Números naturais e identidade de conteúdo

Números naturais e identidade de conteúdo Vincenzo Ciccarelli IFCH - UNICAMP

XVI Encontro nacional da ANPOF Pesquisa financiada pela FAPESP Número processo: 2014/27057-5

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Resumo

1

A definição implícita dos números naturais: Grundlagen §64

2

Repartição do conteúdo e semântica tarskiana

3

Repartição lógica

4

Analiticidade

5

Conclusão

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O princípio de Hume

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O princípio de Hume

Primeira proposta de Frege: provar que os numerais são expressões referenciais mostrando que as asserções de identidade entre números têm um conteúdo conceptual

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O princípio de Hume

Primeira proposta de Frege: provar que os numerais são expressões referenciais mostrando que as asserções de identidade entre números têm um conteúdo conceptual

Princípio de Hume #(F ) = #(G ) ≡ F ≈ G # operador número de, ≈ relação de ‘equinumerousidade’ F ≈ G sse existe uma bijeção entre F e G

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Grundlagen §64

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Grundlagen §64

Justificação pela identidade de conteúdo no princípio de Hume.

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Grundlagen §64

Justificação pela identidade de conteúdo no princípio de Hume. A relação ≈ é uma equivalência. Tem as mesmas propriedades formais que uma identidade. (reflexividade, transitividade, simetria)

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Grundlagen §64

Justificação pela identidade de conteúdo no princípio de Hume. A relação ≈ é uma equivalência. Tem as mesmas propriedades formais que uma identidade. (reflexividade, transitividade, simetria) Se eliminarmos a parte especifica do conteúdo de ≈, obtemos a relação de equivalência mais geral, i.e. identidade.

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Grundlagen §64

Justificação pela identidade de conteúdo no princípio de Hume. A relação ≈ é uma equivalência. Tem as mesmas propriedades formais que uma identidade. (reflexividade, transitividade, simetria) Se eliminarmos a parte especifica do conteúdo de ≈, obtemos a relação de equivalência mais geral, i.e. identidade. Repartição do conteúdo: a parte especifica do conteúdo de ≈ é repartida entre os dois conceitos F e G , obtendo assim uma identidade entre objetos.

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Grundlagen §64

Justificação pela identidade de conteúdo no princípio de Hume. A relação ≈ é uma equivalência. Tem as mesmas propriedades formais que uma identidade. (reflexividade, transitividade, simetria) Se eliminarmos a parte especifica do conteúdo de ≈, obtemos a relação de equivalência mais geral, i.e. identidade. Repartição do conteúdo: a parte especifica do conteúdo de ≈ é repartida entre os dois conceitos F e G , obtendo assim uma identidade entre objetos. Falta de clareza. O que é o conteúdo? O que significa repartir um conteúdo?

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Conteúdo conceptual

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Conteúdo conceptual

Begriffsschrift §3:

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Conteúdo conceptual

Begriffsschrift §3: O conteúdo de uma sentença φ é a parte do pensamento expressado por φ que é relevante para a lógica (e.g. forma lógica, verdade ou falsidade)

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Conteúdo conceptual

Begriffsschrift §3: O conteúdo de uma sentença φ é a parte do pensamento expressado por φ que é relevante para a lógica (e.g. forma lógica, verdade ou falsidade) O conteúdo de uma sentença φ é o que determina todas as consequências lógicas de φ

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Conteúdo conceptual

Begriffsschrift §3: O conteúdo de uma sentença φ é a parte do pensamento expressado por φ que é relevante para a lógica (e.g. forma lógica, verdade ou falsidade) O conteúdo de uma sentença φ é o que determina todas as consequências lógicas de φ Interpretação proposta: conteúdo de φ = informações (implícitas e explícitas) contidas nas condições de verdade de φ.

