência de qualquer componente de amortecimento aerodinâmico.

3. IDENTIFICAÇÃO “OUTPUT-ONLY” DE PARÂMETROS MODAIS A extracção de parâmetros modais a partir da informação experimental colhida baseou-se em dois métodos alternativos de estimação “output-only” de parâmetros modais: os métodos de “Peak-Picking” e Identificação Estocástica em Sub-Espaços [4], implementados em rotinas de cálculo em ambiente MATLAB disponíveis na FEUP. 3.1. O método de “Peak-Picking” O método de “peak-picking” é o mais simples e popular dos métodos usados em Engenharia Civil para estimar parâmetros modais de estruturas sob acções ambientais. O seu nome decorre do procedimento utilizado para a identificação das frequências naturais a partir dos picos de estimativas espectrais médias normalizadas abrangendo os diversos pontos de medida. A identificação dos modos de vibração assenta, por seu turno, na obtenção de estimativas de funções de transferência relacionando, no domínio da frequência, a resposta ambiental num ponto de referência com a resposta nos restantes pontos de medida. As relações entre os valores

dessas funções de transferência, para cada frequência natural identificada, permitem identificar as componentes modais respectivas, sendo o correspondente sinal avaliado em função da evolução da fase. Embora este método pressuponha a existência de baixo amortecimento e de frequências naturais bem separadas, alguns refinamentos do método foram entretanto introduzidos, possibilitando a sua aplicação a situações mais complexas. Com efeito, a função de coerência entre dois canais tende para a unidade na proximidade de frequências de ressonância, em virtude do aumento da relação sinal-ruído nessas frequências. Consequentemente, uma observação atenta das coerências pode facilitar a identificação de frequências naturais. Além disso, os ângulos de fase dos espectros cruzados são também úteis, uma vez que devem assumir variações de 180º nas frequências de ressonância. Um melhoramento adicional consiste em observar os picos dos espectros correspondentes aos sinais semi-soma e semidiferença da resposta ambiental em ambos os lados do tabuleiro da ponte (montante e jusante), de modo a separar os picos relativos a flexão vertical dos de torção, no caso de frequências naturais bastante próximas. Contudo, uma violação das hipóteses de base (fraco amortecimento e frequências naturais bem separadas) pode conduzir a erros. De facto, o método identifica modos de deformação operacionais em vez de modos de vibração e, no caso de frequências naturais próximas, tais modos de deformação operacionais serão a sobreposição de vários modos. Outra desvantagem corresponde ao facto da selecção das frequências naturais poder tornar-se um pouco subjectiva quando os picos do espectro não são muito claros, para além do método não fornecer estimativas de coeficientes de amortecimento fiáveis. 3.2. O método de Identificação Estocástica por Sub-Espaços Uma alternativa interessante e mais poderosa é o método de identificação estocástica em subespaços. Neste método, procede-se à identificação de um chamado modelo estocástico em espaço de estado em tempo discreto, tendo por base a informação experimental obtida, em termos de séries temporais ou de covariâncias. Um modelo dessa natureza pode ser expresso sob a forma: x k 1  A x k  w k (1) y  Cxk  vk k

em que y

k

é o vector caracterizador da resposta medida do sistema no instante k , x k é o

vector de estado, w k representa um ruído utilizado para a idealização da excitação ambiental, bem como de perturbações e imprecisões da modelação, e v k um ruído caracterizador de erros no sistema de medida e também da excitação ambiental. A matriz A , quadrada de dimensão n, é a matriz de transição de estado que caracteriza completamente a dinâmica do sistema e C é a matriz de saída ( l  n ). Assumindo que as l séries temporais da resposta ambiental medida são convenientemente processadas por forma a constituir uma matriz de Toeplitz [4] das covariâncias da resposta em relação a certos sensores de referência, pode efectuar-se uma Decomposição em Valores Singulares desta matriz. Esta operação possibilita a decomposição da matriz de Toeplitz no produto de duas matrizes com estrutura interna bem conhecida (matrizes de observabilidade e de controlabilidade estocástica), das quais se pode destacar a

constituição das matrizes de estado A e C . Uma vez conhecidas estas matrizes, pode efectuar-se a decomposição em valores próprios

A    d  1

(2)

em que  é a matriz quadrada de dimensão n que contém os vectores próprios complexos e  d é a matriz diagonal contendo os correspondentes valores próprios em tempo discreto  i . As frequências naturais  i e os coeficientes de amortecimento modais  i podem então ser obtidos através das relações

 i  e  t i

i , *i   i  i  j 1   i2  i

(3)

sendo i um valor próprio em tempo contínuo e t o incremento de tempo. Finalmente, os modos de vibração vêm dados pela matriz complexa ( l  n ) V  C

(4)

