MODULADOR MACH-ZENDER (MACH-ZENDER MODULATOR) Estudo detalhado do princípio de funcionamento

MODULADOR MACH-ZENDER (MACH-ZENDER MODULATOR) Estudo detalhado do princípio de funcionamento

Por Gabriel Lobão

Sumário 1.

Introdução ............................................................................................................................ 3

2.

Efeito Eletro-Óptico ............................................................................................................ 3

3.

Material Eletro-óptico como modulador de onda caminhante ....................................... 4

4.

Índice de refração como função do comprimento de onda .............................................. 5

5.

Estudo de caso ..................................................................................................................... 6

6.

O Modulador Mach-Zender. .............................................................................................. 9

7.

Modelagem computacional de um modulador MZM ...................................................... 9

8.

7.1.

Análise da portadora óptica ao longo do comprimento do guia de onda ............... 9

7.2.

Análise no tempo ....................................................................................................... 11

Apêndices ........................................................................................................................... 13 8.1.

9.

Expressões matemáticas utilizadas .......................................................................... 13

Referencias ......................................................................................................................... 13

Lista de Figuras Figura 1. Efeito eletro-óptico num modulador de fase. ................................................................ 4 Figura 2. Índice de refração em função do comprimento de onda. (a) Sílica pura (SiO2). (b) Niobato de Lítio (LiNbO3). (c) Arseneto de gálio (GaAs). ............................................................ 6 Figura 3. Diagrama do modulador de fase proposto por John Senior[4].................................... 6 Figura 4. Tensão Vπ em função do comprimento de onda λ em um cristal de niobato de lítio (LiNbO3). ....................................................................................................................................... 7 Figura 5. Tensão Vπ em função do comprimento de onda λ em um cristal de arseneto de gálio (GaAs). .......................................................................................................................................... 8 Figura 6. Tensão Vπ em função do comprimento de onda λ em um cristal de sílica pura (SiO2) 8 Figura 7. Modulador Mach-Zender. ............................................................................................. 9 Figura 8. Defasagem sofrida ao longo do guia de Niobato de Lítio submetido a um campo elétrico constante. ....................................................................................................................... 10 Figura 9. Distribuição do campo elétrico vista por um corte frontal em um modulador MachZender. ........................................................................................................................................ 10

Lista de Tabelas Tabela 1. Coeficientes para a equação de Sellmeier [7][8][9] .................................................... 5

1. Introdução

Este trabalho tem por finalidade um estudo amplo sobre dispositivos eletrolíticos detalhando seus aspectos e explicando seu funcionamento. No inicio são detalhados as características dos materiais eletros-ópticos, e suas características que tornam causam o fenômeno que torna possível a execução de moduladores ópticos, tal como o modulador de Mach-Zender[1]. São também discutidas as características dos materiais e ao final, um comentário sobre as aplicações para esta tecnologia[2].

2. Efeito Eletro-Óptico Basicamente é descrito como a alteração da permissividade elétrica ε de um material quando exposto a um campo elétrico . Como, na maioria dos casos, os materiais são anisotrópicos, isto é, as componentes da densidade de fluxo de uma direção dependem das componentes do campo elétrico, o vetor deslocamento elétrico não depende de um valor de permissividade ε, mas sim de uma matriz que relaciona as influências da permissividade em todas as direções, como visto na seguinte equação =

∙

(1)

a esta matriz dá-se o nome de tensor permissividade elétrica, representado por ̃ de modo que podemos reescrever esta equação matricial [3] [4] (2) = ̃∙ sendo assim o tensor permissividade do meio ̃ varia conforme o valor do campo elétrico aplicado externamente ao material onde se observa o efeito eletro-óptico. É possível associar a permissividade elétrica ε, ou neste caso o tensor ̃, ao índice de refração do material. Sabe-se que o índice de refração é a relação entre a velocidade da onda ao se propagar no vácuo, e a velocidade vp da onda ao se propagar no material sob análise,

=

(3)

do mesmo modo, sabe-se que a velocidade da onda se propagando por um material qualquer, depende das suas características eletromagnéticas, como a permeabilidade magnética μ, e a permissividade elétrica ε.

substituindo (4) em (3), tem-se

= =

1

√

(4)

(5)

A Equação (5) mostra que o índice de refração n é proporcional à permissividade elétrica do meio, sendo este meio anisotrópico, o índice de refração, então, é proporcional ao tensor permissividade elétrica. Esta variação é predominantemente linear, e neste caso recebe o nome de Efeito Pockels [5]. A relação entre a variação do índice de refração δn e o campo elétrico , depende basicamente do coeficiente eletro-óptico r, é dada por

