Módulo II Representação e conhecimento matemático

Módulo II Representação e conhecimento matemático

Rosilângela Lucena Roberto Mariano Ricardo Tibúrcio

Introdução Você alguma vez experimentou construir o gráfico de uma função a partir de sua lei de formação? Em algum momento, já se sentiu desafiado para fazer exatamente o contrário? Ou seja, determinar a expressão algébrica que gerou o gráfico dado? Se você já fez isso, é bem possível que faça parte da grande maioria dos estudantes que sentiu mais dificuldade em realizar o segundo procedimento do que o primeiro. Mas, por que será que isto acontece? Para responder esta, entre outras questões, desenvolvemos este texto que objetiva revelar fundamentos da Teoria dos Registros de Representação Semiótica, (DUVAL, 2003; 2009; 2011). Esta teoria tem contribuído significativamente com o ensino e a aprendizagem de matemática, uma vez que busca discutir a relação entre a cognição matemática (como o aluno constroi o conceito matemático) e a representação desse conceito. E nesse sentido desvela dificuldades dos estudantes em compreender matemática e algumas das naturezas dessas dificuldades relativas ao uso das representações. Apresentaremos os argumentos de Raymund Duval (autor da teoria) usados para defender a necessidade de mobilizar ao menos dois registros de representação semiótica, assim como, de realizar transformações nos mesmos, para que aquele que busca

compreender conceitos matemáticos tenha êxito. Discutiremos, inclusive, as implicações para a aprendizagem quando o professor prioriza no ensino de matemática apenas num tipo de representação e transformação. Por fim, compartilharemos e comentaremos à luz da teoria, as estratégias de resolução de uma situação problema, com foco nas atividades cognitivas de representação desenvolvidas durante o percurso da resolução que são: a formação de representação, o tratamento e a conversão dos registros de representação semiótica.

O Papel das Representações Semióticas no Ensino da Matemática A Teoria dos Registros de Representação Semiótica desenvolvida pelo psicólogo e filósofo, Raymond Duval, defende essencialmente, a necessidade de se considerar as representações semióticas no estudo da cognição matemática, ou seja, no estudo de como as pessoas compreendem a matemática. Segundo Duval (2011), essa ideia parte de problemas de ordem epistemológica e de ordem cognitiva. Em relação ao primeiro, trata do acesso aos objetos matemáticos, quanto ao segundo, refere-se ao funcionamento do pensamento matemático. Este teórico considera a natureza abstrata dos objetos matemáticos (conceitos) e as dificuldades dos alunos na compreensão dos mesmos, assim como, a natureza dessas dificuldades. Por isto, defende que é por meio das representações semióticas que se pode externar as representações mentais sobre esses objetos matemáticos de forma que possam ser explorados, comunicados, operados, etc. Entretanto, se a matemática é uma ciência abstrata, se os objetos de conhecimento da mesma são construções mentais, como tais objetos podem ser uma realidade conhecida pelo indivíduo que almeja apreendê-los? Para Duval, não há outro caminho senão por meio dos registros de representação semiótica e suas transformações. Para entender melhor alguns aspectos da teoria, seu papel e contribuições para o ensino e para a aprendizagem, discutiremos nas sessões a seguir as três atividades cognitivas fundamentais inerentes à representação: a primeira diz respeito a produção de representação semiótica, a segunda e a terceira, consistem nas transformações, denominadas tratamento e conversão.

O Ato de produzir representações A palavra semiótica é de origem grega e significa Semeion - Signos, sendo considerada a ciência dos signos. De uma forma geral, um signo é algo que representa alguma coisa para alguém. Pode ser uma letra, uma palavra, um traço qualquer. Para semiótica, os signos têm papel fundamental, uma vez que as representações semióticas são criadas por meio de signos inerentes a um sistema de representação. De acordo com Duval (2011, p.83), um registro é um sistema cognitivamente criador. Tais sistemas possuem especificidades quanto ao seu significado e quanto ao seu funcionamento que possibilitam uma relação entre um significante (signo) com um significado (referência). Para que você entenda melhor essa relação, procuraremos fazer uma distinção entre um signo e um registro de representação semiótica a partir dos exemplos expressos na figura 1, identificados como as situações (I) e (II). Figura 1: Signo x Registro de Representações Semiótica

Na situação I (Figura 1), podemos verificar que “A” é um signo. De fato, se perguntarmos para algumas pessoas o que “A” significa, é possível que os significados dados por elas sejam bem diferentes entre si. Perceba que, enquanto significante, “A” é um signo cujo significado dependerá do que o indivíduo tomará por referência. Verifique algumas possíveis respostas que poderíamos obter. “A” é a última letra do meu nome. (L - Ú - C - I - A) “A” é a primeira vogal. (A - E - I - O - U ) “A” é o meu tipo sanguíneo. (Tipo: A , Fator RH: +)