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Repartição de conteúdo

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Repartição de conteúdo A ideia é de definir a interpretação de novas expressões a partir das informações contidas nas condições de verdade de alguma sentença dada

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Repartição de conteúdo A ideia é de definir a interpretação de novas expressões a partir das informações contidas nas condições de verdade de alguma sentença dada Por exemplo, queremos definir a interpretação de um novo predicado ‘S’, ‘Solteiro/a’ a partir da expressão ‘não casado/a’

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Repartição de conteúdo A ideia é de definir a interpretação de novas expressões a partir das informações contidas nas condições de verdade de alguma sentença dada Por exemplo, queremos definir a interpretação de um novo predicado ‘S’, ‘Solteiro/a’ a partir da expressão ‘não casado/a’ Com efeito, S(x) sse ¬∃yC (y , x)

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Repartição de conteúdo A ideia é de definir a interpretação de novas expressões a partir das informações contidas nas condições de verdade de alguma sentença dada Por exemplo, queremos definir a interpretação de um novo predicado ‘S’, ‘Solteiro/a’ a partir da expressão ‘não casado/a’ Com efeito, S(x) sse ¬∃yC (y , x) Seja M = hD, (·)M i uma estrutura tarskiana para a linguagem inicial

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Repartição de conteúdo A ideia é de definir a interpretação de novas expressões a partir das informações contidas nas condições de verdade de alguma sentença dada Por exemplo, queremos definir a interpretação de um novo predicado ‘S’, ‘Solteiro/a’ a partir da expressão ‘não casado/a’ Com efeito, S(x) sse ¬∃yC (y , x) Seja M = hD, (·)M i uma estrutura tarskiana para a linguagem inicial Condições de verdade da sentença dada: M  ¬∃yC (x, y ) sse p/todo a ∈ D não existe b ∈ D tal que ha, bi ∈ C M

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Repartição de conteúdo A ideia é de definir a interpretação de novas expressões a partir das informações contidas nas condições de verdade de alguma sentença dada Por exemplo, queremos definir a interpretação de um novo predicado ‘S’, ‘Solteiro/a’ a partir da expressão ‘não casado/a’ Com efeito, S(x) sse ¬∃yC (y , x) Seja M = hD, (·)M i uma estrutura tarskiana para a linguagem inicial Condições de verdade da sentença dada: M  ¬∃yC (x, y ) sse p/todo a ∈ D não existe b ∈ D tal que ha, bi ∈ C M Podemos definir uma nova estrutura M 0 = hD 0 , (·)M i tal que: 0

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Repartição de conteúdo A ideia é de definir a interpretação de novas expressões a partir das informações contidas nas condições de verdade de alguma sentença dada Por exemplo, queremos definir a interpretação de um novo predicado ‘S’, ‘Solteiro/a’ a partir da expressão ‘não casado/a’ Com efeito, S(x) sse ¬∃yC (y , x) Seja M = hD, (·)M i uma estrutura tarskiana para a linguagem inicial Condições de verdade da sentença dada: M  ¬∃yC (x, y ) sse p/todo a ∈ D não existe b ∈ D tal que ha, bi ∈ C M Podemos definir uma nova estrutura M 0 = hD 0 , (·)M i tal que: 0

D = D0

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Repartição de conteúdo A ideia é de definir a interpretação de novas expressões a partir das informações contidas nas condições de verdade de alguma sentença dada Por exemplo, queremos definir a interpretação de um novo predicado ‘S’, ‘Solteiro/a’ a partir da expressão ‘não casado/a’ Com efeito, S(x) sse ¬∃yC (y , x) Seja M = hD, (·)M i uma estrutura tarskiana para a linguagem inicial Condições de verdade da sentença dada: M  ¬∃yC (x, y ) sse p/todo a ∈ D não existe b ∈ D tal que ha, bi ∈ C M Podemos definir uma nova estrutura M 0 = hD 0 , (·)M i tal que: 0

D = D0 0 p/toda expressão ξ 6= S, ξ M = ξ M

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Repartição de conteúdo A ideia é de definir a interpretação de novas expressões a partir das informações contidas nas condições de verdade de alguma sentença dada Por exemplo, queremos definir a interpretação de um novo predicado ‘S’, ‘Solteiro/a’ a partir da expressão ‘não casado/a’ Com efeito, S(x) sse ¬∃yC (y , x) Seja M = hD, (·)M i uma estrutura tarskiana para a linguagem inicial Condições de verdade da sentença dada: M  ¬∃yC (x, y ) sse p/todo a ∈ D não existe b ∈ D tal que ha, bi ∈ C M Podemos definir uma nova estrutura M 0 = hD 0 , (·)M i tal que: 0

