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Movimento e objetos geométricos em Alberto Magno Marco Aurélio Oliveira da Silva Universidade Federal da Bahia/ IHPST
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Abstract: This paper analyses the role of the notion of flux for the diagrammatical constructions of geometrical objects in the context of the ontology of mathematical objects in Albert the Great. In this way, I observe that Albert has a theory in which mathematical objects have movement independent definitions, but the movement has a fundamental role to orientate the construction of sensible diagrams. Key words: movement, mathematical objects, diagrams, Alberto Magno Resumo: Este artigo avalia o papel da noção de fluxo para a construção diagramática dos objetos da Geometria no contexto da ontologia matemática de Alberto Magno. Neste sentido, observa-‐se que Alberto propõe uma teoria na qual os objetos matemáticos têm sua definição própria independentemente do movimento, mas este tem um papel fundamental para orientar a construção dos diagramas sensíveis. Palavras-‐chave: Movimento, objetos matemáticos, diagramas, Alberto Magno
O objetivo deste artigo é avaliar a recepção de Euclides no contexto da
redescoberta das obras aristotélicas pelo Ocidente Latino no século XIII, particularmente a partir do Comentário de Alberto Magno aos Elementos. Nesta recepção de Euclides é notável a influência de Al-‐Naiziri. Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 3, n. 1, pp. 23 – 31, maio 2014.
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Ora, minha primeira observação é que, de um lado, vê-‐se a recuperação da chamada doutrina do fluxo, que basicamente tende a definir os objetos matemáticos em função desta noção de movimento, a saber, a linha como o fluxo de um ponto, a superfície como o fluxo de uma linha, e o sólido ou corpo como o fluxo de uma superfície. Isto está intimamente ligado à recepção de um problema observado em um texto erroneamente atribuído a Aristóteles, o De Lineis Indivisibilis. Neste sentido, pode-‐se observar a chamada crítica de Alberto Magno ao platonismo de Oxford,1 que seria uma visão dos objetos matemáticos como tendo uma existência real, de alguma forma incorporada aos objetos sensíveis. Uma consequência interessante e notável é já observar no séc. XIII uma referência constante ao compasso — nem tanto à régua — nas etapas de demonstração de uma prova geométrica. Dois pontos são importantes na teoria de Alberto Magno, particularmente no tratamento dado à Geometria, a saber, (i) o papel emprestado à imaginação, como se observa em Proclus — embora não haja uma recepção direta deste autor; 2 (ii) o papel atribuído ao movimento, no que concerne à discussão dos objetos matemáticos, de modo que para Alberto Magno os objetos matemáticos seriam objetos construídos por um movimento imaginativo.3 Neste sentido, vale a pena notar o Proêmio de seu comentário aos Elementos de Euclides, quando Alberto afirma que 1
Cf. Weisheipl, J. A. (1958). Albertus Magnus and the Oxford Platonists. In Proceedings of the American Catholic Philosophical Association (Vol. 32, pp. 124-‐139). 2 A fonte indireta de Alberto Magno para teses neoplatônicas é o próprio comentário de Al-‐Naiziri aos Elementos, na tradução latina de Gerard de Cremona. 3 Contudo, devemos salientar que esta valorização de Alberto à noção de movimento na Matemática tem sua origem na tradução feita por Gerard de Cremona ao comentário de Al-‐ Naiziri aos Elementos de Euclides. Pode-‐se observar o papel do movimento na seguinte passagem do comentador árabe: “Posto que a linha também se mova, se o fizesse apenas seguindo o movimento do ponto, produziria apenas o seu próprio comprimento (longitudo); com efeito, a linha é feita apenas pelo movimento do ponto. Se, por outro lado, a linha for movida de seu lugar para um outro, com o seu movimento será produzida uma outra dimensão, denominada superfície, ou seja, trata-‐se do que está exposto nos corpos e do que pode ser visto nos mesmos corpos. Se as superfícies forem também movidas no sentido da linha que produz o movimento, produzir-‐se-‐á a mesma superfície. Se, com efeito, toda [a superfície] for movida de seu lugar para outro, ocorrerá uma terceira dimensão denominada profundidade, e a partir dela são produzidos os corpos, os quais, posto que possuem três dimensões, por todos os lados são envolvidos por
