MODELO PARA UM PÊNDULO SIMPLES: ANÁLISE QUALITATIVA E LINEARIZAÇÃO

PR

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação

Relatório Final de Atividades

Modelo para um Pêndulo Simples: Análise Qualitativa e Linearização vinculado ao projeto PIBIC UTFPR

Thales Miquéias dos Santos Bolsista UTFPR Engenharia Eletrônica Data de ingresso no programa: 08/2014 Prof. Dr. Rodrigo Frehse Pereira

Área do Conhecimento: Ciências Exatas e da Terra

CAMPUS PONTA GROSSA, 2015

MODELO PARA UM PÊNDULO SIMPLES: ANÁLISE QUALITATIVA E LINEARIZAÇÃO Thales Miquéias dos Santos[Bolsista PIBIC/UTFPR]1 , Rodrigo Frehse Pereira[Orientador]2 1

Depto. Acadêmico de Engenharia Eletrônica - DAELE 2

Depto. Acadêmico de Matemática - DAMAT Campus PONTA GROSSA Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Av. Monteiro Lobato s/n Km 3 84016-210, Jardim Carvalho - Ponta Grossa/PR [email protected], [email protected]

Resumo – O pêndulo simples é um sistema de fácil análise que é governado por equações diferenciais nãolineares. Diversos problemas físicos podem ser modelados por pêndulos simples e geralmente nos cursos de física básica é feito um processo de linearização do modelo obtido para produzir o que se chama de pêndulo harmônico simples, cujas equações que regem o sistema podem ser resolvidas de forma analítica. Todavia o modelo linearizado não produz resultados satisfatórios para grandes amplitudes, não condizendo com o que é observado na prática. O modelo não-linear fornece diversas informações qualitativas importantes que não aparecem no linear, todavia possui a desvantagem de não permitir uma solução analítica simples, se fazendo necessário recorrer ao uso de métodos numéricos para obter soluções. Este trabalho tem como objetivo analisar a dinâmica do sistema mecânico que constitui um pêndulo simples composto por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento L com um corpo puntiforme de massa m em sua extremidade, forças dissipativas não serão consideradas. Será utilizado o MATLAB na construção de retratos de fase para discutir as soluções não-lineares e compará-las com as obtidas por linearização. Foi empregado o método numérico de Runge-Kutta de quarta ordem para resolver os sistemas de equações diferenciais.

Palavras-chave: Pêndulo Simples; Sistemas Dinâmicos; MATLAB; Retratos de Fase; Métodos de Runge-Kutta; Campos de Direções.

INTRODUÇÃO Diversos fenômenos nas mais variadas áreas do conhecimento podem ser abordados por equações diferenciais. Sistemas que possuem evolução temporal são chamados de Sistemas Dinâmicos [1]. Para tratar tais sistemas, foram desenvolvidas diversas ferramentas matemáticas que possibilitam obter aproximações de soluções ou análises qualitativas para descobrir como as soluções do sistema se comportam. A análise por retrato de fase pode ser feita para sistemas dinâmicos governados por equações diferenciais de segunda ordem [2], no qual traça-se trajetórias da solução pela sua derivada. Esta ferramenta matemática permite extrair informações qualitativas importantes relacionadas ao comportamento geral das soluções, possibilitando observar regiões de estabilidade e, se houver, regiões cujas soluções tornam-se instáveis. Para sistemas lineares a abordagem analítica é empregada com frequência, especialmente quando os coeficientes da equação diferencial são constantes, neste caso, o retrato de fase pode ser construído baseado na solução da EDO. Uma situação diferente ocorre quando