D = D0 0 p/toda expressão ξ 6= S, ξ M = ξ M M0 0 S = {a ∈ D : M  ¬∃xC (x, y )[a]}

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Repartição de conteúdo A ideia é de definir a interpretação de novas expressões a partir das informações contidas nas condições de verdade de alguma sentença dada Por exemplo, queremos definir a interpretação de um novo predicado ‘S’, ‘Solteiro/a’ a partir da expressão ‘não casado/a’ Com efeito, S(x) sse ¬∃yC (y , x) Seja M = hD, (·)M i uma estrutura tarskiana para a linguagem inicial Condições de verdade da sentença dada: M  ¬∃yC (x, y ) sse p/todo a ∈ D não existe b ∈ D tal que ha, bi ∈ C M Podemos definir uma nova estrutura M 0 = hD 0 , (·)M i tal que: 0

D = D0 0 p/toda expressão ξ 6= S, ξ M = ξ M M0 0 S = {a ∈ D : M  ¬∃xC (x, y )[a]}

M 0  ∀x[S(x) ↔ ¬∃yC (x, y )] Vincenzo Ciccarelli (IFCH - UNICAMP) Números naturais e identidade de conteúdo

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Princípio de Hume e repartição de conteúdo

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Princípio de Hume e repartição de conteúdo Aplicação do procedimento de repartição ao princípio de Hume

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Princípio de Hume e repartição de conteúdo Aplicação do procedimento de repartição ao princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem

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Princípio de Hume e repartição de conteúdo Aplicação do procedimento de repartição ao princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Queremos definir uma nova estrutura M 0 tal que p/todo H, L ∈ PD 0 resulte: #M (H) = #M (L) sse M  (X ≈ Y )[H; L] 0

0

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(*)

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Princípio de Hume e repartição de conteúdo Aplicação do procedimento de repartição ao princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Queremos definir uma nova estrutura M 0 tal que p/todo H, L ∈ PD 0 resulte: #M (H) = #M (L) sse M  (X ≈ Y )[H; L] 0

0

(*)

Dificuldades

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Princípio de Hume e repartição de conteúdo Aplicação do procedimento de repartição ao princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Queremos definir uma nova estrutura M 0 tal que p/todo H, L ∈ PD 0 resulte: #M (H) = #M (L) sse M  (X ≈ Y )[H; L] 0

0

(*)

Dificuldades (i) É possível provar que para que a (*) seja satisfeita card(D 0 ) = card(D) + 1 com D = D 0 , i.e. D tem que ser um conjunto infinito

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Princípio de Hume e repartição de conteúdo Aplicação do procedimento de repartição ao princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Queremos definir uma nova estrutura M 0 tal que p/todo H, L ∈ PD 0 resulte: #M (H) = #M (L) sse M  (X ≈ Y )[H; L] 0

0

(*)

Dificuldades (i) É possível provar que para que a (*) seja satisfeita card(D 0 ) = card(D) + 1 com D = D 0 , i.e. D tem que ser um conjunto infinito (ii) Sendo D infinito, temos infinitas escolhas para a função #M (Problema de Cezar) Vincenzo Ciccarelli (IFCH - UNICAMP) Números naturais e identidade de conteúdo

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Análise das dificuldades

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Análise das dificuldades A condição sobre D (infinitude) não é uma informação implícita nas condições de verdade de F ≈ G

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Análise das dificuldades A condição sobre D (infinitude) não é uma informação implícita nas condições de verdade de F ≈ G Cada particular escolha de #M não parece ser sugerida pelas informações contidas nas condições de verdade de F ≈ G 0

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Análise das dificuldades A condição sobre D (infinitude) não é uma informação implícita nas condições de verdade de F ≈ G Cada particular escolha de #M não parece ser sugerida pelas informações contidas nas condições de verdade de F ≈ G 0

Concluímos que as asserções de identidade entre números não têm o mesmo conteúdo das asserções de equinumerosidade