Entretanto, na situação II, ainda na figura 1, percebemos que o signo “A” é um componente do registro de representação algébrica, Ax + By + C = 0 que corresponde à equação analítica da reta. Dentro desse sistema, “A” representa o coeficiente da variável x na equação dada. Sendo assim, um signo não pode ser identificado como um registro de representação, mas como parte dele. Duval (2003) expressa o termo registros de

representação para nomear os diferentes tipos de representação semiótica. O que se deseja comunicar em termos de representação, depende da criação de novas representações nos sistemas de registros semióticos. Para Duval (2011, p. 38), “as representações semióticas são as frases em linguagem natural, as equações e não as palavras, os algarismos e as letras”. Estas podem ser expressas na matemática em língua natural, gráfica, tabular, algébrica entre outros. É na atividade cognitiva de formação dessas representações que o estudante consegue, como afirma Duval (2009, p.53), “”exprimir” uma representação mental ou “evocar” um objeto real”. O registro em língua natural é o registro escrito ou discursivo que é utilizado para expressar um conceito internalizado. O registro gráfico é muito utilizado não apenas na Matemática, mas em outras ciências como a Estatística e a Física, para expressar uma determinada situação com grande quantidade de dados escritos ou um determinado percurso durante certo intervalo de tempo. Esse tipo de registro permite uma melhor visualização de situações mais difíceis de compreender ou quando se faz necessário observar o comportamento de alguma função ou situação. Outro tipo de registro é o algébrico que na Matemática não é apenas aquele que contém expressões envolvendo incógnitas ou variáveis. Um determinado conjunto seguindo as propriedades de associatividade, distributividade, comutatividade, elemento neutro, aplicadas para a soma e a multiplicação e o elemento inverso para multiplicação, podem se configurar como álgebra e consequentemente, um registro algébrico. Já o registro tabular também utilizado em outras ciências, elenca uma série de informações distribuída em tabela e pode ou não, estar associado a outro registro de representação semiótica. Conhecer, produzir, coordenar estes e outros registros de representação semiótica é fundamental para aquele que ensina matemática, assim como, para aquele que aprende. Primeiro porque, segundo Duval (2011), para que um conceito seja acessado é necessário a coordenação de pelo menos dois registros de representação semiótica. Sem isto, não é possível garantir um ensino de matemática que permita ao estudante uma aprendizagem global dos conceitos matemáticos que deseja acessar. Segundo, porque priorizar um único registro para representar um determinado objeto matemático poderá levar o aprendente a confundir o objeto com a sua representação (DUVAL, 2003). Isto seria o mesmo que confundir o significante com o seu significado.

Quando o professor prioriza apenas um tipo de representação, o conceito e a representação aparecem imbricados de tal forma para o estudante que ele não conseguirá diferenciá-los. Distinguir o objeto matemático de sua representação não é fácil, pois a representação está muito arraigada ao objeto. É muito comum, por exemplo, as funções serem identificadas pelos signos utilizados para representá-las, como f(x), (x,f(x)) e outros. É difícil compreender que a função seja uma relação entre grandezas com variável dependente e independente. Esta dificuldade é natural, pois as representações externalizam os conceitos presentes nos esquemas cognitivos que formam o objeto matemático, sendo assim, a representação é vista muitas vezes como sendo o próprio objeto, exigindo assim que o estudante coordene diversos registros de representação. A necessidade das representações semióticas parte daí, pois se os conceitos matemáticos ficassem apenas nos esquemas mentais, as representações não poderiam cumprir a função de comunicação visual, (ASSIS e GITIRANA, 2010). Sem essa coordenação entre os sistemas de representação é impossível garantir a qualidade da aprendizagem do conhecimento matemático, e “atividades cognitivas fundamentais como a conceitualização ou a resolução de problemas” (DUVAL, 2003).

O Ato de transformar Registros de Representação: o tratamento A possibilidade de externar de diversas maneiras um mesmo objeto matemático é importante não somente por poder representá-lo, mas também, por tornar possível o desenvolvimento da atividade matemática, (DUVAL, 2003). As transformações exercem um grande papel nessa atividade. Consideradas atividades cognitivas da semiótica, as transformações de registros de representação semiótica são denominadas: tratamento e conversão. Para Duval, (2011), elas são tão importantes para a apreensão de objetos matemáticos, quanto o ato de representá-los. Nessa sessão discutiremos sobre o tratamento. O tratamento é o processo de transformação de uma representação dentro de um mesmo registro semiótico. Isto significa que esta atividade cognitiva mobiliza apenas um registro de representação. Observe o enunciado e a resolução (Figura 2) da situação matemática: seja a equação 9x2 + 4y2 + 18x – 24y + 9 = 0 uma representação de uma elipse, determine a sua forma reduzida.

