Módulo 1: Conteúdo programático – Equação da quantidade de Movimento

Módulo 1: Conteúdo programático – Equação da quantidade de Movimento Bibliografia: Bunetti, F. Mecânica dos Fluidos , São Paulo, Prentice Hall, 2007. Equação da quantidade de movimento para o volume de controle com aceleração linear em relação a um referencial fixo: r r P = m.v relativo r vrelativo = em relação ao volume de controle móvel r r r vrelativo + varrastamento = v abs. ( fixo ) r varrastamento = em relação a um referencial fixo.

r r ∑ F = m.a abs r dv abs r = a abs dt

r dv rel r = a rel dt

r r r a abs = a rel + a a ( quando não há rotação )

r r r ∑ F = m.(a rel + a a ) r r r ∑ F − m.a a = m.a rel r r dv rel r ∑ F − m.a a = m. dt r r dp r ∑ F − m.a = m . sist dt sist sist sist

r r dp r ∑ F sist −m sist .a a = sist dt

Teorema do Transporte de Reynold’s:

∫

d η.ρ .d∀ dN = dt

vc

dt

r r + η.ρ .v × n.dA

∫

vc

r N=P

N como η = m

r P r então η = = v r m

Logo resulta na eq da quantidade de movimento :

Projetando na direção “ x ” temos:

− ∫ ρ .d∀.aa = ext. x vc

∑ Fx

d ∫ vr .ρ .d∀ r r r x + ∫ vr .ρ .v × n.dA dt s.c.

Projetando na direção “Y ” temos:

d ∫ vr .ρ .d∀ r r r y ∑ Fy − ∫ ρ .d∀.aa = + ∫ vr .ρ .v × n.dA ext. dt y vc s.c. Projetando na direção “Z ” temos:

− ∫ ρ .d∀.aa = ext z vc

∑ Fz

d ∫ vr .ρ .d∀ z

dt

r r r + ∫ vr .ρ .v × n.dA s.c.

1º EXERCÍCIOS RESOLVIDO

No esquema abaixo, o fluido água deixa o bocal com velocidade constante de 10 m/s, atingindo uma placa plana. A área do bocal é de 100cm2. Determinar a força atuante aplicada pelo fluido à placa na direção “ x ”. Considere regime permanente e propriedades uniformes nas superfícies de controle. Adotar massa específica da água de 1000 kg/m3.

Da eq da quantidade de movimento para a direção X temos:

d ∫ vr .ρ .d∀ r r r x ∑ Fx − ∫ ρ .d∀.aa = + ∫ vr .ρ .v × n.dA ext. dt x vc s.c.

A única força externa é a reação do placa no jato de fluido. Não há aceleração do volume de controle e o regime é permanente logo:

r r r − R = ∫ Vr ρVr xn dA A

Na direção X só há uma fluxo de entrada no volume de controle e as propriedades são uniformes logo:

− R = −Vr ρVr ∫ dA = − ρVr A 2

A

Numericamente temos:

R = 1000.10 2.100.10 −4 = 1000 N

2º EXERCÍCIO RESOLVIDO O tanque da figura, quando vazio, apresenta massa de 200 kg. A área da base do tanque é de 1m2. Os atritos existentes podem ser desprezados. No interior do tanque, há uma coluna de fluido mantida constantemente com 2m de altura. O fluido entra por 1 e sai por 2 e 3. Considerando o escoamento em regime permanente e propriedades uniformes nas superfícies de controle, determinar: a-) b-)

A força aplicada ao cabo de aço; A leitura da balança.

Dados: V1 = 10 m/s ; V2 = 5 m/s ; V3 = 17,5 m/s ; A1 = 20cm2 ; A2 = 5cm2 ; A3 = 10cm2 .

Da equação da quantidade de movimento para a direção X temos:

d ∫ vr .ρ .d∀ r r r x ∑ Fx − ∫ ρ .d∀.aa = + ∫ vr .ρ .v × n.dA ext. dt x vc s.c.

