MODELAMENTO DINÂMICO DA PROPAGAÇÃO DE TRINCAS EM MATERIAIS FRÁGEIS BASEADO NA TEORIA FRACTAL Lucas Máximo Alves(*), Bernhard Joachim Mokross(**) (*) Bolsista CAPES do Programa de Doutorado da Interunidades (**) Orientador Instituto de Física de São Carlos -IFSC/USP,
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RESUMO A partir dos conceitos extraídos da teoria fractal, a fratura e a propagação de trincas estável e catastrófica de materiais frágeis foi modelada, considerando-se o perfil da trinca ou a superfície de fratura como sendo um monofractal com uma dimensão média D. Relações entre a área verdadeira de fratura e a área projetada fornecida pela teoria fractal, possibilitaram uma revisão dos conceitos da Mecânica da Fratura Clássica (MFC) estabelecida com base na geometria euclidiana.Desta forma foi efetuado uma reformulação da MFC com base na teoria fractal a fim de se obter relações matemáticas que incluem a superfície de fratura rugosa para tornar a descrição da MFC mais autêntica. Uma expressão para a curva-R que depende do tamanho do entalhe e do tamanho crítico de Griffith foi obtida. Postulando-se um Principio de Máxima Dissipação (PMDE) para a propagação instável de trincas foi possível explicar os processos de dissipação de energia e instabilidade que impede as trincas de atingir o limite da velocidade das onda Rayleigh, conforme havia sido demonstrado por Gross e Fineberg. Conhecendo-se a expressão analítica para a velocidade de propagação de uma trinca no regime catastrófico, o escalonamento dinâmico do fractal formado pela trinca ramificada pode ser inferido a partir da figura estática formada depois da propagação. A extensão do modelo para o caso catastrófico, tornou possível o entendimento do crescimento simultâneo de trincas que acontece em regimes de fragmentação provocados por impactos de alta energia ou por choque térmico. Com isso pôde-se estabelecer uma visão completa do fenômeno desde a fratura estável até o processo de fragmentação de um material sob o prisma da teoria fractal. Palavras-chaves: materiais frágeis, dimensão fractal, propagação de trincas. INTRODUÇÃO Os conceitos básicos da teoria fractal (1) desenvolvidos por Mandelbrot e outros tem sido utilizados na descrição de estruturas irregulares como (2) superfícies de fratura e trincas , com o intuito de se relacionar a descrição geométrica destes objetos com as propriedades dos materiais(3).
Figura - 1. Fractais ramificados, mostrando um elemento de estrutura a) Fractal Físico estatisticamente auto-similar b)Fractal Matemático auto-similar. Considerando uma trinca como sendo descrita por uma série de elementos de estrutura conectados na direção de propagação conforme mostra a Figura -1 e 2, nós aplicamos os conceitos da teoria fractal na (4) descrição de trincas formada por uma fratura estável e catastrófica, ramificadas ou não. Como resultado foi posível relacionar a teoria de Griffith com o modelo estatístico de Weibull, tanto num caso como no outro, a partir da seguinte relação:
H-D
Pf = 1 - exp(-Tr
/c*)
(1)
onde: Pf: é a probabilidade macroscópica de falha, T r é o comprimento radial da trinca, H é a dimensão da projeção da trinca , D é a dimensão fractal da trinca, c* é o tamanho critico da trinca. O fenômeno da ramificação pôde ser incluido na teoria contando-se o número de “elementos da estrutura” (Figura - 1) equivalente ao tamanho crítico de Griffith c* para o monocristal, formado pela trinca, sem se preocupar a princípio com a ramificação em si, e sim com a dimensão fractal global D da estrutura, calculada sobre todos os ramos. Desta forma a fratura estável pode ser tratada como sendo um caso particular da catastrófica onde a velocidade de propagação da trinca tende a zero ( v 0) e o número de ramo NR = 1. A curva de resistência a propagação da trinca (curva-R) também foi modelada pela expressão: R = RTN*rTx/[xN*rT - lnx]
(2)
onde: x =Tr/L e NrT = L/c*, L é a largura do corpo de prova. A partir do escalonamento fractal foi também possível inferir o escalonamento dinâmico de uma trinca a partir do estático, usando a descrição da velocidade de propagação dada de acordo com: v(r) = (2E/k)1/2(1- c*/rcosi)
(3)
onde: E é o modulo elástico, k é uma constante adimensional, : é a densidade do material, e r é a projeção da trinca na direção radial, e i é o angulo
MATERIAIS E MÉTODOS Foram feitas, simulações da fratura e propagação de trincas em materiais frágeis em um ensaio de três pontas usando-se a Linguagem Turbo Pascal num microcomoputador PC-486-100MHz, usando-se o criterio do “caminho mais fraco” e o princípio da máxima distribuição de energia de fratura PMDEF sobre o volume do material conforme mostra a Figura - 2. O PMDEF considera que a fratura frágil deve ocorrer entre dois pontos concentradores de tensão, os quais estão o mais próximo possível um do outro, de forma que o campo de tensão entre eles é máximo e a fratura ocorre no sentido de uní-los por uma trinca de tal forma que a energia dissipada por unidade de volume, seja a maior possível naquela região, visto que o material sendo absolutamente frágil fratura para não se deformar, pois não acumula tensões internas sob a forma de encruamento nem sob a forma de deformação plástica.