Figura 2: Tratamento algébrico de uma equação da elipse.

Observemos (Figura 2) que a equação inicial passa por diversas transformações até chegar à sua forma reduzida. Na verdade, as operações matemáticas realizadas, determinam novas equações equivalentes à primeira. Embora a transformação seja realizada dentro do mesmo sistema de representação semiótica, no exemplo da figura 2 é o algébrico, no tratamento, percebemos uma importante atividade de produção de outras representações no mesmo registro, além da operacionalização do cálculo matemático.

O Ato de transformar Registros de Representação: a conversão Já vimos anteriormente que uma das preocupações da teoria dos registros de representação semiótica é fazer com que o indivíduo que busca ascender aos conceitos matemáticos não os confunda com a sua representação. Para que isso ocorra não basta a formação de múltiplas representações, é necessário transitar entre elas. É na conversão, transformação que consiste na produção de outra representação ao sair de um sistema de registro para outro, que o aprendiz consegue transitar entre uma representação e outra e com isso diferenciar características que são do objeto matemático daquelas que são de sua representação. Esta transformação é considerada a mais importante e difícil de realizar, das três atividades cognitivas relacionadas à representação. Tal fato, segundo Duval (2003) se deve ao esforço cognitivo que o indivíduo precisa desempenhar para conseguir sair de um registro para outro. Observe o exemplo a seguir e sua resolução (Tabela 1). “No Recife, a partir de 1º de julho de 2014, a bandeirada do táxi comum passa a ser R$ 4,25. O quilômetro rodado da bandeira 1 sobe para R$ 2,07. O aumento foi definido, no dia 11 de junho de 2014, após reunião do Conselho Municipal de Trânsito e Transporte (CMTT)”.

Fonte:http://g1.globo.com/pernambuco/noticia/2014/06/tarifa-de-taxi-norecife-sobe-partir-de-1-de-julho.html

Considerando as informações supracitadas, construa uma tabela informando os valores pagos - p(n): preço em função da quilometragem percorrida n, se forem percorridos 1, 2, 3 e 4km, e generalize para uma corrida de ‘n’ quilômetros. Tabela 1: Corrida de táxi

Percebemos que o problema matemático proposto faz referência a uma corrida de táxi. Esse tipo de situação é considerado uma questão clássica para introduzir o conceito de função Afim. No entanto, por mais comum que seja sua aplicabilidade, a situação necessita, inicialmente, de conversão da escrita natural para tabular, exigindo nesta fase, de quem irá resolvê-la, algumas competências como a interpretação de texto e o raciocínio lógico, tendo em vista que se trata de uma questão contextualizada. Posteriormente, há uma organização tabular do tratamento algébrico dado às informações identificadas na questão. Embora diversos livros didáticos utilizem essa situação do cotidiano para introduzir o conceito de função, apresentando explicitamente as ideias matemáticas de dependência, variação, relação entre grandezas, entre outras, verificamos que os procedimentos adotados na resolução da situação não são tão simples, quanto parecem ser. Porém, quanto menos os estudantes resolverem questões desta natureza, maior será a sua dificuldade em compreender os conceitos envolvidos nas mesmas. A dificuldade em realizar a conversão é potencializada quando o professor ou até mesmo o livro didático priorizam o tratamento, propondo aos estudantes excessos de definições e uma quantidade excessiva de exercícios voltados para operacionalização matemática, maioria centrados no tratamento algébrico. Para Dehon e Gitirana (1999) quando o professor não apresenta as várias representações ao estudante, esse fica limitado a uma matemática simplificada, com foco na valorização de algoritmos.

O hábito de resolver tais exercícios, muitas vezes de forma mecânica, prestigia sempre um tipo de registro em detrimento de outros que possuem especificidades do objeto a que representam e que precisam ser conhecidas pelo estudante. Se por um lado a compreensão matemática exige a articulação entre diferentes representações de um mesmo objeto, por outro, como aponta Duval (2003), muitas dificuldades dos estudantes para compreender certos conhecimentos matemáticos está relacionada à sua capacidade de articular os registros de representação, principalmente. É na conversão que o estudante conseguirá realizar a diferenciação entre conceito e representação. Como já sabemos, tal atividade exige daquele que aprende um esforço cognitivo maior, no entanto, permite que o mesmo adquira novos conhecimentos, à medida que transita entre múltiplas representações e consegue reconhecer nelas, novas propriedades e aspectos do conceito ao qual deseja apreender. Isto porque, cada representação de um mesmo objeto matemático, possui uma significação, guarda características, elementos e conteúdos próprios e distintos, uma das outras.