se trabalha com sistemas descritos por equações não-lineares [2]. Na maioria dos casos não-é possível encontrar uma solução analítica, recorrendo-se assim ao tratamento numérico. Vários métodos numéricos foram desenvolvidos para se resolver equações diferenciais, sejam elas lineares ou não-lineares, ordinárias ou problemas de valores de contorno. Inicialmente foi desenvolvido o método de Euler, que consiste em definir um passo para a variável independente e calcular aproximações nos pontos seguintes partindo das condições iniciais dadas. Dois dos problemas deste método é que ele é válido somente para equações de primeira ordem e dependendo da natureza das soluções, o erro pode crescer muito rapidamente fazendo com que a solução numérica obtida seja muito diferente da solução real. É fácil contornar o primeiro problema, basta transformar uma EDO de ordem n em n equações de primeira ordem. Para corrigir o erro, pode-se diminuir o tamanho do passo de integração, mesmo assim isso pode não ser o suficiente. Para melhorar a precisão do método, foi acrescentado mais um procedimento para se obter o coeficiente angular da aproximação no ponto considerado, o chamado método de Reun ou método de Euler melhorado. Os métodos de Runge-Kutta formam uma classe mais geral dos dois outros já citados. Os métodos de Euler e Reun são chamados de métodos de Runge-Kutta de primeira e segunda ordem respectivamente. O método mais popular para se resolver equações diferenciais é o método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico, pois possui bom desempenho computacional e soluções muito precisas [3]. A equação (1) é a fórmula recursiva do método de Euler, sendo h = ti+1 − ti o passo de integração, yi o valor encontrado dy(ti ) na i-ésima iteração e f (ti , yi ) = . dt yi+1 = yi + f (ti , yi )h

(1)

De acordo com a referência [3] o erro de truncamento do método de Euler pode ser obtido utilizando séries de Taylor [4]. A fórmula recursiva do método em questão corresponde aos dois primeiros termos da série, assim quando se utiliza o método de Euler, todos os termos com derivadas maiores que primeira ordem não são considerados. Ainda segundo [3] para valores suficientemente pequenos do passo de integração, pode-se desconsiderar os termos com derivadas de ordem superiores à segunda, sendo o erro então ficando como: E(h) =

f ′ (ti , yi ) 2 h 2!

(2)

Pela equação (2), Chapra conclui que o erro global pode ser reduzido pelo decremento do tamanho do passo, além disso o método proverá predições sem erros se a solução da equação diferencial for linear, pois os termos com derivadas de segunda ordem ou mais serão todos nulos. O método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico fornece um erro de truncamento de f ′′′′ (ti , yi ) 4 E(h) = h e similarmente ao que ocorre no método de Euler, pode-se dizer que não 4! haverá erros de truncamento para soluções polinomiais com no máximo termos cúbicos, além disso os erros propagados diminuem à quarta potência quando se diminui o tamanho do passo. Os métodos numéricos podem ser implementados de diversas maneiras, pois se tratam de algoritmos, existem muitos softwares que possuem funções próprias para o cálculo de soluções numéricas. A implementação pode ser feita em forma de tabelas ou ainda por linguagem de programação explorando comandos de estruturas de repetição. Neste trabalho, será feito uso

do software MATLAB para obtenção de soluções numéricas, construção de gráficos e retratos de fase das mesmas.

METODOLOGIA O sistema físico a ser analisado baseia-se em um pêndulo físico simples composto por uma barra rígida de comprimento L e um corpo puntiforme de massa m em sua extremidade. Não serão consideradas forças dissipativas, isto é, força de atrito em partes móveis ou resistência do ar, além disso, a aceleração da gravidade será representada pela letra g. A Figura 1 apresenta um diagrama de corpo livre e a Figura 2 mostra o diagrama cinemático do sistema em questão.

Figura 1: Diagrama de Corpo Livre

Figura 2: Diagrama Cinemático

− → A força gravitacional Fg atua sobre o corpo de massa m e pode ser decomposta na − → ˆ e na direção normal (ˆ direção tangencial (θ), n). A força de reação T ocorre no sentido negativo da direção normal, isto é, apontando para o centro do pêndulo. A aplicação da Segunda Lei de Newton [5] permite obter uma equação para os forças envolvidas associadas à massa e aceleração do sistema. Da Segunda Lei de Newton tem-se que: N ∑ − → → F i = m− ai i=1 N ∑

− → → − Fi = T − mg[sin(θ)θˆ + cos(θ)ˆ n]

(3)

i=1

Define-se a variável θ como sendo o ângulo formado entre a barra e a linha vertical abaixo do centro do pêndulo. Ao longo deste trabalho, quantidades vetoriais serão indicadas pela flecha superior ou um acento circunflexo. Portanto, da equação (3) tem-se: → − → T − mg[sin(θ)θˆ + cos(θ)ˆ n ] = m− a

(4)

Na Figura 2, a aceleração tangencial do corpo na extremidade da barra é representada − → → → por at , a aceleração normal por − an e a velocidade angular por − ω . O comprimento de um arco de raio R e ângulo ϕ , por definição é dado por: S = Rϕ

(5)

