MODELAGEM MATEMÁTICA: APLICAÇÕES DA LEI QUADRÁTICA DE LANCHESTER AOS COMBATES, AO MARKETING, AO ENTRETENIMENTO E À EDUCAÇÃO

MODELAGEM MATEMÁTICA: APLICAÇÕES DA LEI QUADRÁTICA DE LANCHESTER AOS COMBATES, AO MARKETING, AO ENTRETENIMENTO E À EDUCAÇÃO Henrique Marins de Carvalho Professor de Ensino Básico Técnico e Tecnológico do Instituto de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo (IFSP) RESUMO A utilização de leis matemáticas como representações manipuláveis de fatos reais é o objetivo da Modelagem Matemática. A análise das Leis de Lanchester, aplicadas inicialmente aos combates armados entre exércitos e hoje utilizadas em táticas de disputas de negócios entre empresas e no desenvolvimento de jogos eletrônicos é um exemplo da utilidade de tal abordagem prática da vasta gama do conhecimento matemático, que pode ser apresentada a um estudante de Matemática para que seu processo de aprendizagem se torne mais significativo. ABSTRACT The utilization of mathematical laws as representation of real facts is the porpoise of Mathematical Modeling. The analysis of Lanchester Laws, applied firstly to army combats and presently used on business tactics and alectronic games development is an important example of the mathematical knowledge practical approach, witch may be showed to a student, causing a meanness learning process.

INTRODUÇÃO: RESUMO BIOGRÁFICO E HISTÓRICO

Frederick Willian Lanchester, nascido em Londres, em 23 de outubro de 1868, cursou a Universidade de Southampton e a Escola Nacional de Ciências da Faculdade Imperial, tornando-se um profícuo matemático e engenheiro, desenvolvendo atividades no campo da aerodinâmica, fotografia, construção de automóveis, meteorologia e estratégia militar. Faleceu em 8 de março de 1946. Viveu exatamente na época compreendida entre as duas Grandes Guerras mundiais. A Primeira, no período entre 1914 e 1918, causada pelo desenvolvimento bélico e pelas divergências étnicas entre dois grandes blocos europeus: de um lado Alemanha, Áustria, Hungria e Itália e, de outro, GrãBretanha, França e Rússia. A segunda Grande Guerra, foi motivada praticamente das mesmas razões da Primeira, somadas à revolta germânica contra o Tratado de Versalhes, durou de 1938 a 1945 e envolveu, além dos países europeus, EUA, China, Japão, Brasil e a maioria dos países da América Latina e alguns do norte da África. Nesse clima beligerante, Lanchester escreveu, em 1916, “Aviation in Warfare: The Dawn of Fourth Arm” em que apresentava aos líderes britânciso a emergente necessidade da utilização da força aérea como fator determinante nos conflitos armados. Nesse trabalho, Lanchester analisa os combates na história mundial, dividindo-os em antigos e modernos, apresentando para cada um desses um modelo matemático para o cálculo das perdas de efetivo dos exércitos decorrentes das batalhas em que se envolviam, em suma, uma maneira matemática para se determinar a vitória no campo de batalha. Sob seu ponto de vista, os combates antigos podem ser imaginados pelo confronto de hordas guerreiras, armadas de espadas ou lanças e como cada soldado mata ou é morto por um único soldado do exército inimigo, o resultado esperado ao término de cada batalha é a diferença do maior efetivo para o menor, considerando-se similares a força dos combatentes e as armas utilizadas.

