MODELAGEM E CONTROLE PID DE UM SISTEMA CALHA E BOLA
SOUZA, MARCO. COSTA WAISER.
Centro Federal de Educacao Tecnologica de Minas Gerais
Rua Alvares de Azevendo, 400, 35503-822, Divinopolis, MG
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RESUMO( UM SISTEMA CALHA E BOLA E UM SISTEMA NAO LINEAR DE SEGUNDA ORDEM,
INSTAVEL EM MALHA ABERTA, POSSUINDO DOIS INTEGRADORES PUROS. TAL SISTEMA
DE CONTROLE E AMPLAMENTE UTILIZADO PARA TESTE E AVALIACAO DE DIVERSAS
ESTRATEGIAS DE CONTROLE. A MODELAGEM E ESTABILIZACAO DE UM SISTEMA CALHA
E BOLA POR UM CONTROLADOR PID FORAM EXECUTADOS. SIMULACOES E RESULTADOS
EXPERIMENTAIS QUE DEMONSTRAM O COMPORTAMENTO DINAMICO DO SISTEMA REVELA A
EFETIVIDADE DE CONTROLADORES PID PARA SISTEMAS PUROS DE SEGUNDA ORDEM.
1 Introdução
Um sistema calha e bola e um sistema muito popular no meio academico,
devido a sua nao linearidade e comportamento de segunda ordem. Outrossim, o
sistema e instavel e facil de implementar em laboratorio. Por estas razoes,
o sistema vem sendo amplamente utilizado para testar a efetividade de
diversos tipos de controladores.
Um sistema calha e bola e composto de uma calha, que e construida de modo
a rotacionar livremente no plano vertical devido a aplicacao de torque em
uma das extremidades, e uma bola que rola livremente sobre toda a extensao
da calha. Como o sistema nao possui um grau relativo bem definido na
origem, uma relacao exata de entrada-saida nao pode ser aplicada
diretamente em uma linearizacao de modo a estabilizar o sistema na origem.
Este obstaculo torna a sintese de controladores um desafio.
Devido a sua importancia, diversos trabalhos sobre o sistema sao
encontrados na literatura. Uma estrategia de controle baseada em uma
linearizacao aproximada foi proposta por Bolivar-Vincenty et al.. A ideia
consiste em descartar certos parametros de modo a evitar singularidades.
Esta estrategia oferece estabilidade em uma pequena regiao porem e falha
para regioes mais distantes da origem.
Neste trabalho, a modelagem dinamica foi realizada e um controlador PID
didatico foi proposto e avaliado.
2 Modelagem dinamica
Considerando o sistema calha e bola representado pela figura 1,
consistindo em uma calha que rotaciona no plano vertical quando um torque e
aplicado em uma das extremidades e uma bola que move livremente sobre a
calha, podemos modelar o sistema com apenas um grau de liberdade. O modelo
nao linear e descrito pela equacao de movimento 1.
Equacao (1)
Figura 1. Sistema calha e bola
Podemos relacionar o angulo da calha (alfa) e o angulo do motor (teta)
pela equacao 2.
Equacao (2)
A tabela 1 descreve os parametros do sistema.
Tabela 1. Parametros do sistema.
"m "massa da bola "
"R "raio da bola "
"d "distancia do eixo do motor a "
" "junta "
"g "-9.81m/s^2 "
"L "comprimento da calha "
"J "momento de inercia da bola "
3 Construcao da planta
3.1 Mecanica
Para a construcao mecanica do sistema calha e bola, visando comprovar sua
facilidade de construcao para estudos academicos e consequente reducao de
custo, apenas materiais recliclados disponiveis no Laboratorio de Sistemas
Mecatronicos e Prototipos foram utilizados.
A estrutura mecanica de sustentacao da calha e suporte do motor foram
construidos em madeira. A estrutura da calha foi construida utilizando um
perfil em V de aluminio e a estrutura externa foi confeccionada utilizando
conduites externos. A calha foi anexada a estrutura utilizando um
potenciometro, fornecendo realimentacao de angulo, alem de prover uma
estrutura resistente o suficiente para um acoplamento funcional. O motor
foi conectado a uma das extremidades da calha utilizando uma junta
cinematica de dois links
3.2 Eletronica e controle
Todo o sistema de controle foi implementado utilizando o ambiente MATLAB
Simulink. De modo a interfacear o sistema com a planta construida, foi
utilizado um Arduino UNO atraves da comunicacao serial.
Para o sensoriamento de posicao da bola foi utilizado um algoritmo
simples de visao computacional tambem implementado no Simulink. A visao
computacional se mostrou bastante efetiva no que diz respeito a taxa de
amostragem. A aquisicao de dados da camera acontece a 30 quadros por
segundo, o que equivale a uma taxa de amostragem de 0.03.
Um servo motor foi utilizado para fornecer a rotacao necessaria para a
calha sem a necessidade de um sistema paralelo de controle. O motor fornece
um torque de 2.5kgf/cm. O atuador em questao recebe um sinal PWM de 3900Hz
e com resolucao de 10 bits. Devido ao controle analogico interno do
mecanismo, a taxa de amostragem nao e afetada por possiveis atrasos de
atuacao.
