MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM SISTEMA DE SECAGEM DE PLANTAS MEDICINAIS E AROMÁTICAS
Mauro de Oliveira Prates1, Tarcísio de Assunção Pizziolo2, André Gomes Tôrres3, Evandro de Castro Melo4
RESUMO
No presente trabalho teve-se como objetivo a modelagem matemática de um sistema de secagem de plantas medicinais e aromáticas. Para a modelagem foram estimados parâmetros tais como resistência térmica, capacitância térmica e a sua potência elétrica de entrada utilizando os dados de temperatura obtidos no sistema de secagem. A resistência térmica devido à vazão de ar na exaustão do sistema foi estimada utilizando-se o modelo auto-regressivo com entradas externas (ARX). Depois da estimação dos parâmetros foi feita uma sintonia do modelo ajustando-se os parâmetros encontrados e em seguida o modelo foi validado. Calculou-se o erro médio quadrático entre as respostas da modelagem e do processo real do sistema de secagem. Finalmente, foi feita uma comparação entre os modelos de Função de Transferência, de Espaço de Estados e do ARX com os dados reais de temperatura obtidos. Palavras-chave: identificação de sistemas, controle de processos, automação de processos.
ABSTRACT
Mathematical Modeling of Medicinal and Aromatic Plants Drying System
This study reports the mathematical modeling of a drying system used for medicinal and aromatic plants. Parameters of thermal resistance, thermal capacitance and input electric power were estimated using the temperature data of the drying system. The thermal resistance due to air flow at the exhaust of the system was estimated using the autoregressive model with the external inputs (ARX). After parameter estimation, the model was refined by the adjusting to the experimental parameters and then validated. The mean square error between responses of the models and of the drying system was calculated. Finally, the Transfer function, the Space State and ARX models were compared with the real temperature data. Keywords: systems identification, control systems, automation.
1
Professor Substituto, Depto. Eng. Elétrica e de Produção – UFV, e-mail:
[email protected] Prof. Adjunto, Depto. Eng. Elétrica e de Produção – UFV, e-mail:
[email protected] 3 Prof. Adjunto, Depto. Eng. Elétrica e de Produção – UFV, e-mail:
[email protected] 4 Prof. Adjunto, Depto. Eng. Agrícola – UFV, e-mail:
[email protected] 2
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Engenharia na Agricultura, Viçosa, MG, v.15, n.2, 96-108, Abr./Jun., 2007
INTRODUÇÃO Os constituintes voláteis aromáticos presentes nas plantas medicinais são os componentes mais sensíveis ao processo de secagem. O efeito da secagem sobre a composição de substâncias voláteis tem sido pesquisado, buscando demonstrar que as variações nas concentrações de seus constituintes, durante a secagem, dependem de vários fatores, tais como o método de secagem, temperatura do ar de secagem, características fisiológicas, além de conteúdo e tipo de componentes químicos presentes nas plantas submetidas à secagem (VENSKUTONIS, 1997). A secagem pode aumentar o número de modificações físicas e químicas negativas, alterando a qualidade da matéria prima para a sua comercialização, como, por exemplo, mudanças em aparência (coloração), alteração no odor e possíveis perdas de constituintes voláteis (BARITAUX et al., 1992). Para muitas plantas medicinais e aromáticas é totalmente desaconselhada a secagem ao sol, visto que o processo de fotodecomposição ocorre intensamente, degradando os componentes químicos e ocasionando alterações de odor, cor e sabor (MARTINS, 2000). O método de secagem, a velocidade e temperatura do ar exercem influência na quantidade e qualidade dos princípios ativos, presentes em plantas medicinais, aromáticas e condimentares (MELO et al., 2004). Portanto, tornam-se de fundamental importância pesquisas sobre a influência da temperatura do ar de secagem no teor e na composição dos princípios ativos das plantas medicinais. Para compreender e controlar sistemas complexos deve-se obter modelos matemáticos quantitativos destes sistemas. Torna-se necessário, por conseguinte, analisar as relações entre as variáveis do sistema e obter um modelo matemático. Como os sistemas sob consideração são dinâmicos por natureza, as equações que os descrevem são usualmente equações diferenciais. Além disto, se estas equações puderem ser linearizadas, pode-se utilizar a Transformada de Laplace para simplificar o