Tal constatação foi apresentada como a Lei Linear de Lanchester cuja aplicabilidade restringe-se ao combate corpo-a-corpo ou às batalhas da antiguidade mencionadas. Nos combates modernos, no entanto, em que as peças de artilharia podem atirar umas nas outras de uma certa distência, as armas são capazes de atingir alvos múltiplos e também de serem atingidas de múltiplas direções. Nesse caso, o poder de um exército é medido não pelo número de unidades que possui, mas pelo quadrado dessa quantidade de unidades. Chama-se tal relação, determinada com o auxílio de algumas equações diferenciais de Lei Quadrática de Lanchester, que tornou-se a mais famosa atuação desse cientista no campo da matemática e a razão do presente estudo. Cabe aqui, ainda, um breve comentário sobre a Modelagem Matemática, atividade frutífera na busca da aplicabilidade da matemática nas diversas áreas do conhecimento humano, no intuito de estreitar relacionamento científico e facilitar o desenvolvimento mútuo. Particularmente no que tange à Educação Matemática, tais investidas tem se mostrado sobremaneira importantes para o processo de ensino-aprendizagem dos conteúdos escolares, gerando maior interesse pela Matemática. Destina-se este trabalho, portanto, à análise de Lei Quadrática inicialmente do ponto de vista matemático, conforme desenvolvido por Lanchester, com o intuito de estratégia bélica e, em seguida, sob a ótica de aplicações distintas: o uso em estratégias de negócios, considerando os combates como o relacionamento competitivo de empresas e no desenvolvimento de jogos eletrônicos de batalhas, uma vertente crescente no ramo do entretenimento. Finalmente é apresentado um comentário sobre a possibilidade de utilização dos conceitos e modelos das Leis de Lanchester no ambiente do aprendizado de Matemática com o intuito de tornar mais atraente o estudo de funções e da resolução de equações diferenciais.

Considere duas tropas combatentes- a tropa X e a Y, cujos efetivos podem ser expressos em função de uma dada unidade de tempo da seguinte forma: X = x(t) e Y = y(t). Estipulamos, também, algumas restrições para manter o aspecto determinístico do problema: - não há baixas fora dos combates, ou seja, desconsideram-se deserções e mortes por doença ou acidente; - não há reforços nas tropas durante o período analisado; - todo a tropa X está no alcance da tropa Y e vice-versa; - se a tropa X sofre perdas, então a tropa Y dirige seus disparos para a parcela restante e vice-versa. Com tais pressupostos, temos que a variação da quantidade de elementos em cada tropa, em função do tempo dada por Lanchester (1916) [4] é:

dx  ay dt

dy  bx dt

onde a e b são constantes que determinam a capacidade de exterminação de cada tropa, ou seja, sua potência bélica ou tecnológica portanto: dx  aydt e dy  bxdt

dx  aydt ay   dy  bxdt bx Integrando, temos:

 bxdx   aydy Nos intervalos definidos [x0,x] e [y0,y], em que x0 e y0 são, respectivamente a quantidade inicial do efetivo de cada tropa, obtém-se: (1) b( x 2  x02 )  a( y 2  y02 ) ou ainda:

(2)

b y( x)  y02  ( x 2  x02 ) a

Esta é, finalmente, a expressão matemática da Lei Quadrática de Lanchester. Podemos, ainda, rearranjar (1) como se segue:

ay 2  bx 2  ay02  bx02  K Através dessa equação ficam óbvias as condições de vitória, bem como a fração sobrevivente da tropa vitoriosa:

K 0 K 0

 X vence  Y vence

X vence  x 

K b

K a Algumas verificações podem ser obtidas desse modelo. Tomemos o caso da tropa Y ser vencedora: ay02  bx02 uma duplicação do poder de exterminação (a constante a, no caso) garante uma duplicação do fator ay02, mas uma duplicação no efetivo inicial, ou seja em y0 ocasiona uma quadruplicação do fator ay02. Sob esta análise, conclui-se que a quantidade de elementos na tropa é fator muito mais relevante que o poderio bélico ou tecnológico, desde que sejam consideradas as ressalvas aplicadas inicialmente. Outra informação de grande utilidade estratégica é que, graças a essa Lei pode-se determinar uma maneira de vitória de uma tropa com quantidade de combatentes menor sobre uma de maior efetivo: isso é possível se a tropa menor Y vence  y 