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Análise das dificuldades A condição sobre D (infinitude) não é uma informação implícita nas condições de verdade de F ≈ G Cada particular escolha de #M não parece ser sugerida pelas informações contidas nas condições de verdade de F ≈ G 0

Concluímos que as asserções de identidade entre números não têm o mesmo conteúdo das asserções de equinumerosidade O princípio de Hume não é analítico

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Análise das dificuldades A condição sobre D (infinitude) não é uma informação implícita nas condições de verdade de F ≈ G Cada particular escolha de #M não parece ser sugerida pelas informações contidas nas condições de verdade de F ≈ G 0

Concluímos que as asserções de identidade entre números não têm o mesmo conteúdo das asserções de equinumerosidade O princípio de Hume não é analítico Precisaríamos de um procedimento de repartição de conteúdo que nos permita:

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Análise das dificuldades A condição sobre D (infinitude) não é uma informação implícita nas condições de verdade de F ≈ G Cada particular escolha de #M não parece ser sugerida pelas informações contidas nas condições de verdade de F ≈ G 0

Concluímos que as asserções de identidade entre números não têm o mesmo conteúdo das asserções de equinumerosidade O princípio de Hume não é analítico Precisaríamos de um procedimento de repartição de conteúdo que nos permita: De estender o domínio do discurso apelando apenas às informações contidas nas c.v. de F ≈ G

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Análise das dificuldades A condição sobre D (infinitude) não é uma informação implícita nas condições de verdade de F ≈ G Cada particular escolha de #M não parece ser sugerida pelas informações contidas nas condições de verdade de F ≈ G 0

Concluímos que as asserções de identidade entre números não têm o mesmo conteúdo das asserções de equinumerosidade O princípio de Hume não é analítico Precisaríamos de um procedimento de repartição de conteúdo que nos permita: De estender o domínio do discurso apelando apenas às informações contidas nas c.v. de F ≈ G 0 De definir uma escolha natural para a função #M derivada a partir das c.v. de F ≈ G

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Extensão do vocabulário lógico

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Extensão do vocabulário lógico No princípio de Hume o operador # representa a repartição do conteúdo da relação ≈ que é expressável usando apenas vocabulário lógico

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Extensão do vocabulário lógico No princípio de Hume o operador # representa a repartição do conteúdo da relação ≈ que é expressável usando apenas vocabulário lógico Portanto a introdução do símbolo # numa linguagem da segunda ordem representa uma extensão do vocabulário lógico

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Extensão do vocabulário lógico No princípio de Hume o operador # representa a repartição do conteúdo da relação ≈ que é expressável usando apenas vocabulário lógico Portanto a introdução do símbolo # numa linguagem da segunda ordem representa uma extensão do vocabulário lógico Considere o exemplo da extensão da linguagem da primeira ordem para a segunda ordem:

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Extensão do vocabulário lógico No princípio de Hume o operador # representa a repartição do conteúdo da relação ≈ que é expressável usando apenas vocabulário lógico Portanto a introdução do símbolo # numa linguagem da segunda ordem representa uma extensão do vocabulário lógico Considere o exemplo da extensão da linguagem da primeira ordem para a segunda ordem: Definimos novas variáveis que variam sobre um novo domínio de quantificação (i.e. extensão do domínio de quantificação)

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Extensão do vocabulário lógico No princípio de Hume o operador # representa a repartição do conteúdo da relação ≈ que é expressável usando apenas vocabulário lógico Portanto a introdução do símbolo # numa linguagem da segunda ordem representa uma extensão do vocabulário lógico Considere o exemplo da extensão da linguagem da primeira ordem para a segunda ordem: Definimos novas variáveis que variam sobre um novo domínio de quantificação (i.e. extensão do domínio de quantificação) De acordo com a particular teoria matemática usada para representar a semântica (i.e. ZFC), fazemos uma escolha natural da extensão do domínio de quantificação (i.e. o conjunto das partes do domínio inicial)