Para o sistema considerado o ângulo é representado por θ e o raio L. Como θ é uma grandeza que varia com o tempo, a equação (5) pode ser reescrita como segue: − → − → s (t) = L θ (t)

(6)

sendo L um escalar constante dado em metros. Derivando a equação (6) pode-se determinar a velocidade e aceleração tangencial do pêndulo. − → → d− s (t) d θ (t) − → v t (t) = =L dt dt → − → 2− d v t (t) d θ (t) − → at = =L dt dt2

(7) (8)

Se θ(t) = θ é o módulo do ângulo da barra em função do tempo, pode-se reescrever as equações (7) e (8) como: − → v t = Lθ˙θˆ − → a t = Lθ¨θˆ

(9) (10)

Obteve-se assim as componentes tangenciais da velocidade e da aceleração na extremidade da barra. Todavia, sabe-se que existe uma aceleração associada ao movimento rotativo da barra, esta é chamada de aceleração normal. Através de uma abordagem com cálculo vetorial, será obtido um conjunto mais geral de equações que fornecerá a aceleração com suas componentes tangenciais e normais. Por definição [7] a velocidade na extremidade da barra é dada por − → → → v (t) = − ω (t) × − r (t)

(11)

→ sendo − r (t) o vetor posição da extremidade da barra com sua origem coincidindo com a origem do pêndulo. Derivando a equação (11) tem-se → → → d → − d− ω d− r d− v (t) → − = [− ω ×→ r]= ×− r +→ ω × dt dt dt dt mas

→ → d− ω d− r → → → → =− v =− ω ×− r e − α = dt dt → − onde α é o vetor aceleração angular da barra. Por fim obtém-se: → − → − → − → a (t) = − α ×→ r +− ω ×→ ω ×− r

(12)

→ − − ¨ n, que é Na equação (12) poderia ser feito − r = Lˆ n, para fornecer → α ×→ r = θLˆ exatamente a equação (10). O segundo termo do lado direito da equação (12) é a aceleração normal, também chamada de aceleração centrípeta em alguns textos de física e é causada pela mudança de direção no movimento circular [6]. → → → ˆ − ˆ e executando os produtos vetoriais, a Fazendo-se − α = θ¨k, r = Lˆ n , − ω = θ˙k equação (12) pode ser reescrita como: → − ˙ 2n ˆ a (t) = Lθ¨θˆ + L(θ) (13) Pela equação (13) observa-se que a aceleração normal é diferente de zero se o sistema está em movimento, mesmo não havendo componente de velocidade nesta direção. Vale ressaltar ainda que a aceleração normal produz um termo não-linear por conta do expoente de ˙ esta informação é de muita importância na modelagem de um pêndulo segundo grau em θ, físico, conforme será discutido no decorrer deste trabalho. Pode-se substituir a aceleração obtida na equação (13) na equação (4). O que fornece: [ ( )2 ] 2 − → dθ d θ ˆ n (14) T − mg[sin(θ)θˆ + cos(θ)ˆ n] = m L 2 θˆ + L dt dt Pelo fato de a barra ser rígida, a força resultante na direção normal é igual a zero. Isto é: ( )2 dθ T − mg cos(θ) = mL dt [( ) ] 2 dθ g T = mL + cos(θ) (15) dt L A equação (15) modela a intensidade da força de reação da barra e pode ser reescrita como: T = mLθ˙2 + mg cos(θ)

(16)

A equação (16) só é útil caso conheça-se a velocidade angular em um dado ponto, mas para tal é necessário resolver a equação diferencial que fornece os valores de θ para dados instantes de tempo. Portanto é preciso realizar a análise do sistema na direção tangencial, assim, tem-se que: mLθ¨ + mg sin(θ) = 0 g θ¨ + sin(θ) = 0 L

(17)

A equação (17) fornece um modelo de segunda ordem não-linear para o pêndulo. O termo não-linear (senoidal), não permite a resolução analítica de maneira simples. Por conta disso, quando se trabalha com ângulos da ordem de θ < 0, 0873rad ≈ 5◦ é comum linearizar a EDO de forma que sin(θ) ≈ θ. Tal aproximação é baseada na aplicação da série de Taylor em sin(θ) retendo apenas o termo linear. Assim a equação (17) se torna: g (18) θ¨ + θ = 0 L

Os livros de física definem a grandeza ω02 = Lg como a frequência angular do pêndulo harmônico, que é o nome dado ao modelo linearizado [5]. Com esta nova notação, a solução geral da equação é dada por: θ(t) = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t)