conseguir seccionar a maior e combater com uma fração desta última de cada vez, obtendo, assim, superioridade numérica sobre cada parcela e o mínimo de perdas para enfrentar o próximo combate com o maior efetivo possível. VALIDAÇÕES DO MODELO Buscando a confirmação das hipóteses de Lanchester, o próprio cientista e vários outros que se propuseram a estudar seu trabalho, realizaram comparações entre dados relacionados a batalhas verídicas e valores obtidos pelas equações da Lei Quadrática. Um exemplo famoso é a Batalha de Trafalgar (21 de outubro de 1805). Nessa ocasião, o Amirante Lord Nelson enfrentava com 40 naves a força combinada de franceses e espanhóis com 46. Sua estratégia baseou-se na divisão da esquadra inimiga, utilizando 8 de seus barcos. Com isso, conseguiu destruir a metade dos navios da força inimiga e recebeu a rendição da outra parcela. Pela aplicação imediata da Lei de Lanchester a liga Franco-espanhola deveria vencer, com um saldo de 23 sobreviventes 46 2  40 2 . No entanto, como Nelson aplicou 8 de seus navios para despistar, o resultado passou a ser favorável para os ingleses com 22 navios de resto, da seguinte forma 32 2  23 2 . Somando-se com algum possível sobrevivente do grupo utilizado para a divisão da esquadra inimiga, as possibilidades de vitória cresciam ainda mais. O desfecho real de tal batalha confirma as conjecturas baseadas na teoria de Lanchester. Outras batalhas foram estudadas no intuito de comprovar a validade dessas idéias, por exemplo, as de Kursk, Rússia (fevereiro de 1943), Iwo Jima, Japão (fevereiro de 1944) e Ardennes, Bélgica (dezembro de 1944), durante a Segunda Guerra Mundial. APLICAÇÃO AOS COMBATES Graças a essa verificações, ainda hoje os estrategistas militares se valem dessas equações para planejar os efetivos e reforços necessários, bem como prever o tempo de duração das batalhas, muitas vezes servindo-se de computadores com programas de auxílio a tomadas de decisão. Um exemplo básico é o seguinte: supondo uma série de simulações de uma batalha em que a tropa de menor efetivo (X) pode ser representada por uma porcentagem da tropa maior (Y). Quais serão as baixas da tropa vencedora? Considera-se a mesma capacidade bélica, i.e, na equação deduzida anteriormente (2), a razão entre b e a é 1. Construindo uma tabela com os dados propostos, obtém-se o seguinte gráfico: Baixas da tropa vencedora x Razão entre as tropas 120 100 Baixas da tropa y

O MODELO MATEMÁTICO

80 60 40 20 0 0

20

40 60 80 Razão entre as tropas (y/x)%

100

120

Ou seja, quando a razão entre a tropa menor e a maior é inferior a 60% as baixas serão menores que 20% do efetivo