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Se alguém imaginar o movimento do ponto segundo o modo reto, que é o único modo simples de movimento, constituirá comprimento sem largura (longitudo sine latitudinem), isto é a linha. Se com efeito mover-‐se de modo circular constituirá alguma circunferência, que é a linha circular, como se observa no pé móvel do compasso (in pede circini mobili). Mas este movimento tem duas formas, a saber, convexa e côncava, e portanto não é primeiro, donde não é primeira a linha circular, mas a reta, que é simples pela forma. Por seu movimento próprio, o ponto não constitui mais do que uma espécie de quantidade. (ed. Col., t. XXXIX, 2014, p. 1v70-‐2v6.)4
Neste contexto, a preocupação de Alberto Magno centrava-‐se em justificar a razão pela qual Euclides teria decidido começar os Elementos pelos objetos triangulares, em vez dos objetos circulares. Para isso, partindo da distinção entre linha circular e linha reta, apresenta uma razão baseada na disparidade entre a figura traçada no diagrama e a definição considerada pelo geômetra, ou seja, o fato de que com uma mesma imagem de uma linha reta teremos apenas uma única definição, ao passo que com a mesma imagem de uma linha circular, podemos ter duas definições. Para isso, recorre à noção aristotélica de forma. Em outras palavras, dizer que a linha reta tem apenas uma forma implica que de uma linha reta traçada na imaginação pode-‐se aduzir apenas uma definição — comprimento sem largura —, ao passo que uma mesma linha circular imaginada dá origem a duas definições diferentes: a da convexa e a da côncava. Interessante notar que a distinção entre as duas linhas imaginadas recorre no texto albertiano à noção de movimento, sem a qual não podemos conceber as construções diagramáticas. superfícies. (ed. Tummers, P. M. (1994). Anaritius’ commentary on Euclid. The Latin translation I– IV. 1994, p.1v10-‐21.) Portanto, Al-‐Naiziri define os objetos matemáticos em função do movimento do ponto; do movimento da linha, no caso da superfície; do movimento da superfície, no caso do sólido ou do corpo. 4 Toda referência a Alberto Magno neste artigo é tomado das Obras Completas editadas pela chamada edição Cologniense (ed. Col.) seguida do número do volume utilizado. Cf. Albertus Magnus. Sancti doctoris ecclesiae Alberti Magni Ordinis Fratrum Praedicatorum episcopi Opera Omnia ad fidem codicum manuscriptorum edenda apparatu critico notis prolegomenis indicibus instruenda curavit Institutum Alberti Magni Cologniense. Ed. Bernhard Geyer (após vol. 37.2 [1978]: ed. Wilhelm Kübel). Münster, 1951.
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Nesta visão por assim dizer construtivista dos objetos geométricos, os pontos seriam apenas elementos constantes na definição dos objetos matemáticos. E a principal razão disso não se encontra diretamente na recepção de Euclides, mas na recepção do problema da linha indivisível, tratado no pseudo-‐Aristóteles. No texto Da Linha Indivisível
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são aduzidos alguns
argumentos: (a) ao se dividir uma linha, sempre se obtém linhas; (b) dados dois pontos, estes jamais serão contíguos, pois que entre dois pontos é sempre possível traçar uma linha. Ou seja, a razão principal desta teoria pode ser observada basicamente na rejeição de que o ponto seria um constituinte material último da linha — ou seja, a rejeição da tese segundo a qual a linha seria divisível em pontos. Contudo, deve-‐se observar que o papel emprestado por Alberto para o movimento vale tanto para a Geometria quanto para a Aritmética. Neste sentido, no comentário ao livro V da Metafísica, ele afirma que “o movimento imaginativo da unidade produz a [quantidade] discreta”,6 tomando a unidade como um conceito primitivo e concebendo os subsequentes números naturais por adição, ao passo que na Geometria o ponto é a noção fundamental para traçar linhas e, em seguida, os demais objetos matemáticos. Interessante notar que Alberto Magno tem muito claro que esta recepção da prática matemática tal qual defendida por Al-‐Nairizi apresenta uma certa inconveniência com a tradição que vem desde Boécio, que distingue a Matemática e a Física [Physica], chamada Ciência Natural, em função da sua relação com o movimento. A distinção boeciana da Matemática para a Ciência Natural implica que ambas tratam de objetos que existem na natureza, mas que no caso da Matemática o movimento é completamente desconsiderado,
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Sobre o texto Da Linha Indivisível, bem como o respectivo comentário de Alberto, cf. ed. Col., t. IV, p. 498-‐515. 6 Cf. ed. Col., t. XVI, p. 230 v. 29-‐30.