A validade das considerações feitas no modelo é restrita a condição de se considerar a trinca como sendo descrita por um monofractal com uma dimensão média D. Por outro lado observa-se que a fratura de uma forma geral é um multifractal onde a sua dimensão varia continuamente desde uma dimensão D = H até D = H +1, conforme mostra o resultado da Figura - 4. Isto nos leva a considerar um limite final para a dimensão fractal no processo de fragmentação, onde as ramificações das trincas se superpõem formando contornos fechados correspondentes aos fragmentos do material.
500
porosidade 2% porosidade 4% porosidade 6% porosidade 8%
400
Carga (N)
formado pelo trecho da trinca e esta direção de projeção.
300
200
100
0 0
1
2
3
deslocamento da trinca (mm)
RESULTADOS E DISCUSSÃO
50
40
30
N
A simulação desenvolvida consiste de basicamente de três sub-rotinas. Uma de entrada de dados com o dimensionamento do corpo de prova, uma outra de distribuição aleatória dos defeitos e a última de propagação das trincas. A extração dos resultados é feita na última etapa onde se calcula os parâmetros envolvidos na propagação.
Figura - 3. Carga em função do Deslocamento da trinca.
20
10
0 0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
H-D = ln(N)/ln(r/R)
Figura - 4. Gráfico de lnN x ln(r/R), mostrando os limites iniciais e finais da dimensão fractal D, para uma trinca (3) simulada em computador de acordo com Alves . CONCLUSÕES Figura - 2. Ensaio de fratura para uma material com 2% de número de poros. A partir da simulação destes ensaios é possível extrair o grafico da Carga versus Deslocamento da Trinca para várias numero de defeitos concentradores de tensão contidos no material, conforme mostra a Figura - 3. Calculando-se a dimensão fractal da trinca formada (Figura -2) a partir do gráfico do logaritimo do número de estruturas em função do logaritmo da escala de medida, foi possivel relacionar esta grandeza com as propridades mecanicas do material, através da tenacidade a fratura KIC e CurvaR extraida a partir dos gráficos da Figura - 3.
A descrição fractal da fratura estável e catastrófica forneceu como consequência uma visão geral do fenômeno desde a fratura estável até a fragmentação, sendo possível incluir também a descrição do crescimento simultâneo de trincas, considerando-se o material como sendo um meio homogêneo sujeito a um campo de tensões produzido por um impacto ou choque térmico, onde os concentradores de tensão da microsestrutra agem como agentes núcleantes das trincas num modelo análogo ao da transformação de fases de Avrami. Tornando clara a analogia existente entre esta teoria e a de Weibull.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (1) Mandelbrot, B. B., 1982. The Fractal Geometry of Nature, Freeman, New York. (2) Kaye, Brian, H. A Random Walk Through Fractal Dimensions, Chapter 9, Ed. VCH, 1989 (3) Zanotto, Edgar Dutra; Migliore Jr., Angelo Rubens - " Propriedades Mecânicas de Materiais Cerâmicos: Uma Introdução"; CERÂMICA, 37 (247) Janeiro/Fevereiro 1991. (4) Alves, Lucas Máximo. In: Anais do 42 Cong. Bras. de Cerâmica, Poços de Caldas de 3 a 6 de Junho, 1998.