(19)

˙ sendo A e B constantes reais arbitrárias. Dadas as condições iniciais θ(0) = Θ0 e θ(0) = Ω0 , a solução do problema de valor inicial fica: θ(t) = Θ0 cos(ω0 t) +

Ω0 sin(ω0 t) ω0

(20)

Pela equação (20), se Θ0 ̸= 0 e Ω0 = 0 o termo senoidal desaparece e a amplitude de oscilação máxima é sempre igual a Θ0 . A característica mais importante nesta solução, é a sua periodicidade. Mais discussões sobre este resultado serão realizadas neste trabalho. A equação (17) pode novamente ser reescrita usando a definição de frequência angular adotada. Tem-se que: θ¨ + ω02 sin(θ) = 0 (21) Para se obter as soluções das equações (18) e (21) foram construídos códigos no MATLAB baseados no método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico. Tanto para o modelo linearizado quanto para o não-linear, o passo de integração numérica utilizado foi h = 0, 0001, este por sua vez foi escolhido por tentativa e erro, na busca por encontrar soluções satisfatórias condizentes com o que já se observava em textos sobre o assunto e um tempo computacional de cálculo aceitável. Utilizando-se de estruturas de repetição, foram construídas diversas curvas integrais dadas por diferentes condições iniciais. O parâmetro ω02 foi escolhido como 0, 72π 2 , pois para o modelo linearizado, este valor produzia uma frequência de oscilação de f = 0, 6Hz, isto não influencia no comportamento geral das soluções, o intervalo de integração escolhido é −9≤t≤9. O comando quiver, permite a construção de campos de direções em duas e três dimensões, este foi utilizado para construir o campo de direções juntamente com as curvas integrais, permitindo assim a visualização da orientação das soluções.

RESULTADOS E DISCUSSÕES A linearização da equação (17) produz soluções oscilatórias. Para ângulos menores que 5◦ tal aproximação produz erros aceitáveis em muitas aplicações, porém isso não ocorre quando se trabalha com amplitudes de oscilações maiores. A equação (20) é a solução da EDO linearizada, composta por termos cossenoidais e senoidais, as constantes Θ0 e Ω0 representam a amplitude e velocidade angular inicial da barra, respectivamente. A grandeza ω0 é a frequência angular definida por ω0 = 2πf , sendo f a frequência de oscilação do pêndulo nesta aproximação. A Figura 3 apresenta a construção de diversas curvas integrais de soluções deste modelo. Como se pode observar, o comportamento qualitativo das soluções não mudam com as condições iniciais. Os círculos representam oscilações completas, o eixo das abscissas representa o ângulo e o das ordenadas a velocidade inicial das soluções. Como se pode ver, mesmo quando Θ0 > π as soluções não mudam de comportamento.

Figura 3: Retrato de Fase do Pêndulo Simples Linearizado. Para este modelo linearizado, a análise da dinâmica para grandes valores de θ fornece informações sem sentido físico. Por exemplo, se for escolhida uma curva integral cujas condições iniciais sejam Θ0 = 2π e Ω0 = 0, o modelo matemático levaria à conclusão de que o pêndulo giraria 2π rad no sentido horário (uma volta a partir da posição de repouso), então mudaria de direção e giraria mais 2π rad no sentido anti-horário (mais uma volta a partir do repouso) e continuaria desenvolvendo este comportamento eternamente. Todavia, o paradigma físico consistiria no seguinte: com um deslocamento de 2π rad à partir da posição de repouso e com velocidade angular nula, o pêndulo deveria permanecer em repouso, pois não possui nenhuma energia cinética que causasse mudança no seu estado de velocidade, porém o modelo propõe, em muitos casos, que o pêndulo altera seu estado de inércia sem variação de energia. Intuitivamente, espera-se que caso o pêndulo seja solto do repouso, isto é, Ω0 = 0 rad/s, ele não consiga ultrapassar sua amplitude inicial. Neste contexto a maior amplitude que a barra poderia atingir, seria um ângulo próximo de π rad. As leis de conservação de energia garantem exatamente isso [6], até porque nenhuma energia externa entra no sistema. O comportamento do modelo linearizado violaria essas leis, e é isso o que o modelo aproximado induz para ângulos maiores que π rad. O que se obtém, todavia, com a resolução da equação (21), é uma variedade de novas informações qualitativas não observadas no modelo linearizado. A Figura 4 apresenta o retrato de fase das soluções da equação não-linear, tal gráfico foi construído resolvendo-se a o sistema não-linear numericamente por meio do método de Runge-Kutta de quarta ordem clássico, conforme já mencionado. Observa-se que no intervalo −9 < θ < 9 considerado na figura, aparecem 7 soluções de equilíbrio [2], que são também chamados de pontos críticos e representam soluções estacionárias, sendo 3 delas estáveis e quatro instáveis. Os pontos críticos estáveis são tais que θ = 2nπ, sendo n um inteiro, observa-se pelo retrato de fase que as soluções oscilam em torno destes pontos. Já os pontos críticos instáveis são tais que θ = (2n + 1)π, e analogamente as soluções divergem deste ponto. Analisando-se os retratos de fase das duas soluções(linear e não-linear) nas Figuras 3 e 4, constata-se que para o modelo linear existe apenas uma solução de equilíbrio, a origem, contra infinitas dessas no modelo não-linear. No modelo linear as soluções possuem um único padrão para quaisquer valores iniciais, isso não ocorre para o modelo não-linear. Além disso, é bem notório que no

