Movimento no campo gravítico.

Vasco Simões ISIG 1998 EQUAÇÕES RIGOROSAS DO MOVIMENTO DE UMA PARTÍCULA MATERIAL SUJEITA À ACÇÃO DA GRAVIDADE, REFERIDAS A UM SISTEMA DE REFERÊNCIA OXYZ LIGADO À TERRA NUM PONTO O COM LATITUDE

π 2

−γ .

I.

A única força actuante sobre a partícula de massa m em r P(x,y,z) é a força gravítica Fg , proporcional ao inverso do quadrado da distância de P ao centro da Terra C, assim

r Fg = m k

1 C− P

2

(C − P) C− P

C = ( 0, 0, − R ) e P = ( x , y , z ) vem

como

r Fg = m k

( − x , − y , − ( z + R)) x 2 + y 2 + ( z + R) 2

3

onde R é o raio médio da Terra.

II.

As equações do movimento são

r m P ′′ = Fg

onde P ′′ é a segunda derivada de P calculada a

partir do referencial suposto fixo, trata-se pois da aceleração absoluta. Como a aceleração absoluta é a soma da aceleração relativa com a aceleração de transporte e com a aceleração de Coriolis, Pa′′= Pr′′ + Pt ′′+ Pc′′ , tem-se r m ( Pr′′+ Pt ′′+ Pc′′) = Fg e portanto, relativamente ao referencial fixo na superfície da Terra teremos: r m Pr′′= Fg − m Pt ′′− m Pc′′

Calculemos

− m Pt ′′ . A aceleração de transporte é a aceleração do ponto O, origem do referencial

móvel. Como este descreve um movimento circular que suporemos uniforme, com velocidade angular ω , P vai descrever um movimento circular uniforme de raio

P1 − P sendo P1 a projecção de P sobre o eixo C ω , de

r versor e . Como o movimento é uniforme, Pt′′= ω 2 ( P1 − P) e − mPt′′= − mω 2 ( P1 − P) . Calculemos as coordenadas de P1 . Tem-se: r P1 − C = ( P − C)| e = ( x , y , z + R)|( − sin γ , 0,cosγ ) = − x sin γ + ( z + R) cosγ Como P1 − P = P1 − C + C − P vem:

r P1 − P = P1 − C | e + C − P = [ − x sin γ + ( z + R) cosγ ]( − sin γ , 0, cosγ ) + ( − x , − y , − R − z)

= [ ( − x sin γ + ( z + R) cosγ )( − sin γ ), 0,( − x sin γ + ( z + R) cosγ ) cosγ ] + ( − x , − y , − R − z)

(

= x sin2 γ − ( z + R) sin γ cosγ − x ,− y ,− x sin γ cosγ + ( z + R) cos2 γ − R − z

Assim:

)

Vasco Simões ISIG 1998

((

− mPt′′= − mω 2 ( P1 − P) = − mω 2 x sin2 γ − ( z + R) sin γ cosγ − x ,− y ,− x sin γ cosγ + ( z + R) cos2 γ − R − z

))

Calculemos agora PC′′ . Tem-se:

r e1

r

r e2

r e3

dy dx dz dy   0 ω cosγ = 2 −ω cosγ ,ω cosγ + ω sin γ , − ω sin γ  dt dt dt dt   dy dz dt dt

PC′′ = 2ω ∧ Pr′ = 2 −ω sin γ dx dt portanto

dy dx dz dy   − mPC′′ = 2mω cosγ , − 2mω cosγ − 2mω sinγ , 2mω sin γ  dt dt dt dt  

Podemos pois escrever, finalmente, as equações diferenciais do movimento relativo de P

m

m

m

d 2x dt 2 d2y dt

2

d 2z dt

III

2

=

− mkx

− mω 2 ( x sin2 γ − ( z + R) sin γ cosγ − x) + 2mω cosγ

3

+ mω 2 y − 2mω cosγ

3

+ mω 2 x sin γ cosγ − mω 2 ( z + R) cos2 γ + mω 2 ( z + R) + 2mω sin γ

x 2 + y 2 + ( z − R) 2 =

− mky x 2 + y 2 + ( z − R) 2

=

− mk ( z + R) x2 + y2 + ( z − R ) 2

dz dx − 2mω sin γ dt dt

dy dt

Se considerarmos um movimento numa região cujas dimensões são pequenas em relação ás dimensões

da Terra, podemos, numa primeira aproximação fazer x=y=z=0

e as equações do movimento ficam: m m m

ou:

dy dt

3

d 2x dt

2

d2y dt

2

d 2z dt

2

= mω 2 R sin γ cosγ + 2mω cosγ = −2mω cosγ =

− mk R

2

dy dt

dx dz − 2mω sin γ dt dt

− mω 2 R cos2 γ + mω 2 R + 2mω sin γ

mx&& = mω 2 R sin γ cosγ + 2mω cosγ y& my&& = −2mω cosγ x& − 2mω sin γ z&  k  mz&& = − m 2 − ω 2 R sin2 γ  + 2mω sin γ y& R 