método de solução. Na prática, a complexidade dos sistemas e o desconhecimento de todos os fatores pertinentes requerem a introdução de hipóteses relativas à sua operação (DORF & BISHOP, 2001). O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como um conjunto de equações que representa com precisão ou, pelo menos, razoavelmente bem a dinâmica do sistema. Para a modelagem proposta considerou-se o princípio da causalidade, ou seja, a atual saída do sistema (no instante t = 0) depende da entrada anterior (a entrada em um instante t < 0), mas não depende da entrada futura (as entradas nos instantes t > 0). Os modelos matemáticos podem assumir diferentes formas dependendo do sistema considerado e das circunstâncias particulares. Um modelo matemático pode ser mais adequado do que outros (OGATA, 2003). A modelagem matemática do sistema de secagem de plantas medicinais e aromáticas possibilita analisar e determinar o comportamento do sistema dinâmico do secador, procurando preservar as características naturais das plantas e buscar uma alta eficiência durante a secagem. Em razão do exposto, este trabalho foi conduzido, a fim de modelar o sistema por meio de três representações de modelos lineares: Função de Transferência (FT), Espaço de Estados e Auto-Regressivo com Entradas Externas (ARX), assim como a comparação desses modelos com os dados reais de temperatura medidos no secador de plantas medicinais e aromáticas. MATERIAIS E MÉTODOS O sistema de secagem utilizado neste trabalho tem seu esquema mostrado na Figura 1(a). Sua fonte de alimentação para a energia de aquecimento é à base de gás (GLP) possuindo cinco bandejas onde são colocados os produtos para a secagem. Para a melhor visualização do sistema de secagem apresenta-se um corte frontal dele, conforme a Figura 1(b), com a intenção também de se detalhar todos os equipamentos que o constituem.
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(a)
(b)
Figura 1. (a) Vista frontal do sistema de secagem (b) Corte frontal do sistema de secagem. O sistema de secagem construído é composto por duto para entrada de ar, ventilador, motor elétrico de 1/3 cv, sistema de aquecimento (queimadores), plênum inferior e superior, câmara de secagem e duto para recirculação de ar. A câmara de secagem, o plênum e o duto de recirculação foram construídos com chapa metálica galvanizada número 18. Objetivando minimizar o consumo energético, foram colocadas chapas metálicas de forma dupla para possibilitar a fixação do isolamento térmico, sendo o espaço entre elas preenchido com uma camada de 25 mm de lã de rocha. O ar de secagem é insuflado por um ventilador acoplado a um motor elétrico de 245 W (1/3 cv), situado no duto da entrada de ar. Foi construído um plênum inferior na forma de “V”, visando melhorar a distribuição do fluxo do ar de secagem através da massa de planta, e um plênum superior, mas em formato de “V” invertido. A câmara de secagem é composta por cinco bandejas quadrangulares, com tampas teladas, construídas de aço inoxidável, com as dimensões 0,25 m de lado e 0,15 m de altura, perfazendo um volume total na
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câmara de aproximadamente 0,0469 m3. O duto de recirculação é construído para possibilitar o reaproveitamento do ar depois da secagem. Como combustível para aquecimento foi utilizado gás liquefeito de petróleo (GLP). Para a construção do sistema foram necessárias a utilização de duas linhas de queimadores e tubulação de gás (RADÜNZ, 2004). As equações referentes à dinâmica térmica do secador foram extraídas do sistema mostrado na Figura 2. Primeiramente obteve-se o modelo em Função de Transferência (FT), em seguida o modelo em Espaço de Estados e finalmente o modelo ARX. A Função de Transferência (FT) de um sistema representado por uma equação diferencial linear invariante no tempo é definida como a relação entre a Transformada de Laplace da saída e a Transformada de Laplace da entrada admitindo-se todas as condições iniciais nulas (OGATA, 2003). Por meio da Figura 2, montaram-se as seguintes equações logo após a Figura 2:
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Figura 2. Diagrama esquemático do secador.