=

2

(6)

onde n é o índice de refração original do material, r é o coeficiente eletro-óptico do material, ainda que seu valor exato dependa principalmente da orientação do campo elétrico aplicado . O niobato de lítio (LiNbO3) é um cristal anisotrópico amplamente utilizado em fotônica, seu coeficiente eletro-óptico r33 possui valor na ordem de 30,8pm/V, que representa um elevado coeficiente eletro-óptico se comparado a outros compostos. No item 3 é demonstrado como o índice de refração altera a fase da onda propagante, que é o principio do funcionamento do objeto deste estudo, os moduladores de onda caminhante.

3. Material Eletro-óptico como modulador de onda caminhante Todo material que tem suas características ópticas modificadas quando submetido a um campo elétrico, pode ser chamado de material eletro-óptico. O quanto suas características variam sob a exposição a um campo elétrico é determinado pelo coeficiente eletro-óptico r, sua unidade de medida é o metro por Volt. Uma vez que um guia de onda seja submetido a um campo elétrico é observada uma mudança no valor de seu índice de refração n, portanto a velocidade com que uma onda se propaga no guia eletro-óptico é afetada em função do campo elétrico. A Figura 1 ilustra o efeito eletro-óptico agindo sobre um sinal Ei que se propaga por um guia de onda submetido a um campo , resultando num sinal EO de saída com uma fase de ! em relação ao sinal de entrada.

Figura 1. Efeito eletro-óptico num modulador de fase.

O guia de ondas imerso no campo elétrico provoca uma defasagem no sinal de pode ser relacionada a variação sofrida pelo seu índice de refração pela seguinte equação: = 2"#

! que

$ em que L é o comprimento do guia e λ o comprimento de onda. Por conseguinte, é possível relacionar a variação de índice de refração ao efeito eletro-óptico, isto é, relacionar a mudança no índice de refração ao coeficiente eletro-óptico, isto é demonstrado por (6). Substituindo, (6) em (7), vem: !

(7)

" (8) # $ Porém é mais interessante escrever esta equação em função da tensão V aplicada ao modulador ao invés do campo elétrico E. Sabendo que E = V/d, onde d é a distância entre os eletrodos, tem-se: !

=

" %# (9) (9) $ & Esta expressão é de grande importância para este estudo, por permitir dimensionar um modulador de onda caminhante, uma vez conhecido o seu coeficiente eletro-óptico e o seu índice de refração. Um parâmetro importante utilizado para qualificar os moduladores de onda caminhante, é a tensão necessária para causar uma defasagem de 180º no sinal de saída em relação ao sinal de entrada, chamada de Vπ. Da equação (9), pode-se igualar a π e isolar a tensão: !

=

δ+ = " =

" $

%# &

(10)

$ & (11) # No entanto há de se observar que o valor exato do índice de refração depende principalmente do comprimento de onda, esta questão é tratada no item 4. V = V- =

4. Índice de refração como função do comprimento de onda Como visto anteriormente, é justamente a variação do índice de refração, n, em função de um campo elétrico, que torna possível de se utilizar um cristal eletro-óptico como modulador de onda caminhante, no entanto é preciso se levar em conta o fato de que n também varia com o comprimento de onda, λ. Ou seja, antes de se determinar ! é preciso ter o índice de refração também como função do comprimento de onda. É possível determinar essa relação pela equação de Sellmeier [6][7][8], /$ / $ / $ + + $ −1 $ −1 $ −1 donde $ é o comprimento de onda em μm. Esta equação pode também ser expressa por ($) = 1 +

($) = 2 +

/$ / $ + $ −1 $ −1

(12)

(13)

em que todos os coeficiente A, B1, B2, B3, C1, C2, e C3 são obtidos de forma empírica e tabelados[7][8]. Para a sílica pura, níobato de lítio e arseneto de gálio, tem-se: Tabela 1. Coeficientes para a equação de Sellmeier [7][8][9]

SiO2 LiNbO3 GaAs

A 3,5

B1 0,6961 2,6734 7,4969

B2 0,4079 1,2290 1,9347

B3 0,8975 12,614 -

C1 0,0684 0,01764 0,4082

C2 0,1162 0,05914 37,17

C3 9,8961 474,6 -

A partir desta tabela e das equações (12) e (13), é possível obter um gráfico do índice de refração por comprimento de onda:

Figura 2. Índice de refração em função do comprimento de onda. (a) Sílica pura (SiO2). (b) Niobato de Lítio (LiNbO3). (c) Arseneto de gálio (GaAs).