A dinamica de malha fechada proposta na secao 5, de modo a ter precisao
de centimetro, necessita de uma taxa de amostragem de 0.05. Considerando a
taxa de amostragem de sensoriamento a atuacao, o controle possuira precisao
de 0.43cm.
4 Linearizacao e validacao do modelo
Possuindo o modelo nao-linear que representa a dinamica do sistema,
procedeu-se a representacao por blocos em ambiente MATLAB Simulink, como
mostra a figura 2. A construcao do modelo nao linear deu-se por blocos
considerando a saida do modelo, representado por f(u) na figura 2. Sendo
assim, a equacao (1) foi rearranjada como mostra a equacao (3).
Figura 2. Modelo nao-linear
Equeacao (3)
Atraves dos parametros do sistema real mostrado pela tabela 2 e a partir
do modelo nao-linear, procedeu-se a uma linearizacao utilizando as rotinas
trim e linmod no MATLAB. A partir da rotina de linearizacao, uma funcao de
transferencia – modelo linear – foi aproximada e e descrita pela equacao 4.
Tabela 2. Parametros do sistema real.
"m "0.0027kg "
"R "0.025m "
"d "0.095m "
"g "-9.81m/s^2 "
"L "0.445m "
"J "1.125e-6 "
Equacao (4)
O modelo linear foi entao validado, comparando sua saida com a saida do
modelo nao-linear a partir de uma entrada degrau e o resultado e mostrado
pela figura 2. O resultado foi extremamente satisfatorio, e por isso, um
offset unitario foi aplicado na saida do sistema linear para melhor
visualizacao.
Figura 2. Validacao do modelo linear
Procedeu-se entao para a validacao do modelo nao-linear, comparando sua
resposta de malha fechada realimentada com ganho unitario e a mesma
resposta da planta construida em laboratorio. O resultado e mostrado pela
figura 3.
Figura 3. Validacao do modelo nao-linear
5 Controle
A partir do modelo linear, a ferramenta SISOtool foi utilizada para a
sintese de um controlador PID. Devido a dinamica de segunda ordem e a
presenca de dois integradores puros no sistema, nao haveria necessidade de
implementar-se um fator integrativo no controlador. Sendo assim,
posteriormente utilizando a ferramenta de edicao do lugar geometrico das
raizes, um controlador do tipo PD foi sintonizado.
Os criterios de desempenho foram definidos como aproximadamente zero de
sobressinal e um tempo de acomodacao de aproximadamente dois segundos Os
parametros Kp e Kd foram entao sintonizados como 2.02 e 2.04,
respectivamente. A alocacao de polos no lugar geometrico das raizes e
mostrada na figura 4.
Figura 4. Lugar geometrico das raizes e alocacao de polos e zeros do
controlador
A partir dos valores definidos para Kp e Kd, o controlador foi
implementado na planta e no modelo nao linear e suas respostas ao degrau
foram analisadas. O resultado e mostrado pela figura 5.
Figura 5. Resposta do controlador
Nota-se, a partir da analise da figura 5, que o controlador resultou em
um sistema com tempo de acomodacao de 1.34 segundos e aproximadamente zero
de sobressinal. Nota-se, tambem, a presenca de um pequeno erro de regime
permanente, corrigido pelos integradores naturais do sistema.
Em seguida, foi realizado um teste a respeito da capacidade do sistema de
responder a variacoes na referencia. Uma senoide de frequencia 0.5 Hertz
foi aplicada na entrada, como referencia, e a resposta do sistema pode ser
visualizada na figura 6 e o sinal de controle e apresentado na figura 7.
Figura 6. Resposta a entrada senoidal
Figura 7. Sinal de controle
6 Conclusão
A partir dos resultados da aplicacao do controlador, conclui-se que a
ferramenta SISOtool bem como outras ferramentas de sintese de controladores
PID possuem extrema efetividade para sistemas cujo modelo descreve com
fidelidade o sistema real.
Avaliando os resultados de medicao de posicao, o algoritmo de visao
computacional mostrou-se bastante robusto a variacoes de luminosidade e foi
efetivo para a medicao de posicao da bola com o minimo de ruido.
Finalmente, o uso de um controlador PD apresentou bastante robustez
quando aplicado em um sistema de segunda ordem com integradores puros,
tanto para seguimento de referencia como rejeicao a perturbacao.
Agradecimentos
Agradecemos ao querido professor Luis Felipe por ter nos acompanhado
durante estes dois semestres e deixamos nossos sentimentos de profundo
respeito a sua notavel evolucao como professor e agradecemos ao professor
Daniel Alves pela constante colaboracao e dedicacao para com o projeto no
tocante as mais diversas adversidades que passamos.
Referências Bibliográficas
BOLIVAR-VINCENTY, BEAUCHAMP-BAEZ, 2014, Modelling the Ball-and-Beam System
From Newtonian Mechanics and from Lagrange Methods
OGATA, KATSUHIKO. Modern Control Engineering. Pearson; 5 edition (September
4, 2009)