Pamb = PQ =
Te − Tamb Rt
Te − Tamb RQ
E = Pe − Pamb
− PQ = C t T& e
(1)
E = Potência retida dentro do secador. Da equação 3, tem-se a seguinte relação:
(2)
Pamb + PQ = Pe − C t T& e
(3)
em que Pe = Potência de entrada do sistema; Pamb e PQ = perdas de potência para o ambiente e as perdas devido à vazão do gás, respectivamente; Tamb e Te = temperatura ambiente e da estufa, respectivamente; Rt e RQ = resistências térmicas devido às paredes do secador e devido à vazão, respectivamente; Ct = capacitância térmica do sistema; e,
⎛ R + RQ Pe (s ) = sC t Te (s) + ⎜⎜ t ⎝ R tR Q
(4)
Substituindo-se as equações 1 e 2 na equação 4, obtem-se: Te − Tamb Te − Tamb + = Pe − C t T& e Rt RQ
(5)
Arranjando-se a equação 5 conclui-se que: ⎛ R + RQ ⎞ ⎛ R + RQ ⎞ ⎟Te − ⎜ t ⎟ Pe = Ct T& e + ⎜⎜ t ⎟ ⎜ R R ⎟Tamb (6) ⎝ RtRQ ⎠ ⎝ t Q ⎠ Aplicando-se a Transformada de Laplace na equação 6, chegou-se a seguinte equação:
⎛ R + RQ ⎞ ⎟Te (s) − ⎜ t ⎜ RR ⎟ ⎝ t Q ⎠
⎞ ⎟Tamb (s) ⎟ ⎠
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(7)
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Assim, as saídas do sistema são Te(s) e Tamb(s), e a entrada é Pe(s). Porém, considerando Tamb(s) como um distúrbio no sistema, ou seja, fazendo Tamb(s)=0 e manipulando a equação 7, chegou-se ao modelo em Função de Transferência dado a seguir: R tR Q Te (s) = Pe (s) R t R Q C t s + (R t + R Q )
(8)
O estado de um sistema é um conjunto de variáveis tal que o conhecimento dos valores destas variáveis e das funções de entrada, com as equações que descrevem a dinâmica do sistema, fornecem os estados futuros e a saída futura do sistema. Em um sistema dinâmico, o estado do sistema num instante t é descrito em termos de um conjunto de valores das variáveis de estado [x1(t), x2(t),..., xn(t)]. As variáveis de estado são as variáveis que determinam o comportamento futuro de um sistema quando são conhecidos o estado presente do sistema e os sinais de excitação (DORF & BISHOP, 2001). Por meio da equação 8 chega-se à seguinte equação:
⎛ Rt + RQ T& e + ⎜ ⎜ R t R QC t ⎝
⎞ ⎟Te = 1 Pe ⎟ Ct ⎠
(9)
Definindo-se a variável de estado como x(t) = Te obtém-se a seguinte equação: ⎛ R + RQ x& = T& e = −⎜⎜ t ⎝ R tR QC t
⎞ 1 ⎟x + Pe ⎟ Ct ⎠
(10)
Portanto, a equação de estado, na forma matricial é:
⎡ • ⎤ ⎡ ⎛ R t + RQ ⎢ x ⎥ = ⎢− ⎜⎜ ⎣ ⎦ ⎢⎣ ⎝ R t R Q C t
⎞⎤ ⎡ 1⎤ ⎟⎥[x ] + ⎢ ⎥Pe ⎟ ⎣Ct ⎦ ⎠⎥⎦
(11)
E a equação de saída é:
[Te ] = [1][x]
(12)
Parte-se do modelo geral representações discretas dado por:
A(q) ⋅ y(k) =
100
B(q) C(q) ⋅ u(k) + .υ(k ) F(q) D(q)
para (13)
O operador de atraso é q-1, de forma que y(k).q-1 = y(k-1), ν(k) é ruído branco e A(q), B(q), C(q) e F(q) são os polinômios definidos a seguir:
A(q) = 1 + a1 ⋅ q −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n y ⋅ q
−n y
B(q) = b1 ⋅ q −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + b n u ⋅ q − n u C(q ) = 1 + c1 ⋅ q −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + c n ξ ⋅ q
−n ξ
(14) (15) (16)