Modelagem de situação matemática com foco no tratamento e na conversão Você alguma vez experimentou construir o gráfico de uma função a partir de sua lei de formação? Em algum momento, já se sentiu desafiado para fazer exatamente o contrário? Ou seja, determinar a expressão algébrica que gerou o gráfico dado? Se você já fez isso, é bem provável que faça parte da grande maioria dos estudantes que sentiu mais dificuldade em realizar o segundo procedimento do que o primeiro. Mas por que será que isto acontece? Teoricamente, já respondemos esta questão nas sessões anteriores, porém, compartilharemos com você, as quatro etapas referentes às estratégias que adotamos para resolver uma situação matemática com foco no tratamento e na conversão. Problema: Um fazendeiro tem 100 metros de arame para delimitar um curral de forma retangular. Quais as dimensões do curral para que a área seja máxima? Fonte: http://www.im.ufrj.br/dmm/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/cap103.html

Etapa I: Primeiramente devemos observar os dados do problema e reconhecer quais as possibilidades que temos para encontrar uma solução. Sabemos que o terreno possui forma retangular, então vamos montar um esquema para visualizar melhor a situação, iniciando assim, o processo de modelagem do problema. A conversão da língua materna (enunciado) para uma representação figural contribuiu com a identificação de aspectos inerentes ao conteúdo matemático da questão e com a organização das informações fornecidas.

Ao considerar as dimensões do terreno como e , iniciamos a segunda conversão para resolução do problema, desta vez, da representação figural para a algébrica. Sendo assim, sabemos que temos 100 metros de arame para delimitar o curral, então, o perímetro do curral pode ser no máximo de 100 metros. Como o perímetro é todo o contorno no retângulo, temos: =

+

+ +

= 2 +2

Logo, 2 + 2 = 100. Já temos a expressão algébrica que determina o perímetro da figura, mas o que queremos encontrar são as dimensões para que a área seja máxima. Sabemos que a área pode ser encontrada pela expressão:

=

, então devemos deixar esta expressão em

função de uma das variáveis que usamos no perímetro. Logo, surge na modelagem da questão, o tratamento algébrico da expressão que determina o perímetro e a área que produzirá a expressão da área em função da medida do lado x. 2 + 2 = 100

2 = 100

Substituindo o valor de =

2

=

100

2 2

na expressão da área, temos: (50

)

= 50

= 50

Etapa II: Percebemos que a expressão da área em função da medida do lado , pelas características apresentadas, consiste na representação algébrica da função quadrática. Dessa forma, para encontrar as dimensões que procuramos, vamos encontrar o ponto do vértice da parábola. Como o valor do coeficiente

da função é negativo, a

concavidade estará voltada para baixo e sendo assim, o valor máximo da área será dado pelo

e assim poderemos encontrar a solução do problema. Vamos determinar o valor do

encontrar o

e depois substituí-lo no registro algébrico para

, por meio do tratamento algébrico até chegar na resposta final da situação

proposta. =

2

=

50 2

= 25

Daí, substituindo o valor encontrado na expressão algébrica da função, temos: = 50

= 50 25

Logo, o ponto que procuramos é

25

= 1250

625

= 625

= (25,625), onde V é o vértice. Perceba que

= 25 e 25 4 = 100, que é o nosso perímetro máximo. Assim, as dimensões do retângulo serão todas iguais a 25 metros, o que nos dá um quadrado com a medida do lado igual a 25 metros. Etapa III – Embora tenhamos chegado à solução do problema, entendemos que o professor deve explorar ao máximo as informações referentes à questão. Por isso, continuaremos mobilizando distintos registros de representação para revelar novos conhecimentos dos conceitos envolvidos na situação proposta. Desse modo, faremos o traçado do gráfico que representa a expressão algébrica da função quadrática determinada. Como temos o valor do ponto do vértice, podemos traçar o gráfico da função encontrando as raízes, ou seja, os pontos em que o gráfico intercepta o eixo x. Vamos usar a fatoração e chegar ao valor dos dois pontos: Temos que:

= 50

. Colocando

em evidência, a partir do tratamento

algébrico da expressão dada, temos: (50

) então, para encontrar as raízes igualamos o ( ) a zero e obtemos os

(50

)

pontos. = 0 ou 50

=0

= 50. Sendo assim, temos que os

pontos que interceptam o eixo x são: (0,0) e (50,0). A partir dos pontos encontrados,

podemos realizar mais uma conversão, desta vez, saindo do registro algébrico para o registro gráfico da função.