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Extensão do vocabulário lógico No princípio de Hume o operador # representa a repartição do conteúdo da relação ≈ que é expressável usando apenas vocabulário lógico Portanto a introdução do símbolo # numa linguagem da segunda ordem representa uma extensão do vocabulário lógico Considere o exemplo da extensão da linguagem da primeira ordem para a segunda ordem: Definimos novas variáveis que variam sobre um novo domínio de quantificação (i.e. extensão do domínio de quantificação) De acordo com a particular teoria matemática usada para representar a semântica (i.e. ZFC), fazemos uma escolha natural da extensão do domínio de quantificação (i.e. o conjunto das partes do domínio inicial)

A extensão do vocabulário lógico pode induzir uma escolha natural para a interpretação das expressões novas de acordo com a teoria semântica; esta escolha por sua vez induz uma extensão do domínio de quantificação. Vincenzo Ciccarelli (IFCH - UNICAMP) Números naturais e identidade de conteúdo

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O que é um número?

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O que é um número? No nosso caso a pergunta ‘O que é um número?’ só pode ter uma resposta na teoria semântica que estamos usando

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O que é um número? No nosso caso a pergunta ‘O que é um número?’ só pode ter uma resposta na teoria semântica que estamos usando Dado que a nossa teoria semântica é ZFC, representaremos números como conjuntos

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O que é um número? No nosso caso a pergunta ‘O que é um número?’ só pode ter uma resposta na teoria semântica que estamos usando Dado que a nossa teoria semântica é ZFC, representaremos números como conjuntos Assim como o uso da semântica standard não nos compromete com a concepção de propriedades como conjuntos, não estaremos comprometidos com a redução ontológica de números a conjuntos

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O que é um número? No nosso caso a pergunta ‘O que é um número?’ só pode ter uma resposta na teoria semântica que estamos usando Dado que a nossa teoria semântica é ZFC, representaremos números como conjuntos Assim como o uso da semântica standard não nos compromete com a concepção de propriedades como conjuntos, não estaremos comprometidos com a redução ontológica de números a conjuntos De acordo com o princípio de Hume, números naturais são objetos lógicos obtidos por meio de uma abstração sobre o domínio dos conceitos

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O que é um número? No nosso caso a pergunta ‘O que é um número?’ só pode ter uma resposta na teoria semântica que estamos usando Dado que a nossa teoria semântica é ZFC, representaremos números como conjuntos Assim como o uso da semântica standard não nos compromete com a concepção de propriedades como conjuntos, não estaremos comprometidos com a redução ontológica de números a conjuntos De acordo com o princípio de Hume, números naturais são objetos lógicos obtidos por meio de uma abstração sobre o domínio dos conceitos Isso sugere a escolha natural de números naturais como classes de equivalência de equinumerosidade

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O que é um número? No nosso caso a pergunta ‘O que é um número?’ só pode ter uma resposta na teoria semântica que estamos usando Dado que a nossa teoria semântica é ZFC, representaremos números como conjuntos Assim como o uso da semântica standard não nos compromete com a concepção de propriedades como conjuntos, não estaremos comprometidos com a redução ontológica de números a conjuntos De acordo com o princípio de Hume, números naturais são objetos lógicos obtidos por meio de uma abstração sobre o domínio dos conceitos Isso sugere a escolha natural de números naturais como classes de equivalência de equinumerosidade Repartição na teoria dos conjuntos: fixado um conjunto U como universo, U a ≈ b sse ∀x∈U (x ≈ a ↔ x ≈ b) sse [a]U ≈ = [b]≈ Vincenzo Ciccarelli (IFCH - UNICAMP) Números naturais e identidade de conteúdo

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Impredicatividade

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Impredicatividade Problema: o princípio de Hume é impredicativo (o operador # aplica-se também a conceitos definidos sobre números naturais)

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Impredicatividade Problema: o princípio de Hume é impredicativo (o operador # aplica-se também a conceitos definidos sobre números naturais) Dado um domínio Dω que contem todos os naturais podemos sempre definir novas c.e.e.; segue-se que não conseguimos definir de uma vez os números naturais

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Impredicatividade Problema: o princípio de Hume é impredicativo (o operador # aplica-se também a conceitos definidos sobre números naturais) Dado um domínio Dω que contem todos os naturais podemos sempre definir novas c.e.e.; segue-se que não conseguimos definir de uma vez os números naturais Precisamos de um procedimento para definir predicativamente as c.e.e. sobre um dado domínio D.