D(q ) = 1 + d1 ⋅ q −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + d n d ⋅ q − n d
(17)
F(q) = 1 + f1 ⋅ q −1 + ⋅ ⋅ ⋅ + f n f ⋅ q − n f
(18)
O modelo Auto-Regressivo com Entradas Externas pode ser obtido a partir do modelo geral dado na equação 13, tomando-se C(q) = D(q) = F(q) = 1 e A(q) e B(q) polinômios arbitrários, resultando em: A(q).y(k) = B(q).u(k) + ν(k)
(19)
Uma vez que o ruído ν(k) aparece diretamente na equação, o modelo ARX é classificado como pertencendo à classe de modelo de erro na equação. O modelo da equação 19 pode ser escrito da seguinte forma:
y( k ) =
B(q ) 1 ⋅ u (k ) + .υ(k ) A (q ) A (q )
(20)
A equação 20 coloca em evidência as funções de transferência do sistema H(q) = B(q) / A(q) e de ruído C(q) / [D(q).A(q)] = 1 / A(q) (AGUIRRE, 2004). Para a obtenção do modelo ARX, utilizou-se a Função de Transferência da equação 8 e realizou-se o mapeamento s ⇔ z por meio de Transformação Bilinear, onde são usados métodos baseados na aproximação da integração numérica. Ou seja, é necessário transformar do domínio contínuo para o discreto. Assim, fez-se a seguinte substituição:
s=
2 (z − 1) ⋅ T (z + 1)
(21)
Efetuando-se manipulações algébricas, considerando-se que y ( z ) z −1 = y (k − 1) e um período de amostragem T obteve-se a equação 22 dada a seguir.
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⎛ 2R t R Q C t ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ − (R t + R Q ) ⎟ R R t Q T ⎜ ⎟ ⎜ ⎟P (k ) + Te (k ) = T (k − 1) + ⎜ 2R t R Q C t ⎟ e ⎜ 2R t R Q C t ⎟ e ( R R ) ( R R ) + + + + ⎜ ⎜ t Q ⎟ t Q ⎟ T T ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ R R t Q ⎟Pe (k − 1) +⎜ ⎜ 2R t R Q C t ⎟ + (R t + R Q ) ⎟ ⎜ T ⎝ ⎠ Os ensaios de secagem foram realizados no Laboratório de Secagem, Área de Armazenamento, situado no Departamento de Engenharia Agrícola da Universidade Federal de Viçosa. Foram utilizados 6 termopares (CobreConstantan) para obter os dados de temperatura. Destes, cinco foram distribuídos no secador e o outro foi utilizado para medir a temperatura ambiente. A Figura 3 mostra a localização desses termopares, denominados Ti (i = 1, 2,...,6). Por meio da porta paralela do computador, foi conectada uma placa OMD 5508TC, da OMEGA Technologies Company, a qual estava conectada aos termopares, e utilizando o programa computacional Direct
(22)
View for Windows (DVW) foram medidos os valores de temperatura em um determinado tempo. O intervalo de amostragem para os valores da temperatura foi de um segundo. Foram feitos dois ensaios, um com o registro 3 aberto e outro com ele fechado. Os registros 1 e 2 ficaram sempre abertos durante as medições (Figura 3). Em todos os ensaios o programa computacional monitorava as temperaturas, até que elas se estabilizassem (cerca de 3600 segundos ou uma hora), e logo depois as linhas de queimadores eram desligadas. Esperou-se novamente pela estabilização das temperaturas. A Figura 4 mostra uma curva obtida com o termopar 4 e o registro 3 fechado.