Figura 4: Retrato de Fase do Pêndulo Simples Não-Linear. retrato de fase do modelo não-linear existem regiões que ou ω = θ˙ > 0 (sentido de giro antihorário) ou ω = θ˙ < 0 (sentido horário) para qualquer instante de tempo, significando que a barra fica girando em uma única direção para certos valores iniciais. Na Figura 4, percebese que isso ocorre quando a velocidade inicial de rotação é maior ou menor que um limiar, dependendo do sinal de ω. Tal limiar é diferente para cada valor de θ, o nome dessa curva separatória é separatriz. O modelo não linear possui assim dois comportamentos qualitativos diferentes: um em que o sinal de ω = θ˙ se alterna com o passar do tempo (significando que o pêndulo se movimenta em duas direções), e outro em que ou ω é sempre maior ou sempre menor que zero para todo t. Pode-se construir o gráfico das soluções da equação (21) afim de se comparar com as informações já obtidas à partir do retrato de fase da Figura 4. É apresentado na Figura 5, gráfico do deslocamento e da velocidade angular do pêndulo, isto é, θ(t) e ω(t) em função do tempo. Neste caso, escolheu-se Θ0 = 0 para todas as curvas de modo a se observar mudança de comportamento das soluções com a variação de Ω0 . Pelo gráfico superior, verifica-se que todas as soluções começam no mesmo ponto, isto é, θ(0) = 0, porém com inclinações diferentes, que representam as velocidades iniciais, isso fica mais claro analisando-se t = 0 no gráfico de ω por t. Muitas informações relevantes podem ser extraídas destes gráficos, entre elas, pode-se perceber que o teorema da unicidade das soluções não é válido [2], desde que a equação diferencial (21) que descreve o sistema não é linear. Além disso, as soluções representadas por linhas pontilhadas são qualitativamente diferentes das representadas por linhas sólidas. Observa-se no gráfico de θ por t que as curvas sólidas parecem nunca ultrapassar um limiar, que é o mesmo já discutido anteriormente para o retrato de fase, em contrapartida, as curvas pontilhadas divergem para o infinito e não trocam de sinal. Já que θ representa o ângulo da barra com a vertical, para certos valores iniciais a barra ficará girando infinitamente em torno da origem, isso ocorre caso haja velocidade suficiente, para outros valores a barra ficará oscilando em torno da origem de forma periódica.