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Impredicatividade Problema: o princípio de Hume é impredicativo (o operador # aplica-se também a conceitos definidos sobre números naturais) Dado um domínio Dω que contem todos os naturais podemos sempre definir novas c.e.e.; segue-se que não conseguimos definir de uma vez os números naturais Precisamos de um procedimento para definir predicativamente as c.e.e. sobre um dado domínio D. Dado um domínio D de k objetos (k ≤ ℵ0 ) podemos definir k + 1 c.e.e. sobre ele. Obtemos assim os números naturais de 0 a k necessários para contar todos os objetos de D

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Impredicatividade Problema: o princípio de Hume é impredicativo (o operador # aplica-se também a conceitos definidos sobre números naturais) Dado um domínio Dω que contem todos os naturais podemos sempre definir novas c.e.e.; segue-se que não conseguimos definir de uma vez os números naturais Precisamos de um procedimento para definir predicativamente as c.e.e. sobre um dado domínio D. Dado um domínio D de k objetos (k ≤ ℵ0 ) podemos definir k + 1 c.e.e. sobre ele. Obtemos assim os números naturais de 0 a k necessários para contar todos os objetos de D Colocamos os novos objetos (números) no nosso domínio. Agora temos k + (k + 1) objetos. Queremos conta-los. Definiremos todas as novas c.e.e. para os números de k + 2 a 2k + 2

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Impredicatividade Problema: o princípio de Hume é impredicativo (o operador # aplica-se também a conceitos definidos sobre números naturais) Dado um domínio Dω que contem todos os naturais podemos sempre definir novas c.e.e.; segue-se que não conseguimos definir de uma vez os números naturais Precisamos de um procedimento para definir predicativamente as c.e.e. sobre um dado domínio D. Dado um domínio D de k objetos (k ≤ ℵ0 ) podemos definir k + 1 c.e.e. sobre ele. Obtemos assim os números naturais de 0 a k necessários para contar todos os objetos de D Colocamos os novos objetos (números) no nosso domínio. Agora temos k + (k + 1) objetos. Queremos conta-los. Definiremos todas as novas c.e.e. para os números de k + 2 a 2k + 2 Repetindo indefinidamente o procedimento obtemos todos os números naturais Vincenzo Ciccarelli (IFCH - UNICAMP) Números naturais e identidade de conteúdo

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Uma semântica para o princípio de Hume

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Uma semântica para o princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem

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Uma semântica para o princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Definiremos uma estrutura Mω = hDω , PDω , (·)Mω i por repartição do conteúdo das asserções de equinumerousidade

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Uma semântica para o princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Definiremos uma estrutura Mω = hDω , PDω , (·)Mω i por repartição do conteúdo das asserções de equinumerousidade A nossa escolha natural números como c.e.e. determina a expansão do domínio (recursivamente definida):

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Uma semântica para o princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Definiremos uma estrutura Mω = hDω , PDω , (·)Mω i por repartição do conteúdo das asserções de equinumerousidade A nossa escolha natural números como c.e.e. determina a expansão do domínio (recursivamente definida):

Expansão do domínio D0 = D ∪ (PD)/≈ Dn+1 = Dn ∪ {a : a ∈ (PDn )/∼ e ∀b ∈ Dn , card(a) > card(b)}

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2016

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Uma semântica para o princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Definiremos uma estrutura Mω = hDω , PDω , (·)Mω i por repartição do conteúdo das asserções de equinumerousidade A nossa escolha natural números como c.e.e. determina a expansão do domínio (recursivamente definida):

Expansão do domínio D0 = D ∪ (PD)/≈ Dn+1 = Dn ∪ {a : a ∈ (PDn )/∼ e ∀b ∈ Dn , card(a) > card(b)} S ω(D) = ( Dn ) − D Números naturais finitos n∈N

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Uma semântica para o princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Definiremos uma estrutura Mω = hDω , PDω , (·)Mω i por repartição do conteúdo das asserções de equinumerousidade A nossa escolha natural números como c.e.e. determina a expansão do domínio (recursivamente definida):