Uma vez conhecido o índice de refração do cristal para cada comprimento de onda, é possível então estudar o comportamento de um modulador de fase genérico. Este estudo de caso é feito a seguir.

5. Estudo de caso Seja o modulador de fase construído com niobato de lítio (LiNbO3), com 2cm de comprimento e separação entre os eletrodos de 25μm, como mostra a e admitindo que, hipoteticamente a largura do guia seja ideal para cada comprimento de onda. Tem-se

Figura 3. Diagrama do modulador de fase proposto por John Senior[4].

para este modulador é possível de se determinar a tensão Vπ. Sabendo que para o niobato de lítio o coeficiente eletro-óptico r33 é igual a 30,8×10-12 m/V, esta tensão pode ser determinada como uma função do comprimento de onda, utilizando índice de refração também como função do comprimento de onda, tem-se:

então:

%3 ($) =

$ ($)

& #

(14)

V- ($) =

da qual se obtém o gráfico:

$ ($) ∙ 30,8 × 109

V- ($) =

25 × 109; 2 × 109

$ 40,584 × 10; ($)

(15)

(16)

Figura 4. Tensão Vπ em função do comprimento de onda λ em um cristal de niobato de lítio (LiNbO3).

Logo é possível observar que a tensão cresce quase linearmente em função do comprimento de onda. E para os comprimentos de onda tipicamente utilizados em comunicações ópticas a tensão Vπ fica próxima a 5V, o que um valor de tensão coerente com os dispositivos eletrônicos normalmente utilizados. Para o arseneto de gálio (GaAs), tem-se um coeficiente eletro-óptico significativamente menor, usa-se r41 igual a 1,43×10-12m/V. Aplicando-se esse valor na equação (9) e utilizando os valores da Tabela 1 para obter o índice de refração, tem-se: V- ($) =

o que resulta no gráfico,

$ ($) ∙ 1,43 × 109

V- ($) =

25 × 109; 2 × 109

$ 874,13 × 10; ($)

(17)

(18)

Figura 5. Tensão Vπ em função do comprimento de onda λ em um cristal de arseneto de gálio (GaAs).

Observa-se apesar de apresentar uma maior linearidade em relação ao niobato de lítio, para o arseneto de gálio a tensão aplicada para causar um atraso de π radianos na onda guiada precisa substancialmente maior para o mesmo comprimento de onda. Na faixa 1.3μm seriam necessárias tensões na faixa dos 20V, um valor relativamente elevado quando se trabalha com eletrônica digital. Para a sílica pura (SiO2), o coeficiente eletro-óptico é aproximadamente 0,23×10-12m/V, e respeitando a função de n por λ, tem-se

Figura 6. Tensão Vπ em função do comprimento de onda λ em um cristal de sílica pura (SiO2)

além de não ser linear, seriam necessários milhares de Volts para provocar as defasagens desejadas pra o modulador de fase. O baixo coeficiente eletro-óptico é o fator preponderante para uma resposta absolutamente ruim para esta aplicação. Daí o uso de cristais como niobato de lítio para aplicações em dispositivos de fotônica integrada. 6. O Modulador Mach-Zender. Embora até aqui o objeto do estudo tenha sido a variação da fase do sinal guiado em função do campo elétrico ao qual o guia de onda está imerso, o modulador Mach-Zender, que faz uso dessa característica, é um modulador de amplitude. A figura Figura 7 mostra o diagrama básico deste tipo de modulador, e a seguir é explicado como se obtém este efeito.

Figura 7. Modulador Mach-Zender.

Neste modelo é possível de se observar que o sinal óptico Ei se divide nos dois braços do modulador, e cada braço está sujeito a um campo elétrico, logo o sinal que atravessa cada braço recebe uma modulação diferente. Dado que estes sinais são harmônicos, tem-se que a soma de dois cossenos de fases diferentes é equivalente a multiplicação de dois cossenos de freqüências diferentes. Daí a modulação em amplitude, o efeito resultante é similar ao sinal de entrada sendo multiplicado por um sinal modulante.