A única força externa é a do cabo de aço aplicada ao tanque. Não há aceleração do volume de controle, em X existem dois fluxos de saída e o regime é permanente logo:

− Rcabo

r r r r r r = ∫ Vr ρVr xn dA + ∫ Vr ρVr xn dA A2

− Rcabo

A3

r r = + ∫ Vr ρVr dA + ∫ Vr ρVr dA A2

A3

Projetando as velocidades no eixo X

− Rcabo = + ∫ Vr cos 60ρVr dA + ∫ − Vr ρVr dA A2

A3

Como as propriedades são uniformes temos:

− Rcabo = + ρVr2 cos 60 ∫ dA − ρVr2 ∫ dA A2

A3

Integrando

− Rcabo = + ρVr22 cos 60 A2 − ρVr23 A3 Pela equação da continuidade determina-se a velocidade 2

ρ1V1 A1 = ρ 2V2 A2 + ρ 3V3 A3 Como o fluido é incompressível

V1 A1 = V2 A2 + V3 A3 10.20 = V2 .5 + 17,5.10 V2 = 5

m s

Substituindo os valores na Equação na quantidade de movimento temos: V1 = 10 m/s ; V2 = 5 m/s ; V3 = 17,5 m/s ; A1 = 20cm2 ; A2 = 5cm2 ; A3 = 10cm2 .

− Rcabo = + ρVr22 cos 60 A2 − ρVr23 A3 Numericamente temos:

[

]

− Rcabo = 1000 5 2. cos 60.5 − 17,5 2.10 .10 −4 = −300 N Rcabo = 300 N

Item B : Leitura da balança:

Este item consiste na aplicação da Equação da quantidade de movimento na direção Y Nesta direção só há um fluxo de entrada, logo é negativo

r r r RY − mg = ∫ Vr ρVr xn dA A1

r RY − mg = − ∫ Vr ρVr dA A1

A projeção da velocidade é contra o eixo Y

RY − mg = − ∫ − Vr ρVr dA A1

Como as propriedades são uniformes temos:

RY − mg = ρVr2 ∫ dA A1

RY = ρVr21 A1 + mg Numericamente temos:

R y = 1000.10 2.20.10 −4 + 200.10 = 2,2kN

1º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO No esquema temos um canal de largura igual a 1,8m. Podemos considerar que nas superfícies de controle 1 e 2, as velocidades são uniformes; na superfície 1 a velocidade é de 0,5 m/s e há distribuição de pressão hidrostática. A comporta AB apresenta a mesma largura do canal. Supondo regime permanente, determinar: a-) b-)

A velocidade na superfície de controle 2; A força aplicada na comporta AB.

2º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO No esquema, o carrinho com o jato de água, apresenta massa de 75 kg e está em repouso no instante t = 0 segundo. O carrinho é acelerado por um jato de água lançado por um bocal fixo, cuja área é 30cm2. A velocidade do jato é de 35 m/s em relação ao bocal. Supondo não haver atritos e desprezando a resistência do ar, determinar a velocidade do carrinho no instante t = 5 segundos. Considerar a variação da quantidade de movimento do volume de controle desprezível e propriedades uniformes. Dados: A1 = A2 = 30cm2

3º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO No esquema abaixo há escoamento em regime permanente com propriedades uniformes em todas as seções de escoamento e o fluido é incompressível. Determinar : a-) b-) c-)

O fluxo em massa pelo sistema de controle (1). Sabendo-se que a superfície de controle (3) é circular, determinar o diâmetro. A resultante das forças geradas pelos escoamentos

Dados: ρ = 1000 kg/m3 ; A1 = 20 cm2 ; A2 = 30 cm2 ; v1 = 2 m/s ; v2 = 2,5 m/s ; v3 = 1,5 m/s

4º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO A turbina da figura extrai a potência de 2,9 kW da água do escoamento considerado ideal. Calcular as forças exercidas sobre a redução e sobre a turbina respectivamente.

5º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO

Na instalação esquematizada, há o escoamento ideal de 314L/s de água (massa específica de 1000 kg/m³) pelo interior da turbina. A pressão na entrada da mesma é 18N/cm² e na saída, vácuo com intensidade de 2 N/cm². Considerando a aceleração da gravidade com intensidade de 10 m/s², determinar: a) a potencia fornecida á turbina pelo escoamento de água b) a força na direção X

6º EXERCÍCIO A SER RESOLVIDO PELO ALUNO Um jato atinge uma pá que se localiza num plano inclinado. O peso do conjunto é 40N e a área do jato 50 cm². Qual deve ser a velocidade do jato para que ocorra o equilíbrio estático?