Expansão do domínio D0 = D ∪ (PD)/≈ Dn+1 = Dn ∪ {a : a ∈ (PDn )/∼ e ∀b ∈ Dn , card(a) > card(b)} S ω(D) = ( Dn ) − D Números naturais finitos n∈N

Ω(D) = ω(D) ∪ {{ω(D)}}

Números naturais

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Uma semântica para o princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Definiremos uma estrutura Mω = hDω , PDω , (·)Mω i por repartição do conteúdo das asserções de equinumerousidade A nossa escolha natural números como c.e.e. determina a expansão do domínio (recursivamente definida):

Expansão do domínio D0 = D ∪ (PD)/≈ Dn+1 = Dn ∪ {a : a ∈ (PDn )/∼ e ∀b ∈ Dn , card(a) > card(b)} S ω(D) = ( Dn ) − D Números naturais finitos n∈N

Ω(D) = ω(D) ∪ {{ω(D)}} Números naturais Dω = D ∪ Ω(D) Domínio

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Uma semântica para o princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Definiremos uma estrutura Mω = hDω , PDω , (·)Mω i por repartição do conteúdo das asserções de equinumerousidade A nossa escolha natural números como c.e.e. determina a expansão do domínio (recursivamente definida):

Expansão do domínio D0 = D ∪ (PD)/≈ Dn+1 = Dn ∪ {a : a ∈ (PDn )/∼ e ∀b ∈ Dn , card(a) > card(b)} S ω(D) = ( Dn ) − D Números naturais finitos n∈N

Ω(D) = ω(D) ∪ {{ω(D)}} Números naturais Dω = D ∪ Ω(D) Domínio

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Uma semântica para o princípio de Hume Seja M = hD, PD, (·)M i uma estrutura standard para uma linguagem da segunda ordem Definiremos uma estrutura Mω = hDω , PDω , (·)Mω i por repartição do conteúdo das asserções de equinumerousidade A nossa escolha natural números como c.e.e. determina a expansão do domínio (recursivamente definida):

Expansão do domínio D0 = D ∪ (PD)/≈ Dn+1 = Dn ∪ {a : a ∈ (PDn )/∼ e ∀b ∈ Dn , card(a) > card(b)} S ω(D) = ( Dn ) − D Números naturais finitos n∈N

Ω(D) = ω(D) ∪ {{ω(D)}} Números naturais Dω = D ∪ Ω(D) Domínio p/todo n ∈ Ω(D) e H ∈ PDω ,

#Mω (H) = n

sse p/todo u ∈ n resulta H ≈ u

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Analiticidade

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Analiticidade

A princípio as c.v. das asserções de identidade entre números não podem ser deduzidas a partir das c.v. das asserções de equinumerosidade

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Analiticidade

A princípio as c.v. das asserções de identidade entre números não podem ser deduzidas a partir das c.v. das asserções de equinumerosidade Para poder fazer isto precisamos de informações adicionais que estão disponíveis na teoria semântica adoptada

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Analiticidade

A princípio as c.v. das asserções de identidade entre números não podem ser deduzidas a partir das c.v. das asserções de equinumerosidade Para poder fazer isto precisamos de informações adicionais que estão disponíveis na teoria semântica adoptada A rigor o princípio de Hume não é analítico

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Analiticidade

A princípio as c.v. das asserções de identidade entre números não podem ser deduzidas a partir das c.v. das asserções de equinumerosidade Para poder fazer isto precisamos de informações adicionais que estão disponíveis na teoria semântica adoptada A rigor o princípio de Hume não é analítico

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Quase-analiticidade

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Quase-analiticidade Trabalho em andamento

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Quase-analiticidade Trabalho em andamento

Quase-analiticidade O julgamento ‘α ↔ β’ é quase-analítico sse dadas as c.v. de α (ou β) podemos derivar as c.v. de β ( ou α) apelando no máximo às convenções de interpretação do vocabulário lógico da particular teoria semântica adoptada

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Quase-analiticidade Trabalho em andamento

Quase-analiticidade O julgamento ‘α ↔ β’ é quase-analítico sse dadas as c.v. de α (ou β) podemos derivar as c.v. de β ( ou α) apelando no máximo às convenções de interpretação do vocabulário lógico da particular teoria semântica adoptada