Figura 3 – Localização dos termopares no secador.
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Figura 4. Temperaturas obtidas com o termopar 4.
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Depois da aquisição dos valores de temperatura no ensaio de secagem, estimaram-se alguns parâmetros do sistema, os quais foram aplicados na modelagem do processo. As estimações da capacitância térmica, da potência de entrada do secador e da resistência térmica devido às paredes do secador, foram obtidas por meio de
equações termodinâmicas, enquanto que a estimação da resistência térmica devido à vazão foi obtida por meio da simulação do modelo ARX aplicando-se o software Matlab®. Para a estimação da capacitância térmica (Ct) foram medidas todas as dimensões do secador para calcular o volume total de ar dentro dele. O volume calculado foi 0,65109 m3. Assim, foi estimada a capacitância térmica como se segue:
Ct = mar ⋅ car = Var ⋅ d ar ⋅ car = 0, 65109 m3 ⋅1, 22 kg / m3 ⋅1010 J /(kg ⋅o C ) ∴ ∴ Ct = 802, 27 J / oC em que mar = massa de ar dentro do secador; Var = volume de ar dentro do secador; car = calor específico do ar; dar = densidade do ar; Para a estimação da potência fornecida ao secador (Pe), calculou-se duas componentes de energias, as quais em seguida foram somadas. Uma devido à energia dissipada dentro do secador (Pe1) e a outra devido à vazão no sistema (Pe2). Essas componentes de energia foram calculadas em Joule e
102
(23)
depois divididas pelo intervalo de tempo escolhido para determinar-se a potência entregue ao sistema, em watt. Utilizando um intervalo linear da curva de temperatura, pode-se estimar que & Pe1 = C t Te ≈ C t ∆Te . Tal intervalo da curva é apresentado na Figura 5 a qual corresponde ao termopar 5, quando o registro 3 estava fechado. O termopar 5 foi escolhido por estar medindo as temperaturas no exaustor informando com maior precisão as perdas de potências.
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Figura 5. Intervalo linear da curva de temperatura medida com o termopar 5.
Na Figura 5 estão marcadas as coordenadas utilizadas no cálculo de Pe1, que são: (27;29,75) e (109;40,41). Calculouse então o valor de Pe1:
Pe1 = C t ∆Te = 802,27(40,41 − 29,75) J = 8.552,20 J
(24)
Para calcular Pe2, mediu-se o valor da vazão do sistema. Para isso, foi medido o valor da velocidade do ar (var) na região onde ficam as bandejas obtendo-se var = 0,5 m/s. Como a área da seção transversal (A) nessa região é de 0,1156 m2, pode-se determinar o valor da vazão Q do sistema e conseqüentemente o valor de Pe2:
Q = Avar = 0,1156 x0,5 = 0, 0578 m3 s
(25)
Pe2 = QA∆T darcar = (0,0578x437,06x1,22x1010) J = 31.127,92 J (26)
O termo A∆T é, aproximadamente, igual a área abaixo da curva da temperatura no intervalo escolhido. Logo:
P + Pe 2 39.680,11J Pe = e1 = ≈ 485 W ∆T 82s
(27)
Observa-se que ocorre uma perda de energia no secador, pois a maior parte da energia é dissipada através do exaustor. Para a estimação da resistência térmica (Rt), utilizou-se a curva de temperatura do termopar 5, quando as linhas de queimadores foram desligadas, conforme Figura 6. Para esse caso poderia ter sido escolhido qualquer termopar.