Etapa IV - Vamos mostrar agora como fazer o percurso contrário, ou seja, nosso objetivo é realizar mais uma conversão de forma que por meio das informações expressas no gráfico, cheguemos ao registro algébrico inicial. Sendo assim, percebemos que temos três pontos em evidência e a partir deles, vamos usar a expressão algébrica generalizada da função quadrática para chegar à expressão inicial. Note que os pontos são:

= (0,0),

= (50,0) e

= (25,625). É válido

salientar que se o ponto “A” tivesse suas coordenadas diferentes de zero, ficaríamos com três equações e com duas incógnitas diferentes, o que mudaria a estratégia de resolução nesta etapa. No entanto, sabemos que a expressão algébrica da função quadrática é ( ) = +

+ , então vamos substituir as coordenadas dos pontos nesta expressão.

Iniciando mais um tratamento algébrico até chegar à expressão algébrica da representação gráfica da função quadrática, concluindo assim a conversão. Desta vez, o tratamento mostra-se bastante trabalhoso se comparado aos que já realizamos nas etapas anteriores. a)

= (0,0) Temos que:

=0e

= 0, logo como

0= b)

0+

=0

= (50,0) Temos: 0=

c)

0 +

= ( ), ficamos com:

= 50 e 50 +

= (25,625)

= 0. Logo: 50 + 0

2500 + 50 = 0 Equação (I)

Temos:

= 25 e

= 625. Logo:

625 =

25 +

25 + 0

625 + 25 = 625 Equação (II)

Temos agora um sistema de equações de 1º grau. Vamos realizar o tratamento das equações para chegar aos valores dos coeficientes a e b. 2500 + 50 = 0 625 + 25 = 625 Vamos utilizar método aditivo, para isso, vamos multiplicar o valor da equação (II) por ( 2) e assim, eliminamos a variável b para chegar ao valor de a.

2500 + 50 = 0 625 + 25 = 625 ( 2)

2500 + 50 = 0 1250 50 = 1250

Somando as equações I e II, ficamos com: 1250 = 1250

= 1

Substituindo o valor de a na equação I temos: 2500 ( 1) + 50 = 0

=

2500 50

= 50

Para finalizar, substituímos os valores encontrados na expressão algébrica da função quadrática:

( )=

+ 50

Entendemos, assim como Duval (2009) que a conversão dever ser praticada nos dois sentidos da operação, no exemplo descrito anteriormente, algébrico-gráfico e gráfico-algébrico. Procuramos revelar durante todo processo de modelagem e nas estratégias de resolução adotadas para cada desafio posto na situação matemática, várias formas de representar o mesmo objeto matemático. Além disto, buscamos transitar entre múltiplos registros de representação semiótica para mostrar por meios das suas transformações seja o tratamento , seja a conversão, que cada um deles revela novos conhecimentos, novas características, produz novos registros, dentro ou fora do mesmo sistema de representação. Tal prática contribui para diferenciação do conceito matemático e de sua representação.

Considerações Finais Abordamos a Teoria dos Registros de Representação Semiótica (TRRS) em uma perspectiva voltada para a Educação Básica. Os aspectos mais relevantes da teoria foram contemplados, de modo que o leitor possa compreender a importância da exploração dos registros de representação semiótica, em sala de aula. Em um primeiro momento, nos atemos a discutir sobre o que vem a ser a teoria, sua essência e relevância para a compreensão em Matemática. A distinção entre objeto matemático e representação é um ponto essencial na discussão da TRRS, que ajuda o professor a compreender as dificuldades dos estudantes, quanto à sistematização de alguns conceitos. O tratamento e a conversão são indispensáveis quando discutimos semiótica. Estes dois conceitos são mobilizados durante o processo de aprendizagem em Matemática, no entanto, nem sempre são vistos de forma a explorar todos os aspectos do objeto matemático. Finalmente, trazemos alguns exemplos que ilustram o processo de conversão, que possibilita ao estudante um acesso ao que é do objeto matemático e o que é da representação. A abordagem da TRRS neste modelo voltado para a Educação Básica pode auxiliar alguns professores, na exploração dos registros de representação em sala de aula, valorizando a conversão e percebendo que as dificuldades dos estudantes, muitas vezes, são resultado da incompreensão de múltiplos registros de representação semiótica.