3.3. Identificação com base no ensaio de vibração ambiental (AVT) A Figura 3 mostra, a título de exemplo, um espectro cruzado e uma função de coerência relativos a duas séries temporais de aceleração. Este tipo de gráficos é de particular utilidade na aplicação do método de “Peak-Picking”, método cuja aplicação ao presente caso se encontra detalhadamente descrita na referência [5]. 1.00

g2 Log

0.01

0.00

0.00 0.00

Hz

1.00

Figura 3: Espectro cruzado de acelerações verticais (preto/vermelho) e coerência associada (cinzento/verde) entre os pontos 10 (jusante) e 15 (jusante) Em relação à aplicação do método de identificação estocástica por sub-espaços, as matrizes de covariância da resposta, de dimensão l, começaram por ser estimadas com base nas séries temporais medidas, através da relação 

Ri 

1 N

N 1

y k 0

yT k i

k

(5)

sendo N o número total de amostras. Um caso típico de uma sequência de valores de uma auto

covariância (i.e. elemento diagonal de Ri ) para sucessivos valores do desfazamento temporal i  1  2400 pode observar-se na Figura 4. Esta evolução da covariância da resposta do sistema, supostamente excitado por um ruído branco, é idêntica à de uma resposta impulsiva, facto que aliás serve de base ao método de identificação estocástica assente em matrizes de covariância. A Figura 4 mostra ainda estimativas espectrais obtidas por aplicação de FFTs.

g Real

0.59

-0.52 0.00

s

960.60

0.00

s

300.00

0.00

Hz

g2 Real

0.02

-0.02

g2 Log

0.00

0.00 2.50

Figura 4: Dados ambientais medidos e processados. (Topo) séries temporais de aceleração vertical (preto/vermelho) e transversal (cinzento/verde); (Meio) sequência de covariâncias da resposta; (Em baixo) Estimativas espectrais.

Figura 5: Diagrama de estabilização obtido por aplicação do método de identificação estocástica por sub-espaços A Figura 5 mostra um exemplo de um diagrama de estabilização associado a um dos “set-ups” de medida. Neste diagrama, a identificação das frequências naturais é efectuada, de forma fácil e objectiva, através da localização dos pólos estáveis do sistema à medida que a ordem deste, e consequentemente o número de pólos, cresce. O Quadro 1 resume, por seu turno, os valores

identificados, através do método de identificação estocástica por sub-espaços (SSI), de frequências naturais e coeficientes de amortecimento modais, bem como dos desvios-padrão associados aquelas estimativas. Complementarmente, faz-se também um confronto com as frequências naturais anteriormente identificadas através do método de “Peak-Picking” (PP). Quadro 1: Parâmetros modais identificados no ensaio de vibração ambiental (AVT) por aplicação do método “peak-picking” (PP) e da identificação estocástica em sub-espaços (SSI) Tipo de AVT PP AVT SSI modo f (Hz) f (Hz)  (%)  f (Hz) (*)   (%) (*) BT1 BV1 BV2 T1

0,298 0,302 0,005 0,341 0,339 0,001 0,437 0,458 0,001 0,471 0,468 0,001 0,572-0,624 BV3 0,651 0,649 0,003 T2 0,693-0,755 0,711 0,004 BV4 0,817 0,817 0,003 T3 0,895 0,917 BV5 0,985 0,987 0,005 (*) – desvios-padrão com base nos “set-ups” usados

1,47 0,52 0,44 0,43

0,61 0,39 0,31 0,22

0,72 1,09 0,44

0,45 0,50 0,17

0,74

0,23

Na Figura 6, apresentam-se representação gráficas 3D dos principais modos de vibração identificados através do método SSI. 3.4. Identificação com base no ensaio de vibração livre Os dois métodos de identificação modal “only-output” anteriormente referidos foram igualmente aplicados às séries temporais colhidas no ensaio de vibração livre (FVT), tendo conduzido às estimativas de frequências naturais e coeficientes de amortecimento modais sumarizados no Quadro 2. Quadro 2: Parâmetros modais identificados através do ensaio de vibração livre (FVT), utilizando os métodos PP e SSI Tipo de FVT PP FVT SSI modo f (Hz) f (Hz)  (%)  (%) BT1 BV1 BV2 T1 BV3 T2 BV4 T3 BV5

0,295 0,338 0,456 0,467 0,591 0,647 0,707 0,814

1,23 0,21 0,23 0,24 0,34 0,37 0,78 0,48

0,982

0,74

0,293 0,337 0,455 0,466 0,590 0,647 0,705 0,814 0,917 0,982

1,12 0,39 0,31 0,27 1,30 0,56 0,74 0,50 0,48 0,76

Modo BT1

Modo BV1

Modo BV2

Modo T1

Modo BV3

Modo T2

Modo BV4

Modo BV5

Figura 6: Representação 3D dos principais modos de vibração identificados através do método de identificação estocástica por sub-espaços (SSI)