Figura 6. Temperatura no termopar 5 com o sistema desligado. Engenharia na Agricultura, Viçosa, MG, v.15, n.2, 96-108, Abr./Jun., 2007
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Dessa curva, estimou-se a constante de tempo τ necessária para que o sistema atingisse 63,2 % do seu valor final. De acordo com a Figura 6, aproximadamente, aos 7.000 segundos, o valor da temperatura se estabiliza. Estimou-se então o valor de τ :
τ = (7.000 − 3.600) x0, 632 = 2.148,8 s
(28)
Com isso, pode-se encontrar o valor estimado de Rt:
Rt =
τ 2.148,8 = = 0,37 s º C J Ct 802,27
(29)
Para a estimação da resistência térmica devido à vazão na exaustão (RQ) foi utilizado
o software Matlab®, do qual por meio dos dados de temperatura medidos (saída) e da energia fornecida ao secador (entrada degrau) obtida na equação 27, obteve-se a equação a diferenças relativa ao modelo ARX. A simulação forneceu-nos a resposta que se encontra no quadro 1. A curva de temperatura estimada pelo modelo ARX também foi obtida e pode ser comparada com os dados de temperaturas medidos pelo termopar 4 na Figura 7. Esse termopar foi escolhido pelo fato de estar numa posição central da câmara de secagem. Pode-se observar que o modelo ARX ajustou-se à variação dos dados reais.
Quadro 1. Simulação no Matlab ® utilizando ARX
Discrete-time IDPOLY model: A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) A(q) = 1 – 0,994 q^-1 B(q) = -0,0003156 +.0,0008562 q^-1
Figura 7. Comparação dos dados medidos com o Modelo ARX estimado.
Por meio da resposta do Quadro 1 foram substituídos os valores dos polinômios A(q) e B(q) na equação a diferenças do modelo ARX e obteve-se:
(1 - 0,994 q-1 ) y(t) = ( −0,0003156 + 0,0008562 q −1 ) u(t) + e(t)
(30)
Portanto:
y(t) - 0,994 q-1y(t) = -0,0003156 u(t) + 0,0008562 q −1u(t) + e(t) -1
(31)
-1
Fazendo-se t=k e lembrando-se que q y(k) = y(k-1) e q u(k) = u(k-1), encontra-se:
y(k) = 0,994y(k − 1) − 0,0003156u (k) + 0,0008562u (k − 1) + e(k)
(32)
Sabendo-se que u = Pe (entrada do sistema) e y = Te (saída do sistema), pode-se reescrever a equação 32 da seguinte forma:
Te (k ) = 0,994.Te .(k − 1) − 0,0003156.Pe .(k) + 0,0008562.Pe .(k − 1) + e(k)
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(33)
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Igualando-se a equação 33 à equação 9, pode-se notar que o único parâmetro a ser determinado é RQ, pois os outros parâmetros já foram encontrados anteriormente. É importante também dizer que o tempo de amostragem escolhido foi de uma amostragem por segundo (T=1). Com isso, encontraram-se três possíveis valores de RQ: RQ1=0,4723; RQ2= -0,00021 e RQ3=0,0023. Finalmente RQ é estimada com a média aritmética dos valores de RQ1, RQ2 e RQ3:
R Q = 0,1566 (s⋅º C) J
Com isso, todos os parâmetros do sistema foram estimados e estão apresentados a seguir: Ct = 802,27 J/ºC; Rt = 0,37 (ºC s)/J; RQ = 0,1566 (ºC s)/J; e Pe = 485 W. A fim de verificar o desempenho do modelo do processo de secagem é necessário simulá-lo em uma condição de operação da qual se tenham medições com as quais se possa comparar a saída do modelo (AGUIRRE, 2004).
Utilizando-se do Termopar 4 (Figura 3), pelo mesmo motivo já exposto, obteve-se os valores medidos e por meio da Função de Transferência (equação 8), já com os parâmetros substituídos, calculou-se a resposta do modelo encontrado. Esse resultado é mostrado na Figura 8. É importante observar que dos valores medidos foram subtraídos os valores de temperatura ambiente local, ou seja, o zero grau equivale à temperatura ambiente que durante as medições foi monitorada em 27 ºC. Essa consideração de que temperatura ambiente fosse a referência é utilizado em todo o trabalho. Observa-se na Figura 8 que a forma de resposta do modelo assemelha-se à resposta do processo, porém necessita de ajustes. Isso indica que a ordem do modelo é uma ótima aproximação à do processo real. De forma geral, observa-se que a ordem do modelo é mais rápida do que a do processo e, também, o ganho dele é maior que o ganho do processo. Portanto, para sintonizar o modelo será desejável aumentar sua constante de tempo e diminuir-se o ganho.