Eliminando o factor t fica:

&& x = ω 2 R sin γ cosγ + 2ω cosγ y& 2

dy dt

Vasco Simões ISIG 1998 &&y = −2ω cosγ x& − 2ω sin γ z&  k  && z = − 2 − ω 2 R sin2 γ  + 2ω sin γ y& R 

A chamada aceleração da gravidade tem as duas componentes

ω 2 R sinγ cosγ = gx

e

 k  − 2 − ω 2 R sin2 γ  = gz , sendo R 

portanto: && x = gx + 2ω cosγ y&

&&y = −2ω cosγ x& − 2ω sin γ z& &&z = gz + 2ω sin γ y&

Derivando a segunda equação obtém-se &&& y = −2ω cosγ && x − 2ω sin γ &&z

e utilizando a primeira e a terceira equações fica: &&& y = −2ω cosγ ( gx + 2ω cosγ y& ) − 2ω sin γ ( gz + 2ω sin γ y& ) &&& y = −2ω cosγ gx − 4ω 2 cos2 γ y& − 2ω sin γ gz − 4ω 2 sin2 γ &&y &&& y = −2ω cosγ gx − 4ω 2 y& − 2ω sin γ gz

ou seja &&& y + 4ω 2 y& = −2ω cosγ gx − 2ω sin γ gz

e temos uma equação linear de coeficientes constantes. A equação característica é

α 3 + 4ω 2α = 0 ⇒ α = 0 ∨ α = ±2ωi A solução da equação homogénea correspondente é

yh = A + B cos(2ωt + δ ) Uma solução particular da equação é y p = Dt ⇒ D =

− cosγ gx + sin γ gz 2ω

e a solução geral será: y = A + B cos(2ωt + δ ) +

− cosγ gx + sin γ gz t 2ω

Para t = 0, y = 0, y& = 0 fica 0 = A + B cosδ

e

2ωB sinδ +

− cosγ gx + sin γ gz =0 2ω

Como &&y = 0 para t = 0 , porque x& = z& = 0 vem

y& = −2 Bω sin(2ωt + δ ) +

− cosγ gx + sin γ gz 2ω

3

gy = 0

Vasco Simões ISIG 1998 Para t = 0 vem

0 = −2 Bω sin δ +

− cosγ gx + sin γ gz 2ω

e

&&y = −4Bω 2 cos(2ωt + δ ) donde

( &&y)t = 0 = −4Bω 2 cosδ = 0 assim:  A + B cosδ = 0  − cosγ gx + sin γ gz  =0 −2 Bω sinδ + 2ω  4Bω 2 cosδ = 0 Da última equação resulta que

cos δ = 0

δ=

⇒

π 2

então, da segunda equação vem −2 Bω =

cosγ gx − sin γ gz 2ω

⇒ B=

− cosγ gx + sin γ gz 4ω 2

, e

A=0

portanto, obtém-se finalmente y=

− cosγ gx + sin γ gz 4ω 2

π  − cosγ gx + sin γ gz  cos 2ωt +  + t  2 2ω

e como && x e &&z dependem de y& , o problema fica resolvido, e ficam conhecidas as funções x ≡ x( t ), y ≡ y( t ), z ≡ z( t )

IV

Como a força centrífuga m( gx , 0, gz ) é muito pequena, uma vez que

ω=

2π rad / s 24 × 60 × 60

pode considerar-se a resultante da força gravítica e da força centrífuga como sendo paralela a Oz. Chame-se

mg à grandeza da resultante, então, as

equações do movimento de P tomam a forma mx&& = 2 mω cosγ y& my&& = −2mω cosγ x& − 2mω sin γ z& mz&& = − mg + 2mω sin γ y&

Ainda atendendo a que ω é pequeno, e ficam mx&& = 0

⇒

x& = C te = 0

⇒

4

x = C te

y& é pequeno, as equações

Vasco Simões ISIG 1998 y&& = −2ω sin γ z& z&& = − g

z& = − gt + C

Integrando a última equação :

e se a partícula está inicialmente em repouso, C = 0 ,

então z& = − gt

⇒

1 z = − gt 2 + D 2

Supondo que a partícula é abandonada de uma altura h, é z = h para t = 0 , logo D = h , e: z = h−

1 2 gt 2

então, a segunda equação fica: y&& = 2 gω sin γ t

y& = gω sin γ t 2 + E

⇒

e, se y& = 0 para t = 0 fica E = 0 , então y = gω sin γ

t3 +F 3

e, se y = 0 para t = 0 fica F = 0 , logo

y = gω sin γ

t3 3

O tempo de queda é t tal que z = 0 , portanto z = 0 ⇒ h−

gt 2 =0 ⇒ 2

t=

2h g

e, durante este tempo, a partícula em queda livre sofre um desvio para leste dado por  2 h  gω sin γ  2 h  =   y 3  g   g  originado pela força de Coriolis.

5

3