Figura 5: Curvas Integrais para θ e θ˙ Para Diversos Valores de Ω0 com Θ0 = 0. O modo como os valores iniciais das soluções construídas na Figura 5 foram escolhidos, remetem à análise do retrato de fase da Figura 4 retendo-se somente ao eixo vertical que passa pela origem, fazendo isso é possível extrair as mesmas informações extraídas da Figura 5. No caso especial em que Θ0 = Ω0 = 0, obtém-se uma solução de equilíbrio estável, conforme já discutido antes. Tal solução pode ser observada na Figura 5. Fisicamente é o mesmo que dizer que o pêndulo está na sua posição de repouso. Analogamente ao que foi feito nas soluções da Figura 5, pode-se construir curvas integrais do sistema dinâmico fazendo-se desta vez Ω0 = 0 para diversos valores de Θ0 , o que equivale à análise do retrato de fase no eixo horizontal que passa pela origem. Na Figura 6 as curvas pontilhadas são apenas soluções espelhadas das curvas sólidas. Foram escolhidos valores de Θ0 para se extrair as principais informações qualitativas do sistema quando Ω0 = 0. A curva sólida preta é a solução para Θ0 = π, anteriormente foi discutido que esta deveria ser uma solução de equilíbrio instável, o que se confirma pelo gráfico. A solução da curva sólida azul pertence à condição inicial Θ0 = π − 0, 001, isto é muito próximo da solução de equilíbrio θ(t) = π. A curva sólida preta pertence à Θ0 = π/2, uma solução intermediária às duas soluções de equilíbrio. A curva sólida vermelha possui valor inicial Θ0 = 0, 2, próxima à solução de equilíbrio estável θ(t) = 0 (curva tracejada preta). No gráfico da posição pelo tempo, é possível esclarecer o porquê de as soluções de equilíbrio serem chamadas de estáveis ou instáveis, as curvas azuis e vermelhas foram construídas para mostrar a diferença qualitativa entre as duas. As curvas vermelhas oscilam muito mais em torno da origem do que as azuis, caso forças dissipativas fossem modeladas, isso seria ainda mais claro. Neste caso todas as soluções tenderiam à solução de equilíbrio estável, isto é, divergiriam de θ = π e se aproximariam de θ = 0, exceto

Figura 6: Curvas Integrais para θ e θ˙ Para Diversos Valores Iniciais de Θ0 com Ω0 = 0. se Θ0 fosse exatamente igual à π, algo matematicamente plausível mas fisicamente impossível, pois qualquer perturbação, por menor que seja, tiraria o pêndulo da posição instável. Fisicamente, pode-se dizer que as soluções representadas pelas elipses distorcidas da Figura 4, não possuem energia cinética suficiente para ultrapassar θ =+ − π, diferentemente das soluções representadas no retrato de fase pelas curvas contínuas que vão desde −∞ até ∞, e como não há dissipação de energia neste modelo, o pêndulo fica para sempre rotacionando em torno da origem numa única direção. Ainda na Figura 4, pode-se concluir que quanto maior a velocidade de rotação da barra, menos as oscilações provenientes da força gravitacional serão percebidas. Isso se dá pelo fato de que a força gravitacional se tornará cada vez mais desprezível em comparação com a força centrípeta do pêndulo conforme ω(t) aumenta, a equação (16) que representa a força de tensão na barra confirma esta discussão. Estes argumentos são confirmados ˙ obtidos numericamente, plotando-se o gráfico da equação (16) com os valores de θ(t) e θ(t) conforme se pode observar na Figura 8. A Figura 7 mostra, para efeitos de comparação, o retrato de fase das duas soluções obtidas. As curvas integrais azuis representam as soluções não-lineares, as pretas representam as linearizadas. Como se pode observar, para valores próximos da origem, isto é, θ pequeno, as curvas integrais praticamente se sobrepõe umas sobre as outras, porém essa diferença aumenta à medida que θ se torna grande. Quando as soluções não-lineares mudam seu comportamento qualitativo, os dois modelos já não se correspondem mais.

Figura 7: Comparação Entre as Soluções - Retratos de Fase Sobrepostos. Com todas essas informações levantadas sobre o sistema, é possível ainda analisar o que acontece com a força de reação da barra. O primeiro termo do lado direito da equação (16) é sempre maior que zero, pois m, L, θ˙2 são maiores que zero para[ todo t. ] O segundo termo g g da equação (16) que contém a função cosseno e varia no intervalo − L , L , este é proveniente da força gravitacional sobre o corpo de massa m. Conhecendo-se a função θ(t) é possível determinar √ o valor em newtons da força de reação da barra. Pode-se observar que para valores θ˙ > g cos θ , isto é, alta velocidade L

de rotação, a força gravitacional passa a influenciar pouco na força resultante, pois a parcela da força gravitacional é dada por uma função limitada entre − Lg e Lg , ao passo que a força centrípeta cresce com o quadrado da velocidade angular da barra. Para um pêndulo real, a não consideração do termo quadrático faz com que o modelo para a força de reação da barra seja inconsistente com os resultados observados na prática para valores de velocidade angular que não sejam muito mais especificamente, para √ pequenos, valores de θ˙ que não satisfaçam a condição θ˙