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abstraído, deixado de lado.7 Ora, como explicar então isto em relação a uma prática geométrica na qual se é levado a definir a linha como o movimento do ponto, a superfície como o movimento da linha, e o sólido como o movimento da superfície? E mais: a perpassar nas demonstrações matemáticas sempre uma referência ao traço do compasso (circinus)? Isto se deve ao fato de “movimento” aqui ser tomado em outro sentido, não no sentido dos objetos naturais, que são definidos em função do movimento. Na prática geométrica, o movimento entra de uma forma por assim dizer não constitutiva — que Alberto chama de metafórica — pois é um passo para a demonstração, pois os objetos matemáticos são construídos em função do movimento, mas em uma segunda etapa eles são considerados sem o movimento. Traça-‐se uma linha com o movimento do ponto, mas para defini-‐la o fazemos como “comprimento sem largura”, embora a linha seja materialmente o fluxo do ponto. O mesmo raciocínio vale para a superfície e para os demais objetos. Neste sentido, no comentário ao livro IX da Metaphysica, Alberto Magno afirma: Diz-‐se que na Geometria a potência é dita metaforicamente e não é determinada pelo movimento, nem pelo que está nos diagramas ou nas descrições das figuras, o ato excede a potência e é mais nobre. E quando bem descreve-‐se o ato da linha e do ângulo, conhece-‐se o teorema segundo o ato; se, com efeito, não for expresso pela imaginação, é conhecido apenas em potência.(ed. Col, t. XVI, p. 427v73-‐428v6)
Ou seja, Alberto Magno aplica a distinção ato/potência tomada de Aristóteles para explicar o procedimento da construção matemática, de modo que só há figura geométrica propriamente dita quando esta é atualmente traçada na imaginação. Ou seja, o conhecimento matemático para Alberto Magno envolve necessariamente a construção imaginativa do objeto 7
Neste sentido, no comentário ao livro III da Metafísica, Alberto afirma que “O matemático, com efeito, considera principalmente alguma forma com uma quantidade concebida, a saber, separado do movimento e da matéria sensível” (ed. Col., t. XVI, p. 114 a 2-‐5).
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matemático, o que é um traço constante do seu pensamento, que não está restrito apenas ao comentário a Euclides, cujo objetivo é estritamente a discussão matemática, mas que se pode observar mesmo nas obras de temática mais geral, como no caso do comentário à Metaphysica. Daí, embora no livro I, Alberto trate da construção do objeto matemático em função do movimento, do fluxo, ele não chega ao ponto de rejeitar a tese de que a matemática trata daquilo que é separado do movimento. A questão é como conciliar estas duas afirmações: trata-‐se apenas de um esforço enciclopédico de Alberto Magno para conciliar de um lado a recepção tradicional de Boécio sobre a Geometria e de outro lado a recepção então recente do comentário de Al-‐Naiziri aos Elementos de Euclides? Ou haveria por trás uma verdadeira conciliação de Alberto Magno entre as duas visões, uma vez que haveria uma visão platonizante dos objetos matemáticos em autores que lhe eram contemporâneos, como Robert Grosseteste, Roger Bacon e Robert Kilwardby?8 Contudo, o que se entendia por platonizante seria o fato de os objetos existirem na realidade mesmo que incorporados com os sensíveis. É bem conhecido pelos estudiosos de Filosofia Medieval o segundo comentário ao Isagoge de Boécio no qual este defende a existência in re dos universais em geral -‐-‐e não apenas as entidades matemáticas-‐-‐, baseando-‐se no fato de que uma linha, por exemplo, existe de um modo na natureza —incorporada com os sensíveis —, mas seria considerada de outro modo pelo intelecto, desconsiderando-‐se aquilo com o qual está incorporado. Portanto, pode-‐se observar que em Alberto Magno há uma prática matemática que dá um passo atrás, que ressalta o papel da construção do objeto matemático, do fluxo, na etapa da demonstração; mas, uma vez definido ou construído, pode-‐se alcançar uma definição que prescinda do movimento e da matéria. 8
Para uma abordagem da oposição de Alberto ao chamado platonismo de Oxford, cf. Weisheipl (1958) Albertus Magnus and the Oxford Platonists. In Proceedings of the American Catholic Philosophical Association (Vol. 32, pp. 124-‐139).
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A noção de potência matemática Como assinala Thomas Heath, um uso anterior a Euclides do termo “dynamis” é para se referir ao quadrado.9 O termo segue um caminho para o árabe e depois para o latim, sendo traduzido primeiro do árabe, depois diretamente do grego, por potentia. Potência é em Aristóteles, portanto, seja o termo metafísico que é correlato do ato, mas pode denotar esse uso específico da provável prática geométrica da época de Aristóteles, imediatamente anterior a Euclides. Portanto, quando Aristóteles afirma que “é em virtude de uma mudança de significado que potência é assim chamada na Geometria” (1019b33-‐ 34), em uma provável referência ao termo “quadrado”, a tradição de recepção do termo lê “potência” neste contexto como correlata ao conceito de ato, na metafísica aristotélica — uma questão filológica, mas que tem um impacto na prática geométrica de Alberto Magno. No comentário ao livro V da Metafísica, comentando a afirmação de Aristóteles sobre potência em Geometria, Alberto afirma Mas a potência que está na Geometria, segundo a qual o necessário é dito possível, não pode ser dito princípio de transformação de modo algum. E mesmo a potência é dita segundo a metáfora, e não segundo alguma analogia para com a verdadeira potência. (ed. Col, t. XVI, p. 253v47-‐52)
Mas Alberto interpreta potência no contexto matemático como um uso equívoco, diferente do sentido usado na filosofia natural e na metafísica, de um possível não realizado, mas basicamente Alberto interpreta o uso de potência em um sentido construtivo. Ou seja, de uma linha, pode-‐se extrair ou formar um triângulo ou um quadrado. No contexto da prática matemática, Alberto interpreta potentia, dynamis, como uma referência ao termo modal possível, e 9
Cf. Heath, T. (1949). Mathematics in Aristotle, Oxford: Oxford Univ. Press, p. 207-‐208.