7. Modelagem computacional de um modulador MZM Como forma de consolidar o estudo, neste subitem é proposto uma modelagem matemática do modulador Mach-Zender proposto no item 5 porém, considerando que a guia de ondas teórica, capaz de propagar apenas o modo fundamental. Ou seja, considera-se que a espessura da guia de ondas seja sempre igual ao comprimento de onda. Para esta análise também se considera que a onda esteja devidamente polarizada, ao modo que os detalhes inerentes a esta características são desconsiderados. 7.1. Análise da portadora óptica ao longo do comprimento do guia de onda Seja o modulador de fase proposto no item 5, com uma tensão de 4.7V aplicada em seus eletrodos, e tendo-se um sinal óptico de 1.3μm atravessando este modulador, é possível observar a variação de fase sofrida ao longo do comprimento do guia pela Figura 8.

Figura 8. Defasagem sofrida ao longo do guia de Niobato de Lítio submetido a um campo elétrico constante.

O que demonstra que, na saída do modulador, uma portadora óptica de 1.3μm terá sofrido uma defasagem total de aproximadamente π radianos. Comprovando o que foi demonstrado pela Figura 4. Tensão Vπ em função do comprimento de onda λ em um cristal de niobato de lítio (LiNbO3).Figura 4, em que a tensão %3 para o modulador proposto é de aproximada mente 4,7V. No entanto, um modulador Mach-Zender trabalha combinando duas guias de onda sob campos elétricos com módulos opostos, porém oriundos da mesma tensão de modulação V(t), conforme visto na Figura 7:

Figura 9. Distribuição do campo elétrico vista por um corte frontal em um modulador Mach-Zender.

Com isso, conclui-se que os sinais ópticos em cada braço do modulador receberão defasagens diferentes, porém oriundas de um mesmo campo elétrico, estas podem ser dadas por " (19) = ±? | |#A $ É possível fazer a mesma análise da distribuição da variação de fase ao longo do comprimento do guia de ondas, e neste caso, o gráfico fica: !

Quando as duas senoides se somam na saída do modulador, o efeito é similar ao de uma modulação em amplitude. Neste caso não há informação modulando o sinal óptico, já que se

trata de uma tensão DC constante igual a 4.7V, no entanto ao conectar os eletrodos a uma fonte de informações, a portadora óptica passa a carregar essas informações em sua amplitude, graças a relação trigonométrica vista em (20). Para este caso, pode-se que x é a portadora óptica, e y é proporcional ao campo elétrico. Do primeiro membro, pode-se concluir que a tensão aplicada está modulando a amplitude da portadora óptica. cos(E) cos(F) = 7.2. Análise no tempo

cos(E − F) + cos (E + F) 2

(20)

Modulation response

8. Apêndices 8.1. Expressões matemáticas utilizadas Cálculo do índice de refração em função do comprimento de onda, para silica pura e o niobato de lítio: n= @(x) sqrt(1+ ((B1.*(x.^2))./((x.^2)-C1)) + ((B2.*(x.^2))./((x.^2)C2)) + ((B3.*(x.^2))./((x.^2)-C3)));

Para o arseneto de gálio: n = @(x) sqrt( A + (B1.*(x.^2)./((x.^2)-C1^2)) + (B2.*(x.^2)./((x.^2)C2^2)));

9. Referencias [1] N. Dagli, "Wide-Bandwidth Lasers and Modulators for RF Photonics", IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 47, No. 7, Julho de 1999. [2] C. Lin, P. Shih, J. Chen, W. Xue, P. Peng, S. Chi, " Optical Millimeter-Wave Signal Generation Using Frequency Quadrupling Technique and No Optical Filtering", IEEE PHOTONICS TECHNOLOGY LETTERS, Vol. 20, No. 12, 15 de Junho de 2008 [3] RIBEIRO, J. A. J. Propagação das Ondas Eletromagnéticas – Princípios e Aplicações. 2ª Edição. São Paulo, Érica, 2008. [4] LECOY, P. Fiber-Optic Communications, p. 130-131. 3ª Ed. França, Hermes Science, 2007 [5] SENIOR, J. Optical Fiber Communications: Principles and Pratice. p.616 Londres, Prentice-Hall, 1985. [6] RIBEIRO, J. A. J. Comunicações Ópticas. 3ª Edição. São Paulo, Érica, 2007. [7] THOMPSON, B. J. Handbook of Optical Engineering, New York, University of Rochester Rochester, 2001. [8] WIKIPEDIA – The Free Encyclopedia. Disponível em : Acesso em 15 de maio de 2014. [9] RefractiveIndex.INFO – Refractive index database. Disponível em: Acesso em 15 de maio de 2014.