inicial; a partir desse valor, há um crescimento significativo da curva, fazendo com que a vitória tenha um preço cada vez maior para o exército sobrevivente, aumentando inclusive o tempo necessário para tal vitória, considerando o maior número de embates individuais que serão travados por unidades de batalha. Se qualquer uma das tropas for beneficiada por um reforço, o modelo sofrerá modificação e a estimativa de vitória e do número de baixas deverá ser novamente calculada em função das novas quantidades de cada tropa. APLICAÇÃO AO MARKETING Para descrever a aplicação da Lei de Lanchester às estratégias de negócios, é preciso um breve retrospecto histórico: Durante a reconstrução do Japão, após a Segunda Guerra Mundial, um estatístico inglês, Dr W. Edwars Deming realizou uma série de palestras para a União Japonesa de Cientistas e Engenheiros, utilizando-se de um livro escrito por Morse e Kimball “Methods of Operations Research” que contém um capítulo em que se comenta as idéias de Lanchester, entre elas as Leis Linear e Quadrática. Para os japoneses, ávidos por estratégias para adentrar ao mundo das empresas e dos negócios, tais estudos foram de extrema valia. Em 1962, Dr Nobuo Taoka, fundador da Sociedade de Pesquisa em Estatística de Gerenciamento converteu as teorias de Lanchester em um modelo de captura das parcelas de mercado e operações de negócios. O Japão tem sido vitorioso em quase todas as disputas de mercado que enfrenta, desde então. No lugar de tropas, no entanto, contabilizam-se as ações de mercado, a posse de parcelas do mercado, as armas são a publicidade, o preço, os produtos e as mortes são os prejuízos financeiros ou as falências. Para pequenas empresas, é aplicável a Lei Linear, já que tal competição é uma analogia de um combate corpo-a-corpo. Para médias e grandes empresas, passa a ser um caso da Lei Quadrática, já que as decisões de tais empresas têm efeitos similares à artilharia moderna, podendo atingir vários competidores. Essas análises auxiliam a verificar a situação da divisão e do domínio do mercado. Baseado nas idéias de Lanchester, outro japonês, Taikobo Onoda (Onoda, 1999) [5], na década de 60, determinou valores que regem tal controle dos negócios: -Objetivo máximo: monopólio de uma determinada companhia se possuir 73,9% do mercado; -Objetivo de equilíbrio: 41,7% do mercado é o suficiente para a estabilidade comercial; -Objetivo mínimo: com 26,1% do mercado a empresa sofre sérios riscos de extinção. As equações que determinam tais taxas partem de simplificações das teorias de Lanchester encontrando uma relação entre as duas forças combatentes que praticamente garantisse a certeza da vitória. Conforme Davis (1995) [3], esta razão ideal, já defendida por estrategistas anteriores a Lanchester e verificada por seus modelos é de 3:1 para a Lei Linear e de 3 : 1 na Lei Quadrática. Para tais cálculos, supõe-se duas empresas concorrentes x e y que podem ter sua força de “combate” analisadas como a soma de dois fatores xt e xe apresentados como a força de ação (vendas) e a força de estratégia (propaganda), da seguinte forma

x  xt  x e m

y  yt  ye n em que

1 xt  (2 py  x) 3

e

xe 

2 (2 x  py) 3

e p é o “coeficiente de estratégia”, definido como: x p3 y pela analogia das equações em y, temos:

xe  2 pyt A primeira condição de equilíbrio entre x e y ocorre com as seguintes equações: m 1 2 y  x  2 py x y x 2 2p p A segunda condição de equilíbrio é: 2 2 yt  y xt  x 3 3 Para atingir o objetivo de estabilidade o próprio potencial de x deve ser o aumento da capacidade de concorrência indireta xt.

xe  xt

2(2 sx  py)  1(2 py  x) 4 x  2 py  2 py  x x 4  p y 5

x 4 x  3 y 5 y 3

 x 64 x     y  125 y 2

 x 64    y 125   x 8  y 125 Sendo x a parcela do mercado atribuída ao líder e y aquela referente à concorrência e, ainda, x  y  1 x 125  8(1  x)

x

8 8  125

x  0,4171

Objetivo mínimo: quando a parcela de empresa líder supera o valor de 41,7% seu grau de liderança aumenta. Todavia, a controle de uma corporação não anula automaticamente a outra e, a não ser que se caracterize o monopólio, atinge seu valor mínimo na condição de equilíbrio: p x y 2 x 1 x  3 y 2 y 3

x 1 x     y 8 y 2

 x 1     y 8

Novamente, considerando x  y  1

x 1  (1  x) 8 1 x (1  8 )

x  0,2612

Objetivo máximo: se um líder de mercado superar a primeira condição de equilíbrio 2 py  x

23

x x  y y

x 8     y

8

2

x 1 x

x

8

(1  8 ) x  0,7388

APLICAÇÃO AO ENTRETENIMENTO Graças ao crescimento do interesse por jogos eletrônicos relacionados com batalhas e estratégias, os desenvolvedores têm buscado na matemática a fonte para a criação de simulações cada vez mais realistas, com personagens dotados de “inteligência” artificial, tomadas de decisões de forma heurística e interação com o ambiente virtual. As teorias de Lanchester encontram vasta utilidade no ramo de desenho de jogos, bem como de outros jogos, sejam eles destinados simplesmente à diversão ou mesmo outros com finalidade de treinamento em estratégias financeira, mercantil ou de gerenciamento.