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Quase-analiticidade Trabalho em andamento

Quase-analiticidade O julgamento ‘α ↔ β’ é quase-analítico sse dadas as c.v. de α (ou β) podemos derivar as c.v. de β ( ou α) apelando no máximo às convenções de interpretação do vocabulário lógico da particular teoria semântica adoptada

Convenção de interpretação do vocabulário lógico Dada uma expressão ξ considerada como parte do vocabulário lógico e uma estrutura M , uma convenção de interpretação para ξ é uma escolha de ξ M na particular teoria semântica T , tal que ξ M possa ser considerada como uma representação em T de uma certa noção pre-teórica associada a ξ

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Quase-analiticidade Trabalho em andamento

Quase-analiticidade O julgamento ‘α ↔ β’ é quase-analítico sse dadas as c.v. de α (ou β) podemos derivar as c.v. de β ( ou α) apelando no máximo às convenções de interpretação do vocabulário lógico da particular teoria semântica adoptada

Convenção de interpretação do vocabulário lógico Dada uma expressão ξ considerada como parte do vocabulário lógico e uma estrutura M , uma convenção de interpretação para ξ é uma escolha de ξ M na particular teoria semântica T , tal que ξ M possa ser considerada como uma representação em T de uma certa noção pre-teórica associada a ξ

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Quase-analiticidade Trabalho em andamento

Quase-analiticidade O julgamento ‘α ↔ β’ é quase-analítico sse dadas as c.v. de α (ou β) podemos derivar as c.v. de β ( ou α) apelando no máximo às convenções de interpretação do vocabulário lógico da particular teoria semântica adoptada

Convenção de interpretação do vocabulário lógico Dada uma expressão ξ considerada como parte do vocabulário lógico e uma estrutura M , uma convenção de interpretação para ξ é uma escolha de ξ M na particular teoria semântica T , tal que ξ M possa ser considerada como uma representação em T de uma certa noção pre-teórica associada a ξ Quase-analiticidade = Analiticidade ? Vincenzo Ciccarelli (IFCH - UNICAMP) Números naturais e identidade de conteúdo

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Objeções

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Objeções 1

Objeção modal: Dado que os números são definidos em termos dos conceitos sobre um dado domínio do discurso, em cada mundo possível os números são objetos diferentes

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Objeções 1

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Objeção modal: Dado que os números são definidos em termos dos conceitos sobre um dado domínio do discurso, em cada mundo possível os números são objetos diferentes Objeção lógica: Uma escolha natural do valor semântico do operador # seria equivalente a uma definição explicita. Então porque precisamos do Princípio de Hume e da repartição de conteúdo?

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Objeção modal: Dado que os números são definidos em termos dos conceitos sobre um dado domínio do discurso, em cada mundo possível os números são objetos diferentes Objeção lógica: Uma escolha natural do valor semântico do operador # seria equivalente a uma definição explicita. Então porque precisamos do Princípio de Hume e da repartição de conteúdo? Objeção epistemológica: A escolha de interpretar variáveis da segunda ordem sobre o conjunto das partes do domínio parece natural em virtude de uma certa simplicidade. O procedimento de extensão do domínio para obter os números naturais não parece exibir a mesma simplicidade.

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Objeção modal: Dado que os números são definidos em termos dos conceitos sobre um dado domínio do discurso, em cada mundo possível os números são objetos diferentes Objeção lógica: Uma escolha natural do valor semântico do operador # seria equivalente a uma definição explicita. Então porque precisamos do Princípio de Hume e da repartição de conteúdo? Objeção epistemológica: A escolha de interpretar variáveis da segunda ordem sobre o conjunto das partes do domínio parece natural em virtude de uma certa simplicidade. O procedimento de extensão do domínio para obter os números naturais não parece exibir a mesma simplicidade. Objeção ontológica: Se os números são definidos por meio de convenções de interpretação não podemos concluir nada sobre o estatus ontológico deles. Isto é, o procedimento descrito não pode ser usado num argumento a favor da auto-subsistência dos números naturais.

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Obrigado!

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