Figura 8. Sinal de temperatura medido e simulado com o modelo não sintonizado.
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105
Assim, de acordo com a equação 8 da FT, temos que a constante de tempo τ e o ganho K do processo são:
τ=
R tR QC t R t + RQ
(34)
K=
R tR Q R t + RQ
(35)
Com isso, por meio das equações 34 e 35 pode-se observar que para aumentar a constante de tempo tem-se que aumentar a capacitância térmica Ct e as resistências térmicas Rt e RQ. Para diminuir o ganho é necessário diminuir os valores de Rt e RQ. Partindo-se dos valores estimados, foram realizadas simulações variando-se os parâmetros Rt, Ct e RQ para a sintonia do modelo, chegando-se ao seguinte ajuste: Ct = 2.300 J/ºC; Rt = 0,31 (ºC s)/J; RQ = 0,14 (ºC s)/J; e Pe = 485 W.
Aplicando-se os novos valores ajustados determinou-se o modelo sintonizado. As equações finais para os modelos propostos ficaram assim descritas: • Modelo Sintonizado em Função de Transferência (FT):
Te (s) 0,0434 0,0964 = ⇒ FT = (36) Pe (s) 99,82s + 0,45 221,82s + 1 • Modelo Sintonizado em Espaço de Estados:
[ x& ] = [−0,0045].[ x ] + [0,00043].[Pe ] Te = [1].[ x ] •
(37)
Modelo Sintonizado em ARX:
Te (k) = 0,9955Te (k −1) + (2,169⋅10−4 )Pe (k) + (2,169⋅10−4 )Pe (k −1)
(38)
A Figura 9 apresenta a resposta do modelo sintonizado.
Figura 9. Sinal de temperatura medido e simulado com o modelo sintonizado.
Para validar um modelo é necessário simulá-lo sem qualquer ajuste adicional e compará-lo a dados medidos coletados em testes diferentes daqueles usados no desenvolvimento e sintonia do modelo. Para isso, foram feitas novas medições de
106
temperatura e selecionado o termopar 4 novamente (Figura 3) para a validação. A Figura 10 apresenta a resposta do processo na validação dos modelos, bem como a comparação deles aos dados reais de temperatura.
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Figura 10. Comparação dos modelos da FT, Espaço de Estados e ARX com os dados reais.
O erro médio quadrático entre os valores das respostas dos modelos matemáticos e do processo real foi calculado aplicando-se a equação 39, encontrando-se um valor de MSE = 0,0045 = 0.45%.
MSE =
n
⎛ m(i) − c(i) ⎞ 1 ⎜ ⎟ n i =1 ⎜⎝ c(i) ⎟⎠
∑
2
em que n = número de dados medidos; m = dados medidos; e c = valores simulados pelo matemático.
(39)
processo real, independentemente da técnica de modelagem escolhida. Devese ressaltar que não foi considerada a lã de rocha que existe entre as paredes do secador, a qual possibilita a fixação do isolamento térmico, o que elevaria a ordem do sistema, otimizando assim significativamente sua resposta. Também vale ressaltar ainda que a capacitância térmica inserida com a inclusão das plantas medicinais é desprezível comparada com a existente no secador.
modelo
CONCLUSÕES
Por meio da estimação dos parâmetros do sistema de secagem, a sintonia dos modelos matemáticos pôde ser efetuada com ótima aproximação. O valor do erro médio quadrático calculado mostra a ótima aproximação entre as respostas da modelagem e do processo real do sistema de secagem.
A dinâmica dos modelos matemáticos ajustaram-se em conformidade com a do
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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