APLICAÇÃO À EDUCAÇÃO Não apenas as Leis de Lanchester apresentadas neste trabalho, mas uma diversidade incrível de fenômenos físicos, biológicos e sociais podem ser explorados no contexto do ensino de ciências, principalmente da Matemática. Muitas vezes, os conceitos que são apresentados aos estudantes são mal compreendidos ou rejeitados por não se perceber o relacionamento que pode existir entre tais definições e operações e o mundo real em que vivem. No entanto, ao se apresentar a aplicação de certo modelo ou teoria matemática, mesmo antes de se começar a realizar qualquer cálculo, o aluno percebe que tal conteúdo não é estéril, sem significado, mas estritamente relacionado a um problema de ordem prática cuja solução pode oferecer economia de recursos e maior qualidade em dado processo. Na verdade, a questão a ser considerada não é qual o resultado determinado pelas fórmulas matemáticas, mas sim o trabalho desafiador e rico que ocorre nas deduções, simplificações e verificações das informações obtidas. A Modelagem Matemática é livre e espontânea, ela surge da necessidade do homem em compreender os fenômenos que o cercam para interferir ou não em seu processo de construção. Essa abordagem enseja um novo ânimo para educadores e educandos, aliando os conceitos matemáticos à sua significação, buscando encontrar os pontos de encontro com outras ciências. As leis de Lanchester podem ser empregadas então, como a justificativa para o estudo de equações diferenciais, no caso

de um curso de Cálculo Diferencial, ou, com as devidas simplificações, num estudo de funções para alunos de nível médio. CONCLUSÃO As Leis de Lanchester aplicadas ao combate são uma singela representação de sua produção científica. Dotado de uma genialidade criativa e visionária, soube utilizar a matemática como ferramenta ímpar para a compreensão do mundo observável, sua redução a fórmulas práticas e a simulação de fenômenos similares. Seus conhecimentos aplicados a tal fim legaram àqueles que se dedicarem ao estudo da Modelagem Matemática, um vasto conteúdo de brilhantes deduções. Utilizadas até hoje, mesmo em áreas distintas das originalmente contempladas – há estudos de modelos matemáticos baseados nessas leis para simular o comportamento de animais competitivos –, tais teorias demonstram a força da ciência quando devidamente executada. O emprego desse modelo em um processo de ensinoaprendizagem pode ser válido para o estímulo ao raciocínio, à formulação de hipóteses e às comprovações, fazendo uso das ferramentas de cálculo disponíveis. Apresentar a Matemática de forma desvinculada dos fenômenos aos quais os conceitos estão vinculados, contraria a própria evolução histórica dessa ciência, que sempre se ateve a proporcionar à humanidade os conhecimentos necessários para a resolução de seus problemas.

BIBLIOGRAFIA [1] ADAMS, Ernest. Kicking Butt By the Numbers: Lanchester’s Laws. Disponível em: Acesso em 10 mar. 2004. [2] BORGES, Renee M. Warring ants: lessons form Lanchester laws of combat? in: Journal of Biosciencies, vol. 27, nº 2, p. 75, março de 2002 [3] DAVIS, Paul K. Aggregation, Disaggregation, and the 3:1 Rules in Ground Combat, Santa Monica: Rand, 1995. [4] LANCHESTER, F. Willian, “Aircraft in warfare: the dawn of fourth arm”, Londres Constable & Co, 1916. [5] ONODA, Taikobo. Lanchester Theory: Science to Win the Competition. Forestville: Lanchester Press, 1999. [6] STEWART, Bart D., An interative use of the Lanchester Combat Model. Disponível em Acesso em 20 mar. 2004.. [7] TAOKA, Nobuo. Lanchester Strategy: An Introduction. Forestville: Lanchester Press, 1997.