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não o simples objeto quadrado, como a dizer que a partir de uma linha é possível traçar uma perpendicular ou uma paralela, etc. Alberto quer dizer que a potência no sentido da matemática não tem nenhuma relação com a potência natural, por isso não há uma relação de analogia, mas de metáfora. Ora, para Alberto, não há qualquer relação entre a potência da metafísica e isso que a tradução árabo-‐latina de Aristóteles denomina potência no contexto da prática matemática. Um ponto importante trazido por esta distinção entre metáfora e analogia, ou seja, entre uma significação equívoca e uma significação analógica do termo potência é uma percepção diversa da ontologia do objeto matemático, porque no caso das espécies naturais, elas de alguma forma estão incorporadas nas coisas sensíveis, o que é o típico realismo moderado aristotélico. Em contrapartida, os objetos matemáticos não se encontram incorporados nos objetos sensíveis — é uma dissidência da tradição de Boécio e do platonismo de Oxford. Porque para Alberto os objetos matemáticos são construções na imaginação, e essas construções na imaginação não são propriamente o objeto tal qual definido na prática matemática, já que o objeto tal qual definido na prática matemática envolve uma definição que prescinde da noção de movimento, e a distinção fundamental é essa. Ora, quando se traça uma linha, ou se traça um círculo, faz-‐se sempre referência ao movimento: seja ao fluxo do ponto, no caso da linha, seja ao movimento da perna móvel do compasso, como observado nos comentários a Euclides e à Metaphysica. Mas, uma vez produzida a imagem, a figura, o diagrama, a definição com a qual se vai trabalhar prescinde da noção de movimento. Então, a linha é produzido com o fluxo do ponto, como o lápis que desliza sobre a régua. Mas, a definição que se obtém a partir daí é aquela que se encontra em Euclides, longitudo sine latitudinem, comprimento sem largura, que não envolve qualquer relação com o movimento. E assim concilia-‐se ao mesmo tempo uma compreensão da prática que utiliza a noção do fluxo e do movimento para a produção das figuras e dos diagramas, mas que é Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 3, n. 1, pp. 23 – 31, maio 2014.
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ontologicamente irrelevante, uma vez que as definições obtidas prescindirão do movimento. Não se define a linha como o fluxo do ponto, mas como o comprimento sem largura, mas para produzir esta linha na imaginação precisa-‐se do fluxo do ponto. A ideia de Alberto Magno é que a etapa material é um passo importante para a etapa formal, para a definição. No mesmo livro V, Alberto deixa muito mais claro o que ele entende por potência aplicada à matemática, explicitando que se trata de um procedimento construtivo. Com efeito, o sentido próprio de potência (potestas) em Geometria é aquele segundo o qual dizemos que de uma linha pode-‐se produzir um quadrado ou um hexágono, e especialmente quando imaginamos o movimento de uma linha a partir da qual se constrói um quadrado ou alguma outra figura. Deste modo, portanto, diz-‐se potência (potentia). (ed. Col, t. XVI, p. 254v28-‐33)
Ou seja, o que ele entende por potência matemática é o fato de a partir de um determinada figura, poder-‐se traçar uma figura ou outra, como se pode observar em vários teoremas de Euclides, tais quais comentados por Alberto. Ou seja, não há nenhuma relação entre a potência geométrica e aquela correlata ao ato aristotélico. Neste sentido, uma figura matemática estaria em potência para a construção imaginativa de uma outra figura matemática, potência para o movimento, mas para um movimento que significa uma construção diagramática.10
10 O presente trabalho é resultado de um estágio pós-‐doutoral realizado no Institut d'Histoire et de Philosophie des Sciences et des Techniques (IHPST/ CNRS – Paris 1 – ENS), no contexto do projeto CAPES/COFECUB “Provas, demonstrações e representação”. Expresso meus agradecimentos a Marco Panza, Oswaldo Chateaubriand e Abel Lassalle Casanave, que tornaram possível este estágio de pesquisa. Agradeço também à CAPES, que financiou minha estada em Paris.
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