3.5. Ensaio de vibração ambiental vs ensaio de vibração livre É interessante comparar os parâmetros modais obtidos a partir dos ensaios de vibração ambiental e de vibração livre, tendo por base o método de identificação estocástica em subespaços (SSI). Assim, os valores das frequências naturais e coeficientes de amortecimento modais resultantes da aplicação deste método, anteriormente apresentados nos Quadros 2 e 3, são agora coligidos no Quadro 4. Os modos de vibração são comparados quantificando a correlação entre componentes modais identificadas a partir dos ensaios AVT e FVT, utilizando

para o efeito o indicador MAC (“Modal Assurance Criterion”) usado em análise modal. A Figura 7 evidencia a similitude verificada entre os modos AVT e FVT. Da observação do Quadro 4, torna-se clara também a proximidade de valores verificada em termos de frequências naturais e coeficientes de amortecimento modais. Em geral, os coeficientes de amortecimento são identificados com maior nível de incerteza. É sabido que eles variam com o nível de vibrações registado e que uma componente de amortecimento aerodinâmico pode estar presente nos ensaios AVT, em virtude de velocidades de vento relativamente elevadas medidas em correspondência com alguns dos “set-ups”. Parece também que as frequências naturais obtidas no ensaio de vibração livre são sistematicamente um pouco inferiores às identificadas no ensaio de vibração ambiental. Quadro 4: Comparação de parâmetros modais identificados através dos ensaios AVT e FVT, utilizando o método de identificação estocástica em sub-espaços (SSI) Tipo de AVT SSI FVT SSI modo f (Hz) f (Hz)  (%)  (%) BT1 BV1 BV2 T1

0,302 0,339 0,458 0,468

1,47 0,52 0,44 0,43

BV3 T2 BV4 T3 BV5

0,649 0,711 0,817

0,72 1,09 0,44

0,987

0,74

0,293 0,337 0,455 0,466 0,590 0,647 0,705 0,814 0,917 0,982

1,12 0,39 0,31 0,27 1,30 0,56 0,74 0,50 0,48 0,76

Figura 7: Valores do MAC (correlação de modos de vibração) entre os 8 modos AVT e os 10 modos FVT

4. CONCLUSÕES Este artigo apresenta uma reanálise dos dados colhidos nos ensaios dinâmicos de recepção da componente atirantada da Ponte Vasco da Gama, tendo por base a aplicação de um dos métodos mais recentes e poderosos de identificação “output-only” – o método de identificação estocástica por sub-espaços – confrontando os resultados alcançados por essa via com os anteriormente obtidos através da técnica convencional de “Peak-Picking”. Da análise dos resultados obtidos, podem retirar-se, em particular, as seguintes conclusões:  Apesar dos níveis de vibração registados nos ensaios efectuados serem muito baixos, mesmo sob a actuação de ventos de velocidade significativa, foi possível identificar um elevado número de modos de vibração numa gama de frequências muito baixa (01Hz);  Os resultados da identificação estocástica em sub-espaços confirmaram os resultados anteriormente obtidos com a técnica de “peak-picking”, quer em termos de frequências naturais, quer de modos de vibração, possibilitando todavia um tratamento da informação experimental mais sistemático e objectivo;  A aplicação do método de identificação estocástica em sub-espaços à base de dados decorrente do ensaio de vibração ambiental proporcionou a obtenção de estimativas de coeficientes de amortecimento modais bastante próximas das alcançadas com o ensaio de vibração livre, facto que constitui uma virtualidade de particular interesse daquele método;  Verifica-se também uma excelente correlação ao nível de frequências naturais e de modos de vibração identificados pelo método de identificação estocástica em subespaços tendo por base os dados experimentais decorrentes dos ensaios de vibração ambiental (AVT) e de vibração livre (FVT).

5. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem toda a colaboração do Prof. Guido De Roeck (Universidade Católica de Lovaina, Bélgica) e do Dr. Bart Peeters (LMS International, Bélgica) no âmbito da presente investigação.

6. REFERÊNCIAS [1] Cunha, A.; Caetano, E. & Delgado, R. – “Dynamic Tests on a Large Cable-Stayed Bridge. An Efficient Approach”, Journal of Bridge Engineering, ASCE, 2001, Vol. 6, Nº1, p. 54-68. [2] Peeters, B.; De Roeck, G.; Caetano, E. & Cunha, A. – “Dynamic study of the Vasco da Gama Bridge”, in International Conference on Noise and Vibration Engineering, ISMA 2002, Leuven, Belgium, 2002. [3] Cunha, A.; Caetano, E.; Brincker, R. & Andersen, P. - “Identification from the natural response of the Vasco da Gama Bridge”, in International Modal Analysis Conference, XXII-IMAC, Deaborn, Michigan, USA, 2004. [4] Peeters, B. - System Identification and Damage Detection in Civil Engineering. Ph.D. Thesis, Katholieke Universiteit Leuven, 2000.